Analiza Matematyczna część 2

Transkrypt

1 [wersj z 5 XII 006] Aliz Mtemtycz część Kospekt wykłdu dl studetów fizyki/iformtyki Akdemi Świętokrzysk 006/007 Wojciech Broiowski

2 Ciągi i szeregi

3 Przestrzeń metrycz Metryk: Przestrzeń metrycz: pr (X, ρ) Przestrzeń R, - wymir, x = (x,x,...,x ), x k współrzęd Metryk euklidesow: pomir liijką ρ ( xy, ) = ( x y) Ie przykłdy (miejsk, wiejsk (leś), węzł kolejowego, mx, dyskret, z fukcją rosącą) ρ : X X [0, ) - prze puktów liczbę ieujemą xy, X: ( ) ρ( x, y) = 0 x= y ( b) ρ( x, y) = ρ( y, x) ( c) ρ( x, z) ρ( x, y) + ρ( y, z) (wruek trójkąt) E k k k = 3

4 Przykłdy dl R Metryk miejsk: ρ Μ ((x,y ),(x,y )) = x -x + y -y (,b) oczywiste (c) wyik z + b + b x z x y + y z x z x y + y z Metryk dyskret: ρ ( xy, ) (,b) oczywiste (c) - przypdki D 0 dl x = dl x = y y Metryk mximum: ρ mx ((x,y ) ),(x,y )) = mx ( x -x, y -y ) 4

5 Nierówość Schwrz: liczby rzeczywiste liczby zespoloe D: Rozwżeie trójmiu w zmieej t w rozwiięciu lewej stroy ierówości ( t k + bk) 0 k = Dl przypdku zespoloego mmy b k k k bk k= k= k= b k k k bk k= k= k= dje tychmist dowód dl przypdku rzeczywistego. b k k b k k = k bk k bk k= k= k= k= k= Z ierówości Schwrz dl liczb rzeczywistych wyik ierówość ( k + bk) k + bk k= k= k= (D: podiesieie obu stro do kwdrtu i uproszczeie). Stąd wyik wruek trójkąt dl metryki euklidesowej - wystrczy przyjąć k =x k -y k, b k =z k -y k. 5

6 Metryk produktow: (X,ρ ), (y,ρ ) przestrzeie metrycze. Możemy wprowdzić metryki ρ (( x, y ),( x, y )) = ρ ( x, x ) + ρ ( y, y ) E, E, E ρ (( x, y ),( x, y )) = ρ ( x, x ) + ρ ( y, y ) M, M, M ρ (( x, y ),( x, y )) = mx( ρ ( x, x ) + ρ ( y, y ) mx,mx,mx Metryk idukow metryk iepustym podzbiorze A zbioru X Metryk w zbiorze liczb zespoloych C: ρ (z,z ) = z -z Kule (otoczei) domkięte i otwrte: K( x, r) = { x X : ρ( x, x) r} 0 0 K( x, r) = { x X : ρ( x, x) < r} 0 0 6

7 Kule w R z metryką euklidesową i miejską W metryce dyskretej kulmi są zbiory puktowe lub cł przestrzeń 7

8 Kule w metryce idukowej: K A( x, r) = K( x, r) A 0 0 Metryk ρ jest siliejsz iż ρ jeśli x X ε > 0 δ > 0: K ( x, δ) K ( x, ε) (dl dowolego x i dl dowolie młego ε moż dobrć tkie δ, że kul w metryce siliejszej o promieiu δ zwier się kuli w metryce słbszej o promieiu ε) Metryki ρ i ρ są rówowże jeśli ρ jest siliejsz iż ρ i jedocześie ρ jest siliejsz iż ρ Przykłd metryk rówowżych: euklidesow, miejsk, mksimum Wiejsk jest siliejsz od euklidesowej, wiejsk ie jest siliejsz od kolejowej, kolejow ie jest siliejsz od wiejskiej! Metryk dyskret jest jsiliejsz i ie jest rówowż z euklidesową Metryki ρ i ρ są jedostjie rówowże jeśli α, β > 0 x, y X: αρ ( xy, ) ρ ( xy, ) βρ ( xy, ) 8

