WSPÓŁCZYNNIK DELTA DLA MODELU WYCENY OPCJI UWZGLĘDNIAJĄCEGO EFEKT AR-GARCH

Transkrypt

1 Krzyszof Pioek Kaedra Iwesycji Fiasowych i Ubezpieczeń Akademia Ekoomicza we Wrocławiu WSPÓŁCZYNNIK DELTA DLA MODELU WYCENY OPCJI UWZGLĘDNIAJĄCEGO EFEKT AR-GARCH WSTĘP Black i Scholes przy współudziale Meroa przedsawili w 973 roku wzór a warość europejskiej opcji kupa lub sprzedaży wysawioej a akcje spółki ie wypłacającej dywidedy []. Model e sał się podsawowym podejściem wykorzysywaym przez prakyków ryków fiasowych. Umożliwia o w prosy sposób wyzaczeie warości opcji oraz aalizę wrażliwości warości opcji a poszczególe czyiki ryzyka deermiujące jej warość; wyzaczeie zw. współczyików greckich [6]. Rozwiązaie zapropoowae przez Blacka i Scholesa, jakkolwiek przełomowe i bardzo populare, ie jes pozbawioe pewych wad. Twórcy modelu założyli, że cey isrumeu bazowego zmieiają się zgodie z geomeryczym ruchem Browa, kórego paramery są sałe. Jes o podejście ierealisycze, gdyż w rzeczywisych szeregach sóp zwrou zaobserwowao i udokumeowao szereg specyficzych efeków [9]. Do ajważiejszych obserwowaych odsępsw od założeia o geomeryczym ruchu Browa zalicza się wysępowaie grubych ogoów rozkładów sóp zwrou, skupiaia zmieości (volailiy cluserig), auokorelacji w szeregach sóp zwrou, długiej pamięci w szeregach zmieości (volailiy log memory), skośości rozkładów sóp zwrou oraz efeku dźwigi (leverage effec). Nieuwzględieie ych własości szeregów powoduje, że w pewych przypadkach, eoreycze warości uzyskae z modelu Blacka-Scholesa odbiegają od ce obserwowaych w rzeczywisości (model cechuje się obciążeiem). Kosekwecją ego są odmiee od oczekiwaych warości zmieości implikowaych [6][9]. W przypadku, gdyby model Blacka-Scholesa wyceiał opcje prawidłowo, o zmieość implikowaa powia mieć sałą warość iezależą od współczyika moeyess opcji oraz iezależą od ermiu do wygaśięcia opcji. Rzeczywisa płaszczyza zmieości charakeryzuje się efekem "uśmiechu zmieości", czyli zależością zmieości implikowaej od cey wykoaia oraz zw. srukurą czasowa zmieości, czyli zależością zmieości implikowaej od ermiu do wygaśięcia opcji 2. W 995 roku Dua przedsawił opare a procedurze Moe Carlo podejście wycey opcji, gdy w szeregu sóp zwrou z isrumeu bazowego obserwuje się zmieą w czasie warukowa wariację oraz warukową warość oczekiwaą efeky AR-GARCH [2][4]. Model e, jakkolwiek zaczie bardziej skomplikoway od modelu Blacka-Scholesa umożliwia uchwyceie efeku uśmiechu zmieości implikowaej oraz srukur czasowych zmieości, kóre obserwuje się a rykach [2][9]. Zasadiczą różicą pomiędzy ymi modelami jes rówież fak, że model Blacka-Scholesa jes modelem w czasie ciągłym, aomias modyfikacje podejścia Duaa o Porówaj przypis 0. 2 Zagadieia e zosaą rozszerzoe w dalszej części pracy podczas omówieia modelu wycey opcji uwzględiającego efek auokorelacji, skupiaia zmieości, grubych ogoów i dźwigi.

