MATEMATYKA zadania domowe dla studentów Ekonomii, rok 2016/17 Zestaw opracowała dr inż. Alina Jóźwikowska

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "MATEMATYKA zadania domowe dla studentów Ekonomii, rok 2016/17 Zestaw opracowała dr inż. Alina Jóźwikowska"

Transkrypt

1 MATEMATYKA zadaia domow dla studtów Ekoomii rok /7 Zstaw opraowała dr iż Alia Jóźwikowska PRACA DOMOWA 5/EK CIĄGI LICZBOWE Zad Zbadać mootoizość iągu o wyrazi ogólym! a a b a a! zad Wykazać ograizoość iągu o wyrazi ogólym a a b a Zad Oblizyć graię iągu o wyrazi ogólym a a a a 5 7 a a a 8 a 9 a a a a 5 a 5 a a 5 Zad Oblizyć graię iągu o wyrazi ogólym a a a a a 5 a a 5 7 a 8 a odp: zad a maljąy b rosąy imootoizy zad a przykład a ; b zad ; ; ; 5 ; ; 7 ; 8 ; 9 ; ; i istij; ; ; /8; 5 ; zad ; ; ; ; 5 ; ; 7 ; 8

2 PRACA DOMOWA 5/EK CIĄGI LICZBOWE Zad Oblizyć graię iągu o wyrazi ogólym a a 7 a a si 5 a a 7 a!! 8 a 9 a! 9 Zad z kalkulatorm Bak oruj lokaty A B C Na lokai A oprotowai roz wyosi % a kapitalizaja o rok Na lokai B oprotowai roz wyosi 9% a kapitalizaja raz a pół roku Na lokai C oprotowai roz wyosi 8% a kapitalizaja o misią Oblizyć roz zyiki oprotowują dla poszzgólyh lokat Która z lokat oruj ajkorzystijsz waruki oszzędzai w okrsi -lat? Odp: Zad Wsk -5 zastosować tw o trzh iągah przypomić wzory a sumę pozątkowyh wyrazów iągu arytmtyzgo i gomtryzgo 7; ; ; ; 5 ; 7 ; 8 ; 9 ; Zad A B 99 C 85 Lokata A

3 PRACA DOMOWA 5/EK zad zadai powtórziow z szkoły śrdij Sporządzić wykrsy ukji okrślić ih dzidziy i zbiory wartośi a b log d log Na podstawi wykrsu ukji umić okrślić jj własośi różowartośiowość ograizoość mootoizość parzystość iparzystość zad Podać wzór i dzidzię ukji złożoyh g h oraz h g jżli a h log g b h g si h g zad Wyzazyć wzór dzidzię i zbiór wartośi ukji odwrotyh do ukji a b log Naszkiować wykrsy ukji w jdym układzi współrzędyh Zad Oblizyć poda grai Wyiki zilustrować graizi Wyiągąć wioski o asymptotah ukji a lim b lim lim d lim Zad5 Wyzazyć asymptoty ukji log Podać itrprtaję gomtryzą oblizoyh grai Zad Oblizyć grai Wyiki zilustrować graizi l a lim b lim l odpowidzi zad log a g[ h ] ; D ; t h[ g ] log D t log b g[ h ] si ; D R ; t h[ g ] si D t R ; D R \ {} ; t h[ g ] 9 D t R g[ h ] zad a D W 8 ; b log D D W R ; R W Zad a b d asymptota pozioma y asymptota pioowa prawostroa Zad5 asymptota pozioma y asymptota pioowa lwostroa asymptota pioowa prawostroa Zad a b

4 PRACA DOMOWA 5/EK CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI Zad Dla podayh ukji złożoyh wyzazyć dzidzię oraz wzory ukji lmtaryh z któryh złożoa jst daa ukja a arsi Zad Dobrać wartośi paramtru a tak aby ukja była iągła w swojj dzidzii Wykoać jj wykrs b log dla a dla Zad Wyzazyć o il jst to możliw wartość stałj a tak aby ukja była iągła artg dla a dla Zad Dobrać wartośi paramtrów b aby otrzymać ukję iągłą w R dla Dla dobrayh paramtrów aszkiować wykrs tj ukji b dla ZASTOSOWANIE WŁASNOŚCI DARBOUX Zad5 log Korzystają z własośi Darbou rozstrzygąć zy rówai ma rozwiązai alżą do przdziału 5 Zad Uzasadić ż ukja ar w przdzial przyjmuj wartość w Zad7 a Czy istij taki ż? b Czy istij taki ż? Zad8 Wykazać ż wilomia w ma pirwiastk w przdzial Wyzazyć przdział o długośi w którym zajduj się t pirwiastk Zad9 Wyzazyć przdziały o długośi o ajwyżj ½ w któryh zajdują się pirwiastki rówań a 5 5 b odpowidzi zad a t g h h g t D b t log h h g t D g g h arsi h g D R Fukję azywamy wymirą jżli moża ją przdstawić w postai ilorazu dwóh wilomiaów Fukj t z przykładu a oraz g z przykładu to ukj wymir 5 Zad a Zad lim i istijróż są grai jdostro w puki zatm i da się wyzazyć takigo a by ukja była iągła Zad b

5 Zad5 istij 5 taki ż Zad Dzidzia przdział Zad7 a tak b tak Zad8 Zad9 a b ;

6 PRACA DOMOWA 5 OBLICZANIE POCHODNYCH 5/ Zad Oblizyć iloraz różiowy ukji w puki dla przyrostu argumtu Podać itrprtaję gomtryzą Oblizyć z diiji pohodą ukji w puki Podać itrprtaję gomtryzą Zad Oblizyć z diiji pohodą ukji a w puki b w puki R w puki d w puki Zad Napisać rówai styzj do wykrsu ukji a w puki o odiętj b l w puki o odiętj w puki o odiętj d arsi w puki o odiętj Naszkiować wykrs ukji i tę styzą Zad Oblizyć pirwszą pohodą ukji stosują rguły różizkowaia log 5 si l l l Zad5 Oblizyć pirwszą pohodą ukji ukj złożo u u arsi u w log w t w tg t si 5 7 t t si t 8 l l u u artg u 9 artg Zad Oblizyć przybliżoą wartość wyrażń zastępują przyrost odpowidio dobraj ukji jj różizką zupłą a l 99 b arsi 5 ODPOWIEDZI Zad 7 8 Zad a b Zad a y d b y y d y

7 Zad 5 5 llog l 5 5 si l si 7 9 l l 8 9 l Zad5 u arsi u w u w u l w w l si u u l 5 u u t t si t l 7 t t tt t si tsi t 8 9 Zad a b 5