9 Ciąg Defiicj ciągu: fukcj : A Notcj:,,,... ( ), ( ) 3 ciąg -wyrzowy, ciąg liczbowy Ciąg rytmetyczy: 0, 0 +r, 0 +r, 0 +3r,..., 0 +(k-)r Ciąg geometryczy:, q, q, q 3,..., q k- Ciąg Fibocciego:,,,3,5,8,3,,34,... = dl > (rekurecj) 9

10 Zbieżość ciągu Ciąg (x ) jest zbieży do gricy x jeśli dl kżdego (dowolie młego) ε istieje 0 (w ogólości zleże od ε) tkie, że dl kżdego > 0 zchodzi, że x leży do K(x, ε) ( prwie wszystkie wyrzy ciągu leżą do dowolie młej kuli o środku w x) lim x = x ε >0 > : x K(x, ε ) 0 0 lim x = x ε >0 > : ρ( x, x) < ε i otcj: x x Przykłd: x =/ (metryk euklidesow)

11 Przykłd ciągu w R z metryką euklidesową zbieżego do (0,0) Prwie wszystkie (z wyjątkiem skończoej liczby) wyrzy ciągu zjdują się w dowolie młej kuli o środku w pukcie będącym gricą ciągu Przykłd ciągu rozbieżego: cos(4) Iy ciąg rozbieży: =(-)

12 Ciąg, który ie m gricy zywmy rozbieżym Ciąg stły od pewego miejsc, x =x dl > 0, zywmy ciągiem stłym. Jego gricą jest x. x X r > 0 : x K( x, r) Ciąg jest ogriczoy jeśli (wszystkie wyrzy ciągu leżą do pewej, dowolie dużej, kuli) Przykłdy: /, (-), kotrprzykłdy:, (-) Tw. Ciąg zbieży m dokłdie jedą gricę D (przez sprzeczość): Złóżmy, że ciąg m dwie róże grice x i x. Weźmy ε = ρ( x, x)/3 (wolo m!) Wtedy z ierówości trójkąt orz z fktu, że dl > 0 elemet x musi jedocześie leżeć do otoczei puktu x i x dostjemy sprzeczość: ρ( x, x) ρ( x, x) + ρ( x, x) < ε = ρ( x, x) 3

13 Tw. Ciąg zbieży jest ogriczoy D: Jeśli x jest gricą (x ), to istieje 0 tkie, że dl > 0 zchodzi ρ(x,x)<. Weźmy r = mx(, ρ(x,x), ρ(x,x),..., ρ(x 0,x)). Z kostrukcji : x K( x, r), więc ciąg jest ogriczoy. Przykłd: / Przeciwstwie, ciąg ieogriczoy ie może być zbieży. Tw. Ciąg zbieży w metryce siliejszej jest zbieży w metryce słbszej. Jeśli metryki są rówowże, to ciąg jest zbieży w obu metrykch, lbo rozbieży w obu metrykch. D: Korzystmy z fktu, że otoczei metryki siliejszej zwierją się w otoczeich metryki słbszej. Tw. Ciąg (x ) jest zbieży do x wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg liczb ρ(x,x) jest zbieży do 0. D: Wyik bezpośredio z defiicji kuli. 3

14 Podciąg: mjąc dy ciąg (x ) orz rosący ciąg liczb turlych (p ), tz. p < p < p 3 <... defiiujemy ciąg (y ) tki, że p Przykłd: (x ) =(,-,,-,,-,,...), (p )=(,3,5,7,...), (y ) =(,,,,...) y = x Tw. Ciąg jest zbieży do x wtedy i tylko wtedy, gdy kżdy jego podciąg jest zbieży do x. x = / Wszystkie podciągi zbieże do x=0 co drugi wyrz, (p )=(,3,5,7,...) co trzeci wyrz, (p )=(,4,7,0,...) 4

15 Tw. O gricy sumy, różicy, iloczyu, ilorzu Dowód tw. : lim x = x, lim y = y lim( x + y ) = x+ y, lim( x y ) = x y lim( x + by ) = x + by ε ε ε > 0 > : < x x < ε ε ε > 0 > : < y y < Dodjąc stromi otrzymujemy 0 0 x lim( xy ) = xy, lim = y ε > 0 = mx(, ) < : ε < ( x+ y) ( x + y ) < ε x y 5

