Analiza Matematyczna 2 Szeregi liczbowe i funkcyjne

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Analiza Matematyczna 2 Szeregi liczbowe i funkcyjne"

Transkrypt

1 Aliz Mtemtycz 2 Szeregi liczbowe i fukcyje Wydził Mtemtyki wykłdowc T. Dowrowicz 5 kwieti 2017 Wykłdy III i IV SZEREGI LICZBOWE Obrzowo mówiąc, szeregiem, zywmy ciąg, w którym zmist przeików stwimy zki dodwi (plusy). Czyli zmist 1, 2, 3,... rozwżmy coś tkiego: , lbo iczej, =1. Chciłoby się powiedzieć, że szereg, to sum ieskończeie wielu skłdików, lbo sum wszystkich wyrzów ciągu. Jedk ie jest to tkie proste. Służy do tego kilk defiicji pośredich: Defiicj 0.1. Mjąc ciąg ( ) 1 tworzymy ciąg sum częściowych (s ) 1 wzorem s = i. i=1 1. Jeśli ciąg (s ) jest zbieży do gricy włściwej s = lim s, to powiemy, że szereg utworzoy z ciągu ( ) jest zbieży (lub że ciąg ( ) jest sumowly) orz że jego sumą jest liczb s. Zpisujemy to tk: = s. =1 2. Jeśli ciąg (s ) m gricę iewłściwą (p. + ) to powiemy, że szereg utworzoy z ciągu ( ) jest rozbieży do ieskończoości lub że m sumę ieskończoą ( =1 = ). 3. Jeśli zś ciąg (s ) ie m gricy w żdym sesie, to powiemy, że szereg utworzoy z ciągu ( ) jest rozbieży ( =1 ie istieje). Potoczie mówi się, że szereg ( ) jest zbieży (rozbieży) i że s jest sumą szeregu ( ). Jest to jedk ieścisłe, gdyż ( ) jest ciągiem, więc tk prwdę mow jest o szeregu utworzoym z ciągu. Jedk w prktyce tych słów utworzoy z jczęściej się ie wymwi. 1

2 Trzeb uwżć myśleie o sumie szeregu jko o sumie wszystkich wyrzów ciągu. Jesteśmy przyzwyczjei, że sum wyrzów ie zleży od kolejości (przemieość dodwi). Jedk w przypdku szeregów (wyrzów o mieszych zkch) może być iczej (przykłdy bądą późiej). Przydte będzie też pojęcie ogo szeregu. Defiicj 0.2. Rozwżmy szereg =1 (zbieży lub ie). Przez -ty ogo tego szeregu rozumieć będziemy szereg o = k=+1 k, czyli szereg utworzoy przez ciąg strtujący od umeru + 1. Twierdzeie 0.3. Jeśli szereg =1 jest zbieży, to ciąg ogoów (o ) 1 jest zbieży do zer. Dowód. Ozczjąc =1 = s możemy, dl kżdego 1, pisć s = s + o, czyli o = s s. Nkłdjąc gricę obie stroy dostjemy zbieżość ogoów do zer. PRZYKŁADY Szereg geometryczy = 0 q (często umerowy ie od 1 tylko do 0). Wiemy, że o ile q 1, to s wyrż się wzorem 1 s = 0 q i 1 q = 0 1 q. i=0 Ztem sum szeregu geometryczego (utworzo z powyższego ciągu) wyosi s = lim 0 1 q 1 q, co rów się 0 1 q o ile q < 1, + jeśli q > 1, dl q = 1 szereg też jest rozbieży do ieskończoości, tomist dl q 1 szereg też jest rozbieży. Szereg potęgowy (specjly) = x! (x jest tu prmetrem). Te, jk i wiele iych szeregów pojwi się w teorii rozwiięć fukcji w szereg Tylor. Rozwżmy fukcję f(x) = e x. Wiemy, że jej -ty wielomi Mcluri (Tylor w zerze), to W (x) = 1 k=0 x k k!, 2

3 czyli włśie -t sum częściow szego ciągu. Wiemy też, że różic między wrtością fukcji wrtością wielomiu, to -t reszt Lgrge, któr w tym przypdku wyosi x cx R (x) = e!, gdzie c x [0, x] lub c x [x, 0] (gdy x jest ujeme). Iczej, e x = W (x) + R (x), czyli W (x) = e x R (x). x Reszt Lgrge ie przekrcz, co do wrtości bezwzględej, liczby C x!, gdzie C x jest stłą (ie zleży od ) i to jest lbo e x lbo e 0 = 1. Łtwo sprwdzić, że wyrzy x! zbiegją do zer (iezleżie od wrtości x). Ztem otrzymliśmy tką oto zbieżość Iymi słowy udowodiliśmy, że lim s = lim W (x) = e x lim R (x) = e x. =0 iezleżie od wrtości prmetru x. x! = ex, WARUNEK KONIECZNY ZBIEŻNOŚCI Do tego, by szereg utworzoy z ciągu ( ) był zbieży (do sumy skończoej) KONIECZNE (le dlece iewystrczjące) jest, by lim = 0. Dowód. Mmy = s s 1. Jeśli zchodzi sumowlość, to kłdjąc gricę obie strioy dostjemy lim = lim s lim s 1 = 0. PRZYKŁAD Wruek lim = 0 ie wystrcz do zbieżości, wet dl szeregów o wyrzch ieujemych. Klsyczy przykłd, to szereg hrmoiczy = 1. Dowód wyikie z kryterium cłkowego (z chwilę). KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI (pozwlją zbdć sumowlość, le ie pozwlją obliczyć sumy szeregu) Zcziemy od ciągów o wyrzch ieujemych, więc tkich, że 0 dl wszystkich. Zuwżmy, że tki szereg może być lbo zbieży lbo rozbieży do plus ieskończoości. Kryterium porówwcze. Jeśli ciąg (b ) o wyrzch ieujemych jest sumowly orz istieje 0, tkie że dl kżdego 0 zchodzi ierówość 0 b, to ciąg ( ) też jest sumowly. Jeśli (b ) tworzy szereg rozbieży i od pewego miejsc mmy b, to szereg tez jest rozbieży. 3

4 Dowód. Wyik to wprost z twierdzei o ciągu mootoiczym i ogriczoym zstosowego do sum częściowych. Kryteri d Alembert i Cuchy ego. Jeśli ciąg ( ) o wyrzch ieujemych spełi lim sup +1 < 1 (d Alembert), lub lim sup < 1 (Cuchy), to tworzy o szereg zbieży. Jeśli lim if +1 > 1 (lub lim if > 1), to szereg jest rozbieży do ieskończoości. W pozostłych przypdkch kryteri ie rozstrzygją. Dowód. Wyik to łtwo z kryterium porówwczego z szeregiem geometryczym (szczegółowy dowód ćwiczei). Kryterium cłkowe. Ciąg zdy jest poprzez ieujemą fukcję ierosącą zdą (0, ) wzorem = f(). Wtedy szereg =1 jest zbieży (do gricy włściwej) wtedy i tylko wtedy gdy zbież (do gricy włściwej) jest cłk 1 f(x) dx. Dowód. Cłkę od 1 do moż oszcowć z góry przez sumę cłkową s 1 z dołu przez s 1. Dlej skorzystć w przypdku zbieżości z twierdzei o ciągu mootoiczym i ogriczoym, w przypdku rozbieżości z twierdzei o dwóch ciągch. PRZYKŁAD Ciąg postci = 1 α jest sumowly dl α > 1, iesumowly dl 0 < α 1 (mimo że wyrzy zwsze dążą do zer!). Kryterium Rbego. Jeżeli kryterium d Alembert ie rozstrzyg, może pomóc kryterium Rbego: lim lim lim ( ) 1 > 1 szereg jest zbieży, +1 ( ) 1 < 1 szereg jest rozbieży, +1 ( ) 1 = 1 kryterium ie rozstrzyg. +1 Dowód. Udowodimy tylko przypdek pierwszy. Obliczmy jpierw tką gricę, gdzie t jest ( rzie) dowolą liczb rzeczywistą: (1 + 1 lim )t

5 Ozczjąc x = 1 otrzymmy gricę, ktorą moż policzyć z tw. de L Hospitl. (1 + x) t 1 lim = t. x 0 x Czyli jeśli terz T > t, to od pewego miesjc mmy (1 + 1 )t 1 < T, lbo ( ) t < 1 + T. Uzbrojei w tą ierówość, dobierzmy ( terz stłe ) t i T, tk by zchodziły ierówości 1 < t < T < lim Wtedy od pewego miejsc mmy > 1 + T ( +1 > ) t = b, b +1 gdzie b = 1 jest wyrzem szeregu sumowlego. Z osttiej ierówości brdzo łtwo wyik, że od pewego miejsc 0 zchodzi t ierówość < 0 b 0 b. Terz sprwę złtwi kryterium porówwcze. Kryterium kodescyje Cuchy ego. Złóżmy, że ciąg ( ) jest ierosący, p jest liczbą turlą większą od 1. Jeżeli zbieży jest szereg =1 p p, to zbieży jest też szereg =1. Dowód. Sumy częściowe tworzą ciąg iemlejący, więc wystrczy ich ogriczoość, lbo ogriczoość podciągu. Oszcujmy s p. Wyrzy o umerch w przedzile [p k, p k+1 ] są ie większe od pk, jest ich p k+1 p k < p p k. Ztem sum tych wyrzów ie przekrcz p p k p k. Sum s p ie przekrcz ztem -tej sumy szeregu złożoego z wyrzów p k p k (który jest zbieży) pomożoej przez stłą p. PRZYKŁAD Rozwżmy ciąg = 1 (log 2 ) 2. Wyrzy oczywiście mleją. Mmy 2 2 = = 1 2, to tworzy szereg zbieży. Ztem =1 <. SZEREGI Z WYRAZAMI O RÓŻNYCH ZNAKACH PRZYKŁAD Rozwżmy stępujący ciąg: 1, 1, 1 2, 1 2, 1 2, 1 2, 1 4, 1 4, 1 4, 1 4, 1 4, 1 4, 1 4, 1 4,... (pry 1 2, 1 2 są przepise 2 rzy). Ciąg sum częściowych wygląd tk: 1, 0, 1 2, 0, 1 2, 0, 1 4, 0, 1 4, 0, 1 4, 0, 1 4, 0,... 5

