ESTYMACJA PARAMETRÓW FUNKCJI REGRESJI METODĄ KLASYCZNĄ ORAZ METODAMI BOOTSTRAPOWYMI**
|
|
- Elżbieta Gajda
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Góricwo i Geoiżyieria Rok 30 Zeszy 3/ 006 Dariusz Foszcz* ESTYMACJA PARAMETRÓW FUNKCJI REGRESJI METODĄ KLASYCZNĄ ORAZ METODAMI BOOTSTRAPOWYMI**. Wsęp W zmieiającej się rzeczywisości przebiegu procesów echologiczych coraz częściej klasycze meody saysycze ie wysarczają do precyzyjego opracowaia i prezeowaia wyików różego ypu badań. Koiecze saje się korzysaie z meod, kóre odchodzą od klasyczych założeń modelu saysyczego, ograiczających zakres ich zasosowaia. Sięgać musimy zaem do ieklasyczych meod saysyczych a, w szczególości do wioskowaia ieparameryczego (ieparameryczej esymacji paramerów i charakerysyk fukcyjych rozkładu czy eż esów ieparameryczych), kóre z jedej sroy, pozwala a weryfikację założeń meod parameryczych, z drugiej aomias, przy iespełioych założeiach uławia zalezieie wielu iych możliwych podejść. Coraz szersze zasosowaie meod saysyczych w opisie i oceie procesów echologiczych wyika z rozwoju saysyki oraz możliwości obliczeiowych kompuerów i opracowywaych programów saysyczych. Tworzoe są programy od uiwersalych pakieów saysyczych po programy specjalisycze. Powierdzeiem ego jes zauważaly posęp w rozwoju eorii ych meod. Nie do pomiięcia jes koieczość sosowaia saysyki w koroli jakości. Opracowywae owe ormy jakości oraz zrewidowae sare ormy zawierają wskazówki jakie arzędzia i echiki ależy i moża sosować do zrealizowaia kokreych zadań projakościowych. W przeróbce surowców mieralych meody saysycze sosuje się przy aalizie efeków prac eksperymealych, kórych główymi celami są ocea wzbogacalości surowca i możliwości jej poprawy oraz iformacje o przebiegu procesów przeróbczych pod kąem określeia czyików, dających ajlepsze rezulay przy daym sposobie wzbogacaia. Meody saysycze sosowae są rówież w badaiach mechaizmu zjawisk zacho- * Wydział Góricwa i Geoiżyierii, Akademia Góriczo-Huicza, Kraków ** Arykuł jes wyikiem realizacji pracy sauowej AGH r
2 dzących w procesach przeróbczych oraz w poszukiwaiach opymalych waruków przebiegu procesu. Opracowaie wyików eksperymeu czyego lub bierego odbywa się poprzez zasosowaie odpowiedich meod saysyczych []. Opymalie dobrae meody saysycze sosowae w ych zagadieiach zosały adopowae adekwaie do porzeb. Sosowae meody posiadają iesey pewe wady. Do główych wad i urudień w sosowaiu ych meod, kóre moża określić ermiem klasyczych, ależy zaliczyć wysępujące założeia ograiczające możliwości ich zasosowaia. Sąd eż pojawiło się szerokie zaieresowaie esami pozwalającymi a sprawdzeie spełieia akich założeń w daym badaiu empiryczym lub worzeiem iych meod wioskowaia saysyczego, w kórych założeia e ie wysępują. Coraz większe zaporzebowaie a meody saysycze charakeryzujące się sosukowo ieliczymi i iekłopoliwymi założeiami ograiczającymi zakres ich sosowaia spowodowało powsaie meod określaych miaem ieklasyczych meod saysyczych. Podsawą iiejszego arykułu jes próba adapacji ieklasyczych meod saysyczych (boosrapowych) w problemayce esymacji paramerów modeli sochasyczych. Przeróbka surowców mieralych iżyieria mierala, ak jak każda iżyieria echicza podlega ciągłemu rozwojowi i doskoaleiu swoich echologii. Rozwijające się bardzo iesywie echiki kosrukcji urządzeń korolo-pomiarowych oraz wchodząca do przemysłu kompuerowa echika zbieraia i przewarzaia daych worzy dobre podsawy do doskoaleia modeli maemayczych przemysłowych układów echologiczych wzbogacaia różych surowców. Modelowaie maemaycze procesów przemysłowych rozpoczęo od rówań regresji, kóre opare były o założeie, że w okolicach zw. puku pracy, zależości pomiędzy wskaźikami ocey przebiegu procesu a wielkościami (zmieymi echologiczymi) wpływającymi a jego warość mogą być liearyzowae, lub geeralie, przedsawioe w posaci wielomiau. Nasępym eapem były próby worzeia posaci regresyjych modeli w oparciu o pewe przesłaki eoreycze oraz zwróceie uwagi a orgaizację daych w czasie (opóźieia rasporowe i masowe), czyli podzieloo modele a saycze i dyamicze. To zdecydowało o sosowaiu korelacyjej eorii procesów sochasyczych oraz eorii procesów Markowa. Nasępym eapem sosowaia modeli maemayczych w przeróbce były modele dyskree uwzględiające krok próbkowaia i opóźieia czasowe. Ogólie biorąc, są o modele ypu ARMAX uwzględiające człoy związae ze średią ruchomą (MA) oraz człoy związae z wielkościami egzogeymi (X) w różych kombiacjach.. Podsawy eoreycze Meody aalizy regresji używae są ajczęściej w Saysyce a porzeby opisu kszałowaia się poziomu pewego zjawiska w czasie, jak i a podsawie pobieraych z populacji geeralej prób losowych [3]. Jeżeli pomiędzy dwoma zmieymi losowymi (cechami saysyczymi ilościowymi) isieje zależość korelacyja i jedą ze zmieych y możemy uzać za zależą, a drugą x za iezależą, o moża próbować sformułować zależość fukcyją, kóra przedsawia- 68
3 łaby warość y w zależości od warości x i pewej dodakowej zmieej losowej ξ, kóra reprezeuje losową zmieość zmieej y i jes iezależa od x y = f( x, ξ ) gdzie: y zmiea objaśiaa (zależa), x zmiea objaśiająca (iezależa), ξ składik losowy, f posać fukcji zależości. Jeżeli warość zmieej y zależy od warości wielu zmieych iezależych x, x,..., x k, mówimy o regresji wielowymiarowej (wielorakiej). Regresja wielowymiarowa doyczy badaia wpływu wielu zmieych objaśiających a zmieą objaśiaą. Badaie akie może doyczyć zmieych losowych o iezaym, jedak zakładaym rozkładzie ormalym lub zmieych kórych warości pochodzą z szeregów czasowych. W obu przypadkach możliwe jes przeprowadzaie aalizy regresji. Jak moża się spodziewać e rodzaj aalizy jes rudiejszy iż w przypadku regresji jedowymiarowej, bowiem w przypadku kilku już zmieych objaśiających szybkich obliczeń moża dokoywać jedyie przy pomocy kompuerów. Model w przypadku regresji wielowymiarowej moża zapisać w posaci y f x x x k = (,,...,, ξ ) W przypadku, gdy fukcja f z powyższej zależości jes fukcją liiową, model przyjmuje posać y =α 0 +α x α kxk +ξ gdzie: y zmiea objaśiaa, x, x,..., x k zmiee objaśiające, ξ składik losowy, α, α,..., α k warości paramerów fukcji regresji (paramery modelu). Warości paramerów fukcji regresji a ogół ie są zae i do ich dokładego wyzaczeia porzeba byłaby zajomość rozkładów warości zmieej y dla wszyskich możliwych zesawów warości zmieych x, x,..., x k. Model regresji moża akże zapisać w posaci macierzowej jako y = X α+ξ 69