16 > : x y limx lim y Tw. Zchowie relcji w gricy: 0 0 D (przez sprzeczość): Ozczmy z =y -x, z=lim z, orz z=y-x. Złóżmy wbrew tezie, że z<0 i weźmy ε=-z/. Z def. gricy dl x i y wiemy, że dl dlekich zchodzi x -x < ε i y -y < ε, więc z z ( y x ) ( y x) = ( y y) + ( x x) y y + x x < ε = z z < 0 co przeczy złożeiu. (ie jest to prwd dl ierówości ostrej: / < /, obydw ciągi mją tę smą gricę rówą 0) 6

17 Tw. O trzech ciągch (iczej tw. O dwóch policjtch i resztcie ) x y z dl k, lim x = lim z = lim y = D: Z defiicji gricy dl > 0 mmy x - <ε orz z - <ε. W szczególości dl > =mx(k, 0 ) zchodzi ε < x, co ozcz z y z < + ε defiicji że (y ) m gricę. Ciąg mootoiczy to ciąg iemlejący lub ierosący Tw. Ciąg mootoiczy jest zbieży wtedy i tylko wtedy, gdy jest ogriczoy Przykłd: x = -/ jest rosący i ogriczoy, więc jest zbieży, tomist ciąg x = jest rosący i ieogriczoy, więc jest rozbieży 7

18 Ciągi rozbieże do ieskończoości Ciąg jest rozbieży do plus ieskończoości, gdy M > > x > M 0 0 0: do mius ieskończoości, gdy M > > x < M 0 0 0: Przykłdy:, -, -! lim x = x, lim y = x = lub x = lim = 0 x x = 0 lim = lub lim = x x y R {0}, x = lim( x ) = sg( ) x, Ry, = lim( y + x) = x R {0}, y = lim( y x ) = sg( x) sigum - zk dl z > 0 sg( z) = dl z < 0 8

19 Iy zpis powyższych twierdzeń: + c =, c + c = sg( c) 3 + = + 3 c = 0 0 =±, {0} 0 0 le: -, 0,, są ieozczoe ( + ),, 0,, 0 4 9

20 Grice szczególych ciągów ciąg gric wruek. 0 > < 3. > 0 4. b 5. 0 >, b R 6. 0 >!! 7. 0 Gric ilorzu wielomiów: ( k) k P ( ) = k () l l Q ( ) = b l b0 lim P Q ( k ) () l k dl k = l ( ) bl = ( ) 0 dl k < l sg( b k l) dl k> l lim x = x, x > 0 x x lim =, > 0 x x lim y = y, y > 0 0, b ogriczoy b 0 0

21 . Weźmy. Wtedy tychmist 0 > ε 0 > log ε. Weźmy. Wtedy tychmist < ε < ε 3. Dl. mmy. Weźmy b =, więc = ( + b ). Z ierów. Beroulliego > + b, ztem 0 b. Z tw. o trzech ciągch b 0, czyli. Dl (0,) mmy >, więc =,czyli tw. dl dowolego >0. 4. Podobie, korzystjąc z b = = + b + b, ( ) i ierów. (+b ), ztem 0 b. Z tw. o trzech ciągch b 0, czyli.

22 Przykłdy = + 3 3= = 3 = 3, więc z tw. o trzech ciągch b = = + 5 / lim = lim = = / lim lim+ lim + lim 3 lim b = = = lim lim lim si! c =, x 0, y si! - ogriczoy c 0 + = + d ( )( ) ( ) = + = = = = + /

23 Hierrchi rozbieżości do ieskończoości......!, >, > 0 log log(log )... często spotyke przypdki szybciej woliej 3

24 Tw. Stolz (fiz.) Przykłd: ( x ) i ( y ) tkie, że ) y+ > y x x x b) lim y = lim = lim x+ x c) istieje gric lim y+ y + y y+ y p p p =, p p+ p p p p+ x = , y = p x+ x = ( + ) p + y+ y = + = = p+ + + x x = = y y p+ p+ p+ p+ p+ p p+ p ( )... ( )... lim + lim + 4

25 Liczb e = +, b = + lim + = e = Joh Npier (550-67) Leohrd Euler ( ) = = + = ( ) jest rosący, bo ( + ) = +. = + ( + ) ( + ) Z ier. + + Beroulliego >, ztem > + = ( + ) + + 5

