Analiza Matematyczna część 2
|
|
- Amelia Małecka
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 [wersj z 6 XI 008] Aliz Mtemtycz część Kospekt wykłdu dl studetów fizyki/iformtyki Akdemi Świętokrzysk 008/9 Wojciech Broiowski
2 Ciągi i szeregi
3 Przestrzeń metrycz Metryk: Przestrzeń metrycz: pr (X, ρ) Przestrzeń R, - wymir, x = (x,x,...,x ), x k współrzęd Metryk euklidesow: pomir liijką ρ ( xy, ) = ( x y) Ie przykłdy (miejsk, wiejsk (leś), węzł kolejowego, mx, dyskret, z fukcją rosącą) ρ : X X [0, ) - prze puktów liczbę ieujemą xy, X: ( ) ρ( x, y) = 0 x = y ( b) ρ( x, y) = ρ( y, x) ( c) ρ( x, z) ρ( x, y) + ρ( y, z) (wruek trójkąt) E k k k= 3
4 Przykłdy dl R Metryk miejsk: ρ Μ ((x,y ),(x,y )) = x -x + y -y (,b) oczywiste (c) wyik z + b + b x z x y + y z x z x y + y z Metryk dyskret: ρ ( xy, ) (,b) oczywiste (c) - przypdki D 0 dl x = dl x = y y Metryk mximum: ρ mx ((x,y ) ),(x,y )) = mx ( x -x, y -y ) 4
5 Nierówość Schwrz: liczby rzeczywiste liczby zespoloe D: Rozwżeie trójmiu w zmieej t w rozwiięciu lewej stroy ierówości ( t k + bk) 0 k= Dl przypdku zespoloego mmy b k k k bk k= k= k= b k k k bk k= k= k= dje tychmist dowód dl przypdku rzeczywistego. b k k b k k = k bk k bk k= k= k= k= k= Z ierówości Schwrz dl liczb rzeczywistych wyik ierówość ( k + bk) k + bk k= k= k= (D: podiesieie obu stro do kwdrtu i uproszczeie). Stąd wyik wruek trójkąt dl metryki euklidesowej - wystrczy przyjąć k =x k -y k, b k =z k -y k. 5
6 Metryk produktow: (X,ρ ), (y,ρ ) przestrzeie metrycze. Możemy wprowdzić metryki ρ (( x, y ),( x, y )) = ρ ( x, x ) + ρ ( y, y ) E, E, E ρ (( x, y ),( x, y )) = ρ ( x, x ) + ρ ( y, y ) M, M, M ρ (( x, y ),( x, y )) = mx( ρ ( x, x ) + ρ ( y, y )) mx,mx,mx Metryk idukow metryk iepustym podzbiorze A zbioru X Metryk w zbiorze liczb zespoloych C: ρ (z,z ) = z -z Kule (otoczei) domkięte i otwrte: K( x, r) = { x X : ρ( x, x) r} 0 0 K( x, r) = { x X : ρ( x, x) < r} 0 0 6
7 Kule w R z metryką euklidesową i miejską W metryce dyskretej kulmi są zbiory puktowe lub cł przestrzeń 7
8 Kule w metryce idukowej: K A( x, r) = K( x, r) A 0 0 Metryk ρ jest siliejsz iż ρ jeśli x X ε > 0 δ > 0: K ( x, δ) K ( x, ε) (dl dowolego x i dl dowolie młego ε moż dobrć tkie δ, że kul w metryce siliejszej o promieiu δ zwier się kuli w metryce słbszej o promieiu ε) Metryki ρ i ρ są rówowże jeśli ρ jest siliejsz iż ρ i jedocześie ρ jest siliejsz iż ρ Przykłd metryk rówowżych: euklidesow, miejsk, mksimum Wiejsk jest siliejsz od euklidesowej, wiejsk ie jest siliejsz od kolejowej, kolejow ie jest siliejsz od wiejskiej! Metryk dyskret jest jsiliejsz i ie jest rówowż z euklidesową Metryki ρ i ρ są jedostjie rówowże jeśli α, β > 0 x, y X: αρ ( xy, ) ρ ( xy, ) βρ ( xy, ) 8
9 Ciąg Defiicj ciągu: fukcj : A Notcj:,,,... ( ), ( ) 3 ciąg -wyrzowy, ciąg liczbowy Ciąg rytmetyczy: 0, 0 +r, 0 +r, 0 +3r,..., 0 +(k-)r Ciąg geometryczy:, q, q, q 3,..., q k- Ciąg Fibocciego:,,,3,5,8,3,,34,... = dl > (rekurecj) 9
10 Zbieżość ciągu Ciąg (x ) jest zbieży do gricy x jeśli dl kżdego (dowolie młego) ε istieje 0 (w ogólości zleże od ε) tkie, że dl kżdego > 0 zchodzi, że x leży do K(x, ε) ( prwie wszystkie wyrzy ciągu leżą do dowolie młej kuli o środku w x) lim x = x ε >0 > : x K(x, ε ) 0 0 lim x = x ε >0 > : ρ( x, x) < ε 0 0 i otcj: x x Przykłd: x =/ (metryk euklidesow) 0 = ε 0
11 Przykłd ciągu w R z metryką mksimum zbieżego do (0,0) Prwie wszystkie (z wyjątkiem skończoej liczby) wyrzy ciągu zjdują się w dowolie młej kuli o środku w pukcie będącym gricą ciągu Przykłd ciągu rozbieżego: cos(4) Iy ciąg rozbieży: =(-)
12 Ciąg, który ie m gricy zywmy rozbieżym Ciąg, dl którego x =x dl > 0, zywmy ciągiem stłym. Jego gricą jest x. x X r > 0 : x K( x, r) Ciąg jest ogriczoy jeśli (wszystkie wyrzy ciągu leżą do pewej, dowolie dużej, kuli) Przykłdy: /, (-), kotrprzykłdy:, (-) Tw. Ciąg zbieży m dokłdie jedą gricę D (przez sprzeczość): Złóżmy, że ciąg m dwie róże grice x i x. Weźmy ε = ρ( x, x)/3 (wolo m!) Wtedy z ierówości trójkąt orz z fktu, że dl > 0 elemet x musi jedocześie leżeć do otoczei puktu x i x dostjemy sprzeczość: ρ( x, x) ρ( x, x) + ρ( x, x) < ε = ρ( x, x) 3
13 Tw. Ciąg zbieży jest ogriczoy D: Jeśli x jest gricą (x ), to istieje 0 tkie, że dl > 0 zchodzi ρ(x,x)<. Weźmy r = mx(, ρ(x,x), ρ(x,x),..., ρ(x 0,x)). Z kostrukcji : x K( x, r), więc ciąg jest ogriczoy. Przykłd: / Przeciwstwie: ciąg ieogriczoy ie może być zbieży Tw. Ciąg zbieży w metryce siliejszej jest zbieży w metryce słbszej. Jeśli metryki są rówowże, to ciąg jest zbieży w obu metrykch, lbo rozbieży w obu metrykch. D: Korzystmy z fktu, że otoczei metryki siliejszej zwierją się w otoczeich metryki słbszej. Tw. Ciąg (x ) jest zbieży do x wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg liczb ρ(x,x) jest zbieży do 0. D: Wyik bezpośredio z defiicji kuli. 3
14 Podciąg: mjąc dy ciąg (x ) orz rosący ciąg liczb turlych (p ), tz. p < p < p 3 <... defiiujemy ciąg (y ) tki, że y = x p Przykłd: (x ) =(,-,,-,,-,,...), (p )=(,3,5,7,...), (y ) =(,,,,...) Gricę podciągu (y ) zywmy gricą częściową ciągu (x ) Tw. Ciąg jest zbieży do x wtedy i tylko wtedy, gdy kżdy jego podciąg jest zbieży do x. x = / Wszystkie podciągi zbieże do x=0 co drugi wyrz, (p )=(,3,5,7,...) co trzeci wyrz, (p )=(,4,7,0,...) 4
15 Tw. O gricy sumy, różicy, iloczyu, ilorzu Dowód tw. : lim x = x, lim y = y lim( x + y ) = x + y, lim( x y ) = x y lim( x + by ) = x + by 0 0 x lim( xy ) = xy, lim = y ε ε ε > 0 > : < x x < ε ε ε > 0 > : < y y < Dodjąc stromi otrzymujemy ε > 0 = mx(, ) < : ε < ( x+ y) ( x + y ) < ε x y 5
16 > : x y limx lim y Tw. O zchowiu relcji w gricy: 0 0 D (przez sprzeczość): Ozczmy z =y -x, z=lim z, orz z=y-x. Złóżmy wbrew tezie, że z<0 i weźmy ε=-z/. Z def. gricy dl x i y wiemy, że dl dlekich zchodzi x -x < ε i y -y < ε, więc z z ( y x ) ( y x) = ( y y) + ( x x) y y + x x < ε = z z < 0 x > y co przeczy złożeiu. (Uwg: Alogicze tw. ie zchodzi dl ierówości ostrej: / < /, obydw ciągi mją tę smą gricę rówą 0) 6
17 Tw. O trzech ciągch (iczej O dwóch policjtch i resztcie ) k: k x y z, limx = limz = lim y = D: Z defiicji gricy dl > 0 mmy x - <ε orz z - <ε. W szczególości dl > =mx(k, 0 ) zchodzi ε < x, co ozcz z y z < + ε defiicji że (y ) m gricę. Ciąg mootoiczy to ciąg iemlejący lub ierosący, tj. lub + + Tw. Ciąg mootoiczy w R jest zbieży wtedy i tylko wtedy, gdy jest ogriczoy Przykłd: x = -/ jest rosący i ogriczoy, więc jest zbieży, tomist ciąg x = jest rosący i ieogriczoy, więc jest rozbieży Dl ciągu iemlejącego (ierosącego) gricą jest sup{ } (if{ }) 7
18 Ciągi rozbieże do ieskończoości Ciąg jest rozbieży do plus ieskończoości, gdy M > 0 0 > 0: x > M Przykłdy:, do mius ieskończoości, gdy M > > x < M 0 0 0: co piszemy lim x = lub lim x = -, -! lim x = x, lim y = y x = lub x = lim = 0 x x = 0, x 0 lim = lub lim = x x R {0}, x = lim( x ) = sg( ) x, Ry, = lim( y + x x R {0}, y = lim( y x ) = sg( x) ) = sigum -zk dl z > 0 sg( z) = dl z < 0 8
19 Iy zpis powyższych twierdzeń: + c =, c + c = sg( c) 3, + = + 3 c = 0 0 =±, {0} 0 0 le: -, 0,, są ieozczoe ( + ),, 0,, 0 4 9
20 Grice szczególych ciągów ciąg gric wruek. 0 > < 3. > 0 4. b 5. 0 >, b R 6. 0 >!! 7. 0 Gric ilorzu wielomiów: ( k) k P ( ) = k () l l Q ( ) = b l b0 lim P Q ( k ) () l k dl k = l ( ) bl = ( ) 0 dl k < l sg( b k l) dl k> l lim x = x, x > 0 x x lim =, > 0 x x lim y = y, y > 0 Tw. 0, b ogriczoy b 0 0
21 . Weźmy. Wtedy tychmist 0 > ε 0 > log ε. Weźmy. Wtedy tychmist < ε < ε 3. Dl. mmy. Weźmy b =, więc = ( + b ). Z ierów. Beroulliego > + b, ztem 0 b. Z tw. o trzech ciągch b 0, czyli. Dl (0,) mmy >, więc =,czyli tw. dl dowolego >0. 4. Podobie, korzystjąc z b =, = ( + b) i ierów. ( + b) + b, ( ) + mmy b, ztem 0 b. Z tw. o trzech ciągch b 0, czyli.