2 2 Współczyik dela dla modelu AR-GARCH modele w czasie dyskreym. Ma o swoje kosekwecje akże przy wyzaczaiu współczyików greckich [8]. Przyjęcie określoego modelu wycey opcji umożliwia właśie wyzaczeie zw. współczyików greckich, czyli aalizę wrażliwości warości opcji a poszczególe czyiki ryzyka (zmiaa cey isrumeu bazowego, zmiaa poziomu zmieości, poziomu wolej od ryzyka sopy proceowej, upływ czasu). Najpopulariejszym greckim współczyikiem jes zw. współczyik dela mierzący wrażliwość warości opcji 3 a zmiaę cey isrumeu bazowego: c =, () S gdzie c o oczywiście warość europejskiej opcji kupa, a S - cea isrumeu bazowego. Współczyik e wykorzysuje się przede wszyskim przy zabezpieczaiu porfela akcji do określeia opymalej liczby wysawiaych opcji kupa 4 oraz w procesie pomiaru ryzyka (p. pomiaru warości zagrożoej (VaR)) porfela zawierającego opcje [7]. Im lepszym modelem wycey opcji dyspouje iwesor, ym efekywiejsza powia być procedura zabezpieczaia porfela akcji oraz dokładiejszy pomiar ryzyka porfela opcji. Celem arykułu jes porówaie warości współczyików dela uzyskiwaych w podejściu Blacka-Scholesa ze współczyikami uzyskiwaymi a podsawie modelu AR- GARCH, będącego modyfikacją procedury zapropoowaej przez Duaa. Praca a jes wsępem do dalszych badań i bardziej zaawasowaych rozważań. W części empiryczej dokoao esymacji paramerów pewego modelu klasy AR-GARCH dla ideksu WIG20 i zaprezeowao aalizę uzyskiwaych warości współczyików dela dla dwóch rozparywaych modeli (Blacka-Scholesa i modyfikacji Duaa) w zależości od warości wykoaia opcji (współczyika moeyess), ermiu do wygaśięcia oraz warości warukowej wariacji w diu wyzaczaia współczyika dela (w diu pomiaru ryzyka lub zabezpieczaia porfela 5 ). Do aaliz empiryczych wybrao ideks WIG20 ze względu, że saowi od bazę dla ajpopulariejszych opcji i warraów a ryku polskim. Ze względu a ilusracyjy jedyie charaker przykładu, zaiedbao fak, że w skład ideksu wchodzą akcje spółek mogących wypłacać dywidedy. Formalie ależałoby posłużyć się modelem Meroa zamias modelem Blacka-Scholesa [6].. WARTOŚCI WSPÓŁCZYNNIKA DELTA W MODELU BLACKA-SCHOLESA Ze względu a ograiczoy rozmiar pracy oraz a fak, iż model Blacka-Scholesa jes modelem zaym i popularym, rozdział e ograiczoy zosaie do miimum. Warość współczyika dela dla modelu Blacka-Scholesa uzyskujemy w prosy sposób wpros z defiicji jako pierwszą pochodą cząskową warości opcji po ceie isrumeu bazowego: 3 W podejściu prakyczym zakład się efekywość i rówowagę ryków fiasowych i dela saje się miarą wrażliwości rykowej cey opcji a zmiaę cey isrumeu bazowego. 4 Zabezpieczeie porfela akcji polega w ym przypadku a wysawieiu (pozycja króka) szuk opcji kupa a każdą posiadaą (pozycja długa) szukę akcji [6]. 5 Poieważ warość współczyika dela iezależie od modelu jes pewą fukcją cey akcji, czasu do ermiu wykoaia, sopy proceowej czy zmieości, iezbęde jes oczywiście rówież okresowe korygowaie składu zabezpieczoego porfela (rebalacig).

