data utworzenia: styczeń 2006, data modyfikacji: styczeń 2011 WSTĘP DO METOD NUMERYCZNYCH

Transkrypt

1 data utworzia: styczń 6, data odyfikacji: styczń WSĘP DO MEOD NUMERYCZNYCH Mtodą uryczą azywa się każdą todę oblicziową sprowadzalą do opracji aryttyczych dodawaia, odjowaia, ożia i dzilia Są to podstawow opracj atatycz, za od wików przz człowika a takż rozpozawal przz każdy procsor koputrowy Na fudaci tych cztrch działań liczbowych oża zbudować całą bazę oblicziową dla ij lub bardzij skoplikowaych zagadiń (p obliczai pirwiastka kwadratowgo z liczby iujj, al tż opracj całkowaia i różiczkowaia uryczgo) Dlatgo zazwyczaj przz urykę rozui się dzidzię atatyki zajującą się rozwiązywai przybliżoy zagadiń algbraiczych I rzczywiści, odkąd zjawiska przyrodicz zaczęto opisywać przy użyciu foralizu atatyczgo, pojawiła się potrzba rozwiązywaia zadań aalizy atatyczj czy algbry Dopóki były o iskoplikowa, dawały się rozwiązywać aalityczi, tz z użyci pwych przkształcń algbraiczych prowadzących do otrzyywaia rozwiązań ścisłych daych problów Z czas jdak, przy powstawaiu coraz to bardzij skoplikowaych torii opisujących zjawiska, probly t stawały się a tyl złożo, iż ich rozwiązywai ścisł było albo bardzo czasochło albo tż zgoła iożliw Nuryka pozwalała zajdywać przybliżo rozwiązaia z żądaą dokładością Ich podstawową zaltą była ogólość tak forułowaych algorytów, tz w raach dago zagadiia i iało zaczia czy było oo prost czy tż bardzo skoplikowa (ajwyżj wiązało się z większy akład pracy oblicziowj) Natoiast wadą była czasochłoość Stąd prawdziwy rsas tod uryczych astąpił wraz z powszchy użyci w pracy aukowj aszy cyfrowych, a w szczgólości ikrokoputrów (od lat siddzisiątych) Dziś złożoość tody uryczj i jst żady probl dzisiątki żudych dla człowika opracji aryttyczych wykouj koputr o wil ważijsza stała się aaliza otrzyago wyiku (gł pod kąt jgo dokładości) tak, aby był o ożliwi ajbardzij wiarygody Oczywiści tody urycz ogą służyć do rozwiązywaia kokrtych zagadiń algbraiczych (takich jak p rówaia iliiow czy probly włas) Na ogół jdak są o ostati ogiw w łańcuchu zway odlowai W clu okrślia zachowaia się jakigoś zjawiska w przyrodzi (tu uwaga będzi skirowaa a zagadiia fizycz, czyli odwracal), buduj się szrg jgo przybliżń zwaych odlai Modl buduj się przyjując coraz to ow założia i hipotzy upraszczając Z rzczywistgo systu fizyczgo ajpirw powstaj odl chaiczy, (czyli zbiór hipotz dotyczących p atriału, środowiska, zachowaia obciążia itd) Jgo rprztacją atatyczą jst odl atatyczy, czyli opis jgo zachowaia się przy okrśloych warukach chaiczych w postaci układu rówań różiczkowych cząstkowych (a ogół) Następy w koljości odl uryczy polga a zaiai wilkości ciągłych a dyskrt ozacza przjści do układu rówań algbraiczych, do rozwiązaia którgo służy wybraa toda urycza Po otrzyaiu wyiku uryczgo (przybliżogo) alży przprowadzić aalizę błędu Nalży zauważyć, iż błąd końcowy będzi obarczoy błędai z wszystkich poprzdich tapów odlowaia, a więc: Błęd iuikioy (błęd odlu), Błęd tody, Błęd uryczy

2 data utworzia: styczń 6, data odyfikacji: styczń Błąd odlu zwykl wiąż się z przyjęci złych paratrów początkowych lub brzgowych przy jgo tworziu Moż się tż okazać, iż przyjęto zbyt dalko idąc uproszczia ioddając dobrz waruków rzczywistych, w jakich odbywa się da zjawisko Mio tgo a ogół buduj się odl w iarę prost, a astępi przprowadza aalizę wrażliwości, tz sprawdza, jak duży wpływ a day pojdyczy czyik a jgo fukcjoowai Błąd tody wiąż się z przyjęci ało dokładych paratrów dla tj tody (zbyt rzadki podział obszaru ciągłgo a skończo odciki) lub z zastosowai zbyt ało dokładj tody (io dokładych paratrów) Mtod uryczych dla dago zagadiia jst a ogół bardzo dużo Wybór powii być dokoay z uwagi a przwidywaą postać rzczywistgo zachowaia się zjawiska Błąd uryczy wiąż się ściśl z prcyzją wykoywaych obliczń (ręczych przz człowika, przz kalkulator, przz koputr) Wyróżić oża błąd obcięcia i błąd zaokrąglń Błąd obcięcia wystąpi, gdy rozwijając daą fukcję w szrg odrzucay iskończoą liczbę wyrazów od pwgo ijsca, zachowując jdyi pwą początkową ich liczbę (w kalkulatorach działaiai pirwotyi są opracj dodawaia, odjowaia, ożia i dzilia, atoiast wszystki i, p obliczai wartości fukcji trygootryczych wiąż się z rozwijai tychż fukcji w szrgi potęgow z daą dokładością obcięcia) Błąd zaokrąglń wiąż się z rprztacją ułaków dzisiętych iskończoych (alży przy ty paiętać, iż koputr prowadzi obliczia z właściwą dla dago typu liczbowgo prcyzją, atoiast pokazywać graficzi wyiki oż z dokładością żądaą przz użytkowika wtdy a potrzby foratu prztacji zaokrągla z daą dokładością tak sao jst zrsztą w kalkulatorach) Ia klasyfikacja błędu uryczgo (tu rozuiago jako dokładość) to: Błąd względy (bzwyiarowy), Błąd bzwzględy Przyjując ozaczia: - wilkość przybliżoa oraz - wilkość ścisła, oża zapisać błąd bzwzględy δ i błąd względy Błąd względy jako bzwyiarowy często przdstawiay jst w proctach Podai saj wartości w uryc jst bzwartościow usi jj towarzyszyć jda z powyższych dokładości, (co zapisuj się jako: ± δ lub ( ± ) ) Waży pojęci w uryc jst pojęci cyfr zaczących Pirwsza cyfra zacząca to pirwsza izrowa cyfra licząc od lwj stroy ułaka dzisiętgo W praktyc jst to cyfra, do którj oża ić zaufai, iż i pochodzi z zaokrąglia, lcz zalazła się ta z rzczywistych obliczń Np 345 (4 cyfry zacząc), 345 (7 cyfr zaczących), 345 (5 cyfr zaczących), 345 (4 cyfry zacząc) itd Dokładość końcowa usi ić tyl cyfr zaczących, il ają waruki początkow Ozacza to w praktyc, iż i oża prowadzić obliczń zachowując p trzy ijsca po przciku, a ostatczy wyik podawać bzkari z większą iż ta dokładością Będzi o wtdy bzwartościowy, gdyż błąd zaokrąglń oż wkraść się awt a pirwszą pozycję dzisiętą, zwłaszcza jżli w trakci obliczń przprowadzao często działaia dzilia i odjowaia, któr obiżają dokładość wyiku

3 data utworzia: styczń 6, data odyfikacji: styczń ROZWIĄZYWANIE NIELINIOWYCH RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH Najprostszy wykorzystai tod uryczych jst urycz rozwiązywai rówań algbraiczych iliiowych Niliiowość oż być pochodzia gotryczgo (p w chaic przyjęci torii dużych odkształcń czy prziszczń) lub fizyczgo (iliiow związki kostytutyw, gdy atriał i podlga liiowu prawu sprężystości) Końcowy fkt takigo odlowaia w przstrzi jdowyiarowj przy jdj zij izalżj jst rówai postaci: F( ) worząc w okrśloy sposób rówai postaci: f ( ), gdzi f ( ) jst dowolą, iliiową fukcją zij oża stworzyć ciąg liczbowy postaci + f ( ) () rozpoczyając obliczia od dowolj (a ogół) liczby, zwaj pukt startowy:, f ( ), f ( ), f ( ), () 3 Graficzi procs t polga a szukaiu puktu wspólgo dla prostj y oraz krzywj y f ( ) Jżli wykoa się odpowidio dużo takich obliczń, to przy odpowidich warukach, jaki usi spłiać fukcja f ( ), procs okaż się zbiży (do okrśloj liczby ˆ ) Rówai () azywa się wtdy schat itracyjy, a ciąg przybliżń () procs itracyjy Liczby potrzbych itracji i da się z góry okrślić (będzi oa fukcją puktu startowgo oraz postaci schatu itracyjgo) Dlatgo o ijscu przrwaia itracji uszą świadczyć dodatkow krytria Forułuj się j dfiiując astępując iuj wilkości skalar: () + po zbiżości:, Rsiduu: F( ), F( ) () + Ilość itracji: (3) : + () () () () Wtdy o zakończiu obliczń dcydować będą waruki: dop, dop, a Dwa pirwsz są izalż od sibi i powiy być spłio rówoczśi rzci jst dla () () ich altratywą Liczby (tu: bzwyiarow),, są dayi z góry wilkościai dopuszczalyi dop dop a 3