22 Przykłdy = + 3 3= = 3 = 3, więc z tw. o trzech ciągch b = = + 5 / lim = lim = = / lim lim+ lim + lim 3 lim b = = = lim lim lim si! c =, x 0, y si! - ogriczoy c 0 + = + d ( )( ) ( ) = + = = = = + /
23 Hierrchi rozbieżości do ieskończoości......!, >, > 0 log log(log )... szybciej często spotyke woliej przypdki 3
24 Tw. Stolz (*) Przykłd: ( x ) i ( y ) tkie, że ) y+ > y x x x b) lim y = lim = lim + y y+ y x+ x y+ y c) istieje gric lim p p p =, p p+ p p p p+ x = , y = p x+ x = ( + ) p + y+ y = + = = p+ + + x x = = y y p+ p+ p+ p+ p+ p p+ p ( )... ( )... lim + lim + 4
25 Liczb e = +, b = + lim + = e = Joh Npier (550-67) Leohrd Euler ( ) = = + = ( ) jest rosący, bo ( + ) = +. = + ( + ) ( + ) Z ier. + + Beroulliego >, ztem > + = ( + ) + + 5
26 Ciąg ( b ) jest mlejący, bo + b = = + b + + ( ) > + ( ) = + > ( + ) + + Poiewż <b i b =4, ciąg ( ) jest rosący i griczoy. Z tw. o ciągu mootoiczym ( ) jest zbieży, lim =e, < e < 4. Rówież lim b =e, poiewż b = (+/). Koleje, corz lepsze ogriczei od dołu i od góry liczbę e: b
27 Iterpretcj bkow procet skłdy x x x lim + = e, lim + = e x 7
28 Ciągi ogriczoe Tw. Bolzo-Weierstrss: Ciąg ogriczoy o wyrzch w R posid podciąg zbieży zoom więcej puktów Przykłd: =cos(4) 8
29 D (*): (kostrukcj poprzez koleje podziły przedziłu [,b]) ( x ) ogriczoy x [, b] Jede z przedziłów [,( + b) / ],[( + b) /, b] zwier ieskończeie wiele elemetów, itd. Kostruujemy idukcyjie przedzily P = [, b ]: k. b = ( b ) k k k b k k k k k. k k+ < bk+ bk 3. P zwier ieskończeie wiele elemetów (x ) Wówczs moż zdefiiowć rosący ciąg orz y = x : y b. Poiewż ( ) jest rosący i ogriczoy, ( ) jest zbiezy do gricy g. Nstepie lim k k = lim ( + ( b )) = g. k Z Tw. o trzech ciągch rówież lim k k y k k k k k k k = g k Tw. Ciąg ogriczoy o wyrzch w R m podciąg zbieży Tw. Zbiór gric częściowych ciągu ogriczoego zwier elemet jwiększy i jmiejszy (grice dol i gór) 9
30 gric gór: lim sup x gric dol: lim if x Dl ciągu zbieżego grice dol i gór są rówe gricy ciągu Tw. ( x ),( y ) ogriczoe ciągi w. Ozczmy x = if{ x, x, x,...}, x = sup{ x, x, x,...}. Wtedy ) limif x = lim x, limsup x = lim x b) gdy x y to limif x limif y, limsup x limsup y Przykłd: x = + ( ) lim sup x = lim xk = lim + = k k k lim if x = lim xk+ = lim = k k k + 30
31 Jeszcze o liczbie e x, y 0, y 0 x ), b), c) ( ) y + e e + y e x x D: ) p = [ x ] - jwieksz liczb ie większ od x. Wtedy p + x p Z defiicji e i tw. o gricch częsciowych ciągu zbieżego x p x p + dw skrje ciągi dążą do e, więc z tw. o trzech ciągch wyik ). x x x x D: b) = = + + e x x x x D: c) bierzemy y = x 3
32 y 0, y 0, Wtedy ( ) ( ) + y y y = + y e p. + = + e + + 3
33 Szeregi Prdoks Zeo z Elei (ok. 500 p..e.) Achilles igdy ie dogoi żółwi Achilles porusz się z prędkością v, żółw z prędkością v = qv < v. Początkow odległość wyosi. Jeśli Achilles przebiegie drogę długości, to żółw przejdzie w tym czsie drogę q. Po pokoiu przez Achilles drogi q żółw poko drogę q, któr zowu pozostje do pokoi Achillesowi, w kolejym kroku q 3, itd. A ztem Achilles igdy ie dogoi żółwi! Achilles q q S = + q + q + + q = q... (D. przez idukcję) q S= lim S =, poiewż q < (sum szeregu geometryczego) q S t = = = v ( q) v v v Żółw - czs, po jkim A. dogoi ż. 33
34 Iterpretcj geometrycz szeregu geometryczego Nieidukcyje wyprowdzeie wzoru sumę szeregu geometryczego: 3 ( )... (...) ( ) Sq = + q+ q + q+ = + q + q+ q + = + qsq (co m ses, gdy szereg jest zbieży, tu: q < ) Wtedy Sq ( ) = q 34
35 Defiicj szeregu: ( ),, = S S k = k S = + = S + S = + + = S S = = S + S = lim S = = = = czsem wygodiej zcząć od = m : ( + ) =, bo wyjściowy ciąg liczbowy sumy częściowe szeregu ciąg sum częściowych = szereg gric ciągu sum częściowych - sum szeregu (też: szereg) jeśli istieje szereg zbieży = m N N+ m Dygresj - przeumerowie sumy: =, l = k + m k k= l= m+ = = = 3 ( + ) l m 35
36 Tw: Wrukiem koieczym zbieżości szeregu jest zbieżość wyrzów do zer: zbieży lim = 0 ( ) D: lim = lim S S = S S = 0 Nie jest to wruek dostteczy (geometryczy zbieży dl q <, rozbieży dl q ) Szereg hrmoiczy: = = S 3 S = podciąg ciągu sum częściowych S = S+ S4 = S + + > S + = S+ + = S8 = S > S4 + 4 = S6 = S > S = S > S + =
37 Tw. Sum i różic szeregów, możeie przez liczbę: ( + b ) = + b, ( b ) = b, c = c Tw. Dw szeregi róże skończoą liczbą wyrzów są lbo jedocześie zbieże, lbo jedocześie rozbieże. Tw. Kryterium porówwcze: > : z - zbieży z - zbieży 0 0 ( ) ( z - rozbieży - rozbieży) Tw. (*) Kryterium ilorzowe: ( ) i (b ) ciągi liczb rzeczywistych, b >0, lim b orz =c. Wówczs ) b - zbieży - zbieży b) c 0, b - rozbieży - rozbieży Szereg zywmy bezwzględie zbieżym, jeśli jest zbieży W przeciwym rzie mówimy o zbieżości wrukowej. Tw. Szereg bezwzględie zbieży jest zbieży. z z 37
38 Przykłdy π = =,, mmy = = ( + ) m= ( m ) m ( ) = 6, - rozbieży dl (uogólioy hrmoiczy) = = = ζ () (dzet Riem) - zbieży dl >, bo 4 S = = ( ) = = = M S - ogriczoy S - ogriczoy S - rosący S - zbieży P(),Q() - wielomiy stopi k i m P ( ) zbieży wtedy i tylko wtedy, gdy m>k+ Q ( ) 38
39 Kryterium d Almbert + ) jest zbieży, jeżeli lim sup < + b) jest rozbieży, jeżeli 0 > 0: c) jest zbieży lub rozbieży, jeżeli lim if lim sup + +! + ( + )! zbieży,bo = = + = < = ( + )! + ( + ) e b b b 3 lim if = lim = 0, lim sup = lim = - brk rozstrzygięci + ( + 3 ) b b + podobie = dl, 39
40 Kryterium pierwistkowe Cuchy ego λ = λ < = < Niech limsup ) - zbieży b) λ > - rozbieży c) λ = - zbieży lub rozbieży Szereg przemiey (zkozmiey): (-) = , > Kryterium Leibiz: jeżeli ( ) jest ierosący i 0, to (-) jest zbieży. = lim - zbieży Kryterium Cuchy ego jest siliejsze od kryterium d Almbert, le trudiej je stosowć. Ob kryteri ie są zbyt subtele w przypdku rozbieżości, gdyż rozbieżość wyik z fktu, że lim 0. Kryterium Leibiz Szereg hrmoiczy: ( )... l + = = = 40
