Szeregi liczbowe o wyrazach dodatnich

Transkrypt

1 Szeregi liczbowe o wyrzch dodtich Poprwi lem 6 listopd 20, godz. 23:49 Twierdzeie 3. ( l czość sumowiieskończoego) Jeśli szereg to szereg Dowód. b cze ściowych szeregu jest zbieży ci g (k ) jest ściśle ros cy, b = k + k k+, k 0 = 0, jest zbieży. Ci g sum cze ściowych szeregu b jest podci giem ci gu sum : b 0 = k, b 0 +b = k2, itd. Jeśli ci g jest zbieży, to wszystkie jego podci gi s zbieże do gricy tego ci gu. Twierdzeie to ie mówi ic o usuwiu wisów. Ogólie rzecz bior c wisów usuwć ie wolo: szereg ( )+( )+( )+... = jest zbieży, tomist po otwrciu wisów otrzymujemy szereg , którego wyrz ( ) w ogóle ie m gricy, w szczególości ie d ży do 0, wie c szereg te jest rozbieży. Czsem jedk wisy moż usu ć. Otworzyć wisy możp. wtedy, gdy wszystkie wyrzy szeregu s tego smego zku, p. wszystkie s ieujeme. Wtedy bowiem ci g sum cze ściowych szeregu jest mootoiczy, wie c m grice i jest o rów gricy kżdego podci gu. Z twierdzeie o gricy iloczyu ci gów wyik od rzu, że po pomożeiu wszystkich wyrzów szeregu zbieżego przez liczbe rzeczywist otrzymujemy szereg zbieży. Twierdzeie 3.2 (o możeiu szeregu przez liczbe ) Jeśli szereg jest zbieży i c jest liczb rzeczywist, to szereg jest zbieży i zchodzi rówość Szeregi zbieże moż też dodwć. (c ) = c. (c ) też

2 Szeregi liczbowe o wyrzch dodtich Twierdzeie 3.3 (o dodwiu szeregów) Jeśli szeregi i b s zbieże, to rówież szereg i zchodzi rówość ( + b ) = + b. ( + b ) jest zbieży Dowód. Wyik to tychmist z twierdzei o gricy sumy ci gów i tego, że sum cze ściow szeregu ( + b ) jest rów sumie sum cze ściowych szeregów i b. Szereg ( + b ) zywmy sum szeregów i b. N rzie twierdzei o możeiu szeregów ie przedstwimy odk ldmy to późiej, bo jest oo trudiejsze od terz omwiych. Wypd jeszcze stwierdzić, że tychmistowym wioskiem z twierdzei o szcowiu z poprzediego rozdzi lu jest ste puj ce Twierdzeie 3.4 (o porówywiu sum szeregów) Jeśli szeregi orz mj sumy i dl kżdej liczby turlej zchodzi ierówość b, to b b, przy czym jeżeli sumy s skończoe (czyli szeregi s zbieże) i choćby dl jedej liczby turlej zchodzi ierówość (ostr!) < b, to < b. 2. Wruek koieczy zbieżości szeregu, szereg hrmoiczy Przyk ld 3. Zbdmy terz zbieżość szeregu 2. Podobie jk w przypdku szeregu hrmoiczego wyrz m grice 0 : = lim 2 = 0, wobec czego szereg m szse być zbieży, w przeciwieństwie do hrmoiczego. Wykżemy, że jest zbieży i że jego sumie jest wie ksziż 2. Mmy 2 < ( ) = dl >. Wobec tego możemy pisć: < = 2 < 2. 2