4 data utworzia: styczń 6, data odyfikacji: styczń Przy forułowaiu powyższych krytriów użyto wilkości względych, (któr ogą być łatwo porówywa iędzy sobą) Czasai wskaza jst użyci wilkości wyiarowych, al wtdy okrśli czy liczba jst ała czy duża i jst już taki oczywist Maljąc tpo zbiżości świadczy o zbiżości dago schatu itracyjgo do jdj skończoj wartości (tu: ˆ ) Schat itracyjy rozbiży oż dawać coraz większ liczby wraz z wzrost liczby itracji (rozbiżość jako zbiżość do iskończoości), oż oscylować poiędzy dwia różyi wartościai (tzw procs istabily) lub po prostu okazać się osobliwy dla dago aki sytuacj wychwytuj tpo zbiżości, któr zaiast systatyczi alć utrzyuj się a ty say pozioi lub iograiczi rośi do iskończoości Natoiast ałość krytriu rsidualgo (rsztkowgo) świadczy o spłiiu wyjściowgo rówaia algbraiczgo () Moż się bowi zdarzyć, iż saa zbiżość procsu i gwaratuj zbiżości schatu do właściwgo rozwiązaia,tj takigo, ż F( ) Wtdy ˆ i wykaż t fakt izrow rsiduu, atoiast tpo zbiżości będzi io to alć Dopiro spłii obydwu krytriów gwaratuj uzyskai przybliżia właściwgo rozwiązaia wyjściowgo rówaia () Procsy itracyj ogą być zbiż i rozbiż jdostroi (wtdy zbliżay się lub oddalay od właściwgo rozwiązaia z jdj stroy od dołu lub od góry) lub dwustroi (wyiki itracji skaczą z jdj stroy wartości ścisłj a drugą cykliczi, przybliżając się do ij lub oddalając) Przykłady takich procsów pokazują poiższ rysuki Moża zauważyć pwą cchę wspólą dla fukcji prawj stroy f ( ) w przypadku procsów zbiżych i rozbiżych Wszystko zalży od achylia fukcji w pwy a, b ), w który poszukiwai jst rozwiązai Fukcj stro otocziu (przdzial [ ] powodują rozbiżość schatu ą stroość okrśla się przz kąt achylia wykrsu do osi, a krytriu zbiżości wyika z waruku Lipschitza wirdzi Jżli f ( ) spłia waruk Lipschitza: [ ] f ( ) f ( ) L, < L <,, a, b to rówai algbraicz f ( ) posiada co ajij jdo rozwiązai w przdzial [ a, b ] wirdzi Jżli f ( ) spłia twirdzi, to procs itracyjy f ( ) jst zbiży do rozwiązaia ścisłgo rówaia f ( ) dla [ a, b] + przy dowoly pukci startowy 4

5 data utworzia: styczń 6, data odyfikacji: styczń y y sc sc 3 3 Procs zbiży dwustroi Procs rozbiży dwustroi y y sc sc 3 3 Procs zbiży jdostroi Procs rozbiży jdostroi Koskwcją powyższych twirdzń jst astępujący wiosk: jżli kąt achylia fukcji ( ), jst ijszy iż 45º, to schat itracyjy jst f a pwy przdzial [ ] zbiży przy dowoly pukci startowy ags kąta achylia liczyy a podstawi ilorazu różicowgo fukcji f ( ) O wtualj zbiżości lub rozbiżości dcyduj schat, a dokładij: sposób zajdywaia fukcji prawj stroy f ( ) Sposób t staowi podstawę klasyfikacji dalszych tod itracyjych Na ogół schat powii ić zapwioą bzwarukową stabilość i zbiżość Rówai wyjściow: F( ) MEODA IERACJI PROSEJ + f ( ) 5

6 data utworzia: styczń 6, data odyfikacji: styczń Sposób zajdywaia fukcji f ( ) i jst z góry okrśloy, oż pochodzić z prostgo przkształcia: F( ) F( ) + f ( ) aki schat i a zagwaratowaj zbiżości ai stabilości MEODA IERACJI PROSEJ Z RELAKSACJĄ Pojęci rlaksacji w uryc ozacza igrcję w tpo zbiżości wyiku W todzi itracji prostj oża zrobić odyfikację polgającą a obróciu wykrsu fukcji ( ) f względ początku układu o taki kąt a, aby procs itracyjy był optyali szybko zbiży w okolicy dago puktu (pukt optyalj zbiżości) Rlaksacja i tylko poprawia tpo zbiżości, al rówiż potrafi zaiić wyjściowy schat rozbiży a zbiży Wartość kąta a alży wyzaczyć optyalizując owo otrzyay schat poprzz dodai do stargo czyika liiowgo odpowiadającgo za obrót (pukt optyalj zbiżości a ogół utożsaiay jst z pukt startowy ): f ( ) + α f ( ) + α ( + α) f ( ) + α f ( ) α + g( ) + α + α g( ) Optyalizujy owy schat itracyjy: g '( ) f '( ) α + ( α ) + α + α α f '( ) ak policzo α wstawiay do schatu g( ) : f ( ) f '( ) f '( ) f '( ) Końcowa postać schatu itracyjgo tody itracji prostj z rlaksacją: f ( ) f '( ) '( ) '( ) + f f MEODA SYCZNYCH (NEWONA) 6

7 data utworzia: styczń 6, data odyfikacji: styczń Dla pwgo otoczia h puktu rozwijay wartość wyjściowj fukcji F( + h) w szrg aylora: F( + h) F( ) + F '( ) h + F ''( ) h + F( ) + F '( ) h Ustalając i podstawiając F( + h) oża obliczyć przyrost h przy uprzdi odrzuciu wyrazów rozwiięcia wyższych rzęd iż pirwszy (zliaryzoway przyrost): F( ) h F '( ) Dla daj pary sąsidich przybliżń zachodzi: + + h Stąd po podstawiiu za h otrzyujy schat tody: + F( ) F '( ) Graficzi toda Nwtoa polga a budowaiu styczych w koljych przybliżiach począwszy od puktu startowgo oraz a szukaiu ijsc zrowych tych styczych Wzór a todę Nwtoa oża tż otrzyać stosując todę rlaksacji bzpośrdio do wyjściowgo rówaia F( ) Zaa jst tż odyfikacja tody dla pirwiastków wilokrotych (jżli rówai F( ) takiż posiada): U ( ) F( ) F( ) F ''( ) +, U ( ), U '( ) U '( ) F '( ) ( F '( )) MEODA SIECZNYCH W todzi Nwtoa do schatu itracyjgo potrzba jst zajoość pochodj fukcji F( ) Aby uikąć jj różiczkowaia, oża liczbową pochodą obliczać w sposób przybliżoy korzystając z wartości ilorazu różicowgo Wtdy potrzb są zawsz dwa pukty wstcz, aby zbudować kolj rozwiązai (graficzi stycza przchodzi w siczą), takż a say początku obliczń, + F( ) F( ) F( ) MEODA REGULA FALSI Jżli zastosujy todę siczych lub styczych do fukcji irgularj, która w sposób gwałtowy przchodzi z wypukłj a wklęsłą lub z aljącj a rosącą, jst 7

