WYBRANE METODY BADANIA STABILNOŚCI UKŁADÓW LTV SELECTED STABILITY EXAMINATION METHODS OF LTV SYSTEMS

Transkrypt

1 ELEKTRYKA 215 Zszy 1 (233) Rok LXI Aa PIWOWAR Polichika Śląska w Gliwicach WYBRANE METODY BADANIA STABILNOŚCI UKŁADÓW LTV Srszczi. W arykul przprowadzoo aalizę sabilości ilrów paramryczych pirwszgo rzędu z iokrsowo zmiym paramrm. Wyzaczoo obszary sabilości układów paramryczych posługując się modami badaia -sabilości oraz sabilości krókoczasowj. Wykazao, ż rozparywa modl ilrów alżą do układów ypu roz im. Wykorzysując modę uogólioych warości własych wykazao rówiż, ż jśli ukcj paramryzując są ściśl dodai, o rozparywa klasy ilrów LTV są zawsz BIBO-sabil. Słowa kluczow: układy paramrycz, LTV, sabilość, -sabilość, sabilość krókoczasowa, układy ypu roz im SELECTED STABILITY EXAMINATION METHODS OF LTV SYSTEMS Summary. I his aricl h sabiliy aalysis o irs ordr paramric ilrs wih im variabl coici has b carrid ou. Th sabiliy aras o LTV sysms hav b drmid usig -sabiliy xamiaio ad shor-im sabiliy mhods. Usig h gralizd igvalus mhod i has also b show ha i h paramric ucios ar sricly posiiv h cosidrd LTV ilrs ar BIBO sabl. Kywords: paramric sysms, LTV, sabiliy, -sabiliy, shor-im sabiliy, roz sysm 1. WPROWADZENIE Mody badaia sabilości rozwiązań sacjoarych układów liiowych (azywaych w skróci LTI ag. liar im ivaria), opisaych rówaiami sau: y' ( ) Ay( ) x( ), (1) gdzi: y() wkor odpowidzi układu, x() wkor wymuszń, A sała macirz sau, są dobrz za w orii rówań różiczkowych [14]. Mody badaia sabilości akich układów są kywi sosowa przy projkowaiu układów srowaia, a akż układów

2 58 A. Piwowar lkryczych i lkroiczych. Iym ważym zagadiim w orii układów liiowych js badai ograiczoości rozwiązań rówań sau (1), opisujących układy. Układ azywamy sabilym w ssi BIBO (ag. boudd ipu boudd oupu) (lub irzoasowym), jśli izalżi od przyjęych waruków począkowych i dla każdgo ograiczogo wkora wymuszń wkor odpowidzi układu m x ( ) xi ( ) K1 R, (2) i1 y ( ) yi ( ) K2 R, (3) i1 js ograiczoy [1], przy czym K 1, K 2 są o dowol sał alżąc do zbioru R +. Dla układów LTI diicj sabilości w ssi Lapuova [6] i w ssi BIBO [5] są w płi rówoważ. W układach liiowych z zmiymi paramrami LTV (ag. liar im varyig) azywaych rówiż układami paramryczymi i opisaych rówaiami sau (4) [1, 9]: y' ( ) A( ) y( ) x( ), (4) gdzi: y() wkor odpowidzi, x() wkor wymuszń, A() macirz sau, kórj wyrazy są zmi w czasi, powyższ swirdzi i js prawdziw [1]. W arykul omówioo wybra i wykorzysywa w badaiach ad układami o zmiych w czasi paramrach mody wyzaczaia waruków sabilości ych układów. Isij wil różych i a ogół irówoważych diicji sabilości i mod wyzaczaia obszarów sabilości układów paramryczych LTV [1, 2, 3, 6]. Sabilość układów w ssi BIBO js jdą z częścij sosowaych diicji sabilości [1]. Na ogół róż kryria sabilości podają ylko waruki wysarczając sabilości, a wyzaczo a ich podsawi obszary sabilości układów mogą być róż. W arykul przdsawioo wybra mody badaia BIBO-sabilości układów klasy LTV. W dalszj części arykułu aalizi sabilości podday zosał doloprzpusowy ilr paramryczy pirwszgo rzędu, przdsawioy a rysuku 1a, opisay rówaim [9]: y' ( ) ( ) y( ) x( ), (5) gdzi: x(), y() sygały wjściowy i wyjściowy skcji, () ukcja paramryzująca skcji.