3 Szeregi liczbowe o wyrzch dodtich Z otrzymej ierówości wyik, że = 2 ( ) = lim Wykzliśmy wie c zbieżość szeregu (ci g sum cze ściowych jest ogriczoy z góry i ros cy). Podmy terz kilk twierdzeń umożliwij cych w jbrdziej podstwowych przypdkch bdie zbieżości szeregów o wyrzch ieujemych. W tym przypdku ci g sum cze ściowych jest iemlej cy, wie c m grice. Jedyym problemem jest to, czy t gric, czyli sum szeregu jest skończo. Podliśmy wcześiej dowód rozbieżości szeregu hrmoiczego =. Rozumowie tm przeprowdzoe moż zstosowć w wielu przypdkch. Sformu lujemy terz twierdzeie pode przez Cuchy ego. Stosowie tego twierdzei umożliwi cze sto zst pieie bdego szeregu iym, w przypdku którego bdie zbieżości jest ltwiejsze: owy szereg lbo jest szybciej zbieży, lbo też szybciej rozbieży. Twierdzeie 3.5 (Kryterium o zge szcziu) Z lóżmy, że ci g ( ) jest ieros cy orz że jego wyrzy s dodtie. W tej sytucji szereg jest zbieży wtedy i tylko wtedy, gdy szereg 2 2 jest zbieży. Dowód. Z lóżmy, że szereg jest zbieży. Wykżemy zbieżość szeregu Mmy (bo 4 3 ), (bo 8 jest jmiejsz z liczb 5, 6, 7, 8 ), itd. St d wyik, że < +, czyli szereg m skończo sume. Wobec tego po pomożeiu go przez 2 otrzymmy szereg zbieży, le po pomożeiu przez 2 otrzymujemy szereg , to ozcz, że szereg 2 2 jest zbieży, wobec tego rówież szereg = 2 2 jest zbieży zmi skończeie wielu wyrzów zbieżość wp lywu ie m (może mieć jedk wp lyw wrtość sumy szeregu zbieżego). Udowodimy terz wyikie w drug stroe. Zk ldmy, że zbieży jest szereg Mmy , , , itd. St d wyik, że < +, 3

4 Szeregi liczbowe o wyrzch dodtich co ozcz, że szereg = Dowód zost l zkończoy. jest zbieży, czyli rówież szereg jest zbieży. W dowodzie kryterium Cuchy ego o zge szcziu szcowliśmy sume jedego szeregu przez sume drugiego, o którym wiedzieliśmy, że jest zbieży. Brdzo proste twierdzei, które podmy z chwile, pokzuj, jk moż szcowć w wielu sytucjch szeregi o wyrzch dodtich. Twierdzeie 3.6 (kryterium porówwcze) Z lóżmy, że dl kżdej dostteczie dużej liczby turlej zchodzi ierówość 0 b. Wtedy jeśli szereg jeśli szereg b jest zbieży, to rówież szereg jest rozbieży, to rówież szereg b jest zbieży; jest rozbieży. Dowód. Z lóżmy, że ierówość 0 b m miejsce dl k. Wtedy m m dl kżdego m k zchodzi ierówość b. Przechodz c do gricy przy m otrzymujemy =k =k =k b. Z otrzymej ierówości obie cze ści =k tezy wyikj od rzu to, że sumujemy od k zmist od 0, ie m zczei, bo zmi skończeie wielu wyrzów szeregów (p. zst pieie w obu szeregch wyrzów o umerch miejszych iż k zermi) ie m wp lywu ich zbieżość, choć ogó l m wp lyw wrtości ich sum. Dowód zost l zkończoy. To twierdzeie moż skometowć tk: szeregowi o miejszych wyrzch jest ltwiej być zbieżym iż szeregowi o wie kszych wyrzch. Twierdzeie 3.7 (symptotycze kryterium porówwcze) Z lóżmy, że dl kżdej dostteczie dużej liczby turlej zchodz ierówości 0 < i 0 < b orz że istieje skończo, dodti gric lim. Przy tych b z lożeich szereg jest zbieży wtedy i tylko wtedy, gdy szereg jest zbieży. Dowód. Z lóżmy, że lim b = g orz że 0 < g < +. Niech c, d be d tkimi liczbmi rzeczywistymi, że 0 < c < g < d. Wtedy dl dostteczie dużych zchodz ierówości 0 < b i c < b 4 b < d. Wobec tego dl dostteczie dużych

