JEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA

Transkrypt

1 JEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA Nech E bedze zborem zdarzen elementarnych danego doswadczena. Funcje X(e) przyporzadowujaca azdemu zdarzenu elementarnemu e E jedna tylo jedna lczbe X(e)x nazywamy ZMIENNA LOSOWA. Przylad: Rozpatrujemy doswadczene polegajace na rzuce symetryczna moneta. Wynem tego doswadczena moga byc zdarzena "pojawene se orla" albo "pojawene se resz" tworzace zbór zdarzen elementarnych. Na zborze zdarzen elementarnych oreslamy zmenna losowa X w sposób nastepujacy: X (orzel) ; X (resza) 0 Zmenna losowa X przyjmuje wartosc ze zboru {0,}. Zdarzena "pojawene se orla" "pojawene se resz" realzuja se z prawdopodobenstwam równym /, zatem: P(X) P{orzel} /, P(X0) P{resza} /. Typy zmennej losowej: Soowa (przyjmuje sonczona lub nesonczona, ale przelczalna lczbe wartosc), Cagla (jej wartosc naleza do przedzalu ze zboru lczb rzeczywstych). ZMIENNA LOSOWA SKOKOWA przyjmuje wartosc x, x,... z prawdopodobenstwam, odpowedno p, p,..., tam ze: n p, gdy X przyjmuje sonczona lczbe n welosc, lub () p, gdy X przyjmuje nesonczona lczbe wartosc () Zbór prawdopodobenstw postac p spelnajacych równosc () lub () oreslamy manem uncj prawdopodobenstwa zmennej losowej X typu soowego. Wyres uncj prawdopodobenstwa x p p 3. p. p. 0 x x x 3 x

2 Dystrybuanta zmennej losowej soowej przyjmuje postac: F( x) p ( < x< ) x x Inormacje na temat wlasnosc dystrybuanty oraz wyres dystrybuanty znajduja se w materalach z poprzednch zajec. ZMIENNA LOSOWA CIAGLA Przyjmuje neprzelczalna lczbe wartosc. Zatem jej rozladu ne mozna opsac za pomoca uncj prawdopodobenstwa ja w przypadu zmennej losowej soowej. Funcja, tóra opsuje rozlad zmennej losowej caglej, jest uncja gestosc. Jest to uncja oreslona na zborze lczb rzeczywstych o nastepujacych wlasnoscach: ( x) 0, b a + xdx P a< X b a< b ( x) dx P( < X + ) Nalezy zauwazyc, ze prawdopobenstwo postac P(Xa) jest równe zeru: a PX ( a) x dx 0 a Przyladowy wyres uncj gestosc prawdopodobenstwa graczna nterpretacja P (x) ( a < X b) P ( a < X b) ( x) b a dx a b x Dystrybuante zmennej losowej caglej oresla se nastepujaco: x ( x) ( t) d( t) F, gdze (t) jest uncja gestosc zmennej losowej X

3 PARAMETRY ROZKLADU ZMIENNEJ LOSOWEJ: Wartosc oczewana: E x p ( X ) x ( x) dx zmennej Wlasnosc wartosc oczewanej: Ea a, gdze a stala, E[( ax)] aex ( ) EaX ( + b) ae( X) + b losowej soowej zmennej losowej caglej Warancja: D ( X) E X E( X) Wlasnosc warancj: D ( a ) 0 D X + a D X D ax ad X D ax + b ad X x E X p zmennej losowej soowej x E X x dx zmennej losowej caglej Moment zwyly rzedu : m E ( X ) x x p ( x) dx zmennej losowej soowej zmennej losowej caglej Moment centralny rzedu : x E x u E[ X E( X )] x E( x) [ ] p [ ] ( x) dx zmennej losowejsoowej zmennej losowejcaglej