3 Wybra mody badaia sabilości W pracy rozważa są układy LTV o uzmiioych współczyikach ylko lwj sroy rówaia różiczkowgo (5). Dla uławiia aalizy prawa sroa rówaia sygał x() js rakoway jako wymuszi zasępcz rów x()=x 1 () g. Przy czym x 1 () o sygał wymuszia podago a wjści skcji, a g sały współczyik wzmociia układu, kóry dla układów pirwszgo rzędu rówy js co do warości pulsacji graiczj. W arykul przyjmuj się, ż ukcj paramryzując () alżą do klasy ukcji iokrsowych, opisaych przz sumę składowj sałj i ukcji o skończoj rgii. Fukcj aki moża aproksymować z dowolą dokładością uogólioymi szrgami Fourira z bazą ukcji kspocjalych [7]. Niokrsową zmiość paramru () moża zam wyrazić jako [9]: ( ) g, g k1 k C k, C R, R, (6) przy czym: g warość graicza (usaloa) ukcji paramryzującj () dla, k współczyiki odpowiadając za szybkość osiągaia warości graiczj (usaloj) ukcji (), C k współczyiki odpowiadając za warość począkową ukcji () dla =. Przykładow wykrsy iokrsowych ukcji () (6) pokazao a rysuku 1b. k k Rys. 1. Doloprzpusowy ilr LTV pirwszgo rzędu: a) modl układu, b) przykładow przbigi zmij pulsacji graiczj Fig. 1. Firs ordr low-pass LTV ilr: a) modl o a sysm, b) xampls o h wavorms o variabl cu-o agular rqucy Dla przyjęych założń (por. wzory (6)) ukcj paramryzując spłiają waruk: lim( ) g. (7) Jżli powyższy waruk js spłioy i rozparywa skcj paramrycz są sabil, o po dosaczi długim czasi skcj LTV są rówoważ sacjoarym skcjom

4 6 A. Piwowar doloprzpusowym o pulsacji graiczj g. Skcj sają się wdy klasyczymi ilrami doloprzpusowymi LTI. Skcję LTV opisaą wzorm (5) irprować moża jako paramryczą skcję doloprzpusową o zmij w czasi pulsacji graiczj () lub skcję doloprzpusową o paramrach przsrajaych zwęrzym sygałm (). 2. E-STABILNOŚĆ UKŁADÓW LTV Szczgólą klasę układów opisywaych rówaim (4) saowią układy -sabil (kspocjali sabil) [1]. Układ jdorody (8) (odpowiadający rówaiu układu LTV (2)) y' ( ) A( ) y( ), (8) js kspocjali sabily, jżli macirz A() zawira lmy będąc dla <, ) ukcjami ciągłymi, a rozwiązai x() układu rówań (8) spłiają waruk [1]: ~ a y ( ) b y(), a, b R,, ), (9) gdzi a, b dowol sał alżąc do zbioru R +. Moża wykazać [1], ż z kspocjalj sabilości układu jdorodgo (9) wyika sabilość w ssi BIBO układu ijdorodgo (4). Moda a zosała zasosowaa do rozparzia sabilości paramryczgo układu pirwszgo rzędu (rys.1). Rozwiązai rówaia jdorodgo odpowiadającgo rówaiu (5) z paramrm () okrśloym wzorm (6) wyrazić moża w asępującj posaci [9]: k y y 1 ( ) C k k 1 k aalizując rówai (1), moża zauważyć, ż zachodzi oszacowai [1]:, (1) k C k 1 k k 1 k Ck Ck Ck Ck k 1 k k k k k1 k1 k1, (11) sąd z wzoru (11) (parz akż wzór (9)) wyika sabilość w ssi BIBO rozparywago układu. Układy paramrycz pirwszgo rzędu i będą kspocjali sabil ylko w przypadku, gdy warość usaloa ukcji paramryzującj js mijsza od zra. Warukim dosaczym sabilości js waruk (7). Na uwagę zasługuj ak, ż z puku widzia sabilości układów i ma zaczia, ż zmi paramry rówaia różiczkowgo są w pwych przdziałach ukcjami przyjmującymi warości ujm. Z go wyika, ż ilr