41 (*) Ie kryteri zbieżości szeregów Kryterium zgęszczjące: ( ) > 0 0 > zb. zb. + zb. dl >, bo = zb. dl > log = ( log ) = ( ) = ( log ) Kryterium Abel: zb. ( b ) ogriczoy i mootoiczy b zb. + = ( ), b = +, b =.3... = Kryterium Dirichlet: m = m S = ogriczoy ( b ) ogriczoy i mootoiczy b 0 = si kx m zbieży cos(( k ) x) cos(( k + ) x) = si x cos( x si b = x x x) cos(( m+ ) x) si x < si si 4
42 4 0 Kryterium Rbego: 0 ) 0 : zb. b) rozb. r r + + > > > <
43 Szereg potęgowy,, β cβ cz jest bezwzględie zbiezy dl z β. { : zbieży}, sup{ : } cz r Tw. Abel: : - zbieży < A= z c z r = z z A cz c z Tw. Jeżeli m promień zb., to jest bezwzględie zbieży w kole z < r i rozbieży dl z > r. N kole z = r tw. ie rozstrzyg. Tw. Cuchy'ego-Hdmrd: Jeżeli λ = limsup c, to dl λ (0, ) λ r = 0 dl λ = dl λ = 0 z! z - r = - r = promień zbieżości szeregu potęgowego 43
44 Rozwiięcie liczby e w szereg t = +, s = k= 0 k! t e, ( s ) mootoiczy i ogriczoy, więc zbieży t = k k 0 k = =! 3!! t s e lim s (*) m Dl m mmy t ! 3! m! e= lim t = sm! 3! m! e lim s (**) m (*)(**) lim s = e, czyli e= Podto m e x = k= 0 k x k! k= 0 k! 44
45 Zmi kolejości sumowi Tw. W szeregu bezwzględie zbieżym dowol zmi kolejości sumowi ie zmiei gricy, p = Tw. Riem: Dl szeregu wrukowo (czyli ie bezwzględie) zbieżego odpowiedio zmieijąc kolejość sumowi moż otrzymć dowolą skończoą gricę lub szereg rozbieży = log = log 45
46 Iloczy Cuchy ego szeregów k l z k bz l = cz, c = b m m k= 0 l= 0 = 0 m= 0 Dl z = dostjemy z defiicji iloczy Cuchy'ego szeregów. Tw. b zbieże c zbieży lim = lim b = b lim c = c x y ee k l m m x y x y = k= 0 k! l 0 l! = = = = 0 m= 0m!( m)! m m x y ( x+ y) x+ y = e = 0 m= 0 m = =! = 0! Wruek bezwzględej zbieżości przyjmiej jedego szeregu jest tu istoty. Iloczy dwóch szeregów zbieżych wrukowo może być rozbieży. 46
47 Iloczyy ieskończoe (*) ( ) ciąg liczbowy, p =... lim = 3 p = = ( ) ( ) ( ) lim( )( )( 3)...( ) lim ( ) = + + = = ( ) Tw. bezwzględie zbieży + - zbieży Tw. >, > 0 < 0 zbieży ( + ) - zbieży 47
48 Ciągi i szeregi fukcyje f : X, f : X Zb. jedostj ( ie zleży od x): 0 0 f( x) = lim f ( x) ε > 0 > x X : f ( x) f( x) < ε 0 0 Zb. puktow ( może zleżeć od x): f( x) = lim f ( x) x X ε > 0 > : f ( x) f( x) < ε jest zbiezy jedostjie (puktowo) S ( x) = f ( x), S( x) = lim S ( x) k k = 0 0 Szereg fukcyjy jest zbieży jedostjie (puktowo) jeżeli ciąg S x ( =,,...,0,0,30,40,50,00) Zbieżość iejedostj 48
49 Kryterium Weierstrss Tw. Kryterium Weierstrss: ( ), > : f ( x) zbieży 0 0 f ( x) jedostjie zbieży si( x) si( x) f( x) =, f ( x) jedostjie zbieży = Tw. Szereg potęgowy z o promieiu zbieżoci r jest jedostjie = zbieży dl z r, gdzie 0 < r < r. 49
50 S S = S = k= k= si kx k si kx k S S 3 S S 6 S Zbieżość jedostj 50
51 Ciągłość 5
52 Zbiory otwrte Rozwżmy przestrzeń metryczą (X,ρ) Otoczeie puktu x: dowol kul otwrt K(x,r) Sąsiedztwo: K(x,r)-{x} Pukt skupiei x zbioru A: kżde sąsiedztwo puktu x zwier jkiś pukt y zbioru A (x jest róże od y). Uwg: x ie musi leżeć do A Pukt izolowy (zewętrzy) x zbioru A: x leży do A le ie jest puktem skupiei (istieje sąsiedztwo x które ie zwier żdych puktów skupiei) Pukt wewętrzy x zbioru A: istieje otoczeie x zwrte w A Pukt brzegowy zbioru A: pukt leżący do X, który ie jest i puktem wewętrzym, i zewętrzym zbioru A. Uwg: ie musi leżeć do A Zbiór otwrty: kżdy jego pukt jest puktem wewętrzym Zbiór domkięty: zwier wszystkie swoje pukty skupiei Zbiór doskoły: domkięty i kżdy jego pukt jest puktem skupiei Dopełieie zbioru A: X-A Zbiór ogriczoy A: istieje liczb M i y leżące do X tkie, że dl kżdego x leżącego do A zchodzi ρ(x,y)<m 5
53 Przykłdy koło wrz z okręgiem wętrze koł ) b) c) pewie skończoy zbiór puktów d) e) f) cł przestrzeń g) h) (X=R) (X=R ) 53
54 zewętrzy (izolowy) wewętrzy Przykłdy brzegowy brzegowy brzegowy otwrty domkięty doskoły ) tk ie ie b) ie tk tk c) ie ie ie d) ie tk ie e) ie tk ie f) tk tk tk g) tk ie ie h) ie ie ie (X=R) ) b) c) d) e) f) g) h) (X=R ) 54
55 Tw. A jest otwrty wtedy i tylko wtedy, gdy jego dopełieie X-A jest domkięte ) q p Weźmy dowoly x A x X A, bo A ( X A) = x ie jest pkt. skupiei X A (bo X A jest domkięty, więc zwier wszystkie swoje pkt. skupiei) K( x, r): K ( X A) = K A A jest otwrty. ) p ~ q X A ie jest domkięty ie zwier wszystkich swoich pkt. skupiei pkt. skupiei x zbioru X - A ie leżący do X - A, czyli x A. Ztem kżde otoczeie K( x, r) zwier 0 0 pkt. zbioru X A, czyli K ( X A) (*). Z drugiej stroy, A jest otwrty, wieęc K( x, r) : K A, czyli K ( X A) =, co przeczy (*). A więc p q
56 Tw. Otoczeie jest zbiorem otwrtym x K( x, r) δ : K( y, δ ) K( x, r) 0 0 D: Ozczmy ρ( x, x) jko r- s. Wtedy ρ( xx, ) ρ( xy, ) + ρ( yx, ) < δ + r s. Biorąc p. δ = s / mmy K( y, δ) K( x, r). 0 Tw. Zbiór otwrty (domkięty) w metryce słbszej jest otwrty (domkięty) w metryce siliejszej. W metrykch rówowżych rodziy zbiorów otwrtych są tkie sme. Tw. Sum dowolej (wet ieskończoej) liczby zbiorów otwrtych jest zbiorem otwrtym, iloczy dowolej liczby zbiorów domkiętych jest zbiorem domkiętym, sum skończoej liczby zbiorów domkiętych jest zbiorem domkiętym, iloczy skończoej liczby zbiorów otwrtych jest zbiorem otwrtym. Ale: [, ] = (0,) = 56
57 Dl X=R otoczeimi są przedziły otwrte (x-r,x+r) Sąsiedztw lewo- i prwostroe puktu x: (x-r,x), (x,x+r) ( b, ),(, ),(, ),(, ) otwrte { },[, b],(, ],[, ),(, ) domkiete Wętrze zbioru A jwięjszy zbiór otwrty zwrty w A Domkięcie zbioru A jmiejszy zbiór domkięty zwierjący A Tw. Zbiór jest domkięty wtedy i tylko wtedy, gdy dl kżdego ciągu zbieżego puktów ze zbioru A jego gric leży do A 57
