Pomiar ryzyka metodą VaR a modele AR-GARCH ze składnikiem losowym o warunkowym rozkładzie z "grubymi ogonami"
|
|
- Karol Mazurkiewicz
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Krzyszof Pioek Kaedra Iwesycji Fiasowyc i Ubezpieczeń Akademia Ekoomicze we Wrocławiu Pomiar ryzyka meodą VaR a modele AR-GARCH ze składikiem losowym o warukowym rozkładzie z "grubymi ogoami" WSTĘP Spośród wielu rodzajów ryzyka aalizowayc a rykac fiasowyc [7], szczególą uwagę zwrócoo a ryzyko rykowe związae ze zmiaami ce akcji, walu, owarów, isrumeów zależyc od sop proceowyc oraz isrumeów pocodyc. Jedą z grup meod pomiaru ryzyka rykowego saowią, zdobywające coraz większą popularość, miary zagrożeia (dowside risk measures) [8], z kóryc ajpopulariejszą (coć ie pozbawioą pewyc wad) miarą pozosaje Value a Risk (VaR). U podsaw rozważań o miarac zagrożeia zajduje się dyskusja o rozkładac ce lub sóp zwrou oraz o dyamiczyc modelac opisującyc zmiay ce, bądź sóp zwrou aalizowayc isrumeów. Sadardowe (ajprossze) modele zakładają, że procesem kszałującym zmiay ce akcji, walu i owarów jes geomeryczy proces Browa ze sałymi w czasie paramerami dryfu (redu) i zmieości. Model e zakłada, że rozkład sóp zwrou jes rozkładem ormalym, a poszczególe sopy zwrou pocodzą z rozkładów ideyczyc i iezależyc. Własość a ie powierdza się empiryczie. W wielu pracac [4,,4,] przedsawioo badaia empirycze dla różyc fiasowyc szeregów czasowyc. Badaia e wykazały wysępowaie a rykac fiasowyc: efeku skupiaia (gromadzeia) zmieości (volailiy cluserig), co ozacza, że zarówo małe, jak i duże zmiay kursu asępują seriami, iesałości zmieości w czasie, efeku lepokurozy i grubyc ogoów rozkładów sóp zwrou, co ozacza, że prawdopodobieńswo wysąpieia dużyc, ieypowyc zmia kursu (duże co do warości bezwzględej sopy zwrou) jes większe iż gdyby sopy zwrou pocodzily z rozkładu ormalego, efeku auokorelacji sóp zwrou, szczególie w okresac o małej zmieości, skośości rozkładów sóp zwrou (ajczęściej obserwuje się rozkłady prawosroie skośe, lecz ie jes o regułą), efeku ujemego skorelowaia poziomu kursów i poziomu zmieości ce (efek dźwigi). W lieraurze polskiej spoyka się łumaczeia warość zagrożoa, warość arażoa a ryzyko. W dalszej części pracy posługiwać się będziemy ajlepiej urwaloym zarówo pośród prakyków, jak i aukowców skróem VaR. Są o ajprossze isrumey bazowe, a kóre wysawia się opcje. Popularość geomeryczego rucu Browa związaa jes wpros z ajpopulariejszym modelem wycey opcji wprowadzoym przez Blacka i Scolesa, u kórego podsaw zajduje się właśie założeie, że cey isrumeu bazowego zmieiają się zgodie z geomeryczym rucem Browa.
2 Są o jedyie podsawowe efeky zaobserwowae w szeregac sóp zwrou i zmieości isrumeów fiasowyc. Oprócz yc, moża by eż wyróżić p. efek długoermiowej zależości sóp zwrou, efek korelacji pomiędzy sopami zwrou różyc isrumeów lub wręcz różyc segmeów ryku, bądź ryków (volailiies comoveme) oraz całą gamę zw. efeków kaledarzowyc związayc z odmieymi rozkładami sóp zwrou dla iekóryc di ygodia lub dla iekóryc miesięcy. Niezbęde sało się więc poszukiwaie modeli lepiej opisującyc zacowaie się szeregów ce i sóp zwrou (uwzględiającyc przyajmiej iekóre z wymieioyc powyżej efeków), kóre moża by wykorzysać w wyzaczaiu miary VaR. W iiejszej pracy, jako poecjale modele umożliwiające opis kszałowaia się sóp zwrou, przyjęe zosały modele AR()-GARCH(,) ze składikiem losowym, kórego warukowy rozkład jes rozkładem ormalym, symeryczym rozkładem -Sudea lub rozkładem GED (Geeral Error Disribuio). Procesy e umożliwiają modelowaie szeregów z auokorelacją, lepokurozą rozkładów sóp zwrou oraz z efekem gromadzeia zmieości. Dokoao weryfikacji przydaości poszczególyc modeli do opisu dzieyc logarymiczyc sóp zwrou z ideksu WIG (sopy zwrou z okresu , 35 obserwacji), ideksu SP500 (sopy zwrou z okresu , 87 obserwacje) oraz ideksu DJIA (sopy zwrou z okresu , 0000 obserwacji).. Aalizowae modele szeregów sop zwrou Jak już zosało zasygalizowae, rozważaia o pomiarze ryzyka rykowego meodą VaR rozpocząć ależy od wyboru (i uzasadieia) modeli dyamiki sop zwrou. Od wyboru modelu sóp zwrou zależy późiejszy pomiar warości VaR. Ograiczeie się do klasy modeli AR()-GARCH(,) [4,] podykowae zosało wcześiejszymi badaiami przeprowadzoymi dla ideksu WIG []oraz fakem, że w większości przypadków aalizowayc w lieraurze przedmiou wybór rzędu procesu auoregresji a poziomie AR() oraz procesu GARCH a poziomie GARCH(,) jes wysarczający dla ucwyceia efeku auoregresji oraz eeroskedasyczości. Poiżej a rys. i rys. przedsawioe zosały (w ramac uzasadieia wyboru modelu) auokorelacje szeregu sóp zwrou dla ideksu WIG oraz auokorelacje kwadraów sóp zwrou. Obserwujemy zaczącą auokorelacje rzędu pierwszego oraz zaczące auokorelacje kwadraów sóp zwrou, co jes uzasadieiem wykorzysaia modelu umożliwiającego modelowaie zmieej w czasie wariacji procesu (modelu GARCH). Dokładiejszą weryfikację ipoez o wysępowaie efeku auokorelacji sop zwrou oraz o wysępowaiu efeku GARCH dla ideksu WIG przedsawioo w pracy []. Do esowaia efeku auoregresji wykorzysao es isoości współczyika auokorelacji [3], isoość pozosałyc auokorelacji wyższyc rzędów zbadao esem Q Ljuga-Boxa- Pierce a [3] 3. Współczyik auokorelacji rzędu pierwszego okazał się isoy, aomias w 3 W wielu przypadkac prose esy isoości auokorelacji zawodzą wobec współwysępowaia efeku eeroskedasyczości w aalizowaym szeregu. Odpowiedi es auoregresji przy współwysępowaiu eeroskedasyczości zapropooway zosał w pracy [6]
3 sosuku do auokorelacji wyższyc rzędów brak jes podsaw do odrzuceia ipoezy zerowej o ieisoości obserwowayc auokorelacji. Wysępowaie efeku eeroskedasyczości zbadao przy pomocy esu zapropoowaego przez Egle a [4]. Uzyskaa saysyka esowa pozwala odrzucić ipoezę zerową o braku eeroskedasyczości w aalizowaym szeregu. Powyższe faky zadecydowały o przyjęciu do dalszyc aaliz modeli klasy AR()- GARCH(,). Rząd modelu GARCH ograiczoy zosał do modelu GARCH(,) akże z powodu ego, że błędy esymacji są zby duże dla krókic szeregów czasowyc (akic jak WIG). Rys.. Auokorelacja szeregu sóp zwrou dla ideksu WIG Źródło []. Rys.. Auokorelację kwadraów szeregu sóp zwrou dla ideksu WIG Modele eoreycze W dalszej części pracy rozparywae będą modele AR()-GARCH(,) sóp zwrou dae asępującymi wzorami: r µ + ϕ + () = r = η η = ϖ + α + β ~ IID(0,) () (3) (4) r o logarymicza sop zwrou wyzaczaa a podsawie cey w momecie ( P ) oraz cey w momecie - ( P ) przy pomocy wzoru: P r = l (5) P η o składik losowy pocodzący z rozkładu o zerowej średiej i jedoskowej wariacji. µ, ϕ, ϖ, α, β - o paramery modelu. Tak zdefiioway model zakłada, że warukowa warość oczekiwaa sop zwrou wyosi: m µ + ϕr (6) =
4 a warukowa wariacja zadaa jes rówaiem (3). Na podsawie prosego przekszałceia wzoru () uzyskujemy: η = (7) W podsawowej wersji zapropoowaej przez Egle a i Bollersleva modele eeroskedasycze cecowały się warukowym ormalym rozkładem składika losowego. Okazało się jedak, że rzeczywise reszy modelu posiadają warukowy rozkład o grubszyc ogoac iż rozkład ormaly. Zapropoowao więc szereg iowacji w ym zakresie. W iiejszej pracy aalizie poddao 3 możliwe rozkłady zmieej η dae poiższymi wzorami: rozkład ormaly - N(0,): = N N f exp ) ;, ( π θ (8) rozkład -Sudea -S(0,,) ( ) ( ) / ) ;, ( + + Γ + Γ = π θ S S f (9) rozkład GED GED(0,,) λ λ θ / / exp ) ;, ( + Γ = G G f (0) / 3 Γ Γ = λ () θ - wekor paramerów modelu (dla rozkładow GED i -Sudea liczba sopi swobody jes rówież paramerem modelu), λ - paramer zapewiający jedoskową wariację, - ilość sopi swobody w rozkładzie -Sudea i rozkładzie GED, (z) Γ - fukcja gamma dla parameru z; = Γ 0 ) ( dx e x z x z.