6 i oczywiście zbiegją do zer. Zgodie z defiicją szereg utworzoy przez sz ciąg jest zbieży i m sumę zero. A terz poprzestwimy wyrzy stępująco: 1, 1, 1 2, 1 2, 1 2, 1 2, 1 4, 1 4, 1 4, 1 4, 1 4, 1 4, 1 4, 1 4,... Terz ciąg sum częściowych wygląd tk: 1, 0, 1 2, 1, 1 2, 0, 1 4, 1 2, 3 4, 1, 3 4, 1 2, 1 4, 0,... i kżdą z wrtości 0 i 1 osiąg ieskończeie wiele rzy. Czyli ie jest zbieży! Problem te częściowo reguluje stępujące pojęcie: Defiicj 0.4. Szereg =1 jest zbieży bezwzględie jeśli zbieży jest szereg =1. Mmy stępujące fkty: Twierdzeie 0.5. Złóżmy, że szereg =1 jest bezwzględie zbieży. Wtedy: 1. szereg =1 jest zbieży, 2. jeśli m() jest bijekcją z N do N, to szereg z poprzestwiymi wyrzmi =1 m() też jest zbieży, 3. sumy powyższych szeregów są rówe (sum ie zleży od kolejości wyrzów). Dowód. (1) Pokzujemy, że ciąg sum częściowych jest podstwowy. Różic między summi częściowymi jest ogriczo co do modułu z logiczej różicy dl szeregu modułów, ztem wruek Cuchy ego jest spełioy. (2) i (3) Ustlmy i szcujemy różicę między dleką N-tą sumą częściową szeregu i N-tą sumą szeregu poprzestwiego. Jeśli N jest dostteczie duże, to w sumie szeregu poprzestwiego wystąpią już wszystkie wyrzów ciągu iepoprzestwiego, ztem szcow różic będzie sumą pewych wyrzów ciągu o umerch większych od (iektóre z plusem, iektóre z miusem). Będzie to co do modułu ie większe iż -ty ogo szeregu wrości bezwzględych, co zbieg do zer. Ztem ob rozwże szeregi zbiegją do tej smej gricy. Defiicj 0.6. Szereg zbieży, le ie bezwzględie zbieży zyw się wrukowo zbieży. Szereg z osttiego przykłdu jest wrukowo zbieży (bo zbieżość ie jest odpor przestwiie wyrzów). Twierdzeie 0.7 (Twierdzeie Riem). Jeśli szereg utworzoy z ciągu ( ) jest wrukowo zbieży, to dl kżdej liczby rzeczywistej lub ieskoczoej r [, ] istieje permutcj umerów m(), tk że m() = r. =1 6

7 Bez dowodu. KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI (ciąg dlszy dl szeregów o różych zkch) Kryterium Leibitz. Jeśli ciąg ( ) zbieg ierosąco do zer, to szereg utworzoy z ciągu przemieego b = ( 1) jest zbieży. To prwie tk, jkby wruek koieczy (zbieżość wyrzów do zer, z tym że tu jest o mooticz) był w tym wypdku wystrczjąc. Jedk potrzeby jest sily wruek dodtkowy: zki szych wyrzów muszą być przemieie plusmi i miusmi. Dowód. Zów pokzuje się wruek Cuchy ego dl sum częściowych. Różic -tej i m-tej sumy (powiedzmy, że < m) pozwl się sprytie oszcowć przez. A to zbieg do zer. PRZYKŁAD Szereg ( 1) =1 z szeregu Tylor.) jest zbieży. (Gricę obliczymy kiedy idziej, korzystjąc Lemt 0.8. Jeśli ciąg ( ) jest bezwzględie sumowly, (b ) jest ogriczoy, to ciąg ( b ) jest też bezwzględie sumowly. Dowód ćwiczeich. Kryterium Dirichlet. Jeśli ciąg sum częściowych (s ) (szeregu utworzoego z ciągu ( )) jest ogriczoy, ciąg (b ) dąży mootoiczie do zer, to szereg =1 b jest zbieży. Dowód. Jk wiemy, wystrczy pokzywć wruek Cuchy ego dl ciągu sum częściowych k=1 kb k. Różic między -tą m-tą ( < m) tką sumą częściową jest rów m k=+1 k b k = m k=+1 s k (b k b k+1 ) s b +1 + s m b m+1 (tzw. wzór Abel, który się łtwo sprwdz). Poiewż ciąg (s k ) jest ogriczoy, (b k ) zbieży do zer, to zbieży do zer (więc też podstwowy) jest ciąg (s b +1 ), z czego wyik, że osttie dw wyrzy są sobie bliskie (dl dużego ) i moż je skrócić wstwijąc tm ɛ. Pozostje oszcowć środkową sumę. Zuwżmy, że wyrzy c k = b k+1 b k tworzą szereg bezwzględie zbieży (o sumie rówej b 1 ). Ztem szereg utworzoy z ciągu s k c k jest rówież bezwzględie zbieży (ptrz Lemt), co z tym idzie jego sumy częściowe spełiją wruek Cuchy ego. A o to m chodzi. PRZYKŁADY 1. Terz widć, że kryterium Leibitz jest szczególym przypdkiem kryterium Dirichlet. Z ( ) bierzemy przemieie ±1 (te szereg m sumy częściowe 7

8 ogriczoe), z b bierzemy moduły z wyrzów ciągu, do którego chcemy stosowc kryterium Leibitz (terz jest to ciąg mootoiczie mlejący do zer). 2. Kryterium Abel. Jeśli szereg mootoiczie zbieży, to szereg =1 jest zbieży, zś ciąg (b ) 1 jest =1 b jest zbieży. To wyik wprost z kryterium Dirichlet, trzeb tylko zpisć ciąg (b ) jko (b b) + b, gdzie b ozcz gricę ciągu (b ). 3. Zbdć zbieżość szeregu =1 si x, gdzie x jest dowolym prmetrem rzeczywistym. Oczywiście b = 1 jest ciągiem mootoiczie zbieżym do zer. Wystrczy pokzć, że szereg utworzoy z ciągu (si x) m ogriczoe sumy częściowe. Do tego celu zstosujemy liczby zespoloe. Wiemy, że e it = cos t + i si t W szczególości, si x = Im(e ix ). Zy wzór sumę skończoą postępu geometryczego i=1 q = q 1 q 1 q zchodzi rówież dl liczb zespoloych. Tk więc możemy pisć: ( ) ) si kx = Im(e ix ) = Im (e ix ) ix 1 eix = Im (e 1 e ix. k=1 k=1 k=1 Jeśli e ix = 1 (co zchodzi dl x będącego wielokrotością 2π), to wtedy si x = 0 i bdy szereg jest trywily. W kżdym iym przypdku powyższe sumy częściowe są ogriczoe (bo e ix zwsze leży okręgu liczb zespoloych o module 1), co z tym idzie kryetrium Dirichlet rozstrzyg korzyść zbieżości. 8

9 Wykłdy V i VI SZEREGI FUNKCYJNE Szeregi fukcyje w zsdzie już pozliśmy, jko szeregi liczbowe z prmetrem. Formlie defiicj jest stępując: Defiicj 0.9. Dy jest ciąg fukcji rzeczywistych (f ) określoych wspólej dziedziie D R. Szeregiem fukcyjym utworzoym z ciągu f jest wyrżeie S = f lbo S( ) = f ( ). =1 =1 Ciąg sum częściowych tkiego szeregu, to ciąg fukcji S = f k lbo S ( ) = k=1 f k ( ). (Kropk w wisie m z zdie przypomić, że f, S itp. ie są liczbmi tylko fukcjmi. Nie chcemy też pisć f (x), S (x) itp., gdyż to by ozczło wrtość fukcji f w jedym pukcie, więc liczbę.) Powiemy, że szereg jest zbieży w pukcie x D jeśli zbieży jest szereg liczbowy =1 f (x) (iczej, zbieży jest ciąg sum częściowych S (x)). Formlie, S( ) jest fukcją określoą podzbiorze D (byc może pustym), skłdjących się z tkich puktów x, dl których szereg liczbowy =1 f (x) jest zbieży. W tkim pukcie, S(x) przyjmuje wtrość rówą sumie tego szeregu. Powyższy podzbiór dziedziy D zywmy obszrem zbieżości szeregu fukcyjego. Szereg liczbowy może rozwżym podzbiorze E D (w szczególości cłej dziedziie D, lub swoim obszrze zbieżości) być zbieży puktowo, to zczy zbieży w kżdym pukcie x E (jest to rówowże z tym, że E jest zwrty w obszrze zbieżości), zbieży puktowo bezwzględie, to zczy być zbieżym bezwzględie w kżdym pukcie x E, k=1 zbieży jedostjie, to zczy spełić wruek ɛ>0 0 0 x E S(x) S (x) < ɛ, zbieży jedostjie bezwzględie, kiedy szereg =1 f jest zbieży jedostjie. 9

10 Ns jbrdziej iteresowć będzie zbieżość jedostj i jej dotyczyć będą jwżiejsze kryteri. PRZYKŁAD Szereg geometryczy =0 x jest formlie określoy cłej prostej R. Obszrem zbieżości jest przedził ( 1, 1). Szereg jest w tym obszrze zbieży bezwzględie, le ie jedostjie. Fktyczie, ustlmy ɛ = 1 i przypuśćmy, że zleźliśmy 0 jk w defiicji jedostjej zbieżości. Wtedy S(x) S 0 (x) = = x 0 1 x. k= 0 x k Rozwiązując ierówość x 0 1 x < ɛ otrzymujemy łtwo, że x musi być miejsze od η = 0 ɛ, to jest liczb ostro miejsz od 1. Ztem wruek ie jest spełioy dl x ( 1, η) (η, 1). Jedk sz szereg geometryczy spełi w swoim obszrze zbieżości iy wży wruek, tzw. zbieżości ieml jedostjej: Defiicj Szereg fukcyjy jest rozwżym zbiorze E zbieży ieml jedostjie, jeśli dl dowolego włściwego przedziłu domkiętego I = [, b], I E jest o zbieży jedostjie I. Powyższy wruek m ses tylko przy rozwżiu zbiorów E, które ie są przedziłmi włściwymi domkiętymi (dl przedziłów włściwych domkiętych ieml jedostj zbieżość jest po prostu zbieżością jedostją). Sprwdzeie, że szereg geometryczy jest ieml jedostjie zbieży (0, 1) ćwiczei. KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI JEDNOSTAJNEJ Njpierw dl szeregów o wyrzch ieujemych (de fcto, poprzez łożeie wrtości bezwzględej, testują oe bezwzględą zbieżość jedostją dl szeregów o wyrzch zkowych). Kryterium porówwcze Weierstrss. Jeśli szereg liczbowy utworzoy z ciągu ( ) o wyrzch ieujemych jest zbieży, orz dl kżdego x E zchodzi ierówość f (x) <, to szereg fukcyjy =1 f ( ) jest bezwzględie jedostjie zbieży E. Dowód ćwiczei. Terz przejdziemy do zbieżości jedostjej, ie koieczie bezwzględej: Kryterium Dirichlet. Jeśli ciąg sum częściowych S ( ) utworzoy z ciągu fukcyjego (f ) jest wspólie ogriczoy, to zczy jeśli istieje stł M tk, 10

