WPŁYW LICZBY NAJBLIŻSZYCH SĄSIADÓW NA DOKŁADNOŚĆ PROGNOZ EKONOMICZNYCH SZEREGÓW CZASOWYCH

Transkrypt

1 Stua Ekonomczne. Zeszyty Naukowe Unwersytetu Ekonomcznego w Katowcach ISSN Nr Monka Mśkewcz-Nawrocka Unwersytet Ekonomczny w Katowcach Wyzał Zarzązana Katera Matematyk monka.mskewcz@ue.katowce.pl WPŁYW LICZBY NAJBLIŻSZYCH SĄSIADÓW NA DOKŁADNOŚĆ PROGNOZ EKONOMICZNYCH SZEREGÓW CZASOWYCH Streszczene: Metoa najblższych sąsaów jest jeną z meto prognozowana szeregów czasowych. W metoze tej, prognozę (N+)-go elementu x ˆ N + szacuje sę jako śreną ważoną obserwacj x +, gze wektory x są k najblższym sąsaam wektora x N w zrekonstruowanej -wymarowej przestrzen stanów. Istotnym problemem poczas stosowana tej metoy jest wyznaczene prawłowej lczby najblższych sąsaów, która pownna być brana po uwagę przy wyznaczanu prognoz. Głównym celem artykułu jest zbaane wpływu lczby najblższych sąsaów na okłaność prognoz ekonomcznych szeregów czasowych. Baana zostały przeprowazone w oparcu o wybrane fnansowe szereg czasowe. Słowa kluczowe: metoa najblższych sąsaów, prognozowane szeregów czasowych, rekonstrukcja przestrzen stanów. Wprowazene W teor nelnowych ukłaów ynamcznych o prognozowana przyszłych wartośc szeregów czasowych można zastosować metoę analogową zwaną metoą najblższych sąsaów. W metoze tej, prognozowaną wartość szeregu ustala sę na postawe śrenej ważonej perwszych współrzęnych punktów, bęących najblższym (w sense oległośc euklesowej) sąsaam punktu w zrekonstruowanej przestrzen stanów, opowaającemu obserwacj. Istotnym problemem przy stosowanu metoy analogowej jest ustalene prawłowej lczby najblższych sąsaów punktów zrekonstruowanej przestrzen stanów, które należy wząć po uwagę przy wyznaczenu prognozy.

2 Wpływ lczby najblższych sąsaów na okłaność prognoz 6 W pracy został zbaany wpływ lczby najblższych sąsaów na okłaność otrzymanych prognoz zjawsk ekonomcznych, opsanych za pomocą ekonomcznych szeregów czasowych. Baana empryczne zostały przeprowazone na postawe rzeczywstych, ekonomcznych szeregów czasowych. W celu przeprowazena oblczeń wykorzystano program napsany przez autorkę w języku programowana Delph oraz arkusz kalkulacyjny Excel.. Rekonstrukcja przestrzen stanów ukłau ynamcznego Rekonstrukcja przestrzen stanów polega na otworzenu, jeyne na postawe jenowymarowego szeregu obserwacj, przestrzen stanów ukłau ynamcznego. Jeną z meto rekonstrukcj jest metoa opóźneń, wprowazona nezależne przez N.H. Packara [Packar n., 980] oraz F. Takensa [98]. Rekonstrukcja przestrzen obywa sę poprzez zanurzene szeregu czasowego w przestrzen o wyższym wymarze, tj. poprzez otworzene trajektor ukłau w welowymarowej przestrzen wektorowej. Elementam tej przestrzen są -wymarowe wektory zwane -hstoram, które powstają w wynku przesunęca orygnalnego szeregu czasowego o pewną stałą wartość opóźnena czasowego τ [Kantz, Schreber, 2004]: st = ( st, st τ,..., st ( ) τ ) () gze: ( )τ + t N s t obserwacje orygnalnego szeregu, wymar rekonstruowanej przestrzen (zwany równeż wymarem zanurzena), τ opóźnene czasowe. F. Takens uowonł, że la 2m +, gze m jest wymarem atraktora, a wymarem zanurzena, zrekonstruowana przestrzeń stanów ukłau jest topologczne równoważna z orygnalną przestrzeną ukłau ynamcznego [Zawazk, 996]. 2. Metoa najblższych sąsaów Metoa najblższych sąsaów NS, zwana też metoą analogową, została zaproponowana przez E.N. Lorenza [969] jest najstarszą metoą prognozowana chaotycznych szeregów czasowych. Jej postawą teoretyczną jest fakt, ż stany ukłaów etermnstycznych ewoluują w czase w poobny sposób. W przypaku szeregów czasowych, gy ne znamy funkcj f, opsującej ynam-

