X, K, +, - przestrzeń wektorowa

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "X, K, +, - przestrzeń wektorowa"

Fabian Witek
5 lat temu
Przeglądów:

1 Zmiaa bazy przstrzi wktorowj Diicja 1. X, K, +, - przstrzń wktorowa ad ciałm K ( (,,..., ),,..., ) - owa baza - stara baza Macirzą przjścia P od do azywamy macirz odwzorowaia Idtyczościowgo P przstrzi X w sibi wyjściowo traktowaj z bazą, a doclowo z bazą X X (, ) P M a + a a a + a a ( 1 ) 1 1 [ 1] ( ) a + a a [ a + a a ] 1 1 ( ) a + a a [ a + a a ] 1 1 P a a a a a a a a a Pirwszą kolumę macirzy przjścia staowią współrzęd pirwszgo wktora owj bazy względm starj bazy. Drugą kolumę macirzy przjścia staowią współrzęd drugigo wktora owj bazy względm starj bazy. -tą kolumę macirzy przjścia staowią współrzęd -tgo wktora owj bazy względm starj bazy. Przykład 1. X, K, +, - przstrzń wktorowa dim X 3 (,, ) 3 ( ),, 3 - stara baza - owa baza Wykład dr Magdaly Sękowskij stroa 1 z 5 Część 8 - Zmiaa bazy

2 Sprawdzamy, z jst bazą: α + β + γ 3 α1 β( 1 ) γ ( 1 3) ( α β γ ) ( β γ ) ( γ ) ,,3 - wktory liiowo izalż α + β + γ β + γ γ α β γ 3 i dimx3, więc jst bazą [ 1,0,0] [ 1,1, 0] P [ 1,1,1] WNIOSEK 1) macirz P jst macirzą iosobliwą P oraz P 1 jst macirzą odwrotą ) [ 1,,..., ] [ 1,,..., ] 1 1 X X Na podstawi postaci macirzowj: Przykład ,,3,, [ ] [ ] X P X X P X [ 3, 5,3] Wykład dr Magdaly Sękowskij stroa z 5 Część 8 - Zmiaa bazy

3 Twirdzi 1. (o zmiai macirzy odwzorowaia przy zmiai baz przstrzi) Z: ( X, K, +, ),( Y, K, +, ) - przstrzi wktorow dim X m 1 ( 1,,..., m ) ( l1, l,..., l ) bazy w X dimy 1 ( 1,,..., m ) ( l1, l,..., l ) : X Y P A M ( 1, ) M (, ) T: Q 1 A P P 1 1 Q Q jst odwzorowaim liiowym bazy w Y Przykład. ( X, K, +, ) 1 ( 1,, 3) (,, ) : X ( ) Y l + 3l l + l 3 l ( Y, K, +, ) ( l, l ) (, ) l l l l + l 1 l l + l A M ( 1, ) M, P Q Q A P Wykład dr Magdaly Sękowskij stroa 3 z 5 Część 8 - Zmiaa bazy

4 Macirz Q 1 Q 1 zajdujmy rozwiązując układ: y y X, K, +, : X 1 1 X - domorizm P A P P ( 1, 1) (, ) A M M Diicja. a) macirz A, azywamy macirzami rówoważymi m m : : 1 P, Qiosobliw Q A P b) macirz A, azywamy macirzami podobymi : : 1 Piosobliwa P A P 1) dwi macirz tgo samgo odwzorowaia liiowgo względm różych baz są rówoważ ) dwi macirz tgo samgo domorizmu w różych bazach są podob UWAGA Moża udowodić, ż dwi macirz rówoważ rprztują to samo odwzorowai liiow w odpowidio wybraych i ustaloych przstrziach i bazach, oraz ż dwi macirz podob rprztują t sam domorizm w odpowidio wybraych i ustaloych przstrziach i bazach. Wykład dr Magdaly Sękowskij stroa 4 z 5 Część 8 - Zmiaa bazy

5 Diicja 3. Rzędm macirzy A azywamy maksymalą ilość kolum liiowo izalżych (traktowaych jako wktory w przstrzi K ) UWAGA Maksymala ilość kolum i wirszy jst taka sama 1) a) A m:rza mi {, m} T b) rz A rza ) A M r rza 3) a) macirz A, są rówoważ rza rz b) macirz A, są podob rza rz 4) rząd macirzy i zmii się, jżli a) macirz pomożymy przz α 0 b) zmiimy koljość wirszy albo koljość kolum c) do jdgo wirsza albo kolumy dodamy kombiacją liiową pozostałych Przykład rza rz 4 rz rz rza Wykład dr Magdaly Sękowskij stroa 5 z 5 Część 8 - Zmiaa bazy

Podobne dokumenty

Podprzestrzenie macierzowe

Podprzestrzenie macierzowe Podprzestrzeie macierzowe Defiicja: Zakresem macierzy AŒ mâ azywamy podprzestrzeń R(A) przestrzei m geerowaą przez zakres fukcji ( ) : m f x = Ax ( A) { Ax x } = Defiicja: Zakresem macierzy A Œ âm azywamy