11 że dl kżdego i kżdego x E mmy S (x) < M, orz jeśli ciąg fukcyjy (g ) zbieg do zer mootoiczie i jedostjie E, to szereg jest zbieży jedostjie E. f ( )g ( ) =1 Dowód. Trzeb powtórzyć dowód kryterium Dirichlet dl szergów liczbowych, zwrcjąc uwgę jedostjość oszcowń. SZEREGI POTĘGOWE Szeregiem potęgowym zywmy szereg fukcyjy postci S(x) = gdzie ( ) jest ciągiem liczbowym. (x ), =0 Przykłd już mieliśmy: =0 x!. Jest to szereg zbieży bezwzględie ieml jedostjie R do fukcji e x. N ćwiczeich pokżemy ieml jedostją zbieżość i brk zbieżości jedostjej. Iy przykłd to szereg geometryczy. Okzuje się, że szeregi potęgowe zwsze są zbieże ieml jedostjie w symetryczym przedzile postci ( r, + r), gdzie r zywmy promieiem zbieżości i pozwl się o wyliczyć z ciągu współczyików ( ). Zcziemy od wzorów promień zbieżości. Defiicj Wrtość (liczbę ieujemą lub ) zdą wzorem 1 r = lim sup zywmy promieiem zbieżości szeregu potęgowego =0 (x ). Twierdzeie Jeśli istieje gric (włściw lub ie) lim +1, to jest o rów promieiowi zbieżości podemu powyżej. Dowód. Nłóżmy logrytm ob wyrżei i zmierzmy różicę: ( ) ( l 1 ) l +1 = 1 l l + l +1, co moż zpisć jko 1 l (l +1 l ). Tk więc jest to odległość pomiędzy jedą tą -tego wyrzu pewego ciągu (kokretie ciągu o wyrzch l ), jego -tym przyrostem. Dowód kończy zy fkt, że jeśli ciąg m przyrosty zbieże, to ciąg jedych tych zbieg do tej smej gricy. To z kolei 11

12 wyik z fktu, że dl ciągu zbieżiego, ciąg średich rytmetyczych zbieg do tej smej gricy (podobe zdie było I semestrze). To dotyczy przypdku gricy włściwej. Przypdek gricy ieskończoej: Ustlmy dowolie dużą liczbę dodtią M. Od pewego miejsc ilorzy +1 są większe od M. Terz zwiększmy współczyiki (oddlmy od zer), tk by te ilorzy stły się rówe M. Tk otrzymy szereg m promień zbieżości rówy M i jego wyrzy są co do modułu większe od orygilych (dl kżdego x). Ztem orygily szereg m promień ie miejszy od M, poiewż M było dowolie duże, promień te jest ieskończoy. Twierdzeie Jeśli 0 < r <, to szereg potęgowy =0 (x ) jest bezwzględie ieml jedostjie zbieży w przedzile ( r, + r). Ntomist w kżdym pukcie zbioru (, r) ( + r, ) jest o rozbieży. N końcch przedziłu (czyli dl x = r i x = + r) zbieżość może, le ie musi zchodzić (może też zchodzić w tylko jedym z końców). Jeśli r = to szereg jest ieml jedostjie zbieży cłym R. Jeśli zś r = 0 (co jest jk jbrdziej możliwe), to szereg jest rozbieży w kżdym pukcie zbioru (, ) (, ), tu jedk ie m wątpliwości co do brkującego puktu: kżdy szereg potęgowy jest oczywiście zbieży (i m sumę 0 ) w pukcie. Dowód. Po pierwsze, stosując podstwieie y = x moż złożyć, że = 0. Złóżmy jpierw, że r > 0 (w tym dopuszczmy r = ). Ustlmy przedził I ( r, r) i iech b ozcz większą z wrtości bezwzględych końców przedziłu I. Rzecz js b < r. Wtedy dl kżdego x I sz szereg, po łożeiu wrtości bezwzględych wszystkie wyrzy, szcuje się z góry przez szereg liczbowy =0 b. Zbieżość jedostj I wyikie z kryterium porówwczego Weierstrss, o ile pokżemy zbieżość powyższego szeregu liczbowego (o wyrzch ieujemych). Do tego zstosujemy kryterium Cuchy ego. Trzeb oszcowć gricę górą lim sup b = b lim sup < r lim sup = lim sup lim sup = 1 (jeśli r =, to b lim sup = 0). Skoro t gric gór jest miejsz od 1, kryterium Cuchy ego rozstrzyg o zbieżości. Terz złóżmy, że r < (w tym dopuszczmy r = 0) i rozwżmy pukt x spoz przedziłu [ r, + r]. Wtedy x > r, co ozcz, że istieją dowolie duże ideksy, dl których 1 < x, czyli x > 1, To zprzecz wrukowi koieczemu zbieżości szeregu =0 x (wyrzy tego szeregu ie zbiegją do zer). Zbieżość i sum dl x = są oczywiste, przykłdy możliwe zchowi końcch przedziłu są pode poiżej. 12

13 PRZYKŁADY Szereg geometryczy =0 x jest obu końcch przedziłu zbieżości (czyli w 1 i 1) rozbieży. To wiemy i jest to oczywiste. Rozwżmy szereg =0 x. Jk łtwo wyliczyć, r = lim = lim = 1. N jedym końcu, dl x = 1 mmy rozbieży szereg hrmoiczy, drugim (dl x = 1) mmy zbieży szereg przemiey. Wreszcie rozwżmy szereg =0 x. Promień zbieżości liczy się ieml idetyczie i wyosi o 1. Terz jedk obu końcch dostjemy szeregi bez- 2 względie zbieże. UWAGI O SZEREGACH ZESPOLONYCH Wszystko, co zostło powiedzie o szeregch liczbowych i fukcyjych stosuje się do szeregów zespoloych i fukcyjych zespoloych. Jedye różice są stępujące: Szeregi o wyrzch ieujemych są z defiicji rzeczywiste, więc tu ie m zmi (to dotyczy kretriów porówwczego, cłkowego, d Alembert, Cuchy ego, Rbego i kodescyjego. Symbol wrtości bezwzględej trzeb iterpretowć jko moduł liczby zespoloej. Zbieżość bezwzględ dotyczy szeregu z łożoymi kżdy wyrz modułmi ( to już jest szereg rzeczywisty o wyrzch ieujemych). Twierdzeie Riem odpd (ie zwsze moż dostć, jko sumę szeregu poprzestwiego, dowolą liczby zespoloą, czy choćby rzeczywistą). Zbiór możliwych sum dego szeregu wrukowo zbieżego jest ogół brdzo trudy do opisi. W kryterium Dirichlet ciąg ( ) dopuszczmy zespoloy, le ciąg (b ) pozostje rzeczywisty. W defiicji szeregu fukcyjego, f są fukcjmi określoymi D C (C to zbiór liczb zespoloych) o wrtościch zespoloych. W defiicji zbieżości jedostjej ozcz moduł. W kryterium Dirichlet dl szeregów fukcyjych jko (f ) dopuszczmy ciąg fukcji zespolych, le (g ) pozostje ciągiem fukcji rzeczywistych. Defiicj zbieżości ieml jedostjej zbiorze E C jest i: kżdym zwrtym podzbiorze (pojęcie z topologii; zwrte są przykłd koł domkięte) zbioru E mmy mieć zbieżość jedstją. W defiicji szeregu potęgowego, zmie x orz współczyiki i są zespoloe. Wzory promie zbieżości pozostją te sme (oczywiście terz występuje w ich moduł). 13

14 W twierdzeiu 0.13, szereg potęgowy jest zbieży ieml jedostjie kole otwrtym o środku w i promieiu r (czyli {x : x < r}), zywym kołem zbieżości. Szereg jest rozbieży poz kołem domkiętym, brzegu (czyli okręgu) może być różie (w iektorych puktch zbieżość, w iych rozbieżość). 14

15 Wykłd VII CAŁKOWANIE I RÓŻNICZKOWANIE SZEREGÓW FUNKCYJNYCH Te rozdził dotyczy w zsdzie ciągów fukcji ciągłych. Wioski temt szeregów fukcyjych otrzymujemy poprzez proste zstosowie do ciągu sum częściowych orz dzięki liiowości cłki i pochodej. Tk więc zjmiemy się przede wszystkim ciągmi fukcyjymi. Cłkowie ciągów i szeregów fukcyjych Twierdzeie Niech (f ) będzie ciągiem fukcji ciągłych określoych wspólej dziedziie D w postci przedziłu (włściwego lub ie), zbieżym jedostjie do fukcji griczej f. Wtedy 1. Fukcj f jest ciągł. 2. Niech G będzie fukcją pierwotą dl f. Wtedy istieją stłe C, tkie że ciąg (F ), gdzie F = G + C zbieg ieml jedostjie do fukcji F będącej pierwotą dl f. Dowód. Ad 1. Ustlmy ɛ > 0 i x D. Niech będzie tkie, że dl wszystkich y D (w tym dl x) mmy f(y) f (y) < ɛ 3. Niech δ > 0 będzie tk mł, że x y < δ implikuje f (x) f (y) < ɛ 3 (dl y D). Wtedy f(x) f(y) f(x) f (x) + f (x) f (y) + f (y) f(y) < ɛ, co kończy dowód ciągłości f w pukcie x. Ad 2. Ustlmy przedził domkięty [, b] D. Wtedy, dl kżdego, fukcj górej gricy cłkowi F (x) = x f (t) dt jest, jk widomo, pierwotą dl f ( [, b]), ztem jest o postci F = G + C. Wiemy też, że pierwot z fukcji ciągłej jest ciągł ( wet różiczkowl). Pokżemy, że ciąg (F ) zbieg jedostjie [, b] poprzez sprwdzeie jedostjego wruku Cuchy ego. Poiewż ciąg (f ) jest zbieży jedostjie, spełi o jedostjy wruek Cuchy ego. Ustlmy ɛ > 0 i iech 0 będzie tk duże, że dl dowlych, m 0 mmy, dl dowolego t [, b], f (t) f m (t) < ɛ b. Wtedy F (x) F m (x) = x f (t) f m (t) dt (b ) ɛ b = ɛ. Pokzliśmy, że ciąg (F ) zbieg jedostjie [, b]. Z poprzediego puktu twierdzei, gric F jest fukcją ciągłą [, b]. Pokżemy terz, że F (x) = x f(t) dt, co będzie ozczć, że F jest pierwotą dl f. W tym celu trzeb iezczie zmodyfikowć poprzedie oszcowie. Ustlmy ɛ > 0 i iech ɛ będzie tk duże, że po pierwsze f f < 2(b ), po drugie F F < ɛ 2 15