8 data utworzia: styczń 6, data odyfikacji: styczń ibzpiczństwo, iż kolj przybliżia rozwiązaia uciką dalko od początkowgo przdziału bz żadych szas a powrót i a zalzii ssowgo rozwiązaia Pooca oż się okazać pwa odyfikacja tody siczych, gdzi jd z puktów, a których buduj się kolj sicz, jst z góry ustaloy (jst to jd z puktów startowych), atoiast drugi z ich jst pukt ziy W razi oddalia się koljych przybliżń od obszaru startowgo, w ciągu astępych itracji astąpi powrót w jgo okolic (pukt stały), + F( ) F( ) F( ) MEODA BISEKCJI (POŁOWIENIA) Mtoda biskcji alży do ajstarszych i ajprostszych tod itracyjych, oprócz zajdywaia pirwiastków rówań rówiż jst wykorzystywaa przy zagadiiach optyalizacji fukcji Dla wyjściowgo rówaia F( ) szuka oa przybliżia rozwiązaia wwątrz przdziału ( a, b) Stąd, aby toda zadziała, usi być gwaracja istiia ijsca zrowgo w ty przdzial: F( a) F( b) < a + b Przy każdj itracji oblicza się środk przdziału Następi sprawdza się, w który z podprzdziałów ( a, ) oraz (, b ) lży ijsc zrow i t przdział podlga dalszu dziliu Jżli F( a) F( ) < to b, w przciwy przypadku a Podział przdziału ( a, b ) ikoiczi usi astępować a dwi rów części, oża go dzilić p w tzw złoty stosuku (czyli tak, aby b a b b a ) Przykład Podać schaty itracyj rozwiązaia rówaia si( ) + todai: (i) itracji prostj, (ii) itracji prostj optyali szybko zbiży, (iii) Nwtoa, (iv) siczych, (v) rgula falsi Zastosować tak sforułowa schaty do zalziia dwóch koljych przybliżń rozwiązaia startując z puktu (dla tody siczych i rgula falsi przyjąć drugi pukt startowy 5) Po każdy kroku itracyjy okrślić tpo zbiżości oraz tpo ziay rsiduu Wyjściow rówai: F + F ( ) si( ), ( ) Pirwiastki ścisł rówaia: 655, sc sc (i) toda itracji prostj Z rówaia F( ) wyzaczay w dowoly prosty sposób zią, p si( ) + 8

9 data utworzia: styczń 6, data odyfikacji: styczń (ii) Schat itracyjy: Obliczia: Krok : () + si( ) +,,,, si( ) + si( ) () F( ) si(44367) F( ) si( ) ( ) Krok : si( ) + si(44367) () F () ( ) si(6955) 6955 F( ) si( ) ( ) Z dokładością toda itracji prostj z rlaksacją () 6 < otrzyao po 6 itracjach wyik Korzystając z poprzdigo schatu tody itracji prostj f ( ) : si( ) +, zajdujy owy schat optyali szybko zbiży w okolicy puktu startowgo f ( ) si( ) + f '( ) cos( ) si( ) + f '( ) cos( ) cos( ) 9934 si( ) + si( ) + f '( ) f '( ) 9934, , 6634 f '( ) f '( ) Schat itracyjy: si( ) ,,,, Obliczia: Krok : 9

10 data utworzia: styczń 6, data odyfikacji: styczń si( ) si( ) ( ) () () F( ) si(538593) F( ) si( ) ( ) Krok : si( ) () F 3455 () ( ) si(434) 434 F( ) si( ) ( ) Z dokładością () 6 < otrzyao po 8 itracjach wyik (iii) toda Nwtoa Postać wyjściowa rówaia: F( ) si( ) +, F( ) Obliczi pochodj fukcji F( ) : F '( ) cos( ) + Schat itracyjy: si( ) + +,,,, cos( ) + Obliczia: () () 88, () () 6478, 5985, , <, < () 6 () 8 4 (iv) toda siczych Postać wyjściowa rówaia: F( ) si( ) +, F( ) Schat itracyjy:, 5 + (si( ) + ),,, si( ) + si( ) Obliczia:

11 data utworzia: styczń 6, data odyfikacji: styczń 95596, () () () () 78578, 3683, , <, < () 6 () 8 5 (v) toda rgula falsi Postać wyjściowa rówaia: Pukt stały: F( ) si( ) +, F( ) Schat itracyjy:, 5 + (si( ) + ),,, 3973 si( ) Obliczia: () () 95596, () () 4446, 84684, , <, < () 6 () 6 7 Przykład Rówai z poprzdigo zadaia rozwiązać w sposób przybliżoy todą biskcji Przyjąć 3 przdział (,3) Rozwiązai zalźć z dokładością Postać wyjściowa rówaia: F( ) si( ) +, F( ) Początk przdziału: a, koic przdziału: b 3 Obliczia zstawioo w tabli: a + b F( ) F( a ) a dop b () δ F( ) ()

12 data utworzia: styczń 6, data odyfikacji: styczń UKŁADY RÓWNAŃ NIELINIOWYCH Rozwiązywai układów rówań algbraiczych (liiowych lub iliiowych) to ajczęścij spotykay probl algbraiczy w zagadiiach fizyki Stąd potrzba opracowaia aparatu aalizy takich układów, ajczęścij w fori wktorowj i acirzowj Poiważ działaia wykoywa będą już i a pojdyczych liczbach tylko a wilkościach acirzowych, alży wprowadzić pojęci ory (wktora, acirzy) staowiącj rprztację tj wilkości w postaci pojdyczj liczby rzczywistj dodatij Dfiicja Nora wktorowa z wktora V wktorowa, jst skalar spłiający astępując waruki:,, V α α V, R, 3 + y + y,y V Najczęścij używa ory wktorow: i i a ( i) 3 i α, gdzi V to liiowa wyiarowa przstrzń, ora Euklidsa (śrdio kwadratowa),, ora Czbyszwa (aksiu), p p, 3 i p, uogólii dwóch powyższych przypadków ( p - ora i Euklidsa, p - ora Czbyszwa) Dfiicja Nora acirzowa A z acirzy kwadratowj ( a ij spłiający astępując waruki: A, A A, α A α A, α R, 3 A + B A + B, 4 A B A B Najczęścij używa ory acirzow: A A aij i j ( i) a a j ij A, ora Euklidsa (śrdio kwadratowa),, ora Czbyszwa (aksiu) ) jst skalar

13 data utworzia: styczń 6, data odyfikacji: styczń Często używa jst tż pojęci śrdij ory Euklidsa Wtdy przd pirwiastkowai suy kwadratów współrzędych dzili się dodatkowo tą suę przz liczbę wyrazów MEODA NEWONA RAPHSONA Mtoda służy do rozwiązywaia układów rówań iliiowych i staowi uogólii tody itracji prostj dla wilu rówań jdoczśi wirdzi F : a, b R, i,,, alży do wyiarowj przstrzi uklidsowj Nich [ ] i i i i R Nich f ( ) spłia astępując waruki f jst okrślo i ciągł w R, ora jakobiaowa z f spłia waruk J ( ) L, f F F J f F F 3 dla każdgo R f ( ) rówiż alży do Wtdy dla każdgo rozwiązaia ɶ R R ciąg itracyjy + ( ) f jst zbiży do jdozaczgo Rozważy pukt oraz jgo bliski otoczi + h Wtdy F ( + h) Rozwijając ostatią wilkość wktorową w szrg aylora otrzyuj się: ( ) F ( ) F F ( + h) F ( ) + h + h + F ( ) + J ( ) h + R( ) Liaryzując powyższy związk z względu a h i wyliczając wktor h otrzyuj się: - ( ) + ( ) - ( ) ( ) F J h h J F ( ) ( ) + h J F Przy taki zapisi schatu koicz byłoby odwracai acirzy J - ( ) a każdy kroku Aby tgo uikąć, oży się stroai przz J( ), co prowadzi do sforułowaia układu rówań liiowych (rozwiązywaych aalityczi lub uryczi) J( ) + J ( ) - F ( ) 3

