log lim =log a e, a x 1 =loga, lim a (1+x) ,oiletagranicaistnieje. ,...,jeżeli a n a,tociągśrednicharytmetycznychb n a(odwrotnienie!
|
|
- Halina Baran
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Aliz mtemtycz I- Autor: Krzyś Kulewski, 1 Ciągi 1. Kżdy ciąg zbieży jest ogriczoy.. Twierdzeie Bolzo-Weierstrss. Kżdy ciąg ogriczoy zwier podciąg zbieży. 3.Gricgóridol A={: podciąg k } ( ) zbieży Ajestjedopuktowy. supa= lim gricgór. 4. =limsup ifa= lim =limif gricdol. log lim (1+x) x x lim x x 1 x =log e, =log, (1+x) 1 lim =. x x 5.LemtStolz.Niechy irośiedldosttecziedużychlubx,y. x Wówczs lim x y = lim x +1 y y +1,oiletgricistieje. 6. Ciąg średich rytmetyczych Ciąg( ): 1,,...,ziegotworzymyciąg(b ):b 1 = 1,b = 1+,...,b = ,...,jeżeli,tociągśredichrytmetyczychb (odwrotieie!) 7.Jeśli( )jestciągiemliczbdodtich,tkimżeistiejegric lim gricęijestiąq. Szeregi 1.Wrukiemkoieczym,by byłzbieżyjestto,by. +1 =q,torówieżciąg ( ) m.wruekcuchy ego.nto,żebyszereg byłzbieży,potrzebiwystrcz,bydlkżdejliczby ǫ>istiłtkliczbk,żedlkżdegomspełiojestierówość: k+1 + k k+m <ǫ. 3.Szeregibezwzględiezbieże.Szereg zywmybezwzględiezbieżym,jeśliszereg jest zbieży. Szereg zbieży, le ie bezwzględie zbieży, zywmy wrukowo zbieżym. Jeśliszereg jestzbieżybezwzględie,tojestteżzbieżywzwykłymtegosłowzczeiu.podto:. 4.Kryteriumporówwcze.Jeżeliwyrzyszeregów i b spełijądlprwiewszystkichierówość b iszereg b jestzbieży,toszereg jestbezwzględiezbieży. 5.KryteriumD Alembert.Szereg owyrzchróżychodzerjest: () bezwzględie zbieży, gdy lim +1/ <1, (b)rozbieży,gdy +1 / >1dlprwiewszystkich. 6.KryteriumCuchy ego.szereg jest () zbieży, gdy lim <1,
2 Aliz mtemtycz I- Autor: Krzyś Kulewski, (b) rozbieży, gdy lim >1. 7.Kryteriumkodescyje.Jeśli, ierosący,to: zbieży zbieży 8. Kryterium Dirichlet lub Abel. Jeżeli: () ցi b jestogriczoy(tz.wszystkiejegosumyczęściowetworząciągogriczoy) lub (b) mootoiczyiogriczoyi b zbieży to b zbieży. 9.KryteriumLeibiz.Szereg ( 1) jestzbieży,jeśli jestciągiemmlejącymizbieżymdo. 1.TwierdzeieKummer.Nto,żebyszereg oskłdikchdodtichbyłzbieży,potrzebiwystrcz,byistiłtkiciągliczbdodtichb,że ( b lim ) b +1 > TwierdzeieRbego.Szereg oskłdikchdodtichczyiącyzdośćwrukowi ( ) lim 1 >1 +1 jest zbieży. 1. Twierdzeie Riem. Mjąc dy szereg zbieży wrukowo, moż przez zmię porządku jego skłdików uzyskć szereg rozbieży lub zbieży do z góry zdej gricy(skończoej lub ieskończoej). 13.Możeieszeregów.Jeśliszeregi =Ai b =Bsązbieżeiprzyjmiejjedezichjest bezwzględiezbieżytoszereg c jestzbieżyi c =AB,gdziec = 1 b + b b b 1. Fukcje 1.Gricfukcjifwpukcie.lim x f(x)=g ()(DefiicjHeiego)dlkżdegociągux zbieżegodo,owyrzchróżychod,zchodzilim f(x )= g, (b)(defiicjdeltowo-epsiloow) ǫ> δ x ( δ,+δ),x = f(x) g <ǫ.ciągłośćfukcji.f(x)jestciągłwpukciex jeżeligricelewoiprwo-strowpukciex sąrówe wrtościfukcjiwtympukcief(x ). 3. Jedostj ciągłość fukcji. ǫ δ x,x x x <δ= f(x) f(x ) <ǫ(tz.δiezleżyodx) 4. Wruek Lipschitz.(implikuje ciągłość i jedostją ciągłość) c x,x f(x) f(x ) c x x 5. Wruek Hölder.(implikuje ciągłość i jedostją ciągłość) c,δ> x,x f(x) f(x ) c x x δ
3 Aliz mtemtycz I- Autor: Krzyś Kulewski, 3 6. Twierdzeie Weierstrss. Kżd fukcj ciągł [, b] przyjmuje swoje kresy, w szczególości kresy skończoe. 7.TwierdzeieDrboux.JeżelifukcjfjestciągłprzedzileP:,b Picleżymiędzyf()if(b) to ζ pomiędzyib,żec=f(ζ). 8. Twierdzeie Ctor. Kżd fukcj ciągł przedzile domkiętym jest jedostjie ciągł. Podto, jeżeli istieją skoczoe grice lim lim x +f(x)ix b f(x),tofukcjf(x)jestjedostjieciągł (,b). Ciągi i szeregi fukcyje f :A R 1.f zbiegdofpuktowo: x A f (x) f(x) def. x ǫ N >N f (x) f(x) <ǫ(nzleżyodxiodǫ)..f zbiegdofjedostjie: ǫ N x >N f (x) f(x) <ǫ. 3.f zbiegdofiemljedostjie(,b):zbieżośćjedostjkżdymprzedziledomkiętym [c,d] (,b). 4.Twierdzeie Szczechli.Jeżeliciągfukcjiciągłychf jestzbieżydofukcjiciągłejf puktowoi x f (x)>f +1 (x),tof jestzbieżydofjedostjie. 5. Wruek Cuchy ego. () x f (x) zbieżypuktowo x ǫ N,m>N f (x) f m (x) <ǫ. (b)f f zbieżyjedostjie ǫ N,m>N x f (x) f m (x) <ǫ. 6.S (x)= f i (x) i=1 KiedyS Spuktowotopiszemy: i=1 f i (x)=s(x). Kryterium Cuchy ego. f jestzbieżyjedostjie ǫ N m>>n x S m (x) S (x) = m f i i=+1 7.Kryteriumporówwcze.Jeżeli x f (x) g (x)orz g jestzbieżyjedostjieto f tkże. Jeżeli x f (x) c i c < to f jestzbieżyjedostjie. 8.KryteriumD Alembert.Jeżelif >i f +1 f ψ(x)<<1orzkżdf jestogriczo: x f (x) c toszereg f jestjedostjiezbieży. 9.KryteriumCuchy ego.jeżelif i f ψ<<1to f jestzbieżyjedostjie. 1.KryteriumLeibiz.Jeżelif,f i x f (x)jestierosącytoszereg ( 1) f jestzbieży jedostjie. 11. Kryterium Abel. Jeżeli: () zbieżyjedostjie, x b (x)mootoiczyiwyrzyb sąwspólieogriczoe lub <ǫ.
