Analiza wybranych własności rozkładu reszt

Transkrypt

1 Analiza wybranych własności rozkładu rsz

2 Poprawni skonsruowany i oszacowany modl, kóry nasępni ma być wykorzysany do clów analizy i prdykcji, poza wysokim sopnim odzwircidlania zmian warości mpirycznych powinin akż charakryzować się pwnymi pożądanymi własnościami rozkładu rsz. Ich wryfikacji dokonuj się za pomocą odpowidnich sów saysycznych. I ak rszy dobrgo modlu powinny m.in. charakryzować się losowością, normalnością i symrią. Ponado, w przypadku gdy dan mpiryczn mają charakr szrgów czasowych, nalży sprawdzić, czy ni wysępuj zjawisko auokorlacji rsz modlu.

3 Auokorlacja odchylń losowych oznacza liniową zalżność między odchylniami losowymi z różnych jdnosk czasu. Miarą siły i kirunku auokorlacji odchylń losowych ε z okrsu i odchylń losowych ε -τ z okrsu -τ js współczynnik korlacji: ρ τ =ρ(ε, ε -τ ) nazywany współczynnikim auokorlacji rzędu τ. Oszacowanim go współczynnika js współczynnik auokorlacji rsz i -τ okrślony wzorm: n n n r

4 Do wryfikacji hipozy o braku auokorlacji odchylń losowych ε i ε -1, j. hipozy H 0 : [ρ 1 =0], wobc hipozy alrnaywnj H 1 : [ρ 1 0] służy s Durbina-Wasona. Sprawdzianm j hipozy w wypadku auokorlacji dodanij js saysyka: n d mp Saysyka d przyjmuj warości z przdziału [0,4], jżli hipoza zrowa js prawdziwa, o d=. Warość d< świadczą o isniniu auokorlacji dodanij, naomias warości d> świadczą o isniniu auokorlacji ujmnj. Zam w zalżności od orzymanj warości d rzba sprcyzować dokładnij hipozę alrnaywną. n 1 1.

5 Przy auokorlacji ujmnj nalży wyznaczyć d wdług wzoru: d = 4 - d. Obliczoną warość saysyki d (lub d ) porównuj się z dwoma warościami kryycznymi: d L i d U odczyanymi z ablic Durbina-Wasona dla przyjęgo poziomu isoności α oraz n i k-1 sopni swobody (n liczba obsrwacji, k-1 liczba zminnych objaśniających w modlu, bz zminnj ożsamościowo równij jdn). Rguła dcyzyjna js nasępująca. Hipozę zrową (o braku auokorlacji) odrzucamy (na korzyść hipozy alrnaywnj) w przypadku, gdy warość d obliczona na podsawi obsrwacji będzi mnijsza od d L. W przypadku, gdy d>d U, swirdzamy brak podsaw do odrzucnia hipozy H 0. W przypadku, gdy d L d d U, ni podjmujmy żadnj dcyzji (obszar nikonkluzywności).

6 W syuacji, gdy d L d d U, możmy posłużyć się współczynnikim auokorlacji ρ, kóry z d powiązany js nasępująco: Jdnoznaczni dla danj liczby obsrwacji n i poziomu ufności α można odczyać z ablic warość isongo współczynnika auokorlacji. Np. przyjmijmy, ż ρ = 0,6, wówczas d = - ρ d = 0,8 Wszyski warości d mnijsz od 0,8 świadczą wówczas o auokorlacji. d d.

7 Badani isoności auokorlacji odchylń losowych dowolngo rzędu moż być równiż przprowadzon za pomocą su isoności współczynnika korlacji. Ts n pozwala na zwryfikowani hipozy H 0 : [ρ τ =0] wobc hipozy alrnaywnj H 1 : [ρ τ 0]. Sprawdzianm j hipozy js saysyka: r n I. 1 r Z ablic -Sudna dla przyjęgo poziomu isoności α oraz dla m=n-τ- sopni swobody odczyuj się warość kryyczną I*. Jśli I τ I*, ni ma podsaw do odrzucnia hipozy H 0 ; współczynnik auokorlacji ρ τ js niisony. Jśli I τ >I*, hipozę H 0 nalży odrzucić na rzcz hipozy H 1 ; współczynnik auokorlacji ρ τ js isony.