5 Należy wyraźie podkreślić, że powyższe rozkłady cecują się zerową średia i jedoskową wariacja. Rozkład -Sudea oraz rozkład GED są rozkładami, dla kóryc w zależości od przyjęej liczby sopi swobody możliwe jes uzyskaie rozkładów o grubszyc ogoac iż rozkład ormaly. Przykładowe fukcje gęsości rozkładu -S(0,,) oraz rozkładu GED(0,,) w skali liiowej i logarymiczej prezeują rys Rys. 3. Przykładowe rozkłady -S(0,,df) (skala liiowa) Rys. 5. Przykładowe rozkłady GED(0,,df) (skala liiowa) Rys. 4. Przykładowe rozkłady -S(0,,df) (skala logarymicza) Rys. 6. Przykładowe rozkłady GED(0,,df) (skala logarymicza) Rozkład ormaly jes szczególym przypadkiem zarówo rozkładu -Sudea (dla ieskończoej liczby sopi swobody), jak i rozkładu GED (dla sopi swobody). Esymacji paramerów modeli dokouje się ajczęściej meodą ajwiększej wiarygodości. Sprowadza się o do akiego wyboru wekora paramerów θ, aby dla daego szeregu sóp zwrou zmaksymalizować odpowiedią fukcję: dla rozkładu ormalego:
6 LLF N ( θˆ N ;, ) = l(π ) l( ) = = () dla rozkładu -Sudea: + LLF ( ˆ S θ S ;, ) = l( π ( ) + lγ lγ! + ( ) ( ) l l + = dla rozkładu GED: LLF G ( ˆ + θ G;, ) = l l Γ l() l( ) λ = = = λ / (3) (4) długość szeregu sóp zwrou, dla kórego dokoujemy esymacji Przykład empiryczy Poiżej przedsawioo przykładowo wyesymowae paramery modeli dla 5000 dzieyc sop zwrou z ideksu DJIA z okresu W awiasac podao saysyki dla wyesymowayc paramerów. paramer N(0,) -S(0,,) GED(0,,) μ 0,00067 (4,95) φ 0,033 (,0) ω,875e-6 (,3) α 0,0849 (,4) β 0,9053 (6,6) 0, (5,77) 0,08 (0,94) 9,544e-7 (3,30) 0,04605 (5,94) 0,9449 (05,7) - 5,68 (,3) Źródło: obliczeia włase. 0, (4,5) 0, (0,40),3e-6 (,96) 0,05486 (4,58) 0,9347 (67,08),59 (,95) Orzymao rówież asępujące warości fukcji LLF: LLF N LLF S LLF G 6 3, ,5 6 40,90
7 Ze względu a fak, że model N(0,) zawiera się w dwóc pozosałyc rozkładac, do wyboru modelu, kóry lepiej modeluje zaday szereg zasosowao es opary a warościac fukcji wiarygodości (Likeliood Raio Tes) z asępującą saysyką: LRT = ( LLF LLF0 ) (5) LLF - warość logarymu fukcji ajwiększej wiarygodości dla modelu z większą liczbą paramerow, LLF 0 - warość logarymu fukcji ajwiększej wiarygodości dla modelu z miejszą liczbą paramerów. Saysyka LRT ma rozkład χ z ilością sopi swobody rówą różicy w liczbie paramerów, czyli χ (rozkład -Sudea i GED mają o jede paramer (liczbę sopi swobody) więcej iż rozkład ormaly). W obu przypadkac es wykazuję, że model z większą ilością paramerów lepiej opisuje zrealizowae sopy zwrou. LRT warość kryycza esu N-S 490, 3,84 N-G 45,7 3,84 Źródło: obliczeia włase Poieważ modele -S(0,,) i GED(0,,) ie zawierają się w sobie ie jes możliwe przeprowadzeia aalogiczego esu. Jakość dopasowaia yc dwóc modeli do dayc empiryczyc dokoaa zosała a podsawie dopasowaia resz modelu ηˆ (uzyskayc dla wesymowayc paramerów modeli) z rozkładami eoreyczymi -S(0,,) i GED(0,,). Za przyjęo wyesymowaą liczbę sopi swobody. Dla porówaia przedsawioo rówież saysyki dla rozkładu ormalego. Jakość dopasowaia badao ypowymi esami zgodości rozkładu [4]: saysyką Kołmogorowa: K = max k( x) = max Fe ( x) F( x) (6) x x saysyką Adersoa-Darliga: Fe ( x) F( x) AD = max ad( x) = max (7) x x F( x) ( F( x) ) F e (x) - empirycza dysrybuaa rozkładu, F(x) - eoreycza dysrybuaa rozkładu. Im miejsze warości K i AD, ym lepsze dopasowaie badayc rozkładów. Saysykę AD sosuje się, gdyż lepiej bada oa dopasowaie rozkładów w ogoac, co jes w przypadku aalizy VaR szczególie waże. Poiższa abela prezeuje warości saysyk dla poszczególyc rozkładów. Dodakowo zaprezeowao warości k(x) i ad(x) dla x będącyc odpowiedio pierwszym i piąym perceylem aalizowayc rozkładów, co będzie przydae w dalszej aalizie VaR. Na podsawie saysyki K i AD moża swierdzić, że model z warukowym rozkładem -Sudea lepiej dopasował się do dayc (zarówo w okolicy modalej, jak i w ogoac)
8 iż rozkład GED. Dodakowo możemy zaobserwować, że daleko w ogoie saysyka ad przybiera porówywale warości dla rozkładów -Sudea i GED, aomias rocę bliżej modalej, model GED bliższy jes rozkładowi ormalemu. Powyższe wyiki orzymao a podsawie jedego szeregu dayc i ależałoby rakować je z odpowiedio ograiczoym zaufaiem. Dalsze badaia doyczące miary VaR powierdzają jedak dosrzeżoe zależości. N(0,) -S(0,,) GED(0,,) K 0,0397 0,03 0,05603 AD 0,5906 0, ,05868 k(.) dla perceyla 0,0039 0, , k(.) dla 5 perceyla 0, , ,00563 ad(.) dla perceyla 0, ,0079 0, ad(.) dla 5 perceyla 0, ,0048 0,0457 Źródło: obliczeia włase. Rys. 7-9 prezeują wykresy kway-kwayl dla uzyskayc szeregów warukowyc resz oraz szeregów pocodzącyc z rozkładu eoreyczego. Rys. 7. qqplo N(0,) Rys. 8. qqplo -S(0,,) Rys. 9. qqplo GED(0,,) Źródło: obliczeia włase. Także a yc rysukac moża swierdzić, że model z warukowym rozkładem ormalym N(0,) zdecydowaie ajgorzej opisuje szereg dayc sóp zwrou.. Pomiar ryzyka meodą VaR Value a Risk o maksymala kwoa, jaką moża sracić w wyiku iwesycji w porfel o określoym oryzocie czasowym i przy założoym poziomie isoości [,8,9]. Powyższą defiicję moża zapisać w posaci: P( W W0 VaR) = α (8) W 0 - obeca warość isrumeu, W - warość isrumeu a końcu okresu, α - poziom isoości Nie zając warości porfela W 0, ie zmiejszając ogólości rozważań, powyższą zależość moża zapisać wykorzysując pojęcie sopy zwrou: P r F α = (9) ( ( ) α
