WPŁYW REDUKCJI SZUMU LOSOWEGO METODĄ NAJBLIŻSZYCH SĄSIADÓW NA WYNIKI PROGNOZ OTRZYMANYCH ZA POMOCĄ NAJWIĘKSZEGO WYKŁADNIKA LAPUNOWA

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "WPŁYW REDUKCJI SZUMU LOSOWEGO METODĄ NAJBLIŻSZYCH SĄSIADÓW NA WYNIKI PROGNOZ OTRZYMANYCH ZA POMOCĄ NAJWIĘKSZEGO WYKŁADNIKA LAPUNOWA"

Transkrypt

1 Monika Miśkiewicz-Nawrocka Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach WPŁYW REDUKCJI SZUMU LOSOWEGO MEODĄ NAJBLIŻSZYCH SĄSIADÓW NA WYNIKI PROGNOZ ORZYMANYCH ZA POMOCĄ NAJWIĘKSZEGO WYKŁADNIKA LAPUNOWA Wprowazenie Problem prognozowania zjawisk ekonomicznych jest problemem trunym, który próbuje się rozwiązywać różnymi metoami. O momentu pojawienia się w literaturze pojęcia eterministycznego chaosu, poejmuje się próby prognozowania realnych zjawisk na postawie pojęć i meto teorii nieliniowych ukłaów ynamicznych. Jenym z narzęzi tej teorii są wykłaniki Lapunowa, które mierzą wrażliwość ukłau na zmianę warunków początkowych, czyli chaotyczność ukłau ynamicznego. Największy wykłanik Lapunowa pozwala określić, jak barzo zmienia się (zwiększa lub zmniejsza) oległość pomięzy bieżącym stanem x N ukłau a jego najbliższym sąsiaem x i poczas ewolucji ukłau oraz oszacować oległość pomięzy ich następnikami x N+ i x i+. Na postawie tej oległości można wyznaczyć wartość prognozy x ˆ N + [Guégan, Leroux, 2009, s. 240; Zhang et al., 2004, s. 3]. Metoa najbliższych sąsiaów wywozi się z teorii nieliniowych ukłaów ynamicznych i została stworzona o prognozowania przyszłych wartości szeregów czasowych [Lorenz, 969, s ], ale może być również stosowana o reukcji szumu losowego w szeregach czasowych. Rzeczywiste szeregi czasowe (s t ) skłaają się z części eterministycznej szeregu (y t ) oraz części stochastycznej szeregu (ε t ), która wyraża poziom szumu losowego, reprezentującego szum ob-

2 WPŁYW REDUKCJI SZUMU LOSOWEGO 83 serwacyjny, systemowy lub kombinację szumu obserwacyjnego i systemowego. Reukcja szumu losowego pozwala poznać własności szeregu (y t ) na postawie analizy szeregu obserwacji (s t ). Celem pracy jest ocena okłaności oraz porównanie prognoz otrzymanych za pomocą największego wykłanika Lapunowa la wybranych szeregów czasowych, prze i po zastosowaniu proceury reukcji szumu losowego metoą najbliższych sąsiaów. Baania empiryczne przeprowazono na postawie rzeczywistych anych natury ekonomicznej, tj. szeregów utworzonych z notowań kursów walut: CHF, EUR, GBP, JPY, USD wobec złotego, cen zamknięcia: Dębicy, ING Banku Śląskiego, LPP SA, Mostostalu Zabrze, Vistuli, oraz ineksów giełowych: WIG i WIG20. Do przeprowazenia niezbęnych obliczeń wykorzystano program napisany przez autora w języku Delhi, arkusz kalkulacyjny Excel oraz program GREL.. Szeregi czasowe Rzeczywisty szereg czasowy jest yskretnym ukłaem ynamicznym (X, f) opisanym za pomocą zależności [Nowiński, 2007, s. 24]: x t+ = f(x t + η t ), () s t+ = h(x t+ ) + ξ t, t = 0,,2, (2) gzie: X R m, X przestrzeń stanów, f : X X m-wymiarowe owzorowanie opisujące rzeczywistą ynamikę ukłau, h : X R funkcja pomiarowa generująca szereg czasowy obserwacji s t ukłau ynamicznego, x t, x t+ X stan nieznanego, pierwotnego ukłau wielowymiarowego opowienio w chwilach t, t+, s t+ obserwacja szeregu czasowego w chwili t+, η t szum ynamiczny wewnątrz ukłau, ξ t szum pomiarowy. Krótko, można zapisać rzeczywisty szereg czasowy jako: s t = y t + ε t, (3) gzie: y t część eterministyczna szeregu czasowego, ε t część stochastyczna szeregu czasowego (szum losowy skłaający się z szumu obserwacyjnego, systemowego lub ich kombinacji).