4 Aliz mtemtycz I- Autor: Krzyś Kulewski, 4 (b)wszystkiesumyczęścioweszeregu sąwspólieogriczoei x,x i (x) corzb i b (x)mootoiczy to (x)b (x)jestzbieżyjedostjie. 1. Szeregi potęgowe. ( (x x ) = = x ),r-promieńzbieżości. () szereg jest zbieży bezwzględie i ieml jedostjie w( r, r), (b)szeregjestrozbieżydl x x >r, (c) kiedy x = ±r iewidomo(liczymy grice!). (d) Twierdzeie Abel. Szereg potęgowy zbieży w jedym z krńców przedziłu zbieżości stowi w tym pukcie fukcję ciągłą(jedostroie). 1 Wzór Cuchy ego-hdmrd. r =. lim 13. Twierdzeie proksymcyje. Dl kżdej ciągłej fukcji f istieje ciąg jedostjie zbieży fukcji kwłkmi liiowych zbieżych do f. NierówośćCuchy ego-schwrz-buikowskiego: b b,czyli( i b i ) i b i. -tywielomibersteifukcjif(deg ):B (x)= ) ( f k ) x k (1 x) k. Tw.JeżelifjestLipschitzowskzestłąc( f(x) f(y) c x y )to f(x) B (x) c Rchuek różiczkowy 1.Defiicjpochodejfukcjifwpukciex :f f(x (x )=lim +h) f(x ) h h..fjestróżiczkowlwpukciex jeślif (x )istiejeijestskończo. 3. Wzór Leibiz. -t pochod iloczyu: (f g) () =f () g+ ( ) f ( 1) g + 1 k= ( k ( ) y ( ) g +...+f g () = k= i. ( ) f ( k) g (k). k 4.TwierdzeieRolle.Jeżelifjestciągł[,b]iróżiczkowl(,b)orzf()=f(b),to c (,b), tkieżef (c)=. 5.TwierdzeieLgrge.Jeżelifjestciągł[,b]irożiczkowl(,b)to c (,b),tkieże f(b) f() b =f (c). 6.TwierdzeieCuchy ego.jeżelifukcjefigsąciągłe[,b]irożiczkowle(,b)ijeżeli x g (x),to c (,b),tkieże f(b) f() (c) g(b) g() =f g (c). 7.Regułdel Hospitl.Złóżmy,żef,g rożiczkowle(,b).jeżeli lim x +f(x)= lim x +g(x)=lub f(x) lim g(x) =+,to lim x + x + g(x) = lim f (x) x + g (x) oileistieje(tksmojestdlx b,tkżedlx ). Sztuczki,czylijkużywćdel Hospitlbysprowdźićwyrżeiieiż do. NiechF(x)= 1 x ig(x)= 1 g(x). () lim f(x) x g(x) =lim G(x) x F(x). f(x) (b) limf(x) g(x)=lim x x G(x). G(x) F(x) (c) lim(f(x) g(x))=lim x x G(x) F(x).
5 Aliz mtemtycz I- Autor: Krzyś Kulewski, 5 (d), i1 Sprowdzmydopoprzedichprzez:limf(x) g(x) =lime g(x) logf(x) =ex g(x) logf(x) lim. x x 8. Pochod gricy. Jeżeli dl dego zbieżego ciągu fukcji lim f (x)jegopochodef (x)sąciągłei zbieże jedostjie to ( lim f (x) ) = lim f (x). Wystrczy, że ciąg fukcji lim f (x)będziezbieżywdowolympukcieprzedziłu,zściągpochodych zbieży jedostjie w cłym przedzile, bowiem to implikuje zbieżość ciągu lim f (x)wcłymprzedzile. 9. Różiczkowie i cłkowie szeregów wyrz z wyrzem. ()Niechfukcjef (x)będąokreśloeprzedzile[,b]imjąwtymprzedzileciągłepochodef (x). Jeżeliszereg f jestzbieżyorzszereg f jestzbieżyjedostjiewtymprzedziletosum szeregu f mpochodąi ( f ) = ( f ). (b)niechfukcjef (x)będąokreśloeprzedzile[,b]isąwtymprzedzilecłkowleorzszereg f jestwtymprzedzilejedostjiezbieży.wtedy: b ( f (x)dx)= b f (x)dx. (c)wprzypdkuszeregupotęgowego x dlkżdegoxleżącegowewątrzprzedziłuzbieżości moż liczyć pochodą wyrz po wyrzie i promień(orz przedził) zbieżości szeregu pochodych jest tki sm. 1. Wypukłość. ()fwypukł f iemlejąc(oilefróżiczkowl) f (oilefdwukrotieróżiczkowl). (b) Niech f różiczkowl przedzile. Wtedy f wypukł kiedy wykres f leży d styczą wystwioą w dowolym pukcie jej wykresu. (c) Nierówość Jese dl fukcji wypukłej. (d) Wypukłość = ciągłość. f(λ 1 x 1 +λ x +...+λ x ) λ 1 f(x 1 )+λ f(x )+...+λ f(x ). (e)jeślifukcjjestciągłtobysprwdzićwypukłośćwystrczysprwdzićdlλ 1 =λ = Wzór Tylor. f -rzyróżiczkowlwpukciex. T(x)=f(x )+ f (x ) 1! (x x )+ f (x )! f(x)=t(x)+r(x),gdzier(x)toresztszeregutylor. (x x ) f() (x ) (x x )! R(x) () Włsość Peo reszty: (x x ) dlx x. (b) Fukcj swój szereg Tylor rozwij się jedozczie. (c) Róże postci reszty: i. w postci Lgrge : R (x)= f(+1) (ζ) (+1)! (x x ) +1.
6 Aliz mtemtycz I- Autor: Krzyś Kulewski, 6 ii. w postci cłki: iii. w postci Cuchy ego: R (x)= 1! x x f (+1) (t)(x t) dt. R (x)= f(+1) (ζ) (1 H) h +1,h=x x,h (,1),ζ=x +h H.! (d)przydterozwiięci:(wszystkiewokółx =) i.e x =1+ x 1! +x!+... ii.six=x x3 3!+ x5 5!... iii.cosx=1 x!+ x4 4!... iv.l(1+x)=x x +x v.rcsix= = ( 1) x +1 vi.rctx=x x3 3 +x Rchuek cłkowy 1. Cłk Riem ()górsumcłkow:s(f,π)= +1 (x i+1 x i )f(ζ i ),gdzief(ζ i )= mx f(tkieζmożwybrć i= [x i,x i+1 ] kiedy f jest ciągł). (b)dolsumcłkow:s(f,π)= +1 (x i+1 x i )f(ζ i ),gdzief(ζ i )= mi f. [x i,x i+1 ] (c) [,b] i= f(x)dx=if π S(f,π), [,b] f(x)dx=if π S(f,π) (d)ntobyfbyłcłkowl(wsesieriem)wystrczeby lims(f,π i )= lims(f,π i ),ztem i i jeżeli f jest cłkowl to b f(x)dx= f(x)dx= f(x)dx. [,b] [,b].twierdzeiebrrow.jeślif(x)= x f(t)dtwówczsf (x)=f(x). 3.f(iekoieczieciągł)mwhieskończoe,jeśliistiejectkieżedlkżdegopodziłu=x <x 1 <...<x =bzchodzi: f(x i+1 ) f(x i ) c. Whief[,b]=sup f(x i+1 ) f(x i ). Twierdzeie. Fukcj m whie skończoe wtedy i tylko wtedy gdy jest różicą dwóch fukcji iemlejących. 4. six x dxjestzbieżwrukowo(cłkdirichlet). 5.NierówośćYoug.Złóżmy,żefjestfukcjąciągłąiściślerosącąprzedzile[,c],f()=orz iech [,c],b [,f(c)]będądowoliewybrymiliczbmi.wtedy: 6. Szeregi Fourier. b f(x)dx+ f 1 (x)dx b.