9 co ozacza, że prawdopodobieńswo, że sopa zwrou w daym oryzocie czasu ie przekroczy warości rówej odpowiediemu kwaylowi rozkładu sóp zwrou F ( α), wyosi α. Podejście o wywodzi się ze sayczego zarządzaia ryzykiem (saic risk maageme), w kórym aalizujemy jedyie bezwarukowy rozkład sóp zwrou. Z akim podejściem korasuje dyamicze zarządzaie ryzykiem (dyamic risk maageme), pozwalające ucwycić akie zależości jak auokorelacje sóp zwrou i gromadzeie zmieości. Dla wersji dyamiczej zależość (9) przyjmuje posać: P( r m + Fη ( α) ) = α (0) m -warukowa oczekiwaa sopa zwrou dla oryzou w kórym liczymy VaR, - warukowa oczekiwaa wariacja dla oryzou, w kórym liczymy VaR, Fη ( ) - kwayl odpowiadający prawdopodobieńswu α dla warukowego rozkładu zdefiiowaego wzorami (8)-(). Dla warukowego rozkładu N(0,) dla sadardowyc poziomów isoości 0,05 oraz 0,0 uzyskujemy asępujące warości kwayli: F η ( 0,05) =, 645 oraz F η ( 0,0) =, 36. Dla rozkładu -Sudea i GED warości kwayli zależą od liczby sopi swobody. Przykładowo dla rozkładu -Sudea i v = 5, 8, α F (0.05) =,583oraz F (0.0) =, 573, a dla rozkładu GED i =, 59, η η Fη (0.05) =,649 oraz F η (0.0) =, 6. Poiżej w abeli przedsawioo liczbę przekroczeń dzieej warości VaR dla poszczególyc modeli dla poziomu isoości 0,05 i 0,0. Dokoao weryfikacji przydaości poszczególyc modeli do szacowaia warości VaR dla szeregu ideksu WIG (sopy zwrou z okresu , 35 obserwacji), ideksu SP500 (sopy zwrou z okresu , 87 obserwacje) oraz ideksu DJIA (sopy zwrou z okresu , 0000 obserwacji). Raz w miesiącu (co obserwacje) dokoywao poowej esymacji modelu a podsawie osaic 000, 000 lub 5000 obserwacji, a asępie wyzaczao warukową wariację oraz warukową oczekiwaą sopę zwrou dla kolejyc di miesiąca, oraz sprawdzao, czy ( r m F ( ) ) η α +. Jeśli ak, o w daym diu sraa przekraczała VaR. Łączie rozparzoo po przypadków dla każdego z dwóc podsawowyc poziomów isoości VaR (dla szeregu SP500 i DJIA esymacja paramerów a podsawie osaic 000, 000 lub 5000 obserwacji dla rzec aalizowayc rozkładów warukowyc oraz dla szeregu WIG esymacja paramerów a podsawie osaic 000 obserwacji rówież dla 3 aalizowayc rozkładów). We wszyskic aalizowayc przypadkac dokoao 586 esymacji modeli.
10 SP500 DJIA WIG () α = 0,05 α = 0,0 zaobser. () eore. (3) przedział (4) zaobsr. eore. przedział N 357 S G N 97 0 S G N 4 53 S G N S G N S G N 75 S G 50 N 68 4 S G Źródło: obliczeia włase. () poziom isoości VaR, () ilość zaobserwowayc przekroczeń VaR w szeregu, (3) ilość eoreyczyc przekroczeń przy zadaym poziomie isoości i długości szeregu, (4) ilość przekroczeń wyzaczająca obszar iekryyczy (przyjęcia ipoezy o poprawości modelu VaR) dla poziomu isoości esu 0,05. Pozosaje jeszcze eap ocey poszczególyc modeli. Tesowaie wsecze modelu (backesig) jes iezbędą procedurą, aby swierdzić, czy moża sosować day model. Najprosszym esem jes es ilości przekroczeń (failure es). Dla daej wielkości próby eoreycza liczba przekroczeń ma rozkład dwumiaowy. Odpowiedią saysykę esową zapropoował w 995 roku Kupiec. Ma oa posać: TN N TN N N N LRuc =l ( p) p + l () T T N ilość przekroczeń VaR, T długość próby esowej, p- poziom isoości VaR. Saysyka LR uc ma rozkład χ z jedym pukem swobody. W powyższej abeli a podsawie esu ilości przekroczeń zaprezeowae zosały przedziały iekryycze ilości
11 przekroczeń. Na ej podsawie odrzucoe zosały wszyskie modele VaR dla poziomu isoości 0,0 i dla warukowego rozkładu ormalego. Tes ilości przekroczeń ie jes jedyym esem, kóremu ależy poddać weryfikoway model. Do esu a ilość przekroczeń ależy dołączyć es, czy przekroczeia są iezależe w czasie. Największą popularość zdobył es iezależości przekroczeń Kupca LRid opary a dwóc esac eście do pierwszego przekroczeia (Time uil Firs Failure Tes) oraz eście czasu pomiędzy kolejymi przekroczeiami (Time bewee FailuresTes) [9,0]. Dla aalizowayc modeli, kóre ie zosały odrzucoe podczas esu ilości przekroczeń, ie było rówież podsaw do odrzuceia ze względu a es iezależości przekroczeń. Podsumowaie Na podsawie uzyskayc wyików moża swierdzić, że dla poziomu isoości VaR 0.05 w zupełości wysarczające jes modelowaie szeregów sóp zwrou przy pomocy modeli AR()-GARCH(,) z warukowym rozkładem ormalym bądź z rówie dobrym rozkładem GED. Model z warukowym rozkładem -Sudea w sposób sysemayczy iedoszacowuje ryzyko i liczba pojawiającyc się przekroczeń jes większa od oczekiwaej. Pozorie przeczy o zaej własości, że rozkład -Sudea posiada grubsze ogoy od rozkładu ormalego. Należy jedak pamięać, że rozparujemy odpowiedio przekszałcoy rozkład -Sudea o jedoskowej wariacji. Efek grubego ogoa rozkładu -Sudea ujawia się dopiero przy poziomie isoości VaR rówym 0.0. Przy ym poziomie isoości warukowy rozkład ormaly ie sprawdza się już zaiżając zaczie w sposób sysemayczy ryzyko, aomias dużo lepsze wyiki osiaga się dla rozkładu GED i -Sudea. Ogólie moża zauważyć, że rozkład GED jes prakyczie ak samo dobry jak rozkład ormaly dla poziomu isoości 0.05 oraz ak samo dobry jak rozkład -Sudea dla poziomu isoości 0.0. Jedak akże w przypadku poziomu isoości 0,0 ogoy rozkładów -Sudea i GED ie są wysarczająco grube, gdyż liczba przekroczeń jes większa od oczekiwaej. Poprawy uzyskayc efeków moża oczekiwać jeśli uwzględi się dodakowo skośość rozkładów warukowyc (p. poprzez zasosowaie skośego rozkładu -Sudea) lub poprzez zaiecaie modelowaia całości rozkładu warukowego a rzecz jedyie jego ogoów. Podejście akie zaprezeowae zosało w pracy [], gdzie połączoo eorię modele eeroskedasyczyc z eorią zdarzeń eksremalyc. Lieraura:. Bes P. (000). Warość arażoa a ryzyko. Oficya Ekoomicza, Kraków.. Bollerslev T. (986). Geeralized Auoregressive Codiioal Heeroskedasiciy. Joural of Ecoomerics G. Box, J. Jekis. (983). Aaliza szeregów czasowyc. Progozowaie i serowaie, Pańswowe Wydawicwo Naukowe, Warszawa. 4. Egle R. (98). Auoregressive Codiioal Heeroskedasiciy wi Esimaes of e Variace od UK Iflaio. Ecoomerica Gio P., Laure S. (00) Modellig Daily VaR Usig Realized Volailiy ad ARCH Type Models. Maasric Uiversiy