16 (ob wruki mją zchodzić w kżdym pukcie przedziłu [, b]). Wtedy F (x) x f(t) dt F (x) F (x) + F (x) x f (t) dt + x f (t) f(t) dt ɛ (b ) ɛ 2(b ) = ɛ. Skoro ɛ jest dowoly, musi zchodzić rówość F (x) = x f(t) dt. Wiosek Jeśli ciąg (f ) zbieg ieml jedostjie przedzile D (włściwym lub ie, o dowolych końcch), to gric f jest ciągł, fukcje pierwote F (z odpowiedio dobrymi stłymi) zbiegją ieml jedostjie do fukcji F pierwotej z f. Dowód. N kżdym przedzile domkiętym włściwym zwrtym z dziedziie stosujemy powyższe twierdzeie. PRZYKŁAD. Bez zbieżości ieml jedostjej twierdzeie zwodzi: gric ie musi być ciągł, gric fukcji pierwotych ie musi być pierwotą dl fukcji griczej. Niech f = x [0, 1]. Te fukcje zbiegją puktowo (le ie jedostjie) do fukcji { 0 dl x [0, 1) f(x) =. 1 dl x = 1 Jk widć, fukcj gricz ie jest ciągł. Fukcje pierwote F mją postć F (x) = x 1. Te zbiegją puktowo do zer, le tylko dl x [0, 1), w x = 1 gric jest iewłściw. Ntomist wzór F (x) = x f(t) dt produkuje 0 fukcję rówą zero cłym [0, 1]. Tk więc rówość ie dl fukcji pierwotych ie zchodzi w x = 1. Wiosek 0.16 (Cłkowie szeregu wyrz po wyrzie). Jeśli szereg fukcyjy =1 f zbieg ieml jedostjie przedzile D (włściwym lub ie, o dowolych końcch), to sum s jest ciągł, fukcje pierwote F (x) = x f(t) dt tworzą szereg ieml jedostjie zbieży do fukcji S(x) = x s(t) dt. Czyli moż pisć x x f (t) dt = f (t) dt. =1 Dowód. Stosujemy poprzedi wiosek do ciągu sum częściowych s ( ) orz korzystmy z liiowości cłki. =1 Różiczkowie ciągów i szeregów fukcyjych Tym rzem do przejści z pochodą pod gricę poterzeb jest (ieml) jedostj zbieżość pochodych. 16

17 Twierdzeie Niech (f ) będzie ciągiem fukcji ciągłych i różiczkowlych określoych wspólej dziedziie D w postci przedziłu (włściwego lub ie), tkim że 1. fukcje f zbiegją puktowo D (do jkiejś fukcji f), 2. fukcje pochode (f ) są ciągłe i zbiegją ieml jedostjie do fukcji griczej (ciągłej) g. Wtedy 1. ciąg (f ) zbieg do f ieml jedostjie ( ztem f jest ciągł), 2. fukcj gricz f jest różiczkowl D i f g. Dowód. To wyik tychmist z wiosku do twierdzei poprzediego i z twierdzei Leibitz-Newto. Dl kżdego fukcj f jest pierwotą dl f. Skoro pochode są ciągłe i zbiegją ieml jedostjie, to pierwote (odpowiedio przesuięte) zbiegją ieml jedostjie do pierwotej z fukcji griczej g. Ale z złożei te pierwote (czyli f ) zbiegją puktowo do f. To ozcz, że do uzyski zbieżości ieml jedostjej ie moż ich przesuąć iczej iż o wspólą stłą. Tk więc możemy ich ie przesuwć wcle, to ozcz, że zbieżość do f jest już ieml jedostj. Wiemy też, że pierwote zbiegją do pierwotej z gricy, czyli wioskujemy, że f jest pierwotą z lim f, którą ozczyliśmy przez g. A to ozcz, że g f. PRZYKŁAD. Bez zbieżości ieml jedostjej pochodych twierdzeie zwodzi: gric pochodych ie musi być pochodą dl fukcji griczej. Moż rysowć przykłd [0, 1], w którym fukcje pochode f zbiegją (iejedostjie) do fukcji Dirichlet, fukcje f zbiegją do zer i to jedostjie. Wiosek 0.18 (Różiczkowie szeregu wyrz po wyrzie). Jeśli szereg fukcyjy =1 f zbieg puktowo przedzile D (włściwym lub ie, o dowolych końcch) orz szereg utworzoy z ciągłych fukcji pochodych =1 f jest zbieży ieml jedostjie, to po pierwsze szereg =1 f zbieg ieml jedostjie, co z tym idzie jego sum s jest fukcją ciągłą, po drugie sum szeregu pochodych =1 f jest rów pochodej fukcji s. Czyli moż pisć ( ) f = f. =1 Wiosek Dy jest szereg potęgowy =0 (x x 0 ). Niech r ozcz jego promień zbieżości i iech r > 0. Wtedy w przedzile zbieżości (x 0 r, x 0 + r) moż te szereg zrówo cłkowć, jk i różiczkowć, wyrz po wyrzie. Dowód. Wiemy, że w tym przedzile szereg zbieg ieml jedostjie, ztem cłkowć wyrz po wyrzie wolo. Do różiczkowi potrzeb jeszcze ciągłości =1 17

18 pochodych (co oczywiście jest spełioe) i ich zbieżości ieml jedostjej. Ale pochode rówież tworzą szereg potęgowy =1 (x x 0 ) 1 lbo iczej =0 ( + 1) +1(x x 0 ). Tk więc jest o zbieży ieml jedostjie w swoim przedzile zbieżości. Pokżemy jedk, że to jest te sm przedził (x 0 r, x 0 + r). Wystrczy obliczyć promień zbieżości r szeregu pochodych: r = lim if 1 ( + 1)+1 = lim 1 lim if ( + 1) 1 +1 = 1 r. Ostti rówość (gricy dolej z r) wyik z prostej obserwcji, że t gric dol to promień zbieżości szeregu z przeumerowiem (-ty współczyik zstępujemy ( + 1)-szym). Ale tkie przeumerowie ie zmiei w żdym pukcie fktu zbieżości lub rozbieżości, jedyie wrtość sumy. To kończy dowód. 18

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Całki oznaczone i zastosowania

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Całki oznaczone i zastosowania Zdi z lizy mtemtyczej - sem. II Cłki ozczoe i zstosowi Defiicj. Niech P = x x.. x będzie podziłem odcik [ b] części ( N przy czym x k = x k x k gdzie k δ(p = mx{ x k : k } = x < x

Bardziej szczegółowo

Zadania i rozwiązania prac domowych z Analizy Matematycznej 1.2 z grupy pana Ryszarda Kopieckiego, semestr letni 2011/2012.

Zadania i rozwiązania prac domowych z Analizy Matematycznej 1.2 z grupy pana Ryszarda Kopieckiego, semestr letni 2011/2012. Zdi i rozwiązi prc domowych z Alizy Mtemtyczej. z grupy p Ryszrd Kopieckiego, semestr leti / Ntli Skowsk . seri UWAGA: wykresów oczywiście rysowć ie trzeb. Co więcej, wykres ie jest dowodem żdego stwierdzei.

Bardziej szczegółowo

Ciągi i szeregi liczbowe

Ciągi i szeregi liczbowe Ciągi i szeregi liczbowe Defiicj. Jeżeli kżdej liczbie turlej przyporządkow zostł jkś liczb rzeczywist, to mówimy, że zostł określoy ciąg liczbowy (ieskończoy). Formlie ozcz to, że ciąg liczbowy jest fukcją

Bardziej szczegółowo

2. Ciągi liczbowe. Definicja 2.1 Funkcję a : N R nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość funkcji a(n) oznaczamy symbolem a

2. Ciągi liczbowe. Definicja 2.1 Funkcję a : N R nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość funkcji a(n) oznaczamy symbolem a Ciągi liczbowe Defiicj Fukcję : N R zywmy iem liczbowym Wrtość fukcji () ozczmy symbolem i zywmy -tym lub ogólym wyrzem u Ciąg Przykłdy Defiicj róŝic zpisujemy rówieŝ w postci { } + Ciąg liczbowy { } zywmy

Bardziej szczegółowo

Literatura do ćwiczeń: Program zajęć: dr Krzysztof Żyjewski Informatyka; rok I, I o.inż. 17 listopada 2015

Literatura do ćwiczeń: Program zajęć: dr Krzysztof Żyjewski Informatyka; rok I, I o.inż. 17 listopada 2015 dr Krzysztof Żyjewski Iformtyk; rok I, I o.iż. 17 listopd 015 Kotkt: e-mil: krzysztof.zyjewski@uwm.edu.pl kosultcje: po 18 listopd 7.55-8.55, pok. A0/19 (ie termiy możliwe po uprzedim kotkcie milowym)

Bardziej szczegółowo

EAIiIB- Informatyka - Wykład 1- dr Adam Ćmiel zbiór liczb wymiernych

EAIiIB- Informatyka - Wykład 1- dr Adam Ćmiel zbiór liczb wymiernych EAIiIB- Iortyk - Wykłd - dr Ad Ćiel ciel@.gh.edu.pl dr Ad Ćiel (A3-A4 p.3, tel. 3-7, ciel@gh.edu.pl ; http://hoe.gh.edu.pl/~ciel/) Podręcziki Gewert M, Skoczyls Z. Aliz tetycz i. Deiicje twierdzei i wzory,

Bardziej szczegółowo

log lim =log a e, a x 1 =loga, lim a (1+x) ,oiletagranicaistnieje. ,...,jeżeli a n a,tociągśrednicharytmetycznychb n a(odwrotnienie!

log lim =log a e, a x 1 =loga, lim a (1+x) ,oiletagranicaistnieje. ,...,jeżeli a n a,tociągśrednicharytmetycznychb n a(odwrotnienie! Aliz mtemtycz I- www.mimek.pl, Autor: Krzyś Kulewski, pi@zodic.mimuw.edu.pl 1 Ciągi 1. Kżdy ciąg zbieży jest ogriczoy.. Twierdzeie Bolzo-Weierstrss. Kżdy ciąg ogriczoy zwier podciąg zbieży. 3.Gricgóridol

Bardziej szczegółowo

Główka pracuje - zadania wymagające myślenia... czyli TOP TRENDY nowej matury.