7 Aliz mtemtycz I- Autor: Krzyś Kulewski, 7 () Defiicj. f cłkowl w sesie Riem [ π, π]. Szeregiem Fourier fukcji f zywmy + ( cosx+b six), gdzie = 1 π π π f(x)cosxdx,b = 1 π π π f(x)sixdx. (b)jeżelifjestprzedziłmiciągłimootoictz.kżdym[x i,x i+1 ]toszeregfourierjestzbieży dof(x)wpuktchciągłościido f +(x)+f (x) w puktch ieciągłości. (c)jeżeliwotoczeiujkiegośx fmwhieskończoetowx fjestsumąswojegoszeregufourier. (d)jeżelidljkiegośx ipewychstłychc,α>zchodzi f(x +h) f(x ) c h α (dlhzpewego otoczeix )tofjestsumąswojegoszeregufourierwx. (e) Wruek zbieżość jedostją. Jeżeli i.fjestciągłimwhiskończoe lub ii. f jest hölderowsk to jej szereg Fourier jest zbieży jedostjie do f. (f) Twierdzeie o zbieżości jedostjej szeregu Fourier. Szeref Fourier π-okresowej, różiczkowlejfukcjif,którejpochodf jestcłkowlwsesieriemprzedzile[ π,π]jest zbieży jedostjie i bezwzględie. (g)lemtriem.jeżelif cłkowlw(s.riem)[,b]to lim b f(x)sixdx= (h) (podobie z cos x). π si(+ 1 )t si 1 t dt= π. (i)kryteriumdiiego.niechφ(t)=f(x+t)+f(x t) f(x).jeżelifjestciągłjkimkolwiek przedzile(a,b)zwierjącym[,b]i h φ(t) h> t dt jedostjie zbież to szereg Fourier f jest zbieżydof. (j)twierdzeiefejér.jeślifukcjf: R Rjestciągłimokresπ,zśs tociągsumczęściowych jejszeregufourier,to 1 (s +s s 1 ) f. (k) Rówość Prsevl. Dl dowolej fukcji okresowej f: R R cłkowlej przedzile[ π, π] zchodzi rówość: π ( ) ( (f(x)) dx=π ) + 1 +b 1 + +b + 3 +b =π + ( +b ). π (l)współczyiki,b rozwiięcifourierfukcjicłkowlejdążądo. 7. Długość łuku. 8. Objętość bryły obrotowej. L= b 1+(f (x)) dx. b V=π f (x)dx. 9. Pole powierzchi bryły obrotowej. b P=π f(x) 1+(f (x)) dx.
8 Aliz mtemtycz I- Autor: Krzyś Kulewski, 8 1.ITwierdzeieowrtościśrediej.Złóżmy,żefjestciągł,zśg ciągłiostlymzku(wprzedzile [,b]).wtedy ζ [,b] b f(x)g(x)dx=f(ζ) b g(x)dx. 11. II Twierdzeie o wrtości średiej. Złóżmy, że f jest ciągł, zś g mootoicz o ciągłej pochodej (wprzedzile[,b]).wtedy b ζ [,b] f(x)g(x)dx=g() ζ f(x)dx+g(b) b ζ f(x)dx. 1. Cłki iewłściwe. () Jeżeli fukcj f jest ogriczo i poz skończoą ilością puktów przedziłu[, b] jest określo i ciągłtojejcłk b f(x)dxjestzbież. (b) Niech fukcj f będzie ciągł, mlejąc i dodti przedzile[, ). Wowczs wrukiem koieczymidostteczymzbieżościcłki f(x)dxjestzbieżośćszeregu f(+). (c)ntobycłkzfukcjidodtiejf(x)byłzbieżpotrzebiwystrczżebycłk A f(x)dx pozostwłdlrosącegoogriczoodgóry: A f(x)dx C,c=cost. (d) Kryterium Abel. Złóżmy, że i.fukcjf zbieżw[, ), ii. fukcj g mootoicz i ogriczo, wówczs f(x)g(x)dxjestzbież. (e)kryteriumdirichlet.jeżeli A> A f(x)dx K(K=cost)ifukcjg(x)jestzbieżmootoicziedodlx,to f(x)g(x)dxjestzbież. (f)kryteriumcuchy ego.niechfukcjfmdldosttecziedużychxpostćf(x)= φ(x) x λ,λ>. Wtedy: i.dlλ>1iφ(x) c< cłk f(x)dxjestzbież, ii.dlλ 1iφ(x) c>tocłk f(x)dxjestrozbież. Przydte rzeczy 1. Fukcje hiperbolicze. ()sihx= ex e x, coshx= ex +e x, tghx= sihx coshx =ex e x e x +e x. (b)cosh x sih x=1. (c)(sihx) =coshx, (coshx) =sihx, (tghx) = 1 cosh x. (d) Fukcje odwrote: ( (sihx) 1 =rsihx=log x+ ) x +1, (rsihx) = 1 (, x +1 (coshx) 1 =rcoshx=log x+ ) x 1,x 1, (rcoshx) = 1 (tghx) 1 =rtghx= 1 log1+x 1 x, x <1, (rtghx) = 1 1 x.. Wrtości fukcji trygoometryczych. si=, si π 6 =1, siπ 4 =, siπ 3 = 3, siπ =1, cos=1, cos π 6 = 3, cosπ 4 =, cosπ 3 =1, cosπ =, tg=, tg π 6 = 3 3, tgπ 4 =1, tgπ 3 = 3, tg π =, ctg=, ctg π 6 = 3, ctg π 4 =1, ctgπ 3 = 3 3, ctgπ =. 3. Tożsmości trygoometrycze. ()si α+cos α=1, (b)siα=siαcosα, (c)cosα=cos α si α=cos α 1=1 si α, (d)si(α+β)=siαcosβ+cosαsiβ, x 1,
9 Aliz mtemtycz I- Autor: Krzyś Kulewski, 9 (e)si(α β)=siαcosβ cosαsiβ, (f)cos(α+β)=cosαcosβ siαsiβ, (g)cos(α β)=cosαcosβ+siαsiβ, (h)tg(α+β)= tgα+tgβ 1 tgαtgβ, (i)tg(α β)= tgα tgβ 1+tgαtgβ, (j)ctg(α+β)= ctgαctgβ 1 ctgβ+ctgα, (k)ctg(α β)= ctgαctgβ+1 ctgβ ctgα, (l)siαcosβ=si(α+β)+si(α β), (m)siαsiβ=cos(α β) cos(α+β), ()cosαcosβ=cos(α+β)+cos(α β), (o) 1 +cosα+cosα+...+cosα=si(+1 α), si α (p) i=1 siix = cos1 x cos(+1 )x si 1 x 1 si 1 x, (q)siα+si3α+...+si( 1)α= si α siα. 4.Podstwieietrygoometrycze.t=tg x t, six= 1+t, cosx= 1 t 1+t, dx= 1+tdt. 5.Jeślix<1,toe x 1 1 x,jeślix>1,toex > 1 1 x. 6.Jeśli<x<1,toe x < 1 1 x,jeślix>1lubx<,toe x > 1 1 x. 7.Dldowolejliczbyrzeczywistejx>zchodziierówośće x 1 x e x. 8.e t 1+t, 1 x e x 1 1+x. 9. k = q = 1 qk+1 1 q. 1. Podstwowe pochode. (x x ) =x x (1+logx), (log x) = 1 xlog,, 1 x (rcsix) = 1, 1 x (rccosx) = 1 (rctx) = 1 1+x, (rcctgx) = 1 1+x. 11. Podstwowe cłki. logxdx=xlogx x+c, log xdx=x x log +C, tgxdx= log(cosx)+c, ctgxdx=log(six)+c, rcsixdx=xrcsix+ 1 x +C, rccosxdx=xrccosx 1 x +C, rctxdx=xrctx 1 log(1+x )+C, 1. Cłk Poisso. 13.WzórWllis.π= lim ( ) (!) 1 ()!. rcctgxdx=xrcctgx+ 1 log(1+x )+C. e x dx= π. 14.WzórStirlig.! π ( e). ) 15.StłEuler.γ= lim ( log =,57716.