12 6. Hafer C., Herwarz. (998). Tesig for Liear Auoregressive Dyamics uder Heeroskedasiciy, Humbold-Uiversiae. Berli. Jajuga K. (999). Nowe edecje w zarządzaiu ryzykiem fiasowym. Ryek Termiowy 3 8. Jajuga K. (000). Miary ryzyka rykowego cześć III. Miary zagrożeia. Ryek Termiowy 8/ Jorio P. (00). Value a Risk d ediio. McGraw-Hill 0. Hass M. (00). New Meods i Backesig. Fiacial Egieerig Researc Ceer. Bo.. McNeil A., R. Frey. (000). Esimaio of Tail-Relaed Risk Measures for Heeroskedasic Fiacial Time Series: a Exreme Value Approac, Deparme Maemaik, ETH Zerum, Zuric.. Pioek K. (00). Heeroskedasyczość szeregu sóp zwrou a kocepcja pomiaru ryzyka meodą VaR. Usroń. 3. Welfe A. (995). Ekoomeria. Pańswowe Wydawicwo Ekoomicze. Warszawa 4. Wero A., Wero R. (999). Iżyieria fiasowa. WNT. Warszawa
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n
Maemayka ubezpieczeń mająkowych 9.0.006 r. Zadaie. Rozważamy proces adwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskreym posaci: U = u + c S = 0... S = W + W +... + W W W W gdzie zmiee... są iezależe i mają e sam
Bardziej szczegółowoWSPÓŁCZYNNIK DELTA DLA MODELU WYCENY OPCJI UWZGLĘDNIAJĄCEGO EFEKT AR-GARCH
Krzyszof Pioek Kaedra Iwesycji Fiasowych i Ubezpieczeń Akademia Ekoomicza we Wrocławiu WSPÓŁCZYNNIK DELTA DLA MODELU WYCENY OPCJI UWZGLĘDNIAJĄCEGO EFEKT AR-GARCH WSTĘP Black i Scholes przy współudziale
Bardziej szczegółowoMIANO ROZTWORU TITRANTA. Analiza statystyczna wyników oznaczeń
MIANO ROZTWORU TITRANTA Aaliza saysycza wyików ozaczeń Esymaory pukowe Średia arymeycza x jes o suma wyików w serii podzieloa przez ich liczbę: gdzie: x i - wyik poszczególego ozaczeia - liczba pomiarów
Bardziej szczegółowo1. Element nienaprawialny, badania niezawodności. Model matematyczny elementu - dodatnia zmienna losowa T, określająca czas życia elementu
Badaia iezawodościowe i saysycza aaliza ich wyików. Eleme ieaprawialy, badaia iezawodości Model maemayczy elemeu - dodaia zmiea losowa T, określająca czas życia elemeu Opis zmieej losowej - rozkład, lub
Bardziej szczegółowoStatystyka Inżynierska
aysyka Iżyierska dr hab. iż. Jacek Tarasik AG WFiI 4 Wykład 5 TETOWANIE IPOTEZ TATYTYCZNYC ipoezy saysycze ipoezą saysyczą azywamy każde przypszczeie doyczące iezaego rozkład o prawdziwości lb fałszywości
Bardziej szczegółowoHeteroskedastyczność szeregu stóp zwrotu a koncepcja pomiaru ryzyka metodą VaR
Krzyszof Pionek Kaedra Inwesycji Finansowych i Ubezpieczeń Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu Heeroskedasyczność szeregu sóp zwrou a koncepcja pomiaru ryzyka meodą VaR Wsęp Spośród wielu rodzajów ryzyka
Bardziej szczegółowoEKONOMETRIA. Liniowy model ekonometryczny (regresji) z jedną zmienną objaśniającą
EKONOMETRIA Tema wykładu: Liiowy model ekoomeryczy (regresji z jedą zmieą objaśiającą Prowadzący: dr iż. Zbigiew TARAPATA e-mail: Zbigiew.Tarapaa Tarapaa@isi.wa..wa.edu.pl hp:// zbigiew.arapaa.akcja.pl/p_ekoomeria/
Bardziej szczegółowot - kwantyl rozkładu t-studenta rzędu p o f stopniach swobody
ZJAZD ANALIZA DANYCH CIĄGŁYCH ramach zajęć będą badae próbki pochodzące z poplacji w kórych badaa cecha ma rozkład ormaly N(μ σ). Na zajęciach będą: - wyzaczae przedziały fości dla warości średiej i wariacji
Bardziej szczegółowoObligacja i jej cena wewnętrzna
Obligacja i jej cea wewęrza Obligacja jes o isrume fiasowy (papier warościowy), w kórym jeda sroa, zwaa emieem obligacji, swierdza, że jes dłużikiem drugiej sroy, zwaej obligaariuszem (jes o właściciel
Bardziej szczegółowoANALIZA PRZYCZYNOWOŚCI W ZAKRESIE ZALEŻNOŚCI NIELINIOWYCH. IMPLIKACJE FINANSOWE
Wiold Orzeszko Magdalea Osińska Uiwersye Mikołaja Koperika w Toruiu ANALIA PRCNOWOŚCI W AKRSI ALŻNOŚCI NILINIOWCH. IMPLIKACJ FINANSOW WSTĘP Przyczyowość w sesie Gragera jes jedym z kluczowych pojęć ekoomeryczej
Bardziej szczegółowoMetrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie
Metrologia: miary dokładości dr iż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczeciie Miary dokładości: Najczęściej rozkład pomiarów w serii wokół wartości średiej X jest rozkładem Gaussa: Prawdopodobieństwem,
Bardziej szczegółowoTRANZYSTORY POLOWE JFET I MOSFET
POLTECHNKA RZEZOWKA Kaedra Podsaw Elekroiki srukcja Nr5 F 00/003 sem. lei TRANZYTORY POLOWE JFET MOFET Cel ćwiczeia: Pomiar podsawowych charakerysyk i wyzaczeie paramerów określających właściwości razysora
Bardziej szczegółowoTrzeba pokazać, że dla każdego c 0 c Mc 0. ) = oraz det( ) det( ) det( ) jest macierzą idempotentną? Proszę odpowiedzieć w
Zad Dae są astępujące macierze: A =, B, C, D, E 0. 0 = = = = 0 Wykoaj astępujące działaia: a) AB, BA, C+E, DE b) tr(a), tr(ed), tr(b) c) det(a), det(c), det(e) d) A -, C Jeśli działaia są iewykoale, to
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXIV Egzamin dla Aktuariuszy z 17 stycznia 2005 r.
Komisja Egzamiacyja dla Akuariuszy XXXIV Egzami dla Akuariuszy z 17 syczia 2005 r. Część I Maemayka fiasowa Imię i azwisko osoby egzamiowaej:... WERSJA TESTU A Czas egzamiu: 100 miu 1 1. Day jes ieskończoy
Bardziej szczegółowoModele zmienności aktywów ryzykownych. Model multiplikatywny Rozkład logarytmiczno-normalny Parametry siatki dwumianowej
Moele zmieości akywów ryzykowych Moel muliplikaywy Rozkła logarymiczo-ormay Paramery siaki wumiaowej Moel muliplikaywy zmieości akywów Rekurecyjy moel muliplikaywy: (=, (k+ = (k u(k, k=,, Cea akywa w chwili
Bardziej szczegółowoSygnały pojęcie i klasyfikacja, metody opisu.