Główka pracuje - zadania wymagające myślenia... czyli TOP TRENDY nowej matury. Główk prcuje - zdi wymgjące myślei czyli TOP TRENDY owej mtury W tej pordzie 0 trudiejszych zdń Wiele z ich to zdi, których temt zczy się od wykż, udowodij, czyli iezbyt lubiych przez mturzystów Zdie Widomo,

Bardziej szczegółowo

CIĄGI LICZBOWE N = zbiór liczb naturalnych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezentowany przez punkty osi liczbowej).

CIĄGI LICZBOWE N = zbiór liczb naturalnych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezentowany przez punkty osi liczbowej). MATEMATYKA I - Lucj Kowlski {,,,... } CIĄGI LICZBOWE N zbiór liczb turlych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezetowy przez pukty osi liczbowej. Nieskończoy ciąg liczbowy to przyporządkowie liczbom

Bardziej szczegółowo

Szeregi liczbowe o wyrazach dodatnich

Szeregi liczbowe o wyrazach dodatnich Szeregi liczbowe o wyrzch dodtich Poprwi lem 6 listopd 20, godz. 23:49 Twierdzeie 3. ( l czość sumowiieskończoego) Jeśli szereg to szereg Dowód. b cze ściowych szeregu jest zbieży ci g (k ) jest ściśle

Bardziej szczegółowo

Wykład 8: Całka oznanczona

Wykład 8: Całka oznanczona Wykłd 8: Cłk ozczo dr Mriusz Grządziel grudi 28 Pole trójkt prboliczego Problem. Chcemy obliczyć pole s figury S ogriczoej prostą y =, prostą = i wykresem fukcji f() = 2. Rozwizie przybliżoe. Dzielimy

Bardziej szczegółowo

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne. Zsd idukcji mtemtyczej. Dowody idukcyje. W rozdzile sformułowliśmy dl liczb turlych zsdę miimum. Bezpośredią kosekwecją tej zsdy jest brdzo wże twierdzeie, które umożliwi i ułtwi wiele dowodów twierdzeń

Bardziej szczegółowo

1.1 Pochodna funkcji w punkcie

1.1 Pochodna funkcji w punkcie Pochod fukcji w pukcie BLOK I RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY Zkłdmy, że fukcj f jest określo w przedzile, ) orz, że, ), jest liczą, dl której + ), ) Liczę zywmy przyrostem rgumetu w pukcie, tomist różicę

Bardziej szczegółowo

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 8. CIĄGI LICZBOWE

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 8. CIĄGI LICZBOWE Ekoeergetk Mtemtk 1. Wkłd 8. CIĄGI LICZBOWE Defiicj (ciąg liczbow) Ciągiem liczbowm zwm fukcję odwzorowującą zbiór liczb turlch w zbiór liczb rzeczwistch. Wrtość tej fukcji dl liczb turlej zwm -tm wrzem

Bardziej szczegółowo

CIĄGI LICZBOWE. Naturalną rzeczą w otaczającym nas świecie jest porządkowanie różnorakich obiektów, czyli ustawianie ich w pewnej kolejności.

CIĄGI LICZBOWE. Naturalną rzeczą w otaczającym nas świecie jest porządkowanie różnorakich obiektów, czyli ustawianie ich w pewnej kolejności. CIĄGI LICZBOWE Nturlą rzeczą w otczjącym s świecie jest porządkowie różorkich obiektów, czyli ustwiie ich w pewej kolejości. Dl przykłdu tworzymy różego rodzju rkigi, p. rkig jlepszych kierowców rjdowych.

Bardziej szczegółowo

Jan Nawrocki. MATEMATYKA cz. 2. Analiza matematyczna I

Jan Nawrocki. MATEMATYKA cz. 2. Analiza matematyczna I J Nwrocki MATEMATYKA cz Aliz mtemtycz I Politechik Wrszwsk Politechik Wrszwsk Wydził Smochodów i Mszy Roboczych Kieruek "Edukcj techiczo iformtycz" -54 Wrszw, ul Nrbutt 84, tel () 849 4 7, () 4 8 48 ipbmvrsimrpwedupl/spi/,

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Ciągi liczbowe, granica ciągu

Rozdział 1. Ciągi liczbowe, granica ciągu Rozdził. Ciągi liczbowe, gric ciągu. Rodzje i włsości ciągów liczbowych W życiu codzieym często moż spotkć się z ciągmi: ciąg smochodów ulicy (pierwszy, drugi, trzeci ), ciąg ludzi w kolejce (zerowy chwilę

Bardziej szczegółowo

SZEREGI LICZBOWE. s n = a 1 + a a n = a k. k=1. aq n = 1 qn+1 1 q. a k = s n + a k, k=n+1. s n = 0. a k lim n

SZEREGI LICZBOWE. s n = a 1 + a a n = a k. k=1. aq n = 1 qn+1 1 q. a k = s n + a k, k=n+1. s n = 0. a k lim n SZEREGI LICZBOWE Z ciągu liczb a, a 2,... utwórzmy owy ciąg Przyjmijmy ozaczeia s = a + a 2 +... a = a k. k= k= a k = a + a 2 +... = s. Gdy graica k= a k jest liczbą, to mówimy, że szereg k= a k jest sumowaly

Bardziej szczegółowo

a 1, a 2, a 3,..., a n,...

a 1, a 2, a 3,..., a n,... III. Ciągi liczbowe. 1. Defiicja ciągu liczbowego. Defiicja 1.1. Ciągiem liczbowym azywamy fukcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb aturalych N w zbiór liczb rzeczywistych R i ozaczamy przez { }. Używamy

Bardziej szczegółowo

Collegium Novum Akademia Maturalna

Collegium Novum Akademia Maturalna Collegium Novum Akdemi Mturl wwwcollegium-ovumpl 0- -89-66 Mtemtyk (GP dt: 00008 sobot Collegium Novum Akdemi Mturl Temt 5: CIĄGI Prowdzący: Grzegorz Płg Termi: 0007 godzi 9:00-:0 8 Zdie Które wyrzy ciągu

Bardziej szczegółowo

Szeregi liczbowe. Szeregi potęgowe i trygonometryczne.

Szeregi liczbowe. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Szeregi iczbowe. Szeregi potęgowe i trygoometrycze. wykład z MATEMATYKI Automatyka i Robotyka sem. I, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Iformatyki Poitechika Białostocka Szeregi iczbowe Defiicja..

Bardziej szczegółowo

Wykład 9: Różne rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych. Prawa wielkich liczb.

Wykład 9: Różne rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych. Prawa wielkich liczb. Rchuek prwopoobieństw MA1181 Wyził T, MS, rok k. 2013/14, sem. zimowy Wykłowc: r hb. A. Jurlewicz Wykł 9: Róże rozje zbieżości ciągów zmieych losowych. rw wielkich liczb. Zbieżość z prwopoobieństwem 1:

Bardziej szczegółowo

Stwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).

Stwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic). Materiały dydaktycze Aaliza Matematycza Wykład Ciągi liczbowe i ich graice. Graice ieskończoe. Waruek Cauchyego. Działaia arytmetycze a ciągach. Podstawowe techiki obliczaia graic ciągów. Istieie graic

Bardziej szczegółowo

Zadania z Matematyka 2 - SIMR 2008/ szeregi zadania z rozwiązaniami. n 1. n n. ( 1) n n. n n + 4

Zadania z Matematyka 2 - SIMR 2008/ szeregi zadania z rozwiązaniami. n 1. n n. ( 1) n n. n n + 4 Zadaia z Matematyka - SIMR 00/009 - szeregi zadaia z rozwiązaiami. Zbadać zbieżość szeregu Rozwiązaie: 0 4 4 + 6 0 : Dla dostateczie dużych 0 wyrazy szeregu są ieujeme 0 a = 4 4 + 6 0 0 Stosujemy kryterium

Bardziej szczegółowo

Wykład 12: Sumowanie niezależnych zmiennych losowych i jego związek ze splotem gęstości i transformatami Laplace a i Fouriera. Prawo wielkich liczb.

Wykład 12: Sumowanie niezależnych zmiennych losowych i jego związek ze splotem gęstości i transformatami Laplace a i Fouriera. Prawo wielkich liczb. Rchuek prwdopodobieństw MA064 Wydził Elektroiki, rok kd. 2008/09, sem. leti Wykłdowc: dr hb. A. Jurlewicz Wykłd 2: Sumowie iezleżych zmieych losowych i jego związek ze splotem gęstości i trsformtmi Lplce

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa MAP1151 Wydział Elektroniki, rok akad. 2011/12, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz

Rachunek prawdopodobieństwa MAP1151 Wydział Elektroniki, rok akad. 2011/12, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Rchuek prwdopodobieństw MA5 Wydził Elektroiki, rok kd. 20/2, sem. leti Wykłdowc: dr hb. A. Jurlewicz Wykłd 7: Zmiee losowe dwuwymirowe. Rozkłdy łącze, brzegowe. Niezleżość zmieych losowych. Momety. Współczyik

Bardziej szczegółowo

Damian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim.

Damian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim. Damia Doroba Ciągi. Graice, z których korzystamy. k. q.. 5. dla k > 0 dla k 0 0 dla k < 0 dla q > 0 dla q, ) dla q Nie istieje dla q ) e a, a > 0. Opis. Pierwsza z graic powia wydawać się oczywista. Jako

Bardziej szczegółowo

Ciąg arytmetyczny i geometryczny

Ciąg arytmetyczny i geometryczny Ciąg rytmetyczy i geometryczy Zd. : Ciąg ( ) jest opisy wzorem = 5 + ( )(k k ), gdzie k jest prmetrem. ) WykŜ, Ŝe ( ) jest ciągiem rytmetyczym. Dl jkich wrtości prmetru k ciąg te jest mlejący? b) Dl k

Bardziej szczegółowo

Obrazowo, zbiór jest ograniczony, gdy wszystkie jego elementy są położone między dwoma punktami osi liczbowej.