58 Zbiór A jest zwrty jeśli dowoly ciąg puktów zbioru A zwier podciąg zbieży do puktu leżącego do zbioru A Tw. Zbiór domkięty i ogriczoy w R jest zwrty Zbiór B={,/,/3,/4,...} ie jest zwrty, bo ciąg (/) jest zbiezy to 0, 0 ie leży do B. Zbiór C={0,,/,/3,/4,...} jest zwrty (uzwrceie) Tw. Zbiór domkięty i ogriczoy w R jest zwrty Tw. Zbiór zwrty jest domkięty 58
59 Ciągi Cuchy ego, przestrzeń zupeł Ciąg Cuchy'ego: ε >0 m, > : ρ( x, x ) < ε 0 0 (corz dlsze wyrzy są corz bliższe siebie) m W pewym sesie mówimy o zbieżości bez specyfikowi gricy Tw. Ciąg zbieży jest ciągiem Cuchy ego. Ciąg Cuchy ego jest ogriczoy Przestrzeń zywmy zupełą jeśli kżdy ciąg Cuchy ego jest zbieży (do gricy leżącej do tej przestrzei) Tw. Przestrzeń zwrt jest zupeł Tw. R jest zupeł 59
60 Def. ciągow (Heiego): Gric fukcji XY, - przestrzeie metrycze, x - pkt. skupiei zbioru A X. Rozwżmy dowoly ( x ) : x A,lim x = x. Mówimy, że f : A Y m gricę g w x, lim f( x) = g, jeżeli lim f( x ) = g. Jeżeli g = f( x ), to f jest ciągl w x 0 0 x x Jeżeli f jest ciągl w kżdym pukcie dziedziy, to jest ciągl 60
61 Grice jedostroe i iewłściwe Gric lewosto (prwostro): gric fukcji obciętej do zbioru A (-, x ) (A ( x, )), lim f( x), lim f( x) 0 0 Ciągłość lewo- i prwostro x x x x Grice w ± lim x =, lim f( x ) = g lim f( x) = g x logiczie lim f( x) x = g Grice ieskończoe lim x = x, lim f( x ) = ± lim f( x) = ± 0 x x 0 6
62 f( x) = + dl 4 x < - Ciągł w x=, chociż wykres ie jest liią ciągłą! RR 0 / 3/ 6
63 Przykłdy: Część cłkowit z liczby, [x] / x RR 63
64 f(x)=/x f(x)=exp(/x) (RR) f(x)=si(π/x) 64
65 Def. otoczeiow (Cuchyego) Tw. lim f( x) x x 0 = g ε > 0 δ > 0 x: x S( x, δ) f( x) K( g, ε) 0 lub : ε > 0 δ > 0 x x : x x < δ) f( x) f( x ) < ε Tw. f : X Y ciągl przeciwobrz dowolego zbioru otwrtego jest zbiorem otwrtym (defiicj topologicz) Tw. f : X Y ciągl przeciwobrz dowolego zbioru domkiętego jest zbiorem domkiętym 65
66 Przykłd i kotrprzykłdy: 66
67 Dziłi fukcjch ciągłych f : X Y, g: Y Z ciągle g f ciągl X - zwrt, f : X Y ciągl i wzjemie jedozcz (homeomorfizm) f ciągl lim f( x) =, lim g( x) = b x x x x 0 0 lim( f( x) + g( x)) = + b, lim( f( x) g( x)) = b, x x x x 0 0 lim( cf ( x)) = c, x x 0 f( x) lim( ) =, b 0 x x0 g( x) b f, g ciągle sum itd. ciągle Wielomiy, f. wymiere, trygoometrycze, cyklometrycze, wykłdicz, logrytmicz - ciągłe 67
68 Tw. O trzech fukcjch f( x) g( x) h( x), lim f( x) =, lim h( x) = lim gx ( ) x x 0 Przykłd: x x x x 0 0 = D: Z tw. O trzech ciągch γ (0, ) γ > π siγ P < P tgγ > γ wyciek OAC trójkąt ODC siγ < γ < tgγ siγ > > cosγ γ si x lim cos x = lim = x 0 x 0 x 68
69 Przykłdy: x x cos x si si = = x 0 x 0 x 0 x = x x lim lim lim = lim xsi x 0, bo x xsi x x x 0 69
70 Asymptoty symptot pioow x = x : lim f( x) =± lim f( x) =± symptot poziom y = g: lim f( x) = g symptot ukos y = x+ b, 0: lim ( f( x) x b) = 0 f( x) = lim, b= lim f( x) x x ± x x ± x x x x x ± ( ) x ± 70
71 Asymptot ukoś fukcji f(x)=(x -3x)/(x+) (RR) 7
72 Włsości fukcji ciągłych Tw. Drboux f :[ b, ] R, f( ) f( b), y [ f( ), f( b)] c [, b]: y = f( c) f( ) < 0 < f( b) c [, b]: f( c) = 0 Rysuek 7
73 f : X R m w x wrtosć jmiejszą (miimum globle) jeżeli x X : f( x) f( x ) 0 0 jwiększą (mksimum globle) jeżeli x X : f( x) f( x ) 0 ekstremum = miimum lub mksimum Tw. Weierstrss: A- zwrty, f : A R - cigl f m w A ob ekstrem globle Przykłd i kotrprzykłd - tges 73
Analiza Matematyczna część 2
[wersj z 5 XII 006] Aliz Mtemtycz część Kospekt wykłdu dl studetów fizyki/iformtyki Akdemi Świętokrzysk 006/007 Wojciech Broiowski Ciągi i szeregi Przestrzeń metrycz Metryk: Przestrzeń metrycz: pr (X,
Bardziej szczegółowo3.1. Ciągi liczbowe - ograniczoność, monotoniczność, zbieżność ciągu. Liczba e. Twierdzenie o trzech ciągach.
WYKŁAD 6 3 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ 31 Ciągi liczbowe - ogriczoość, mootoiczość, zbieżość ciągu Liczb e Twierdzeie o trzech ciągch 3A+B1 (Defiicj: ieskończoość) Symbole,,
Bardziej szczegółowoCiągi liczbowe podstawowe definicje i własności
Ciągi liczbowe podstwowe defiicje i włsości DEF *. Ciągiem liczbowym (ieskończoym) zywmy odwzorowie zbioru liczb turlych w zbiór liczb rzeczywistych, tj. :. Przyjęto zpis:,,...,,... Przy czym zywmy -tym
Bardziej szczegółowoI. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE. odwzorowań zbioru X w zbiór R [lub C] nazywamy ciągiem funkcyjnym.
I. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE 1. Zbieżość puktow i jedostj ciągów fukcyjych Niech X będzie iepustym podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych R (lub zbioru liczb zespoloych C). Defiicj 1.1. Ciąg (f ) N odwzorowń
Bardziej szczegółowoCIĄGI LICZBOWE N 1,2,3,... zbiór liczb naturalnych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezentowany przez punkty osi liczbowej).
Ciągi i szeregi - Lucj owlski CIĄGI LICZBOWE N,,,... zbiór liczb turlych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezetowy przez pukty osi liczbowej). Nieskończoy ciąg liczbowy to przyporządkowie liczbom
Bardziej szczegółowo7. Szeregi funkcyjne
7 Szeregi ukcyje Podstwowe deiicje i twierdzei Niech u,,,, X o wrtościch w przestrzei Y będą ukcjmi określoymi zbiorze X Mówimy, że szereg ukcyjy u jest zbieży puktowo do sumy, jeżeli ciąg sum częściowych
Bardziej szczegółowo5. CIĄGI. 5.1 Definicja ciągu. Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję przyporządkowującą każdej liczbie naturalnej n liczbę rzeczywistej.
5 CIĄGI 5 Defiicj ciągu Ciągiem liczbowym zywmy fukcję przyporządkowującą kżdej liczbie turlej liczbę rzeczywistej Ciąg zpisujemy często wyliczjąc wyrzy,, lub używmy zpisu { } lbo ( ) Ciągi liczbowe moż
Bardziej szczegółowoWykład 1 Pojęcie funkcji, nieskończone ciągi liczbowe, dziedzina funkcji, wykres funkcji, funkcje elementarne, funkcje złożone, funkcje odwrotne.