26 Ciąg (b ) jest mlejący, bo b = = + > + =+ > + b+ + (+) + (+) (+) + + Poiewż <b i b =4, ciąg ( ) jest rosący i griczoy. Z tw. o ciągu mootoiczym ( ) jest zbieży, lim =e, < e < 4. Rówież lim b =e, poiewż b = (+/). Koleje, corz lepsze ogriczei od dołu i od góry liczbę e: b

27 Iterpretcj bkow procet skłdy x x x lim + = e, lim + = e x 7

28 Fukcj wykłdicz i logrytm x y =, > 0,, x R, y > 0 x = log e log y logz z = z = z l c cx = b y = b ( b> 0, b ) logb y logb y c = log b, cx = log b y x = log y =, logblog y = logb y c log log z z =, log z = 0, log z = ( z > 0, z ) log z =, = x y y x x x x x = = = ( ) log y + log y = log y y b ( ), yy = x + x = log y y x + x y y, y, y log y log y log = y z xz z z y =, z R xz = log y log y = zlog y -wykłdicz - odwrot do wykłdiczej - podstw logrytmu y 8

29 W fizyce, iformtyce, iżyierii zzwyczj występuje sytucj >: =, e, 0 (logrytm biry, turly, dziesięty) 9

30 Ciągi ogriczoe Tw. Bolzo-Weierstrss: Ciąg ogriczoy o wyrzch w R posid podciąg zbieży zoom Przykłd: =cos(4) więcej puktów 30

31 D: (kostrukcj poprzez koleje podziły przedziłu [,b]) ( x ) ogriczoy x [, b] Jede z przedziłów [,( + b) / ],[( + b) /, b] zwier ieskończeie wiele elemetów, itd. Kostruujemy idukcyjie przedzily k. b = ( b ) k. 3. P k k < b b k k+ k+ k zwier ieskończeie wiele Poiewż ( Nstepie lim k k P = [, b ]: Tw. Uogólieie: Ciąg ogriczoy o wyrzch w R m podciąg zbieży Tw. Zbiór gric częściowych ciągu ogriczoego zwier elemet jwiększy i jmiejszy (grice dol i gór) k elemetów (x ) Wówczs moż zdefiiowć rosący ciąg orz y = x : y b ) jest rosący i ogriczoy, ( ) jest zbiezy do gricy g. b k Z Tw. o trzech ciągch rówież lim k k = lim ( + ( b )) = g. k k y k k k k k k k k = g k k. 3

32 gric gór: lim sup x gric dol: lim if x Dl ciągu zbieżego grice dol i gór są rówe gricy ciągu Tw. ( x ),( y ) ogriczoe ciągi w. Ozczmy x = if{ x, x, x,...}, x = sup{ x, x, x,...}. Wtedy ) lim if x = lim x, limsup x = lim x b) gdy x y to limif x limif y, limsup x limsup y x = + ( ) lim sup x = lim xk = lim + = k k k lim if x = lim xk+ = lim = k k k + 3

33 Jeszcze o liczbie e x, y 0, y 0 x ), b), c) ( ) y + e e + y e x x D: ) p = [ x ] - jwieksz liczb ie większ od x. Wtedy p + x p Z defiicji e i tw. o gricch częsciowych ciągu zbieżego x p x p + dw skrje ciągi dążą do e, więc z tw. o trzech ciągch wyik ). x x x x D: b) = = + + e x x x x D: c) bierzemy y = x 33

34 y 0, y 0, Wtedy ( + y ) y ( ) y = + y e p. + = + e

35 Szeregi Prdoks Zeo z Elei (ok. 500 p..e.) Achilles igdy ie dogoi żółwi Achilles porusz się z prędkością v, żółw z prędkością v = qv < v. Początkow odległość wyosi. Jeśli Achilles przebiegie drogę długości, to żółw przejdzie w tym czsie drogę q. Po pokoiu przez Achilles drogi q żółw poko drogę q, któr zowu pozostje do pokoi Achillesowi, w kolejym kroku q 3, itd. A ztem Achilles igdy ie dogoi żółwi! Achilles q q S = + q + q q = S= l S im q q (D. przez idukcję) =, poiewż q < (sum szeregu geometryczego) q S t = = = v ( qv ) v v Żółw - czs, po jkim A. dogoi ż. 35

36 Iterpretcj geometrycz szeregu geometryczego Nieidukcyje wyprowdzeie wzoru sumę szeregu geometryczego: Sq = + q+ q + q+ = + q + q+ q + = + qsq q 3 ( )... (...) ( ) 0 q < Sq ( ) = q 36