10 Aliz mtemtycz I- Autor: Krzyś Kulewski, Fukcje Euler. Γ(x)= Dlturlychzchodzi:Γ()=( 1)!. ) e < (1+ <e 1 e +1. t x 1 e t dt,gdziex>. 18.UogólioierówośćBeroulliego.Jeżelizchodząierówości>1lub<i 1<x,to (1+x) >1+x.Jeślitomis<<1orz 1<x,to(1+x) <1+x. 19. Nierówość Schwrz. b N f(x)g(x) N f (x) N g (x), f(x)g(x)dx b f (x)dx b g (x)dx..nierówośćhölder.dldowolychliczbieujemych 1,,...,,b 1,b,...,b idowolychliczb dodtichp,qtkich,że 1 p +1 q =1zchodziierówość: 1 b 1 + b b ( p 1 +p +...+p p(b q )1 1 +bq +...+bq q. )1 1 1.e=, , e =, , π=3, , 1 π =, , =1, , 3= 1,735..., π π =36,46..., e e =15, , π e =,459..., e π =3,147...
I. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE. odwzorowań zbioru X w zbiór R [lub C] nazywamy ciągiem funkcyjnym.
I. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE 1. Zbieżość puktow i jedostj ciągów fukcyjych Niech X będzie iepustym podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych R (lub zbioru liczb zespoloych C). Defiicj 1.1. Ciąg (f ) N odwzorowń
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. II Całki oznaczone i zastosowania
Zdi z lizy mtemtyczej - sem. II Cłki ozczoe i zstosowi Defiicj. Niech P = x x.. x będzie podziłem odcik [ b] części ( N przy czym x k = x k x k gdzie k δ(p = mx{ x k : k } = x < x
Bardziej szczegółowoCiągi i szeregi funkcyjne
Mteriły do ćwiczeń Aliz Mtemtycz II 7/8 Mri Frotczk, Ludwik Kczmrek, Ktrzy Klimczk, Mri Michlsk, Bet Osińsk-Ulrych, Tomsz Rodk, Adm Różycki, Grzegorz Sklski, Stisłw Spodziej Teori pod przed ćwiczeimi pochodzi
Bardziej szczegółowo7. Szeregi funkcyjne
7 Szeregi ukcyje Podstwowe deiicje i twierdzei Niech u,,,, X o wrtościch w przestrzei Y będą ukcjmi określoymi zbiorze X Mówimy, że szereg ukcyjy u jest zbieży puktowo do sumy, jeżeli ciąg sum częściowych
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna
Aliz Mtemtycz Przykłdy: Cłki ozczoe. Oprcowie: dr hb. iż. Agieszk Jurlewicz, prof. PWr Przykłd 9. : Korzystjąc z defiicji cłki ozczoej orz fktu, że fukcj ciągł jest cłkowl, oblicz e x dx przyjmując podził
Bardziej szczegółowoCiągi liczbowe podstawowe definicje i własności
Ciągi liczbowe podstwowe defiicje i włsości DEF *. Ciągiem liczbowym (ieskończoym) zywmy odwzorowie zbioru liczb turlych w zbiór liczb rzeczywistych, tj. :. Przyjęto zpis:,,...,,... Przy czym zywmy -tym
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna ISIM I
Aliz mtemtycz ISIM I Ryszrd Szwrc Spis treści Ciągi liczbowe. Zbieżość ciągów......................... 3. Liczb e.............................. 0 Szeregi liczbowe 3. Łączość i przemieość w sumie ieskończoej.........
Bardziej szczegółowoWykład 1 Pojęcie funkcji, nieskończone ciągi liczbowe, dziedzina funkcji, wykres funkcji, funkcje elementarne, funkcje złożone, funkcje odwrotne.
Wykłd Pojęcie fukcji, ieskończoe ciągi liczbowe, dziedzi fukcji, wykres fukcji, fukcje elemetre, fukcje złożoe, fukcje odwrote.. Fukcje Defiicj.. Mówimy, że w zbiorze liczb X jest określo pew fukcj f,
Bardziej szczegółowo3.1. Ciągi liczbowe - ograniczoność, monotoniczność, zbieżność ciągu. Liczba e. Twierdzenie o trzech ciągach.
WYKŁAD 6 3 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ 31 Ciągi liczbowe - ogriczoość, mootoiczość, zbieżość ciągu Liczb e Twierdzeie o trzech ciągch 3A+B1 (Defiicj: ieskończoość) Symbole,,
Bardziej szczegółowoZadania i rozwiązania prac domowych z Analizy Matematycznej 1.2 z grupy pana Ryszarda Kopieckiego, semestr letni 2011/2012.
Zdi i rozwiązi prc domowych z Alizy Mtemtyczej. z grupy p Ryszrd Kopieckiego, semestr leti / Ntli Skowsk . seri UWAGA: wykresów oczywiście rysowć ie trzeb. Co więcej, wykres ie jest dowodem żdego stwierdzei.
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna 2 Szeregi liczbowe i funkcyjne
Aliz Mtemtycz 2 Szeregi liczbowe i fukcyje Wydził Mtemtyki wykłdowc T. Dowrowicz 5 kwieti 2017 Wykłdy III i IV SZEREGI LICZBOWE Obrzowo mówiąc, szeregiem, zywmy ciąg, w którym zmist przeików stwimy zki
Bardziej szczegółowoCIĄGI LICZBOWE N 1,2,3,... zbiór liczb naturalnych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezentowany przez punkty osi liczbowej).
Ciągi i szeregi - Lucj owlski CIĄGI LICZBOWE N,,,... zbiór liczb turlych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezetowy przez pukty osi liczbowej). Nieskończoy ciąg liczbowy to przyporządkowie liczbom
Bardziej szczegółowoLiteratura do ćwiczeń: Program zajęć: dr Krzysztof Żyjewski Informatyka; rok I, I o.inż. 17 listopada 2015
dr Krzysztof Żyjewski Iformtyk; rok I, I o.iż. 17 listopd 015 Kotkt: e-mil: krzysztof.zyjewski@uwm.edu.pl kosultcje: po 18 listopd 7.55-8.55, pok. A0/19 (ie termiy możliwe po uprzedim kotkcie milowym)
Bardziej szczegółowoCIĄGI LICZBOWE N = zbiór liczb naturalnych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezentowany przez punkty osi liczbowej).
MATEMATYKA I - Lucj Kowlski {,,,... } CIĄGI LICZBOWE N zbiór liczb turlych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezetowy przez pukty osi liczbowej. Nieskończoy ciąg liczbowy to przyporządkowie liczbom
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna część 3
[wersj z 5 III 7] Aliz Mtemtycz część 3 Kospekt wykłdu dl studetów fizyki/iformtyki Akdemi Świętokrzysk 6/7 Wojciech Broiowski Różiczkowlość Pochod fukcji jedej zmieej Pochod f : (, b) R w pukcie (, b)
Bardziej szczegółowoCałka Riemanna. Analiza Matematyczna. Alexander Denisjuk
Anliz Mtemtyczn Cłk Riemnn Alexnder Denisjuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Jpońsk Wyższ Szkoł Technik Komputerowych zmiejscowy ośrodek dydktyczny w Gdńsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdńsk Anliz Mtemtyczn p.
Bardziej szczegółowoSzeregi liczbowe. Szeregi potęgowe i trygonometryczne.
Szeregi iczbowe. Szeregi potęgowe i trygoometrycze. wykład z MATEMATYKI Automatyka i Robotyka sem. I, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Iformatyki Poitechika Białostocka Szeregi iczbowe Defiicja..
Bardziej szczegółowoPowtórka dotychczasowego materiału.