3 Krzyszof Pioek 3 BS { c} { } ( ) BS c = N d, gdzie: (2) 2 S l σ + r + T X 2 d =, (3) σ T - warość współczyika dela dla opcji kupa (call) w modelu Blacka-Scholesa, S cea isrumeu bazowego w chwili, X cea wykoaia opcji, r wola od ryzyka sopa proceowa, σ - zmieość (odchyleie sadardowe sóp zwrou w skali roczej) kursu isrumeu bazowego, T czas pozosający do ermiu wygaśięcia opcji (jako ułamek roku), N(d) warość dysrybuay sadaryzowaego rozkładu ormalego dla argumeu rówego d. Warość współczyika dela dla europejskiej opcji sprzedaży ( { p} ) moża wyzaczyć (iezależie od modelu wycey opcji, korzysając z paryeu kupa/sprzedaży [6] z zależości: c p =. (4) { } { } Porówae zosaą więc jedyie warości współczyików dela dla opcji kupa. W dalszej części pracy, a eapie porówaia wyików modelu Blacka-Scholesa i modelu uwzględiającego efek AR-GARCH, za oszacowaie zmieości wykorzysywaej w modelu Blacka-Scholesa podsawiaa będzie średia bezwarukowa zmieość 6 (średia długoermiowa zmieość) wyikająca z modelu AR-GARCH (por. wzór (2)). Taką samą warość zmieości uzyskalibyśmy wyzaczając odchyleie sadardowe sopy zwrou z dużej próby (i przeskalowując a okres roczy). Rozwiązaie powyższe zapewia, że w obydwu modelach wyzacza się warości del przy ym samym poziomie bezwarukowej zmieości, co zapewia porówywalość wyików. 2. WŁASNOŚCI MODELU WYCENY OPCJI UWZGLĘDNIAJĄCEGO EFEKT AR-GARCH 2.. Wycea opcji w modelu AR-GARCH Omawiaa uaj w sposób skróowy procedura wycey opcji zapropoowaa zosała przez Duaa przy założeiu, że szereg sóp zwrou z isrumeu bazowego opisyway jes modelem GARCH-M(,) [2]. Zosało oo jedak szybko uogólioe a ie posaci 6 Przeskalowaa oczywiście a okres roczy. 3

4 4 Współczyik dela dla modelu AR-GARCH warukowej warości oczekiwaej oraz warukowej wariacji 7 [0][4][5]. Propozycja Duaa jes uogólieiem radycyjej meody wycey przy euralym podejściu do ryzyka (risk eural valuaio) [][6] w przypadku modeli z warukową warością oczekiwaą oraz warukową wariacją i polega a akiej modyfikacji procesu sóp zwrou, by dla każdej chwili, warukowa warość oczekiwaa sopy zwrou była rówa sopie wolej od ryzyka [2][4]. Rówoważe jes o emu, iż zdyskoowaa przy sopie wolej od ryzyka cea isrumeu bazowego jes marygałem []. Paramer λ modyfikujący proces sóp zwrou ie jes sały w czasie i podejście o azwae zosało "wyceą przy pukowej własości euralości wobec ryzyka" (Locally Risk-Neural Valuaio Relaioship - LRNVR) [6]. Także w ym przypadku wprowadza się pojęcia miary P, dla procesu ieprzekszałcoego oraz arbirażowej miary Q, względem kórej zdyskooway proces ce isrumeu bazowego jes marygałem. Uwzględieie zmieej w czasie wariacji powoduje, zw. "iezupełość ryku" (icompleess of marke) oraz isieie w ogólości wielu możliwych miar Q, dla kórych spełioe jes założeie braku arbirażu []. Niezbęde saje się założeie o preferecjach iwesora względem ryzyka i posaci fukcji użyeczości [2]. Do dalszej aalizy przyjęo, że szereg sóp zwrou z isrumeu bazowego może być dobrze opisay modelem AR()-GJR-GARCH(,) [9]. Model e umożliwia opis grubych ogoów rozkładów, skupiaia zmieość, auokorelacji sóp zwrou oraz efeku dźwigi, czyli asymeryczej reakcji iwesorów a dobre i złe wiadomości. Model e jes iewąpliwie jedym z ajbardziej popularych (poza oczywiście modelem geomeryczego ruchu Browa) modeli szeregów sóp zwrou z akcji i ideksów akcji. Odpowiedie posaci modelu względem zw. miary P i Q dae są poiższymi wzorami [4] 8 : y = µ + φ y 0.5h + h z miara P z N(0,) (5) 2 h = ω + ( α + α I( z ) ) z 0 β h < + miara Q y = r 0.5h + hη η N(0,) 2 h = ω + ( α + α I( η ) )( η λ ) + β λ < 0 µ + φ y r λ = h h gdzie: y - logarymicza sopa zwrou z isrumeu bazowego z okresu [, ] (6) (ajczęściej 7 W dalszej części pracy zakłada się, że sopy zwrou z isrumeu bazowego opisywae są przez model AR()-GJR-GARCH(,) z reszami modelu o warukowym rozkładzie ormalym (por. wzór (5) oraz [9]). 8 Pojawieie się składika " 0.5 h " związae jes z fakem, iż rozparywae są logarymicze sopy zwrou (por. lema Iô p. w []).