5 Wybra mody badaia sabilości doloprzpusowy w wszyskich przypadkach zmia paramru 1 (), 2 (), i 3 (), (por. rys. 1b) js sabily. 3. STABILNOŚĆ KRÓTKOCZASOWA UKŁADÓW LTV Pojęci sabilości krókoczasowj (ag. shor im sabiliy), wprowadzo pirwoi przz G.V. Kamkova [4] w 1953 roku js sosowai obci główi w układach srowaia (p. [3, 4, 8]). W przybliżiu sabilość krókoczasową układów rozumić moża jako ich sabilość w ssi BIBO, zachodzącą w skończoym przdzial czasu [,T]. Dla układów LTV opisywaych liiowymi rówaiami sau (4) wprowadza się rzy diicj sabilości krókoczasowj [3]: względm waruków począkowych, opisaych wkorm y( ), dla x(), względm wymuszń x(), dla y( ), względm wymuszń i waruków począkowych. Najogólijszą z ich js diicja względm waruków począkowych, opisaych wkorm y( ) dla wkora wymuszń x(). Wdług j diicji układ (4) js krókoczasowo sabily dla zadaych paramrów liczbowych i ukcyjych ε, ε (), c(), R +, gdy z waruków: wyika, ż: w przdzial czasu [, +T] [3]. ) y i ( ) i1 y (, (12) x ( ) xi ( ) ( ), (13) i1 y ( ) xi ( ) c( ), (14) i1 Prakycz zaczi krókoczasowj sabilości polga a ym, ż układ isabily w klasyczym ssi i wyłączoy po upływi czasu T rakuj się jako sabily. Oszacowaia obszarów krókoczasowj sabilości układów, z. obszarów paramrów, T, (), c(), w kórych układy są sabil, przprowadza się z wykorzysaim waruków wysarczających sabilości. Wymagają o zajomości macirzy sau A() rówaia (4) lub iych, a ogół rudych do wyzaczia wilkości, akich jak: impulsowa ukcja przjścia układu, macirz rozwiązań udamalych rówaia (4), ukcja Lapuowa ip. [1, 8, 13]. Przyjmuj się, ż dalsz rozważaia doyczyć będą wyłączi aalizy sabilości z wykorzysaim kryriów wymagających zajomości macirzy A(). Moża wykazać [1],

6 62 A. Piwowar [3], ż dla zadaych paramrów, T, (), c() waruki sabilości krókoczasowj okrślają irówości: 1 M M (,, ) xp ( )d ( )xp ( )dd c( ), (15) 2 (,, ) xp A( ) d ( )xp A( ) dd c( ), (16) gdzi: 3 (,, ) xp P( )d ( )xp P( )dd c( ), (17) M () ajwiększa warość własa macirzy u u 1 A( ) A ( ) T P( ) max i, (18) 2 j1 u ( ) (1 ) u ( ), (19) i, j1 A ( ) a ( ), (2) () symbol Krockra: 1 gdy i j. (21) gdy i j Nalży zauważyć, ż obszary sabilości wyzaczo a podsawi wzorów (15) - (17) są a ogół róż (w ssi ikluzji zbiorów), a wybór kryrium umożliwiającgo wyzaczi możliwi ajwiększgo obszaru sabilości js rudy [1], [11]. Wymiio kryria zosały wykorzysa do wyzaczia waruków sabilości krókoczasowj doloprzpusowych ilrów LTV pirwszgo rzędu. o pulsacji graiczj zmij iokrsowo, zgodi z wzorm (6). Rozparywa w arykul ilry LTV opisuj rówai różiczkow (5), więc jdolmowa sau A() rówa w ym przypadku macirzy [u ()] (por. wzór (18)) oraz wskaźik P() (por. wzór (19)) wyoszą [11]: A ( ) [ u ( )] P( ) [ ( )]. (22) Jdya warość własa M macirzy [u ()] wyosi: M (). (23) Norma macirzy sau A(): ( ), gdy ( ) A ( ) a (24) i, j 1 ( ), gdy ( ).