8 PRACA DOMOWA EK 5/ Zad Wyzazyć dzidzię przdziały mootoizośi oraz kstrma ukji l l l l 5 l Zad Wyzazyć ajmijszą i ajwiększą wartość ukji w podaym przdzial a l w przdzial b l l w przdzial w przdzial Uwaga Pohod ukji oblizo w zadaiu Zad Koszt wykoaia pra w irmi jst ukją lizby zatrudioyh osób k l Przy jakij lizbi praowików koszt wykoaia pra jst ajmijszy i il o wyosi? Zad t Misięza sprzdaż S w tys sztuk pwgo towaru wyraża się wzorm S t gdzi t ozaza lizbę t 5 misięy która upłyęła od rozpozęia sprzdaży Po ilu misiąah sprzdaż osiągi ajwiększą wartość? Il tys sztuk wyisi ajwiększa wartość sprzdaży? Zad5 Zysk z zalży od wilkośi akładów a rklamę wdług wzoru z gdzi akłady w tys zł z zysk w tys zł Il alży przzazyć a rklamę by osiągąć jak ajwiększy zysk? Zad l l mi ma Fukja rosąa w przdziałah ukja maljąa w przdzial l l l l Fukja maljąa w przdzial ukja rosąa w 7 mi l ma mi Fukja rosąa w przdzial ukja maljąa w przdziałah l l l D mi ukja maljąa w przdzial rosąa w przdzial 5 D ukja maljąa w przdziałah oraz brak kstrmów D D Fukja rosąa w przdzial ukja maljąa w przdzial ma

9 7 7 mi Fukja maljąa w przdziałah ukja rosąa w przdzial 8 D mi Fukja maljąa w przdziałah ukja rosąa w przdzial 9 Fukja rosąa w przdzial ukja maljąa w przdzial ma Zad a mi ma b mi ma mi ma Zad Najiższ koszty przy zatrudiiu 5 praowików wyoszą l Zad Po 5 misiąah sprzdaż osiągi ajwiększą wartość tyssztuk Zad5 Największ zyski przy akładah tys zł wyiosą 9

10 PRACA DOMOWA 7 BADANIE FUNKCJI 5/ Zad Wyzazyć pukty przgięia przdziały wklęsłośi oraz przdziały wypukłośi ukji a b artg Zad Wyzazyć tmpo zmia wartośi ukji l Zad Dla ukji wyzazyć a przdziały w któryh ukja rośi i jst wypukła "" b przdziały w któryh ukja malj i jst wklęsła "" Zad Zbadać przbig zmiośi ukji aszkiować jj wykrs l l odpowidzi Zad a ; pukt przgięia przdziałah oraz b ; ukja wypukła w przdzial ; brak puktów przgięia ukja wklęsła w przdzial ; wklęsła w ; wypukła w przdzial l l Zad ; l l w przdzial ukja rośi oraz szybij ; w przdzial ukja malj oraz wolij; w przdzial ukja rośi oraz szybij; w przdzial ukja rośi oraz wolij Zad 8 Fukja malj i jst wypukła w przdziałah oraz Fukja rośi i jst wklęsła w przdzial Zad l ; D lim lim l l mi pukt przgięia D l lim lim lim lim l l brak kstrmów; pukt przgięia l

11 5 - - ; D lim lim mi ma Pukty przgięia dla argumtów ; D R lim lim Pukty przgięia 8 ma 8 - -

12 PRACA DOMOWA 8 5/ Zad Wykorzystać wzór Taylora z drugą pohodą i oblizyć przybliżo wartośi a b si Oszaować dokładość tyh przybliżń Podać itrprtaję gomtryzą Zad Zbadać przbig zmiośi ukji aszkiować jj wykrs l l artg ODP: zad a! si gdzi jst puktm lżąym w przdzial o końah! si gdzi jst puktm lżąym w przdzial si 55 8! R 55 b! gdzi jst puktm lżąym w przdzial o końah! gdzi jst puktm lżąym w przdzial 5! R 5 5 si si! si si gdzi jst puktm lżąym w przdzial o końah si! si si gdzi jst puktm lżąym w przdzial si si 8 si! R

13 8 si

Reguła de L Hospitala. Reguła de L Hospitala - odpowiedzi. Różniczka funkcji. Różniczka funkcji - odpowiedzi. Styczna i normalna

Reguła de L Hospitala. Reguła de L Hospitala - odpowiedzi. Różniczka funkcji. Różniczka funkcji - odpowiedzi. Styczna i normalna REGUŁA DE L HOSPITALA Rguła d L Hospitala Oblicz granicę: a lim b lim + f lim ln+ k lim l lim p u lim z lim + ln ln c lim g lim ln h lim ln sin q lim + v lim lim arc ctg π ln sin lnln sin d lim lim i lim

Bardziej szczegółowo

4) lim. lim. lim. lim. lim. x 3. e e. lim. lim x. lim. lim. lim. lim 2. lim. lim. lim. Zadanie 1 Wyznacz dziedziny następujących funkcji: log x.

4) lim. lim. lim. lim. lim. x 3. e e. lim. lim x. lim. lim. lim. lim 2. lim. lim. lim. Zadanie 1 Wyznacz dziedziny następujących funkcji: log x. Zastosowania matmatyki w konomii Tmat : Funkcj jdnj zminnj Zadani Wyznacz dzidziny następujących funkcji: ) f ) f 5) log 6 ) f ) f 7 Zadani Oblicz granic funkcji: log f 5 6) f 7 8 ) ) ) 8 7 ) 5) 6) 7)

Bardziej szczegółowo

AM1.1 zadania 8 Przypomn. e kilka dosyć ważnych granic, które już pojawiły się na zajeciach. 1. lim. = 0, lim. = 0 dla każdego a R, lim (

AM1.1 zadania 8 Przypomn. e kilka dosyć ważnych granic, które już pojawiły się na zajeciach. 1. lim. = 0, lim. = 0 dla każdego a R, lim ( AM11 zadaia 8 Przypom e kilka dosyć ważyh grai, które już pojawiły się a zajeiah e 1 lim 1 l(1+) (1+) 1, lim 1, lim a 1 si a, lim 1 0 0 0 0 l 2 lim 0, lim a 0 dla każdego a R, lim (1 + 1 e ) e, lim 1/

Bardziej szczegółowo

lim lim 4) lim lim lim lim lim x 3 e e lim lim x lim lim 2 lim lim lim Zadanie 1 Wyznacz dziedziny następujących funkcji: log x x 6x

lim lim 4) lim lim lim lim lim x 3 e e lim lim x lim lim 2 lim lim lim Zadanie 1 Wyznacz dziedziny następujących funkcji: log x x 6x Tmat : Funkcj jdnj zminnj Zadani Wyznacz dzidziny następujących funkcji: ) f ) f 5) log 6 ) f ) f 7 Zadani Oblicz granic funkcji: log f 5 6) f 7 8 ) ) ) 8 7 ) 5) 6) 7) 8) 9) 5 5 7 7 7 6 0) 6 ) ) 9) 0)