4 ROZKLADY ZMIENNEJ LOSOWEJ Rozlad zerojedynowy Zmenna losowa X ma rozlad zero-jedynowy, jesl przyjmuje wartosc z prawdopodobenstwem 0<p< oraz wartosc 0 z prawdopodobenstwem q-p. Funcja prawdopodobenstwa rozladu zero-jedynowego: x 0 p -p p Dystrybuanta zmennej losowej zero-jedynowej: F ( x) 0, p,, x < 0 0 x < x Wartosc oczewana warancja zmennej losowej zero-jedynowej: E X 0 p + p p, D ( X ) ( 0 p) ( p) + ( p) p p( p). Rozlad dwumanowy Zmenna losowa X ma rozlad dwumanowy, jesl przyjmuje wartosc 0,,,...,n z prawdopodobenstwam oreslonym wzorem: P n n ( X ) p ( p) Lczbe doswadczen n oraz prawdopodobenstwo sucesu p nazywamy parametram tego rozladu. Dystrybuanta zmennej losowej X o rozladze dwumanowym: F n ( x) P( X x) p ( p) x n Wartosc oczewana warancja zmennej losowej X o rozladze dwumanowym: n n E( X) E X E( X) np, n n D X D X D X np p. Schemat Bernoullego: wyonujemy doswadczene, tórego rezultatem moze byc suces z prawdopodobenstwem p lub poraza z prawdopodobenstwem q-p, doswadczene powtarzamy n-rotne w sposób nezalezny co oznacza, ze prawdopodobenstwo sucesu pozostaje w pojedynczych próbach stale równe p, lczba sucesów jaa zaobserwujemy w wynu n-rotnego powtórzena doswadczena, moze byc równa 0,,,...,n.

5 Rozlad normalny Wele zjaws swata zycznego cechuje rozlad normalny, np. waga wzrost ludz. Dlatego rozlad ten m bardzo duze znaczene w statystyce. Do rozladu tego prowadz ta proces sztaltowana zjawsa, w ramach tórego na dane zjawso oddzaluje duza lczba nezaleznych czynnów, tórych wplyw, tratowany odrebne, jest malo znaczacy. Zmenna losowa X ma rozlad normalny o parametrach m oraz σ, co w sróce zapsuje se X : N m,σ, jezel jej uncja gestosc wyraza se wzorem: jao ( x) σ ( xm) σ π e, < x < + Funcja gestosc rozladu normalnego o parametrach m σ:, przy czym σ > 0. Wlasnosc rzywej gestosc rozladu normalnego: a) jest symetryczna wzgledem prostej x m, b) osaga masmum równe σ π x m, c) jej ramona maja punty przegeca x m σ oraz x m + σ. Dystrybuanta zmennej losowej X majacej rozlad normalny jest uncja F(x) oreslona na ( tm) zborze lczb rzeczywstych o postac: F ( x) σ x e σ π dt Ze wzgledu na symetrycznosc rozladu F(-x)-F(x)

6 Rozlad normalny ze sredna m0 oraz odchylenem standardowym σ nazywamy standardowym rozladem normalnym oznaczamy N(0,). Wartosc uncj gestosc dystrybuanty rozladu normalnego wystandaryzowanego sa tablcowane. Standaryzacja zmennej losowej X o rozladze normalnym z parametram m σ: X m U, gdze U ~ N (0,). σ Zatem: a X m b m am bm bm am Pa ( < X b) P < P < U F F σ σ σ σ σ σ σ Regula trzech sgm P( Xm σ ) 0,6869 P( Xm σ ) 0,9545 P( Xm 3 σ ) 0,9973 Addytywnosc rozladu normalnego Jesl X ~ Nmσ (, ) a X ~ N( m, σ ) oraz X X sa nezalezne to X + X ~ Nm ( + m, σ + σ ) Zaleta rozladu normalnego jest to, ze wele rozladów jest zbeznych do rozladu normalnego przy wzrosce lczebnosc zborowosc (zob. tw. granczne). INNE ROZKLADY: Rozlad t-studenta o lczbe stopn swobody to rozlad zmennej losowej oreslony uncja gestosc o postac: + + Γ t +, n Γ π ( t) ( < t < + ) gdze n- zas Γ(x) jest uncja gamma.

7 Parametry: E t Dt 0, n n3 Przy n rozlad t-studenta zbega do rozladu normalnego N(0,). Rozlad c (Ch- wadrat) o lczbe stopn swobody to rozlad zmennej losowej oreslony uncja gestosc o postac: ( χ ) Γ 0 ( χ ) e χ χ χ > 0 0 gdze n-. Rozlad χ (ch- wadrat) o lczbe stopn swobody ma statystya: χ gdze: n X m σ X nezalezne zmenne losowe majace jednaowy rozlad N(m,σ), n.

8 Parametry: E D ( χ ) ; ( χ ) Przy rozlad statysty χ zdaza do rozladu ( ; ) N. Rozlad F-Snedecora o lczbe stopn swobody lczna lczbe stopn swobody manowna to rozlad oreslony uncja gestosc o postac: 0 + Γ Γ Γ F 0 ( F) + F ( F + ) F > 0 Parametry: E F D ( F) ( + ) ( 4)