Obrazowo, zbiór jest ograniczony, gdy wszystkie jego elementy są położone między dwoma punktami osi liczbowej. ZBIORY I FUNKCJE LICZBOWE ZBIORY LICZB { 3 } { ± ± } N ziór licz turlych Z ziór licz cłkowitych p Q : p Z q N ziór licz wymierych q R ziór licz rzeczywistych ZBIORY OGRANICZONE Def ziór ogriczoy z dołu

Bardziej szczegółowo

8. Jednostajność. sin x sin y = 2 sin x y 2

8. Jednostajność. sin x sin y = 2 sin x y 2 8. Jedostajość Mówimy, że fukcja f : I R spełia waruek Lipschitza ze stałą C > 0, jeśli fx) fy) C x y, x, y I. 8.. Przykład. a) Taką fukcją jest p. si : R [, ]. Rzeczywiście, si x si y = 2 si x y 2 cos

Bardziej szczegółowo

MATHCAD 2000 - Obliczenia iteracyjne, macierze i wektory

MATHCAD 2000 - Obliczenia iteracyjne, macierze i wektory MTHCD - Obliczei itercyje, mcierze i wektory Zmiee zkresowe. Tblicowie fukcji Wzór :, π.. π..8.9...88.99..8....8.98. si().9.88.89.9.9.89.88.9 -.9 -.88 -.89 -.9 - Opis, :,, przeciek, Ctrl+Shift+P, /,, ;średik,

Bardziej szczegółowo

3. Funkcje elementarne

3. Funkcje elementarne 3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących

Bardziej szczegółowo

1. Określ monotoniczność podanych funkcji, miejsce zerowe oraz punkt przecięcia się jej wykresu z osią OY

1. Określ monotoniczność podanych funkcji, miejsce zerowe oraz punkt przecięcia się jej wykresu z osią OY . Określ ootoiczość podch fukcji, iejsce zerowe orz pukt przecięci się jej wkresu z osią OY ) 8 ) 8 c) Określjąc ootoiczość fukcji liiowej = + korzst z stępującej włsości: Jeżeli > to fukcj liiow jest

Bardziej szczegółowo

Materiały dydaktyczne. Matematyka. Semestr II. Wykłady

Materiały dydaktyczne. Matematyka. Semestr II. Wykłady Projekt współfisowy ze środków Uii Europejskiej w rmch Europejskiego Fuduszu Społeczego Mteriły dydktycze Mtemtyk Semestr II Wykłdy Projekt Rozwój i promocj kieruków techiczych w Akdemii Morskiej w Szczeciie

Bardziej szczegółowo

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1 POZIOM ROZSZERZONY

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1 POZIOM ROZSZERZONY Przykłdowy zestw zdń r z mtemtyki Odpowiedzi i schemt puktowi poziom rozszerzoy ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Nr zdi Nr czyości Etpy rozwiązi zdi Liczb puktów Uwgi I metod

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Szeregi liczbowe

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Szeregi liczbowe Zadaia z aalizy matematyczej - sem. I Szeregi liczbowe Defiicja szereg ciąg sum częściowyc. Szeregiem azywamy parę uporządkowaą a ) S ) ) ciągów gdzie: ciąg a ) ciąg S ) jest day jest ciągiem sum częściowych

Bardziej szczegółowo

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki w klasie drugiej. Zakres podstawowy i rozszerzony

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki w klasie drugiej. Zakres podstawowy i rozszerzony Dorot oczek, roli Wej MATeMAtyk 2 Szczegółowe wymgi edukcyje z mtemtyki w klsie drugiej Zkres podstwowy i rozszerzoy Ozczei: wymgi koiecze; wymgi podstwowe; R wymgi rozszerzjące; D wymgi dopełijące; W

Bardziej szczegółowo

Programowanie z więzami (CLP) CLP CLP CLP. ECL i PS e CLP

Programowanie z więzami (CLP) CLP CLP CLP. ECL i PS e CLP Progrmowie z więzmi (CLP) mjąc w PROLOGu: p(x) :- X < 0. p(x) :- X > 0. i pytjąc :- p(x). dostiemy Abort chcelibyśmy..9 CLP rozrzeszeie progrmowi w logice o kocepcję spełii ogriczeń rozwiązie = logik +

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna. Robert Rałowski

Analiza matematyczna. Robert Rałowski Aaliza matematycza Robert Rałowski 6 paździerika 205 2 Spis treści 0. Liczby aturale.................................... 3 0.2 Liczby rzeczywiste.................................... 5 0.2. Nierówości...................................

Bardziej szczegółowo

1 Kryterium stabilności. 2 Stabilność liniowych układów sterowania

1 Kryterium stabilności. 2 Stabilność liniowych układów sterowania Kryterium stbilości Stbilość liiowych ukłdów sterowi Ukłd zmkięty liiowy i stcjory opisy rówiem () jest stbily, jeŝeli dl skończoej wrtości zkłócei przy dowolych wrtościch początkowych jego odpowiedź ustlo

Bardziej szczegółowo

Zauważone błędy bardzo proszę zgłaszać mailem lub na ćwiczeniach. Z góry dziękuję :-)

Zauważone błędy bardzo proszę zgłaszać mailem lub na ćwiczeniach. Z góry dziękuję :-) Odpowiedzi do zadań z szeregów, cz I. Zauważoe błędy bardzo proszę zgłaszać mailem lub a ćwiczeiach. Z góry dziękuję :-. a +, wsk. skorzystać z rówości a b a b, astępie a+b wyciągąć ajwyższe potęgi z liczika

Bardziej szczegółowo

Metoda szeregów potęgowych dla równań różniczkowych zwyczajnych liniowych. Równanie różniczkowe zwyczajne liniowe drugiego rzędu ma postać

Metoda szeregów potęgowych dla równań różniczkowych zwyczajnych liniowych. Równanie różniczkowe zwyczajne liniowe drugiego rzędu ma postać met_szer_potegowyh-.doowyh Metod szeregów potęgowyh dl rówń różizkowyh zwyzjyh liiowyh Rówie różizkowe zwyzje liiowe drugiego rzędu m postć d u d f du d gu h ( Złóżmy, że rozwiązie rówi ( może yć przedstwioe

Bardziej szczegółowo

f(x)dx (1.7) b f(x)dx = F (x) = F (b) F (a) (1.2)

f(x)dx (1.7) b f(x)dx = F (x) = F (b) F (a) (1.2) Cłk oznczon Cłkę oznczoną będziemy zpisywli jko f(x)dx (.) z fnkcji f(x), któr jest ogrniczon w przedzile domkniętym [, b]. Jk obliczyć cłkę oznczoną? Obliczmy njpierw cłkę nieoznczoną z fnkcji f(x), co

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 4. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 4. Jacek M. Jędrzejewski Nottki z Anlizy Mtemtycznej 4 Jcek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 7 Cłk Riemnn 1. Cłk nieoznczon Definicj 7.1. Niech f : (, b) R będzie dowolną funkcją. Jeżeli dl pewnej funkcji F : (, b) R spełnion jest równość

Bardziej szczegółowo

Wykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna

Wykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna 1 Wykłd Grnice, ciągłość, pocodn unkcji i jej interpretcj geometryczn.1 Grnic unkcji. Grnic lewostronn i grnic prwostronn unkcji Deinicj.1 Mówimy, że liczb g jest grnicą lewostronną unkcji w punkcie =,

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 2. (poziom rozszerzony) Rozwiązania zadań

MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 2. (poziom rozszerzony) Rozwiązania zadań MATEMATYKA Przed próbą mturą Sprwdzi (poziom rozszerzoy) Rozwiązi zdń Zdie ( pkt) P Uczeń oblicz potęgi o wykłdikc wymieryc i stosuje prw dziłń potęgc o wykłdikc wymieryc 5 ( ) 7 5 Odpowiedź: C Zdie (

Bardziej szczegółowo

Scenariusz lekcji matematyki w klasie II LO

Scenariusz lekcji matematyki w klasie II LO Autor: Jerzy Wilk Sceriusz lekcji mtemtyki w klsie II LO oprcowy w oprciu o podręczik i zbiór zdń z mtemtyki utorów M. Bryński, N. Dróbk, K. Szymński Ksztłceie w zkresie rozszerzoym Czs trwi: jed godzi

Bardziej szczegółowo

Macierze w MS Excel 2007

Macierze w MS Excel 2007 Mcierze w MS Ecel 7 Progrm MS Ecel umożliwi wykoywie opercji mcierzch. Służą do tego fukcje: do możei mcierzy MIERZ.ILOZYN do odwrci mcierzy MIERZ.ODW do trspoowi mcierzy TRNSPONUJ do oliczi wyzczik mcierzy

Bardziej szczegółowo

I kolokwium z Analizy Matematycznej

I kolokwium z Analizy Matematycznej I kolokwium z Aalizy Matematyczej 4 XI 0 Grupa A. Korzystając z zasady idukcji matematyczej udowodić ierówość dla wszystkich N. Rozwiązaie:... 4 < + Nierówość zachodzi dla, bo 4

Bardziej szczegółowo

W tym wykładzie zapoznamy się z podstawowymi metodami przybliżonego obliczania całek oznaczonych funkcji jednej zmiennej, tj.

W tym wykładzie zapoznamy się z podstawowymi metodami przybliżonego obliczania całek oznaczonych funkcji jednej zmiennej, tj. WYKŁAD 3 CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Motywcj Wiele spotykych w prktyce cłek ie może być obliczo lityczie lub ich ścisłe obliczeie jest brdzo prcochłoe. Z drugiej stroy, brdzo często wystrczy zć jedyie przybliżoą

Bardziej szczegółowo

VI. Rachunek całkowy. 1. Całka nieoznaczona

VI. Rachunek całkowy. 1. Całka nieoznaczona VI. Rchunek cłkowy. Cłk nieoznczon Niech F : I R i f : I R będą funkcjmi określonymi n pewnym przedzile I R. Definicj. Funkcję F nzywmy funkcją pierwotną funkcji f n przedzile I, gdy F (x) = f(x) dl x

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna v.1.6 egzamin mgr inf niestacj 1. x p. , przy założeniu, że istnieją lim

Analiza matematyczna v.1.6 egzamin mgr inf niestacj 1. x p. , przy założeniu, że istnieją lim Anliz mtemtyczn v..6 egzmin mgr inf niestcj Oznczeni: f, g, h : J R funkcje rzeczywiste określone n J R J przedził, b),, b], [, b), [, b], półprost, b),, b],, ), [, ) lub prost R α, β [min{α, β}, m{α,

Bardziej szczegółowo

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13 III etap zawodów (wojewódzki) 12 stycznia 2013 r.