3 84 Monika Miśkiewicz-Nawrocka 2. Największy wykłanik Lapunowa Dla ukłau ynamicznego (X, f), w którym X R m, f : X X (m ), wykłaniki Lapunowa są zefiniowane jako granice [Zawazki, 996, s. 6]: λi ( x0 ) = lim ln μi ( n, x0 ), gzie: i =,,m, (4) n n gzie: i =,, m, μ i (n, x 0 ) wartości własne macierzy Df n (x 0 ), Df n (x 0 ) macierz Jacobiego owzorowania f n równą Df n (x 0 ) = Df(x n ) Df(x ) Df(x 0 ), f i Df ( x) = ( x), x j f i skłaowe owzorowania f, i, j =,2,, m. i =,, m. Zgonie z twierzeniem Oseleeca [968, s ], la m-wymiarowego ukłau ynamicznego istnieje m wykłaników Lapunowa, spełniających warunek: λ i λ i+, la i =,, m. Jenak najważniejszy jest największy z nich, który mierzy śrenie tempo zbieżności i rozbieżności wóch początkowo barzo bliskich trajektorii. Doatnia wartość największego wykłanika jest głównym wskaźnikiem ynamiki chaotycznej. Uowoniono, że prawziwa jest następująca zależność [Eckmann, Ruelle, 985, s. 630; Kantz, Schreiber, 2004, s. 67]: kλmax Δ Δ, (5) gzie λ max największy wykłanik Lapunowa, Δ k <<, k >> *. k Jeśli λ max jest oatnie, to z powyższego wzoru wynika, że początkowo bliskie sobie stany rozbiegają się (oalają się o siebie) w tempie wykłaniczym, co najwyżej równym największemu wykłanikowi Lapunowa. W związku z tym, że wie trajektorie nie mogą oalić się o siebie na oległość większą niż rozmiar atraktora, przybliżona równość (5) jest prawziwa tylko la takich k, la których Δ k pozostaje małe. 0 e * a << b oznacza, że a jest użo mniejsze niż b.

4 WPŁYW REDUKCJI SZUMU LOSOWEGO 85 Po obustronnym zlogarytmowaniu równania (5) uzyskano: ln Δ k = ln Δ 0 + kλ max. (6) W praktyce największy wykłanik Lapunowa szacuje się jako współczynnik kierunkowy regresji równania (6) [Rosenstein, Collins et al. 993, s. 7-34; Kantz, 994, s ]. 3. Prognozowanie szeregów czasowych metoa LEM * Należy rozważyć jenowymiarowy szereg czasowy złożony z N obserwacji (s, s 2,, s N ). W zrekonstruowanej przestrzeni stanów ** każa obserwacja s t, ( )τ + t N jest związana z wektorem zanurzenia (-historią), który powstaje w wyniku przesunięcia oryginalnego szeregu czasowego o pewną stałą wartość opóźnienia czasowego τ. Elementami zrekonstruowanej -wymiarowej przestrzeni stanów są więc -wymiarowe punkty (-historie) zwane wektorami opóźnień, ane wzorem [Packer et al., 980, s ; akens, 98, s ]: ( ) s i = si, si τ, si 2 τ,..., si ( ) τ, (7) gzie: i = ( )τ +,, N, s i obserwacje oryginalnego szeregu, i =,, N, wymiar rekonstruowanej przestrzeni (zwany również wymiarem zanurzenia), τ opóźnienie czasowe. Przeprowazenie rekonstrukcji przestrzeni stanów ukłau ynamicznego wymaga ustalenia wartości parametrów τ i m. Nie istnieje jenak jenoznaczna metoa wyznaczenia wartości opóźnienia τ oraz minimalnego wymiaru zanurzenia m. Wartość opóźnienia czasowego τ można oszacować na postawie funkcji autokorelacji lub funkcji informacji wzajemnej [Kantz, Schreiber, 2004, s. 50]. Przy ustalaniu minimalnego wymiaru opóźnienia powszechnie stosowaną jest metoa pozornych najbliższych sąsiaów [Kennel et al., 992]. Spośró wszystkich wektorów s t zrekonstruowanej przestrzeni stanów należy wybrać wektor najbliższy (w sensie oległości eukliesowej) wektorowi s i oznaczyć przez s min. Niech Δ min oznacza oległość pomięzy s oraz N N * Lyapunov Exponent Metho. ** Rekonstrukcja przestrzeni stanów polega na otworzeniu na postawie jenowymiarowego ciągu obserwacji, przestrzeni stanów ukłau ynamicznego.