37 Defiicj szeregu: ( ),, wyjściowy ciąg liczbowy = S S 3 3 S = = S + S k = k S = + = S + S = + + = S + = lim S = = = = czsem wygodiej zcząć od = m : ( + ) =, bo 3 sumy częściowe szeregu ciąg sum częściowych - szereg gric ciągu sum częściowych - sum szeregu jeśli istieje szereg zbieży = m N N+ m Dygresj - przeumerowie sumy: =, l = k + m k k= l= m+ = = = 3 ( + ) l m 37

38 Tw: Wrukiem koieczym zbieżości szeregu jest zbieżość wyrzów do zer: zbieży lim = 0 ( ) D: lim = lim S S = S S = 0 Nie jest to wruek dostteczy (geometryczy zbieży dl q <, rozbieży dl q ) Szereg hrmoiczy: = = S 3 S = podciąg ciągu sum częściowych S = S+ S4 = S + + > S + = S+ + = S8 = S > S4 + 4 = S6 = S > S = S > S + =

39 Tw. Sum i różic szeregów, możeie przez liczbę: ( + b ) = + b, ( b ) = b, c = c Tw. Dw szeregi róże skończoą liczbą wyrzów są lbo jedocześie zbieże, lbo jedocześie rozbieże. Tw. Kryterium porówwcze: : 0 > 0 z - zbieży z - zbieży ( ) ( z - rozbieży - rozbieży) Tw. (Fiz.) Kryterium ilorzowe: ( ) i (b ) ciągi liczb rzeczywistych, b >0, lim b orz =c. Wówczs ) b - zbieży - zbieży b) c 0, b - rozbieży - rozbieży Szereg zywmy bezwzględie zbieżym, jeśli jest zbieży W przeciwym rzie mówimy o zbieżości wrukowej. Tw. Szereg bezwzględie zbieży jest zbieży. z z 39

40 Przykłdy π = =,, mmy = = ( + ) m= ( m ) m ( ) = 6, - rozbieży dl (uogólioy hrmoiczy) = = = ζ ( ) (dzet Riem) - zbieży dl >, bo 4 S = = ( ) = = = M S - ogriczoy S - ogriczoy S - rosący S - zbieży P(),Q() - wielomiy stopi k i m P( ) zbieży wt edy i tylko wtedy, gdy m>k+ Q ( ) 40

41 = Kryterium d Almbert ) jest zbieży, jeżeli b) jest rozbieży, jeżeli + lim sup < c) jest zbieży lub rozbieży, jeżeli > + 0 0: lim if lim sup zbieży,bo = = + = < ( )! + + ( + ) e! ( )! b b b 3 lim if = lim = 0, lim sup = lim = - brk rozstrzygięci + ( + 3 ) b b + podobie = dl, 4

42 Kryterium pierwistkowe Cuchy ego λ = λ < = < Niech limsup ) - zbieży b) λ > - rozbieży c) λ = - zbieży lub rozbieży Szereg przemiey (zkozmiey): (-) = , > Kryterium Leibiz: jeżeli ( ) jest ierosący i 0, to (-) jest zbieży. = lim - zbieży Kryterium Cuchy ego jest siliejsze od kryterium d Almbert, le trudiej je stosowć. Ob kryteri ie są zbyt subtele w przypdku rozbieżości, gdyż rozbieżość wyik z fktu, że lim 0. Kryterium Leibiz Szereg hrmoiczy: ( )... l + = = = 4

43 Ie kryteri zbieżości szeregów (*) Kryterium zgęszczjące: + ( ) > 0 0 > < < zbieży dl >, bo = zbieży dl > ( log ) = ( log ) ( log ) = = Kryterium Abel: < ( b ) ogriczoy i mootoiczy b + = ( ), b = +, b =.3... = Kryterium Dirichlet: m = m = x si < S = ogriczoy ( b ) ogriczoy i mootoiczy b 0 si kx = m si x = b < cos(( k ) x) cos(( k + ) x) cos( x) cos(( m+ ) x) x x si x < si si 43