Wykłd Pojęcie fukcji, ieskończoe ciągi liczbowe, dziedzi fukcji, wykres fukcji, fukcje elemetre, fukcje złożoe, fukcje odwrote.. Fukcje Defiicj.. Mówimy, że w zbiorze liczb X jest określo pew fukcj f,
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna ISIM I
Aliz mtemtycz ISIM I Ryszrd Szwrc Spis treści Ciągi liczbowe. Zbieżość ciągów......................... 3. Liczb e.............................. 0 Szeregi liczbowe 3. Łączość i przemieość w sumie ieskończoej.........
Bardziej szczegółowoCIĄGI LICZBOWE N = zbiór liczb naturalnych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezentowany przez punkty osi liczbowej).
MATEMATYKA I - Lucj Kowlski {,,,... } CIĄGI LICZBOWE N zbiór liczb turlych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezetowy przez pukty osi liczbowej. Nieskończoy ciąg liczbowy to przyporządkowie liczbom
Bardziej szczegółowoCiągi i szeregi funkcyjne
Mteriły do ćwiczeń Aliz Mtemtycz II 7/8 Mri Frotczk, Ludwik Kczmrek, Ktrzy Klimczk, Mri Michlsk, Bet Osińsk-Ulrych, Tomsz Rodk, Adm Różycki, Grzegorz Sklski, Stisłw Spodziej Teori pod przed ćwiczeimi pochodzi
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. II Całki oznaczone i zastosowania
Zdi z lizy mtemtyczej - sem. II Cłki ozczoe i zstosowi Defiicj. Niech P = x x.. x będzie podziłem odcik [ b] części ( N przy czym x k = x k x k gdzie k δ(p = mx{ x k : k } = x < x
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna 2 Szeregi liczbowe i funkcyjne
Aliz Mtemtycz 2 Szeregi liczbowe i fukcyje Wydził Mtemtyki wykłdowc T. Dowrowicz 5 kwieti 2017 Wykłdy III i IV SZEREGI LICZBOWE Obrzowo mówiąc, szeregiem, zywmy ciąg, w którym zmist przeików stwimy zki
Bardziej szczegółowoSzeregi o wyrazach dowolnych znaków, dwumian Newtona
Poprwi lem 9 czerwc 206 r, godz 20:0 Twierdzeie 5 kryterium Abel Dirichlet Niech be dzie ieros cym ci giem liczb dodtich D Jeśli 0 i ci g sum cze ściowych szeregu b jest ogriczoy, to szereg b jest zbieży
Bardziej szczegółowo2. Ciągi liczbowe. Definicja 2.1 Funkcję a : N R nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość funkcji a(n) oznaczamy symbolem a
Ciągi liczbowe Defiicj Fukcję : N R zywmy iem liczbowym Wrtość fukcji () ozczmy symbolem i zywmy -tym lub ogólym wyrzem u Ciąg Przykłdy Defiicj róŝic zpisujemy rówieŝ w postci { } + Ciąg liczbowy { } zywmy
Bardziej szczegółowoZADANIA Z TOPOLOGII I. PRZESTRZENIE METRYCZNE. II. ZBIORY OTWARTE I DOMKNIĘTE.
ZADANIA Z TOPOLOGII I. PRZESTRZENIE METRYCZNE. 1. Niech (X, ρ) będzie przestrzeią metryczą zaś a liczbą rzeczywistą dodatią. Wykaż, że fukcja σ: X X R określoa wzorem σ(x, y) = mi {ρ(x, y), a} jest metryką
Bardziej szczegółowoEkoenergetyka Matematyka 1. Wykład 8. CIĄGI LICZBOWE
Ekoeergetk Mtemtk 1. Wkłd 8. CIĄGI LICZBOWE Defiicj (ciąg liczbow) Ciągiem liczbowm zwm fukcję odwzorowującą zbiór liczb turlch w zbiór liczb rzeczwistch. Wrtość tej fukcji dl liczb turlej zwm -tm wrzem
Bardziej szczegółowoEAIiIB- Informatyka - Wykład 1- dr Adam Ćmiel zbiór liczb wymiernych
EAIiIB- Iortyk - Wykłd - dr Ad Ćiel ciel@.gh.edu.pl dr Ad Ćiel (A3-A4 p.3, tel. 3-7, ciel@gh.edu.pl ; http://hoe.gh.edu.pl/~ciel/) Podręcziki Gewert M, Skoczyls Z. Aliz tetycz i. Deiicje twierdzei i wzory,
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Ciągi liczbowe, granica ciągu
Rozdził. Ciągi liczbowe, gric ciągu. Rodzje i włsości ciągów liczbowych W życiu codzieym często moż spotkć się z ciągmi: ciąg smochodów ulicy (pierwszy, drugi, trzeci ), ciąg ludzi w kolejce (zerowy chwilę
Bardziej szczegółowoJan Nawrocki. MATEMATYKA cz. 2. Analiza matematyczna I
J Nwrocki MATEMATYKA cz Aliz mtemtycz I Politechik Wrszwsk Politechik Wrszwsk Wydził Smochodów i Mszy Roboczych Kieruek "Edukcj techiczo iformtycz" -54 Wrszw, ul Nrbutt 84, tel () 849 4 7, () 4 8 48 ipbmvrsimrpwedupl/spi/,
Bardziej szczegółowoa 1, a 2, a 3,..., a n,...
III. Ciągi liczbowe. 1. Defiicja ciągu liczbowego. Defiicja 1.1. Ciągiem liczbowym azywamy fukcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb aturalych N w zbiór liczb rzeczywistych R i ozaczamy przez { }. Używamy
Bardziej szczegółowoCiągi i szeregi liczbowe
Ciągi i szeregi liczbowe Defiicj. Jeżeli kżdej liczbie turlej przyporządkow zostł jkś liczb rzeczywist, to mówimy, że zostł określoy ciąg liczbowy (ieskończoy). Formlie ozcz to, że ciąg liczbowy jest fukcją
Bardziej szczegółowoSZEREGI LICZBOWE. s n = a 1 + a a n = a k. k=1. aq n = 1 qn+1 1 q. a k = s n + a k, k=n+1. s n = 0. a k lim n
SZEREGI LICZBOWE Z ciągu liczb a, a 2,... utwórzmy owy ciąg Przyjmijmy ozaczeia s = a + a 2 +... a = a k. k= k= a k = a + a 2 +... = s. Gdy graica k= a k jest liczbą, to mówimy, że szereg k= a k jest sumowaly
Bardziej szczegółowolog lim =log a e, a x 1 =loga, lim a (1+x) ,oiletagranicaistnieje. ,...,jeżeli a n a,tociągśrednicharytmetycznychb n a(odwrotnienie!
Aliz mtemtycz I- www.mimek.pl, Autor: Krzyś Kulewski, pi@zodic.mimuw.edu.pl 1 Ciągi 1. Kżdy ciąg zbieży jest ogriczoy.. Twierdzeie Bolzo-Weierstrss. Kżdy ciąg ogriczoy zwier podciąg zbieży. 3.Gricgóridol
Bardziej szczegółowoZADANIA NA POCZA n(n + 1) = 1 3n(n + 1)(n + 2).
ZADANIA NA POCZA TEK Udowodić, że dl kżdej liczby turlej zchodzi wzór: 3 3 4 = 3 Udowodić, że dl kżdej liczby turlej zchodzi wzór: 3 3 4 = 4 3 3 Udowodić, że dl kżdej liczby turlej zchodzi wzór: 3 3 4
Bardziej szczegółowoLiteratura do ćwiczeń: Program zajęć: dr Krzysztof Żyjewski Informatyka; rok I, I o.inż. 17 listopada 2015
dr Krzysztof Żyjewski Iformtyk; rok I, I o.iż. 17 listopd 015 Kotkt: e-mil: krzysztof.zyjewski@uwm.edu.pl kosultcje: po 18 listopd 7.55-8.55, pok. A0/19 (ie termiy możliwe po uprzedim kotkcie milowym)
Bardziej szczegółowoI. Ciągi liczbowe. , gdzie a n oznacza n-ty wyraz ciągu (a n ) n N. spełniający warunek. a n+1 a n = r, spełniający warunek a n+1 a n
I. Ciągi liczbowe Defiicja 1. Fukcję określoą a zbiorze liczb aturalych o wartościach rzeczywistych azywamy ciągiem liczbowym. Ciągi będziemy ozaczać symbolem a ), gdzie a ozacza -ty wyraz ciągu a ). Defiicja.