Bardziej szczegółowo

Matematyka 2. dr inż. Rajmund Stasiewicz

Matematyka 2. dr inż. Rajmund Stasiewicz Matematyka 2 dr iż. Rajmud Stasiewiz Skaa oe Pukty Oea 5 2, 51 6 3, 61 7 3,5 71 8 4, 81 9 4,5 91-5, Zwoieie z egzamiu Oea z egzamiu izba puktów z ćwizeń - 5 Waruki zaizeia 6 kookwium ok. 15 pkt. 6 kartkówka

Bardziej szczegółowo

2009 ZARZĄDZANIE. LUTY 2009

2009 ZARZĄDZANIE. LUTY 2009 Wybran zstawy gzaminacyjn kursu Matmatyka na Wydzial ZF Uniwrsyttu Ekonomiczngo w Wrocławiu w latach 009 06 Zstawy dotyczą trybu stacjonarngo Niktór zstawy zawirają kompltn rozwiązania Zakrs matriału w

Bardziej szczegółowo

OCHRONA PRZECIWPOŻAROWA BUDYNKÓW

OCHRONA PRZECIWPOŻAROWA BUDYNKÓW 95 V. OCHRONA PRZCWPOŻAROWA BUDYNKÓW 34 tapy rozwoju pożaru Ohroa prziwpożarowa uwzględia astępują fazy rozwoju pożaru:. Lokala iijaja pożaru i jgo arastai.. Radiayja i kowkyja wymiaa ipła między źródłm

Bardziej szczegółowo

Temat: Pochodna funkcji. Zastosowania

Temat: Pochodna funkcji. Zastosowania Tmat: Pochodna funkcji. Zastosowania A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i Kody kolorów: Ŝółty now pojęci pomarańczowy uwaga A n n a R a j f u r a, M a t m a

Bardziej szczegółowo

MMF ćwiczenia nr 1 - Równania różnicowe

MMF ćwiczenia nr 1 - Równania różnicowe MMF ćwiczia r - Rówaia różicow Rozwiązać rówaia różicow pirwszgo rzędu: y + y = y = y + y =! y = Wsk Podzilić rówai przz! i podstawić z y /( )! Rozwiązać rówaia różicow drugigo rzędu: 5 6 F F F F F (ciąg

Bardziej szczegółowo

Granica funkcji - Lucjan Kowalski GRANICA FUNKCJI

Granica funkcji - Lucjan Kowalski GRANICA FUNKCJI GRANICA FUNKCJI Granica uncji. - dowolna liczba rzczywista. O, = - ; + - otoczni liczby puntu o prominiu, S, = - ;, + - sąsidztwo liczby puntu o prominiu, Nich uncja będzi orślona w sąsidztwi puntu, g

Bardziej szczegółowo

FILTRY ANALOGOWE Spis treści

FILTRY ANALOGOWE Spis treści FILTRY AALOGOWE Spis treśi. Modele iltrów aalogowyh. Idealy iltr doloprzepustowy 3. Rzezywiste iltry doloprzepustowe 4. Stabilość iltrów 5. Filtr Butterwortha 6. Filtr Czebyszewa 7. Filtry eliptyze 8.

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIA POCHODNEJ

ZASTOSOWANIA POCHODNEJ ZASTOSOWANIA POCODNEJ Ruła d l'ospitala. Nich, - różniczkowa w pwnym sąsidztwi punktu oraz lub istnij skończona lub niwłaściwa ranica wtdy Uwaa. Powyższ twirdzni jst równiż prawdziw dla ranic jdnostronnych

Bardziej szczegółowo

Wykład 10 Promieniowanie termiczne

Wykład 10 Promieniowanie termiczne Wykład Promiiowai trmiz Promiiowai lktromagtyz wysyła przz ogrza (do pwj tmpratury iała azywamy promiiowaim trmizym. Wszystki iała mitują taki promiiowai do otozia, a takż z tgo otozia j absorbują. Jżli

Bardziej szczegółowo

ANALIZA FOURIEROWSKA szybkie transformaty Fouriera

ANALIZA FOURIEROWSKA szybkie transformaty Fouriera AALIZA FOURIEROWSKA szybi trasformaty Fourira dowola fuję priodyzą F( w zasi lub przstrzi (tx, ors T) moża przdstawić jao () F( b o + [ a si( + b os( ] gdzi π / T lub ω zauważmy, ż ω, jst ajiższą zęstośią

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna Ćwiczenia

Analiza Matematyczna Ćwiczenia Analiza Matematyczna Ćwiczenia Spis treści Ciągi i ich własności Granica ciągu Granica funkcji 4 4 Ciągłość funkcji 6 Szeregi 8 6 Pochodna funkcji 7 Zastosowania pochodnej funkcji 8 Badanie przebiegu zmienności

Bardziej szczegółowo

2.27. Oblicz wartość wyrażenia 3 a Wykaż, że jeżeli x i y są liczbami dodatnimi oraz x+ y =16, to ( 1+

2.27. Oblicz wartość wyrażenia 3 a Wykaż, że jeżeli x i y są liczbami dodatnimi oraz x+ y =16, to ( 1+ MATURA z matematki w roku,, fragmet Liza log log log log log 7 log 8 jest: 7 A iewmiera, B ałkowita, C kwadratem liz aturalej, D większa od 7 : B 7 Oliz wartość wrażeia a wiedzą, że a a 7 Wskazówka: Zauważ,

Bardziej szczegółowo

Szereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3:

Szereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3: Szereg geometryczy Zad : Suma wszystkich wyrazów ieskończoego ciągu geometryczego jest rówa 4, a suma trzech początkowych wyrazów wyosi a) Zbadaj mootoiczość ciągu sum częściowych tego ciągu geometryczego

Bardziej szczegółowo

Informatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce!

Informatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce! Iformatyka Stosowaa-egzami z Aalizy Matematyczej Każde zadaie ależy rozwiązać a oddzielej, podpisaej kartce! y, Daa jest fukcja f (, + y, a) zbadać ciągłość tej fukcji f b) obliczyć (,) (, (, (,) c) zbadać,

Bardziej szczegółowo

Szeregi liczbowe i ich własności. Kryteria zbieżności szeregów. Zbieżność bezwzględna i warunkowa. Mnożenie szeregów.

Szeregi liczbowe i ich własności. Kryteria zbieżności szeregów. Zbieżność bezwzględna i warunkowa. Mnożenie szeregów. Materiały dydaktyze Aaliza Matematyza (Wykład 3) Szeregi lizbowe i ih własośi. Kryteria zbieżośi szeregów. Zbieżość bezwzględa i warukowa. Możeie szeregów. Defiija. Nieh {a } N będzie iągiem lizbowym.

