REKONSTRUKCJA PRZESTRZENI STANÓW - ROZKŁAD WARTOŚCI OSOBLIWYCH

Transkrypt

1 Katarzyna Zeug REKONSTRUKCJA PRZESTRZENI STANÓW - ROZKŁAD WARTOŚCI OSOBLIWYCH Wstęp Jednym z narządzi matematycznych potrzebnych do opisu szeregów czasowych jest metoda rekonstrukcji. Umożliwia ona rekonstrukcją przestrzeni stanów wielowymiarowych systemów dynamicznych na podstawie jednowymiarowego szeregu obserwacji. Otrzymana w ten sposób przestrzeń będzie w pewnym sensie równoważna z oryginalną przestrzenią. Pod koniec XX w. pojawiły sią prace, w których przedstawiono następujące metody rekonstrukcji: - metodą pochodnych (N.H. Packard), - metodą opóźnień (F. Takens), - metodę rozkładu wartości osobliwych (Broomhead i King). Celem opracowania jest przedstawienie jednej z metod rekonstrukcji przestrzeni stanów - rozkładu wartości osobliwych, i wykorzystanie jej w badaniach ekonomicznych szeregów czasowych. Dane wykorzystane w opracowaniu pochodzą z GPW w Warszawie z okresu ostatnich pięciu lat. Obliczenia przeprowadzono za pomocą programów Statistica oraz pakietu Microsoft Excel. 1. Rozkład wartości osobliwych Metodę rozkładu wartości osobliwych zaproponowali w 1986 r. Broomhead i King. Opiera się ona częściowo na metodzie opóźnień, która została przedstawiona w 1980 r. przez Takensa i uogólniona w 1991 r. przez Sauera. Stosując metodę opóźnień, można skonstruować zbiór d zmiennych za pomocą jednowymiarowego szeregu czasowego x = (.v(t), x(t - 1), x{t - 2),, a (1 )). Zmienne te otrzymuje się przesuwając oryginalny szereg czasowy o stałe opóźnienie r = d r K; r 5 jest czasem próby, w wyniku czego rekonstrukcja przestrzeni stanów wygląda następująco:

2 176 Katarzyna Zeug xd (t) =(*(*),.v(/- r),x(t - 2r),...,x(t - (d - l)r)) xd (t - 1) = (jc(/ - 1),x(t -1 - r),x(t -1-2r),...,,v(r -1 - (d - l)r)) xd(/) = (x (i\x {i - r),x(i - 2r ),...,x (i-(d - l)r)) xd ((d - l)r + 1) = (x((d - l)r + 1),x({d - l)r +1 - r), x({d - l)r +1-2r),...,x(l)) gdzie x d(i), (i = ( r f - l ) r + l,...,/) są elementami d wymiarowej zrekonstruowanej przestrzeni stanów. Takens udowodnił, że dla d > 2m + 1, gdzie m jest wymiarem atraktora, a d jest wymiarem zanurzenia, przestrzeń stanów rozpięta przez zbiór d zmiennych będzie topologicznie równoważna z oryginalną przestrzenią. Stosując metodę rozkładu wartości osobliwych, tworzymy macierz trajektorii X, która zawiera wyżej wymienione wektory xd (/) będące elementami d wymiarowej zrekonstruowanej przestrzeni stanów: Vwf " x = W (2) (1) gdzie N - t - ( d - 1). Macierze X i X T odzwierciedlają kolejno przestrzeń R d i R N, gdzie przestrzeń jest przestrzenią wszystkich cf-elementowych wektorów, a R v definiujemy w podobny sposób Wymiar zrekonstruowanej przestrzeni stanów Nasze rozważania rozpoczną się od wyznaczenia wymiaru przestrzeni d. Aby to wykonać, musimy najpierw znać liczbę wektorów liniowo niezależnych, które są liniowymi kombinacjami xd(/). Załóżmy, że zbiór r, /?'v } jest zbiorem wektorów niezależnych w Rd. Załóżmy również, że wektory te są ortonormalne. Zatem są one częścią bazy ortonormalnej (c,;/ = l,...,ć/} przestrzeni R d. Stąd otrzymujemy następującą równość:

