ZASTOSOWANIE ZMODYFIKOWANEJ METODY NAJBLIŻSZYCH SĄSIADÓW DO PROGNOZOWANIA CHAOTYCZNYCH SZEREGÓW CZASOWYCH

Transkrypt

1 Kaarzyna Zeug-Żebro Unwersye Ekonomczny w Kaowcach ZASTOSOWANIE ZMODYFIKOWANEJ METODY NAJBLIŻSZYCH SĄSIADÓW DO PROGNOZOWANIA CHAOTYCZNYCH SZEREGÓW CZASOWYCH Wprowazene Deermnzm ukłaów chaoycznych wskazuje na możlwość ch prognozowana. Znajomość ynamk ukłau, f : R R, pozwala na barzo o- m m kłane prognozowane w blskm horyzonce czasowym (ze wzglęu na wrażlwość na zmanę warunków począkowych). Dla szeregów czasowych opsujących rzeczywse zjawska, w ym równeż ekonomczne, funkcja f jes zazwyczaj neznana. Isneją jenak meoy prognozowana, kóre ne wymagają znajomośc wzoru analycznego ej funkcj. Jeną z nch jes meoa najblższych sąsaów. Jej posawą eoreyczną jes fak, że sany ukłaów eermnsycznych ewoluują w czase w poobny sposób. Celem arykułu jes wyznaczene przyszłych warośc analzowanych szeregów czasowych, zweryfkowane użyecznośc meoy najblższych sąsaów jej zmoyfkowanej posac oraz zbaane wpływu ługośc horyzonu prognozy na jej okłaność. W baanach zosaną wykorzysane szereg chaoyczne wygenerowane przez owzorowane Ikey Kalora oraz ekonomczne szereg czasowe uworzone z cen zamknęca WIG WIG0 oraz wóch spółek noowanych na Gełze Paperów Waroścowych w Warszawe: INGBSK Vsula. Dane rzeczywse obejmują okres o o Oblczena przeprowazono z użycem programów napsanych przez auorkę w języku programowana Delph oraz pakeu Mcrosof Excel.

2 94 Kaarzyna Zeug-Żebro. Meoa opóźneń Meoa opóźneń jes jeną z meo rekonsrukcj przesrzen sanów ukłau ynamcznego, kóra powsała na posawe werzena Takensa o zanurzanu (98). Służy ona o wyobywana pewnych nformacj zawarych w chaoycznych szeregach czasowych. W ym celu wykorzysuje sę zw. wekory opóźneń zwane równeż -hsoram. Wekory e mają posać: ˆ ( ) x = x, x+ τ,..., x+ ( ) τ, () gze: jes wymarem zanurzena, τ jes pewną lczbą nauralną, nazwaną opóźnenem czasowym, zaś =,..., N ( )τ, gze N jes ługoścą szeregu czasowego. Z baań Takensa wynka, że la m +, gze m jes wymarem arakora, a jes wymarem zanurzena, przesrzeń sanów rozpęa przez zbór zmennych bęze opologczne równoważna z orygnalną przesrzeną.. Najwększy wykłank Lapunowa Wykłank Lapunowa są marą wrażlwośc ukłau ynamcznego na zmanę warunków począkowych. Najbarzej sonym z punku enyfkacj chaosu jes najwększy wykłank λ max. Służy on o rozróżnana charakeru ynamk ukłau: o regularnej o chaoycznej. W 993 r. Rosensen (993), a rok późnej Kanz (994) zaproponowal algorym wyznaczana najwększego wykłanka Lapunowa. Przebega on weług nasępujących kroków: Krok. Wyznaczamy zbory Z złożone z K najblższych sąsaów wekorów opóźneń xˆ, spełnających warunek j >, gze jes usaloną lczbą nauralną. Doany warunek zwększa prawopoobeńswo, że znalezony sąsa ne bęze należał o rajekor wekora xˆ. Krok. Oblczamy: r n () = K x+ n x, =,,..., M ; n = 0,,..., nmax, () xˆ j Z j + n gze: M = N ( )τ, n max jes usaloną lczbą nauralną, określającą lczbę eracj. xˆ j W sense werzena Takensa o zanurzenu.