8 Badani normalności rozkładu odchylń losowych sprowadza się do wryfikacji hipozy, ż dysrybuana odchylń F(ε) js równa dysrybuanci rozkładu normalngo F N (ε). Wryfikujmy więc hipozę H 0 : [F(ε)=F N (ε)] wobc hipozy H 1 : [F(ε) F N (ε)]. Do wrydfikowania hipozy o normalności rozkładu służy m.in. s zgodności Hllwiga i s normalności Shapiro-Wilka. Dla małj próby sosuj się s Hllwiga. Js o w isoci s zgodności, za pomocą kórgo można zwryfikować hipozę o dowolnym rozkładzi. Ts n opira się bowim na własności znanj saysyki: jżli zminna losowa X ma rozkład F, o zminna losowa F(X) ma rozkład jdnosajny.

9 Procdura su Hllwiga js nasępująca: 1. Przprowadza się sandaryzację rsz wdług wzoru: gdzi: u Sˆ 1,,..., n, - śrdnia arymyczna rsz (=1,,,n); Ŝ - odchylni sandardow rsz (=1,,,n) obliczan wdług wzoru: n ˆ 1 S. n 1 Jśli badania doyczą modlu liniowgo szacowango modą najmnijszych kwadraów, o śrdnia arymyczna rsz równa js 0.. Zsandaryzowan rszy porządkuj się wdług warości nimaljących ak, ż u (1) u () u (n). 3. Z ablic dysrybuany rozkładu normalngo odczyuj się warość dysrybuany Φ(u () )=P(u<u () ).

10 4. Wyznacza się zw. cl l (=1,,,n), kórymi są przdziały liczbow o rozpięości 1/n powsał po podzilniu odcinka [0,1] na n równych części. 5. Warości dysrybuany Φ(u () ) przyporządkuj się odpowidnim clom i okrśla się liczbę cl pusych K, j. akich, do kórych ni rafiła żadna warość Φ(u () ). 6. Z ablic su zgodności Hllwiga dla danj liczby obsrwacji n oraz dla przyjęgo poziomu isoności α odczyuj się warości kryyczn K 1 i K. 7. Jżli K 1 K K, ni ma podsaw do odrzucnia hipozy zrowj. Odchylnia losow mają wówczas rozkład normalny. Naomias jśli K<K 1 lub K>K, o hipozę zrową nalży odrzucić na rzcz hipozy alrnaywnj. Odchylnia losow ni mają wówczas rozkładu normalngo.

11 Procdura su Shapiro-Wilka przdsawia się nasępująco: 1. Porządkuj się rszy wdług warości nimaljących ak, ż orzymuj się ciąg: (1), (),, (n).. Oblicza się warość saysyki: W [ n/ ] gdzi: [n/] część całkowia liczby n/; a n-+1 współczynnik Shapiro Wilka. 1 a n Z ablic su Shapiro-Wilka dla przyjęgo poziomu isoności α odczyuj się warość W*. n 4. Jśli W W*, ni ma podsaw do odrzucnia hipozy H 0, mówiącj, ż rozkład odchylń losowych js normalny. Naomias jżli W<W*, hipozę H 0 nalży odrzucić na rzcz hipozy H 1, co oznacza, ż rozkład odchylń losowych ni js normalny. ( n1) ( ),

12 Tsowani losowości ma związk przd wszyskim z wyborm posaci analiycznj modlu. Zgodni z założniami sandardowgo modlu liniowgo zminna objaśniana js liniową funkcją zminnych objaśniających plus losowa korka. W przypadku, gdy wspomnian korky mają przz dłuższy okrs jdnakow znaki, można przypuszczać, ż zosał popłniony błąd spcyfikacji, polgający na nirafnym wyborz posaci analiycznj modlu lub nirafnym wyborz zminnych objaśniających. Do wryfikacji hipozy H 0 : ε losowy wobc hipozy H 1 : ε nilosowy służy s liczby srii.

13 Procdura dla go ypu su js nasępująca. Dla dango ciągu rsz 1,,, n przyporządkowujmy warościom dodanim symbol a ( >0), warościom ujmnym zaś symbol b ( <0). Warości =0 prakyczni nigdy ni wysępują. Jśli jdnak zdarzy się aka syuacja, o nalży zwiększyć dokładność obliczń. Jśli ni js o możliw, nalży umowni, wdług pwnj zasady, nikórym rszom zrowym przypisać znak dodani, pozosałym ujmnym. W osaczności rszy aki można zignorować (zmnijsza się wówczas akż wilkość próby) al js o najgorsz rozwiązani.