7 Wybra mody badaia sabilości Dla założoych współczyików liczbowych i ukcyjych:, y(), x(), y( ) c( ) c cos, (25) waruki sabilości krókoczasowj okrślają wzory [11]: 1(,, ) 3(,, ) xp ( )d ( )xp ( )d d c, (26) 2 (,, ) xp A( ) d ( )xp A( ) d d c. (27) a) dla 1 () b) dla 2 () c) dla 3 () Rys. 2. Obszary sabilości krókoczasowj ilru LTV: a) z ukcją paramryzującą 1 (), b) z ukcją paramryzującą 2 (), c) z ukcją paramryzującą 3 () Fig. 2. Th shor im-sabiliy ara o LTV ilr: a) wih paramric ucio 1 (), b) wih paramric ucio 2 (), c) wih paramric ucio 3 () Jżli ukcja paramryzująca js ściśl dodaio okrśloa, o powyższ waruki dają rówoważ wyiki. Jżli ukcja paramryzująca i js ściśl dodaio okrśloa, o waruk (27) saowi sumę całk liczoych względm ukcji (), lub (), co wyika z zalżości (24). Obszary sabilości układu opisago wzorm (5) w przypadku różych ukcji paramryczych (por. rys.1b) wyzaczo a podsawi wzorów (26) i (27) przdsawioo a rysuku 2. Układy o zmiych pulsacjach graiczych 2 () i 3 () są układami sabilymi zarówo wdług kryriów sabilości krókoczasowj, jak i w ssi BIBO. Układ LTV o pulsacji graiczj zmij zgodi z przbigim 1 (), mimo ż js sabily w ssi BIBO, i spłia waruków sabilości krókoczasowj. 4. BADANIE STABILNOŚCI UKŁADÓW LTV TYPU FROZEN TIME Bzpośrdi badai -sabilości wymaga kosrukcji oszacowaia (9) rozwiązań udamalych rówań sau. W przypadku skcji paramryczych pirwszgo rzędu uzyskai ych oszacowań i js rud [1]. Dla skcji paramryczych drugigo rzędu kosrukcja oszacowań js bardzo ruda, gdyż wymaga aalizy złożoych wyrażń zawirających ukcj Bssla i ukcj hiprgomrycz [9]. W akim przypadku badai -sabilości układów implikującj ich sabilość w ssi BIBO wygodi js

8 64 A. Piwowar przprowadzać, wykorzysując pojęci uogólioych warości własych układów LTV z zamrożoymi współczyikami (ag. roz LTV sysms) [2], [9]. Moża wykazać, ż [2] układ paramryczy opisay rówaim sau (4) js ypu roz im, gdy lmy macirzy sau A() są ukcjami ciągłymi dla czasu [, ) oraz spłio są waruki: sup A() < dla, (28) sup A'() < dla. (29) Jżli uogólio warości włas i () [12], macirzy A() spłiają waruki: ( ) R, i=1,2, (3) i o układ LTV js -sabily, czyli BIBO sabily. Baday układ LTV pirwszgo rzędu opisay js rówaim (5), przbig wysępującj w ym rówaiu ukcji paramryzującj () okrśla wzór (6). Macirz sau układu opisaa js jako [9]: poiważ: 1 k A ( ) g Ck, (31) k 1 1 sup ( ) C, (32) g k 1 k 1 sup '( ) kck, (33) k 1 o układ opisay rówaim (6) js układm ypu roz im. Jdyą uogólioą warość własą rówaia (6) w ym przypadku okrśla wzór: 1 k ( ) g Ck. (34) k 1 Jżli paramry g, C k, k są ak dobra, ż dla każdgo [, ), ()<, o baday układ (5) w ym przypadku js rówiż BIBO-sabily. Z wzoru (34) wyika, ż współczyiki k i wpływają a sabilość ilru, jśli ylko k >, jżli poado pozosał współczyiki ukcji paramryzującj (6) spłiają dodakowy waruk: 1 k 1 C, (35) k czyli ukcja paramryzująca (7) js ściśl dodaio okrśloa, o ilry opisa rówaim (6) z iokrsową ukcją paramryzującą są BIBO-sabil. Zgodi z powyższym, spośród badaych układów ylko ilr LTV z pulsacją graiczą 3 () js sabily. g