4 gdzie: y y y = wekor warości (realizacji) zmieej objaśiaej,... y α0 α α = wekor warości paramerów modelu,... α k x x... x k x x... x k X = macierz warości zmieych objaśiających, x x... xk ξ ξ ξ= wekor warości składika losowego.... ξ W ogólym przypadku k zmieych dla modelu regresji liiowej w posaci macierzowej 70 y = Xa+ e oraz yˆ = Xa z meody ajmiejszych kwadraów wyika, że ocey paramerów modelu (realizacje esymaorów w próbie) moża wyzaczyć jako T ( ) T a = X X X y Jeżeli spełioe są założeia modelu regresji liiowej, o esymaory paramerów rówaia regresji orzymae meodą ajmiejszych kwadraów (MNK-esymaory) są zgode, ieobciążoe i ajbardziej efekywe w klasie esymaorów liiowych (Twierdzeie Gaussa- -Markowa). Dla jedej zmieej objaśiające wzory macierzowe przyjmują posać: T ( X X ) xi xi i= i= = x x i x i i i= i= i= yi T i= Xy = xiyi i=
5 Miarą przecięej wielkości błędu dopasowaia jes wariacja reszowa, kóra jes oceą wariacji składika losowego S T e = ee = ei ( + ) ( + ) i k k =, aomias przecięy błąd szacuku parameru j jes rówy Sa ( ) = S( X X ) T j e j+, j+ Elemey pod pierwiaskiem są kolejymi elemeami główej przekąej zw. macierzy kowariacji (macierzy wariacji i kowariacji) oce paramerów D a X X T ( ) = S e ( ) Średi względy błąd szacuku parameru j wyraża się wzorem Sa ( j ) a j Bardzo ważą częścią aalizy regresji, po oszacowaiu oce umeryczych paramerów modelu jes ocea zmieości zmieej objaśiaej Y spowodowaej zmieością zmieej objaśiającej X. Do ocey akiej służą współczyiki deermiacji i ideermiacji, kórych suma musi wyosić. Posługując się wzorem a wskaźik ideermiacji, iaczej zway wskaźikiem zbieżości, kórego warość powia być jak ajiższa. Wskaźik zbieżości poado, określa warość współczyika deermiacji, kóry day jes wzorem poiższym R = ϕ Wskaźik e iformuje jaki proce zmieości zmieej objaśiaej wyjaśioy zosał zmieością zmieej objaśiającej. W przypadku regresji liiowej, akże wielorakiej ależy przeprowadzić jeszcze kilka aaliz wchodzących w skład aalizy resz regresyjych powierdzających przydaość skosruowaego modelu w celach progosyczych. Współczyik deermiacji day jes w ym przypadku wzorem R T ei ee i= = = T y y y ( ) i= ( y y) i (określa, jaka część zmieości cechy zależej jes wyjaśioa zmieością cechy iezależej). 7
6 Oszacowae paramery oraz skosruoway model pozosaje jeszcze sprawdzić pod względem użyeczości bowiem ie każdy model adaje się do dalszego za jego pomocą wioskowaia saysyczego. Jak ierpreować oszacowae paramery modelu oraz, czy są oe saysyczie isoe. Oczywisym jes że ajpierw ależy odpowiedzieć a o drugie pyaie, iaczej ie będzie sesu udzielaia odpowiedzi a pyaie pierwsze. 3. Boosrapowa esymacja paramerów fukcji regresji Do esymacji paramerów fukcji regresji poza opisaymi już szeroko meodami klasyczymi możemy wykorzysać meody ieklasycze j. meody boosrapowe [4]. Boosrapowa esymacja pukowa paramerów fukcji regresji opara a esymaorach uzyskiwaych meodą ajmiejszych kwadraów (MNK). Niech day będzie model posaci (, ) y = f X β +ξ dla i =,..., i i i gdzie: y i realizacje zmieej objaśiaej (zależej), X i realizacja wekora zmieych objaśiających (iezależych), ξ i warość składika losowego dla i =,...,, β wekor iezaych paramerów. Model e opisuje zależość między zmieą Y i wekorem zmieych objaśiających X. Niech ˆβ będzie MNK-esymaorem parameru β lub warością ego esymaora. Oszacowaia warości składików losowych są wówczas określoe wzorem 7 (, ˆ) ξ ˆ = y f X β dla i =,..., i i i Zdefiiujemy rozkład posaci ( ˆ i ) P Z =ξ = dla i =,..., Według ego rozkładu geerujemy próbę boosrapową ( ˆ* ˆ* ) ξ,..., ξ, a asępie wo- * rzymy próbę (,..., * ), * Y Y kórej realizacjami są warości (,..., * ) (, ˆ ) y = f X β +ξ dla i =,..., * * i i i y y określoe wzorem * * Warości y,..., y wykorzysujemy do poowego oszacowaia meodą MNK parameru β.
7 Esymację przeprowadzamy dla modelu (, ) y = f X β +ξ % dla i =,..., * i i i gdzie ξ % i jes składikiem losowym w uworzoym modelu. ˆ* ˆ* ξ,..., ξ i wyzaczaia oszacowaia Przedsawioy schema geerowaia ciągów ( ) * * parameru β powarzamy N razy. W wyiku orzymujemy warości ( N ) β,...,, β kóre określają boosrapowy rozkład MNK-esymaora β ˆ. Na ich podsawie moża wyzaczyć hisogram, kóry graficzie przedsawi e rozkład. Jeżeli przez ˆβ * ozaczymy esymaor boosrapowy parameru β, o moża wykazać, że charakeryzuje się o asępującymi własościami * E ( β ˆ ) = βˆ i ( ˆ ) * T cov β =σ ˆ ( X X ) gdzie ˆβ jes warością MNK-esymaora parameru, oraz ( ) σ = y f X βˆ ˆ i i,. = i T β X = ( X,..., X ) 4. Oszacowaie fukcji regresji meodą klasyczą i boosrapową W celu ocey możliwości wykorzysaia ieklasyczych meod saysyczych w problemayce esymacji paramerów modeli sochasyczych przeprowadzoo obliczeia zależości fukcyjych pomiędzy uzyskiem i zawarością miedzi w adawie. Obliczeia przeprowadzoo dla średich miesięczych wyików echologiczych za rok 005 z Oddziału Zakłady Wzbogacaia Rud KGHM Polska Miedź SA Rejo Polkowice oraz Lubi. Esymację paramerów powyższej zależości meodą klasyczą MNK wykoao wykorzysując pakie saysyczy STATISTICA 6.0, zaś obliczeia meodyką boosrap przy użyciu arkusza kalkulacyjego. Na podsawie ych daych meodą ajmiejszych kwadraów, a asępie meodą boosrapową dokoywao oszacowaia paramerów modelu y = a + a x +ξ 0 gdzie: y uzysk miedzi ε, x zawarość miedzi w adawie α, a0, a oszacowywae paramerów modelu, ξ składik losowy. 73