Powtórk dotychczsowego mteriłu. Zdi do smodzielego rozwiązi. N ćwiczeich w środę 7.6.7 grupy 4 leży wskzć zdi, które sprwiły jwięcej problemów. 43. W kżdym z zdń 43.-43.5 podj wzór fukcję różiczkowlą f
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna v.1.6 egzamin mgr inf niestacj 1. x p. , przy założeniu, że istnieją lim
Anliz mtemtyczn v..6 egzmin mgr inf niestcj Oznczeni: f, g, h : J R funkcje rzeczywiste określone n J R J przedził, b),, b], [, b), [, b], półprost, b),, b],, ), [, ) lub prost R α, β [min{α, β}, m{α,
Bardziej szczegółowoCałka oznaczona. Matematyka. Aleksander Denisiuk. Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza Elblag.
Mtemtyk Cłk oznczon Aleksnder Denisiuk denisjuk@euh-e.edu.pl Elblsk Uczelni Humnistyczno-Ekonomiczn ul. Lotnicz 2 82-3 Elblg Mtemtyk p. 1 Cłk oznczon Njnowsz wersj tego dokumentu dostępn jest pod dresem
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 4. Jacek M. Jędrzejewski
Nottki z Anlizy Mtemtycznej 4 Jcek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 7 Cłk Riemnn 1. Cłk nieoznczon Definicj 7.1. Niech f : (, b) R będzie dowolną funkcją. Jeżeli dl pewnej funkcji F : (, b) R spełnion jest równość
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Szeregi liczbowe
Zadaia z aalizy matematyczej - sem. I Szeregi liczbowe Defiicja szereg ciąg sum częściowyc. Szeregiem azywamy parę uporządkowaą a ) S ) ) ciągów gdzie: ciąg a ) ciąg S ) jest day jest ciągiem sum częściowych
Bardziej szczegółowo+ ln = + ln n + 1 ln(n)
"Łatwo z domu rzeczywistości zajśd do lasu matematyki, ale ieliczi tylko umieją wrócid." Hugo Dyoizy Steihaus Niech (a ) będzie ieskooczoym ciągiem rzeczywistym. Def. Szeregiem = a azywamy parę ciągów
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna. Całka Riemanna
Anliz Mtemtyczn. Cłk Riemnn Aleksnder Denisiuk denisiuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Jpońsk Wyższ Szkoł Technik Komputerowych Wydził Informtyki w Gdńsku ul. Brzegi 55 8-45 Gdńsk 29 kwietni 217 1 / 2 Cłk Riemnn
Bardziej szczegółowoEAIiIB- Informatyka - Wykład 1- dr Adam Ćmiel zbiór liczb wymiernych
EAIiIB- Iortyk - Wykłd - dr Ad Ćiel ciel@.gh.edu.pl dr Ad Ćiel (A3-A4 p.3, tel. 3-7, ciel@gh.edu.pl ; http://hoe.gh.edu.pl/~ciel/) Podręcziki Gewert M, Skoczyls Z. Aliz tetycz i. Deiicje twierdzei i wzory,
Bardziej szczegółowoRACHUNEK CAŁKOWY. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I R, jeżeli. F (x) = f (x), dla każdego x I.
RACHUNEK CAŁKOWY Funkcj F jest funkcją pierwotną funkcji f n przedzile I R, jeżeli F (x) = f (x), dl kżdego x I. Przykłd. Niech f (x) = 2x dl x (, ). Wtedy funkcje F (x) = x 2 + 5, F (x) = x 2 + 5, F (x)
Bardziej szczegółowoAnaliza numeryczna Kurs INP002009W. Wykład 1 Narzędzia matematyczne. Karol Tarnowski A-1 p.223
Aaliza umerycza Kurs INP002009W Wykład Narzędzia matematycze Karol Tarowski karol.tarowski@pwr.wroc.pl A- p.223 Pla wykładu Czym jest aaliza umerycza? Podstawowe pojęcia Wzór Taylora Twierdzeie o wartości
Bardziej szczegółowoAnaliza obwodów elektrycznych z przebiegami stochastycznymi. Dariusz Grabowski
Aliz obwodów elekryczych z przebiegmi sochsyczymi Driusz Grbowski Pl wysąpiei Sochsycze modele sygłów Procesy sochsycze Przekszłcei procesów sochsyczych przez ukłdy liiowe Ciągłość i różiczkowlość sochsycz
Bardziej szczegółowonazywamy n -tym wyrazem ciągu ( f n
Rk II Temt 7 SZEREGI FUNKCYJNE SZEREG POTĘGOWY SZEREG TAYLORA Ciąg ukcyjy Szeregi ukcyje Zbieżść jedstj Szereg ptęgwy Prmień zbieżści szeregu ptęgweg Szereg Tylr Ciąg ukcyjy Niech U zcz iepusty pdzbiór
Bardziej szczegółowo5. CIĄGI. 5.1 Definicja ciągu. Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję przyporządkowującą każdej liczbie naturalnej n liczbę rzeczywistej.
5 CIĄGI 5 Defiicj ciągu Ciągiem liczbowym zywmy fukcję przyporządkowującą kżdej liczbie turlej liczbę rzeczywistej Ciąg zpisujemy często wyliczjąc wyrzy,, lub używmy zpisu { } lbo ( ) Ciągi liczbowe moż
Bardziej szczegółowoWykład 8: Całka oznanczona
Wykłd 8: Cłk ozczo dr Mriusz Grządziel grudi 28 Pole trójkt prboliczego Problem. Chcemy obliczyć pole s figury S ogriczoej prostą y =, prostą = i wykresem fukcji f() = 2. Rozwizie przybliżoe. Dzielimy
Bardziej szczegółowoEkoenergetyka Matematyka 1. Wykład 8. CIĄGI LICZBOWE
Ekoeergetk Mtemtk 1. Wkłd 8. CIĄGI LICZBOWE Defiicj (ciąg liczbow) Ciągiem liczbowm zwm fukcję odwzorowującą zbiór liczb turlch w zbiór liczb rzeczwistch. Wrtość tej fukcji dl liczb turlej zwm -tm wrzem
Bardziej szczegółowoSZEREGI LICZBOWE. s n = a 1 + a a n = a k. k=1. aq n = 1 qn+1 1 q. a k = s n + a k, k=n+1. s n = 0. a k lim n
SZEREGI LICZBOWE Z ciągu liczb a, a 2,... utwórzmy owy ciąg Przyjmijmy ozaczeia s = a + a 2 +... a = a k. k= k= a k = a + a 2 +... = s. Gdy graica k= a k jest liczbą, to mówimy, że szereg k= a k jest sumowaly
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa Całka oznaczona
Anliz mtemtyczn i lgebr liniow Cłk oznczon Wojciech Kotłowski Instytut Informtyki Politechniki Poznńskiej emil: imię.nzwisko@cs.put.poznn.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultcje: piątek 15:10-16:40
Bardziej szczegółowoCałki oznaczone. Funkcja górnej granicy całkowania. Zastosowania całek oznaczonych. Całki niewłaściwe. Małgorzata Wyrwas
Cłki oznczone Definicj, włsności i oblicznie cłek oznczonych. Wrtość średni funkcji. Funkcj górnej grnicy cłkowni. Zstosowni cłek oznczonych. Cłki niewłściwe. Młgorzt Wyrws Ktedr Mtemtyki Wydził Informtyki
Bardziej szczegółowoCałki oznaczone. Funkcja górnej granicy całkowania. Zastosowania całek oznaczonych. Całki niewłaściwe. Małgorzata Wyrwas
Cłki oznczone Definicj, włsności i oblicznie cłek oznczonych. Wrtość średni funkcji. Funkcj górnej grnicy cłkowni. Zstosowni cłek oznczonych. Cłki niewłściwe. Młgorzt Wyrws Ktedr Mtemtyki Wydził Informtyki