3 62 Monka Mśkewcz-Nawrocka kę ukłau ysponujemy jeyne jenowymarowym szeregem obserwacj, należy przeprowazć rekonstrukcję przestrzen stanów weług wzoru (). Jeśl st 0 jest najblższym sąsaem punktu s N, to równeż ft ( sn ) ft ( st ), a stą wynka, że s 0 N+ T st 0 + T. Zatem wartość s t 0 + T można przyjąć jako prognozę obserwacj s N+T analzowanego szeregu czasowego [Lorenz, 969, s. 5; Nowńsk, 2007]. W metoze najblższych sąsaów prognozę la N + elementu s ˆ N+ szacuje sę jako śreną ważoną obserwacj s +, gze wektory są k najblższym sąsaam wektora sn w zrekonstruowanej -wymarowej przestrzen stanów: sˆ N + = k = gze: s + perwsza współrzęna wektora w ( s s ) N w s + s + = w waga -tego sąsaa wektora s N w : R R jest owolną funkcją malejącą spełnającą warunk: w = w s s > k = w = ( N ) 0 w( s s ) = k = =, 2,, k Wag są oberane w ten sposób, by blżs sąsez mel wększy wpływ na otrzymaną prognozę. Stą wagę -tego sąsaa można wyznaczyć weług wzorów [Orzeszko, 2005]: w = k k (3) = 2( k + ) w = (4) k( k + ) e w = k (5) e gze: N = = s s oznacza oległość męzy wektoram N s s N (2) s, =, 2,, k.

4 Wpływ lczby najblższych sąsaów na okłaność prognoz Baana empryczne Przemotem baana były logarytmy zennych stóp zwrotu neksów geł śwatowych: NIKKEI225 neks na Gełze Paperów Wartoścowych w Toko (NKX), S&P500 neks geły w Nowym Jorku (SPX) WIG neks na Gełze Paperów Wartoścowych w Warszawe; kursów walut: euro (EUR) jena japońskego (JPY) wobec złotego; cen akcj spółek: ING Bank Śląskego (BSK) Żywca (ZWC) oraz cen surowców: ropy naftowej (SC), srebra (XAG) złota (XAU), postac: x t = ln s t ln s t (6) gze: s t obserwacja szeregu, notowane w okrese r r. W perwszym etape baana, la wybranych szeregów czasowych oszacowano parametry rekonstrukcj przestrzen stanów metoą opóźneń: stosując funkcję autokorelacj ACF [Ramsey n., 990], oszacowano czas opóźneń τ, natomast za pomocą metoy najblższego pozornego sąsaa FNN [Abarbanel n., 992], oblczono wymar zanurzena (tab. ). Tabela. Parametry rekonstrukcj przestrzen stanów analzowanych szeregów czasowych Szereg τ Szereg τ EUR 2 8 SPX 5 7 ING 6 8 WIG 6 7 JPY 2 6 XAG 4 8 NKX 6 6 XAU 22 7 SC 2 6 ZWC 7 0 W celu zbaana wpływu lczby najblższych sąsaów na okłaność prognoz oszacowanych metoą najblższych sąsaów, wyznaczono prognozy analzowanych szeregów la horyzontu prognozy T =, 2,, 0. W procese prognozowana jako lczbę najblższych sąsaów przyjęto k = 2, 3,, 00. Jako wag -tego sąsaa przyjęto: śreną arytmetyczną perwszych współrzęnych najblższych sąsaów [Abarbanel n., 992] (NS_A), wag zaane wzorem (3) NS_B, wzorem (4) NS_C wzorem (5) NS_D. Dane pochozą z archwum plków strony nternetowej stooq.com [www ].