5 Krzyszof Pioek 5 jedodiowa), r - sopa proceowa wola od ryzyka w horyzocie, dla kórego wyzaczae są sopy zwrou, µ, φ, ω, α, α -, β - paramery procesu sóp zwrou, oraz ; gdy p = prawda I( p) =. 0; gdy p = fałsz Wycea opcji dla chwili opara jes a procedurze Moe Carlo, kórej przebieg jes asępujący [2][4][5][9][0]: a. Esymacja paramerów procesu sóp zwrou względem miary P. Niezbęda jes eż iformacja o warości warukowej warości oczekiwaej oraz warukowej wariacji w chwili, kóre decydują o,,waruku począkowym'' podczas geerowaia zbioru rajekorii procesu w eapie b. b. Wygeerowaie m rajekorii szeregu ce isrumeu bazowego o długości di sesyjych względem miary Q. Ceę S i, po diach (liczba di do wygaśięcia opcji) dla i-ej rajekorii uzyskuje się w oparciu o wzory (6) oraz o zależość: S = S exp r 0.5 h + η i, i, + s i, + s s= s=. (7) W eapie ym wykorzysuje się rówież ypowe procedury poprawy własości meody Moe Carlo, p. odbić lusrzaych czy empiryczej symulacji marygałów [3][4][0]. c. Wycea europejskiej opcji kupa 9. Warość opcji c w chwili rówa jes warości oczekiwaej (względem miary Q) zdyskoowaej warości wypłay opcji. Europejska opcja kupa w chwili wykoaia związaa jes z wypłaą rówą max [ S X,0], gdzie S o cea isrumeu bazowego w chwili wygaśięcia (rozliczaia) opcji, a X, o cea wykoaia opcji: m c = exp( r ) max Si, X,0 m, (8) = i gdzie m o liczba wygeerowaych rajekorii procesu. Właściwości ego modelu wycey opcji zaleźć moża w pracach [2][4][9][0]. Rys.. prezeuje przykładowe uzyskiwae warości zmieości implikowaej. Wyraźie 9 Opcje sprzedaży moża wyceić aalogiczie lub poprzez parye kupa-sprzedaży [6]. 5

6 6 Współczyik dela dla modelu AR-GARCH moża dosrzec obserwowaą a rykach fiasowych zależość zmieości implikowaej od cey wykoaia opcji oraz ermiu do wygaśięcia [9]. Kszał "uśmiechu zmieości" zależy m.i. od siły "efeku dźwigi" w szeregu sóp zwrou isrumeu bazowego, czyli wielkości asymerii w reakcji iwesorów a dopływające do ryku wiadomości dobre i złe. Wraz ze wzrosem ermiu do wygaśięcia, kszał "uśmiechu zmieości" saje się bardziej płaski. Dodakowo wraz ze wzrosem ermiu do wygaśięcia obserwuje się częso wzros lub spadek zmieości implikowaej dla opcji o ym samym współczyiku moeyess 0. Efek e azywa się "srukurą czasową zmieości implikowaej". Związay jes o z fakem, że po okresie szczególie iskiej lub wysokiej zmieości, obserwuje się powró do poziomu średiego (por. Rys. 2 oraz [9[). Rys. Płaszczyza zmieości implikowaej dla modelu AR()-GJR-GARCH(,) Źródło: obliczeia włase (por. Pioek (2002)). Waro zazaczyć, iż częsym podejściem w