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13 III etap zawodów (wojewódzki) 12 stycznia 2013 r. KONKURS MTEMTYCZNY dl ucziów gimzjów w roku szkolym 0/ III etp zwodów (wojewódzki) styczi 0 r. Propozycj puktowi rozwiązń zdń Uwg Łączie uczeń może zdobyć 0 puktów. Luretmi zostją uczesticy etpu wojewódzkiego,

Bardziej szczegółowo

CAŁKA OZNACZONA JAKO SUMA SZEREGU

CAŁKA OZNACZONA JAKO SUMA SZEREGU CAŁKA OZNACZONA JAKO SUMA SZEREGU Rozwżmy funkcję ciągłą x f(x) o wrtościch nieujemnych określoną n przedzile [, b]. Ustlmy [będzie to problem sttystyczny polegjący n dokłdnym sprecyzowniu informcji o

Bardziej szczegółowo

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Szeregi. a n = a 1 + a 2 + a 3 + (1) a k (2) s n = k=1. lim s n = S,

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Szeregi. a n = a 1 + a 2 + a 3 + (1) a k (2) s n = k=1. lim s n = S, Maciej Grzesiak Istytut Matematyki Politechiki Pozańskiej Szeregi. Szeregi liczbowe Defiicja. Szeregiem liczbowym azywamy wyrażeie a = a + a + a 3 + () Liczby a, =,,... azywamy wyrazami szeregu. Natomiast

Bardziej szczegółowo

x 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem

x 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem 9.1. Izomorfizmy algebr.. Wykład Przykłady: 13) Działaia w grupach często wygodie jest zapisywać w tabelkach Cayleya. Na przykład tabelka działań w grupie Z 5, 5) wygląda astępująco: 5 1 3 1 1 3 1 3 3

Bardziej szczegółowo

Granica cigu punktów. ), jest zbieny do punktu P 0 = ( x0. n n. ) n. Zadania. Przykłady funkcji dwu zmiennych

Granica cigu punktów. ), jest zbieny do punktu P 0 = ( x0. n n. ) n. Zadania. Przykłady funkcji dwu zmiennych Gric cigu puktów Ztem Cig puktów P P ; jest zie do puktu P ; gd P P [ ] Oliczm gric cigu l Poiew l l wic cig l jest zie i jego gric jest pukt π π [ ] Oliczm gric cigu si π π π π Poiew si si wic cig si

Bardziej szczegółowo

MATLAB PODSTAWY. [ ] tworzenie tablic, argumenty wyjściowe funkcji, łączenie tablic

MATLAB PODSTAWY. [ ] tworzenie tablic, argumenty wyjściowe funkcji, łączenie tablic MTLB PODSTWY ZNKI SPECJLNE symbol przypisi [ ] tworzeie tblic, rgumety wyjściowe fukcji, łączeie tblic { } ideksy struktur i tblic komórkowych ( ) wisy do określi kolejości dziłń, do ujmowi ideksów tblic,

Bardziej szczegółowo

O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych

O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych Spis tresci 1 Spis tresci 1 W wielu zgdnienich prktycznych brdzo wżne jest znjdownie optymlnego (czyli njlepszego z jkiegoś punktu widzeni) rozwiązni dnego problemu. Dl przykłdu, gdybyśmy chcieli podróżowć

Bardziej szczegółowo

Szereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3:

Szereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3: Szereg geometryczy Zad : Suma wszystkich wyrazów ieskończoego ciągu geometryczego jest rówa 4, a suma trzech początkowych wyrazów wyosi a) Zbadaj mootoiczość ciągu sum częściowych tego ciągu geometryczego

Bardziej szczegółowo

Niewymierność i przestępność Materiały do warsztatów na WWW6

Niewymierność i przestępność Materiały do warsztatów na WWW6 Niewymierność i przestępność Mteriły do wrszttów n WWW6 Piotr Achinger 23 sierpni 2010 1 Wstęp 1.1 Liczby wymierne i niewymierne Pytnie 1. Czy istnieją liczby niewymierne? Zdnie 1. Wykzć, że 1. 2 / Q,

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna (część II)

Analiza Matematyczna (część II) Anliz Mtemtyczn (część II) Krzysztof Trts Witold Bołt n podstwie wykłdów dr. Piotr Brtłomiejczyk 25 kwietni 24 roku 1 Rchunek cłkowy jednej zmiennej. 1.1 Cłk nieoznczon. Definicj 1.1.1 (funkcj pierwotn)

Bardziej szczegółowo

2. Nieskończone ciągi liczbowe

2. Nieskończone ciągi liczbowe Ciągiem liczbowym azywamy fukcję 2. Nieskończoe ciągi liczbowe a: N R. Wartości tej fukcji ozaczamy przez a) = a i azywamy wyrazami ciągu. Często ciąg ozaczamy przez {a } = lub po prostu przez {a }. Prostymi

Bardziej szczegółowo

I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczby całkowite C : C..., 3, 2, 1,

I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczby całkowite C : C..., 3, 2, 1, I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczy turle N : N 0,,,,,,..., N,,,,,... liczy cłkowite C : C...,,,, 0,,,,... Kżdą liczę wymierą moż przedstwić z pomocą ułmk dziesiętego skończoego

Bardziej szczegółowo

Matematyka stosowana i metody numeryczne

Matematyka stosowana i metody numeryczne Ew Pbisek Adm Wostko Piotr Pluciński Mtemtyk stosown i metody numeryczne Konspekt z wykłdu 0 Cłkownie numeryczne Wzory cłkowni numerycznego pozwlją n obliczenie przybliżonej wrtości cłki: I(f) = f(x) dx

Bardziej szczegółowo

METODY NUMERYCZNE. Wykład 4. Całkowanie numeryczne. dr hab. inż. Katarzyna Zakrzewska, prof. AGH

METODY NUMERYCZNE. Wykład 4. Całkowanie numeryczne. dr hab. inż. Katarzyna Zakrzewska, prof. AGH METODY NUMERYCZNE Wykłd. Cłkowie umeryze dr h. iż. Ktrzy Zkrzewsk, pro. AGH Pl Wzór trpezów Złożoy wzór trpezów Metod ekstrpolji Rihrdso Metod Romerg Metod Simpso wzór prol Metod Guss Cłkowie umeryze -

Bardziej szczegółowo

i interpretowanie reprezentacji wykorzystanie i tworzenie reprezentacji wykorzystanie wykorzystanie i tworzenie reprezentacji

i interpretowanie reprezentacji wykorzystanie i tworzenie reprezentacji wykorzystanie wykorzystanie i tworzenie reprezentacji KLUCZ ODPOWIEDZI I ZASADY PUNKTOWANIA PRÓBNEGO EGZAMINU MATURALNEGO Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Nr zdi Odpowiedzi Pukty Bde umiejętości Obszr stdrdu. B 0 pluje i wykouje obliczei liczbch rzeczywistych,

Bardziej szczegółowo

Zadania. I. Podzielność liczb całkowitych

Zadania. I. Podzielność liczb całkowitych Zdni I. Podzielność liczb cłkowitych. Pewn liczb sześciocyfrow kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestwimy n miejsce pierwsze ze strony lewej to otrzymmy nową liczbę cztery rzy większą od poprzedniej.

Bardziej szczegółowo

Analiza numeryczna. Stanisław Lewanowicz. Aproksymacja funkcji

Analiza numeryczna. Stanisław Lewanowicz. Aproksymacja funkcji http://www.ii.ui.wroc.pl/ sle/teachig/a-apr.pdf Aaliza umerycza Staisław Lewaowicz Grudzień 007 r. Aproksymacja fukcji Pojęcia wstępe Defiicja. Przestrzeń liiową X (ad ciałem liczb rzeczywistych R) azywamy

Bardziej szczegółowo

MATERIAŁY POMOCNICZE DO MATURY Z MATEMATYKI

MATERIAŁY POMOCNICZE DO MATURY Z MATEMATYKI MATERIAŁY POMOCNICZE DO MATURY Z MATEMATYKI . Ziory. Dziłi ziorch. Ziór, elemet zioru pojęci pierwote. Jeśli x leży do ( jest elemetem ) zioru A, to piszemy x A, jeśli y ie leży do zioru A, piszemy y A.

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ)

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Ciągi liczbowe 1.1. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowola fukcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym (ciąg skończoy), albo wszystkim (ciąg ieskończoy) liczbom aturalym.

Bardziej szczegółowo

SKRYPT DO ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU AKADEMII MORSKIEJ W SZCZECINIE

SKRYPT DO ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU AKADEMII MORSKIEJ W SZCZECINIE Publikcj współfisow ze środków Uii Europejskiej w rmch Europejskiego Fuduszu Społeczego SKRYPT DO ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU AKADEMII MORSKIEJ W SZCZECINIE dr iż Ryszrd Krupiński

Bardziej szczegółowo

Twierdzenia o funkcjach ciągłych

Twierdzenia o funkcjach ciągłych Automatya i Robotya Aaliza Wyład 5 dr Adam Ćmiel cmiel@aghedupl Twierdzeia o ucjach ciągłych Tw (Weierstrassa Jeżeli ucja : R [ R jest ciągła a [, to ograiczoa i : ( sup ( i ( i ( [, Dowód Ograiczoość

Bardziej szczegółowo

WZORY Z MATEMATYKI. Równość zbiorów: A = B (dla każdego x : x A x B ) Zawieranie się zbiorów, podzbiory: A B ( dla każdego x: x A x B )

WZORY Z MATEMATYKI. Równość zbiorów: A = B (dla każdego x : x A x B ) Zawieranie się zbiorów, podzbiory: A B ( dla każdego x: x A x B ) . Ziory. Dziłi ziorch. Ziór, elemet zioru pojęci pierwote. Jeśli x leży do ( jest elemetem ) zioru A, to piszemy x A, jeśli y ie leży do zioru A, piszemy y A. Kżdy ziór jest wyzczoy przez swoje elemety.