5 64 Monka Mśkewcz-Nawrocka Oceny trafnośc wyznaczonych prognoz okonano za pomocą perwastka błęu śrenokwaratowego (RMSE): σ T = n h + ( st sˆ T ) + h t= n gze: s T rzeczywsta wartość baanej zmennej w momence T, ŝ prognoza wartośc zmennej w momence T, T = n +,, n + h, T h lczba naturalna, oznaczająca oległość okresu prognozowanego o okresu beżącego. Na rysunku przestawono błęy uzyskanych prognoz la horyzontu prognozy T =, w zależnośc o lczby najblższych sąsaów, zastosowanych w procese prognozowana metoa najblższych sąsaów, natomast rys. 2 prezentuje zależność pomęzy błęam preykcj, w całym przezale weryfkacj, la horyzontu prognozy T = 0 a lczbą najblższych sąsaów. Analzując otrzymane wynk, można stwerzć, ż błęy prognoz otrzymane metoam NS_A, NS_B NS_D przyjmują zblżone wartośc. Sytuacja ta została przestawona na rys. oraz 2, na których wykresy zależnośc pomęzy błęem prognozy a lczbą najblższych sąsaów prawe pokrywają sę la wspomnanych meto. Natomast błęy prognoz, uzyskane metoą NS_C wyraźne różną sę o pozostałych. Na postawe przeprowazonych baań wynka, że stneje wyraźna zależność pomęzy zastosowaną w procese prognozowana lczbą najblższych sąsaów a okłanoścą otrzymanych prognoz, zarówno la horyzontu prognozy T =, jak w całym przezale weryfkacj la T = 0. Tabela 2. Optymalna lczba najblższych sąsaów la horyzontu prognozy T = Szereg 2 kmn la T = NS_A NS_B NS_C NS_D EUR ING JPY NKX SC SPX WIG XAG XAU ZWC (7)

6 Wpły W yw lczbby najblżższycch ssąsaóów na okkłanośść prog p gnozz 65 Rys.. Wppływ w lcczby y najjblżższy ych ssąsaóów na n błłą prog p gnozy la hory h yzonntu prog p gnozzy T =

7 6 66 Mon M ka Mśśkeewccz-N Naw wroccka R s. 2. Wppływ Rys w lcczby naajbllższzychh sąąsaów w naa błąą prog p gnozzy w caałym m prrze zalle weeryfkaccj

8 Wpływ lczby najblższych sąsaów na okłaność prognoz 67 Dla horyzontu prognozy T = najmnejsze błęy prognozy otrzymano la lczby najblższych sąsaów k 20. Wyjątek stanow szereg ING oraz szereg XAG la metoy NS_C. W tabel 2 przestawono lość najblższych sąsaów, la których otrzymano najmnejsze błęy prognoz la horyzontu prognozy T =. Wraz ze wzrostem lczby najblższych sąsaów (k > kmn) wartość błęu prognozy rośne, a następne stablzuje sę na pewnym pozome (ING, JPY, SPX, XAU, ZWC). Najokłanej wać to la metoy NS_C, gze wag najblższych sąsaów były ustalane weług wzoru (4), w którym po uwagę berze sę numer -tego sąsaa. Baając okłaność wyznaczonych prognoz w całym przezale weryfkacj la horyzontu prognozy T = 0, można stwerzć, ż la wększośc baanych szeregów (EUR, ING, NKX, SC, SPX, WIG, ZWC) wartośc błęu prognozy maleją wraz ze wzrostem lczby k najblższych sąsaów stablzują sę (ING, SC, SPX, WIG) na pewnym pozome la k > 40. Dla szeregów ING, SC, SPX WIG błęy prognoz stablzują sę na pozome opoweno 0,03, 0,0076, 0,007 0,0084. Dla analzowanych szeregów lczbę najblższych sąsaów, la których uzyskano najmnejsze błęy prognoz zameszczono w tab. 3. Tabela 3. Optymalna lczba najblższych sąsaów w całym przezale weryfkacj la horyzontu prognozy T = 0 Szereg kmn la T = NS_A NS_B NS_C NS_D EUR ING JPY NKX SC SPX WIG XAG XAU ZWC Analzując ane zawarte w tab. 3, można stwerzć, że la wększośc baanych szeregów okłaność prognoz rośne wraz za wzrostem lczby najblższych sąsaów.