3 Zasosowane zmoyfkowanej meoy najblższych sąsaów 95 Krok 3. Wyznaczamy śreną z r n ( ) po wszyskch -hsorach: r n = M M n = () r. (3) Krok 4. Najwększy wykłank Lapunowa jes współczynnkem regresj równana: ln ( ) ln( r ) + λ n r n =. (4) Waro zauważyć, że warość najwększego wykłanka Lapunowa w użej merze zależy o przyjęej meryk, warośc paramerów zrekonsruowanej przesrzen sanów oraz lczby najblższych sąsaów K. 0 max 3. Meoa najblższych sąsaów oraz zmoyfkowana meoa najblższych sąsaów Meoa najblższych sąsaów MNS jes jeną z najsarszych meo prognozowana chaoycznych szeregów czasowych. Zosała zaproponowana przez E.N. Lorenza w 969 r. Opera sę na założenu, że w sysemach eermnsycznych zblżone o sebe -hsore w poobny sposób ewoluują w czase. Algorym prognozowana przyszłych warośc szeregu czasowego złożonego z N obserwacj { x, x,..., x N } meoą MNS jes nasępujący: Krok. Wyznaczamy lczbę K najblższych sąsaów -hsor xˆ, w sense oległośc euklesowej, w -wymarowej zrekonsruowanej przesrzen sanów. Krok. Oblczamy wagę -ego sąsaa weług jenego z wzorów: lub: gze: r = w K r w = K e = r e K r = r = x xˆ oznacza oległość męzy TOT (5), (5 ) r TOT = r, (6) xˆ x, =,,..., K.

4 96 Kaarzyna Zeug-Żebro Krok 3. Wyberamy perwsze współrzęne, K najblższych sąsaów punku xˆ na ch posawe określamy perwsze współrzęne ch nasępnków x +, =,,..., K. Krok 4. Oblczamy prognozę N + elemenu jako sumę ważoną nasępnków perwszych współrzęnych najblższych sąsaów: x N + = K w x. (7) = Orzeszko (005) zaproponował pewną moyfkację meoy najblższych sąsaów ZMNS. Zamana polegała na uporząkowanu K najblższych sąsaów o najblższego o najalszego przypsanu każemu z nch wag zgone ze wzorem: ( K + ) ( K + ) + w =, =,,..., K. (8) K Wag zefnowane wzorem (8) zosały obrane w en sposób, aby: x K > w >... w K oraz w = w > =. (9) Poobne jak w meoze najblższych sąsaów, w ZMNS prognozę wyznacza sę ze wzoru (7). 4. Przemo przebeg baana W nnejszym arykule baana empryczne przeprowazono z wykorzysanem rzeczywsych anych ekonomcznych oraz la wygenerowanych szeregów chaoycznych. Rzeczywse szereg czasowe uworzono z cen zamknęca: WIG, WIG0 oraz wóch spółek noowanych na GPW w Warszawe, j. INGBSK, Vsula. Dane obejmowały okres o o Długość analzowanych szeregów ekonomcznych pozwala na orzymane warygonych rezulaów (powyżej 4600 obserwacj). Przeanalzowano obserwacje, kóre były zennym logarymcznym sopam zwrou. Dane pochozą z archwum plków programu Omega, osępnych na srone nerneowej