Sygały pojęcie i klasyfikacja, meody opisu. Iformacja przekazywaa jes za pośredicwem sygałów, kóre przeoszą eergię. Sygał jes o fukcja czasowa dowolej wielkości o charakerze eergeyczym, w kórym moża wyróżić
Bardziej szczegółowoNiepewności pomiarowe
Niepewości pomiarowe Obserwacja, doświadczeie, pomiar Obserwacja zjawisk fizyczych polega a badaiu ych zjawisk w warukach auralych oraz a aalizie czyików i waruków, od kórych zjawiska e zależą. Waruki
Bardziej szczegółowoStatystyczne testy nieparametryczne
Saysycze esy ieparamerycze Tesami ieparameryczymi azywamy esy służące do weryfikaci hipoez ieparameryczych, hipoez iedoyczących warości iezaych paramerów populaci (choć czasem poęcie o ozacza hipoezy ie
Bardziej szczegółowoModele tendencji rozwojowej STATYSTYKA OPISOWA. Dr Alina Gleska. Instytut Matematyki WE PP. 18 listopada 2017
STATYSTYKA OPISOWA Dr Alia Gleska Istytut Matematyki WE PP 18 listopada 2017 1 Metoda aalitycza Metoda aalitycza przyjmujemy założeie, że zmiay zjawiska w czasie moża przedstawić jako fukcję zmieej czasowej
Bardziej szczegółowoROZDZIAŁ 12 ANALIZA WSPÓŁZALEŻNOŚCI KURSÓW AKCJI SPÓŁEK BRANŻY CUKROWNICZEJ
leksadra Dudek ROZDZIŁ NLIZ WSPÓŁZLEŻNOŚCI KURSÓW KCJI SPÓŁEK BRNŻY CUKROWNICZEJ Wprowadzeie W związku z rosącą rolą ryków fiasowych jako miejsca, gdzie poprzez działaia spekulacyje dąży się do osiągięcia
Bardziej szczegółowoCharakterystyki liczbowe zmiennych losowych: wartość oczekiwana i wariancja
Charakterystyki liczbowe zmieych losowych: wartość oczekiwaa i wariacja dr Mariusz Grządziel Wykłady 3 i 4;,8 marca 24 Wartość oczekiwaa zmieej losowej dyskretej Defiicja. Dla zmieej losowej dyskretej
Bardziej szczegółowo16 Przedziały ufności
16 Przedziały ufości zapis wyiku pomiaru: sugeruje, że rozkład błędów jest symetryczy; θ ± u(θ) iterpretacja statystycza przedziału [θ u(θ), θ + u(θ)] zależy od rozkładu błędów: P (Θ [θ u(θ), θ + u(θ)])
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Wykład 3
Sanisław Cichocki Naalia Nehrebecka Wykład 3 1 1. Regresja pozorna 2. Funkcje ACF i PACF 3. Badanie sacjonarności Tes Dickey-Fullera (DF) Rozszerzony es Dickey-Fullera (ADF) 2 1. Regresja pozorna 2. Funkcje
Bardziej szczegółowoMODELOWANIE EFEKTU DŹWIGNI W FINANSOWYCH SZEREGACH CZASOWYCH
Krzyszof Pionek Kaedra Inwesycji Finansowych i Ubezpieczeń Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu Wsęp MODELOWANIE EFEKTU DŹWIGNI W FINANSOWYCH SZEREGACH CZASOWYCH Nowoczesne echniki zarządzania ryzykiem rynkowym
Bardziej szczegółowoz przedziału 0,1. Rozważmy trzy zmienne losowe:..., gdzie X
Matematyka ubezpieczeń majątkowych.0.0 r. Zadaie. Mamy day ciąg liczb q, q,..., q z przedziału 0,. Rozważmy trzy zmiee losowe: o X X X... X, gdzie X i ma rozkład dwumiaowy o parametrach,q i, i wszystkie
Bardziej szczegółowospecyfikacji i estymacji modelu regresji progowej (ang. threshold regression).
4. Modele regresji progowej W badaniach empirycznych coraz większym zaineresowaniem cieszą się akie modele szeregów czasowych, kóre pozwalają na objaśnianie nieliniowych zależności między poszczególnymi
Bardziej szczegółowoModel ciągły wyceny opcji Blacka Scholesa - Mertona. Wzór Blacka - Scholesa na wycenę opcji europejskiej.
Model ciągły wycey opcji Blacka Scholesa - Mertoa Wzór Blacka - Scholesa a wyceę opcji europejskiej. Model Blacka Scholesa- Mertoa Przełomowe prace z zakresu wycey opcji: Fischer Black, Myro Scholes The
Bardziej szczegółowoĆwiczenie nr 14. Porównanie doświadczalnego rozkładu liczby zliczeń w zadanym przedziale czasu z rozkładem Poissona
Ćwiczeie r 4 Porówaie doświadczalego rozkładu liczby zliczeń w zadaym przedziale czasu z rozkładem Poissoa Studeta obowiązuje zajomość: Podstawowych zagadień z rachuku prawdopodobieństwa, Zajomość rozkładów
Bardziej szczegółowoMetody oceny efektywności projektów inwestycyjnych
Opracował: Leszek Jug Wydział Ekoomiczy, ALMAMER Szkoła Wyższa Meody ocey efekywości projeków iwesycyjych Niezbędym warukiem urzymywaia się firmy a ryku jes zarówo skuecze bieżące zarządzaie jak i podejmowaie
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadaie. Wykoujemy rzuty symetryczą kością do gry do chwili uzyskaia drugiej szóstki. Niech Y ozacza zmieą losową rówą liczbie rzutów w których uzyskaliśmy ie wyiki iż szóstka a zmieą losową rówą liczbie
Bardziej szczegółowo3. Tworzenie próby, błąd przypadkowy (próbkowania) 5. Błąd standardowy średniej arytmetycznej
PODSTAWY STATYSTYKI 1. Teoria prawdopodobieństwa i elemety kombiatoryki 2. Zmiee losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby daych, estymacja parametrów 4. Testowaie hipotez 5. Testy parametrycze 6. Testy
Bardziej szczegółowoWykaz zmian wprowadzonych do skrótu prospektu informacyjnego KBC Parasol Funduszu Inwestycyjnego Otwartego w dniu 04 stycznia 2010 r.
Wykaz zmia wprowadzoych do skróu prospeku iformacyjego KBC Parasol Fuduszu Iwesycyjego Owarego w diu 0 syczia 200 r. Rozdział I Dae o Fuduszu KBC Subfudusz Papierów DłuŜych Brzmieie doychczasowe: 6. Podsawowe
Bardziej szczegółowoStudia Ekonomiczne. Zeszyty Naukowe Uniwersytetu Ekonomicznego w Katowicach ISSN 2083-8611 Nr 219 2015
Sudia Ekonomiczne. Zeszyy Naukowe Uniwersyeu Ekonomicznego w Kaowicach ISSN 2083-86 Nr 29 205 Alicja Ganczarek-Gamro Uniwersye Ekonomiczny w Kaowicach Wydział Informayki i Komunikacji Kaedra Demografii
Bardziej szczegółowoFunkcja generująca rozkład (p-two)
Fucja geerująca rozład (p-wo Defiicja: Fucją geerującą rozład (prawdopodobieńswo (FGP dla zmieej losowej przyjmującej warości całowie ieujeme, azywamy: [ ] g E P Twierdzeie: (o jedozaczości Jeśli i są
Bardziej szczegółowo3. Regresja liniowa Założenia dotyczące modelu regresji liniowej
3. Regresja liiowa 3.. Założeia dotyczące modelu regresji liiowej Aby moża było wykorzystać model regresji liiowej, muszą być spełioe astępujące założeia:. Relacja pomiędzy zmieą objaśiaą a zmieymi objaśiającymi
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r. ma złożony rozkład Poissona. W tabeli poniżej podano rozkład prawdopodobieństwa ( )
Zadanie. Zmienna losowa: X = Y +... + Y N ma złożony rozkład Poissona. W abeli poniżej podano rozkład prawdopodobieńswa składnika sumy Y. W ejże abeli podano akże obliczone dla k = 0... 4 prawdopodobieńswa
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Wykład 4
Sanisław Cichocki Naalia Nehrebecka Wykład 4 1 1. Badanie sacjonarności: o o o Tes Dickey-Fullera (DF) Rozszerzony es Dickey-Fullera (ADF) Tes KPSS 2. Modele o rozłożonych opóźnieniach (DL) 3. Modele auoregresyjne
Bardziej szczegółowoZadanie 2 Niech,,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym rozkładzie,.