ramach wycey opcji jes wyzaczeie średiego poziomu zmieości w ermiie do wygaśięcia opcji z progoz warukowej wariacji a koleje di [9], a asępie podsawieie uzyskaej warości do modelu Blacka-Scholesa. Rozwiązaie o gwarauje jedyie połowiczą poprawę własości modelu, gdyż umożliwia uchwyceie srukur czasowych zmieości implikowaej, lecz w żade sposób ie ujmuje uśmiechu zmieości. W dalszej części pracy akie połowicze rozwiązaie ie będzie aalizowae Współczyik dela w modelu wycey opcji uwzględiającym efek AR-GARCH Tak samo jak ie isieje wzór aaliyczy a wyceę opcji w modelu AR-GARCH (w wersji dla czasu dyskreego), ak samo ie dyspoujemy aaliyczym wzorem a warość współczyika dela w ym modelu i iezbęde jes sosowaie procedur Moe Carlo. 0 Współczyik moeyess zdefiioway zosał jako: S moeyess =, rt Xe gdzie S - cea spo akcji w chwili, X - cea wykoaia, r - wola od ryzyka sopa proceowa w skali roku, T - czas do wygaśięcia opcji w laach

7 Krzyszof Pioek 7 Warość współczyika dela moża wyzaczyć oczywiście wpros z defiicji pochodej jako graicy ilorazu różicowego według wzoru: GARCH c( S ) c ( S + ε ) c ( S ε ) { c} = = lim. (9) S ε 0 2ε W wzorze ym wykorzysao zw. ceraly iloraz różicowy. Dla małych warości ε uzyskuje się dokłade przybliżeia warości współczyika dela. Wymaga o jedak precyzyjego wyzaczeia dwóch warości ce opcji, co związae jes z koieczością wygeerowaia bardzo dużej liczby rajekorii procesu, co zaczie wydłuża czas iezbędych obliczeń. Zaczym uławieiem jes możliwość skorzysaia z wyprowadzoego przez Duaa wzoru wyrażającego warość współczyika dela względem zbioru ce akcji w diu wygaśięcia opcji (względem miary Q dla różych rajekorii): GARCH Q S { c} = exp( r ) E I( S > X ). (0) S W prakyce korzysa się z asępującego wzoru: m GARCH S, { } exp i c ( r ) I ( S, i > X m S ) () (por. wzory (7) i (8)). i= Podejścia dae wzorami (9) i (0) prowadzą do ych samych wyików, ale procedura opara a ilorazie różicowym jes zaczie bardziej czasochłoa (aby orzymać oszacowaia współczyików dela o ym samym błędzie). Kallse i Taqqu udowodili, że podejścia dae wzorami (9) i (0) ie prowadzą do do końca prawidłowych współczyików dela, co związae jes z fakem, że proces zmieości warukowej powraca do długoermiowej średiej [8]. Aby mogła asąpić zmiaa cey isrumeu bazowego musi upłyąć jedoska czasu (czas zmieia się dyskreie), w czasie kórej może zmieiać się (powracać do średiej) rówież warość warukowej zmieości, kóra jes warukiem począkowym w procedurze geerowaia rajekorii procesu. Powoduje o, że we wzorze a delę pojawia się kolejy składik związay z