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) szkicuje wykres funkcji f ( x)

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) szkicuje wykres funkcji f ( x) l. 3iA WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Ozczei: wymgi koiecze (dopuszczjący); P wymgi podstwowe (dostteczy); R wymgi rozszerzjące (dobry); D wymgi dopełijące (brdzo

Bardziej szczegółowo

Prace Koła Matematyków Uniwersytetu Pedagogicznego w Krakowie (2014)

Prace Koła Matematyków Uniwersytetu Pedagogicznego w Krakowie (2014) Prce Koł Mt. Uniw. Ped. w Krk. 1 014), 1-5 edgogicznego w Krkowie PKoło Mtemtyków Uniwersytetu Prce Koł Mtemtyków Uniwersytetu Pedgogicznego w Krkowie 014) Bet Gwron 1 Kwdrtury Newton Cotes Streszczenie.

Bardziej szczegółowo

Całki niewłaściwe. Rozdział Wprowadzenie Całki niewłaściwe I rodzaju

Całki niewłaściwe. Rozdział Wprowadzenie Całki niewłaściwe I rodzaju Rozdził 3 Cłki niewłściwe 3. Wprowdzenie Omwine w poprzednim rozdzile cłki oznczone są cłkmi funkcji ciągłych n przedzile domkniętym, więc funkcji ogrniczonych n przedzile skończonym. Wiele zgdnień prktycznych

Bardziej szczegółowo

Szeregi liczbowe i ich własności. Kryteria zbieżności szeregów. Zbieżność bezwzględna i warunkowa. Mnożenie szeregów.

Szeregi liczbowe i ich własności. Kryteria zbieżności szeregów. Zbieżność bezwzględna i warunkowa. Mnożenie szeregów. Materiały dydaktyze Aaliza Matematyza (Wykład 3) Szeregi lizbowe i ih własośi. Kryteria zbieżośi szeregów. Zbieżość bezwzględa i warukowa. Możeie szeregów. Defiija. Nieh {a } N będzie iągiem lizbowym.

Bardziej szczegółowo

ZADANIA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ dla I roku kierunku informatyka WSZiB

ZADANIA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ dla I roku kierunku informatyka WSZiB pro. dr hb. Stisłw Biłs ZADANIA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I roku kieruku iormtyk WSZiB I. ELEMENTARNE WŁASNOŚCI FUNKCJI. Wyzczyć dziedzię ukcji: 5 7 log[ log 5 6. b c ] d. Wyzczyć przeciwdziedzię ukcji:

Bardziej szczegółowo

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02 Wymgni n ocenę dopuszczjącą z mtemtyki kls II Mtemtyk - Bbiński, Chńko-Now Er nr prog. DKOS 4015-99/02 Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni WIELOMIANY 1. Stopień i współczynniki wielominu 2. Dodwnie

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Wykład 4 (Funkcje) przyporządkowany został dokładnie jeden element

MATEMATYKA Wykład 4 (Funkcje) przyporządkowany został dokładnie jeden element MATEMATYKA Wykłd 4 (Funkcje) Pisząc f : (,b) R rozumiemy Ŝe kŝdemu (, b) przyporządkowny zostł dokłdnie jeden element y R. Wykresem funkcji nzywmy zbiór pr (,f()) n płszczyźnie skłdjącej się ze wszystkich

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań do skryptu z Teorii miary i całki. Katarzyna Lubnauer Hanna Podsędkowska

Zestaw zadań do skryptu z Teorii miary i całki. Katarzyna Lubnauer Hanna Podsędkowska Zestaw zadań do skryptu z Teorii miary i całki Katarzya Lubauer Haa Podsędkowska Ciała σ - ciała. Zbadaj czy rodzia A jest ciałem w przestrzei X=[0] a) A = X 0 b) A = X 0 3 3 c) A = { X { }{}{ 0}{ 0 }

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna Wykªad

Analiza Matematyczna Wykªad Aliz Mtemtycz Wykªd Spis tre±ci 1 Wst p 1 2 Ci gi liczbowe 2 3 Gric ci gu 4 4 Gric fukcji 6 5 Asymptoty fukcji 9 6 Ci gªo± fukcji 10 7 Pochod fukcji 11 8 Ekstrem fukcji 13 9 Cªk ieozczo 16 10 Cªk ozczo

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna I. Pula jawnych zadań na kolokwia.

Analiza matematyczna I. Pula jawnych zadań na kolokwia. Aaliza matematycza I. Pula jawych zadań a kolokwia. Wydział MIiM UW, 25/6 ostatie poprawki: 8 styczia 26 Szaowi Państwo, zgodie z zapowiedzią, a każdym kolokwium w pierwszym semestrze co ajmiej jeda trzecia

Bardziej szczegółowo

Wartość bezwzględna. Proste równania i nierówności.

Wartość bezwzględna. Proste równania i nierówności. Wrtość bezwzględn Proste równni i nierówności Dl liczb rzeczywistych możemy zdefiniowć opercję zwną wrtością bezwzględną lub modułem liczby Definicj 7,, Sens powyższej definicji jest nstępujący Jeżeli

Bardziej szczegółowo

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające Wymgni edukcyjne z mtemtyki ls 2 b lo Zkres podstwowy Oznczeni: wymgni konieczne; wymgni podstwowe; R wymgni rozszerzjące; D wymgni dopełnijące; W wymgni wykrczjące Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci

Bardziej szczegółowo

Wykład 3: Transformata Fouriera

Wykład 3: Transformata Fouriera Rchunek prwdopodobieństw MAP64 Wydził Elektroniki, rok kd. 28/9, sem. letni Wykłdowc: dr hb. A. Jurlewicz Wykłd 3: Trnsformt Fourier Złóżmy, że f(t) jest określon n R, ogrniczon, okresow o okresie 2T i

Bardziej szczegółowo

460 Szeregi Fouriera. Definicja. Definicja. Układ trygonometryczny. Definicja Układ ortogonalny funkcji ( ϕ n

460 Szeregi Fouriera. Definicja. Definicja. Układ trygonometryczny. Definicja Układ ortogonalny funkcji ( ϕ n 6 Szeregi Fourier Defiij Dwie fuje ψ :< > C zywmy fujmi ortogolymi przedzile < > gdy ψ Defiij Ciąg fuji ) :< > C zywmy ułdem ortogolym przedzile < > gdy fuje są prmi ortogole przedzile < > tz gdy j j λ

Bardziej szczegółowo

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych, Klsyczn Metod Njmniejszych Kwdrtów (KMNK) Postć ć modelu jest liniow względem prmetrów (lbo nleży dokonć doprowdzeni postci modelu do liniowości względem prmetrów), Zmienne objśnijące są wielkościmi nielosowymi,

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi. Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia 5.11.2012: zad. 140-173 Kolokwium r 5, 6.11.2012: materiał z zad. 1-173 Ćwiczeia 12.11.2012: zad. 174-190 13.11.2012: zajęcia czwartkowe

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OTWARTE. Są więc takie same. Trzeba jeszcze pokazać, że wynoszą one 2b, gdyż taka jest długość krawędzi dwudziestościanu.

ZADANIA OTWARTE. Są więc takie same. Trzeba jeszcze pokazać, że wynoszą one 2b, gdyż taka jest długość krawędzi dwudziestościanu. ZADANIA OTWARTE ZADANIE 1 DWUDZIESTOŚCIAN FOREMNY Wiemy, że z trzech złotych prostokątów możn skonstruowć dwudziestościn foremny. Wystrczy wykzć, że długości boków trójkąt ABC n rysunku obok są równe.

Bardziej szczegółowo

Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą

Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą 50 REPETYTORIUM 31 Równni i nierówności kwdrtowe z jedną niewidomą Równnie wielominowe to równość dwóch wyrżeń lgebricznych Kżd liczb, któr po podstwieniu w miejscu niewidomej w równniu o jednej niewidomej

Bardziej szczegółowo

Funkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta

Funkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta Fukcje cze Moduł - dział -temat Fukcje cze dowolego kąta Lp 1 kąt w układzie współrzędych fukcje cze dowolego kąta zaki czych wartości czych iektórych kątów Kąt obrotu 2 dodati i ujemy kieruek obrotu wartości

Bardziej szczegółowo

I. Podzielność liczb całkowitych

I. Podzielność liczb całkowitych I Podzielość liczb całkowitych Liczba a = 57 przy dzieleiu przez pewą liczbę dodatią całkowitą b daje iloraz k = 3 i resztę r Zaleźć dzieik b oraz resztę r a = 57 = 3 b + r, 0 r b Stąd 5 r b 8, 3 więc

Bardziej szczegółowo

Funkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta

Funkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta Fukcje cze Moduł - dział -temat Fukcje cze dowolego kąta Lp 1 kąt w układzie współrzędych fukcje cze dowolego kąta zaki czych wartości czych iektórych kątów Kąt obrotu 2 dodati i ujemy kieruek obrotu wartości

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 5. Typy macierzy, działania na macierzach, macierz układu równań. Podstawowe wiadomości o macierzach

WYKŁAD 5. Typy macierzy, działania na macierzach, macierz układu równań. Podstawowe wiadomości o macierzach Mtemtyk I WYKŁD. ypy mcierzy, dziłni n mcierzch, mcierz ukłdu równń. Podstwowe widomości o mcierzch Ogóln postć ukłdu m równń liniowych lgebricznych z n niewidomymi x x n xn b x x n xn b, niewidome: x,

Bardziej szczegółowo

Funkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta

Funkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta Fukcje trygoometrycze Moduł - dział -temat Fukcje trygoometry cze dowolego kąta 1 kąt w układzie współrzędych fukcje trygoometrycze dowolego kąta zaki trygoometryczych wartości trygoometryczych iektórych

Bardziej szczegółowo

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań KONKURS MATEMATYCZNY dl uczniów gimnzjów w roku szkolnym 0/ II etp zwodów (rejonowy) 0 listopd 0 r. Propozycj punktowni rozwiązń zdń Uwg: Z kżde poprwne rozwiąznie inne niż przewidzine w propozycji punktowni

Bardziej szczegółowo

Wykład 0. W analizie matematycznej szeregiem liczbowym przyjęło się nazywać napis

Wykład 0. W analizie matematycznej szeregiem liczbowym przyjęło się nazywać napis Wykład 0. Matematyka, semestr leti 00/0 Program poprzediego semestru kończy się badaiem szeregów liczbowych. W tak zwaych dawych czasach ludziom sprawiało trudość zrozumieie, że suma ieskończoej liczby

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2 zkres podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych

Bardziej szczegółowo