5 Szeregi liczbowe o wyrzch dodtich mmy c b < < d b. Jeśli szereg jest zbieży, to szereg c b jest zbieży i wobec tego szereg b jest zbieży. Jeśli tomist szereg b jest zbieży, to szereg d b jest zbieży i wobec tego szereg jest zbieży. Dowód zost l zkończoy. Z lożeie istiei gricy skończoej, dodtiej moż iterpretowć tk: wyrzy szeregów d ż do 0 w tym smym tempie (o ile do 0 d ż ), z tego z lożei wyik, iż lbo ob s zbieże lbo ob rozbieże. Zim przejdziemy do przyk ldów podmy jeszcze jed wersje twierdzei pozwlj cego porówywć szeregi o wyrzch dodtich. Twierdzeie 3.8 (drugie kryterium porówwcze) Z lóżmy, że od pewego miejsc wyrzy szeregów + i b s dodtie orz b + b. W tej sytucji ze zbieżości szeregu b wyik zbieżość szeregu, zś z rozbieżości szeregu wyik rozbieżość szeregu b. Dowód. Nierówość + b + b moż przepisć w postci + b + b. Zczy to, że ci g ( b ) jest ieros cy i m wyrzy dodtie, wie c jest też ogriczoy z góry przez pew liczbe rzeczywist M > 0 (jeśli od pewego miejsc zczy od pocz tku, to moż przyj ć, że M = 0 b 0 ). Wobec tego m miejsce ierówość 0 M b. Z tej ierówości i z kryterium porówwczego tez wyiktychmist. Dowód zost l zkończoy. N ostti wersje kryterium porówwczego spojrzeć moż tk: wyrzy szeregu d ż do 0 szybciej iż wyrzy szeregu b, wie c jeśli szereg b jest zbieży, to rówież szereg jest zbieży, jeśli tomist szereg jest rozbieży, to rówież szereg b jest rozbieży oczywiście myślimy tylko o szeregch, których wyrzy d ż do 0, bo ie s rozbieże. Podmy terz kilk przyk ldów szeregów zbieżych i rozbieżych. Przyk ld 3.2 Szereg = p jest zbieży wtedy i tylko wtedy, gdy p >. Dl dowodu zstosujemy kryterium Cuchy ego o zge szcziu. W przypdku p 0 wyrz szeregu ie d ży do 0, wie c szereg jest rozbieży. Ntomist w przypdku p > 0 wyrzy szeregu d ż do 0 i tworz ci g mlej cy, wie c zmist szeregu moż bdć szereg 2 (2 ) = p (2 p ). Otrzymliśmy wie c szereg geometryczy o ilorzie 2 p. Te ilorz jest zwsze dodti. Jest miejszy iż wtedy i tylko wtedy, gdy p >. Dowód zost l zkończoy. 5

6 Szeregi liczbowe o wyrzch dodtich Przyk ld 3.3 Szereg l p =2 jest zbieży wtedy i tylko wtedy, gdy p >. Dowód przebiegie tk, jk w przyk ldzie poprzedim: dl p > 0 zstosujemy kryte- rium Cuchy ego o zge szcziu. Jeśli p 0, to dl 3 mmy l p = l p, ztem l p. Wobec tego w tym przypdku rozbieżość szeregu l p wyik z rozbieżości zego m już szeregu =. W przypdku p > 0 stosujemy kryterium Cuchy ego o zge szcziu, wie c bdmy szereg = p l p 2 =2 =2 2 2 (l(2 )) = p =2, co ozcz, że sprowdziliśmy bdie szeregu do szeregu zbdego w poprzedim przyk ldzie, wie c zbieżego wtedy i tylko wtedy, gdy p >. Dowód zost l zkończoy. Te dw przyk ldy wyjśić mj ses uwg wypowiedziych tuż przed sformu lowiem kryterium Cuchy ego o zge szcziu. Nleży myśleć, że szereg geometryczy jest szybciej zbieży iż szereg, te z kolei szybciej iż szereg p l p, bo lim = q / p = lim p q = 0 orz lim / p /( l p ) = lim ( l ) p = 0. =2 Przyk ld 3.4 czy też rozbieży. Wyjśimy terz, czy szereg = jest zbieży, W licziku i w miowiku u lmk wyste puj wielomiy zmieej. W licziku jwyższ pote g zmieej to 6, w miowiku 7. Wobec tego dl dostteczie dużych wyrz szeregu powiie być w przybliżeiu rówy 2 6 Porówmy sz szereg z szeregiem hrmoiczym = 33 = Ilorz wyrzów obu sze- 7+3 regów rówy jest , wie 7 c m grice Poiewż wyrzy szeregu hrmoiczego s dodtie, wie c od pewego miejsc wyrzy bdego szeregu s ujeme. Wobec moż zj ć sie jpierw szeregiem o wyrzie przeciwym. Wtedy spe lioe be d z lożei symptotyczego kryterium porówwczego. Wobec + tego, że szereg jest rozbieży, to rówież szereg jest = =