Bardziej szczegółowo

Funkcja nieciągła. Typy nieciągłości funkcji. Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska

Funkcja nieciągła. Typy nieciągłości funkcji. Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska Funkcja niciągła. Typy niciągłości funkcji Autorzy: Anna Barbaszwska-Wiśniowska 2018 Funkcja niciągła. Typy niciągłości funkcji Autor: Anna Barbaszwska-Wiśniowska DEFINICJA Dfinicja 1: Funkcja niciągła

Bardziej szczegółowo

Problem. Jak praktycznie badać jednostajną ciągłość funkcji?

Problem. Jak praktycznie badać jednostajną ciągłość funkcji? EAIiIB-Iormatya - Wyład 3- dr Adam Ćmiel miel@.agh.edu.pl Ciągłość uji w puie e. Fuję : azywamy iągłą w puie jeżeli Heie Cauhy Uwaga: Put ale ie musi być putem supieia zbioru. Jeżeli jest putem izolowaym

Bardziej szczegółowo

x 2 5x + 6 x 2 x 6 = 1 3, x 0sin 2x = 2, 9 + 2x 5 lim = 24 5, = e 4, (i) lim x 1 x 1 ( ), (f) lim (nie), (c) h(x) =

x 2 5x + 6 x 2 x 6 = 1 3, x 0sin 2x = 2, 9 + 2x 5 lim = 24 5, = e 4, (i) lim x 1 x 1 ( ), (f) lim (nie), (c) h(x) = Zadanie.. Obliczyć granice 2 + 2 (a) lim (d) lim 0 2 + 2 + 25 5 = 5,. Granica i ciągłość funkcji odpowiedzi = 4, (b) lim 2 5 + 6 2 6 =, 4 (e) lim 0sin 2 = 2, cos (g) lim 0 2 =, (h) lim 2 8 Zadanie.2. Obliczyć

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17 Egzami, 18.02.2017, godz. 9:00-11:30 Zadaie 1. (22 pukty) W każdym z zadań 1.1-1.10 podaj w postaci uproszczoej kresy zbioru oraz apisz, czy kresy ależą do zbioru (apisz TAK albo NIE, ewetualie T albo

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA ZAŁAMANIA ŚWIATŁA METODĄ SZPILEK I ZA POMOCĄ MIKROSKOPU. Wprowadzenie. = =

WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA ZAŁAMANIA ŚWIATŁA METODĄ SZPILEK I ZA POMOCĄ MIKROSKOPU. Wprowadzenie. = = WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA ZAŁAMANIA ŚWIATŁA METODĄ SZPILEK I ZA POMOCĄ MIKROSKOPU Wprowadzeie. Przy przejśiu światła z jedego ośrodka do drugiego występuje zjawisko załamaia zgodie z prawem Selliusa siα

Bardziej szczegółowo

11. Zjawiska korpuskularno-falowe

11. Zjawiska korpuskularno-falowe . Zjawiska korpuskularno-falow.. Prominiowani trmizn Podstawow źródła światła: - ogrzan iała stał lub gazy, w który zaodzi wyładowani lktryzn. misja absorpja R - widmowa zdolność misyjna prominiowania

Bardziej szczegółowo

Model Ramsey a-cass a-koopmans a. Dr hab. Joanna Siwińska-Gorzelak

Model Ramsey a-cass a-koopmans a. Dr hab. Joanna Siwińska-Gorzelak Modl Ramsy a-cass a-koopmas a Dr hab. Joaa Siwińsa-Gorzla Pla wyładu Wprowadzi do modlu Mody mamayz Rozwiązai modlu Wiosi Uwaga a slajdah zajdują się wyłązi głów lmy; sporo wyjaśiń js omawiayh podzas wyładu,

Bardziej szczegółowo

15. CAŁKA NIEOZNACZONA cz. I

15. CAŁKA NIEOZNACZONA cz. I 5. CAŁKA NIEOZNACZONA cz. I Fukcj pirwot fukcji f w pwym przdzial (właciwym lub iwłaciwym) azywamy tak fukcj F, którj pochoda rówa si fukcji f w tym przdzial. Zbiór wszystkich fukcji pirwotych fukcji f

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Szeregi liczbowe

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Szeregi liczbowe Zadaia z aalizy matematyczej - sem. I Szeregi liczbowe Defiicja szereg ciąg sum częściowyc. Szeregiem azywamy parę uporządkowaą a ) S ) ) ciągów gdzie: ciąg a ) ciąg S ) jest day jest ciągiem sum częściowych

Bardziej szczegółowo

Temat lekcji: Utrwalenie wiadomości dotyczących rozwiązywania równań kwadratowych.

Temat lekcji: Utrwalenie wiadomości dotyczących rozwiązywania równań kwadratowych. -- S C E N A R I U S Z L E K C J I Przedmiot: Matematyka Klasa: (poziom podstawowy Imię i azwisko auzyiela: Aleksadra Trzepaz Temat lekji: Utrwaleie wiadomośi dotyząyh rozwiązywaia rówań kwadratowyh. Cele

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA KWADRATOWA. Poziom podstawowy

FUNKCJA KWADRATOWA. Poziom podstawowy FUNKCJA KWADRATOWA Poziom podstawowy Zadanie ( pkt) Wykres funkji y = ax + bx+ przehodzi przez punkty: A = (, ), B= (, ), C = (,) a) Wyznaz współzynniki a, b, (6 pkt) b) Zapisz wzór funkji w postai kanoniznej

Bardziej szczegółowo

Równania liniowe rzędu drugiego stałych współczynnikach

Równania liniowe rzędu drugiego stałych współczynnikach Rówaia liiowe rzędu drugiego stałyh współzyikah Rówaiem różizkowym zwyzajym liiowym drugiego rzędu azywamy rówaie postai p( t) y q( t) y r( t), (1) gdzie p( t), q( t), r( t ) są daymi fukjami Rówaie to,

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna MAEW101

Analiza Matematyczna MAEW101 Analiza Matematyczna MAEW0 Wydział Elektroniki Listy zadań nr -7 (część I) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 005 M.Gewert, Z Skoczylas,

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 2. Rozdział 2: Drgania układu liniowego o jednym stopniu swobody. Część 1 Drgania swobodne

WYKŁAD 2. Rozdział 2: Drgania układu liniowego o jednym stopniu swobody. Część 1 Drgania swobodne WYKŁD Rozdział : Drgaia układu liiowgo o jdym stopiu swobody Część Drgaia swobod.. Modl fizycz układów o jdym stopiu swobody Przypomijmy, ż drgaia swobod to drgaia, któr odbywają się bz udziału wymuszń