9 68 Monka Mśkewcz-Nawrocka Posumowane W opracowanu zbaano wpływ lczby najblższych sąsaów, zastosowanych w procese prognozowana metoą najblższych sąsaów na okłaność uzyskanych prognoz. Baana empryczne przeprowazono na przykłaze szeregów logarytmów zennych stóp zwrotu notowań NIKKEI225, S&P500, WIG, euro, jena japońskego, ING Banku Śląskego, Żywca oraz cen ropy naftowej, srebra złota. Przeprowazone baana pokazują, że przyjęta lczba najblższych sąsaów, stosowanych w rozważanej metoze prognozowana w barzo stotny sposób wpływa na okłaność otrzymanych prognoz. Analzując otrzymane wynk, można stwerzć, że la horyzontu prognozy T = najmnejsze błęy prognoz uzyskano la lczby najblższych sąsaów ne wększej nż 20. Wyjątek stanowł szereg ING oraz XAG (metoa NS_C). Natomast w całym przezale weryfkacj la horyzontu prognozy T = 0, w wększośc baanych szeregów wraz ze wzrostem lczby najblższych sąsaów błęy prognoz maleją lub zaczynają sę stablzować na pewnym pozome. Pozwala to wnoskować, że począwszy o pewnej wartośc lczby najblższych sąsaów k, różnce pomęzy błęam prognoz są barzo newelke (coraz mnej stotne), a węc zwększane lczby k w zasaze ne prowaz już o poprawy okłanośc otrzymanych prognoz. Lteratura Abarbanel H.D., Brown R., Kennel M.B. (992), Determnng Embeng Dmenson for Phase Space Reconstructon Usng a Geometrcal Constructon, Physcal Revew A, Vol. 45(6). Kantz H., Schreber T. (2004), Nonlnear Tme Seres Analyss, Cambrge Unversty Press, Cambrge. Lorenz E.N. (969), Atmospherc Prectablty as Reveale by Naturally Occurrng Analogues, J. Atmos. Sc., Vol. 26. Nowńsk M. (2007), Nelnowa ynamka szeregów czasowych, Wyawnctwo Akaem Ekonomcznej, Wrocław. Orzeszko W. (2005), Ientyfkacja prognozowane chaosu etermnstycznego w ekonomcznych szeregach czasowych, Polske Towarzystwo Ekonomczne, Warszawa. Packar N.H., Crutchfel J.P., Farmer J.D., Shaw R.S. (980), Geometry from a Tme Seres, Physcal Revew Letters, Vol. 45. Ramsey J.B., Sayers C.L., Rothman P. (990), The Statstcal Propertes of Dmenson Calculatons Usng Small Data Sets: Some Economc Applcatons, Internatonal Economc Revew, Vol. 3, No. 4.

10 Wpływ lczby najblższych sąsaów na okłaność prognoz 69 Takens F. (98), Detectng Strange Attractors n Turbulence [w:] D.A. Ran, L.S. Young (e.), Lecture Notes n Mathematcs, Sprnger, Berln. Zawazk H. (996), Chaotyczne systemy ynamczne, Wyawnctwo Akaem Ekonomcznej w Katowcach, Katowce. [www ] stooq.com (ostęp: ). EFFECT OF THE NUMBER OF NEAREST NEIGHBORS ON THE ACCURACY OF ECONOMIC TIME SERIES FORECASTS Summary: One of tme seres forecastng metho s the nearest neghbors metho. In ths metho, the forecast for (N+)-th element x ˆ N + s estmate as a weghte average of observatons x +, where the vectors x are k nearest neghbors of vector x N n the reconstructe -mensonal state space. An mportant problem when usng nearest neghbors metho s to etermne the correct number of nearest neghbors, that shoul be taken nto account n the etermnaton of forecasts. The am of the artcle wll be to research the effect of the number of nearest neghbors on the accuracy of economc tme seres forecasts. The test wll be conucte on the bass of selecte fnancal tme seres. Keywors: the nearest neghbors metho, tme seres forecastng, state space reconstructon.