5 86 Monika Miśkiewicz-Nawrocka s min, a Δ oległość pomięzy sn s + oraz min+. Zakłaając, że Δ /Δ min ulega małym zmianom poczas ewolucji ukłau, to oległość mięzy wektorami sn + i wyraża się wzorem [Guégan, Leroux, 2009, s. 2402]: smin+ gzie: λ max wykłanik Lapunowa. λmax Δ Δ e, (8) min Ponieważ: s N ( s s s ), + + = N + N τ + N ( ) τ,...,, (9) prognozowaną wartość s N+ można wyznaczyć z równania (8) [Zhang et al., 2004, s. 6; Guégan, Leroux, 2009, s. 2402]. Kolejne prognozy s ˆ N +, la = 2,3, można wyznaczyć bezpośrenio z zależności: Δ Δ min e λ max, (0) gzie Δ oznacza oległość pomięzy wektorami s N i s min po krokach iteracji, czyli pomięzy wektorami s N + i s min +, lub metoą iteracyjną, stosując opisaną powyżej proceurę la wektora sn + [ Zhang.et al., 2004, s. 3; Guégan, Leroux, 2009, s. 2402]. Algorytm prognozowania przyszłych wartości szeregu czasowego (s, s 2,, s N ) za pomocą największego wykłanika Lapunowa [Zhang et al., 2004, s. 6] metoa LEM jest następujący:. Należy wybrać opóźnienie czasowe τ oraz wymiar rekonstruowanej przestrzeni stanów. 2. Należy obliczyć wykłanik Lapunowa λ max, jeśli λ max < 0, przejść o kroku Należy rekonstruować przestrzeń stanów la wybranych wartości τ oraz. Otrzymuje się N ( )τ wektorów w rekonstruowanej -wymiarowej przestrzeni stanów. 4. Należy wyznaczyć wektor s min położony najbliżej, w sensie oległości eukliesowej, wektora s N. 5. Należy obliczyć oległość Δ min pomięzy wektorami s min oraz s N. 6. Należy obliczyć oległość Δ pomięzy wektorami smin+ oraz sn +.