14 data utworzia: styczń 6, data odyfikacji: styczń Krytria przrwaia itracji w przypadku wilowyiarowy: () + () dop, + () F ( + ) () dop F ( ) Najczęścij sprawdza się rozwiązai dla dwóch rodzajów or: dla ory aksiu, która wychwytuj ajwiększy błąd w obszarz rozwiązaia i śrdij ory kwadratowj, która ówi o śrdij jakości rozwiązaia Istiją róż odyfikacj tody Nwtoa Najprostsza polga a i ziiaiu wyjściowj acirzy jakobiaowj, co pociąga większą liczbę kroków, iż przy orygialj todzi, al tylko dla jdgo obliczaia acirzy (pooc oż być oawia w dalszych rozdziałach opracowaia rozbici a czyiki trójkąt) Możliw jst tż uaktualiai acirzy co pwą liczbę kroków, a więc ta, gdzi acirz ogła ulc istotj ziai Ia toda polga a dokoaiu rlaksacji J( ) + J ( ) - α F( ) (ajczęścij α, 3, 4 - tzw adrlaksacja) W przypadku wyraźj oscylacji rozwiązaia (p wyik przchodzi z jdj a drugą stroę osi ) ożliw jst wprowadzi przyśpiszia zbiżości itracji todą Aitka Wprowadzając ozaczia: - wartość rozwiązaia a j-ty kroku, - rozwiązai ścisł oża zapisać liiowy związk: α( ) j Przy założiu, ż współczyik α jst stały dla dwóch sąsidich itracji, oża zapisać układ rówań dla trzch koljych przybliżń rozwiązaia: α( ) α( ) Rozwiązując go z względu a otrzyuj się związk: + Wzór alży używać osobo dla każdj zij izalżj poprawiając wartość otrzyaą a -ty kroku itracji 4

15 data utworzia: styczń 6, data odyfikacji: styczń Przykład Rozwiązać astępujący układ rówań iliiowych Raphsoa Przyjąć wktor startowy {, } y + y 8 przprowadzać aalizę błędu Przyjąć astępując pozioy błędu: todą Nwtoa Po każdy kroku itracyjy, () 6 () 8 dop dop Wktor fukcyjy: F (, y) y F (, y) F (, y) + y 8 F F y y Macirz jakobiaowa: J (, y) (, y) F F y y Wktor startowy: 884 Schat itracyjy: J(, y ) J (, y ) F (, y ) + + y + y y + y y + y y y 8 y + + Aaliza błędów: +?? () y y 8 () () ( ) y + + F + + () < dop, < dop + + F ( ) y y + + y 8 Krok : y y y y y y y y y 8 y y y 6 y 884 Błędy w ori uklidsowj: 5

16 data utworzia: styczń 6, data odyfikacji: styczń () () ( 4 ) ( ) ( ) F ( 6 ) + + F( ) ( 8 ) Błędy w ori aksiu: () () ( F ) + 6 F( ) Sprawdzi krytriu zbiżości: 865 > () () 6 dop > () () 6 dop > () () 8 dop > () () 8 dop Krok : y y y y y y y y 8 y y y 67 Błędy w ori uklidsowj: 6

17 data utworzia: styczń 6, data odyfikacji: styczń , () ( () ) F + 4 F( ) 8 Błędy w ori aksiu: , () ( () ) F 4 F ( ) 8 67 Sprawdzi krytriu zbiżości: 545 > () () 6 dop 6667 > () () 6 dop 36 > () () 8 dop 36 > () () 8 dop Krok : y y3 57 Błędy w ori uklidsowj: F ( ) 554, 859 ( ) () 3 () 3 3 F 3 F ( 3) Błędy w ori aksiu: () () 57, 47 F ( ) Sprawdzi krytriu zbiżości: > () () 6 dop 859 > () () 6 dop 57 > () () 8 dop 47 > () () 8 dop itd 7

18 data utworzia: styczń 6, data odyfikacji: styczń Wyiki spłiając krytria zbiżości otrzyao po szóstj itracji, y { } Poiższ wykrsy przdstawiają tpo zbiżości rozwiązaia i rsiduu: w skali dzisiętj i logaryticzj liczo dla obydwu powyżj zastosowaych or pa zbiżości i rsiduu tpo zbiżości, rsiduu,5, r itracji CoEuk CoMa RsEuk RsMa pa zbiżości i rsiduu - skala logaryticza log(tpo zbiżości, rsiduu) ,5,5 log(r itracji) CoEuk CoMa RsEuk RsMa 8

19 data utworzia: styczń 6, data odyfikacji: styczń Przyśpiszi zbiżości todą Aitka a ss wtdy, gdy rozwiązai wyraźi skacz, przchodząc cykliczi z jdj stroy a drugą pwj ustaloj wartości W przypadku powyższy wyraźi obsrwowaa jst zbiżość od góry, a więc włączi algorytu Aitka i jst uzasadio i oż popsuć dobr już rozwiązaia Od stroy foralj jgo zastosowai będzi polgało a oblicziu owj, poprawioj wartości rozwiązaia po trzci kroku itracyjy Rozwiązai uzyska po trzci kroku: 3 35 y 57 3 Poprawii współrzędj 3 : Poprawii współrzędj y 3 : 3 y y y3 y y y + y Następy krok itracyjy ( 3) uwzględiałby oczywiści już poprawio powyżj wartości rozwiązaia: y y4 Wartości rozwiązaia po ty kroku z dokładością do szściu ijsc po przciku rówają się wyikowi ścisłu UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH W todzi Nwtoa Rhapsoa po liaryzacji rówań alży rozwiązać układ rówań liiowych Sposób algbraiczy (toda Crara) wyaga liczia wyzaczików i jst dość kłopotliwy Dlatgo wprowadzoo szrg tod uryczych do rozwiązywaia takich układów rówań Rozważay będzi astępujący probl algbry: A b, dt( A ) A - acirz współczyików układu ( ), wktor rozwiązań ( ), b wktor prawj stroy (wyrazy wol) ( ) Klasyfikacja tod do rozwiązywaia powyższgo zagadiia oż opirać się a własościach acirzy współczyików Wtdy oża rozróżić: acirz sytryczą: A A, acirz dodatio okrśloą: A >, R, 3 acirz o duży roziarz: >>, 4 acirz o spcjalj strukturz (p pasowj) 9

20 data utworzia: styczń 6, data odyfikacji: styczń Mtody rozwiązywaia oża podzilić wtdy a: tody liiacji (polgają a odpowidi rozkładzi acirzy A a czyiki a astępi a wylicziu jdgo po drugi wszystkich rozwiązań) są uciążliw oblicziowo, al za to dają wyik ścisły, p toda Gaussa Jordaa, toda Cholskigo; tody itracyj (polgają a zastosowaiu prostych tod itracyjych do każdgo z rówań algbraiczych z osoba, co daj w rzultaci ciąg wktorów przybliżń rozwiązaia ścisłgo), p toda Jacobigo, toda Gaussa Sidla, toda Richardsoa; tody kobiowa (liiacyjo itracyj); tody spcjal, p tody aalizy frotalj czy tody acirzy rzadkich (acirz a wil zr, ało współczyików izrowych, p toda hoasa) Mtody liiacji, któr zostaą oówio poiżj, polgają a rozkładzi wyjściowj acirzy A a czyiki, tzw czyiki trójkąt L i U: A L U Macirz dolotrójkąta L a astępującą własość: współczyiki izrow występują jdyi poiżj wyrazów a, j i przkątj główj, tj L : lij, acirz górotrójkąta U a własość ( ), j > i odwrotą: współczyiki izrow położo są powyżj przkątj główj, tj, j < i U : uij Po zalziiu tgo rozkładu rozwiązuj się tzw pozor układy ( ), j i rówań: krok wprzód: Ly b oraz krok wstcz: U y Układy, dzięki swojj trójkątj strukturz, pozwalają a uzyskai koljych rozwiązań rkurcyji wirsz po wirszu zaczyając liczi od góry (przy acirzy dolotrójkątj) lub od dołu (przy acirzy górotrójkątj) MEODA GAUSSA JORDANA A b, dt( A ) j a b, i,,, ij j i Wzory dla wrsji liiacji ltów pod przkątą główą i kroki wstcz: Ab Uy U y a a a ( k ) ( k ) ( k ) ij ij ik kj b b b ( k ) ( k ) ( k ) i i ik k, gdzi: a ik, k,,, ; i k +,, ; j,, a ( k ) ik ( k ) kk i bi aij j, i,,,, j i+ aii