Bardziej szczegółowo

1 Funkcja wykładnicza i logarytm

1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres

Bardziej szczegółowo

Automatyka i Robotyka Analiza Wykład 14 dr Adam Ćmiel

Automatyka i Robotyka Analiza Wykład 14 dr Adam Ćmiel Własośi zbiorów otwarth i domięth Tw. a) Suma dowolej ilośi zbiorów otwarth jest zbiorem otwartm. b) Iloz sońzoej ilośi zbiorów otwarth jest zbiorem otwartm. Dow. a) Mam rodzię zbiorów otwarth: U A s {

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 11

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 11 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD Szeregi potęgowe Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C jeżeli jest -krotie różiczkowala i jej -ta pochoda jest fukcją ciągłą. Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C, jeżeli jest

Bardziej szczegółowo

UKŁADY REGULACJI NAPIĘCIA

UKŁADY REGULACJI NAPIĘCIA Zespół Szkół Tehizyh w Skarżysku-Kamieej Sprawozdaie z ćwizeia r 2 Temat ćwizeia: PRACOWNIA ELEKTRYCZNA I ELEKTRONICZNA imię i azwisko KŁADY REGLACJI NAPIĘCIA rok szkoly klasa grupa data wykoaia I. Cel

Bardziej szczegółowo

WKLĘSŁOŚĆ I WYPUKŁOŚĆ KRZYWEJ. PUNKT PRZEGIĘCIA.

WKLĘSŁOŚĆ I WYPUKŁOŚĆ KRZYWEJ. PUNKT PRZEGIĘCIA. WKLĘSŁOŚĆ I WYPUKŁOŚĆ KRZYWEJ. PUNKT PRZEGIĘCIA. Załóżmy, że funkcja y f jest dwukrotnie różniczkowalna w Jeżeli Jeżeli przedziale a;b. Punkt P, f nazywamy punktem przegięcia funkcji y f wtedy i tylko

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji przebieg zmienności funkcji Definicja 1. Niech f : (a b) R gdzie a < b oraz 0 (a b). Dla dowolnego (a b) wyrażenie f() f( 0 ) = f( 0 + ) f( 0 )

Bardziej szczegółowo

a n 7 a jest ciągiem arytmetycznym.

a n 7 a jest ciągiem arytmetycznym. ZADANIA MATURALNE - CIĄGI LICZBOWE - POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Dauta Brzezińska Zad.1. ( pkt) Ciąg a określoy jest wzorem 5.Wyzacz liczbę ujemych wyrazów tego ciągu. Zad.. ( 6 pkt) a Day jest ciąg

Bardziej szczegółowo

Część I. Wyznaczanie parametrów sieci i grupy przestrzennej dla kryształów oksymu oksofenyloacetaldehydu. Zakres materiału do opanowania

Część I. Wyznaczanie parametrów sieci i grupy przestrzennej dla kryształów oksymu oksofenyloacetaldehydu. Zakres materiału do opanowania Retgeowska aaliza strukturala Wyzazaie parametrów siei oraz grupy przestrzeej a postawie yfraktogramów wykoayh la pojeyzego kryształu Zakres materiału o opaowaia Sieć owrota (relaja siei owrotej o prostej)

Bardziej szczegółowo

Matematyka dla DSFRiU zbiór zadań

Matematyka dla DSFRiU zbiór zadań I Matematyka dla DSFRiU zbiór zadań do użytku wewnętrznego Sumowanie skończone W zadaniach -4 obliczyć podaną sumę. dr Leszek Rudak Uniwersytet Warszawski Wydział Zarządzania. 5 i. i= 4 i. i= 5 ( ) i i=

Bardziej szczegółowo

ZBIÓR LICZB RZECZYWISTYCH - DZIAŁANIA ALGEBRAICZNE

ZBIÓR LICZB RZECZYWISTYCH - DZIAŁANIA ALGEBRAICZNE ZBIÓR LICZB RZECZYWISTYCH - DZIAŁANIA ALGEBRAICZNE WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY Wartość bezwzględą liczby rzeczywistej x defiiujemy wzorem: { x dla x 0 x = x dla x < 0 Liczba x jest to odległość a osi liczbowej

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIA NR 1 Z MATEMATYKI (Finanse i Rachunkowość, studia zaoczne, I rok) Zad. 1. Wyznaczyć dziedziny funkcji: 1 = 1, b) ( x) , c) h ( x) x x

ĆWICZENIA NR 1 Z MATEMATYKI (Finanse i Rachunkowość, studia zaoczne, I rok) Zad. 1. Wyznaczyć dziedziny funkcji: 1 = 1, b) ( x) , c) h ( x) x x ĆWICZENIA NR Z MATEMATYKI (Fiase i Rachukowość studia zaocze I rok) Zad Wyzaczyć dziedziy fukcji: a) f ( ) b) ( ) + + 6 f c) f ( ) + + d) f ( ) + e) ( ) f l f) f ( ) l( + ) + l( ) g) f ( ) l( si ) h) f

Bardziej szczegółowo

Tw: (O promieniu zbieżności R szeregu potęgowego ) Jeżeli istnieje granica. to R = ) ciąg liczb zespolonych

Tw: (O promieniu zbieżności R szeregu potęgowego ) Jeżeli istnieje granica. to R = ) ciąg liczb zespolonych Automatya i Rootya Aaliza Wyład dr Adam Ćmil cmil@agh.du.pl SZEREGI POTĘGOWE ( c ciąg licz zspoloych c ( z z - szrg potęgowy, gdzi ( c - ciąg współczyiów szrgu, z C - środ, ctrum (ustalo, z C - zmia. Dla

Bardziej szczegółowo

Wymiana ciepła przez promieniowanie

Wymiana ciepła przez promieniowanie dr iż. Michał Strzszwski 003-006 yiaa cipła przz proiiowai Matriały do ćwiczń z wyiay cipła v..05. prowadzi Każd ciało wysyła pwą ilość rgii ciplj w postaci proiiowaia. Proiiowai cipl oż być traktowa jako

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji. Zastosowania pochodnej. Badanie przebiegu zmienności

Pochodna funkcji. Zastosowania pochodnej. Badanie przebiegu zmienności Temat wykładu: Pochodna unkcji. Zastosowania pochodnej. Badanie przebiegu zmienności Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga kursywa komentarz * materiał nadobowiązkowy 1 1. Pochodna Zagadnienia

Bardziej szczegółowo

Arkusz 1 - karta pracy Całka oznaczona i jej zastosowania. Całka niewłaściwa

Arkusz 1 - karta pracy Całka oznaczona i jej zastosowania. Całka niewłaściwa Arkusz - krt prcy Cłk oznczon i jj zstosowni. Cłk niwłściw Zdni : Obliczyć nstępując cłki oznczon 5 d 5 d + 5 + 7 d Zuwżmy, ż d, Stąd d, + 5 + 7 d + ] 7 + + ln d cos sin d d ]. d + d 5, d + 5 + 7 7 7 d