Bardziej szczegółowoWektory Funkcje rzeczywiste wielu. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Wektory Fukcje rzeczywiste wielu zmieych rzeczywistych Matematyka Studium doktorackie KAE SGH Semestr leti 2008/2009 R. Łochowski Wektory pukty w przestrzei R Przestrzeń R to zbiór uporządkowaych -ek liczb
Bardziej szczegółowoa a = 2 S n = 2 = r - constans > 0 - ciąg jest malejący q = b1, dla q 1 S n 1 CIĄGI jest rosnący (niemalejący), jeżeli dla każdego n a n
CIĄGI ciąg jest rosący (iemlejący), jeżeli dl kżdego < ( ) ciąg jest mlejący (ierosący), jeżeli dl kżdego > ( ) ciąg zywmy rytmetyczym, jeżeli dl kżdego r - costs - r > 0 - ciąg rosący - r 0 - ciąg stły
Bardziej szczegółowoCollegium Novum Akademia Maturalna
Collegium Novum Akdemi Mturl wwwcollegium-ovumpl 0- -89-66 Mtemtyk (GP dt: 00008 sobot Collegium Novum Akdemi Mturl Temt 5: CIĄGI Prowdzący: Grzegorz Płg Termi: 0007 godzi 9:00-:0 8 Zdie Które wyrzy ciągu
Bardziej szczegółowoWykład 8: Całka oznanczona
Wykłd 8: Cłk ozczo dr Mriusz Grządziel grudi 28 Pole trójkt prboliczego Problem. Chcemy obliczyć pole s figury S ogriczoej prostą y =, prostą = i wykresem fukcji f() = 2. Rozwizie przybliżoe. Dzielimy
Bardziej szczegółowoSzeregi liczbowe o wyrazach dodatnich
Szeregi liczbowe o wyrzch dodtich Poprwi lem 6 listopd 20, godz. 23:49 Twierdzeie 3. ( l czość sumowiieskończoego) Jeśli szereg to szereg Dowód. b cze ściowych szeregu jest zbieży ci g (k ) jest ściśle
Bardziej szczegółowoPowtórka dotychczasowego materiału.
Powtórk dotychczsowego mteriłu. Zdi do smodzielego rozwiązi. N ćwiczeich w środę 7.6.7 grupy 4 leży wskzć zdi, które sprwiły jwięcej problemów. 43. W kżdym z zdń 43.-43.5 podj wzór fukcję różiczkowlą f
Bardziej szczegółowoZadania i rozwiązania prac domowych z Analizy Matematycznej 1.2 z grupy pana Ryszarda Kopieckiego, semestr letni 2011/2012.
Zdi i rozwiązi prc domowych z Alizy Mtemtyczej. z grupy p Ryszrd Kopieckiego, semestr leti / Ntli Skowsk . seri UWAGA: wykresów oczywiście rysowć ie trzeb. Co więcej, wykres ie jest dowodem żdego stwierdzei.
Bardziej szczegółowoStwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).
Materiały dydaktycze Aaliza Matematycza Wykład Ciągi liczbowe i ich graice. Graice ieskończoe. Waruek Cauchyego. Działaia arytmetycze a ciągach. Podstawowe techiki obliczaia graic ciągów. Istieie graic
Bardziej szczegółowoObrazowo, zbiór jest ograniczony, gdy wszystkie jego elementy są położone między dwoma punktami osi liczbowej.
ZBIORY I FUNKCJE LICZBOWE ZBIORY LICZB { 3 } { ± ± } N ziór licz turlych Z ziór licz cłkowitych p Q : p Z q N ziór licz wymierych q R ziór licz rzeczywistych ZBIORY OGRANICZONE Def ziór ogriczoy z dołu
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna część 3
[wersj z 5 III 7] Aliz Mtemtycz część 3 Kospekt wykłdu dl studetów fizyki/iformtyki Akdemi Świętokrzysk 6/7 Wojciech Broiowski Różiczkowlość Pochod fukcji jedej zmieej Pochod f : (, b) R w pukcie (, b)
Bardziej szczegółowonazywamy n -tym wyrazem ciągu ( f n
Rk II Temt 7 SZEREGI FUNKCYJNE SZEREG POTĘGOWY SZEREG TAYLORA Ciąg ukcyjy Szeregi ukcyje Zbieżść jedstj Szereg ptęgwy Prmień zbieżści szeregu ptęgweg Szereg Tylr Ciąg ukcyjy Niech U zcz iepusty pdzbiór
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna Wykªad
Aliz Mtemtycz Wykªd Spis tre±ci 1 Wst p 1 2 Ci gi liczbowe 2 3 Gric ci gu 4 4 Gric fukcji 6 5 Asymptoty fukcji 9 6 Ci gªo± fukcji 10 7 Pochod fukcji 11 8 Ekstrem fukcji 13 9 Cªk ieozczo 16 10 Cªk ozczo
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.
Zsd idukcji mtemtyczej. Dowody idukcyje. W rozdzile sformułowliśmy dl liczb turlych zsdę miimum. Bezpośredią kosekwecją tej zsdy jest brdzo wże twierdzeie, które umożliwi i ułtwi wiele dowodów twierdzeń
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna A1, zima 2011/12. Kresy zbiorów. x Z M R
Kresy zbiorów. Ćwiczeia 21.11.2011: zad. 197-229 Kolokwium r 7, 22.11.2011: materiał z zad. 1-249 Defiicja: Zbiór Z R azywamy ograiczoym z góry, jeżeli M R x Z x M. Każdą liczbę rzeczywistą M R spełiającą
Bardziej szczegółowoGłówka pracuje - zadania wymagające myślenia... czyli TOP TRENDY nowej matury.
Główk prcuje - zdi wymgjące myślei czyli TOP TRENDY owej mtury W tej pordzie 0 trudiejszych zdń Wiele z ich to zdi, których temt zczy się od wykż, udowodij, czyli iezbyt lubiych przez mturzystów Zdie Widomo,
Bardziej szczegółowo1.1 Pochodna funkcji w punkcie
Pochod fukcji w pukcie BLOK I RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY Zkłdmy, że fukcj f jest określo w przedzile, ) orz, że, ), jest liczą, dl której + ), ) Liczę zywmy przyrostem rgumetu w pukcie, tomist różicę
Bardziej szczegółowoCIĄGI LICZBOWE. Naturalną rzeczą w otaczającym nas świecie jest porządkowanie różnorakich obiektów, czyli ustawianie ich w pewnej kolejności.
CIĄGI LICZBOWE Nturlą rzeczą w otczjącym s świecie jest porządkowie różorkich obiektów, czyli ustwiie ich w pewej kolejości. Dl przykłdu tworzymy różego rodzju rkigi, p. rkig jlepszych kierowców rjdowych.
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna
Aliz Mtemtycz Przykłdy: Cłki ozczoe. Oprcowie: dr hb. iż. Agieszk Jurlewicz, prof. PWr Przykłd 9. : Korzystjąc z defiicji cłki ozczoej orz fktu, że fukcj ciągł jest cłkowl, oblicz e x dx przyjmując podził
Bardziej szczegółowoSzeregi liczbowe. Szeregi potęgowe i trygonometryczne.
Szeregi iczbowe. Szeregi potęgowe i trygoometrycze. wykład z MATEMATYKI Automatyka i Robotyka sem. I, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Iformatyki Poitechika Białostocka Szeregi iczbowe Defiicja..
Bardziej szczegółowoTwierdzenia o funkcjach ciągłych
Automatya i Robotya Aaliza Wyład 5 dr Adam Ćmiel cmiel@aghedupl Twierdzeia o ucjach ciągłych Tw (Weierstrassa Jeżeli ucja : R [ R jest ciągła a [, to ograiczoa i : ( sup ( i ( i ( [, Dowód Ograiczoość
Bardziej szczegółowoZestaw zadań do skryptu z Teorii miary i całki. Katarzyna Lubnauer Hanna Podsędkowska
Zestaw zadań do skryptu z Teorii miary i całki Katarzya Lubauer Haa Podsędkowska Ciała σ - ciała. Zbadaj czy rodzia A jest ciałem w przestrzei X=[0] a) A = X 0 b) A = X 0 3 3 c) A = { X { }{}{ 0}{ 0 }
Bardziej szczegółowoMetody badania zbieżności/rozbieżności ciągów liczbowych
Metody badaia zbieżości/rozbieżości ciągów liczbowych Ryszard Rębowski 14 grudia 2017 1 Wstęp Kluczowe pytaie odoszące się do zagadieia badaia zachowaia się ciągu liczbowego sprowadza się do sposobu opisu
Bardziej szczegółowodna szeregu. ; m., k N ; ó. ; u. x 2n 1 ; e. n n! jest, że
KILKA ZADAŃ O SZEREGACH Zbadać zbieżość i zbieżość bezwzgle da = a, jeśli a = a!! ; a + + ; c + ; ć! ; d +/ + 3 ; e! e 3 3+ ; f ; + g 000+ ; h ; + i! ; j k ; l 5 + l + 7 0 +3 6 0 + ; +3 ; ; m 3 + 3 ; +a
Bardziej szczegółowoWymagania na poszczególne oceny z matematyki w Zespole Szkół im. St. Staszica w Pile Kl. II poziom rozszerzony
Wymgi poszczególe ocey z mtemtyki w Zespole Szkół im. St. Stszic w Pile Kl. II poziom rozszerzoy 1. WIELOMIANY podje przykłdy wielomiów, określ ich stopień i podje wrtości ich współczyików zpisuje wielomi
Bardziej szczegółowo2. Nieskończone ciągi liczbowe
Ciągiem liczbowym azywamy fukcję 2. Nieskończoe ciągi liczbowe a: N R. Wartości tej fukcji ozaczamy przez a) = a i azywamy wyrazami ciągu. Często ciąg ozaczamy przez {a } = lub po prostu przez {a }. Prostymi
Bardziej szczegółowo+ ln = + ln n + 1 ln(n)
"Łatwo z domu rzeczywistości zajśd do lasu matematyki, ale ieliczi tylko umieją wrócid." Hugo Dyoizy Steihaus Niech (a ) będzie ieskooczoym ciągiem rzeczywistym. Def. Szeregiem = a azywamy parę ciągów
Bardziej szczegółowoWykład 9: Różne rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych. Prawa wielkich liczb.