8 Esymacja paramerów fukcji regresji meodą ajmiejszych kwadraów Esymację paramerów zależości uzysku od zawarości miedzi w adawie meodą klasyczą MNK wykoao wykorzysując pakie saysyczy STATISTICA 6.0. Wykresy zależości zmieej uzysku od zawarości miedzi w adawie dla O/ZWR Rejo Polkowice oraz Lubi przedsawioo a rysuku. Są oe pomoce w wyzaczaiu zależości fukcyjych pomiędzy zmieymi umożliwiając zorieowaie się o charakerze ej zależości []. a) b) Rys.. Zależość uzysku miedzi w koceracie od zawarości miedzi w adawie dla: a) O/ZWR Rejo Polkowice; b) O/ZWR Rejo Lubi 74
9 W abeli przedsawioo wyiki oszacowaia dla paramerów rówaia zależości uzysku od zawarości miedzi w adawie meodą klasyczą MNK. TABELA Wyiki esymacji paramerów zależości uzysku od zawarości miedzi w adawie meodą klasyczą MNK Podsumowaie regresji zmieej zależej: Uzysk ε R = 0,8674, F(,0) = 7,973, p < 0,0000, S r = 0,48 O/ZWR Rejo Polkowice a 0 wyraz woly B błąd sadardowy (0) poziom p 78,404,6 6,37 0, a 5,500 0,64 8,544 0, Podsumowaie regresji zmieej zależej: Uzysk ε R = 0,046, F(,0) = 0,483, p < 0,708, S r = 0,3844 O/ZWR Rejo Lubi a 0 wyraz woly B błąd sadardowy (0) poziom p 84,9 3,49 4,398 0,00000 a,069,78 0,385 0,7083 Uzyskao więc meodą MNK asępującą posać fukcji regresji: O/ZWR Rejo Polkowice y = 78, , 500x lub ε= 78, , 500α O/ZWR Rejo Lubi y = 84, 9+, 069x lub ε= 84, 9+, 069α Oszacowae zależość cechują się dla O/ZWR Rejo Polkowice wysoką warością R (86,74%) oraz isoością współczyika przy zmieej iezależej (zawarość miedzi w adawie α) a a akże dużą dokładością z uwagi a iską warość średiego odchyleia przecięego S r = 0,4. Dla O/ZWR Rejo Lubi ieisoość współczyika przy zmieej iezależej a oraz bardzo iska warość współczyika deermiacji R, jedyie średie 75
10 odchyleie przecięe S r rówe 0,38 możemy uzać za zadowalające (ależy jedak pamięać że a warość średiego odchyleia przecięego wyika z iewielkiego zakresu zmieości uzysku miedzi rys. b.). Uzyskae warości szacowaego rówaia dla O/ZWR Rejo Lubi powodują że ależy je uzać za ieisoe. Przyczyą są zw. odsające warości kóre zosały zazaczoe a rysuku b dla kórych uzyskao przy iskich warościach zawarości miedzi bardzo rozbieże warości uzysku. Powodem ych rozbieżości poza błędami ozaczeń, kóre ależy z uwagi a sosowae procedury wykluczyć zmiaa wzbogacalości przerabiaej rudy a skuek zmiay składu mieralogiczego. Z uwagi a fak iż ie samo zagadieie uzyskaia poprawego modelu było przedmioem iiejszych rozważań przeprowadzoo dalsze obliczeia oszacowaia paramerów modelu meodą boosrapową. Boosrapowa esymacja paramerów fukcji regresji Do oszacowaia paramerów modelu meodą boosrapową zasosowao opisaą procedurę, przyjmując liczbę szacowań N = 00. Uzyskae rezulay przedsawioo w abeli. TABELA Saysyka oszacowaych paramerów modelu meodą boosrapową 76 ważych Średia Miimum Maksimum Odchyleie sadardowe O/ZWR a 0 wyraz woly 00 78,566 74,53 8,79, Rejo Polkowice a 00 5,47 3,78 7,47 0,57 O/ZWR a 0 wyraz woly 00 84,755 73,9 95,05 3,03 Rejo Lubi a 00,75 7,0 9,83,4 Na rysukach i 3 przedsawioo zaś hisogramy rozkładów ych paramerów uzyskae a podsawie 00 boosrapowych repeycji. Oszacowaie paramerów modelu przy pomocy meody boosrap umożliwia szerszą aalizę porówawczą uzyskaych wyików. Wyika z iej że dla rówaia O/ZWR Rejo Polkowice uzyskao miejszą zmieość dla współczyików a i a 0. Z uwagi a brak isoości uzyskaego rówaia dla O/ZWR Rejo Lubi ie ma możliwości jego ierpreacji z uwagi a prowadzoy proces echologiczy a w szczególości porówaia z warościami uzyskaymi dla O/ZWR Rejo Polkowice. Uzyskaie poprawej zależości fukcyjej pomiędzy badaymi zmieymi umożliwia oceę wpływu wzrosu zawarości miedzi w adawie a warość uzysku. Z rówaia uzyskaego dla O/ZWR Rejo Polkowice wyika że wzros zawarości miedzi w adawie o 0,% powoduje wzros uzysku o 0,54%. Oczywiście a warość uzysku ma wpływ w główej mierze poprawie prowadzoy proces wzbogacaia, jedak z uzyskaego rówaia płyą pewe korzyści prakycze p. możliwość porówaia uzyskaych warości uzysku przy zmieej zawarości miedzi w adawie. Ma o miejsce w syuacji wprowadzaia zmia w prowadzoej echologii czy eż zasoso-
11 waia owych urządzeń i oceie o ile udało się dzięki emu poprawić skueczość prowadzoego procesu co mierzymy między iymi uzyskiem, kórego warość zgodie ze wzorem obliczamy przy pomocy właśie zawarości składika użyeczego w adawie. Rys.. Hisogramy rozkładu MNK-esymaora parameru a 0 modelu y = a0 + ax +ε dla O/ZWR Rejo Polkowice i O/ZWR Rejo Lubi Rys. 3. Hisogramy rozkładu MNK-esymaora parameru a modelu y = a0 + ax +ε dla O/ZWR Rejo Polkowice i O/ZWR Rejo Lubi 77
12 5. Wioski Nieklasycze meody saysycze, a w szczególości wioskowaie ieparamerycze (ieparamerycza esymacja paramerów i charakerysyk fukcyjych rozkładu czy eż esów ieparameryczych), pozwalają a weryfikację założeń meod parameryczych, a dodakowo przy iespełioych założeiach uławiają zalezieie wielu iych możliwych podejść. Meody boosrapowe pozwalają właśie wyzaczyć, ie ylko oszacowaia paramerów (w ym ich przedziały ufości), ale akże aproksymację rozkładów esymaorów zasosowaych do począkowej ocey ych paramerów p. ak jak w aalizowaym przypadku rozkładu MNK-esymaorów paramerów rozparywaej fukcji regresji. Możliwa saję się więc szersza aaliza uzyskaych wyików wyzaczoej zależości fukcyjej dla badaych paramerów. W aalizowaym przypadku może o być aaliza zmieości uzyskaej zależości pomiędzy uzyskiem a zawarością miedzi w adawie dla okresów miesięczych czy eż pomiędzy poszczególymi Rejoami Oddziału Zakłady Wzbogacaia Rud KGHM Polska Miedź SA. Problem wykorzysaia meod ieklasyczych w ym boosrapowych w oceie zależości fukcyjych paramerów, wymaga bardziej szczegółowej aalizy eoreyczej oraz rachukowej a większym maeriale obserwacyjym co będzie przedmioem dalszych prac. LITERATURA [] STATISTICA PL dla Widows. Ogóle kowecje i saysyki. T., SaSof 997 [] Tumidajski T.: Zasosowaie meod saysyczych w aalizie procesów przeróbki surowców mieralych. Kaowice, Śląskie Wyd. Tech. 993 [3] Gajek L., Kałuszka M.: Wioskowaie saysycze. Warszawa, WNT 994 [4] Domański Cz., Pruska K.: Nieklasycze meody saysycze. Warszawa, PWE