7 Szeregi liczbowe o wyrzch dodtich rozbieży, to ozcz, że iteresuj cy s szereg rozbieży = też jest Widzieliśmy w tym przyk ldzie, jk zzwyczj stosowe jest kryterium porówwcze. Trzeb po prostu zorietowć sie, czym moż przybliżyć wyrz szeregu i wykorzystć przybliżeie w sposób zgody z twierdzeimi, które zost ly udowodioe wcześiej czsem wymg to drobych przekszt lceń: w przyk ldzie trzecim trzeb by lo przejść do szeregu o wyrzch dodtich. Może zistieć koieczość przeprowdzei iych modyfikcji. Bdie zbieżości pewych szeregów jest trude, bo możie zwsze od rzu widć z jkim szeregiem moż porówywć te, który bdmy, le my tkimi szeregmi zjmowć sie ie be dziemy. Przyk ld 3.5 Szereg = e / jest zbieży. K lopot może sprwić czyik e /. Wykzliśmy jedk wcześiej, że jeśli e ci g (x ) jest zbieży do 0, to lim x =. Ozcz to, że dl dostteczie dużych zchodzi rówość przybliżo e x + x. Wobec tego iteresuj cy s szereg powiie zchowywć sie tk, jk szereg o wyrzie rzeczywistości bowiem (e lim / )/ e / = lim / 2 / =. Poiewż szereg. Jest tk w jest zbieży, m wyrzy dodtie, wie c moż zstosowć symptotycze kryterium porówwcze. Dowód zost l zkończoy. Przyk ld 3.6 Szereg = 3 7 jest zbieży. Tym rzem powiiśmy myśleć o porówiu z szeregiem geometryczym, bo czyik 7 powiie zdomiowć czyik 3. Tk jest rzeczywiście, le ilorz 3 /7 /7 m grice +, co uiemożliwi porówie z szeregiem 7. Trzeb rozwżyć szereg ieco woliej zbieży od tego szeregu, p. szereg = = = 2 6. Wtedy ilorz wyrzów bdego szeregu i szeregu próbego jest rówy ( 3 6 7), wie c m grice 0, ztem dl dostteczie dużych zchodzi ierówość 3 7 < 6 i możemy zstosowć kryterium porówwcze. Dowód zost l zkończoy. Uwg 3.9 (o symptotyczym kryterium porówwczym) Asymptotycze kryterium porówwcze możieco rozszerzyć: jeśli zchodzi rów- 7

8 Szeregi liczbowe o wyrzch dodtich ość lim b = 0 i wyrzy obu szeregów, b s dodtie, to ze zbieżości szeregu b wyik zbieżość szeregu tym rzem jest wyikie zmist rówowżości. Jeśli lim b = +, to z rozbieżości szeregu b wyik rozbieżość szeregu rówież w tym przypdku ie m rówowżości. W tki sm sposób moż udowodić, że jeśli 0 < q <, to szereg + q jest zbieży. Jedk w tym przypdku ie ogriczymy sie do stwierdzei zbieżości. Obliczymy sume tego szeregu, bo te rezultt jest przydty w rchuku prwdopodobieństw Przyk ld ( + )q = ( q) 2. Zchodz ste puj ce rówości: k ( + )q = ( + q + q q k) + ( q + q q k) + = qk+ q + q qk+ q + q2 q k+ q + + qk q k+ q + qk q k+ q = = +q+q2 + +q k +q k (k+)q k+ q Poiewż q k+ k + (q q k ) + + (q k + q k ) + q k = = q k+ q (k+)q k+ q = qk+ ( q) 2 (k+)qk+ q. 0 i (k + )qk+ 0, wie k c mocy twierdzei o ryt- k metyczych w lsościch gricy ci gu mmy ( + )q k. ( q) 2 Wypd dodć, że w tym rozumowiu ie korzystliśmy z tego, że q > 0 wystrczy z lożyć, że q <. Pokzliśmy kilku prostych przyk ldch, w jki sposób moż stosowć poze kryteri. Kryteri te s brdzo proste. Wyprowdzić z ich moż wiele kryteriów, których stosowi u ltwi bdie szeregów w kokretych sytucjch, bez wskzywi w jwy sposób szeregu próbego. Pokżemy dwjprostsze, które stosujemy, gdy chcemy porówć szereg z szeregiem geometryczym, tj. tkim w którym ilorz dwóch kolejych wyrzów jest st ly. Pierwsze zost lo pode przez d Alembert (77-783) frcuskiego mtemtyk, fizyk i filozof, utor wste pu do Ecyklopedii. Twierdzeie 3.0 (kryterium ilorzowe d Alembert) Jeśli wyrzy szeregu s dodtie i istieje gric lim + = q, to w przypdku q > szereg jest rozbieży, zś w przypdku q <, szereg jest zbieży. 8