Z adaie Niech,,, będą iezależymi zmieymi losowymi o idetyczym rozkładzie ormalym z wartością oczekiwaą 0 i wariacją. Wyzaczyć wariację zmieej losowej. Wskazówka: pokazać, że ma rozkład Γ, ODP: Zadaie Niech,,,
Bardziej szczegółowoKrzysztof Piontek Weryfikacja modeli Blacka-Scholesa dla opcji na WIG20
Akademia Ekonomiczna im. Oskara Langego we Wrocławiu Wydział Zarządzania i Informayki Kaedra Inwesycji Finansowych i Zarządzania Ryzykiem Krzyszof Pionek Weryfikacja modeli Blacka-Scholesa oraz AR-GARCH
Bardziej szczegółowoMiary rozproszenia. Miary położenia. Wariancja. Średnia. Dla danych indywidualnych: Dla danych indywidualnych: s 2 = 1 n. (x i x) 2. x i.
Miary położeia Średia Dla daych idywidualych: x = 1 x = 1 x i i ẋ i gdzie ẋ i środek i tego przedziału i - liczość i-tego przedziału Domiata moda Liczba ajczęściej występująca jeśli taka istieje - dla
Bardziej szczegółowoPodstawy zarządzania finansami przedsiębiorstwa
Podsawy zarządzaia fiasami przedsiębiorswa I. Wprowadzeie 1. Gospodarowaie fiasami w przedsiębiorswie polega a: a) określeiu spodziewaych korzyści i koszów wyikających z form zaagażowaia środków fiasowych
Bardziej szczegółowoEFEKT DŹWIGNI NA GPW W WARSZAWIE WPROWADZENIE
Paweł Kobus, Rober Pierzykowski Kaedra Ekonomerii i Informayki SGGW e-mail: pawel.kobus@saysyka.info EFEKT DŹWIGNI NA GPW W WARSZAWIE Sreszczenie: Do modelowania asymerycznego wpływu dobrych i złych informacji
Bardziej szczegółowoDYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE
DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE IX Ogólnopolskie Seminarium Naukowe, 6 8 września 2005 w Toruniu Kaedra Ekonomerii i Saysyki, Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu Kaarzyna Kuziak Akademia Ekonomiczna
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 3. H 1 : p p 0 H 3 : p > p 0. b) dla małej próby statystykę testową oblicza się za pomocą wzoru:
Ćwiczeie ERYFIKACJA IPOTEZ Tesowaie hipoez: Zakładamy że wszyskie hipoezy będą weryfikowae a poziomie isoości α.. eryfikacja hipoezy o wskaźik srkry jedej zmieej losowej dyskreej Rozparjemy próbkę elemeową
Bardziej szczegółowoMiary położenia. Miary rozproszenia. Średnia. Wariancja. Dla danych indywidualnych: Dla danych indywidualnych: s 2 = 1 n. (x i x) 2. x i.
Miary położeia Średia Dla daych idywidualych: x = 1 x = 1 x i i ẋ i gdzie ẋ i środek i tego przedziału i - liczość i-tego przedziału Domiata moda Liczba ajczęściej występująca jeśli taka istieje - dla
Bardziej szczegółowoD:\materialy\Matematyka na GISIP I rok DOC\07 Pochodne\8A.DOC 2004-wrz-15, 17: Obliczanie granic funkcji w punkcie przy pomocy wzoru Taylora.
D:\maerialy\Maemayka a GISIP I rok DOC\7 Pochode\8ADOC -wrz-5, 7: 89 Obliczaie graic fukcji w pukcie przy pomocy wzoru Taylora Wróćmy do wierdzeia Taylora (wzory (-( Tw Szczególie waża dla dalszych R rozważań
Bardziej szczegółowoDYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE
DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE X Ogólnopolskie Seminarium Naukowe, 4 6 września 2007 w Toruniu Kaedra Ekonomerii i Saysyki, Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu Uniwersye Gdański Zasosowanie modelu
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA I ANALIZA DANYCH
TATYTYKA I ANALIZA DANYCH Zad. Z pewej partii włókie weły wylosowao dwie próbki włókie, a w każdej z ich zmierzoo średicę włókie różymi metodami. Otrzymao astępujące wyiki: I próbka: 50; średia średica
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA OPISOWA PODSTAWOWE WZORY
MIARY POŁOŻENIA Średia Dla daych idywidualych: STATYSTYKA OPISOWA PODSTAWOWE WZORY Q i = x lmi + i mi 1 4 j h m i mi x = 1 x i x = 1 i ẋ i gdzie ẋ i środek i-tego przedziału i liczość i- tego przedziału
Bardziej szczegółowoma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y
Zadaie. Łącza wartość szkód z pewego ubezpieczeia W = Y + Y +... + YN ma rozkład złożoy Poissoa z oczekiwaą liczbą szkód rówą λ i rozkładem wartości pojedyczej szkody takim, że ( Y { 0,,,3,... }) =. Niech:
Bardziej szczegółowoKADD Metoda najmniejszych kwadratów
Metoda ajmiejszych kwadratów Pomiary bezpośredie o rówej dokładości o różej dokładości średia ważoa Pomiary pośredie Zapis macierzowy Dopasowaie prostej Dopasowaie wielomiau dowolego stopia Dopasowaie
Bardziej szczegółowoLista 6. Estymacja punktowa
Estymacja puktowa Lista 6 Model metoda mometów, rozkład ciągły. Zadaie. Metodą mometów zaleźć estymator iezaego parametru a w populacji jedostajej a odciku [a, a +. Czy jest to estymator ieobciążoy i zgody?