Bardziej szczegółowo

Matematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 11

Matematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 11 Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochroa radiologicza Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 11 Całka ozaczoa podstawowe pojęcia Defiicja podziału odcika Podziałem P odcika < a, b > a części azywamy zbiór

Bardziej szczegółowo

Zadania domowe z Analizy Matematycznej III - czȩść 2 (funkcje wielu zmiennych)

Zadania domowe z Analizy Matematycznej III - czȩść 2 (funkcje wielu zmiennych) Zadaia domowe z AM III dla grup E7 (semestr zimow 07/08) Czȩść Zadaia domowe z Aaliz Matematczej III - czȩść (fukcje wielu zmiech) Zadaie. Obliczć graice lub wkazać że ie istiej a: (a) () (00) (b) + ()

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki

WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach

Bardziej szczegółowo

Funkcje jednej zmiennej - ćwiczenia 1. Narysuj relacje. Które z nich są funkcjami?

Funkcje jednej zmiennej - ćwiczenia 1. Narysuj relacje. Które z nich są funkcjami? Fukcj jdj zmij - ćwiczi. Nrysuj rlcj. Kór z ich są fukcjmi? A = (.y) R : y = A = (.y) R : y = A = (.y) R : y = A = (.y) R : y = - A 5 = (.y) R : y = ( + A 6 = (.y) R : y +. Zlźć dzidzię fukcji okrśloj

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE NAPIĘCIA POWIERZCHNIOWEGO ZA POMOCĄ KAPILARY

WYZNACZANIE NAPIĘCIA POWIERZCHNIOWEGO ZA POMOCĄ KAPILARY WYZNACZANIE NAPIĘCIA POWIERZCHNIOWEGO ZA POMOCĄ KAPILARY 1. Opis teoetyzy do ćwizeia zamieszzoy jest a stoie www.wt.wat.edu.pl w dziale DYDAKTYKA FIZYKA ĆWICZENIA LABORATORYJNE.. Opis układu pomiaowego

Bardziej szczegółowo

CHARAKTERYSTYKA OBCIĄŻENIOWA

CHARAKTERYSTYKA OBCIĄŻENIOWA Opracowani: dr inż. Ewa Fudalj-Kostrzwa CHARAKTERYSTYKA OBCIĄŻENIOWA Charaktrystyki obciążniow są wyznaczan w ramach klasycznych statycznych badań silników zarówno dla silników o zapłoni iskrowym jak i

Bardziej szczegółowo

Wykład 6 Pochodna, całka i równania różniczkowe w praktycznych zastosowaniach w elektrotechnice.

Wykład 6 Pochodna, całka i równania różniczkowe w praktycznych zastosowaniach w elektrotechnice. Wykład 6 Pochodna, całka i równania różniczkow w prakycznych zasosowaniach w lkrochnic. Przypomnini: Dfinicja pochodnj: Granica ilorazu różnicowgo-przyros warości funkcji do przyrosu argumnów-przy przyrości

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji. Zastosowania

Pochodna funkcji. Zastosowania Pochodna funkcji Zastosowania Informatyka (sem.1 2015/16) Analiza Matematyczna Temat 3 1 / 33 Niektóre zastosowania pochodnych 1 Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości 2 Pochodna jako narzędzie

Bardziej szczegółowo

1 Funkcja wykładnicza i logarytm

1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres

Bardziej szczegółowo

9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI

9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Ekstrema i monotoniczność funkcji Oznaczmy przez D f dziedzinę funkcji f Mówimy, że funkcja f ma w punkcie 0 D f maksimum lokalne (minimum lokalne), gdy dla każdego

Bardziej szczegółowo

Rachunek Różniczkowy

Rachunek Różniczkowy Rachunek Różniczkowy Sąsiedztwo punktu Liczby rzeczywiste będziemy teraz nazywać również punktami. Dla ustalonego punktu x 0 i promienia r > 0 zbiór S(x 0, r) = (x 0 r, x 0 ) (x 0, x 0 + r) nazywamy sąsiedztwem

Bardziej szczegółowo

Ekstrema globalne funkcji

Ekstrema globalne funkcji SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 9, 2013-12-13 Ekstrema globalne funkcji Definicja: Funkcja f : D R ma w punkcie x 0 D minimum globalne wtedy i tylko (x D) f(x) f(x 0 ). Wartość f(x 0 ) nazywamy wartością

Bardziej szczegółowo

Matematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy

Matematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy Rachunek Różniczkowy Ciąg liczbowy Link Ciągiem liczbowym nieskończonym nazywamy każdą funkcję a która odwzorowuje zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R a : N R. Tradycyjnie wartość a(n)

Bardziej szczegółowo

Szeregi trygonometryczne Fouriera. sin(

Szeregi trygonometryczne Fouriera. sin( Szrg rygoomryz Fourr / Szrg rygoomryz Fourr D js ukj: s os Pożj pod są włsoś ukj kór wykorzysmy w późjszym zs Ozzmy przz zę zspooą pos: Wówzs s os orz os s Fukję zpsujmy w pos: s s os os os u os W szzgóoś

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy VII

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy VII Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy VII Oeę iedostatezą otrzyuje uzeń, który ie spełia wyagań a oeę dopuszzająą. Oeę dopuszzająą otrzyuje uzeń, który: rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby

Bardziej szczegółowo

Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria

Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne Definicja 2.38. Niech f : O(x 0 ) R. Jeżeli istnieje skończona granica f(x 0 + h) f(x 0 ) h 0 h to granicę tę nazywamy pochodną funkcji w punkcie

Bardziej szczegółowo

Ciągłość funkcji i podstawowe własności funkcji ciągłych.

Ciągłość funkcji i podstawowe własności funkcji ciągłych. Ciągłość funkcji i podstawowe własności funkcji ciągłych. Definicja (otoczenie punktu) Otoczeniem punktu x 0 R, o promieniu nazywamy zbiór x R taki, że: inaczej x x 0 x x 0, x 0 Definicja (ciągłość w punkcie)

Bardziej szczegółowo

Matematyka Lista 1 1. Matematyka. Lista Zapisać bez użycia symbolu wartości bezwzględnej a) 1 3, b) x + y, c) x + 1 x + 2 x 2 dla 1 x 2, x

Matematyka Lista 1 1. Matematyka. Lista Zapisać bez użycia symbolu wartości bezwzględnej a) 1 3, b) x + y, c) x + 1 x + 2 x 2 dla 1 x 2, x Matematyka Lista 1 1 Matematyka Lista 1 1. Zapisać bez użycia symbolu wartości bezwzględnej a) 1 b) + y c) + 1 + 2 2 dla 1 2 d) 8 e) + 1 f) 1 + + 2. 2. Korzystając z geometrycznej interpretacji wartości