9 Szeregi liczbowe o wyrzch dodtich Dowód. Jeśli q >, to od pewego mometu zchodzi ierówość + >, to zczy + >. Wobec tego od pewego mometu ci g liczb dodtich ( ) jest ros cy, wie c jeśli jest zbieży, to z pewości ie do 0 ie jest wie c spe lioy wruek koieczy zbieżości szeregu. Z lóżmy terz, że q <. Niech r ozcz dowol liczbe wie ksz iż q i jedocześie miejsz iż, p. r = +q 2. Wtedy dl dostteczie dużych zchodzi ierówość + < r = r+ r. Szereg geometryczy r jest zbieży, wie c rówież szereg jest zbieży stosujemy drugie kryterium porówwcze. Dowód zost l zkończoy.. Obliczie gricy lim + = q m celu ustleie z jkim szeregiem geometryczym mmy porówywć szereg : dl ustlei zbieżości wybiermy szereg o ilorzie r ieco wie kszym iż q, dl ustlei rozbieżości o ilorzie r ieco miejszym iż q (ieco ozcz, że liczby r i q zjduj sie po tej smej stroie liczby ). Oczywiście moż z lożyć w sformu lowiu kryterium ilorzowego, że + q < dl dostteczie dużych liczb turlych, z dowodu wyik że to wystrczy. W przypdku drugim wystrczy stwierdzić, że dl dostteczie dużych liczb turlych zchodzi ierówość + jest, by lim = 0. Gdy q = szereg może być rozbieży, p., bo wtedy oczywiście iemożliwe lub zbieży, p. =. 2 = W wielu przypdkch gric lim + = q ie istieje. A.Cuchy pod l ie kryterium zbieżości szeregów zwi ze z szeregmi geometryczymi. Twierdzeie 3. (kryterium pierwistkowe Cuchy ego) Jeśli szereg m wyrzy ieujeme i istieje gric lim = q, to w przypdku q > szereg jest rozbieży, zś w przypdku q < zbieży. Dowód. Jeśli q > to dl dostteczie dużych zchodzi ierówość > i wobec tego >. Wobec tego ci g ( ) ie jest zbieży do 0. Jeśli q < i r jest liczb miejsz iż i jedocześie wie ksz iż q, p. r = +q 2, to dl dostteczie dużych zchodzi ierówość < r, czyli < r. Stosuj c kryterium porówwcze stwierdzmy, że szereg szereg geometryczy r. Dowód zost l zkończoy. Podobie jk w poprzedim przypdku, jeśli gric jest zbieży, bo zbieży jest lim = q jest rów, to temt zbieżości szeregu powiedzieć ic ie moż o czym świdcz przyk ldy przywo le po poprzedim twierdzeiu. Rówież w przypdku tego kryterium wystrczy z lożyć, że dl dostteczie dużych liczb turlych zchodzi 9