3 REKONSTRUKCJA PRZESTRZENI STANÓW SI X = <T'Cf (3) gdzie {<ri} jest zbiorem stałych rzeczywistych. Z ortonormalności {c(.} wynika następujący warunek: s j X X TSj = a ja j Sjj (4) gdzie: fl dla i = y ij [0 dla i * j Ponieważ macierz A = X X T jest symetryczna, więc jej wektory własne tworzą bazę ortonormalną przestrzeni R,v. Zatem równanie (4) można przedstawić w postaci: As, = u f Sj (5) gdzie {o-,2} jest zbiorem wartości własnych. Należy zwrócić uwagę, że forma X X T jest zdefiniowana nieujemnie, oraz można przyjąć (bez utraty ogólności), że stałe rzeczywiste tr( ) są także nieujemne. Za pomocą równania (2) możemy przedstawić macierz A jako tablicę iloczynów skalarnych wszystkich par punktów przestrzeni R d : A = N x ( Xi x f x2 x [x N XjX, x [x 2.v[ x x (6) Macierz A będziemy nazywać macierzą struktury (structure matrix). Przekształcając równanie (3), otrzymujemy następującą równość: Xci =cxisi (7) gdzie o-, * 0. Mnożąc obustronnie równość (7) przez X T, otrzymujemy: X TXc, = crix Tsi Następnie korzystając z równania (3), dostajemy: He, = aj Ci (8) gdzie Cl = X TX jest symetryczną macierzą nxn, którą można zapisać w postaci:

4 178 Katarzyna Zeug Macierz f i będziemy nazywali macierzą kowariancji (covariance matrix). 1=1 Można zauważyć, że niezerowe własności własne macierzy struktury są równe niczerowym wartościom własnym macierzy kowariancji. Zatem rząd macierzy A jest równy rzędowi macierzy f i : / (a) = r (n ) = d '< d (10) Powyższe rozważania prowadzą do wniosku, że przestrzeń R s można rozłożyć na podprzestrzeń o wymiarze d' i jej ortogonalne dopełnienie. Zatem niech d' -wymiarowa podprzestrzeń będzie rozpięta przez zbiór {j, ; / = 1,...,d '), a jej dopełnienie przez zbiór {s,; i = d '+ 1,..., A }. Można założyć, że d' jest wymiarem przestrzeni zanurzenia. Zauważmy jednak, że macierz X zawiera elementy, które są wyznaczone doświadczalnie, a więc występuje w nich składnik losowy. Zatem informacja na temat wyboru wymiaru zanurzenia nie jest w pełni precyzyjna. W następnej części opracowania podjęto próbę podzielenia macierzy trajektorii na część deterministyczną i stochastyczną Filtracja Rozważmy macierz ortogonalną C, której kolumny są wektorami {c,}, tj. C = (ct,c 2,...,c d ), i macierz diagonalną Z = d ia g {a l, a 2,...,a d ), gdzie er, > cr2 >... > a d > 0. Podstawiając powyższe macierze do równania (8), otrzymujemy: Q C = C L2 (11) Korzystając z definicji macierzy Q, otrzymujemy rozwiniętą postać równania ( 11): {X C )T{XC) = I 2 (12) Zatem możemy przedstawić macierz trajektorii X w postaci rozkładu wartości osobliwych: X - SLCr ( 13)

