Andrzej Leśnicki Uogólniony szereg Fouriera 1/1 SZEREGI FOURIERA. Uogólniony szereg Fouriera. x, gdy ich iloczyn x, y 0. całkowalnego z kwadratem

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Andrzej Leśnicki Uogólniony szereg Fouriera 1/1 SZEREGI FOURIERA. Uogólniony szereg Fouriera. x, gdy ich iloczyn x, y 0. całkowalnego z kwadratem"

Kazimierz Jóźwiak
5 lat temu
Przeglądów:

1 ndrzj Lśnici Uoólniony szr Fourira / SZEREGI FOURIER Iloczyn salarny, y b a Uoólniony szr Fourira, y dwóch synałów zspolonych y d, Dla iloczynu salarno zachodzi symria hrmiowsa Dwa synały, y są oroonaln y Norma synału całowalno z wadram y w przdzial a b, y y,., dy ich iloczyn, y., d b a Sończony lub nisończony cią synałów,, js ciąim oroonalnym, dy, m, n dla m n i, dla ażdo. ią oroonalny,, js ciąim oronormalnym, dy,., ią oroonalny js zupłny, dy poza ym ciąim ni isnij w przsrzni synałów całowalnych z wadram synał (oprócz synału zrowo), óry byłby oroonalny do wszysich synałów ciąu. Uoólniony szrim Fourira synału a b wzlędm ciąu oroonalno,, nazywamy szr, c, c całowalno z wadram w przdzial, W przypadu, dy cią,,, js oronormalny i zupłny (js bazą oronormalną), o zachodzi równość Parsvala c

2 ndrzj Lśnici ryonomryczny szr Fourira / ryonomryczny szr Fourira W ryonomrycznym szru Fourira wybrano jao cią oronormalny, zupłny (bazę) cią funcji ryonomrycznych,, sin,, sin,, sin, Są o funcj orsow z podsawowym orsm, dzi pulsacja nazywa się pulsacją podsawową. Dzięi mu będzi możliw rozwinięci w szr ni ylo synału orślono w przdzial, al ż synału orsowo, orślono na całj osi czasu. Rozwinięci rzczywiso synału orsowo Fourira dzi dla a a a b sin d js warością śrdnią w orsi synału, a dla a d b sin d Sracamy zapis ych cał. w ryonomryczny szr,, Poniważ obowiązuj wzór ryonomryczny b a b sin a b arc a o między paramrami obu posaci szru ryonomryczno zachodzą związi a,, b a b, arc,,, a Współczynnii synału orsowo nazywają się widmm ampliudowym, a ąy widmm fazowym. Synał orsowy ma widmo dysrn, prążow. Prążi widma wysępują na pulsacjach i nazywają się harmonicznymi synału. Warości prążów widma ampliudowo są podawan w aich samych jdnosach ja synał, zn. jśli synał js synałm napięciowym, o warości prążów są podawan w wolach. Jśli synał js synałm prądowym, o warości prążów są podawan w amprach. Warości prążów widma fazowo są podawan w radianach lub sopniach.

3 ndrzj Lśnici ryonomryczny szr Fourira / Poniważ dla ażdo zbiżno szru (ni ylo szru Fourira) wyrazy zmirzają do zra przy, o prążi widma ampliudowo malją do zra przy pulsacji zmirzającj do nisończoności. Doładnij, jżli synał js funcją ciąłą wraz pochodnymi do n rzędu n -o włączni, o lim. Równość Parsvala dla ryonomryczno szru Fourira d a a b Równość a oznacza, ż moc synału orsowo moż być obliczona w dzidzini czasu P d lub w dzidzini częsoliwości jao suma ważona podnisionych do wadrau prążów widma ampliudowo. Podnision do wadrau widmo ampliudow nazywa się widmm mocy. W przypadu orsowych synałów napięciowych i prądowych moc synału js mocą na rzysancji jdnosowj. Warość prąża widma mocy js podawana w waach. Pirwias z mocy synału na rzysancji jdnosowj js warością suczną synału orsowo X s P. Warunim dosacznym isninia szru Fourira js bzwzlędna całowalność synału d Js o zw. słaby warun Dirichla. Szr Fourira synału ma w ażdym punci przdziału warość równą synałowi rozwijanmu, dy są spłnion zw. mocn waruni Dirichla: a) przdział można podzilić na sończoną liczbę przdziałów owarych, w órych js funcją monooniczną; b) w przdzial isnij sończona liczba niciąłości pirwszo rodzaju (soów), w órych. Przyładm synału orsowo, óry ni spłnia warunów Dirichla js synał.

4 ndrzj Lśnici ryonomryczny szr Fourira / Dla synałów orsowych oblicza się: - współczynni szczyu s X s - zawarość harmonicznych h,, - współczynni zawarości harmonicznych P P h h h h P Zbiżność szru Fourira na przyładzi fali wadraowj o rozwinięciu sin sin sin 5 sin W miarę uwzlędniania coraz więszj liczby harmonicznych aprosymacja js coraz doładnijsza, al ylo w snsi śrdnio błędu wadraowo. W snsi warości bzwzlędnj odchyłi doładność aprosymacji ni polpsza się z wzrosm liczby harmonicznych. mpliuda pirwszo przrzuu ni malj do zra i pozosaj na poziomi ooło 8%. Nazywa się o zjawisim Gibbsa.