10 Szeregi liczbowe o wyrzch dodtich ierówość q <, by uzyskć zbieżość orz że, by uzyskć rozbieżość. Wyjśijmy jeszcze, dlczego obliczć leży te kurt grice. Otóż chodzi o porówie z szeregiem geometryczym. Metod d Alembert jest jprostsz i jbrdziej turl. Drug metod zleziei q, jeśli dy jest ci g geometryczy (q ) to obliczeie pierwistk stopi z wyrzu q. Otrzymujemy q = q. Nie jest to dok ldie q, le lim q = q. Ndmieić wypd, że kryterium pierwistkowe Cuchy ego jest ieco ogóliejsze iż kryterium ilorzowe d Alembert. Prwdziwe jest miowicie ste puj ce twierdzeie: Twierdzeie 3.2 Jeśli ( ) jest ci giem liczb dodtich, tkim że istieje gric lim + = q, to rówież ci g ( ) m grice i jest i q. Dowód. Stwierdzeiem rówowżym tezie jest: l = l l q.* M l q. Jest to jedk wiosek to być wioskiem z tego, że l + l tychmistowy z twierdzei Stolz. Wystrczy przyj ć b = l l orz c = i zstosowć twierdzeie Stolz do ilorzu b c, co zrobić wolo, bo ci g (c ) jest ściśle ros cy i ieogriczoy z góry. Mmy ztem b + b = l + l orz c + c =, wie c b + b c + c zkończoy. lim = l + l l q. Dowód zost l Bez trudu moż wskzć ci g ( ) liczb dodtich, dl którego istieje gric i ie istieje gric lim + :,, 2, 2, 3, 3, 4, 4,... Sprwdzeie szczegó lów pozostwimy czytelikowi w chrkterze prostego ćwiczei. Szereg geometryczy ie jest jedyym szeregiem wzorcowym. Wzorcem może być też p. szereg. Twierdzeie pozwlj p ce obliczie w lściwego wyk- = ldik p zjduje sie poiżej. Twierdzeie 3.3 (kryterium Rbego) Jeśli szereg ( ) m wyrzy dodtie i istieje gric lim + = p, to jeśli p >, to szereg jest zbieży, w przypdku p < rozbieży. ( ) Dowód. Mmy lim / q /(+) = lim (( ) + q ) (+ q = lim ) q = e = lim q l(+ ) q l(+ q l(+ ) ) = q. Niech q be dzie liczb leż c mie dzy i p ; * W tym rozumowiu przyjmujemy, że l 0= i l =, wtedy l:[0, ] [, ] jest fukcj ci g l (defiicj Heiego). 0

11 Szeregi liczbowe o wyrzch dodtich jeśli p <, moż przyj ć q = +p 2. Jeśli p >, to dl dostteczie dużych ( ) ( ) liczb turlych mmy + > / q /(+), wie q c + < /(+)q /. q Tez wyiktychmist z drugiego kryterium porówwczego i zbieżości szeregu. Rozumowie w przypdku p < jest w pe li logicze. p = Pokżemy terz jeszcze jedo twierdzeie, które w zsdzie moż uzć z rze dzie do tworzei kryteriów.* Twierdzeie 3.4 (kryterium Kummer) Jeśli wyrzy szeregu s liczbmi dodtimi, to jest o zbieży wtedy i tylko wtedy, gdy istieje liczb δ > 0 i tki ci g (b ) liczb dodtich, że ierówość b + b + δ jest spe lio dl kżdej liczby turlej. Jeśli wyrzy szeregu s liczbmi dodtimi, to jest o rozbieży wtedy i tylko wtedy, gdy istieje tki ci g (b ) liczb dodtich, że ierówość b + b + 0 jest spe lio dl kżdej liczby turlej, szereg b jest rozbieży. Dowód. Zcziemy od dowodu zbieżości szeregu. Mmy kolejo b 2 b 2 + δ 2 3 b 3 + δ( ) 4 b 4 + δ( ), itd. St d wyik, że b b + δ( ) > δ( ) dl kżdej liczby turlej 2, wie c < + b δ szeregu., co dowodzi zbieżości Terz z lożymy, że szereg jest zbieży. Defiiujemy b = Wtedy b + b + = =. Przyjmujemy δ =. Udowodiliśmy pierwsz cze ść twierdzei. Z lóżmy, że b = orz, że b + b + dl kżdej liczby turlej. Wtedy b b... b, ztem b b, wie c ( b b + b b ), ztem =. Z lóżmy terz, że szereg jest rozbieży. Niech b = Wtedy b + b + = < 0. Zuwżmy jeszcze, że b b + = b +k = k , bowiem +k k +k k * to jede z tych liczych przypdków, w których dowód jest brdzo prosty, przyjmiej krótki,le twierdzeie jest użytecze i ie jest wcle ltwo je wymyślić. jest chwilowo ustloe!