Bardziej szczegółowo

O pewnych zastosowaniach rachunku różniczkowego funkcji dwóch zmiennych w ekonomii

O pewnych zastosowaniach rachunku różniczkowego funkcji dwóch zmiennych w ekonomii O pewych zastosowaiach rachuku różiczkowego fukcji dwóch zmieych w ekoomii 1 Wielkość wytwarzaego dochodu arodowego D zależa jest od wielkości produkcyjego majątku trwałego M i akładów pracy żywej Z Fukcję

Bardziej szczegółowo

Przetwarzanie sygnałów biomedycznych

Przetwarzanie sygnałów biomedycznych Prztwarzani sygnałów biomdycznych dr hab. inż. Krzysztof Kałużyński, prof. PW Człowik- najlpsza inwstycja Projkt współfinansowany przz Unię Europjską w ramach Europjskigo Funduszu Społczngo Wykład XI Filtracja

Bardziej szczegółowo

1. Pochodna funkcji. Twierdzenie Rolle a i twierdzenie Lagrange a.

1. Pochodna funkcji. Twierdzenie Rolle a i twierdzenie Lagrange a. Ćwiczenia 3032010 - omówienie zadań 1-4 z egzaminu poprawkowego Konwersatorium 3032010 - omówienie zadań 5-8 z egzaminu poprawkowego Ćwiczenia 4032010 (zad 445-473) Kolokwium nr 1, 10032010 (do zad 473)

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji jednej zmiennej

Pochodna funkcji jednej zmiennej Pochodna funkcji jednej zmiennej Def:(pochodnej funkcji w punkcie) Jeśli funkcja f : D R, D R określona jest w pewnym otoczeniu punktu 0 D i istnieje skończona granica ilorazu różniczkowego: f f( ( 0 )

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 2

INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 2 KATEDRA MECHANIKI STOSOWANEJ Wydzał Mehazy POLITECHNIKA LUBELSKA INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 2 PRZEDMIOT TEMAT OPRACOWAŁ MECHANIKA TECHNICZNA Wyzazee położee środka ężkoś układu mehazego Dr ż. K. Kęk 1.

Bardziej szczegółowo

Matematyka. rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy. Konwersatorium 1. Własności funkcji

Matematyka. rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy. Konwersatorium 1. Własności funkcji . Własności funkcji () Wyznaczyć dziedzinę funkcji danej wzorem: y = 2 2 + 5 y = +4 y = 2 + (2) Podać zbiór wartości funkcji: y = 2 3, [2, 5) y = 2 +, [, 4] y =, [3, 6] (3) Stwierdzić, czy dana funkcja

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej. 1 Obliczanie pochodnej i jej interpretacja geometryczna

Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej. 1 Obliczanie pochodnej i jej interpretacja geometryczna Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 4 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 4 grudnia 08r. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej Obliczanie pochodnej

Bardziej szczegółowo

Zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry

Zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry Kryteria oceniania z matematyki ( poziom rozszerzony) klasa 2 Zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry Funkcja liniowa Uczeń: - rozpoznaje funkcję liniową na podstawie wzoru - zna postać ogólną

Bardziej szczegółowo

Wykład 11 i 12. Informatyka Stosowana. 9 stycznia Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39

Wykład 11 i 12. Informatyka Stosowana. 9 stycznia Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39 Wykład 11 i 12 Informatyka Stosowana 9 stycznia 2017 Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia 2017 1 / 39 Twierdzenie Lagrange a Jeżeli funkcja f spełnia warunki: 1 jest ciagła na [a, b] 2 f istnieje

Bardziej szczegółowo

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012 Materiał ćwiczeiowy z matematyki Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr zad 3 5 6 7 8 9 0

Bardziej szczegółowo

Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej

Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus listopada 07r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej

Bardziej szczegółowo

PRACOWNIA ELEKTRYCZNA I ELEKTRONICZNA. Zespół Szkół Technicznych w Skarżysku-Kamiennej. Sprawozdanie

PRACOWNIA ELEKTRYCZNA I ELEKTRONICZNA. Zespół Szkół Technicznych w Skarżysku-Kamiennej. Sprawozdanie Zespół Szkół Tehizyh w Skarżysku-Kamieej Sprawozdaie PRCOWN ELEKTRYCZN ELEKTRONCZN imię i azwisko z ćwizeia r 1 Temat ćwizeia: UKŁDY REGULCJ NTĘŻEN PRĄDU rok szkoly klasa grupa data wykoaia. Cel ćwizeia:

Bardziej szczegółowo

Wektory Funkcje rzeczywiste wielu. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski

Wektory Funkcje rzeczywiste wielu. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski Wektory Fukcje rzeczywiste wielu zmieych rzeczywistych Matematyka Studium doktorackie KAE SGH Semestr leti 2008/2009 R. Łochowski Wektory pukty w przestrzei R Przestrzeń R to zbiór uporządkowaych -ek liczb

Bardziej szczegółowo

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania. 10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych

Bardziej szczegółowo

+ ln = + ln n + 1 ln(n)

+ ln = + ln n + 1 ln(n) "Łatwo z domu rzeczywistości zajśd do lasu matematyki, ale ieliczi tylko umieją wrócid." Hugo Dyoizy Steihaus Niech (a ) będzie ieskooczoym ciągiem rzeczywistym. Def. Szeregiem = a azywamy parę ciągów

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego Przkładowe zadaia dla poziomu rozszerzoego Zadaie. ( pkt W baku w pierwszm roku oszczędzaia stopa procetowa bła rówa p%, a w drugim roku bła o % iższa. Po dwóch latach, prz roczej kapitalizacji odsetek,

Bardziej szczegółowo

Zmęczenie Materiałów pod Kontrolą

Zmęczenie Materiałów pod Kontrolą Zmęczi Matriałów pod Kotrolą Wyład Nr 6 ANALIZA SPRĘŻYSTO PLASTYCZNYCH STANÓW NAPRĘŻŃ i ODKSZTAŁCŃ Wydział Iżyirii Mcaiczj i Robotyi Katdra Wytrzymałości, Zmęczia Matriałów i Kostrucji ttp://zwmi.imir.ag.du.pl

Bardziej szczegółowo

Inwestycje. MPK = R/P = uc (1) gdzie uc - realny koszt pozyskania kapitału. Przyjmując, że funkcja produkcji ma postać Cobba-Douglasa otrzymamy: (3)

Inwestycje. MPK = R/P = uc (1) gdzie uc - realny koszt pozyskania kapitału. Przyjmując, że funkcja produkcji ma postać Cobba-Douglasa otrzymamy: (3) Dr Barłomij Rokicki Ćwiczia z Makrokoomii II Iwsycj Iwsycj są ym składikim PB, kóry wykazuj ajwiększą skłoość do flukuacji czyli wahań. Spadk popyu a dobra i usługi jaki js obsrwoway podczas rcsji zwykl