EKONOMETRIA. Liniowy model ekonometryczny (regresji) z jedną zmienną objaśniającą
EKONOMETRIA Tema wykładu: Liiowy model ekoomeryczy (regresji z jedą zmieą objaśiającą Prowadzący: dr iż. Zbigiew TARAPATA e-mail: Zbigiew.Tarapaa Tarapaa@isi.wa..wa.edu.pl hp:// zbigiew.arapaa.akcja.pl/p_ekoomeria/
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n
Maemayka ubezpieczeń mająkowych 9.0.006 r. Zadaie. Rozważamy proces adwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskreym posaci: U = u + c S = 0... S = W + W +... + W W W W gdzie zmiee... są iezależe i mają e sam
Bardziej szczegółowoĆwiczenia nr 5. TEMATYKA: Regresja liniowa dla prostej i płaszczyzny
TEMATYKA: Regresja liiowa dla prostej i płaszczyzy Ćwiczeia r 5 DEFINICJE: Regresja: metoda statystycza pozwalająca a badaie związku pomiędzy wielkościami daych i przewidywaie a tej podstawie iezaych wartości
Bardziej szczegółowo3. Regresja liniowa Założenia dotyczące modelu regresji liniowej
3. Regresja liiowa 3.. Założeia dotyczące modelu regresji liiowej Aby moża było wykorzystać model regresji liiowej, muszą być spełioe astępujące założeia:. Relacja pomiędzy zmieą objaśiaą a zmieymi objaśiającymi
Bardziej szczegółowoMIANO ROZTWORU TITRANTA. Analiza statystyczna wyników oznaczeń
MIANO ROZTWORU TITRANTA Aaliza saysycza wyików ozaczeń Esymaory pukowe Średia arymeycza x jes o suma wyików w serii podzieloa przez ich liczbę: gdzie: x i - wyik poszczególego ozaczeia - liczba pomiarów
Bardziej szczegółowo1. Element nienaprawialny, badania niezawodności. Model matematyczny elementu - dodatnia zmienna losowa T, określająca czas życia elementu
Badaia iezawodościowe i saysycza aaliza ich wyików. Eleme ieaprawialy, badaia iezawodości Model maemayczy elemeu - dodaia zmiea losowa T, określająca czas życia elemeu Opis zmieej losowej - rozkład, lub
Bardziej szczegółowoNiepewności pomiarowe
Niepewości pomiarowe Obserwacja, doświadczeie, pomiar Obserwacja zjawisk fizyczych polega a badaiu ych zjawisk w warukach auralych oraz a aalizie czyików i waruków, od kórych zjawiska e zależą. Waruki
Bardziej szczegółowoX i. X = 1 n. i=1. wartość tej statystyki nazywana jest wartością średnią empiryczną i oznaczamy ją symbolem x, przy czym x = 1. (X i X) 2.
Zagadieia estymacji Puktem wyjścia badaia statystyczego jest wylosowaie z całej populacji pewej skończoej liczby elemetów i zbadaie ich ze względu a zmieą losową cechę X Uzyskae w te sposób wartości x,
Bardziej szczegółowoTRANZYSTORY POLOWE JFET I MOSFET
POLTECHNKA RZEZOWKA Kaedra Podsaw Elekroiki srukcja Nr5 F 00/003 sem. lei TRANZYTORY POLOWE JFET MOFET Cel ćwiczeia: Pomiar podsawowych charakerysyk i wyzaczeie paramerów określających właściwości razysora
Bardziej szczegółowoModele tendencji rozwojowej STATYSTYKA OPISOWA. Dr Alina Gleska. Instytut Matematyki WE PP. 18 listopada 2017
STATYSTYKA OPISOWA Dr Alia Gleska Istytut Matematyki WE PP 18 listopada 2017 1 Metoda aalitycza Metoda aalitycza przyjmujemy założeie, że zmiay zjawiska w czasie moża przedstawić jako fukcję zmieej czasowej
Bardziej szczegółowoStatystyka opisowa. () Statystyka opisowa 24 maja / 8
Część I Statystyka opisowa () Statystyka opisowa 24 maja 2010 1 / 8 Niech x 1, x 2,..., x będą wyikami pomiarów, p. temperatury, ciśieia, poziomu rzeki, wielkości ploów itp. Przykład 1: wyiki pomiarów
Bardziej szczegółowot - kwantyl rozkładu t-studenta rzędu p o f stopniach swobody
ZJAZD ANALIZA DANYCH CIĄGŁYCH ramach zajęć będą badae próbki pochodzące z poplacji w kórych badaa cecha ma rozkład ormaly N(μ σ). Na zajęciach będą: - wyzaczae przedziały fości dla warości średiej i wariacji
Bardziej szczegółowo3. Tworzenie próby, błąd przypadkowy (próbkowania) 5. Błąd standardowy średniej arytmetycznej
PODSTAWY STATYSTYKI 1. Teoria prawdopodobieństwa i elemety kombiatoryki 2. Zmiee losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby daych, estymacja parametrów 4. Testowaie hipotez 5. Testy parametrycze 6. Testy
Bardziej szczegółowoKorelacja i regresja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 12
Wykład Korelacja i regresja Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Wykład 8. Badaie statystycze ze względu
Bardziej szczegółowoMetrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie
Metrologia: miary dokładości dr iż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczeciie Miary dokładości: Najczęściej rozkład pomiarów w serii wokół wartości średiej X jest rozkładem Gaussa: Prawdopodobieństwem,
Bardziej szczegółowo, gdzie b 4c 0 oraz n, m ( 2). 2 2 b b b b b c b x bx c x x c x x
Meody aeaycze w echologii aeriałów Uwaga: Proszę paięać, że a zajęciach obowiązuje akże zajoość oówioych w aeriałach przykładów!!! CAŁKOWANIE FUNKCJI WYMIERNYCH Fukcją wyierą azyway fukcję posaci P ( )
Bardziej szczegółowoANALIZA KORELACJI IREGRESJILINIOWEJ
ANALIZA KORELACJI IREGRESJILINIOWEJ 1. ZALEŻNOŚCI STOCHASTYCZNE Badajac zjawiska o charakterze masowym, w tym szczególie zjawiska spo leczo-ekoomicze, stwierdzamy, że każde z ich jest uwarukowae dzia laiem
Bardziej szczegółowoTrzeba pokazać, że dla każdego c 0 c Mc 0. ) = oraz det( ) det( ) det( ) jest macierzą idempotentną? Proszę odpowiedzieć w
Zad Dae są astępujące macierze: A =, B, C, D, E 0. 0 = = = = 0 Wykoaj astępujące działaia: a) AB, BA, C+E, DE b) tr(a), tr(ed), tr(b) c) det(a), det(c), det(e) d) A -, C Jeśli działaia są iewykoale, to
Bardziej szczegółowoSygnały pojęcie i klasyfikacja, metody opisu.