5 REKONSTRUKCJA PRZESTRZENI STANÓW gdzie S e R w jest macierzą zbudowaną z wektorów własnych macierzy A (w której d' ma niezerowc własności własne); elementy macierzy C i S będziemy nazywać wektorami osobliwymi (singular vectors), a elementy macierzy diagonalnej I (łącznymi) wartościami osobliwymi (associated singular values). Rozważmy teraz jedną z metod filtracji. Polega ona na rozdzieleniu przestrzeni zanurzonej na podprzestrzeń deterministyczną i podprzestrzeń stochastyczną. Niech P i Q, gdzie: będą macierzami w postaci = 5^5jk. Wtedy macierze g = 2 > (,) ( 14) 1=1 P = Y JP (i) (15) spełniają warunek: p + Q = Jd gdzie Id e R d*d jest macierzą jednostkową. Zatem równanie (13) można zapisać: gdzie: X = X + AX (16) X = S P 1 C T (17) jest częścią deterministyczną macierzy trajektorii X, a: AX = S Q 'L C r (18) jest częścią stochastyczną. Powyższy podział macierzy X pozwala na odrzucenie danych, w których występuje szum. Zatem właściwych informacji na temat badanego szeregu dostarcza nam macierz X, którą możemy zapisać w postaci: X = f j {Xci )c f (19) /=/M I

6 180 Katarzyna Zeug 1.3. Wybór czasu opóźnienia Wyznaczenie czasu opóźnień r = d r s jest bardzo istotne w rekonstrukcji przestrzeni stanów. Dlatego też wiele pozycji w literaturze jest poświęconych metodom jego wyboru [1; 8]. Zanim wyznaczymy czas opóźnienia, rozważmy najpierw wybór czasu próby rs. Zauważmy, że dla ustalonego r zwiększanie wartości d przy jednoczesnym zmniejszaniu czasu próby rs generuje dodatkowe wektory osobliwe i odpowiadające im wartości osobliwe. Coraz to większe zmniejszanie czasu próby prowadzi do zwiększenia liczby wektorów i wartości osobliwych w części stochastycznej macierzy trajektorii. W takiej sytuacji mówimy, że widmo osobliwe {cr2} jest zbieżne. Zatem czas próby należy wybrać w taki sposób, aby zapewnić zbieżność {er,2 ]. Rozważmy teraz wybór czasu opóźnień. Sytuacja, w której zwiększamy T >oo, prowadzi do analizy widmowej Fouriera. Zatem czas opóźnień jest ograniczony przez r * : T <T* * 2 7t * gdzie r* = - i ty* jest częstotliwością graniczną. Ponadto: (O z > (2m + l)rę Ponieważ m jest nieznane, możemy przyjąć: * T - T Tak wyznaczony czas opóźnień spełnia warunki twierdzenia Takensa [11], 2. Rozkład wartości osobliwych - obliczenia numeryczne Przeprowadzone badania empiryczne pozwoliły - za pomocą metody rozkładu wartości osobliwych - na zrekonstruowanie przestrzeni stanów. Wykorzystano w tym celu szeregi finansowe utworzone z cen pięciu spółek notowanych na GPW w Warszawie w ostatnich pięciu latach: ING Bank Śląski, Kable, Swarzędz, Vistula, Krosno. Obliczenia przeprowadzono przy użyciu programów Statistica oraz pakietu Microsoft Excel.

7 REKONSTRUKCJA PRZESTRZENI STANÓW Tabela I Zestawienie wartości wymiaru zanurzenia i czasu opóźnień szeregów czasowych utworzonych z notowań wybranych spółek Spółka Czas opóźnień r Wymiar zanurzenia d ING Bank Śląski u 6 Kable 14 9 Swarzędz 17 8 Vistula 12 8 Krosno 19 6 Podstawiając otrzym ane wyniki do form uły (1), otrzym ujem y rekonstrukcje przestrzeni stanów wybranych szeregów czasowych: - ING Bank Śląski x 6 (l 255) = (a(1 255), a(1 244), x(l 233), x(l 222), jc(121 l), x(l 200)) x 6 (1254) = (a(1 254), a(1 243), x(l232), x(l 2 2 1), x{\ 2 10), x(l 199)) x 6 (l 253) = (a(1 253), x{l 242), a( ), a( \ x (\ 209), jr(l 198)) a 6 (56) = (x(56), a(45), x {34\ a(23), a(1 2\ a(i)) - Kable x 9 (l 259) = (a(1 259), a(1 245), a(1 231),.. a(1 147)) x 9 (l 258) = (a(1 258), x{l 244), a(1 230),..., a(1 146)) x 9 (l 257) = (a(1 257), a(1 243), a(1 229),..., a(1 145)) a-9 (113) = (a(1 13), a(99), a(85),.. a(i )) - Swarzędz a8 (1257) = (a(1257),,v(l240), a(1 223),..., x(l 138)) a-8(1256) = (a(1256), a(1239), a(1222),..., a(1 137)) a-8 (1255) = (a(1255), a(1 238), a(1 22!),..., a(1 136)) a8 (120) = (a(1 20),,v(l 03), a(86),.. a(i ))