12 Szeregi liczbowe o wyrzch dodtich lim ( k ) =, gdyż k j = j= j j = dl kżdej liczby N. Wyik st d, że dl kżdego N istieje tkie k N, że b + b b +k > 2, to ozcz, że szereg b ie spe li wruku Cuchy ego, wie c jest rozbieży. Dowód zost l zkończoy. Uwg 3.5 Przyjmuj c w pierwszej cze ści kryterium Kummer b = dl kżdego otrzymu- jemy wruek + δ > 0, czyli + +δ, tz. kryterium d Alembert zbieżości szeregu. Drug cze ść, z tymi smymi b, b 2,... dje m kryterium d Alembert rozbieżości szeregu, wet troche siliejsze stwierdzeie. + Przyjmuj c b = w kryterium Kummer otrzymujemy kryterium Rbego: δ > 0, czyli ( + j= j= ) + δ. Podobie dl rozbieżości. Defiicj 3.6 (szeregu bezwzgle die zbieżego i szeregu zbieżego wrukowo) Szereg zywy jest bezwzgle die zbieżym wtedy i tylko wtedy, gdy szereg jest zbieży, tz. gdy < +. Jeśli szereg jest zbieży, le ie jest zbieży bezwzgle die, to zywy jest szeregiem zbieżym wrukowo. Njprostszymi szeregmi bezwzgle die zbieżymi s oczywiście szeregi o wyrzch dodtich, le jest też wiele iych. Szereg ( ) jest zbieży wrukowo. Szereg ( ) jest zbieży bezwzgle 2 die. Twierdzeie 3.7 (o zbieżości szeregu bezwzgle die zbieżego). Szereg bezwzgle die zbieży jest zbieży. Dowód. Trzeb wykzć, że szereg spe li wruek Cuchy,ego wiedz c, że szereg spe li te wruek. To jedk wyik od rzu z ierówości trójk t: m m < ε. Jed z podstwowych w lsości szeregów bezwzgle die zbieżych jest iezleżość ich sumy od kolejości wyrzów szeregu. Udowodimy terz to twierdzeie. Twierdzeie 3.8 (o sumowiu szeregu bezwzgle die zbieżego w dowolej kolejości) Niech p be dzie dowol permutcj zbioru wszystkich liczb turlych, tz. w ci gu ( p() ), czyli w ci gu p(0), p(), p(),... wyste puj wszystkie liczby turle, kżd dok ldie jede rz. Niech be dzie szeregiem bezwzgle die zbieżym. 2

13 Szeregi liczbowe o wyrzch dodtich Wtedy szereg p() jest zbieży i zchodzi rówość = p(). Dowód. Niech s = , s p = p(0) + p() + + p() i iech ε be dzie dowol liczb dodti. Istieje wtedy tk liczbturl m, że m+ + m < ε 2. Istieje liczbturl ε m, tk że wśród liczb p(0), p(),..., p( ε ) zjduj sie wszystkie liczby 0,, 2,..., m. Niech k > ε. Wtedy s k s p k m+ + m , bo zrówo s k jk i s p k s summi pewych liczb j, jeśli jkiś wyrz jest sk ldikiem obu sum, to ie wyste puje w różicy s k s p k. Wyrzy 0,,..., m wyste puj zrówo w s k jk i w s p k, wie c ie wyste puj oe w s k s p k, wobec tego s k s p k m+ + m < ε 2. Tkie sme rozwżi dotycz różicy s k, wie c rówież s k < ε 2. Wobec tego s p k s k + s k s p k < ε 2 + ε 2 = ε dl kżdej liczby k > ε. Z defiicji gricy ci gu wyik wie c, że to w lśie ozcz, że p() = lim sp =. Dowód zost l zkończoy., Zjmiemy sie terz twierdzeiem o możeiu szeregów. Moż c dwie skończoe sumy liczb ( )(b 0 + b + + b ) otrzymujemy sume wszystkich iloczyów postci i b j, p. dl = 2 mmy: ( )(b 0 +b +b 2 ) = 0 b b + 0 b 2 + b 0 + b + b b b + 2 b 2. Oczywiście otrzym sume dziewie ciu sk ldików moż porz dkowć wiele sposobów (9!=362880). W przypdku skończoej liczby sk ldików kolejość dodwi ie m żdego wp lywu ich sume. To smo dotyczy ieskończeie wielu sk ldików pod wrukiem rozwżi wyrzów szeregu bezwzgle die zbieżego. W przypdku szeregu, który ie jest bezwzgle die zbieży leży jedk być ostrożym. Jest jse, że moż c dw szeregi i b powiiśmy otrzymć szereg, wśród wyrzów którego s wszystkie iloczyy postci i b j uporz dkowe w jkiś sesowy sposób. Okzuje sie, że sugerowy rezultt wygodie jest sformu lowć tk: 3