6 WPŁYW REDUKCJI SZUMU LOSOWEGO Znając współrzęne punktu s min+ w zrekonstruowanej przestrzeni stanów, na postawie równania (8) prognozuje się za pomocą wykłanika Lapunowa λ max kolejną wartość szeregu czasowego s N+. 8. Należy zmienić wymiar zanurzenia i przejść o kroku 2. Ze wzoru (8) wynika, że znając oległość pomięzy wektorami s N i s min oraz wykłanik Lapunowa λ max, można wyznaczyć oległość mięzy ich następnikami, czyli wektorami s N + i s min+. Oległość ta nie zależy o znaku wykłanika λ max, tzn. jest niezależna o tego czy ukła jest lokalnie chaotyczny, czy lokalnie stabilny. W związku z tym, że znane są również wszystkie oprócz pierwszej współrzęne wektora s N + = ( sn +, sn τ +,..., sn ( ) τ + ), można wyznaczyć wartość s N+. sn +, która znajuje się na przecięciu sfery o promieniu λ max Δ = Δ mine i o śroku w punkcie s N z prostą l przechozącą przez punkty postaci ( z, s N τ,..., s N ( ) τ + ), z R. W przestrzeni eukliesowej s N+ należy o zbioru wszystkich punktów z R, bęących miejscem zerowym wielomianu: 2 2 ( z s + ) + ( sn si ) sn ( ) τ + si ( ) 2 λ 2 max ( ) ( Δ e ) = 0 τ + i. () ˆ + Stą prognoza s N może przyjmować wie wartości: min + s ˆN + oraz s ˆN +, bęące opowienio przeszacowaną (LEM + ) i nieoszacowaną (LEM ) wartością rzeczywistego s N+ [Guégan, Leroux, 2009, s ]. 4. Reukcja szumu losowego W metozie NS reukcji szumu losowego, część eterministyczną (y t ) szeregu czasowego buuje się na postawie najbliższych sąsiaów (w sensie metryki eukliesowej -wymiarowej) wektorów s t zrekonstruowanej przestrzeni stanów ukłau ynamicznego opisanego szeregiem (s t ). Algorytm wyznaczania wartości y n, < n < N szeregu czasowego (s, s 2,, s N ) metoą najbliższych sąsiaów jest następujący:. Dla oszacowanego wymiaru zanurzenia oraz opóźnienia czasowego τ = stworzono wektor opóźnień postaci: s t = s t,s t+,,s t+(-), (2) tak aby filtrowana obserwacja s n była jeną ze śrokowych współrzęnych wektora s t.

7 88 Monika Miśkiewicz-Nawrocka 2. Wyznaczono k najbliższych sąsiaów (w sensie oległości eukliesowej) wektora s t, postaci: s l(), sl( 2),..., sl( k ). Często spotykanym w literaturze postulatem jest, aby liczba najbliższych sąsiaów spełniała warunek 2( + ) k < N ( )τ [Casagli, 989, s. 340; Cao, Sofio, 999, s. 425]. 3. Na postawie wyznaczonych sąsiaów obliczono wartość y n jako śrenią arytmetyczną pierwszych współrzęnych najbliższych sąsiaów: 4. Baania empiryczne y = k n s l k i= () i. (3) Przemiotem baania były logarytmy ziennych stóp zwrotu kursów: franka szwajcarskiego (CHF), euro (EUR), funta brytyjskiego (GBP), jena japońskiego (JPY), olara amerykańskiego (USD), wobec złotego; cen: Dębicy (DBC), ING Banku Śląskiego (BSK), LPP SA (LPP), Mostostalu Zabrze (MSZ), Vistuli (VS); oraz ineksów giełowych: WIG i WIG20, postaci: gzie: s t obserwacja szeregu. x t = ln s t ln s t, (4) Doatkowo baaniu poano szeregi reszt, które powstały z baanych szeregów przefiltrowanych moelami ARMA. Do oszacowania parametrów moeli ARMA oraz o wyznaczenia parametrów szeregów reszt wykorzystano program GREL. Przy wyborze opowieniego moelu ARMA kierowano się istotnością oszacowanych parametrów oraz kryterium Schwarza. Szeregi reszt oznaczono symbolem NazwaSzeregu_. Następnie szeregi reszt poano proceurze reukcji szumu losowego metoą najbliższych sąsiaów. Uzyskane w ten sposób szeregi oznaczono NazwaSzeregu_2. Wartość największego wykłanika Lapunowa la analizowanych szeregów oszacowano na postawie zależności (6) w zrekonstruowanej przestrzeni stanów. Parametry -historii, tj. opóźnienie czasowe i minimalny wymiar zanurzenia, oszacowano za pomocą funkcji autokorelacji ACF oraz metoy pozornych fałszywych sąsiaów. Obliczenia wykonano przy użyciu programu napisanego przez autora. W obliczeniach przyjęto liczbę najbliższych sąsiaów k =. W tabeli przestawiono wyniki szacowania największego wykłanika Lapunowa.