Sygały pojęcie i klasyfikacja, meody opisu. Iformacja przekazywaa jes za pośredicwem sygałów, kóre przeoszą eergię. Sygał jes o fukcja czasowa dowolej wielkości o charakerze eergeyczym, w kórym moża wyróżić
Bardziej szczegółowoFunkcja generująca rozkład (p-two)
Fucja geerująca rozład (p-wo Defiicja: Fucją geerującą rozład (prawdopodobieńswo (FGP dla zmieej losowej przyjmującej warości całowie ieujeme, azywamy: [ ] g E P Twierdzeie: (o jedozaczości Jeśli i są
Bardziej szczegółowoD:\materialy\Matematyka na GISIP I rok DOC\07 Pochodne\8A.DOC 2004-wrz-15, 17: Obliczanie granic funkcji w punkcie przy pomocy wzoru Taylora.
D:\maerialy\Maemayka a GISIP I rok DOC\7 Pochode\8ADOC -wrz-5, 7: 89 Obliczaie graic fukcji w pukcie przy pomocy wzoru Taylora Wróćmy do wierdzeia Taylora (wzory (-( Tw Szczególie waża dla dalszych R rozważań
Bardziej szczegółowoStatystyka Inżynierska
aysyka Iżyierska dr hab. iż. Jacek Tarasik AG WFiI 4 Wykład 5 TETOWANIE IPOTEZ TATYTYCZNYC ipoezy saysycze ipoezą saysyczą azywamy każde przypszczeie doyczące iezaego rozkład o prawdziwości lb fałszywości
Bardziej szczegółowoIdentyfikacja i modelowanie struktur i procesów biologicznych
Idetyfikacja i modelowaie struktur i procesów biologiczych Laboratorium 4: Modele regresyje mgr iż. Urszula Smyczyńska AGH Akademia Góriczo-Huticza Aaliza regresji Aaliza regresji jest bardzo szeroka dziedzią,
Bardziej szczegółowoGretl konstruowanie pętli Symulacje Monte Carlo (MC)
Grel kosruowaie pęli Symulacje Moe Carlo (MC) W Grelu, aby przyspieszyć pracę, wykoać iesadardową aalizę (ie do wyklikaia ) możliwe jes użycie pęli. Pęle realizuje komeda loop, kóra przyjmuje zesaw iych
Bardziej szczegółowoMiary rozproszenia. Miary położenia. Wariancja. Średnia. Dla danych indywidualnych: Dla danych indywidualnych: s 2 = 1 n. (x i x) 2. x i.
Miary położeia Średia Dla daych idywidualych: x = 1 x = 1 x i i ẋ i gdzie ẋ i środek i tego przedziału i - liczość i-tego przedziału Domiata moda Liczba ajczęściej występująca jeśli taka istieje - dla
Bardziej szczegółowoCharakterystyki liczbowe zmiennych losowych: wartość oczekiwana i wariancja
Charakterystyki liczbowe zmieych losowych: wartość oczekiwaa i wariacja dr Mariusz Grządziel Wykłady 3 i 4;,8 marca 24 Wartość oczekiwaa zmieej losowej dyskretej Defiicja. Dla zmieej losowej dyskretej
Bardziej szczegółowoWokół testu Studenta 1. Wprowadzenie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaniu hipotez dotyczących rozkładów normalnych
Wokół testu Studeta Wprowadzeie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaiu hipotez dotyczących rozkładów ormalych Rozkład ormaly N(µ, σ, µ R, σ > 0 gęstość: f(x σ (x µ π e σ Niech a R \ {0}, b
Bardziej szczegółowoNiezależność zmiennych, funkcje i charakterystyki wektora losowego, centralne twierdzenia graniczne
Wykład 4 Niezależość zmieych, fukcje i charakterystyki wektora losowego, cetrale twierdzeia graicze Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki
Bardziej szczegółowoMiary położenia. Miary rozproszenia. Średnia. Wariancja. Dla danych indywidualnych: Dla danych indywidualnych: s 2 = 1 n. (x i x) 2. x i.
Miary położeia Średia Dla daych idywidualych: x = 1 x = 1 x i i ẋ i gdzie ẋ i środek i tego przedziału i - liczość i-tego przedziału Domiata moda Liczba ajczęściej występująca jeśli taka istieje - dla
Bardziej szczegółowoMiary położenia (tendencji centralnej) to tzw. miary przeciętne charakteryzujące średni lub typowy poziom wartości cechy.
MIARY POŁOŻENIA I ROZPROSZENIA WYNIKÓW SERII POMIAROWYCH Miary położeia (tedecji cetralej) to tzw. miary przecięte charakteryzujące średi lub typowy poziom wartości cechy. Średia arytmetycza: X i 1 X i,
Bardziej szczegółowoCOLLEGIUM MAZOVIA INNOWACYJNA SZKOŁA WYŻSZA WYDZIAŁ NAUK STOSOWANYCH. Kierunek: Finanse i rachunkowość. Robert Bąkowski Nr albumu: 9871
COLLEGIUM MAZOVIA INNOWACYJNA SZKOŁA WYŻSZA WYDZIAŁ NAUK STOSOWANYCH Kieruek: Fiase i rachukowość Robert Bąkowski Nr albumu: 9871 Projekt: Badaie statystycze cey baryłki ropy aftowej i wartości dolara
Bardziej szczegółowoPobieranie próby. Rozkład χ 2
Graficzne przedsawianie próby Hisogram Esymaory przykład Próby z rozkładów cząskowych Próby ze skończonej populacji Próby z rozkładu normalnego Rozkład χ Pobieranie próby. Rozkład χ Posać i własności Znaczenie
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 3. H 1 : p p 0 H 3 : p > p 0. b) dla małej próby statystykę testową oblicza się za pomocą wzoru:
Ćwiczeie ERYFIKACJA IPOTEZ Tesowaie hipoez: Zakładamy że wszyskie hipoezy będą weryfikowae a poziomie isoości α.. eryfikacja hipoezy o wskaźik srkry jedej zmieej losowej dyskreej Rozparjemy próbkę elemeową
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadaie. Wykoujemy rzuty symetryczą kością do gry do chwili uzyskaia drugiej szóstki. Niech Y ozacza zmieą losową rówą liczbie rzutów w których uzyskaliśmy ie wyiki iż szóstka a zmieą losową rówą liczbie
Bardziej szczegółowoOCENA POPYTU POPYT POJĘCIA WSTĘPNE. Definicja: Popyt to ilość dobra, jaką nabywcy gotowi są zakupić przy różnych poziomach ceny.