5 Zasosowane zmoyfkowanej meoy najblższych sąsaów 97 Doakowo baanu poano szereg chaoyczne wygenerowane przez owzorowana: Ikey (980) Kalora (940). Szereg e skłaały sę z 3000 obserwacj zosały skonsruowane nasępująco: Ikea szereg perwszych współrzęnych ukłau Ikey, określony przez wuwymarowe owzorowane zaane wzorem: ( x y ) ( x, y ) = ( γ + μ( x cosϕ y snϕ) ; μ( x snϕ y cosϕ) ) I + +, (0), + α gze: ϕ = β, la α = 6, β = 0,4, γ =, μ = 0, 9 oraz + x + y ( y ) ( 0,; 0,) x 0, 0 =. Kalor szereg wygenerowany z moelu wzrosu N. Kalora: gze: I Y K + + ( Y K ) Y K = a = [ I ( Y, K ) S ( Y )] I ( Y, K ) bk, () ( ey f ) + h, = c Y + + g, () ( Y ) sy K S =. (3) W baanu przyjęo paramery prowazące o ewolucj chaoycznej: a = 0, b = 0,05, c = 0, 05, = 0, e = 0, 0, f = 0, 0000, g = 5, h = 80, = 4,5, s = 0, oraz ( x 0, y0 ) = ( 65, 65). Szereg chaoyczne sanowły punk onesena la wynków orzymanych la rzeczywsych szeregów czasowych. Analza wymenonych wyżej szeregów czasowych bęze przebegała w nasępujących eapach:. Rekonsrukcja przesrzen sanów meoą opóźneń wekory opóźneń.. Ienyfkacja chaosu: oszacowane najwększego wykłanka Lapunowa. 3. Prognozowane na posawe meoy: MNS(wag wyznaczone na posawe wzoru (5)), MNS (wzór (5 )) oraz ZMNS (wzór (8)). 4. Ocena jakośc wyznaczonych prognoz wybranym mernkam: śren absoluny błą prognozy MAE, błą śrenokwaraowy MSE, perwasek błęu śrenokwaraowego RMSE, współczynnk Thela oraz wzglęny błą prognozy: N + N ~ N T T T = N + ( x x ) σ T =, (4) σ

6 98 Kaarzyna Zeug-Żebro gze: x T jes rzeczywsą waroścą baanej zmennej w momence T, x~ T jes prognozą warośc zmennej w momence T, σ jes ochylenem sanarowym szeregu obserwacj { x, x,..., xn }, N jes lczbą nauralną oznaczającą oległość okresu prognozowanego o okresu beżącego N = N + N ). ( Przeprowazone baana empryczne pozwolły za pomocą meoy opóźneń zrekonsruować przesrzeń sanów. Sosując meoę oparą na analze funkcj auokorelacj ACF (Ramsey, Sayers, Rohman, 990), oszacowano czas opóźneń τ. Nasępne za pomocą meoy najblższego pozornego sąsaa MNPS (Abarbanel, Brown, Kennel, 99), oblczono wymar zanurzena (abela ). Osaeczne zrekonsruowano wekory opóźneń w posac x ˆ = ( x, x+ τ,..., x+ ( ) τ ), la =,..., N ( )τ. Poneważ eermnzm ukłaów chaoycznych wskazuje na możlwość ch prognozowana, w kolejnym kroku baań oszacowano najwększy wykłank Lapunowa w celu enyfkacj chaosu w wybranych szeregach czasowych. W baanu posłużono sę algorymem Kanza Rosensena jako lczbę sąsaów przyjęo K = warość = 0. Nasępne zasosowano regresję lnową o przyblżana lną prosą wykresu zależnośc warośc ln r o numeru eracj n. W abel przesawono wynk szacowana najwększego wykłanka Lapunowa la analzowanych szeregów czasowych 3. n Wynk szacowana paramerów rekonsrukcj przesrzen sanów oraz wykłanka Lapunowa la wybranych szeregów czasowych Tabela Szereg Przyjęe paramery Wykłank Lapunowa Ikea τ =, = 9 0, Kalor τ = 9, = 0,6 WIG τ =, = 8 0,034 WIG0 τ = 5, = 7 0,49 INGBSK τ = 5, = 7 0,4 Vsula τ =, = 7 0,00 Można zauważyć, że wszyske objęe baanem fnansowe szereg czasowe są wrażlwe na zmanę warunków począkowych ( λ 0 ). Najbarzej wrażlwy na max > zmanę ych warunków okazał sę neks WIG0, najmnej zaś spółk Vsula. 3 Oblczena przeprowazono na posawe programu własnego auora, napsanego w języku programowana Delph.