21 data utworzia: styczń 6, data odyfikacji: styczń Wzory dla wrsji liiacji ltów ad przkątą główą i kroki wprzód: Ab Ly L y a a a ( k ) ( k ) ( k ) ij ij ik kj b b b ( k ) ( k ) ( k ) i i ik k, gdzi: a ik, k,,,; i k,,; j,, a ( k ) ik ( k ) kk i i bi aij j, i,,, j aii Wzory dla wrsji płj liiacji ltów acirzy: Ab Uy L a a a ( k ) ( k ) ( k ) ij ij ik kj b b b ( k ) ( k ) ( k ) i i ik k, gdzi: a ik, k,,, ; i k +,, ; j,, a ( k ) ik ( k ) kk a a a ( k ) ( k ) ( k ) ij ij ik kj b b b ( k ) ( k ) ( k ) i i ik k, gdzi: a ik, k,,,; i k,,; j,, a ( k ) ik ( k ) kk bi i, i,,, a ii W przypadku, gdy przy dt( A ), a io to przy obliczaiu współczyika ik wyraz ( k ) a kk alży odwrócić koljość wirszy (o urach i oraz k ) tablicy złożoj z wyrazów acirzy współczyików oraz wyrazów wktora prawj stroy Moża tż rozwiązywać układy rówań z wiloa prawyi stroai, wtdy całą acirz prawych stro ( B [ b ], gdzi jst liczbą prawych stro) prztwarza się rówoczśi ( ) ij Przykład Rozwiązać todą liiacji Gaussa Jordaa układ rówań A b, gdzi 6 A 6 3, 9 b 3 35 Zastosowaa zostai wrsja płj liiacji wyrazów acirzy do postaci diagoalj Z wyrazów acirzy A oraz wyrazów wktora b budujy tablicę liczb: W pirwszy kroku liiacji podlgają lty pod przkątą główą (z acirzy A powstai acirz górotrójkąta U), koljo -, - oraz 3 Do zrowaia -

22 data utworzia: styczń 6, data odyfikacji: styczń używay czyika liiacji Jst o rówy ilorazowi wyrazu, który a się wyzrować ( - ) przz odpowiadający u wyraz stojący w pirwszy wirszu od góry, który i ulga ziai (tu: wirsz pirwszy, wyraz ) Następi ziai podlga każdy wyraz w wirszu drugi (łączi z ostatią koluą wyrazów wolych) wg przpisu: owy wyraz rówa się różicy stargo wyrazu i iloczyu współczyika przz wyraz z tj saj koluy z wirsza górgo izigo dla tgo kroku (zowu wirsz pirwszy) Stąd owa postać wirsza drugigo: a ( ) +, a 6 ( ) ( ) 6 4, a 3 3 ( ) ( ) 3, b 9 ( ) ( 6) 9 7 Podobi dla wyzrowaia wyrazu a 3 współczyik 3 a owy zstaw wyrazów: a 3 ( ) +, a 3 3 ( ) ( ) 3, a 33 ( ) ( ) 9, b 3 35 ( ) ( 6) ablica wyrazów po ty kroku wygląda astępująco: Cały procs sprowadza się tak aprawdę do poożia pirwszgo rówaia ajpirw przz - i dodaiu go do drugigo a astępi przz - i dodaiu go do trzcigo W astępy, ostati górotrójkąty kroku liiacji podlga (daw 3 ) Współczyik 3 raz wirsz, który się i ziia jst wirsz drugi! Dlatgo w iaowiku jst a i - Postać owgo wirsza po liiacji (wyraz pirwszy i ulga ziai oża to łatwo sprawdzić, bo stoi ad i ): a 3, 33 ablica wyrazów wygląda traz astępująco: a 9 9, b

23 data utworzia: styczń 6, data odyfikacji: styczń Postać acirzy górotrójkątj: U Macirz dolotrójkątą tworzy się 7 astępująco: L Łatwo sprawdzić, iż LU A 3 3 raz liiacji podlgają wyrazy ad przkątą, koljo, - oraz - Do liiacji współczyik 3 a do liiacji - : 3 7 / 7 7 / 7 Postać tablicy po przkształciach: Ostati krok wyaga wyzrowaia - Ostati Końcowa postać tablicy (acirz A jst traz diagoala): Ostati przkształci polga a podziliu ostatij koluy wyrazów wolych przz odpowidi wyrazy diagoal ( b, b 4 5, b 3 3) Z własości 7 acirzy jdostkowj (, I b b ) wyika, iż wyrazy wol są 3 poszukiwayi rozwiązaiai wyjściowgo układu, czyli: 3

24 data utworzia: styczń 6, data odyfikacji: styczń 3 Przykład Rozwiązać todą liiacji Gaussa Jordaa układ rówań Na podstawi układu budujy tablicę: Współczyiki do wyzrowaia pirwszj koluy:, 3, 4, do drugij: , 4 Dalj koicz jst wyzrowai wyrazu a 43 Jdak obliczi 7 7 współczyika 43 wyagałoby dzilia przz zro ( 43 ) Czy to ozacza, ż "" wyjściowa acirz była osobliwa? Ni, po prostu wyjściowa koljość rówań powoduj taki ułożi współczyików acirzy w taki wypadku alży zaiić koljość wirszy w powyższy przykładzi ulgą zaiai wirsz trzci i czwarty Wtdy zro wskoczy a właściw sobi ijsc Natoiast osobliwość acirzy skutkowałaby w postaci późijszgo dzilia przz zro w czasi obliczaia wyrazów wktora rozwiązań Dalsz przkształcia tablicy:

25 data utworzia: styczń 6, data odyfikacji: styczń MEODA CHOLESKIEGO Mtoda opracowaa jst dla acirzy współczyików sytryczych dodatio okrśloych Dzięki taki własością acirzy A jst ożliwy astępujący jj rozkład: A L L Z sprawdzi sytrii acirzy i a a ogół problów, usi być spłioy waruk: A A a a, i, j,,, Natoiast badai dodatij okrśloości jst a ogół ij ji kłopotliw, dlatgo pooc oż okazać się astępując twirdzi: wirdzi Jżli acirz A o współczyikach rzczywistych jst sytrycza i ściśl doiująca a przkątj główj i dodatkowo posiada wszystki lty diagoal dodati, to acirz A jst dodatio okrśloa Macirz azyway ściśl doiującą a przkątj główj, jżli: aii > aij, i,,3,, j j i Wzór a rozkład acirzy w todzi Cholskigo oraz wzory a iwiado wktory i y: j l jj a jj l jk k l a l l j ij ( ij ik jk ) l jj k i i ( i ij j ),,, lii j y b l y i i yi l ji j, i,, j i+ lii Przykład 3, j,,, ; i j +,, 5

26 data utworzia: styczń 6, data odyfikacji: styczń Rozwiązać układ rówań A Cholskigo b, gdzi 4 6 A 5, 3 b todą liiacji 5 8 Aby zastosować todę Cholskigo do iosobliwgo układu rówań, alży sprawdzić waruk sytrii i dodatij okrśloości acirzy A Sytria jst spłioa, gdyż a a, a3 a3, a3 a3 3 Do zbadaia dodatij okrśloości wykorzystay tw: acirz sytrycza jst doiująca a przkątj główj, gdyż: 4 > +, 5 > + 4, 5 > + Rozłożi acirzy A a czyiki trójkąt L L : 4 l l l l3 5 l l l l 3 5 l3 l3 l 33 l 33 Dokoując odpowidich ożń wirszy acirzy L i kolu acirzy L i porówując wyik z odpowidi wyraz acirzy A wyzaczay iza wyrazy l ij : l l a 4 l 4 l l a l l l l3 a3 l3 l l + l a 5 l 5 l l l l l l a l l l l + l + l a 5 l 5 l l 5 Macirz dolotrójkąta: Macirz górotrójkąta: Krok wprzód Ly b : l L l l l3 l3 l 33 l l l3 U L l l 3 l 33 6

27 data utworzia: styczń 6, data odyfikacji: styczń 6 y 3 y 6 3 y 3 y (3 y ) + y y3 (8 y ) 4 y Krok wstcz L y : ( 3 ) ( 3 + ) Ostatczy wktor rozwiązań jst wktor Wyagai związa z dodatią okrśloością acirzy A oż być w wyjątkowych sytuacjach ispłio Wtdy acirz trójkąt L L istiją w dzidzii liczb zspoloych, al końcow rozwiązai jst rzczywist o il tylko układ i jst osobliwy Mtody itracyj, w odróżiiu od tod liiacyjych, dostarczają w wyiku tod itracji prostj (z rlaksacją) całgo zbioru przybliżń wktora rozwiązań, który przy - odpowidij liczbi itracji będzi zbiży do rozwiązaia ścisłgo A b W todach itracyjych z każdgo z rówań wyzaczay iwiadoą (z i -tgo rówaia pochodzi i-ta iwiadoa) za poocą wszystkich pozostałych Niwiado t podlgają oblicziu a podstawi zajoości poprzdigo przybliżia, a say początku a zajoości wktora startowgo ak działa toda Jacobigo, która zawsz korzysta z wyików z poprzdij itracji, atoiast toda Gaussa Sidla korzysta z iforacji z aktualj itracji, jżli jst to już ożliw Mtody t są zbiż, jżli acirz A jst dodatio okrśloa (jst to waruk wystarczający zbiżości) Sforułowai problu: A b, dt( A ) a b, i,,, j ij j i MEODA JACOBIEGO () () () () {,,, } ( k + ) ( ( k ) i bi aij j ), i,,, aii j j i Po rozłożiu acirzy A a składiki: sforułować w zapisi acirzowy: A b L + D + U b oża algoryt 7