OCENA POPYTU POPYT POJĘCIA WSTĘPNE Defiicja: Pop o ilość dobra, jaką abwc goowi są zakupić prz różch poziomach ce. Deermia popu: (a) Cea daego dobra (b) Ilość i ce dóbr subsucjch (zw. kokurecjch) (c) Ilość
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA I ANALIZA DANYCH
TATYTYKA I ANALIZA DANYCH Zad. Z pewej partii włókie weły wylosowao dwie próbki włókie, a w każdej z ich zmierzoo średicę włókie różymi metodami. Otrzymao astępujące wyiki: I próbka: 50; średia średica
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA OPISOWA PODSTAWOWE WZORY
MIARY POŁOŻENIA Średia Dla daych idywidualych: STATYSTYKA OPISOWA PODSTAWOWE WZORY Q i = x lmi + i mi 1 4 j h m i mi x = 1 x i x = 1 i ẋ i gdzie ẋ i środek i-tego przedziału i liczość i- tego przedziału
Bardziej szczegółowoKADD Metoda najmniejszych kwadratów
Metoda ajmiejszych kwadratów Pomiary bezpośredie o rówej dokładości o różej dokładości średia ważoa Pomiary pośredie Zapis macierzowy Dopasowaie prostej Dopasowaie wielomiau dowolego stopia Dopasowaie
Bardziej szczegółowoAnaliza wyników symulacji i rzeczywistego pomiaru zmian napięcia ładowanego kondensatora
Aaliza wyików symulacji i rzeczywistego pomiaru zmia apięcia ładowaego kodesatora Adrzej Skowroński Symulacja umożliwia am przeprowadzeie wirtualego eksperymetu. Nie kostruując jeszcze fizyczego urządzeia
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA
ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA Mamy populację geeralą i iteresujemy się pewą cechą X jedostek statystyczych, a dokładiej pewą charakterystyką liczbową θ tej cechy (p. średią wartością
Bardziej szczegółowoMETODY NUMERYCZNE dr inż. Mirosław Dziewoński
Metody Numerycze METODY NUMERYCZNE dr iż. Mirosław Dziewoński e-mail: miroslaw.dziewoski@polsl.pl Pok. 151 Wykład /1 Metody Numerycze Aproksymacja fukcji jedej zmieej Wykład / Aproksymacja fukcji jedej
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA OPISOWA PODSTAWOWE WZORY
MIARY POŁOŻENIA Średia Dla daych idywidualych: x = 1 STATYSTYKA OPISOWA PODSTAWOWE WZORY x i x = 1 i ẋ i gdzie ẋ i środek i-tego przedziału i liczość i- tego przedziału Domiata (moda Liczba ajczęściej
Bardziej szczegółowoStatystyczne testy nieparametryczne
Saysycze esy ieparamerycze Tesami ieparameryczymi azywamy esy służące do weryfikaci hipoez ieparameryczych, hipoez iedoyczących warości iezaych paramerów populaci (choć czasem poęcie o ozacza hipoezy ie
Bardziej szczegółowoEstymacja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 7
Metody probabilistycze i statystyka Estymacja Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze
Bardziej szczegółowoPODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH
PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH POMIAR FIZYCZNY Pomiar bezpośredi to doświadczeie, w którym przy pomocy odpowiedich przyrządów mierzymy (tj. porówujemy
Bardziej szczegółowoElementy modelowania matematycznego
Elemety modelowaia matematyczego Wstęp Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU Modelowaie daych (ilościowe): Metody statystycze: estymacja parametrów modelu,
Bardziej szczegółowoEstymacja: Punktowa (ocena, błędy szacunku) Przedziałowa (przedział ufności)
IV. Estymacja parametrów Estymacja: Puktowa (ocea, błędy szacuku Przedziałowa (przedział ufości Załóżmy, że rozkład zmieej losowej X w populacji geeralej jest opisay dystrybuatą F(x;α, gdzie α jest iezaym
Bardziej szczegółowoPOLITECHNIKA OPOLSKA
POLITCHIKA OPOLSKA ISTYTUT AUTOMATYKI I IFOMATYKI LABOATOIUM MTOLOII LKTOICZJ 7. KOMPSATOY U P U. KOMPSATOY APIĘCIA STAŁO.. Wstęp... Zasada pomiaru metodą kompesacyją. Metoda kompesacyja pomiaru apięcia
Bardziej szczegółowoLista 6. Estymacja punktowa
Estymacja puktowa Lista 6 Model metoda mometów, rozkład ciągły. Zadaie. Metodą mometów zaleźć estymator iezaego parametru a w populacji jedostajej a odciku [a, a +. Czy jest to estymator ieobciążoy i zgody?
Bardziej szczegółowoObligacja i jej cena wewnętrzna
Obligacja i jej cea wewęrza Obligacja jes o isrume fiasowy (papier warościowy), w kórym jeda sroa, zwaa emieem obligacji, swierdza, że jes dłużikiem drugiej sroy, zwaej obligaariuszem (jes o właściciel
Bardziej szczegółowoSZACOWANIE KOSZTÓW PROCESU MONTAŻU NA PRZYKŁADZIE WYBRANEGO TYPOSZEREGU WYROBÓW
SZACOWANIE KOSZTÓW PROCESU MONTAŻU NA PRZYKŁADZIE WYBRANEGO TYPOSZEREGU WYROBÓW Pior CHWASTYK, Domiika BINIASZ, Mariusz KOŁOSOWSKI Sreszczeie: W pracy przedsawioo meodę oszacowaie koszów procesu moażu
Bardziej szczegółowoPROGNOZY I SYMULACJE
orecasig is he ar of saig wha will happe, ad he explaiig wh i did. Ch. Chafield (986 PROGNOZY I YMULACJE Kaarza Chud Laskowska kosulacje: p. 400A środa -4 czwarek -4 sroa iereowa: hp://kc.sd.prz.edu.pl/
Bardziej szczegółowoPodstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych (w zakresie materiału przedstawionego na wykładzie organizacyjnym)
Podstawy opracowaia wyików pomiarów z elemetami aalizepewości pomiarowych (w zakresie materiału przedstawioego a wykładzie orgaizacyjym) Pomiary Wyróżiamy dwa rodzaje pomiarów: pomiar bezpośredi, czyli
Bardziej szczegółowo4. MODELE ZALEŻNE OD ZDARZEŃ
4. MODELE ZALEŻNE OD ZDARZEŃ 4.. Wrowadzeie W sysemach zależych od zdarzeń wyzwalaie określoego zachowaia się układu jes iicjowae rzez dyskree zdarzeia. Modelowaie akich syuacji ma a celu symulacyją aalizę
Bardziej szczegółowoStatystyka i Opracowanie Danych. W7. Estymacja i estymatory. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407
Statystyka i Opracowaie Daych W7. Estymacja i estymatory Dr Aa ADRIAN Paw B5, pok407 ada@agh.edu.pl Estymacja parametrycza Podstawowym arzędziem szacowaia iezaego parametru jest estymator obliczoy a podstawie
Bardziej szczegółowobędą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu jednostajnego na przedziale ( 0,
Zadaie iech X, X,, X 6 będą iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu jedostajego a przedziale ( 0, ), a Y, Y,, Y6 iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu jedostajego a przedziale ( 0, ), gdzie, są iezaymi
Bardziej szczegółowoEstymacja przedziałowa
Metody probabilistycze i statystyka Estymacja przedziałowa Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze
Bardziej szczegółowoPorównanie dwu populacji
Porówaie dwu populacji Porówaie dwóch rozkładów ormalych Założeia:. X ~ N( m, σ ), X ~ N( m, σ ), σ σ. parametry rozkładów ie ą zae. X, X ą iezależe. Ocea różicy między średimi m m m m x x (,...) H 0 :
Bardziej szczegółowoMetody oceny efektywności projektów inwestycyjnych
Opracował: Leszek Jug Wydział Ekoomiczy, ALMAMER Szkoła Wyższa Meody ocey efekywości projeków iwesycyjych Niezbędym warukiem urzymywaia się firmy a ryku jes zarówo skuecze bieżące zarządzaie jak i podejmowaie
Bardziej szczegółowoPrzełączanie diody. Stan przejściowy pomiędzy stanem przewodzenia diod, a stanem nieprzewodzenia opisuje się za pomocą parametru/ów czasowego/ych.