44 ) 0 : b) Kryterium Rbeg o : r r + + > > > < < =

45 Szereg potęgowy,, β cβ cz jest bezwzględie zbiezy dl z < β. { : zbieży}, = sup{ z : z A} cz r Tw. Abel: : - zbieży A= z c z r cz c z Tw. Jeżeli m promień zb., to jest bezwzględie zbieży w kole z < r i rozbieży dl z > r. N kole z = r tw. ie rozstrzyg. Tw. Cuchy'ego-Hdmrd: Jeżeli λ = lim sup c, to dl λ (0, ) λ r = 0 dl λ = dl λ = 0 z! z - r = - r = promień zbieżości szeregu potęgowego 45

46 Rozwiięcie liczby e w szereg (*) t = +, s = k= 0 k! t e, ( s ) mootoiczy i ogriczoy, więc zbieży t = k k 0 k = =! 3!! t s e lim s (*) m Dl m mmy t ! 3! m! e = lim t = sm! 3! m! e lim s (*) * m (*)(**) lim s = e, czyli e = k! Podto m e x = k= 0 k x k! k= 0 46

47 Zmi kolejości sumowi Tw. W szeregu bezwzględie zbieżym dowol zmi kolejości sumowi ie zmiei gricy, p = Tw. Riem: Dl szeregu wrukowo (czyli ie bezwzględie) zbieżego odpowiedio zmieijąc kolejość sumowi moż otrzymć dowolą skończoą gricę lub szereg rozbieży = log = log 47

48 Iloczy Cuchy ego szeregów k l z k blz = cz, c = mb m k= 0 l= 0 = 0 m= 0 Dl z = dostjemy z defiicji iloczy Cuchy'ego szeregów. Tw. b zbieże c lim = lim b = b lim c = c x y ee zbieży k l m m x y x y = k= 0 k! l 0 l! = = = = 0 m= 0m!( m)! m m x y ( x+ y) x+ y = e = 0 m= 0 m = =! = 0! Wruek bezwzględej zbieżości przyjmiej jedego szeregu jest tu istoty. Iloczy dwóch szeregów zbieżych wrukowo może być rozbieży. 48

49 Iloczyy ieskończoe (*) ( ) ciąg liczbowy, p =... lim = 3 p = = ( ) ( ) ( ) lim( )( )( 3)...( ) lim ( ) = + + = = ( ) Tw. bezwzględie zbieży + - zbieży Tw. >, > 0 < 0 zbieży ( + ) - zbieży 49

50 Ciągi i szeregi fukcyje f : X, f : X Zb. jedostj ( ie zleży od x): 0 0 f( x) = lim f ( x) ε > 0 > x X : f ( x) f( x) < ε Zb. puktow ( może zleżeć od 0 0 f( x) = lim f ( x) x X ε > 0 > : f ( x) f( x) < ε Szereg fukcyjy jest zbieży jedostjie (puktowo) jeżeli ciąg S k k = x): jest zbiezy jedostjie (puktowo) S ( x) = f ( x), S( x) = lim S ( x) 0 0 x ( =,,...,0,0,30,40,50,00) Zbieżość iejedostj 50

51 Kryterium Weierstrss Tw. Kryterium Weierstrss: ( ), > : f ( x) zbieży 0 0 f ( x) jedostjie zbieży si( x) si( x) f( x) =, f ( x) jedostjie zbieży = Tw. Szereg potęgowy = z zbieży dl z r, gdzie 0 < r < r. o promieiu zbieżoci r jest jedostjie 5

52 S S = S = k= k= si kx k si kx k S S 3 S S 6 S Zbieżość jedostj 5

53 Ciągłość 53

54 Zbiory otwrte (fiz.) Rozwżmy przestrzeń metryczą (X,ρ) Otoczeie puktu x: dowol kul otwrt K(x,r) Sąsiedztwo: K(x,r)-{x} Pukt skupiei x zbioru A: kżde sąsiedztwo puktu x zwier jkiś pukt y zbioru A (x jest róże od y). Uwg: x ie musi leżeć do A Pukt izolowy (zewętrzy) x zbioru A: x leży do A le ie jest puktem skupiei (istieje sąsiedztwo x które ie zwier żdych puktów skupiei) Pukt wewętrzy x zbioru A: istieje otoczeie x zwrte w A Pukt brzegowy zbioru A: pukt leżący do X, który ie jest i puktem wewętrzym, i zewętrzym zbioru A. Uwg: ie musi leżeć do A Zbiór otwrty: kżdy jego pukt jest puktem wewętrzym Zbiór domkięty: zwier wszystkie swoje pukty skupiei Zbiór doskoły: domkięty i kżdy jego pukt jest puktem skupiei Dopełieie zbioru A: X-A Zbiór ogriczoy A: istieje liczb M i y leżące do X tkie, że dl kżdego x leżącego do A zchodzi ρ(x,y)<m 54