28 data utworzia: styczń 6, data odyfikacji: styczń ( k ) ( k ) + D ( L+ U) + D b MEODA GAUSSA - SEIDELA () () () () {,,, } i ( k + ) ( ( k + ) ( k ) i bi aij j aij j ), i,,, aii j j i+ W zapisi acirzowy: ( k + ) - ( k + ) - ( k ) D L D U + D b Krytria przrwaia procsu itracyjgo są taki sa dla obydwu powyższych tod: kotrola tpa zbiżości: ( k + ) ( k ) () () ( k + ) dop ( k + ) A b () () kotrola wilkości rsiduu: dop A b Zastosowai rlaksacji polga a poprawiiu wktora rozwiązań po każdy kroku itracyjy wg wzoru:, ɶ + λ ( ), ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) i i i i gdzi λ jst paratr rlaksacji (przyjoway arbitrali a początku lub ustalay dyaiczi po każdy kroku) Przykład Rozwiązać układ rówań A b, gdzi A 5, 3 b todą itracji 5 8 () Jacobigo Przyjąć wktor startowy {,,} Po zapisaiu tradycyjy powyższgo układu i wylicziu z każdgo z rówań koljych iwiadoych, otrzyujy schat itracyjy tody Jacobigo ( k + ) ( ) ( 6 k + ) ( k + ) ( k ) ( k ) ( ) ( k + ) ( ) 3 (8 k + ) 5 8

29 data utworzia: styczń 6, data odyfikacji: styczń () Rozpoczyając obliczia od wktora startowgo {,,} otrzyujy ciąg przybliżń wktora rozwiązań, po każdy kroku kotrolując błąd obliczń (tpo zbiżości i rsiduu liczo dla dwóch rodzajów or: uklidsowj i aksiu): Itracja pirwsza ( k ): () () ( 6 + ) ( 6 + ) () () () ( ) (3 + + ) () () 3 (8 + ) (8 + ) A b () () () () () () (),,, () () () () A b 5 Itracja druga ( k ): () () ( 6 + ) ( 6 + 6) 4 4 () () () ( ) (3+ ( 5) + 6) () () 3 (8 + ) (8 + 6) A b 4,,, () () 63 A b 35 () () () () Itracja trzcia ( k ): (3) () ( 6 + ) ( ) (3) () () ( ) (3+ ( ) + 84) (3) () 3 (8 + ) (8 + 64) A b 589,,, () () 3 64 A b 54 () () () 3 () 3 9

30 data utworzia: styczń 6, data odyfikacji: styczń Procs jst bardzo wolo zbiży do rozwiązaia ścisłgo {,, } Po piętastu (5) itracjach otrzyao wyik {-39, , } Aby przyśpiszyć obliczia, oża zastosować tchikę, p adrlaksacji z paratr λ 6 Wtdy poprawio rozwiązaia po drugi kroku itracji wyosić będą: () () () () + λ ( ) ( + 5) () () () () + λ ( ) (64 6) 664 () () () () λ ( 3 3 ) (84 6) 984 Dopiro dla tych wyików policzo błędy wyoszą: 9 A b 736,,, () () 49 A b () () () () Poiższ wykrsy przdstawiają tpa zbiżości rozwiązaia i rsiduu rówaia dla opcji tody bz rlaksacji w orach: dzisiętj i logaryticzj tpo zbiżości rozwiązaia i rsiduu dokładości (rozw i rs),,8,6,4, 5 5 r itracji CoEuk CoMa RsEuk RsMa 3

31 data utworzia: styczń 6, data odyfikacji: styczń tpo zbiżości rozwiązaia i rsiduu - skala logaryticza log(dokładości (rozw i rs)) -,5 - -,5 - -,5-3 -3,5-4 -4,5,,4,6,8, log(r itracji) CoEuk CoMa RsEuk RsMa Moża spodziwać się większgo przyśpiszia zbiżości po zastosowaiu tody itracyjj Gaussa Sidla Przykład 5 Rozwiązać powyższ zadai todą itracji Gaussa Sidla Wyjściowy układ rówań: A b, gdzi 4 6 A 5, 3 b 5 8 Schat itracyjy tody Gaussa Sidla (zodyfikoway schat tody Jacobigo): ( k + ) ( ) ( 6 k + ) ( k + ) ( k + ) ( k ) ( ) ( k + ) ( ) 3 (8 k + + ) 5 a gdzi to jst ożliw wykorzystuj się już iforację ajświższą z aktualgo kroku itracyjgo k + Itracja pirwsza ( k ): 3

32 data utworzia: styczń 6, data odyfikacji: styczń () () ( 6 + ) ( 6 + ) () () () ( ) (3+ ( 5) + ) 5 5 () () 3 (8 + ) (8 + ) A b 365 () () () () () () (),,, () () () () A b 4 Itracja druga ( k ): () () ( 6 + ) ( 6 + ) () () () ( ) (3+ ( 5) + 6) () () 3 (8 + ) (8 + 64) A b 3,,, () () 3448 A b 6 () () () () Itracja trzcia ( k ): (3) () ( 6 + ) ( ) (3) (3) () ( ) (3+ ( 8) + 856) (3) (3) 3 (8 + ) ( ) A b 475,,, () () A b 576 () () () 3 () 3 (5) Po piętastu itracjach otrzyao rozwiązai {-,, } z dokładością do szściu ijsc po przciku Wykrsy zbiżości przdstawioo poiżj 3

33 data utworzia: styczń 6, data odyfikacji: styczń tpo zbiżości rozwiązaia i rsiduu dokładości (rozw i rs),8,6,4, r itracji CoEuk CoMa RsEuk RsMa tpo zbiżości rozwiązaia i rsiduu - skala logaryticza log(dokładości (rozw i rs)) -4-4,5-5 -5,5-6 -6,5-7,5,,5, log(r itracji) CoEuk CoMa RsEuk RsMa 33

34 data utworzia: styczń 6, data odyfikacji: styczń Odwracai acirzy dolotrójkątj ODWRACANIE MACIERZY Daa jst acirz dolotrójkąta L o wyiarz, szukaa jst acirz C taka, ż L C I Macirz C, odwrota do acirzy L jst rówiż acirzą dolotrójkąta Wzory ogól: cii i,,, lii i cij lik ckj i,,, j,,, i lii k j Przykład 3 Odwrócić acirz dolotrójkąta c L 4 C c c c3 c3 c 33 c L C I 4 c c c3 c3 c 33 Dokoujy ożń odpowidich wirszy acirzy L i kolu acirzy C tak, aby wyzaczyć wyrazy acirzy C za każdy raz porówując wyiki tych ożń z odpowidi wyraz acirzy jdostkowj c + c + c c 3 c + c 4 + c3 6 c c 3+ c 5 + c3 c3 + c 4 + c3 6 c c 5 + c3 6 c c33 c

35 data utworzia: styczń 6, data odyfikacji: styczń C Odwracai acirzy górotrójkątj Daa jst acirz górotrójkąta U o wyiarz, szukaa jst acirz C taka, ż U C I Macirz C, odwrota do acirzy U jst rówiż acirzą górotrójkąta Wzory ogól: cii i,, uii j cij uik ckj i,, j,, i + u ii k i + Przykład 4 Odwrócić acirz górotrójkąta 3 c c c3 U 4 5 C c c 3 6 c 33 3 c c c3 U C I 4 5 c c 3 6 c 33 Postępowai jst idtycz jak w przypadku acirzy dolotrójkątj 35

36 c Sławoir Milwski c c + c c 4 c3 + c3 + c33 6 c33 6 c + c + 3 c 5 c3 + c3 4 + c33 5 c3 4 c3 + c3 + c33 3 c3 5 C data utworzia: styczń 6, data odyfikacji: styczń Mtoda Cholskigo Jst to toda odwracaia acirzy sytryczych, dodatio okrśloych Polga oa a rozłożiu wyjściowj acirzy a czyiki trójkąt: A L L a astępi a odwróciu każdgo z ich osobo i wyożiu tak, ż: Wzory a rozkład acirzy A a czyiki trójkąt: - - A L L j l jj a jj l jk j,, k j lij ( aij lik l jk ) i j +,, l jj k Po uzyskaiu acirzy dolotrójkątj L i górotrójkątj L odwraca się j korzystając z wzorów zaprztowaych w poprzdich podrozdziałach, a astępi oży obydwi acirz odwrot, al w odwrotj koljości Mtody powiąza z rozwiązywai układów rówań Z dfiicji acirzy odwrotj do acirzy A wyika astępująca zalżość: 36