Bardziej szczegółowoZmienna losowa N ma rozkład ujemny dwumianowy z parametrami (, q) = 7,
Matematyka ubezpieczeń majątkowych.0.008 r. Zadaie. r, Zmiea losowa N ma rozkład ujemy dwumiaowy z parametrami (, q), tz.: Pr( N k) (.5 + k) (.5) k! Γ Γ * Niech k ozacza taką liczbę aturalą, że: * k if{
Bardziej szczegółowoEfektywność projektów inwestycyjnych. Statyczne i dynamiczne metody oceny projektów inwestycyjnych
Efekywość projeków iwesycyjych Saycze i dyamicze meody ocey projeków iwesycyjych Źródła fiasowaia Iwesycje Rzeczowe Powiększeie mająku rwałego firmy, zysk spodzieway w dłuższym horyzocie czasowym. Fiasowe
Bardziej szczegółowoSZACOWANIE KOSZTÓW PROCESU MONTAŻU NA PRZYKŁADZIE WYBRANEGO TYPOSZEREGU WYROBÓW
SZACOWANIE KOSZTÓW PROCESU MONTAŻU NA PRZYKŁADZIE WYBRANEGO TYPOSZEREGU WYROBÓW Pior CHWASTYK, Domiika BINIASZ, Mariusz KOŁOSOWSKI Sreszczeie: W pracy przedsawioo meodę oszacowaie koszów procesu moażu
Bardziej szczegółowoWykorzystanie wielorównaniowych modeli AR-GARCH w pomiarze ryzyka metodą VaR
Krzyszof Pionek Daniel Papla Kaedra Inwesycji Finansowych i Ubezpieczeń Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu Wykorzysanie wielorównaniowych modeli AR-GARCH w pomiarze ryzyka meodą VaR Wsęp Wśród różnych meod
Bardziej szczegółowo1. Wnioskowanie statystyczne. Ponadto mianem statystyki określa się także funkcje zmiennych losowych o
1. Wioskowaie statystycze. W statystyce idetyfikujemy: Cecha-Zmiea losowa Rozkład cechy-rozkład populacji Poadto miaem statystyki określa się także fukcje zmieych losowych o tym samym rozkładzie. Rozkłady
Bardziej szczegółowoWYBRANE TESTY NIEOBCIĄŻONOŚCI MIAR RYZYKA NA PRZYKŁADZIE VALUE AT RISK
Przemysław Jeziorski Uniwersye Ekonomiczny w Kaowicach Wydział Informayki i Komunikacji Zakład Demografii i Saysyki Ekonomicznej przemyslaw.jeziorski@ue.kaowice.pl WYBRANE TESTY NIEOBCIĄŻONOŚCI MIAR RYZYKA
Bardziej szczegółowoDaniel Papla Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu. Wykorzystanie modelu DCC-MGARCH w analizie zmian zależności wybranych akcji GPW w Warszawie
DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE X Ogólnopolskie Seminarium Naukowe, 4 6 września 27 w Toruniu Kaedra Ekonomerii i Saysyki, Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu Wykorzysanie
Bardziej szczegółowoWNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE
Wnioskowanie saysyczne w ekonomerycznej analizie procesu produkcyjnego / WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W EKONOMETRYCZNEJ ANAIZIE PROCESU PRODUKCYJNEGO Maeriał pomocniczy: proszę przejrzeć srony www.cyf-kr.edu.pl/~eomazur/zadl4.hml
Bardziej szczegółowoDEA podstawowe modele
Marek Miszczński KBO UŁ 2008 - Aaliza dach graiczch (EA) cz.2 (przkład aaliza damiki rakigi) EA podsawowe modele WPROWAZENIE Efekwość (produkwość) obieku gospodarczego o es defiiowaa ako sosuek sum ważoch
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 6..003 r. Zadaie. W kolejych okresach czasu t =,, 3, 4, 5 ubezpieczoy, charakteryzujący się parametrem ryzyka Λ, geeruje szkód. Dla daego Λ = λ zmiee N, N,..., N 5 są
Bardziej szczegółowoWokół testu Studenta 1. Wprowadzenie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaniu hipotez dotyczących rozkładów normalnych
Wokół testu Studeta Wprowadzeie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaiu hipotez dotyczących rozkładów ormalych Rozkład ormaly N(µ, σ, µ R, σ > 0 gęstość: f(x σ (x µ π e σ Niech a R \ {0}, b
Bardziej szczegółowoGretl konstruowanie pętli Symulacje Monte Carlo (MC)
Grel kosruowaie pęli Symulacje Moe Carlo (MC) W Grelu, aby przyspieszyć pracę, wykoać iesadardową aalizę (ie do wyklikaia ) możliwe jes użycie pęli. Pęle realizuje komeda loop, kóra przyjmuje zesaw iych
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadaie 1 Rzucamy 4 kości do gry (uczciwe). Prawdopodobieństwo zdarzeia iż ajmiejsza uzyskaa a pojedyczej kości liczba oczek wyiesie trzy (trzy oczka mogą wystąpić a więcej iż jedej kości) rówe jest: (A)
Bardziej szczegółowooznaczają łączne wartości szkód odpowiednio dla k-tego kontraktu w t-tym roku. O składnikach naszych zmiennych zakładamy, że:
Zadaie. Niech zmiee losowe: X t,k = μ + α k + β t + ε t,k, k =,2,, K oraz t =,2,, T, ozaczają łącze wartości szkód odpowiedio dla k-tego kotraktu w t-tym roku. O składikach aszych zmieych zakładamy, że:
Bardziej szczegółowoAlicja Ganczarek Akademia Ekonomiczna w Katowicach. Analiza niezależności przekroczeń VaR na wybranym segmencie rynku energii
DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE X Ogólnopolskie Seminarium Naukowe, 4 6 września 007 w Toruniu Kaedra Ekonomerii i Saysyki, Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu Akademia Ekonomiczna w Kaowicach Analiza
Bardziej szczegółowoESTYMACJA PARAMETRÓW FUNKCJI REGRESJI METODĄ KLASYCZNĄ ORAZ METODAMI BOOTSTRAPOWYMI**
Góricwo i Geoiżyieria Rok 30 Zeszy 3/ 006 Dariusz Foszcz* ESTYMACJA PARAMETRÓW FUNKCJI REGRESJI METODĄ KLASYCZNĄ ORAZ METODAMI BOOTSTRAPOWYMI**. Wsęp W zmieiającej się rzeczywisości przebiegu procesów
Bardziej szczegółowoZeszyty naukowe nr 9
Zeszyty aukowe r 9 Wyższej Szkoły Ekoomiczej w Bochi 2011 Piotr Fijałkowski Model zależości otowań giełdowych a przykładzie otowań ołowiu i spółki Orzeł Biały S.A. Streszczeie Niiejsza praca opisuje próbę
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Wykład 3
Sanisław Cichocki Naalia Nehrebecka Wykład 3 1 1. Zmienne sacjonarne 2. Zmienne zinegrowane 3. Regresja pozorna 4. Funkcje ACF i PACF 5. Badanie sacjonarności Tes Dickey-Fullera (DF) 2 1. Zmienne sacjonarne
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. Wykład II. Estymacja punktowa
Statystyka matematycza. Wykład II. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 dyskretych Rozkłady zmieeych losowych ciągłych 2 3 4 Rozkład zmieej losowej dyskretej dyskretych Rozkłady zmieeych losowych
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA OPISOWA PODSTAWOWE WZORY
MIARY POŁOŻENIA Średia Dla daych idywidualych: x = 1 STATYSTYKA OPISOWA PODSTAWOWE WZORY x i x = 1 i ẋ i gdzie ẋ i środek i-tego przedziału i liczość i- tego przedziału Domiata (moda Liczba ajczęściej
Bardziej szczegółowoDYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE
DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE IX Ogólnopolskie Seminarium Naukowe, 6 8 września 005 w Toruniu Kaedra Ekonomerii i Saysyki, Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu Pior Fiszeder Uniwersye Mikołaja Kopernika
Bardziej szczegółowoDYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE
DYNAMICZNE MODEE EKONOMETRYCZNE X Ogólnopolskie Seminarium Naukowe, 4 6 września 007 w Toruniu Kaedra Ekonomerii i Saysyki, Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu Joanna Małgorzaa andmesser Szkoła Główna
Bardziej szczegółowoZADANIA NA ĆWICZENIA 3 I 4
Agata Boratyńska Statystyka aktuariala... 1 ZADANIA NA ĆWICZENIA 3 I 4 1. Wygeeruj szkody dla polis z kolejych lat wg rozkładu P (N = 1) = 0, 1 P (N = 0) = 0, 9, gdzie N jest liczbą szkód z jedej polisy.