14 Szeregi liczbowe o wyrzch dodtich Twierdzeie 3.9 (Mertes o możeiu szeregów) Z lóżmy, że szeregi i b s zbieże, przy czym co jmiej jede z ich jest zbieży bezwzgle die. Niech Wtedy szereg c c = 0 b + b + 2 b b + b 0 = jest zbieży i zchodzi rówość: b = c. j b j. jeśli ob szeregi i b s zbieże bezwzgle die, to rówież szereg c jest bezwzgle die zbieży. Dowód. Przyjmijmy, że: s = , s b = b 0 + b + + b, s c = c 0 + c + + c = i+j ib j. Zbieżość szeregów j=0 i b ozcz istieie skończoych gric lim s = A orz lim sb = B. Mmy wykzć, że gric ci gu (s c ) jest AB. Oczywiście jest wszystko jedo, o którym szeregu z lożymy, że jest bezwzgle die zbieży. Przyjmijmy, że jest to szereg, czyli < +. Zuwżmy, że: s c = i+j ib j = 0 (b 0 + b + + b ) + (b 0 + b + + b ) (b 0 + b + + b 2 ) + + b = 0 s b + s b + 2 s b s b 0. Wobec tego s s b s c = 0 s b + s b + 2 s b + + s b s c = ( s b s b ) + ( ( + 2 s b s 2) b + + s b s0) b. Poiewż szeregi orz b s zbieże, wie c ich ci gi sum cze ściowych s ogriczoe. Ozcz to, że istieje liczb M > 0, tk że dl kżdego m prwdziwe s ierówości: m M, b 0 + b + + b m M. Niech ε be dzie dowol liczb dodti. Ze zbieżości szeregu wyik, że spe li o wruek Cuchy ego, wie c istieje tk liczbturl ε, że jeśli k > m > ε, to ε 4M, zchodz ierówości: s b k sb m < = ε + = ε + + ε < Wobec tego dl m > 2 ε mmy b s c m ε 8M, b s m s b m + s ms b m s c m < b s m s b m < ε < ε 2 + s b m s b m + 2 s b m s b m ε s b m s b ε + + ε + s m s m ε + ε +2 s m s m ε m s m s

15 Szeregi liczbowe o wyrzch dodtich ε 2 + ( ε ε ) 4M + ( ε + + ε m ) 2M ε 2 + M ε 4M + ε 8M 2M = ε. Z defiicji gricy ci gu wyik, że lim m s c = b. Pozostje jeszcze zuwżyć, że jeśli ob szeregi i b s bezwzgle die zbieże, to rówież szereg c jest bezwzgle die zbieży. Wyik to od rzu z już udowodioej cze ści twierdzei i wruku Cuchy ego. Dowód zost l zkończoy. Czytelik może sie przekoć, że istiej szeregi zbieże i b, dl których szereg c jest rozbieży. Wystrczy przyj ć = b = ( ) przekoć sie, że w tym przypdku ci g (c ) ie jest zbieży do 0, wie c szereg c jest rozbieży. Z drugiej stroy jeśli szeregi, b i c s zbieże, to c = b ie podmy dowodu tego twierdzei, bo ie be dziemy z iego korzystć. Opise twierdzei wskzuj to, że zpropoow przez Cuchy ego kolejość sumowi iloczyów i b j, jest w lściw. Defiicj 3.20 (iloczyu szeregów) Iloczyem Cuchy ego szeregów i b zywmy szereg c, którego wyrzy defiiujemy z pomoc wzoru c m = i+j=m ib j = m i=0 ib m i. i 5