55 Przykłdy koło wrz z okręgiem wętrze koł ) b) c) pewie skończoy zbiór puktów d) e) f) cł przestrzeń g) h) (X=R) (X=R ) 55

56 zewętrzy (izolowy) wewętrzy Przykłdy brzegowy brzegowy brzegowy otwrty domkięty doskoły ) tk ie ie b) ie tk tk c) ie ie ie d) ie tk ie e) ie tk ie f) tk tk tk g) tk ie ie h) ie ie ie (X=R) ) b) c) d) e) f) g) h) (X=R ) 56

57 Tw. A jest otwrty wtedy i tylko wtedy, gdy jego dopełieie X-A jest domkięte ) q p Weźmy dowoly x A x X A, bo A ( X A) = x ie jest pkt. skupiei X A (bo X A jest domkięty, więc zwier wszystkie swoje pkt. skupiei) K( x, r): K ( X A) = K A A jest otwrty. ) p ~ q X A ie jest domkięty ie zwier wszystkich swoich pkt. skupiei pkt. skupiei x zbioru X - A ie leżący do X - A, czyli x A. Ztem kżde otoczeie K( x, r) zwier 0 0 pkt. zbior u X A, czyl i K ( X A) (*). Z drugiej stroy, A jest otwrty, wieęc K( x, r) : K A, czyli K co przeczy (*). A więc p 0 q. 0 ( X A) =, 57

58 Tw. Otoczeie jest zbiorem otwrtym x K( x, r) δ : K( y, δ ) K( x, r) 0 D: Ozczmy ρ( x, x) jko r- s. Wtedy ρ( x, x ) ρ( x, y) + ρ( y, x ) < δ + r s. Biorąc p. δ = s / mmy K( y, δ) K( x, r). 0 0 Tw. Zbiór otwrty (domkięty) w metryce słbszej jest otwrty (domkięty) w metryce siliejszej. W metrykch rówowżych rodziy zbiorów otwrtych są tkie sme. Tw. Sum dowolej (wet ieskończoej) liczby zbiorów otwrtych jest zbiorem otwrtym, iloczy dowolej liczby zbiorów domkiętych jest zbiorem domkiętym, sum skończoej liczby zbiorów domkiętych jest zbiorem domkiętym, iloczy skończoej liczby zbiorów otwrtych jest zbiorem otwrtym. Ale: [, ] = (0,) = 58

59 Dl X=R otoczeimi są przedziły otwrte (x-r,x+r) Sąsiedztw lewo- i prwostroe puktu x: (x-r,x), (x,x+r) ( b, ),(, ),(, ),(, ) otwrte { },[, b],(, ],[, ),(, ) domkiete Wętrze zbioru A jwięjszy zbiór otwrty zwrty w A Domkięcie zbioru A jmiejszy zbiór domkięty zwierjący A Tw. Zbiór jest domkięty wtedy i tylko wtedy, gdy dl kżdego ciągu zbieżego puktów ze zbioru A jego gric leży do A 59

60 Zbiór A jest zwrty jeśli dowoly ciąg puktów zbioru A zwier podciąg zbieży do puktu leżącego do zbioru A Tw. Zbiór domkięty i ogriczoy w R jest zwrty Zbiór B={,/,/3,/4,...} ie jest zwrty, bo ciąg (/) jest zbiezy to 0, 0 ie leży do B. Zbiór C={0,,/,/3,/4,...} jest zwrty (uzwrceie) Tw. Zbiór domkięty i ogriczoy w R jest zwrty Tw. Zbiór zwrty jest domkięty 60

61 Ciągi Cuchy ego, przestrzeń zupeł (fiz.) Ciąg Cuchy'ego: ε >0 m, > : ρ( x, x ) < ε 0 0 (corz dlsze wyrzy są corz bliższe siebie) m Tw. Ciąg zbieży jest ciągiem Cuchy ego. Ciąg Cuchy ego jest ogriczoy Przestrzeń zywmy zupełą jeśli kżdy ciąg Cuchy ego jest zbieży (do gricy leżącej do tej przestrzei) Tw. Przestrzeń zwrt jest zupeł Tw. R jest zupeł 6