Rchuek prwopoobieństw MA1181 Wyził T, MS, rok k. 2013/14, sem. zimowy Wykłowc: r hb. A. Jurlewicz Wykł 9: Róże rozje zbieżości ciągów zmieych losowych. rw wielkich liczb. Zbieżość z prwopoobieństwem 1:
Bardziej szczegółowoMATERIAŁY POMOCNICZE DO MATURY Z MATEMATYKI
MATERIAŁY POMOCNICZE DO MATURY Z MATEMATYKI . Ziory. Dziłi ziorch. Ziór, elemet zioru pojęci pierwote. Jeśli x leży do ( jest elemetem ) zioru A, to piszemy x A, jeśli y ie leży do zioru A, piszemy y A.
Bardziej szczegółowoDamian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim.
Damia Doroba Ciągi. Graice, z których korzystamy. k. q.. 5. dla k > 0 dla k 0 0 dla k < 0 dla q > 0 dla q, ) dla q Nie istieje dla q ) e a, a > 0. Opis. Pierwsza z graic powia wydawać się oczywista. Jako
Bardziej szczegółowoI. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczby całkowite C : C..., 3, 2, 1,
I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczy turle N : N 0,,,,,,..., N,,,,,... liczy cłkowite C : C...,,,, 0,,,,... Kżdą liczę wymierą moż przedstwić z pomocą ułmk dziesiętego skończoego
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Szeregi liczbowe
Zadaia z aalizy matematyczej - sem. I Szeregi liczbowe Defiicja szereg ciąg sum częściowyc. Szeregiem azywamy parę uporządkowaą a ) S ) ) ciągów gdzie: ciąg a ) ciąg S ) jest day jest ciągiem sum częściowych
Bardziej szczegółowoWZORY Z MATEMATYKI. Równość zbiorów: A = B (dla każdego x : x A x B ) Zawieranie się zbiorów, podzbiory: A B ( dla każdego x: x A x B )
. Ziory. Dziłi ziorch. Ziór, elemet zioru pojęci pierwote. Jeśli x leży do ( jest elemetem ) zioru A, to piszemy x A, jeśli y ie leży do zioru A, piszemy y A. Kżdy ziór jest wyzczoy przez swoje elemety.
Bardziej szczegółowoMateriały do ćwiczeń z Analizy Matematycznej I
Materiały do ćwiczeń z Aalizy Matematyczej I 08/09 Maria Frotczak Ludwika Kaczmarek Katarzya Klimczak Maria Michalska Beata Osińska-Ulrych Tomasz Rodak Adam Różycki Grzegorz Skalski Staisław Spodzieja
Bardziej szczegółowoOperatory zwarte Lemat. Jeśli T jest odwzorowaniem całkowym na przestrzeni Hilberta X = L 2 (Ω) z jądrem k L 2 (M M)
Operatory zwarte Niech X będzie przestrzeią Baacha. Odwzorowaie liiowe T azywa się zwarte, jeśli obraz kuli jedostkowej T (B) jest zbiorem warukowo zwartym. Przestrzeń wszystkich operatorów zwartych a
Bardziej szczegółowoDorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki w klasie drugiej. Zakres podstawowy i rozszerzony
Dorot oczek, roli Wej MATeMAtyk 2 Szczegółowe wymgi edukcyje z mtemtyki w klsie drugiej Zkres podstwowy i rozszerzoy Ozczei: wymgi koiecze; wymgi podstwowe; R wymgi rozszerzjące; D wymgi dopełijące; W
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2 (LUX), lato 2017/18. a n n = 10.
Czy istieje ciąg (a ) taki, że (podać przykład lub dowieść, że ie istieje) : 576. a > 1 dla ieskończeie wielu, a > 0, szereg a jest zbieży. N 577. a = 1 2 dla ieskończeie wielu, a = 10. 578. a 2 = 1 N,
Bardziej szczegółowoZADANIA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ dla I roku kierunku informatyka WSZiB
pro. dr hb. Stisłw Biłs ZADANIA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I roku kieruku iormtyk WSZiB I. ELEMENTARNE WŁASNOŚCI FUNKCJI. Wyzczyć dziedzię ukcji: 5 7 log[ log 5 6. b c ] d. Wyzczyć przeciwdziedzię ukcji:
Bardziej szczegółowoMATHCAD 2000 - Obliczenia iteracyjne, macierze i wektory
MTHCD - Obliczei itercyje, mcierze i wektory Zmiee zkresowe. Tblicowie fukcji Wzór :, π.. π..8.9...88.99..8....8.98. si().9.88.89.9.9.89.88.9 -.9 -.88 -.89 -.9 - Opis, :,, przeciek, Ctrl+Shift+P, /,, ;średik,
Bardziej szczegółowo- macierz o n wierszach i k kolumnach. Macierz jest diagonalna jeśli jest kwadratowa i po za główną przekątną (diagonala) są
Powtórzeie z Algebry 1. Mcierz A k 1 11 1 1k 1 k k - mcierz o wierszch i k kolumch Mcierz est kwdrtow eśli m tyle smo wierszy co kolum ( = k). Mcierz est digol eśli est kwdrtow i po z główą przekątą (digol)
Bardziej szczegółowo(x 1 y 1 ) (x n y n ) 2. 1<j<m x i y i. x2 y 2 gdy x 1 = y 1 x 2 y 2 + x 1 + y 1 gdy x 1 = y 1. gdy x, y, 0 nie są współliniowe
. Metrka Zadaie.. Pokazać, że metrka jest fukcją ieujemą. Zadaie.2. Odowodić, że poiższe wzor defiiuja metrki. a) (metrka euklidesowa) X = R. d e (, ) := ( ) 2 +... + ( ) 2 b) (metrka taksówkowa) X = R
Bardziej szczegółowoWykład 7. Przestrzenie metryczne zwarte. x jest ciągiem Cauchy ego i posiada podciąg zbieżny. Na mocy
Wyład 7 Przestrzeie metrycze zwarte Defiicja 8 (przestrzei zwartej i zbioru zwartego Przestrzeń metryczą ( ρ X azywamy zwartą jeśli ażdy ciąg elemetów tej przestrzei posiada podciąg zbieży (do putu tej
Bardziej szczegółowoZadanie 1.6. Niech n N, a R + \ N, a 2 = n. Wykazać, że a / Q. Zadanie 1.7. Wykazać następujące twierdzenia za pomocą indukcji matematycznej.
. Liczby wymiere zasada idukcji matematyczej przekroje Dedekida Zadaie.. Niech A Q. Wykazać że jeśli istieje mi A odp. max A) to istieje if A odp. sup A) oraz if A = mi A odp. sup A = max A). Zadaie..
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 7. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Macierzowa Metoda Rozwiązywania Układu Równań Cramera
/9/ WYKŁ. UKŁY RÓWNŃ LINIOWYCH Mcierzow Metod Rozwiązywi Ukłdu Rówń Crmer Ogól postć ukłdu rówń z iewidomymi gdzie : i i... ozczją iewidome; i R k i R i ik... ;... efiicj Ukłdem Crmer zywmy tki ukłd rówń
Bardziej szczegółowoCiągi liczbowe wykład 3
Ciągi liczbowe wykład 3 dr Mariusz Grządziel semestr zimowy, r akad 204/205 Defiicja ciągu liczbowego) Ciagiem liczbowym azywamy fukcję odwzorowuja- ca zbiór liczb aturalych w zbiór liczb rzeczywistych
Bardziej szczegółowoWykład 12: Sumowanie niezależnych zmiennych losowych i jego związek ze splotem gęstości i transformatami Laplace a i Fouriera. Prawo wielkich liczb.