8 182 Katarzyna Zeug - Vistula A-8 (l 256) - (*(l 256), v(l244), *(1232),...,.v(l 172)) a-8 (l 255) = (a(1255), *(l 243), *(l23 l),.. a<1 171)) a 8 (l 254) = (*(l 254), *(l 242), *(l 230),..., *(l 170)) - Krosno *8(85) = (*(85),*(73)u(6l),...,*(l)) * 6 ( l ) = ( * ( l ), * ( l ), * ( l ),..., * ( l l 6 2 ) ) a -6 ( l ) - ( * ( l ), * ( l ), * ( l ),..., * ( l 1 6 1) ) a -6 ( ) = ( * ( ), * ( l ), * ( l ),..., * ( l ) ) a-6 (96) - (*(96), *(77), *(58),..., *(l)) Zakończenie Zastosowanie nieco mniej znanych narzędzi matematycznych, takich jak rekonstrukcja przestrzeni stanów, do opisu ekonomicznych szeregów czasowych stanowi uzupełnienie dotychczasowych metod. Z pewnością dalsze badania pokażą, na ile zaprezentowane metody okażą się przydatne w prognozowaniu szeregów czasowych lub też określeniu, czy badany szereg ma charakter chaotyczny czy stochastyczny. Literatura 1. Abarbanel H.D.: Analysis o f O bserved Chaotic Data. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York Broomhead D.S., King G.P.: Extracting Qualitative Dynamics from Experim ental Data. Physica D 1986, Fanner J.D., Sidorovich J.J.: Exploating Chaos to Predict the Future and Reduce Noise. In: Evolution, Learning and Cognition. Ed. Y.C. Lee. World Scientific, Singapore Fraser A.M., Swinney H.L.: Independent Coordinates fo r Strange Attractors from Mutual Information. Physical Review A 1986, Vol. 33, No 2.

9 REKONSTRUKCJA PRZESTRZENI STANÓW Grassberger P., Procaccia I.: M easuring the Strangeness o f Strange Attractors. Physica D Guillaume D.M.: A Low-Dimensional Fractal Atrractor in the Foreign- -Exchange Markets? Chaos & Nonlinear Dynamics in the Financial Markets Kennel M.B., Brown R., Abarbanel H.D.: Determining Embedding D i mension fo r Phase Space Reconstruction Using a Geom etrical Construction. Physical Review A 1992, Vol. 45, No KimH.S., Eykholt R., Salas J.D.: Nonlinear Dynamics, Delay Time, and Embedding Windows. Physica D 1999, Liebert W., Schuster H.G.: Proper Choice o f the Time D elay fo r the Analysis o f Chaotic Time Series. Phys. Rev. Lett. A 1989, Sprott J.C.: Chaos and Time-Series Analysis. Oxford TakensF.: Detectingstrange Attractors in Turbulence. In: Lecture Notes in Mathematics. Eds. D.A. Rand, L.S. Young. Springer-Verlag, Berlin Talaga L., Zieliński Z.: Analiza spektralna w modelowaniu ekonometrycznym. PWN, Warszawa Zawadzki H.: Chaotyczne system y dynamiczne. AE, Katowice RECONSTRUCTION OF THE STATE SPACE FROM A SINGLE ECONOMICS' TIME SERIES Summary In this paper we used the time delay method - Takens (1981) - for the reconstruction o f the state space from a single time series. In order to compute the delay time X we used the C-C method and then we used the false neighbours method for compute the embedding dimension d. Our data set is composed o f daily foregin - exchange returns obtained from WGPW for USD, GBP and JPY.