7 Zasosowane zmoyfkowanej meoy najblższych sąsaów 99 W celu wyznaczena prognozy oparej na meoach MNS ZMNS wykorzysano K = ( +) najblższych sąsaów punku xˆ, =,..., N ( )τ oraz opowene warośc paramerów rekonsrukcj przesrzen sanów. Aby znaleźć najblższych sąsaów, posłużono sę meryką euklesową. W abel przesawono zesawene błęów preykcj. Błęy prognoz orzymanych meoam MNS, MNS ZMNS la wybranych szeregów chaoycznych fnansowych Tabela Szereg Błą MAE MSE RMSE I I I 3 Ikea Kalor WIG WIG0 INGBSK Vsula MNS 0,599 0,750 0,484 0,000 0,053 0,300 MNS 0,604 0,76 0,497 0,000 0,047 0,3047 ZMNS 0,69 0,89 0,465 0,000 0,0 0,377 MNS 8, ,594,036 0,0075 0,087 0,0633 MNS 9,06 57,888,7559 0,0087 0,0306 0,0668 ZMNS 8,438 48,7778,97 0,0084 0,030 0,0604 MNS 0,0054 0,000 0,0079 0,33 0,3875 0,595 MNS 0,0054 0,000 0,0079 0,3 0,3877 0,595 ZMNS 0,0058 0,000 0,0080 0,66 0,3579 0,63 MNS 0,0070 0,000 0,0098 0,3088 0,5548 0,3669 MNS 0,0070 0,000 0,0098 0,3084 0,5547 0,3669 ZMNS 0,0077 0,000 0,003 0,3409 0,504 0,549 MNS 0,0077 0,000 0,009 0,07 0,306,060 MNS 0,0077 0,000 0,009 0,08 0,3069,040 ZMNS 0,0086 0,000 0,0099 0,0044 0,790,3537 MNS 0,057 0,00 0,0336 0,0006 0,993,53 MNS 0,057 0,00 0,0336 0,0006 0,995,5 ZMNS 0,06 0,00 0,0336 0,0000 0,78,797 Przeprowazona analza błęów prognoz la wybranych szeregów czasowych wykazuje, że zmoyfkowana meoa najblższych sąsaów skueczne umożlwa prognozowane. Jenak ocena jakośc ych prognoz wypaa na nekorzyść meoy ZMNS. W wększośc przypaków warośc błęów orzymanych w wynku zasosowana MNS MNS są nższe nż uzyskane la ZMNS. W abel 3 przesawono zesawene wzglęnych błęów preykcj.

8 00 Kaarzyna Zeug-Żebro Wzglęne błęy prognoz la analzowanych szeregów czasowych Tabela 3 Szereg Meoa T = T = T = 3 T = 4 T = 5 T = 6 T = 7 T = 8 T = 9 T = 0 MNS 0,937 0,70 0,4089 0,58,063,5,043 0,9753 0,903 0,875 Ikea MNS 0,934 0,675 0,405 0,57,099,46,0456 0,9784 0,933 0,8780 ZMNS 0,97 0,535 0,3739 0,540,78,308,06 0,9938 0,9383 0,89 MNS 0,033 0,33 0,080 0,63 0,5485 0,774,66,3040,494,5556 Kalor MNS 0,0806 0,586 0,40 0,67 0,587 0,880,445,354,489,5754 ZMNS 0,0654 0,770 0,50 0,50 0,5600 0,780,099,997,454,555 MNS 0,769 0,436 0,636 0,5509 0,6049 0,5880 0,5445 0,5093 0,4864 0,463 WIG MNS 0,763 0,433 0,6360 0,5508 0,6049 0,5880 0,5445 0,5093 0,4864 0,463 ZMNS 0,644 0,943 0,664 0,573 0,6095 0,596 0,5480 0,57 0,4935 0,4697 MNS 0,3389 0,460 0,5894 0,55 0,676 0,639 0,5796 0,55 0,548 0,499 WIG0 MNS 0,3397 0,467 0,5895 0,553 0,6763 0,639 0,5796 0,55 0,547 0,499 ZMNS 0,736 0,075 0,608 0,5430 0,6930 0,645 0,5997 0,58 0,5558 0,580 MNS 0,080 0,794 0,8 0,885 0,464 0,4340 0,465 0,397 0,3778 0,3708 INGBSK MNS 0,087 0,594 0,466 0,884 0,464 0,4340 0,464 0,3969 0,3776 0,3706 ZMNS 0,035 0,85 0,30 0,3098 0,4688 0,455 0,4345 0,464 0,4068 0,3979 MNS,097,645,0545 0,954 0,9090 0,869 0,805,8,0548,09 Vsula MNS,097,644,0545 0,953 0,9088 0,8690 0,805,8,0548,09 ZMNS,05,699,0697 0,983 0,9434 0,89 0,86,96,0573,00 Kalor ING błą prognozy,0,0 0, horyzon prognozy T MNS MNS ZMNS błą prognozy 0,6 0,4 0, 0, horyzon prognozy T MNS MNS ZMNS Rys.. Wzglęne błęy prognoz w zależnośc o horyzonu prognozy Zaprezenowane na rysunku rezulay krókookresowego prognozowana szeregów chaoycznych powerzają wykłanczy wzros wzglęnego błęu prognozy wraz ze wzrosem jej horyzonu. Poobny efek można było zaobserwować la szeregu ING (la T < 6 ) po zasosowanu zmoyfkowanej meoy