Bardziej szczegółowo460 Szeregi Fouriera. Definicja. Definicja. Układ trygonometryczny. Definicja Układ ortogonalny funkcji ( ϕ n
6 Szeregi Fourier Defiij Dwie fuje ψ :< > C zywmy fujmi ortogolymi przedzile < > gdy ψ Defiij Ciąg fuji ) :< > C zywmy ułdem ortogolym przedzile < > gdy fuje są prmi ortogole przedzile < > tz gdy j j λ
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna część 2
[wersj z 5 XII 006] Aliz Mtemtycz część Kospekt wykłdu dl studetów fizyki/iformtyki Akdemi Świętokrzysk 006/007 Wojciech Broiowski Ciągi i szeregi Przestrzeń metrycz Metryk: Przestrzeń metrycz: pr (X,
Bardziej szczegółowoJan Nawrocki. MATEMATYKA cz. 2. Analiza matematyczna I
J Nwrocki MATEMATYKA cz Aliz mtemtycz I Politechik Wrszwsk Politechik Wrszwsk Wydził Smochodów i Mszy Roboczych Kieruek "Edukcj techiczo iformtycz" -54 Wrszw, ul Nrbutt 84, tel () 849 4 7, () 4 8 48 ipbmvrsimrpwedupl/spi/,
Bardziej szczegółowoZadania z Matematyka 2 - SIMR 2008/ szeregi zadania z rozwiązaniami. n 1. n n. ( 1) n n. n n + 4
Zadaia z Matematyka - SIMR 00/009 - szeregi zadaia z rozwiązaiami. Zbadać zbieżość szeregu Rozwiązaie: 0 4 4 + 6 0 : Dla dostateczie dużych 0 wyrazy szeregu są ieujeme 0 a = 4 4 + 6 0 0 Stosujemy kryterium
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna część 2
[wersj z 6 XI 008] Aliz Mtemtycz część Kospekt wykłdu dl studetów fizyki/iformtyki Akdemi Świętokrzysk 008/9 Wojciech Broiowski Ciągi i szeregi Przestrzeń metrycz Metryk: Przestrzeń metrycz: pr (X, ρ)
Bardziej szczegółowoWykład 12: Sumowanie niezależnych zmiennych losowych i jego związek ze splotem gęstości i transformatami Laplace a i Fouriera. Prawo wielkich liczb.
Rchuek prwdopodobieństw MA064 Wydził Elektroiki, rok kd. 2008/09, sem. leti Wykłdowc: dr hb. A. Jurlewicz Wykłd 2: Sumowie iezleżych zmieych losowych i jego związek ze splotem gęstości i trsformtmi Lplce
Bardziej szczegółowo1.1 Pochodna funkcji w punkcie
Pochod fukcji w pukcie BLOK I RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY Zkłdmy, że fukcj f jest określo w przedzile, ) orz, że, ), jest liczą, dl której + ), ) Liczę zywmy przyrostem rgumetu w pukcie, tomist różicę
Bardziej szczegółowoZADANIA NA POCZA n(n + 1) = 1 3n(n + 1)(n + 2).
ZADANIA NA POCZA TEK Udowodić, że dl kżdej liczby turlej zchodzi wzór: 3 3 4 = 3 Udowodić, że dl kżdej liczby turlej zchodzi wzór: 3 3 4 = 4 3 3 Udowodić, że dl kżdej liczby turlej zchodzi wzór: 3 3 4
Bardziej szczegółowox 2 5x + 6, (i) lim 9 + 2x 5 lim x + 3 ( ) 9 Zadanie 1.4. Czy funkcjom, (c) h(x) =, (b) g(x) = x x, (c) h(x) = x + x.
Zadaie.. Obliczyć graice x 2 + 2x 3 (a) x x x2 + x2 + 25 5 (d) x 0. Graica i ciągłość fukcji x 2 5x + 6 (b) x x 2 x 6 4x (e) x 0si 2x (g) x 0 cos x x 2 (h) x 8 Zadaie.2. Obliczyć graice (a) (d) (g) x (x3
Bardziej szczegółowoSzeregi o wyrazach dowolnych znaków, dwumian Newtona
Poprwi lem 9 czerwc 206 r, godz 20:0 Twierdzeie 5 kryterium Abel Dirichlet Niech be dzie ieros cym ci giem liczb dodtich D Jeśli 0 i ci g sum cze ściowych szeregu b jest ogriczoy, to szereg b jest zbieży
Bardziej szczegółowodna szeregu. ; m., k N ; ó. ; u. x 2n 1 ; e. n n! jest, że
KILKA ZADAŃ O SZEREGACH Zbadać zbieżość i zbieżość bezwzgle da = a, jeśli a = a!! ; a + + ; c + ; ć! ; d +/ + 3 ; e! e 3 3+ ; f ; + g 000+ ; h ; + i! ; j k ; l 5 + l + 7 0 +3 6 0 + ; +3 ; ; m 3 + 3 ; +a
Bardziej szczegółowoFunkcje trygonometryczne
Funkcje trygonometryczne Wartości funkcji trygonometrycznych kątów 30 o, 45 o, 60 o Kąt α [ o ] 30 o 45 o 60 o sin α ½ 2 / 2 3 / 2 cos α 3 / 2 2 / 2 ½ tg α 3 / 3 1 3 ctg α 3 1 3 / 3 Związki między funkcjami
Bardziej szczegółowoMateriały do ćwiczeń z Analizy Matematycznej I
Materiały do ćwiczeń z Aalizy Matematyczej I 08/09 Maria Frotczak Ludwika Kaczmarek Katarzya Klimczak Maria Michalska Beata Osińska-Ulrych Tomasz Rodak Adam Różycki Grzegorz Skalski Staisław Spodzieja
Bardziej szczegółowoVI. Rachunek całkowy. 1. Całka nieoznaczona
VI. Rchunek cłkowy. Cłk nieoznczon Niech F : I R i f : I R będą funkcjmi określonymi n pewnym przedzile I R. Definicj. Funkcję F nzywmy funkcją pierwotną funkcji f n przedzile I, gdy F (x) = f(x) dl x
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16
Egzami,.6.6, godz. 9:-: Zadaie. puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z i w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej bez używaia fukcji trygoometryczych) oraz zazaczyć
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa MAP1151 Wydział Elektroniki, rok akad. 2011/12, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz
Rchuek prwdopodobieństw MA5 Wydził Elektroiki, rok kd. 20/2, sem. leti Wykłdowc: dr hb. A. Jurlewicz Wykłd 7: Zmiee losowe dwuwymirowe. Rozkłdy łącze, brzegowe. Niezleżość zmieych losowych. Momety. Współczyik
Bardziej szczegółowoCałka oznaczona. długość k-tego odcinka podziału P. punkt pośredni k-tego odcinka podziału P. Niech funkcja f będzie ograniczona na przedziale
Cł ozczo. De.1. Podziłem odci części, N, zywmy ziór przy czym. Wprowdzmy ozczei: długość -tego odci podziłu P średic podziłu P put pośredi -tego odci podziłu P De.2 sum cłow Niech ucj ędzie ogriczo przedzile
Bardziej szczegółowoCałka oznaczona. długość k-tego odcinka podziału P. punkt pośredni k-tego odcinka podziału P. Niech funkcja f będzie ograniczona na przedziale
Cł ozczo. De.1. Podziłem odci części, N, zywmy ziór przy czym. Wprowdzmy ozczei: długość -tego odci podziłu P średic podziłu P put pośredi -tego odci podziłu P De.2 (sum cłow) Niech ucj ędzie ogriczo przedzile
Bardziej szczegółowonazywamy odpowiednio dolną oraz górną sumą Darboux funkcji f w przedziale [a, b] wyznaczoną przez podział P.