Przełączaie diody 1. Trochę eorii a przejściowy pomiędzy saem przewodzeia diod, a saem ieprzewodzeia opisuje się za pomocą parameru/ów czasowego/ych. Mamy więc ajprosszy eleme półprzewodikowy (dwójik),
Bardziej szczegółowoEKONOMETRIA wykład 2. Prof. dr hab. Eugeniusz Gatnar.
EKONOMERIA wykład Prof. dr hab. Eugeniusz Ganar eganar@mail.wz.uw.edu.pl Przedziały ufności Dla paramerów srukuralnych modelu: P bˆ j S( bˆ z prawdopodobieńswem parameru b bˆ S( bˆ, ( m j j j, ( m j b
Bardziej szczegółowooznaczają łączne wartości szkód odpowiednio dla k-tego kontraktu w t-tym roku. O składnikach naszych zmiennych zakładamy, że:
Zadaie. Niech zmiee losowe: X t,k = μ + α k + β t + ε t,k, k =,2,, K oraz t =,2,, T, ozaczają łącze wartości szkód odpowiedio dla k-tego kotraktu w t-tym roku. O składikach aszych zmieych zakładamy, że:
Bardziej szczegółowoqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx cvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq
qwertyuiopasdfghjklzxcvbmqwerty uiopasdfghjklzxcvbmqwertyuiopasd fghjklzxcvbmqwertyuiopasdfghjklzx cvbmqwertyuiopasdfghjklzxcvbmq Model ekoometryczy wertyuiopasdfghjklzxcvbmqwertyui Ekoometria: projekt
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 2 ESTYMACJA STATYSTYCZNA
Ćwiczeie ETYMACJA TATYTYCZNA Jest to metoda wioskowaia statystyczego. Umożliwia oszacowaie wartości iteresującego as parametru a podstawie badaia próbki. Estymacja puktowa polega a określeiu fukcji zwaej
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 6..003 r. Zadaie. W kolejych okresach czasu t =,, 3, 4, 5 ubezpieczoy, charakteryzujący się parametrem ryzyka Λ, geeruje szkód. Dla daego Λ = λ zmiee N, N,..., N 5 są
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2
STATYSTYKA Rafał Kucharski Uiwersytet Ekoomiczy w Katowicach 2015/16 ROND, Fiase i Rachukowość, rok 2 Rachuek prawdopodobieństwa Rzucamy 10 razy moetą, dla której prawdopodobieństwo wyrzuceia orła w pojedyczym
Bardziej szczegółowospecyfikacji i estymacji modelu regresji progowej (ang. threshold regression).
4. Modele regresji progowej W badaniach empirycznych coraz większym zaineresowaniem cieszą się akie modele szeregów czasowych, kóre pozwalają na objaśnianie nieliniowych zależności między poszczególnymi
Bardziej szczegółowoZadanie 2 Niech,,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym rozkładzie,.
Z adaie Niech,,, będą iezależymi zmieymi losowymi o idetyczym rozkładzie ormalym z wartością oczekiwaą 0 i wariacją. Wyzaczyć wariację zmieej losowej. Wskazówka: pokazać, że ma rozkład Γ, ODP: Zadaie Niech,,,
Bardziej szczegółowo1. Wnioskowanie statystyczne. Ponadto mianem statystyki określa się także funkcje zmiennych losowych o
1. Wioskowaie statystycze. W statystyce idetyfikujemy: Cecha-Zmiea losowa Rozkład cechy-rozkład populacji Poadto miaem statystyki określa się także fukcje zmieych losowych o tym samym rozkładzie. Rozkłady
Bardziej szczegółowoEfektywność projektów inwestycyjnych. Statyczne i dynamiczne metody oceny projektów inwestycyjnych
Efekywość projeków iwesycyjych Saycze i dyamicze meody ocey projeków iwesycyjych Źródła fiasowaia Iwesycje Rzeczowe Powiększeie mająku rwałego firmy, zysk spodzieway w dłuższym horyzocie czasowym. Fiasowe
Bardziej szczegółowoSchrödingera. Dr inż. Zbigniew Szklarski. Katedra Elektroniki, paw. C-1, pok
Wykład 0: Rówaie Schrödigera Dr iż. Zbigiew Szklarski Kaedra Elekroiki paw. C- pok.3 szkla@agh.edu.pl hp://layer.uci.agh.edu.pl/z.szklarski/ Rówaie Schrödigera jedo z podsawowych rówań ierelaywisyczej
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VI: Metoda Mote Carlo 17 listopada 2014 Zastosowaie: przybliżoe całkowaie Prosta metoda Mote Carlo Przybliżoe obliczaie całki ozaczoej Rozważmy całkowalą fukcję f : [0, 1] R. Chcemy zaleźć przybliżoą
Bardziej szczegółowoROZDZIAŁ 12 ANALIZA WSPÓŁZALEŻNOŚCI KURSÓW AKCJI SPÓŁEK BRANŻY CUKROWNICZEJ
leksadra Dudek ROZDZIŁ NLIZ WSPÓŁZLEŻNOŚCI KURSÓW KCJI SPÓŁEK BRNŻY CUKROWNICZEJ Wprowadzeie W związku z rosącą rolą ryków fiasowych jako miejsca, gdzie poprzez działaia spekulacyje dąży się do osiągięcia
Bardziej szczegółowoPodstawowe oznaczenia i wzory stosowane na wykładzie i laboratorium Część I: estymacja
Podstawowe ozaczeia i wzory stosowae a wykładzie i laboratorium Część I: estymacja 1 Ozaczeia Zmiee losowe (cechy) ozaczamy a wykładzie dużymi literami z końca alfabetu. Próby proste odpowiadającymi im
Bardziej szczegółowolicencjat Pytania teoretyczne:
Plan wykładu: 1. Wiadomości ogólne. 2. Model ekonomeryczny i jego elemeny 3. Meody doboru zmiennych do modelu ekonomerycznego. 4. Szacownie paramerów srukuralnych MNK. Weryfikacja modelu KMNK 6. Prognozowanie
Bardziej szczegółowoSTATYSTKA I ANALIZA DANYCH LAB II
STATYSTKA I ANALIZA DANYCH LAB II 1. Pla laboratorium II rozkłady prawdopodobieństwa Rozkłady prawdopodobieństwa dwupuktowy, dwumiaowy, jedostajy, ormaly. Związki pomiędzy rozkładami prawdopodobieństw.