Bardziej szczegółowoĆwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA
Aaliza iepewości pomiarowych w esperymetach fizyczych Ćwiczeia rachuowe TEST ZGODNOŚCI χ PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA UWAGA: Na stroie, z tórej pobrałaś/pobrałeś istrucję zajduje się gotowy do załadowaia arusz
Bardziej szczegółowoAkademia Ekonomiczna im. Oskara Langego we Wrocławiu Katedra Inwestycji Finansowych i Ubezpieczeń
Krzyszof Pionek Akademia Ekonomiczna im. Oskara Langego we Wrocławiu Kaedra Inwesycji Finansowych i Ubezpieczeń Przegląd i porównanie meod oceny modeli VaR Wsęp - Miara VaR Warość zagrożona (warość narażona
Bardziej szczegółowoBADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI
StatSoft Polska, tel. () 484300, (60) 445, ifo@statsoft.pl, www.statsoft.pl BADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI ZA POMOCĄ ANALIZY ROZKŁADÓW Agieszka Pasztyła Akademia Ekoomicza w Krakowie, Katedra Statystyki;
Bardziej szczegółowoKrzysztof Piontek Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu. Modelowanie warunkowej kurtozy oraz skośności w finansowych szeregach czasowych
DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE IX Ogólnopolskie Seminarium Naukowe, 6 8 września 5 w Toruniu Kaedra Ekonomerii i Saysyki, Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu Modelowanie
Bardziej szczegółowoStatystyka i Opracowanie Danych. W7. Estymacja i estymatory. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407
Statystyka i Opracowaie Daych W7. Estymacja i estymatory Dr Aa ADRIAN Paw B5, pok407 ada@agh.edu.pl Estymacja parametrycza Podstawowym arzędziem szacowaia iezaego parametru jest estymator obliczoy a podstawie
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA
ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA Mamy populację geeralą i iteresujemy się pewą cechą X jedostek statystyczych, a dokładiej pewą charakterystyką liczbową θ tej cechy (p. średią wartością
Bardziej szczegółowoHistogram: Dystrybuanta:
Zadaie. Szereg rozdzielczy (przyjmujemy przedziały klasowe o długości 0): x0 xi i środek i*środek i_sk częstości częstości skumulowae 5 5 8 0 60 8 0,6 0,6 5 5 9 0 70 7 0,8 0, 5 5 5 0 600 0, 0,6 5 55 8
Bardziej szczegółowoKrzysztof Piontek MODELOWANIE ZMIENNOŚCI STÓP PROCENTOWYCH NA PRZYKŁADZIE STOPY WIBOR
Inwesycje finansowe i ubezpieczenia endencje świaowe a rynek polski Krzyszof Pionek Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu MODELOWANIE ZMIENNOŚCI STÓP PROCENTOWYCH NA PRZYKŁADZIE STOPY WIBOR Wsęp Konieczność
Bardziej szczegółowoWERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część I. Matematyka finansowa
Matematyka fiasowa 8.05.0 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy LX Egzami dla Aktuariuszy z 8 maja 0 r. Część I Matematyka fiasowa WERJA EU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:... Czas egzamiu: 00 miut
Bardziej szczegółowoMetody badania zbieżności/rozbieżności ciągów liczbowych
Metody badaia zbieżości/rozbieżości ciągów liczbowych Ryszard Rębowski 14 grudia 2017 1 Wstęp Kluczowe pytaie odoszące się do zagadieia badaia zachowaia się ciągu liczbowego sprowadza się do sposobu opisu
Bardziej szczegółowoMODELOWANIE WŁASNOŚCI SZEREGÓW STÓP ZWROTU SKOŚNOŚĆ ROZKŁADÓW
Krzyszof Pionek Kaedra Inwesycji Finansowych i Ubezpieczeń Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu MODELOWANIE WŁASNOŚCI SZEREGÓW STÓP ZWROTU SKOŚNOŚĆ ROZKŁADÓW Wprowadzenie Współczesne zarządzanie ryzykiem
Bardziej szczegółowoMODELOWANIE FINANSOWYCH SZEREGÓW CZASOWYCH Z WARUNKOWĄ WARIANCJĄ. 1. Wstęp
WERSJA ROBOCZA - PRZED POPRAWKAMI RECENZENTA Krzyszof Pionek Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu MODELOWANIE FINANSOWYCH SZEREGÓW CZASOWYCH Z WARUNKOWĄ WARIANCJĄ. Wsęp Spośród wielu rodzajów ryzyka, szczególną
Bardziej szczegółowoFINANSOWE SZEREGI CZASOWE WYKŁAD 3
FINANSOWE SZEREGI CZASOWE WYKŁAD 3 dr Tomasz Wójowcz Wydzał Zarządzana AGH 3800 3300 800 300 800 300 800 0 0 30 40 50 60 70 Kraków 0 Tomasz Wójowcz, WZ AGH Kraków przypomnene MA(q): gdze ε są d(0,σ ).
Bardziej szczegółowoMETODY PROGNOZOWANIA Z WYKORZYSTANIEM TRENDU POTĘGOWEGO
PRZEGLĄD SAYSYCZNY R LVI ZESZY 009 JAN PURCZYŃSKI MEODY PROGNOZOANIA Z YKORZYSANIEM RENDU POĘGOEGO SĘP Praca doyczy esymacji paramerów ieliiowych modeli redu i saowi, w pewym sesie, koyuację zagadień rozparzoych
Bardziej szczegółowoMetody analizy długozasięgowej
Copyright (c) 999-00 by Hugo Steihaus Ceter Metody aalizy długozasięgowej Adrzej Zacharewicz Warsztat aalizy zależości długotermiowej jest wciąż rozwijay i udoskoalay. Od czasów Hursta (95) i jego aalizy
Bardziej szczegółowo1 Zmienne losowe. Własności dystrybuanty F (x) = P (X < x): F1. 0 F (x) 1 dla każdego x R, F2. lim F (x) = 0 oraz lim F (x) = 1,
1 Zmiee loowe Właości dytrybuaty F x = X < x: F1. 0 F x 1 dla każdego x R, F2. lim F x = 0 oraz lim F x = 1, x x + F3. F jet fukcją iemalejącą, F4. lim x x 0 F x = F x 0 dla każdego x R, F5. a X < b =
Bardziej szczegółowoModa (Mo, D) wartość cechy występującej najczęściej (najliczniej).
Cetrale miary położeia Średia; Moda (domiata) Mediaa Kwatyle (kwartyle, decyle, cetyle) Moda (Mo, D) wartość cechy występującej ajczęściej (ajlicziej). Mediaa (Me, M) dzieli uporządkoway szereg liczbowy
Bardziej szczegółowoStatystyka Wzory I. Analiza struktury
Uiwersytet Ekooiczy w Katowicach Wzory I. Aaliza struktury 1. Miary tedecji cetralej (średie, przecięte Średia arytetycza Dla sz. ważoego Dla sz. ważoego dla z. ciągłej Dla szeregu wyliczającego: dla zieej
Bardziej szczegółowo21. CAŁKA KRZYWOLINIOWA NIESKIEROWANA. x = x(t), y = y(t), a < t < b,
CAŁA RZYWOLINIOWA NIESIEROWANA rzywą o rówaiach parameryczych: = (), y = y(), a < < b, azywamy łukiem regularym (gładkim), gdy spełioe są asępujące waruki: a) fukcje () i y() mają ciągłe pochode, kóre
Bardziej szczegółowoCzas trwania obligacji (duration)
Czas rwaia obligacji (duraio) Do aalizy ryzyka wyikającego ze zmia sóp proceowych (szczególie ryzyka zmiay cey) wykorzysuje się pojęcie zw. średiego ermiu wykupu obligacji, zwaego rówież czasem rwaia obligacji
Bardziej szczegółowo2.1. Studium przypadku 1
Uogóliaie wyików Filip Chybalski.. Studium przypadku Opis problemu Przedsiębiorstwo ŚRUBEX zajmuje się produkcją wyrobów metalowych i w jego szerokim asortymecie domiują różego rodzaju śrubki i wkręty.
Bardziej szczegółowoKURS STATYSTYKA. Lekcja 7 Analiza dynamiki zjawisk (zjawiska w czasie) ZADANIE DOMOWE. Strona 1
KURS STATYSTYKA Lekcja 7 Aaliza damiki zjawisk (zjawiska w czasie) ZADANIE DOMOWE www.erapez.pl Sroa Część : TEST Zazacz poprawą odpowiedź (lko jeda jes prawdziwa). Paie Szereg damicz o: a) ciąg prędkości
Bardziej szczegółowoDYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE
DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE X Ogólnopolskie Seminarium Naukowe, 4 6 września 2007 w Toruniu Kaedra Ekonomerii i Saysyki, Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu Pior Fiszeder Uniwersye Mikołaja Kopernika
Bardziej szczegółowoPrzełączanie diody. Stan przejściowy pomiędzy stanem przewodzenia diod, a stanem nieprzewodzenia opisuje się za pomocą parametru/ów czasowego/ych.
Przełączaie diody 1. Trochę eorii a przejściowy pomiędzy saem przewodzeia diod, a saem ieprzewodzeia opisuje się za pomocą parameru/ów czasowego/ych. Mamy więc ajprosszy eleme półprzewodikowy (dwójik),
Bardziej szczegółowoOCENA POPYTU POPYT POJĘCIA WSTĘPNE. Definicja: Popyt to ilość dobra, jaką nabywcy gotowi są zakupić przy różnych poziomach ceny.
OCENA POPYTU POPYT POJĘCIA WSTĘPNE Defiicja: Pop o ilość dobra, jaką abwc goowi są zakupić prz różch poziomach ce. Deermia popu: (a) Cea daego dobra (b) Ilość i ce dóbr subsucjch (zw. kokurecjch) (c) Ilość
Bardziej szczegółowo