Rozdził 10 Cłk Drboux 10.1 Doln i górn sum Drboux Definicj podziłu. Niech, b R, < b. Kżdy skończony ciąg P postci (10.1) P = (x 0,..., x n ), gdzie n N, = x 0 < x 1
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 1
ANALIZA MATEMATYCZNA Ciągi liczbowe Definicj. Rzeczywistym nieskończonym ciągiem liczbowym nzywmy funkcję określoną n zbiorze liczb nturlnych o wrtościch w zbiorze liczb rzeczywistych f : N R, n n. Ciąg
Bardziej szczegółowoCałka oznaczona. długość k-tego odcinka podziału P. średnica podziału P. punkt pośredni k-tego odcinka podziału P
Cł ozczo. De.. Podziłem odci części, N, zywmy ziór przy czym. Wprowdzmy ozczei: długość -tego odci podziłu P średic podziłu P put pośredi -tego odci podziłu P De. sum cłow Niech ucj ędzie ogriczo przedzile
Bardziej szczegółowoCałka Riemanna Dolna i górna suma całkowa Darboux
Doln i górn sum cłkow Drboux π = {x 0,..., x k }, x 0 =, x k = b - podził odcink [, b]; x i = x i x i 1, i = 1, 2,..., k; P = P[, b] - rodzin podziłów odcink [, b]. m i = m i (f, π) := inf x [xi 1,x i
Bardziej szczegółowoObrazowo, zbiór jest ograniczony, gdy wszystkie jego elementy są położone między dwoma punktami osi liczbowej.
ZBIORY I FUNKCJE LICZBOWE ZBIORY LICZB { 3 } { ± ± } N ziór licz turlych Z ziór licz cłkowitych p Q : p Z q N ziór licz wymierych q R ziór licz rzeczywistych ZBIORY OGRANICZONE Def ziór ogriczoy z dołu
Bardziej szczegółowoZadanie 1.6. Niech n N, a R + \ N, a 2 = n. Wykazać, że a / Q. Zadanie 1.7. Wykazać następujące twierdzenia za pomocą indukcji matematycznej.
. Liczby wymiere zasada idukcji matematyczej przekroje Dedekida Zadaie.. Niech A Q. Wykazać że jeśli istieje mi A odp. max A) to istieje if A odp. sup A) oraz if A = mi A odp. sup A = max A). Zadaie..
Bardziej szczegółowoMatematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 11
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochroa radiologicza Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 11 Całka ozaczoa podstawowe pojęcia Defiicja podziału odcika Podziałem P odcika < a, b > a części azywamy zbiór
Bardziej szczegółowoIII seria zadań domowych - Analiza I
III seria zadań domowych - Aaliza I Różiczkowalość fukcji Zadaie Dla jakich wartości parametrów abc R fukcje a + gdy π si + b gdy > π a + b gdy 0 gdy > c a + b gdy c są różiczkowale. a + b gdy a 0 / arcsi
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 11
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD Szeregi potęgowe Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C jeżeli jest -krotie różiczkowala i jej -ta pochoda jest fukcją ciągłą. Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C, jeżeli jest
Bardziej szczegółowoInformatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce!
Iformatyka Stosowaa-egzami z Aalizy Matematyczej Każde zadaie ależy rozwiązać a oddzielej, podpisaej kartce! y, Daa jest fukcja f (, + y, a) zbadać ciągłość tej fukcji f b) obliczyć (,) (, (, (,) c) zbadać,
Bardziej szczegółowoZauważone błędy bardzo proszę zgłaszać mailem lub na ćwiczeniach. Z góry dziękuję :-)
Odpowiedzi do zadań z szeregów, cz I. Zauważoe błędy bardzo proszę zgłaszać mailem lub a ćwiczeiach. Z góry dziękuję :-. a +, wsk. skorzystać z rówości a b a b, astępie a+b wyciągąć ajwyższe potęgi z liczika
Bardziej szczegółowo1 Rachunek zdań 3. 2 Funkcje liczbowe 6
Spis treści 1 Rchunek zdń 3 2 Funkcje liczbowe 6 3 Ciągi liczbowe 9 3.1 Grnic włściw ciągu 10 3.2 Grnic niewłściw ciągu 11 3.3 Grnice pewnych ciągów 12 4 Grnice funkcji 13 4.1 Podstwowe definicje 13 4.2
Bardziej szczegółowo1 Układy równań liniowych
Katarzya Borkowska, Wykłady dla EIT, UTP Układy rówań liiowych Defiicja.. Układem U m rówań liiowych o iewiadomych azywamy układ postaci: U: a x + a 2 x 2 +... + a x =b, a 2 x + a 22 x 2 +... + a 2 x =b
Bardziej szczegółowoIII. Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej.
III. Rchunek cłkowy funkcji jednej zmiennej. 1. Cłki nieoznczone. Niech f : I R, I R - przedził n prostej. Definicj 1.1. (funkcji pierwotnej) Funkcję F nzywmy funkcją pierwotną funkcji f n przedzile I,
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki oznaczone. lim δ n = 0. σ n = f(ξ i ) x i. (1)
Mciej Grzesik Istytut Mtemtyki Politechiki Pozńskiej Cłki ozczoe. Defiicj cłki ozczoej Niech d będzie fukcj f ciągł w przedzile [, b]. Przedził [, b] podziey podprzedziłów puktmi = x < x < x
Bardziej szczegółowoMatematyka ETId I.Gorgol Twierdzenia o granicach ciagów. Twierdzenia o granicach ciagów
Twierdzeia o graicach ciagów Matematyka ETId I.Gorgol Zbieżość ciagu a jego ograiczoość TWIERDZENIE Jeżeli ci ag liczbowy a ) jest zbieży do graicy skończoej, to jest ograiczoy. Zbieżość ciagu a jego ograiczoość
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń
Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Leszek Skrzypczak 1. Niech E = {x [0, 1] : x = k 2 n k = 1, 2,... 2 n, n = 1, 2, 3,...} Wówczas: (a) Dla dowolnych liczb wymiernych p, q [0,
Bardziej szczegółowoInformacje pomocnicze:
dr Krzysztof yjewski Informatyka; S-I 0.in». 7 grudnia 06 Rachunek caªkowy funkcji jednej zmiennej. Caªka nieoznaczona. przydatne wzory: Informacje pomocnicze: Lp. Wzór Uwagi. dx = x c. adx = ax c 3. x
Bardziej szczegółowo1 Funkcja wykładnicza i logarytm
1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres
Bardziej szczegółowo1 Funkcja wykładnicza i logarytm
1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres
Bardziej szczegółowo1 Definicja całki oznaczonej
Definicj cłki oznczonej Niech dn będzie funkcj y = g(x) ciągł w przedzile [, b]. Przedził [, b] podzielimy n n podprzedziłów punktmi = x < x < x
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna I. Pula jawnych zadań na kolokwia.
Aaliza matematycza I. Pula jawych zadań a kolokwia. Wydział MIiM UW, 23/4 ostatie poprawki: 6 listopada 23 Szaowi Państwo, zgodie z zapowiedzią, a każdym kolokwium w pierwszym semestrze co ajmiej 2 zadaia
Bardziej szczegółowoWykład 9: Różne rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych. Prawa wielkich liczb.
Rchuek prwopoobieństw MA1181 Wyził T, MS, rok k. 2013/14, sem. zimowy Wykłowc: r hb. A. Jurlewicz Wykł 9: Róże rozje zbieżości ciągów zmieych losowych. rw wielkich liczb. Zbieżość z prwopoobieństwem 1:
Bardziej szczegółowoZagadnienie Sturma-Liouville a. Definicja : Zagadnieniem Sturma-Liouville a nazywamy równanie różniczkowe postaci
Zgdieie Sturm-Liouville Defiicj : Zgdieiem Sturm-Liouville zywmy rówie różiczkowe postci p x y x + q x + λ r x y x = 0, x,, λ R gdzie p x, p x, q x, r x są ciągłe, orz x, p x 0 r(x) 0 z wrukmi rzegowymi.