8 WPŁYW REDUKCJI SZUMU LOSOWEGO 89 Wyniki szacowania największego wykłanika Lapunowa la analizowanych szeregów abela Szereg Równanie regresji λ max Szereg Równanie regresji λ max BSK y = 0,0074x 4,059 y = 0,0028x 3,8968 R 2 0,0074 LPP = 0,477 R 2 = 0,25 (0,0028) BSK_ y = 0,002x 4,0364 y = 0,009x 3,834 R 2 0,002 LPP_ = 0,327 R 2 = 0,4022 0,009 BSK_2 y = 0,0023x 4,9233 y = 0,007x 5,4842 R 2 0,0023 LPP_2 = 0,444 R 2 = 0,3929 0,007 CHF y = 0,004x 4,8925 y = 0,0022x 3,5262 R 2 0,004 MSZ = 0,533 R 2 = 0,297 (0,0022) CHF_ y = 0,0008x 4,089 y = 0,00x 3,4639 R 2 0,0008 MSZ_ = 0,4689 R 2 = 0,4605 0,00 CHF_2 y = 0,0029x 6,558 y = 0,0009x 5,785 R 2 0,0029 MSZ_2 = 0,6646 R 2 = 0,344 (0,0009) DBC y = 0,002x 4,093 y = 0,003x 4,605 R 2 0,002 USD = 0,594 R 2 = 0,4525 0,003 DBC_ y = 0,0034x 4,0988 y = 0,0008x 4,6068 R 2 0,0034 USD_ = 0,7244 R 2 = 0,493 0,0008 DBC_2 y = 0,005x 6,2532 y = 0,0007x 6,2377 R 2 0,005 USD_2 = 0,4394 R 2 = 0,0643 EUR y = 0,0028x 5,345 y = 0,0025x 3,5699 R 2 0,0028 VS = 0,53 R 2 = 0,2798 0,0025 EUR_ y = 0,00x 5,567 y = 0,002x 3,5992 R 2 0,00 VS_ = 0,6004 R 2 = 0,577 0,002 EUR_2 y = 0,0002x 6,9627 y = 0,0063x 5,3806 R 2 VS_2 = 0,006 R 2 = 0,3563 0,0063 GBP y = 0,0009x 4,8483 y = 0,0023x 4,332 R 2 0,0009 WIG = 0,23 R 2 = 0,6634 0,0023 GBP_ y = 0,00x 4,8536 y = 0,00x 4,35 R 2 0,00 WIG_ = 0,6404 R 2 = 0,5345 0,00 GBP_2 y = 0,0043x 6,7553 y = 0,0002x 5,9989 R 2 0,0043 WIG_2 = 0,6284 R 2 = 0,6899 0,0002 JPY y = 0,00x 4,5883 y = 0,002x 4,253 R 2 0,00 WIG20 = 0,48 R 2 = 0,3335 0,002 JPY_ y = 0,005x 4,5798 y = 0,0008x 4,587 R 2 0,005 WIG20_ = 0,6678 R 2 = 0,876 (0,0008) JPY_2 y = 0,0005x 6,722 y = 0,008x 6,0239 R 2 (0,0005) WIG20_2 = 0,2833 R 2 = 0,3937 0,008 Na postawie anych zamieszczonych w tabeli można stwierzić wpływ filtrowania, a w szczególności reukcji szumu losowego, na wartość największego wykłanika Lapunowa. Dla szeregów CHF, GBP, DBC, LPP, VS, WIG20 po reukcji szumu wartość wykłanika Lapunowa wzrosła. Można zatem wnioskować, że poziom chaosu (choć naal niewielki) w baanych szeregach zwiększył się. Po przefiltrowaniu metoą najbliższych sąsiaów szeregów EUR i USD ustalenie wartości λ max, stało się niemożliwe ze wzglęu na zbyt ni-