9 Wybra mody badaia sabilości PODSUMOWANIE W ramach badań doyczących aalizy skcji paramryczych prowadzoo prac doycząc aalizy sabilości ych skcji różymi modami. Dla skcji pirwszgo rzędu wykorzysao bzpośrdią modę badaia -sabilości. Wykazao, ż skcj aki mogą być sabil, gdy ukcj paramryzując w skończoych przdziałach przyjmują ujm warości. Podob wyiki uzyskao aalizując waruki zw. sabilości krókoczasowj skcji LTV. Przy badaiu uogólioych warości własych układów LTV ypu roz im uzyskuj się wyiki arzucając większ ograiczia a przbig zmiości ukcji paramryzujących i wymagając ich ściśl dodaij okrśloości. Nalży zwrócić uwagę a ak, ż moda podaj ylko waruk wysarczający sabilości układów paramryczych. BIBLIOGRAFIA 1. D Aglo H.: Liar Tim-Varyig Sysms. Aalysis ad Syhsis. Ally ad Baco, Ic. Boso Da Cuha J.: I sabiliy Rsuls or Slowly im varyig dyamic sysms o im scals. J. Mah Ad Appl. 27, No. 328, p Davari A., Ramaahaiah, R.K.: Shor-Tim Sabiliy Aalysis o Tim-Varyig Sysms. Proc. Symp. o Sysm Thory, 2-22 March 1994, p Dorao P., Wis S, L., Ia, E.: Comm o Fii-Tim Sabiliy udr Prurbig Forcs ad o Produc Spacs. IEEE Tras. o Auomaic Corol 1967, Vol. 12, Issu 3, p Kaczork T.: Corol ad Sysm Thory. PWN, Warszawa Kaszyński R.: Sabiliy o paramric, aalog low-pass ilr, IEEE I. Co. o Emrgig Tchologis ad Facory Auomaio, Procdigs. ETFA ' h, Vol. 1, Oc p Mauri K.: Aalysis, Par I. PWN, Warszawa Moulay E. Pr ruqu i W.: Fii-Tim Sabiliy ad Sabilizaio o a Class o Coiuous Sysms. J.Mah Aal Appl. 26, No 323, p Piwowar A: Aalysis o paramric sysms wih irs ad scod ordr scios. Rozprawa dokorska. Wydział Elkryczy, Polichika Śląska, Gliwic Walczak J., Romaowska A.: BIBO sabiliy aalysis o irs ordr paramric scio. XIII Co. ZKwE, Pozań, kwiciń 28, p Walczak J., Piwowar A.: Shor im sabiliy o irs ordr LTV ilrs. Rozdział w Moograii ZKwE 29 pod przwodicwm PAN, Pozań 29, p

10 66 A. Piwowar 12. Wu M.Y: A o o sabiliy o liar im varyig sysms. IEEE Tras. o Auomaic Corol 1974, Vol. 19, No. 2, p Zhu J., Johso C. D.: Nw Rsuls i h Rducio o Liar Tim Varyig Sysm. SIAM J. Corol ad Opimizaio 1998, Vol. 27, No.3, p Zwilligr d.: Hadbook o dirial quaios. Acadmic Prss, Nw York Dr iż. Aa PIWOWAR Polichika Śląska Wydział Elkryczy, Isyu Elkrochiki i Iormayki ul. Akadmicka Gliwic Tl. (32) ; -mail aa.piwowar@polsl.pl