Bardziej szczegółowo

(5) f(x) = ln x + x 3, (6) f(x) = 1 x. (19) f(x) = x3 +2x

(5) f(x) = ln x + x 3, (6) f(x) = 1 x. (19) f(x) = x3 +2x . Zadania do samodzielnego rozwiązania Zadanie. Na podstawie definicji pochodnej funkcji w punkcie obliczyć pochodną funkcji f zdefiniowanej równością () cos (2) (3) ln (4) sin 2 (5) ln + 3 (6) cos(3 )

Bardziej szczegółowo

SZEREGI LICZBOWE. s n = a 1 + a a n = a k. k=1. aq n = 1 qn+1 1 q. a k = s n + a k, k=n+1. s n = 0. a k lim n

SZEREGI LICZBOWE. s n = a 1 + a a n = a k. k=1. aq n = 1 qn+1 1 q. a k = s n + a k, k=n+1. s n = 0. a k lim n SZEREGI LICZBOWE Z ciągu liczb a, a 2,... utwórzmy owy ciąg Przyjmijmy ozaczeia s = a + a 2 +... a = a k. k= k= a k = a + a 2 +... = s. Gdy graica k= a k jest liczbą, to mówimy, że szereg k= a k jest sumowaly

Bardziej szczegółowo

Matematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 3

Matematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 3 Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 3 Ciągi liczbowe Definicja Dowolną funkcję a: N R nazywamy ciągiem liczbowym. Uwaga Ze względu na tradycję tym

Bardziej szczegółowo

Matematyka I dla DSM zbiór zadań

Matematyka I dla DSM zbiór zadań I Sumowanie skończone W zadaniach -4 obliczyć podaną sumę. Matematyka I dla DSM zbiór zadań do użytku wewnętrznego dr Leszek Rudak Uniwersytet Warszawski Wydział Zarządzania. 5 i. i= 4 i 3. i= 5 ( ) i

Bardziej szczegółowo

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym

Bardziej szczegółowo

Klasa II technikum Egzamin poprawkowy z matematyki sierpień 2013

Klasa II technikum Egzamin poprawkowy z matematyki sierpień 2013 /7 I. FUNKCJA KWADRATOWA. Fukcja kwadratowa w postaci kaoiczej i ogólej. Napisz wzór fukcji kwadratowej wiedząc, że wierzchołkiem paraboli będącej jej wykresem jest początek układu współrzędych oraz, że

Bardziej szczegółowo

x 2 5x + 6, (i) lim 9 + 2x 5 lim x + 3 ( ) 9 Zadanie 1.4. Czy funkcjom, (c) h(x) =, (b) g(x) = x x, (c) h(x) = x + x.

x 2 5x + 6, (i) lim 9 + 2x 5 lim x + 3 ( ) 9 Zadanie 1.4. Czy funkcjom, (c) h(x) =, (b) g(x) = x x, (c) h(x) = x + x. Zadaie.. Obliczyć graice x 2 + 2x 3 (a) x x x2 + x2 + 25 5 (d) x 0. Graica i ciągłość fukcji x 2 5x + 6 (b) x x 2 x 6 4x (e) x 0si 2x (g) x 0 cos x x 2 (h) x 8 Zadaie.2. Obliczyć graice (a) (d) (g) x (x3

Bardziej szczegółowo

4.3 Wypukłość, wklęsłość l punkty przegięcia wykresu funkcji

4.3 Wypukłość, wklęsłość l punkty przegięcia wykresu funkcji 4.3 Wypukłość, wklęsłość l punkty przegięcia wykresu funkcji Definicja 4.6. Wykres funkcji różniczkowalnej w punkcie Xo nazywamy wypukłym (odpowiednio wklęsłym) w punkcie xo, jeżeli istnieje takie sąsiedztwo

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią analityczną

Algebra liniowa z geometrią analityczną WYKŁAD. Elmtar fucj mij spoloj: wilomiay, pirwiasti jdości, fucja: pirwiast stopia, fucja wyładica, fucja logarytmica. Podstawow własości wilomiaów: podilość, twirdi Bout, podstawow twirdi algbry, suai

Bardziej szczegółowo

2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.

2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2. 2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. Koniecznie trzeba znać: twierdzenia o ekstremach (z wykorzystaniem pierwszej i drugiej pochodnej), Twierdzenie Lagrange a, Twierdzenie Taylora (z resztą w postaci Peano, Lagrange

Bardziej szczegółowo

Rozdział 4. Pochodna funkcji jednej zmiennej 4.1. Pojęcie ilorazu różnicowego

Rozdział 4. Pochodna funkcji jednej zmiennej 4.1. Pojęcie ilorazu różnicowego Rozdział 4 Pocodna unkcji jdnj zminnj 4 Pojęci ilorazu różnicowo W rozdzial przdstawiono sytuację Boba i sposób przwidywania jo dołka inansowo W rozdzial 4 zostani szczółowo omówiony matmatyczny aparat

Bardziej szczegółowo

Matematyka Lista 1 1. Matematyka. Lista 1

Matematyka Lista 1 1. Matematyka. Lista 1 Matematyka Lista 1 1 Matematyka Lista 1 1. Sprowadzić funkcje kwadratowe do postaci iloczynowej (jeżeli istnieje) i postaci kanonicznej oraz naszkicować ich wykresy: a) 2 + b) 2 2 + 1 c) 2 + 2 d) 2 + +

Bardziej szczegółowo

III seria zadań domowych - Analiza I

III seria zadań domowych - Analiza I III seria zadań domowych - Aaliza I Różiczkowalość fukcji Zadaie Dla jakich wartości parametrów abc R fukcje a + gdy π si + b gdy > π a + b gdy 0 gdy > c a + b gdy c są różiczkowale. a + b gdy a 0 / arcsi

Bardziej szczegółowo

Wykresy i własności funkcji

Wykresy i własności funkcji Wykresy i własności funkcji Zad : (profil matematyczno-fizyczny) a) Wykres funkcji f(x) = x 6x + bx + c przechodzi przez punkt P = (, ), a współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna F1 dla Fizyków na WPPT Lista zadań 3, 2018/19z (zadania na ćwiczenia)

Analiza Matematyczna F1 dla Fizyków na WPPT Lista zadań 3, 2018/19z (zadania na ćwiczenia) Analiza Matematyczna F dla Fizyków na WPPT Lista zadań 3 08/9z (zadania na ćwiczenia) (Na podstawie podręcznika M. Gewert Z. Skoczylas Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania GiS 008) 3 Granica funkcji

Bardziej szczegółowo