37 data utworzia: styczń 6, data odyfikacji: styczń a a a c c c a a a c c c - A A I a a a c c c Powyższy zapis oża rozbić a układów rówań, z których każdy służy do obliczia - koljj, k-tj koluy acirzy A a a a c k b k a a a c k b k k,,,, a a a ck bk gdzi wyrazy wktora prawj stroy: b jk dla j k dla j k W zalżości od tody rozwiązywaia tych układów rówań oża ówić o todach liiacji (p toda liiacji Gaussa wtdy rozwiązuj się jd układ, al z prawyi stroai) lub todach itracyjych (p toda Jacobigo lub toda Gaussa-Sidla) Mtoda liiacji Gaussa rasforacji podlgają wyjściowa acirz iosobliwa A oraz acirz C, która a początku, i j obliczń jst acirzą jdostkową, tz Cij, i j a a a ( k ) ( k ) ( k ) ij ij ik kj c c c ( k ) ( k ) ( k ) ij ij ik kj, gdzi: a ik, k,,, ; i k +,, ; j,, a ( k ) ik ( k ) kk a a a ( k ) ( k ) ( k ) ij ij ik kj c c c ( k ) ( k ) ( k ) ij ij ik kj, gdzi: a ik, k,,,; i k,,; j,, a ( k ) ik ( k ) kk cij cij, i, j,,, a ii 37

38 data utworzia: styczń 6, data odyfikacji: styczń NADOKREŚLONY UKŁAD RÓWNAŃ Jżli w day układzi rówań liiowych A b jst więcj rówań iż iwiadoych ziych, to taki układ azywa się adokrśloy Jżli wszystki rówaia są liiowo izalż, to układ i a jdgo wspólgo rozwiązaia, tj puktu, w który wszystki prost przciają się W taki wypadku szuka się tzw psudorozwiązaia, czyli puktu, który i lży a żadj prostj, al jgo odlgłości od każdj z prostych są iial w ssi jakiś ory Nich A będzi acirzą, gdzi (liczba wirszy) ozacza liczbę rówań, atoiast (liczba kolu) ozacza liczbę iwiadoych W układzi adokrśloy: >, w układzi idookrśloy: < Nich b będzi wktor wyrazów wolych o wyiarz W pirwszy kroku buduj się wktor (,,, ) zawirający odlgłości prostych od psudorozwiązaia Następi szuka się i Jżli zastosujy orę śrdiokwadratową: + + +, to dalsz postępowai azywa się todą ajijszych kwadratów Moża tż stosować orę aksiu Mtoda ajijszych kwadratów Zapis wskaźikowy (korzysty przy oblicziach ręczych): ( ij j i ) - fukcjoał błędu i j B a b B a ( a b ) ik ij j i k i j - iializacja fukcjoału Nowy układ rówań liiowych (wyiar: ): a a a b, k,,, ik ij j ik i i j i Zapis acirzowy (korzysty przy ipltacji koputrowj): B ( A b) ( A b) B A ( A b) A A A b Przykład Rozwiązać adokrśloy układ rówań + y + y y y y y + 38

39 data utworzia: styczń 6, data odyfikacji: styczń B(, y) (, y) ( + y ) + ( y) + ( y + ) B ( + y ) + ( y) + ( y + ) B ( + y ) ( y) 4 ( y + ) y 6 3 y y 6 9 y psudorozwiązai Moża tż policzyć aksyaly błąd tgo wyiku: Ba B(, y) 8574 Czasai stosuj się tż tzw ważoą todę ajijszych kwadratów Aby zwiększyć lub zijszyć wpływ jdgo z rówań a wyik końcowy, oża przypisać każdu z rówań wagę (fukcję lub liczbę) i większą ty bliżj tj prostj będzi lżało psudorozwiązai Wprowadza się diagoalą acirz wagową: W diag{ wii }, i,,, zbirającą wagi przypisa wszystki rówaio Odpowidi odyfikacj ostatczych układów rówań są astępując: w zapisi wskaźikowy: w zapisi acirzowy: a w a w a b, k,,, ik ii ij j ii ik i i j i A WA A W b Przykład Rozwiązań adokrśloy układ rówań z przykładu, przypisując każdu z rówań wagę będącą jgo ur koljy w, w, w 3 Wagi: 33 Fukcjoał błędu: B(, y) ( + y ) + ( y) + 3 ( y + ) B ( + y ) + ( y) + 3 ( y + ) B ( + y ) ( y) 4 3 ( y + ) y 4y , Ba y 8 y

40 data utworzia: styczń 6, data odyfikacji: styczń WAROŚCI WŁASNE I WEKORY WŁASNE MACIERZY Wartościai własyi acirzy A stopia azyway taki wartości λ, λ,, λ paratru λ, dla których układ rówań A λ () a izrow rozwiązai Wktor r, spłiający przy λ λr układ rówań (), azyway wktor własy acirzy A Układ () a izrow rozwiązai wtdy, gdy jgo wyzaczik jst rówy zro, tz ( A λi ) Po rozwiięciu powyższgo wyzaczika otrzyay rówai algbraicz stopia : a a a + λ + λ + + ( ) λ zwa rówai charaktrystyczy acirzy A Pirwiastki tgo rówaia są oczywiści wartościai własyi acirzy A Przykład Nich 4 3 A Zajdziy traz rówai charaktrystycz acirzy A A λi λ 4 3 λ λ λ Rozwijając t wyzaczik wdług ltów pirwszgo wirsza, otrzyujy 3 λ 3 λ ( λ) λ 4 λ λ ( λ)(3 λ)( λ)( λ) 4[(3 λ)( λ) + ] ( λ 4)( λ )( λ )( λ + ) 4

41 data utworzia: styczń 6, data odyfikacji: styczń Wartości włas acirzy A są rów λ 4, λ, λ3, λ4 Aby otrzyać wktory włas, alży rozwiązać układ rówań A λ, gdzi zaiast λ będziy podstawiać kolj obliczo wartości włas Podstawiając λ 4, oraz ozaczając współrzęd wktora własgo przz v, v, v3, v 4, otrzyujy astępujący układ 4 v v 3 lub po rozpisaiu v v 4 v 3 v 3 v4 v4 v + 4v4 4v 3v + v3 4v v 4v3 v + v + v 4v 4 4 skąd obliczay v 4 v3, v v3, v4 3v3 Oczywiści wktor własy i jst okrśloy jdozaczi Jżli dodatkowo dokoać jgo oralizacji, p zażądać, aby jgo ajwiększa współrzęda była rówa jdości to wtdy otrzyay 3 (,,, ) 4 4 Podobi otrzyay pozostał wktory włas (,,, ), 3 (,,,), 4 (,,, ) 4 Moża oczywiści iaczj zoralizować day wktor, p tak, aby jgo długość była rówa jdości, tz v + v + + v Podaa w powyższy przykładzi toda zajdywaia wartości własych oraz wktorów własych jst bardzo pracochłoa, szczgóli w przypadku acirzy wysokigo stopia Dlatgo tż rzadko rozwiązuj się probl własy acirzy a podstawi dfiicji Szczgóli kłopotliw oż być wyzaczi saych wartości własych, gdy wiloia występujący w rówaiu charaktrystyczy i a pirwiastków wyirych Przykład Nich 4