Rchuek prwdopodobieństw MA064 Wydził Elektroiki, rok kd. 2008/09, sem. leti Wykłdowc: dr hb. A. Jurlewicz Wykłd 2: Sumowie iezleżych zmieych losowych i jego związek ze splotem gęstości i trsformtmi Lplce
Bardziej szczegółowoMacierze w MS Excel 2007
Mcierze w MS Ecel 7 Progrm MS Ecel umożliwi wykoywie opercji mcierzch. Służą do tego fukcje: do możei mcierzy MIERZ.ILOZYN do odwrci mcierzy MIERZ.ODW do trspoowi mcierzy TRNSPONUJ do oliczi wyzczik mcierzy
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna v.1.6 egzamin mgr inf niestacj 1. x p. , przy założeniu, że istnieją lim
Anliz mtemtyczn v..6 egzmin mgr inf niestcj Oznczeni: f, g, h : J R funkcje rzeczywiste określone n J R J przedził, b),, b], [, b), [, b], półprost, b),, b],, ), [, ) lub prost R α, β [min{α, β}, m{α,
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
Automatya i Robotya Aaliza Wyład dr Adam Ćmiel cmiel@agh.edu.pl Rachue różiczowy fucji wielu zmieych W olejych wyładach uogólimy pojęcia rachuu różiczowego i całowego fucji jedej zmieej a przypade fucji
Bardziej szczegółowoMatematyka wybrane zagadnienia. Lista nr 4
Mtemty wyre zgdiei List r 4 Zdie Jeżeli ułd wetorów v, v przestrzei liiowej V ie jest liiowo iezleży, to mówimy, że wetory v, v są liiowo zleże Udowodić stępujące twierdzeie: Ułd wetorów v, v ( ) jest
Bardziej szczegółowoMATLAB PODSTAWY. [ ] tworzenie tablic, argumenty wyjściowe funkcji, łączenie tablic
MTLB PODSTWY ZNKI SPECJLNE symbol przypisi [ ] tworzeie tblic, rgumety wyjściowe fukcji, łączeie tblic { } ideksy struktur i tblic komórkowych ( ) wisy do określi kolejości dziłń, do ujmowi ideksów tblic,
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ)
MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Ciągi liczbowe 1.1. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowola fukcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym (ciąg skończoy), albo wszystkim (ciąg ieskończoy) liczbom aturalym.
Bardziej szczegółowoUniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu
Uniwersytet Mikołj Kopernik w Toruniu Wydził Mtemtyki i Informtyki Krzysztof Frączek Anliz Mtemtyczn I Wykłd dl studentów I roku kierunku informtyk Toruń 206 Spis treści Liczby rzeczywiste 2 Ciągi liczbowe
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa MAP1151 Wydział Elektroniki, rok akad. 2011/12, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz
Rchuek prwdopodobieństw MA5 Wydził Elektroiki, rok kd. 20/2, sem. leti Wykłdowc: dr hb. A. Jurlewicz Wykłd 7: Zmiee losowe dwuwymirowe. Rozkłdy łącze, brzegowe. Niezleżość zmieych losowych. Momety. Współczyik
Bardziej szczegółowoAlgebra WYKŁAD 5 ALGEBRA 1
lger WYKŁD 5 LGEBR Defiicj Mcierzą ieosoliwą zywmy mcierz kwdrtową, której wyzczik jest róży od zer. Mcierzą osoliwą zywmy mcierz, której wyzczik jest rówy zeru. Defiicj Mcierz odwrot Mcierzą odwrotą do
Bardziej szczegółowoODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1 POZIOM ROZSZERZONY
ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Nr zdi Nr czyości Etpy rozwiązi zdi Liczb puktów Uwgi I metod rozwiązi ( PITAGORAS ): Sporządzeie rysuku w ukłdzie współrzędych: p C A y 0
Bardziej szczegółowoCałka oznaczona. długość k-tego odcinka podziału P. punkt pośredni k-tego odcinka podziału P. Niech funkcja f będzie ograniczona na przedziale
Cł ozczo. De.1. Podziłem odci części, N, zywmy ziór przy czym. Wprowdzmy ozczei: długość -tego odci podziłu P średic podziłu P put pośredi -tego odci podziłu P De.2 sum cłow Niech ucj ędzie ogriczo przedzile
Bardziej szczegółowoZadania z Matematyka 2 - SIMR 2008/ szeregi zadania z rozwiązaniami. n 1. n n. ( 1) n n. n n + 4
Zadaia z Matematyka - SIMR 00/009 - szeregi zadaia z rozwiązaiami. Zbadać zbieżość szeregu Rozwiązaie: 0 4 4 + 6 0 : Dla dostateczie dużych 0 wyrazy szeregu są ieujeme 0 a = 4 4 + 6 0 0 Stosujemy kryterium
Bardziej szczegółowoSzkic notatek do wykładu Analiza Funkcjonalna MAP9907
Szkic otatek do wykładu Aaliza Fukcjoala MAP9907 Prowadzący: prof dr hab Tomasz Dowarowicz Sporządził: Paweł Szołtysek Spis treści I Wstęp do Aalizy Fukcjoalej 0 Przestrzeie Metryka Kula 3 Zbiory otwarte
Bardziej szczegółowoI kolokwium z Analizy Matematycznej
I kolokwium z Aalizy Matematyczej 4 XI 0 Grupa A. Korzystając z zasady idukcji matematyczej udowodić ierówość dla wszystkich N. Rozwiązaie:... 4 < + Nierówość zachodzi dla, bo 4
Bardziej szczegółowoCałka oznaczona. długość k-tego odcinka podziału P. punkt pośredni k-tego odcinka podziału P. Niech funkcja f będzie ograniczona na przedziale
Cł ozczo. De.1. Podziłem odci części, N, zywmy ziór przy czym. Wprowdzmy ozczei: długość -tego odci podziłu P średic podziłu P put pośredi -tego odci podziłu P De.2 (sum cłow) Niech ucj ędzie ogriczo przedzile
Bardziej szczegółowo3. Funkcje elementarne
3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna. Robert Rałowski
Aaliza matematycza Robert Rałowski 6 paździerika 205 2 Spis treści 0. Liczby aturale.................................... 3 0.2 Liczby rzeczywiste.................................... 5 0.2. Nierówości...................................
Bardziej szczegółowoCałka oznaczona. długość k-tego odcinka podziału P. średnica podziału P. punkt pośredni k-tego odcinka podziału P
Cł ozczo. De.. Podziłem odci części, N, zywmy ziór przy czym. Wprowdzmy ozczei: długość -tego odci podziłu P średic podziłu P put pośredi -tego odci podziłu P De. sum cłow Niech ucj ędzie ogriczo przedzile
Bardziej szczegółowoODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1 POZIOM ROZSZERZONY
Przykłdowy zestw zdń r z mtemtyki Odpowiedzi i schemt puktowi poziom rozszerzoy ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Nr zdi Nr czyości Etpy rozwiązi zdi Liczb puktów Uwgi I metod
Bardziej szczegółowoFunkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta
Fukcje cze Moduł - dział -temat Fukcje cze dowolego kąta Lp 1 kąt w układzie współrzędych fukcje cze dowolego kąta zaki czych wartości czych iektórych kątów Kąt obrotu 2 dodati i ujemy kieruek obrotu wartości
Bardziej szczegółowoSzereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3:
Szereg geometryczy Zad : Suma wszystkich wyrazów ieskończoego ciągu geometryczego jest rówa 4, a suma trzech początkowych wyrazów wyosi a) Zbadaj mootoiczość ciągu sum częściowych tego ciągu geometryczego
Bardziej szczegółowoFunkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta
Fukcje cze Moduł - dział -temat Fukcje cze dowolego kąta Lp 1 kąt w układzie współrzędych fukcje cze dowolego kąta zaki czych wartości czych iektórych kątów Kąt obrotu 2 dodati i ujemy kieruek obrotu wartości
Bardziej szczegółowoFunkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta
Fukcje trygoometrycze Moduł - dział -temat Fukcje trygoometry cze dowolego kąta 1 kąt w układzie współrzędych fukcje trygoometrycze dowolego kąta zaki trygoometryczych wartości trygoometryczych iektórych
Bardziej szczegółowoProgramowanie z więzami (CLP) CLP CLP CLP. ECL i PS e CLP
Progrmowie z więzmi (CLP) mjąc w PROLOGu: p(x) :- X < 0. p(x) :- X > 0. i pytjąc :- p(x). dostiemy Abort chcelibyśmy..9 CLP rozrzeszeie progrmowi w logice o kocepcję spełii ogriczeń rozwiązie = logik +
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 11
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD Szeregi potęgowe Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C jeżeli jest -krotie różiczkowala i jej -ta pochoda jest fukcją ciągłą. Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C, jeżeli jest
Bardziej szczegółowolim a n Cigi liczbowe i ich granice
Cigi liczbowe i ich graice Cigiem ieskoczoym azywamy dowol fukcj rzeczywist okrelo a zbiorze liczb aturalych. Dla wygody zapisu, zamiast a() bdziemy pisa a. Elemet a azywamy -tym wyrazem cigu. Cig (a )
Bardziej szczegółowo4. Rekurencja. Zależności rekurencyjne, algorytmy rekurencyjne, szczególne funkcje tworzące.
4. Reurecj. Zleżości reurecyje, lgorytmy reurecyje, szczególe fucje tworzące. Reurecj poleg rozwiązywiu problemu w oprciu o rozwiązi tego smego problemu dl dych o miejszych rozmirch. W iformtyce reurecj
Bardziej szczegółowoCiąg arytmetyczny i geometryczny
Ciąg rytmetyczy i geometryczy Zd. : Ciąg ( ) jest opisy wzorem = 5 + ( )(k k ), gdzie k jest prmetrem. ) WykŜ, Ŝe ( ) jest ciągiem rytmetyczym. Dl jkich wrtości prmetru k ciąg te jest mlejący? b) Dl k
Bardziej szczegółowo