Bardziej szczegółowoPodstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych
Podstawy opracowaia wyików pomiarów z elemetami aalizepewości pomiarowych w zakresie materiału przedstawioego a wykładzie orgaizacyjym Pomiary Wyróżiamy dwa rodzaje pomiarów: pomiar bezpośredi, czyli doświadczeie,
Bardziej szczegółowoEkonometria Mirosław Wójciak
Ekoometria Mirosław Wójciak Literatura obowiązkowa Barczak A, ST. Biolik J, Podstawy Ekoometrii, Wydawictwo AE Katowice, Katowice 1998 Dziechciarz J. Ekoometria Metody, przykłady, zadaia (wyd. ) Kukuła
Bardziej szczegółowoPodstawy zarządzania finansami przedsiębiorstwa
Podsawy zarządzaia fiasami przedsiębiorswa I. Wprowadzeie 1. Gospodarowaie fiasami w przedsiębiorswie polega a: a) określeiu spodziewaych korzyści i koszów wyikających z form zaagażowaia środków fiasowych
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. Wykład II. Estymacja punktowa
Statystyka matematycza. Wykład II. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 dyskretych Rozkłady zmieeych losowych ciągłych 2 3 4 Rozkład zmieej losowej dyskretej dyskretych Rozkłady zmieeych losowych
Bardziej szczegółowoStatystyka Wzory I. Analiza struktury
Uiwersytet Ekooiczy w Katowicach Wzory I. Aaliza struktury 1. Miary tedecji cetralej (średie, przecięte Średia arytetycza Dla sz. ważoego Dla sz. ważoego dla z. ciągłej Dla szeregu wyliczającego: dla zieej
Bardziej szczegółowoANALIZA PRZYCZYNOWOŚCI W ZAKRESIE ZALEŻNOŚCI NIELINIOWYCH. IMPLIKACJE FINANSOWE
Wiold Orzeszko Magdalea Osińska Uiwersye Mikołaja Koperika w Toruiu ANALIA PRCNOWOŚCI W AKRSI ALŻNOŚCI NILINIOWCH. IMPLIKACJ FINANSOW WSTĘP Przyczyowość w sesie Gragera jes jedym z kluczowych pojęć ekoomeryczej
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadaie 1 Rzucamy 4 kości do gry (uczciwe). Prawdopodobieństwo zdarzeia iż ajmiejsza uzyskaa a pojedyczej kości liczba oczek wyiesie trzy (trzy oczka mogą wystąpić a więcej iż jedej kości) rówe jest: (A)
Bardziej szczegółowoTwierdzenia graniczne:
Twierdzeia graicze: Tw. ierówośd Markowa Jeżeli P(X > 0) = 1 oraz EX 0: P X k 1 k EX. Tw. ierówośd Czebyszewa Jeżeli EX = m i 0 < σ = D X 0: P( X m tσ) 1 t. 1. Z partii towaru o wadliwości
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA
TATYTYKA MATEMATYCZNA ROZKŁADY PODTAWOWYCH TATYTYK zmiea losowa odpowiedik badaej cechy, (,,..., ) próba losowa (zmiea losowa wymiarowa, i iezależe zmiee losowe o takim samym rozkładzie jak (taką próbę
Bardziej szczegółowoDYNAMIKA KONSTRUKCJI
10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI 1 10. 10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI 10.1. Wprowadzenie Ogólne równanie dynamiki zapisujemy w posaci: M d C d Kd =P (10.1) Zapis powyższy oznacza, że równanie musi być spełnione w każdej
Bardziej szczegółowoPODSTAWY BIOSTATYSTYKI ĆWICZENIA
PODSTAWY BIOSTATYSTYKI ĆWICZENIA FILIP RACIBORSKI FILIP.RACIBORSKI@WUM.EDU.PL ZAKŁAD PROFILAKTYKI ZAGROŻEŃ ŚRODOWISKOWYCH I ALERGOLOGII WUM ZADANIE 1 Z populacji wyborców pobrao próbkę 1000 osób i okazało
Bardziej szczegółowoWprowadzenie. Wojciech HYB, Joanna KALETA
Wojciech HYB, Joaa KALETA Kaedra Zasosowań Maemayki Deparme of Applied Mahemaics Porówaie meod wyzaczaia współczyików modelu maemayczego a przykładzie progozy liczby ludości świaa Compariso of mehods of
Bardziej szczegółowoAnaliza możliwości wykorzystania wybranych modeli wygładzania wykładniczego do prognozowania wartości WIG-u
Zbigiew Taapaa Aaliza możliwości wykozysaia wybaych modeli wygładzaia wykładiczego do pogozowaia waości WIG-u Wydział Cybeeyki Wojskowej Akademii Techiczej w Waszawie Seszczeie W aykule pzedsawioo aalizę
Bardziej szczegółowoθx θ 1, dla 0 < x < 1, 0, poza tym,
Zadaie 1. Niech X 1,..., X 8 będzie próbą z rozkładu ormalego z wartością oczekiwaą θ i wariacją 1. Niezay parametr θ jest z kolei zmieą losową o rozkładzie ormalym z wartością oczekiwaą 0 i wariacją 1.
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystyczna analiza danych jakościowych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu.
Rachuek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystycza aaliza daych jakościowych Dr Aa ADRIAN Paw B5, pok 407 ada@agh.edu.pl Wprowadzeie Rozróżia się dwa typy daych jakościowych: Nomiale jeśli opisują
Bardziej szczegółowoWykład FIZYKA I. 2. Kinematyka punktu materialnego. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Dr hab. iż. Władysław Arur Woźiak Wykład FIZYKA I. Kiemayka puku maerialego Dr hab. iż. Władysław Arur Woźiak Isyu Fizyki Poliechiki Wrocławskiej hp://www.if.pwr.wroc.pl/~woziak/fizyka1.hml Dr hab. iż.
Bardziej szczegółowo16 Przedziały ufności
16 Przedziały ufości zapis wyiku pomiaru: sugeruje, że rozkład błędów jest symetryczy; θ ± u(θ) iterpretacja statystycza przedziału [θ u(θ), θ + u(θ)] zależy od rozkładu błędów: P (Θ [θ u(θ), θ + u(θ)])
Bardziej szczegółowoZajęcia 2. Estymacja i weryfikacja modelu ekonometrycznego
Zajęcia. Esmacja i werfikacja modelu ekonomercznego Celem zadania jes oszacowanie liniowego modelu opisującego wpłw z urski zagranicznej w danm kraju w zależności od wdaków na urskę zagraniczną i liczb
Bardziej szczegółowoO pewnych zastosowaniach rachunku różniczkowego funkcji dwóch zmiennych w ekonomii
O pewych zastosowaiach rachuku różiczkowego fukcji dwóch zmieych w ekoomii 1 Wielkość wytwarzaego dochodu arodowego D zależa jest od wielkości produkcyjego majątku trwałego M i akładów pracy żywej Z Fukcję
Bardziej szczegółowoStatystyka. Katarzyna Chudy Laskowska
Statystyka Katarzya Chudy Laskowska http://kc.sd.prz.edu.pl/ WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE Celem aalizy statystyczej ie jest zwykle tylko opisaie (prezetacja) posiadaych daych, czyli tzw. próby statystyczej.
Bardziej szczegółowo21. CAŁKA KRZYWOLINIOWA NIESKIEROWANA. x = x(t), y = y(t), a < t < b,
CAŁA RZYWOLINIOWA NIESIEROWANA rzywą o rówaiach parameryczych: = (), y = y(), a < < b, azywamy łukiem regularym (gładkim), gdy spełioe są asępujące waruki: a) fukcje () i y() mają ciągłe pochode, kóre
Bardziej szczegółowoz przedziału 0,1. Rozważmy trzy zmienne losowe:..., gdzie X
Matematyka ubezpieczeń majątkowych.0.0 r. Zadaie. Mamy day ciąg liczb q, q,..., q z przedziału 0,. Rozważmy trzy zmiee losowe: o X X X... X, gdzie X i ma rozkład dwumiaowy o parametrach,q i, i wszystkie
Bardziej szczegółowoModa (Mo, D) wartość cechy występującej najczęściej (najliczniej).
Cetrale miary położeia Średia; Moda (domiata) Mediaa Kwatyle (kwartyle, decyle, cetyle) Moda (Mo, D) wartość cechy występującej ajczęściej (ajlicziej). Mediaa (Me, M) dzieli uporządkoway szereg liczbowy
Bardziej szczegółowo