42 data utworzia: styczń 6, data odyfikacji: styczń 3 A 4 3 Rówai charaktrystycz λ 3 ( A λi ) λ 4 3 λ po rozwiięciu (p względ pirwszgo wirsza) a postać astępującgo wiloiau 3 λ λ λ Wiloia t i posiada pirwiastków wyirych, (co łatwo sprawdzić, gdyż ogłyby o wyosić odpowidio λ i, 3, 9, 7 al żada z tych liczb i spłia rówaia) Rówai trzcigo stopia posiada odpowidi wzory a swoj pirwiastki rzczywist, (jżli istiją) tzw wzory Cardaa, al są o dość uciążliw w użyciu Dlatgo posłużyy się w ty przypadku todai uryczyi dla okrślia jdgo z pirwiastków, aby pozostał dwa wyzaczyć już w sposób aalityczy Budując z powyższgo wiloiau schat itracyjy dla tody Nwtoa F λ λ λ λ 3 ( ) λ λ λ λ λ λ λ 3 F( ) F '( λ ) 3λ λ oraz startując p z λ otrzyujy dla cztrch koljych itracji λ 3 λ λ 78 λ Ostati wyik oża uzać już za satysfakcjoujący gdyż odpowiadając u tpo λ3 λ4 zbiżości 3 jst rlatywi ałą liczba λ 4 Zat przyjujy do dalszych obliczń λ λ4 758 W clu wyzaczia pozostałych pirwiastków rówaia dziliy wyjściowy wiloia przz ( λ 758) otrzyując w rzultaci 3 λ λ λ λ λ λ ( 758)( ) Rówai kwadratow rozwiązujy w zay aalityczy sposób wyzaczając pozostał dwa pirwiastki Ostatczi wartości włas acirzy A wyoszą (w koljości rosącj) λ 968, λ 758, λ

43 data utworzia: styczń 6, data odyfikacji: styczń Dla porówaia aalityczi policzo wartości włas wyoszą 969, 759, 5947 Zat powyższ wilkości urycz są bardzo dobry przybliżi ścisłych wyików aalityczych Dalj postępujy podobi jak w przykładzi w clu wyzaczia wktorów własych Dla λ 968 i odpowiadającgo jj wktora v (, y, z) budujy układ rówań λ λ 4 y y 3 λ z 4968 z Do dwóch pirwszych rówań (trzci to tożsaość w stosuku do ich) dołączay waruk a jdostkową długość wktora własgo y z y + 4 z + y + z Rozwiązai tgo układu daj współrzęd wktora v y z 3857 Aalogicz obliczia oża przprowadzić dla pozostałych wartości własych Odpowiadając i wktory włas wyoszą v (, y, z ) 8783 y 4589 z v (, y, z ) 4379 y z W ogólości dla dowolj acirzy oż okazać się, iż daa acirz i posiada wartości własych rzczywistych lub posiada wartości włas wilokrot W drugi przypadku i istij jd uoroway wktor własy, al cały ich zbiór lżący a kokrtj płaszczyźi Bardzo często występującyi acirzai w aukach tchiczych są acirz sytrycz, p w chaic ciała odkształcalgo takii acirzai są acirz aprężń i acirz odkształcń dla atriału izotropowgo Moża wykazać astępując twirdzi: wirdzi Każda acirz sytrycza dodatio okrśloa posiada wszystki wartości włas rzczywist dodati i róż od sibi Przykład 3 Macirz aprężń dla płaskigo stau aprężia opisaa jst w każdy pukci ciała 3 A 43

44 data utworzia: styczń 6, data odyfikacji: styczń Zalźć postać acirzy w układzi własy oraz jj kiruki głów Układay rówai charaktrystycz (tu rówiż azywa rówai wikowy lub skulary) 3 λ ( A λi ) λ 5λ + 4 λ Wartości włas wyoszą λ, λ 4 Wktory włas: dla λ 3 + y y + y stąd 86497, y dla λ y 4 y + y stąd 57735, y 86497, Dla wktorów własych (tu: wrsorów wyzaczających osi głów) acirzy sytryczych istij waruk ich wzajj ortogoalości y y co sprowadza się do obliczia iloczyu skalargo wktorów (dla wktorów prostopadłych iloczy skalary jst rówy zru) W aalityczj i uryczj aalizi problów własych acirzy poocicz są astępując twirdzia: wirdzi Jżli acirz posiada róż wartości włas to istij zbiór liiowo izalżych wktorów własych, z dokładością do stałj, co ozacza istii jdozaczych kiruków tych wktorów wirdzi 3 (Cayly Hailtoa) Macirz sytrycza drugij walcji ( charaktrystycz A a ) spłia swoj włas rówai ij 44

45 data utworzia: styczń 6, data odyfikacji: styczń A I A + I A I I, 3 A A A 3 A A A gdzi I, I, I3 są jj iziikai wirdzi 4 Jżli g( ) jst wiloia, a λ jst wartością własą acirzy A, to g( λ ) jst wartością własą acirzy g( A ) Przykład 4 Wartości włas acirzy A wyoszą λ i {,,,3} 3 B A A + A I Obliczyć wartości włas acirzy Koskwcją twirdzia 4 jst przisii zalżości idzy acirzai A i B a zalżość iędzy ich wartościai własyi, czyli: λ λ λ + λ 3 B A A A co pozwala bardzo łatwo obliczyć wartości włas acirzy B λ ( ) ( ) ( ) 8 λ + 3 λ + 3 λ wirdzi 5 rasforacja acirzy A przz podobiństwo i ziia jj wartości własych Jżli R jst acirzą iosobliwą to trasforacją przz podobiństwo azyway - przkształci R A R Wartości włas tj owj acirzy są taki sa jak wartości włas acirzy wyjściowj A wirdzi 6 rasforacja ortogoala acirzy A i ziia ai jj wartości własych ai jj wtualj sytrii Jżli Q jst acirzą iosobliwą i taką, ż Q Q I to trasforacją ortogoala azyway przkształci Q AQ Wartości włas tj owj acirzy są taki sa jak wartości włas acirzy wyjściowj A wirdzi 7 (Grszgoria) Nich A będzi acirzą kwadratową o wyiarz i wyrazach a ( i, j,,, ) Jżli okrśliy dyski ui, i,,, o środkach odpowiadający wyrazo a ii a przkątj ij 45

46 data utworzia: styczń 6, data odyfikacji: styczń główj acirzy i proiiach R i, gdzi własych) oża oszacować poprzz wzory: R i aik to wido acirzy A (zbiór wartości k k i λ λ, λ λ λ i a i a > i( a R ) i < a( a + R ) i ii ii i i Oszacowaia powyższ stają się rzczywistyi wartościai λi i λ a dla acirzy ściśl doiującj a przkątj główj Macirz azyway acirzą ściśl doiującą a przkątj główj, jżli: aii > aij, i,,, j j i Przykład 5 Oszacować wido wartości własych korzystając z twirdzia Grszgoria dla acirzy: 3 A Wyrazy a przkątj główj: a, a 4, a33 3 Proii dysków: R + 3 4, R + 3, R Oszacowai wartości własych: λ i 4 6 > i 4 3 i 6, λi > λa < a 4 3 a 7 + 8, λa < czyli λ 6,8 W rzczywistości acirz A a jdą wartość własą rzczywistą rówą: 9886 iszczącą się w powyższy przdzial Jdy z zastosowań powyższgo twirdzia jst jgo wykorzystai do zbadaia dodatij okrśloości daj acirzy kwadratowj A Macirz A o wyiarz azyway acirzą dodatio okrśloą, jśli jst iosobliwa ( dt( A ) ) oraz dla dowolgo wktora R spłioa jst irówość A > 46

47 data utworzia: styczń 6, data odyfikacji: styczń Poiważ badai dodatij okrśloości acirzy z dfiicji jst kłopotliw, stosuj się to tgo róż twirdzia, oprócz twirdzia -szgo takż: wirdzi 8 Jżli acirz kwadratowa A o wyrazach rzczywistych jst ściśl doiująca a przkątj główj i a dodati wyrazy a przkątj główj to A jst dodatio okrśloa Często rówiż wykorzystuj się do badaia dodatij okrśloości acirzy pojęci podwyzaczika acirzy: jśli zaki podwyzaczików acirzy (od rzędu -szgo aż do rzędu -tgo) tworzą aprziy ciąg lub są taki sa to acirz jst dodatio okrśloa Wdług twirdzia -szgo, aby wykazać, ż acirz jst dodatio okrśloa, alży udowodić, iż jj wartości włas są dodati i róż od sibi Poiważ twirdzi Grszgoria oszacowuj wido acirzy, oża go zastosować w clu zbadaia pirwszj tzy Natoiast zbadai, czy wartości włas są od sibi róż, wyaga zastosowaia tzw ciągów Stura i i będzi rozważa w ty opracowaiu Przykład 6 Wykorzystać twirdzi Grszgoria do zbadaia dodatij okrśloości astępujących acirzy: 3 A 3 B 3 Dla acirzy A: λi > i i, λi > λ (, 4) + 4 λa < a a 4 + 4, λa < Wiosk: acirz A oż być dodatio okrśloa Dla acirzy B: 3 3 λi > i 3 4 i, λi > 3 4 λ (,7) λa < a 3 4 a 7 + 7, λa < Wiosk: acirz B i jst dodatio okrśloa 47