14 Przz srię rozumi się ciąg jdnakowych symboli, np. aaa lub bbb. Nasępni oblicza się mpiryczną liczbę srii K. W przypadku, gdy korzysamy z su dwusronngo, z ablic su srii odczyujmy warości kryyczn K 1 i K (przy zadanym poziomi isoności α). Jżli K 1 K K o swirdzamy, ż brakuj podsaw do odrzucnia hipozy zrowj. Jżli K <K 1 (zby mała zaobsrwowana liczba srii) lub K >K (zby duża zaobsrwowana liczba srii), o hipozę o losowości odrzucamy. W przypadku su jdnosronngo podsawą do odrzucnia hipozy zrowj js swirdzni zby małj liczby srii. H 0 odrzuca się, jżli K <K* (gdzi K* js warością kryyczną odczyaną z ablic jdnosronnych lub ż z ablic su dwusronngo, al dla poziomu isoności α).

15 Badani niobciążoności odchylń losowych modlu przprowadza się dla modli niliniowych z względu na paramry srukuraln. Sprowadza się ono do zwryfikowania hipozy H 0 : [E(ε)=0] wobc hipozy alrnaywnj H 1 : [E(ε) 0]. Sprawdzianm hipozy js saysyka n 1 I. ˆ gdzi: - śrdnia arymyczna rsz (=1,,,n); Ŝ - odchylni sandardow rsz (=1,,,n). S

16 Z ablic su -Sudna dla n-1 sopni swobody oraz dla przyjęgo poziomu isoności α odczyuj się warość kryyczną I*. Jśli I I*, ni ma podsaw do odrzucnia hipozy H 0. Warość oczkiwana odchylń losowych js wówczas niisoni różna od zra i odchylnia są niobciążon. Naomias jśli I>I*, hipozę H 0 nalży odrzucić na rzcz hipozy H 1. Warość oczkiwana odchylń losowych js wówczas isoni różna od zra i odchylnia są obciążon.

17 Koljnym odsępswm od założń klasycznj mody najmnijszych kwadraów js rzygnacja z posulau, aby wariancj składnika losowgo były sał w czasi. W prakyc wariancj składnika losowgo (jśli ni są spłnion klasyczn założnia) mają ndncję do wzrasania lub zmnijszania się. W clu wykrycia go zjawiska sosuj się s Goldflda i Quanda. Ts n polga na zwryfikowaniu hipozy o równości wariancji odchylń dwóch skrajnych grup obsrwacji. Rozparuj się aki dwa podzbiory obsrwacji, co do kórych isnij przypuszczni, ż wariancja odchylń js najmnijsza i największa. Nich n 1 oznacza liczbę obsrwacji w pirwszym podzbiorz, j. obsrwacji o numrach =1,,,n 1, a n liczbę obsrwacji w drugim podzbiorz, j. obsrwacji o numrach =n-n +1, n-n +,,n.

18 Do zwryfikowania hipozy o równości wariancji odchylń losowych obu podzbiorów, j. hipozy H 0 : [σ ε,1=σ ε,], wobc hipozy alrnaywnj H 1 : [σ ε,1<σ ε,] moż być wykorzysany s F. Sprawdzianm hipozy js saysyka: S, F, S gdzi: S,1,1 wariancja rszowa n 1 pirwszych obsrwacji: n1 1 ; S 1 1 n1 k 1 1 S, wariancja rszowa n pirwszych obsrwacji: n 1 S,. n k 1 nn 1 W powyższych wzorach 1 i oznaczają śrdni arymyczn odpowidnich ciągów rsz.,

19 Z ablic su F dla przyjęgo poziomu isoności α oraz m 1 =n -k-1 i m =n 1 -k-1 sopni swobody odczyuj się warość kryyczną F*. Jśli F F*, ni ma podsaw do odrzucnia hipozy H 0 ; wariancja odchylń losowych js sała w czasi. Jśli F>F*, hipozę H 0 nalży odrzucić na rzcz hipozy H 1 ; w miarę upływu czasu wariancja odchylń losowych wzrasa.

20 Obsrwacj odchylając się in minus (in plus) od warości modlowych powinny sanowić połowę (w snsi probabilisycznym) wszyskich obsrwacji. Badani o sprowadza się do zwryfikowania hipozy zrowj, głoszącj ż składnik losowy ma rozkład symryczny: m 1 H0 :, n Wobc hipozy alrnaywnj, głoszącj, ż rozkład składnika rszowgo ni js symryczny: m 1 H1 :, n przy czym m js liczbą rsz odchylających się in plus, a n liczbą wszyskich obsrwacji.

21 Do wryfikacji hipozy zrowj służy saysyka: mp m n 1 n 1 W przypadku gdy n 30, saysyka ma przy założniu prawdziwości H 0 rozkład -Sudna o n-1 sopniach swobody, naomias dla n>30 saysyka ma rozkład normalny. m n 1 m n.

22