wrażliwością zmieości procesu a zmiaę cey isrumeu bazowego [8]. Prakycze wykorzysaie ego rozszerzeia jes już a yle skomplikowae i woszące a yle ieisoą popraw, że jes ajczęściej zaiedbywae. W dalszej części pracy wyzaczoe zosaą warości współczyika dela dla modelu wycey opcji będącego modyfikacją procedury Duaa według wzoru (). Porówaie warości współczyików dela dla obu modeli dla rożych waruków brzegowych przedsawioe zosaie w oparciu o przykład empiryczy. 7

8 8 Współczyik dela dla modelu AR-GARCH 3. PRZYKŁAD EMPIRYCZNY Poiższy przykład empiryczy ma jedyie charaker ilusracyjy. Pozwala o jedak określić podsawowe różice i zależości pomiędzy warościami współczyików dela uzyskiwaymi dla obu modeli. Przykładowym diem, dla kórego dokoywao obliczeń był dzień Warość ideksu w ym diu wyosiła 783,3. Sopę wolą od ryzyka w skali roku przyjęo a poziomie 5%. Paramery modelu sóp zwrou AR()-GJR-GARCH(,) względem miary P wyesymowae zosały a podsawie 500 obserwacji poprzedzających dzień aalizy (dzieych logarymiczych sóp zwrou). Tabela. prezeuje uzyskae warości procesu. Tabela. Paramery modelu dla ideksu WIG20 względem miary P współczyik warość -value µ 0, ,498 ϕ 0,040575,56 ω 6,838e-6 3,07 α 0, ,38 α 0, ,90 β 0, ,9 Źródło: obliczeia włase. Bezwarukowa wariacja procesu AR()-GJR-GARCH(,) daa jes asępującym wzorem: ω V =. (2) 2 ϕ α α + + β 2 Długoermiowa zmieość sóp zwrou w skali roku (wyzaczoa a podsawie wzoru (2) przy uwzględieiu 252 di sesyjych w roku) wyosiła 30,67%. Zmieość wyzaczaa bezpośredio z 500 obserwacji sóp zwrou wyosiła 3,66%. W celu zapewieie porówywalości wyików (ze względu a warość zmieości) w dalszych obliczeiach opierających się o model Blacka-Scholesa przyjęo, ze sała w czasie zmieość procesu (geomeryczego ruchu Browa) wyosiła w skali roku właśie 30,67%. Warukowa warość zmieości sóp zwrou w kolejych diach może przyjmować róże warości wahając się wokół średiej. Rys. 2. prezeuje warości warukowej zmieości w skali roku w kolejych diach w aalizowaym okresie oraz warość średiej długoermiowej zmieości. Na przykład w diu warukowa zmieość w skali roku (wyzaczoa a podsawie warości warukowej wariacji) wyosiła 24,46% i była iższa od średiej. Rysuki 3, 4 oraz 5 prezeują zależości współczyików dela dla obu modeli dla różych warości parameru moeyess, czasu do wygaśięcia opcji oraz ilorazu warukowej zmieości procesu (w diu wyzaczaia parameru dela) do długoermiowej zmieości. Iloraz e zosał zdefiioway jako: Wszyskie prezeowae wyiki (warości i rysuki) uzyskao w oparciu o auorskie procedury oprogramowae w środowisku MATLAB 6.0.