62 Def. ciągow (Heiego): Gric fukcji XY, - przestrzeie metrycze, x - pkt. skupiei zbioru A X. Rozwżmy dowoly ( x ) : x A,lim x = x. Mówimy, że f : A Y m gricę g w x, lim f( x) = g, jeżeli lim f( x ) = g. x x Jeżeli g = f( x ), to f jest ciągl w x 0 0 Jeżeli f jest ciągl w kżdym pukcie dziedziy, to jest ciągl 6

63 Grice jedostroe i iewłściwe Gric lewosto ( prwostro): gric fukcji obciętej do zbioru A (-, x ) ( A ( x, ) ), lim f( x), lim 0 0 Ciągłość lewo- i prwostro x x x x f( x) Grice w ± lim x =, lim f( x ) logiczie lim x = g f( x) = g lim f( x) x = g Grice ieskończoe lim x = x, lim f( x ) = ± lim f( x) =± 0 x x 0 63

64 f( x) = + dl 4 x < - Ciągł w x=, chociż wykres ie jest liią ciągłą! RR 0 / 3/ 64

65 Przykłdy: Część cłkowit z liczby, [x] / x RR 65

66 f(x)=/x f(x)=exp(/x) (RR) f(x)=si(π/x) 66

67 Def. otoczeiow (Cuchyego) Tw. lim f( x) x x 0 = g ε > 0 δ > 0 x: x S( x, δ) f( x) K( g, ε ) 0 lub : ε > 0 δ > 0 x x : x x < δ) f( x) f( x ) < ε Tw. f : X Y ciągl przeciwobrz dowolego zbioru otwrtego jest zbiorem otwrtym (defiicj topologicz) Tw. f : X Y ciągl przeciwobrz dowolego zbioru domkiętego jest zbiorem domkiętym 67

68 Przykłd i kotrprzykłdy: 68

69 Dziłi fukcjch ciągłych f : X Y, g: Y Z ciągle g f ciągl X - zwrt, f : X Y ciągl i wzjemie jedozcz ( homeomorfizm) f ciągl lim f( x) =, lim g( x) = b x x x x 0 0 lim( f( x) + g( x)) = + b, lim( f( x) g( x)) = b, x x x x 0 0 lim( cf ( x)) = c, x x 0 f( x) lim( ) =, b 0 x x0 g( x) b f, g ciągle sum itd. ciągle Wielomiy, f. wymiere, trygoometrycze, cyklometrycze, wykłdicz, logrytmicz - ciągłe 69

70 Tw. O trzech fukcjch f( x) g( x) h( x), lim f( x) =, lim h( x) = lim gx ( ) x x 0 Przykłd: x x x x 0 0 = D: Z tw. O trzech ciągch γ (0, ) γ > π siγ P < P tgγ > γ wyciek OAC siγ < γ < tgγ siγ > > cosγ γ lim cos x trójkąt ODC si x = lim = x x 0 x 0 70

71 Przykłdy: x x cos x si si = = x 0 x 0 x 0 x = x x lim lim lim = lim xsi x 0, bo x xsi x x x 0 7

72 Asymptoty symptot pioow x = x : lim f( x) =± lim f( x) =± symptot poziom y = g: lim f( x) = g symptot ukos y = x+ b, 0: lim ( f( x) x b) = 0 f( x) = lim, b= lim f x) x x ± x x ± x x x x x ± ( ( ) x ± 7

73 Asymptot ukoś fukcji f(x)=(x -3x)/(x+) (RR) 73

74 Włsości fukcji ciągłych Tw. Drboux f :[ b, ] R, f( ) f( b), y [ f( ), f( b)] c [, b]: y = f( c) f( ) < 0 < f( b) c [, b]: f( c) = 0 Rysuek 74

75 f : X R m w x wrtosć jmiejszą (miimum globle) jeżeli x X : f( x) f( x ) 0 0 jwiększą (mksimum globle) jeżeli x X : f( x) f( x ) 0 ekstremum = miimum lub mksimum Tw. Weierstrss: A- zwrty, f : A R - cigl f m w A ob ekstrem globle Przykłd i kotrprzykłd - tges 75