5 ndrzj Lśnici Wyładniczy szr Fourira / Wyładniczy szr Fourira W wyładniczym szru Fourira wybrano jao cią bazę cią funcji wyładniczych j j j j j j,,,,,,,, Wyładniczy szr Fourira dzi j D D j d są współczynniami zspolonymi D j D spłniającymi zalżność D D. Widmo D js widmm dwusronnym, dyż indsy rozciąają się od minus do plus nisończoności. Widmo ampliudow js funcją parzysą, a widmo fazow funcją niparzysą dla synału rzczywiso. Z przszałcnia j j j D D D D D D widać, ż między współczynniami ryonomryczno i wyładniczo szru Fourira zachodzą związi D, D, ar D Równość Parsvala P d D D Przyład 55 Przyład 56

6 ndrzj Lśnici Właściwości szru Fourira / Właściwości szru Fourira Właściwość. Działani obliczania współczynniów rozwinięcia w szr Fourira js działanim liniowym. Jśli synał orsowy js ombinacją liniową synałów orsowych, o współczynnii jo rozwinięcia w szr Fourira są ombinacją współczynniów rozwinięć sładowych synałów. Współczynnii rozwinięcia w szr Fourira są wpros proporcjonaln do ampliudy synału orsowo. Właściwość. Przsunięci synału orsowo w pioni na osi rzędnych spowoduj, ż w widmi zmini się ylo prąż sładowj sałj, a przsunięci synału w poziomi na osi czasu spowoduj, ż w widmi zmini się ylo widmo fazow o warość : E, E Właściwość. Jżli rzczywisy synał orsowy js funcja parzysą, o jo widmo dwusronn js czyso rzczywis, a w jo ryonomrycznym rozwinięciu w szr Fourira wysępują wyłączni sładow osinusoidaln, dyż sładow sinusoidaln zrują się b. Właściwość. Jżli rzczywisy synał orsowy po odrzucniu sładowj sałj js funcją niparzysą, o jo widmo dwusronn js czyso urojon, a w jo ryonomrycznym rozwinięciu w szr Fourira wysępują wyłączni sładow sinusoidaln, dyż sładow osinusoidaln zrują się a.. Właściwość 5. Jżli rzczywisy synał orsowy po odrzucniu sładowj sałj ma właściwość anysymrii, o w widmi synału wysępują wyłączni niparzys harmoniczn,, 5,. W synal anysymrycznym w dwóch oljnych półorsach przbi różni się ylo znaim. Właściwość 6. Synał nazywamy odcinami ładim w przdzial a b, dy funcj i są w ym przdzial ciął poza sończoną liczbą punów niciąłości js odcinami ładi, o równość pirwszo rodzaju (soów). Jżli synał orsowy j D moż być dwusronni zróżniczowana j j D

7 ndrzj Lśnici Właściwości szru Fourira / Właściwość 7. Jżli synał orsowy o zrowj warości śrdnij D js j D odcinami ciąły, o w równości nioznaczoną y d E D j j, E y ała z synału orsowo o zrowj warości śrdnij. ai, ż y można dwusronni obliczyć całę d d daj synał orsowy y Właściwość 8. Z zmianą orsu synału orsowo ni zminia się wysoość prążów widma ampliudowo i fazowo, a zminia się jdyni sala na osi częsoliwości. Szri Fourira ważnijszych synałów orsowych a) b) sin j sin X s X s c) sin sin X s

8 ndrzj Lśnici Właściwości szru Fourira / X s X s ) f) ) h) X s X s d) sin sin sin sin sin X s

9 ndrzj Lśnici Synały orsow w uładach liniowych / Synały orsow w uładach liniowych Synał sinusoidalny j synału sinusoidalno: y j j pulsacji, przchodząc przz uład liniowy o ransmiancji, zminia swoją ampliudę i fazę o warości zalżn od warości ransmiancji na. ar Wjściowy synał orsowy przdsawiony w posaci szru Fourira js sumą synałów sinusoidalnych, a uład liniowy spłnia zasadę suprpozycji. Dlao dla orsowo synału wjściowo a) b) y, uład ma odpowidź o nasępującj posaci j j ar y j j ar j c) 5 5 j ar j 5 5 d) ar ar Widma synałów orsowych w uładzi liniowym: a) ransmisja synału w uładzi; b) widmo synału wjściowo; c) chararysyi częsoliwościow uładu; d) widmo synału wyjściowo Przyład 57 id.

Podobne dokumenty

Sygnały, ich klasyfikacja, parametry, widma

Sygnały, ich klasyfikacja, parametry, widma ndrz Lśnici Synały, ich lasyfiaca, paramry, widma / Synały, ich lasyfiaca, paramry, widma ndrz Lśnici, PG Kadra Sysmów Mulimdialnych, Gdańs. Poęci synału W współczsnych społczńswach w obiu znadu się oromna