9 Krzyszof Pioek 9 h Φ =, (3) σ gdzie σ o długoermiowa (bezwarukowa) zmieość szeregu sóp zwrou. Dla aszego przykładu σ w skali roku wyosi 30,67%. Na rysukach 4 i 5 warość ilorazuφ jes aka sama (e sam dzień aalizy). Rys. 2. Warości warukowej zmieości procesu sóp zwrou. Źródło: obliczeia włase. Rys. 3. Zależość del od warości Φ oraz moeyess Źródło: obliczeia włase. Rys. 4. Zależość del od parameru moeyess dla T= miesiąc oraz Φ<. Źródło: obliczeia włase. Rys. 5. Zależość del od parameru moeyess T=3 miesiące oraz Φ<. Źródło: obliczeia włase. Na podsawie zaprezeowaych wyików oraz wyików, kóre ie zosały zamieszczoe ze względu a ograiczoy rozmiar pracy, moża wyciągąć asępujące wioski mogące być przydae p. podczas procedury zabezpieczaia porfela. 9

10 0 Współczyik dela dla modelu AR-GARCH Dla opcji a-he-moey (ATM, moeyess=) warości współczyików dela pokrywają się dla obu modeli iezależie od czasu do wygaśięcia opcji oraz warości Φ. Dla opcji i-hemoey (ITM, moeyess>), warości współczyików dela są wyższe dla modelu AR- GARCH od modelu Blacka-Scholesa, gdy Φ< oraz są iższe od modelu Blacka-Scholesa, gdy Φ>. Dla opcji ou-of-he-moey (OTM, moeyess<) obserwuje się zależość przeciwą. Obrazuje o uwzględiaie w modelu AR-GARCH powrou warukowej zmieości do poziomu średiego. Dla opcji głęboko ITM oraz głęboko OTM różice w warości bezwzględej współczyików dela sają się ieisoe. Dla opcji OTM isoy saje się aomias błąd proceowy warości del dla obu modeli, gdy Φ. Im dłuższy ermi do wygaśięcia opcji, ym głębiej opcja musi być OTM lub ITM, by różice bezwzględe między warościami del były pomijale. Na podsawie powyższych obserwacji moża swierdzić, iż dla opcji ATM iwesor może wyzaczać w każdym przypadku paramer dela według modelu Blacka-Scholesa. Dla opcji OTM i ITM warości opcji według modelu Blacka-Scholsa są rówie wrażliwe a zmiaę cey isrumeu bazowego, gdy chwilowa zmieość warukowa rówa jes zmieości długookresowej (średiej). Szczególą uwagę ależy zwrócić a opcje będące coraz bardziej OTM, ze względu a rosący błąd proceowy mogący być przyczyą ieskueczości p. sraegii zabezpieczającej. Przedsawioe wioski mają charaker wsępy. Celem auora w przyszłości jes pogłębieie rozważań przede wszyskim w kieruku badań empiryczych ryku polskiego i próby porówaia wrażliwości warości uzyskiwaych z modeli eoreyczych ze zmiaami ce opcji i warraów w kolejych diach a skuek zmiay cey isrumeu bazowego. Lieraura [] Black F., Scholes M. (973). The pricig of Opios ad Corporae Liabiliies. Joural of Poliical Ecoomy, r 8, sr [2] Dua J. (995). The GARCH Opio Pricig Model. Mahemaical Fiace, r 5, sr [3] Dua J., Gauhier G., Simoao J. (999). Fas Valuaio of Derivaive Coracs by Simulaio. hp:// [4] Hafer C., Herwarz H. (999). Opio Pricig uder Liear Auoregressive Dyamics, Heeroskedasiciy, ad Codiioal Lepokurosis. Humbold-Uiversiä. Berli. hp://ideas.repec.org [5] Härdle W., Hafer C. (2000). Discree ime opio pricig wih flexible volailiy esimaio. Fiace ad Sochasic, r 4, sr [6] Hull J. (999). Fuures, opios ad oher derivaives. Preive-Hall, New York [7] Jorio P. (200). Value a risk: he ew bechmark for maagig fiacial risk - 2d ediio. McGraw-Hill. New York [8] Kallse J., Taqqu M. (998). Opio pricig i ARCH-ype models. Mahemaical Fiace, 8/, sr [9] Pioek K. (2002). Modelowaie i progozowaie zmieości isrumeów fiasowych. Akademia Ekoomicza we Wrocławiu (praca dokorska) [0] Schmi Ch. (996). Opio Pricig Usig EGARCH Models. ZEW Discussio Paper r Maheim. [] Wero A., Wero R. (998). Iżyieria fiasowa. WNT, Warszawa