9 Zasosowane zmoyfkowanej meoy najblższych sąsaów 0 najblższych sąsaów oraz la szeregu WIG (la T < 4). Brak ego efeku la pozosałych szeregów może sanowć sygnał, że ne są one generowane przez ukła chaoyczny. Posumowane Na posawe wynków baana emprycznego należy swerzć, że brak jes przesłanek jenoznaczne wskazujących, kóre wag (5), (5 ), (8) należy sosować w celu wyznaczena prognozy meoą najblższych sąsaów. Błęy preykcj orzymane la analzowanych szeregów prawe ne różną sę o sebe wskazują na ość okłane prognozy la blskego horyzonu czasowego. W celu poprawy jakośc wyznaczonych prognoz należy przeprowazć oblczena la różnej lczby najblższych sąsaów oraz zasosowana nnych meo wyznaczana paramerów rekonsrukcj przesrzen sanów wymaru zanurzena czasu opóźnena. Leraura Abarbanel H.D., Brown R., Kennel M.B. (99): Deermnng Embeng Dmenson for Phase Space Reconsrucon Usng a Geomercal Consrucon. Physcal Revew A, Vol. 45(6), s Ikea K., Dao H., Akmoo O. (980): Opcal Turbulence: Chaoc Behavor of Transme Lgh from a Rng Cavy. Phys. Rev. Le. 45, s Kalor N. (940): A Moel of he Trae Cycle. Economc Journal, Vol. 50, s Kanz H. (994): A Robus Meho o Esmae he Maxmal Lyapunov Exponen of a Tme Seres. Physcal Leers A, Vol. 85(), s Lorenz E.N. (969): Amospherc Precably as Reveale by Naurally Occurrng Analogues. J. Amos. Sc., 6, s Orzeszko W. (005): Ienyfkacja prognozowane chaosu eermnsycznego w ekonomcznych szeregach czasowych. Polske Towarzyswo Ekonomczne, Warszawa. Ramsey J.B., Sayers C.L., Rohman P. (990): The Sascal Properes of Dmenson Calculaons Usng Small Daa Ses: Some Economc Applcaons. Inernaonal Economc Revew, Vol. 3, No 4. Rosensen M.T., Collns J.J., De Luca C.J. (993): A Praccal Meho for Calculang Larges Lyapunov Exponens from Small Daa Ses. Physca D, Vol. 65, s Takens F. (98): Deecng Srange Aracors n Turbulence. Es. D.A. Ran, L.S. Young. Lecure Noes n Mahemacs, Sprnger, Berln, s

10 0 Kaarzyna Zeug-Żebro APPLICATION OF THE MODIFIED NEAREST NEIGHBOR METHOD TO PREDICTION OF THE CHAOTIC TIME SERIES Summary Forecasng fnancal me seres s a que ffcul problem, whch has been re o solve by a varey of mehos n he fel of economercs. Snce he eermnsc chaos appeare n he leraure, we can observe a huge ncrease n neres n researchers of nonlnear ynamcal sysems heory, whch le o he creaon of new mehos of precon. Among hese mehos can be sngushe he meho of neares neghbors an s mofcaons. The man am of he arcle wll be o evaluae an compare he accuracy of he precons obane usng he meho of neares neghbors an he mofe meho of neares neghbors. The es wll be conuce base on he economc me seres whch conss of closng prces of companes lse on he Warsaw Sock Exchange.