Teoria Sygnałów. II rok Geofizyki III rok Informatyki Stosowanej. Wykład 4. iωα. Własności przekształcenia Fouriera. α α

Transkrypt

1 ora Sygałów rok Gozyk rok ormatyk Stosowaj Wykład 4 Własośc przkształca ourra własość. Przkształc ourra jst low [ β g ] βg dowód: rywaly całkowa jst opracją lową. własość. wrdz o podobństw [ ] dowód : rywaly całkowa przz podstawa. własość 3. symtr π dowód: tż trywaly własość 4. Przsuęc w dzdz czasu przsuęc przstrz dowód: tż trywaly al [ ] t t t [ ] d t dt t dt

2 własość 6. wrdz o modulacj dowód: własość 5. Przsuęc w dzdz częstotlwośc dowód: d acto dowód dtyczy jak dla poprzdj własośc. [ ] [ ] [ ] cos [ ] [ ] d d d d cos cos [ ]? s A l wyos wrdz o modulacj

3 własość 7. O pochodj w dzdz czasu Jżl : - sygał st jgo kolj pochod aż do rzędu - są cągł, - pochoda rzędu stj praw wszędz, -sygał wszystk jgo pochod aż do rzędu posadają trasormaty ourra, czyl dostatcz szybko dążą do zra dla t ± to zachodz: [ ] dowód: d d π π π stąd: d d { } d π d d d d d d d d d ϕ własość 8. O całkowau w dzdz czasu Jśl ukcja spła astępujący waruk: warukow ograczoośc wyraża t dt Dowód: jsl al czyl lm t dt Φ to Φ wc Φ ϕ Φ t dt dϕ d lub t dt to zachodz: co jst rówoważ

4 własość 9. wdmo splotu dwóch sygałów [ g ] G dowód: [ g ] t G t g t dt t t dt G t dt G d t g t Na podstaw twrdza o wzajmośc moża woskować, ż zachodz astępując twrdz: d dt [ g ] [ G ] π własość. wdmo ukcj korlacj dwóch sygałów t g * t dt G ϕ * g Dowód: wystarczy podstawć do dowodu twrdza o sploc za g ukcję g * t własość. wrdz o wzajmośc Raylgha g * d G * d π dowód: π g * d π π d g * d g * d d G* d Na podstaw twrdza o wzajmośc moża woskować, ż zachodz astępując twrdz: własość. wrdz Parsvala d d dowód : wyka wprost z poprzdgo twrdza.

5 Zstaw wzorów twrdzń r Własość Wzór Przkształc ourra jst low wrdz o podobństw 3 wrdz o przsuęcu 4 wrdz o przsuęcu 5 wrdz o przsuęcu trasormaty o modulacj 6 wrdz o różczkowau 7 wrdz o różczkowau trasormaty 8 wrdz o całkowau 9 wrdz Parsvala wrdz o wzajmośc Raylgha wrdz o sploc [ β ] β [ ] [ ] [ cos ] [ ] [ ] [ ] t dt d d g d G d [ ] [ g ] G Klka podstawowych trasormat ourra Przykład: Oblczyć trasormację ourra ukcj Π gdz Π mpuls prostokąroy o szrokośz Π π s π d Sc π sc d Π d s Wosk z tw. o symtr własość 3 Klka uwag: m szrszy mpuls tym węższa ukcja sc a odwrót Brak częstotlwośc */ w wdm Choć wdmo jst ukcją o ograczoym ośku ma skończoą rgę wosk z własośc Aby sygał mał skończo wdmo mus mć skończoy czas trwaa

6 Przykład: Oblczyć trasormację ourra dlta ukcj : d d d d własość próbkująca dlty Draca gdz jst stałą ukcją jdostkową w przdzal -, własość 4 własość 5 Przdstawmy obc zwązk trasormacj ourra z szrgam ourra. Rozpoczyamy od rozwęca dystrybucj Sza t c Współczyk rozwęca są rów: c Oblczmy jszcz trasormację ourra ukcj sza. Nch będz sygałm mpulsowym okrśloym w przdzal -/,/, zaś jgo wdmm. Ozaczmy jako przdłuż okrsow sygału. Sygał możmy zapsać w postac: d d π gdz d w szrg ourra Sza to ukcja okrsowa. π π l d węc c cos Jst to ukcja rzczywsta - parzysta t t cos d Jst to rówż dystrybucja grzbowa, al o j odlgłośc prążków -

7 Na podstaw twrdza o sploc możmy węc otrzymać: t t t t t t π π korzystając z własośc ozaczając otrzymamy oraz z uwag a to, ż wdmo sygału okrsowgo ma postać: π otrzymujmy pamętaj π Wosk: współczyk rozwęca sygału okrsowgo w zspoloy szrg ourra są okrślo przz wartośc wdma środkowgo lmtu tgo sygału w puktach. [ t t ] Okrsowość w dzdz czasu daj w rzultac próbkowa w dzdz częstotlwośc. Przykład: t u t t [ t ]

8 [ ] [ ] s cos d d d u u d d d d d sg d sg sg jszcz trasormaty uogólo cztrch popularych ukcj: Klka podstawowych trasormat ourra cd.

9 Cd. podstawowych trasormat ourra