Bardziej szczegółowoFunkcje tworz ce skrypt do zada«
Fukcje tworz ce skrypt do zada«mateusz Rapicki, Piotr Suwara 20 maja 2012 1 Kombiatoryka Deicja 1 (dwumia Newtoa) dla liczb caªkowitych ieujemych, k to liczba k sposobów wybraia k elemetów z -elemetowego
Bardziej szczegółowoEkoenergetyka Matematyka 1. Wykład 15. CAŁKI OZNACZONE. Egzaminy I termin poniedziałek :00 Aula B sala 12B Wydział Informatyki
Ekoenergetyk Mtemtyk 1. Wykłd 15. CAŁKI OZNACZONE Egzminy I termin poniedziłek 31.01 14:00 Aul B sl 12B Wydził Informtyki Definicj (podził odcink) II termin poprwkowy czwrtek 9.02 14:00 WE-030 Podziłem
Bardziej szczegółowo2. Ciągi liczbowe. Definicja 2.1 Funkcję a : N R nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość funkcji a(n) oznaczamy symbolem a
Ciągi liczbowe Defiicj Fukcję : N R zywmy iem liczbowym Wrtość fukcji () ozczmy symbolem i zywmy -tym lub ogólym wyrzem u Ciąg Przykłdy Defiicj róŝic zpisujemy rówieŝ w postci { } + Ciąg liczbowy { } zywmy
Bardziej szczegółowo9. Całkowanie. I k. sup
9. Cłkownie Zcznijmy od podstwowego dl teorii cłki pojęci podziłu. Podziłem odcink [, b] R nzywmy kżdy skończony zbiór P [, b] zwierjący ob końce odcink. Niech będą punktmi podziłu P. Odcinki = x < x
Bardziej szczegółowoMateriały dydaktyczne. Matematyka. Semestr II. Wykłady
Projekt współfisowy ze środków Uii Europejskiej w rmch Europejskiego Fuduszu Społeczego Mteriły dydktycze Mtemtyk Semestr II Wykłdy Projekt Rozwój i promocj kieruków techiczych w Akdemii Morskiej w Szczeciie
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16
Egzami,.9.6, godz. :-5: Zadaie. ( puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z 4 = 4 w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej (bez używaia fukcji trygoometryczych)
Bardziej szczegółowoCAŁKA OZNACZONA JAKO SUMA SZEREGU
CAŁKA OZNACZONA JAKO SUMA SZEREGU Rozwżmy funkcję ciągłą x f(x) o wrtościch nieujemnych określoną n przedzile [, b]. Ustlmy [będzie to problem sttystyczny polegjący n dokłdnym sprecyzowniu informcji o
Bardziej szczegółowo3. Funkcje elementarne
3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna I. Pula jawnych zadań na kolokwia.
Aaliza matematycza I. Pula jawych zadań a kolokwia. Wydział MIiM UW, 25/6 ostatie poprawki: 8 styczia 26 Szaowi Państwo, zgodie z zapowiedzią, a każdym kolokwium w pierwszym semestrze co ajmiej jeda trzecia
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2, lato 2018/19
47. W każdym z zadań 47.-47.5 podaj wzór a fukcję różiczkowalą f :D f R o podaym wzorze a pochodą oraz o podaej wartości w podaym pukcie. 47.. f x 4x 5 54 f D f R 4x 555 fx + 47.. f x x+ f D f, + fx 9
Bardziej szczegółowoMATHCAD 2000 - Obliczenia iteracyjne, macierze i wektory
MTHCD - Obliczei itercyje, mcierze i wektory Zmiee zkresowe. Tblicowie fukcji Wzór :, π.. π..8.9...88.99..8....8.98. si().9.88.89.9.9.89.88.9 -.9 -.88 -.89 -.9 - Opis, :,, przeciek, Ctrl+Shift+P, /,, ;średik,
Bardziej szczegółowoFunkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta
Fukcje cze Moduł - dział -temat Fukcje cze dowolego kąta Lp 1 kąt w układzie współrzędych fukcje cze dowolego kąta zaki czych wartości czych iektórych kątów Kąt obrotu 2 dodati i ujemy kieruek obrotu wartości
Bardziej szczegółowoTwierdzenia o funkcjach ciągłych
Automatya i Robotya Aaliza Wyład 5 dr Adam Ćmiel cmiel@aghedupl Twierdzeia o ucjach ciągłych Tw (Weierstrassa Jeżeli ucja : R [ R jest ciągła a [, to ograiczoa i : ( sup ( i ( i ( [, Dowód Ograiczoość
Bardziej szczegółowoZADANIA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ dla I roku kierunku informatyka WSZiB
pro. dr hb. Stisłw Biłs ZADANIA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I roku kieruku iormtyk WSZiB I. ELEMENTARNE WŁASNOŚCI FUNKCJI. Wyzczyć dziedzię ukcji: 5 7 log[ log 5 6. b c ] d. Wyzczyć przeciwdziedzię ukcji:
Bardziej szczegółowoFunkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta
Fukcje trygoometrycze Moduł - dział -temat Fukcje trygoometry cze dowolego kąta 1 kąt w układzie współrzędych fukcje trygoometrycze dowolego kąta zaki trygoometryczych wartości trygoometryczych iektórych
Bardziej szczegółowoAnaliza I.2*, lato 2018
Analiza I.2*, lato 218 Marcin Kotowski 14 czerwca 218 Zadanie 1. Niech x (, 1) ma rozwinięcie binarne.x 1 x 2.... Niech dla x, 1: oraz f() = f(1) =. Pokaż, że f: f(x) = lim sup n (a) przyjmuje wszystkie
Bardziej szczegółowoa 1, a 2, a 3,..., a n,...
III. Ciągi liczbowe. 1. Defiicja ciągu liczbowego. Defiicja 1.1. Ciągiem liczbowym azywamy fukcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb aturalych N w zbiór liczb rzeczywistych R i ozaczamy przez { }. Używamy
Bardziej szczegółowoMatematyka wybrane zagadnienia. Lista nr 4
Mtemty wyre zgdiei List r 4 Zdie Jeżeli ułd wetorów v, v przestrzei liiowej V ie jest liiowo iezleży, to mówimy, że wetory v, v są liiowo zleże Udowodić stępujące twierdzeie: Ułd wetorów v, v ( ) jest
Bardziej szczegółowoFunkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta
Fukcje cze Moduł - dział -temat Fukcje cze dowolego kąta Lp 1 kąt w układzie współrzędych fukcje cze dowolego kąta zaki czych wartości czych iektórych kątów Kąt obrotu 2 dodati i ujemy kieruek obrotu wartości
Bardziej szczegółowoO SZEREGACH FOURIERA. T (x) = c k e ikx
O SZEREGACH FOURIERA Funkcję postci. Wielominy i szeregi trygonometryczne. T x = N k= N c k e ikx nzywmy wielominem trygonometrycznym. Jk widć, wielomin trygonometryczny jest funkcją okresową o podstwowym
Bardziej szczegółowoSzereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3:
Szereg geometryczy Zad : Suma wszystkich wyrazów ieskończoego ciągu geometryczego jest rówa 4, a suma trzech początkowych wyrazów wyosi a) Zbadaj mootoiczość ciągu sum częściowych tego ciągu geometryczego
Bardziej szczegółowoPochodne i całki, macierze i wyznaczniki
Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki Stnisłw Jworski Ktedr Ekonometrii i Sttystyki Zkłd Sttystyki Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki Cłk
Bardziej szczegółowo