9 90 Monika Miśkiewicz-Nawrocka ski współczynnik R 2. Poobnie, la szeregów LPP, MSZ, MSZ_2 i WIG20_, oszacowany współczynnik regresji nie może być traktowany jako wartość największego wykłanika Lapunowa. Do wyznaczenia prognoz baanych szeregów czasowych zastosowano metoę LEM. Do oceny okłaności prognozy wykorzystano: bezwzglęny błą prognozy w momencie : śreni błą prognozy ex post: = x xˆ, (5) n h 2 σ =, (6) + x xˆ ) +( h t = n wzglęny błą prognozy: współczynnik hiela: σ σ =, (7) σ 2 hσ I, (8) 2 = n + h 2 x = n+ gzie: x rzeczywista wartość baanej zmiennej w momencie, xˆ prognoza wartości zmiennej w momencie, σ ochylenie stanarowe szeregu obserwacji, = n +,, n + h, h liczba naturalna oznaczająca oległość okresu prognozowanego o okresu bieżącego. W tabeli 2 przestawiono błęy t i σ t otrzymanych prognoz la baanych szeregów czasowych. W związku z tym, że la szeregów EUR_2 i USD_2 nie można było oszacować wartości największego wykłanika Lapunowa, szeregi te nie zostały poane proceurze prognozowania metoa LEM.

10 WPŁYW REDUKCJI SZUMU LOSOWEGO 9 Błęy otrzymanych prognoz la analizowanych szeregów abela 2 t BSK LEM"+" t 0,0734 0,0598 0,052 0,0577 0,0275 0,80 0,0720 0,0799 0,0755 0,05 σ 0,0734 0,0670 0,0622 0,06 0,0560 0,0703 0,0705 0,077 0,0722 0,076 BSK LEM" " t 0,207 0,0646 0,074 0,034 0,0420 0,0927 0,066 0,0640 0,097 0,0902 σ 0,207 0,0969 0,005 0,0887 0,085 0,0835 0,0807 0,0788 0,0803 0,084 BSK_ LEM"+" t 0,0273 0,0050 0,0284 0,0393 0,0365 0,075 0,0263 0,0383 0,0568 0,088 σ 0,0273 0,097 0,0230 0,0280 0,0299 0,0282 0,0279 0,0294 0,0336 0,040 BSK_ LEM" " t 0,0353 0,0469 0,050 0,0069 0,0454 0,0063 0,09 0,075 0,0296 0,0362 σ 0,0353 0,045 0,0446 0,0387 0,0402 0,0368 0,0343 0,0327 0,0324 0,0328 BSK_2 LEM"+" t 0,0354 0,0069 0,0205 0,0486 0,0464 0,0282 0,0387 0,078 0,092 0,0079 σ 0,0354 0,0255 0,0240 0,0320 0,0353 0,0342 0,0349 0,0333 0,0320 0,0305 BSK_2 LEM" " t 0,033 0,0085 0,044 0,0483 0,030 0,049 0,0362 0,0253 0,0258 0,0236 σ 0,033 0,02 0,024 0,0264 0,0272 0,0256 0,0273 0,027 0,0270 0,0266 CHF LEM"+" t 0,0446 0,0406 0,07 0,049 0,0384 0,0387 0,0276 0,027 0,0426 0,0328 σ 0,0446 0,0427 0,0362 0,0323 0,0336 0,0345 0,0336 0,0328 0,034 0,0339 CHF LEM" " t 0,0493 0,0305 0,028 0,020 0,085 0,0432 0,0570 0,023 0,0287 0,0456 σ 0,0493 0,040 0,0372 0,0338 0,033 0,0336 0,0378 0,0363 0,0356 0,0367 CHF_ LEM"+" t 0,0003 0,0046 0,0039 0,0003 0,0078 0,0046 0,0039 0,03 0,073 0,040 σ 0,0003 0,0033 0,0035 0,0030 0,0044 0,0044 0,0044 0,0062 0,0082 0,0089 CHF_ LEM" " t 0,000 0,020 0,0053 0,0093 0,0033 0,065 0,0079 0,066 0,045 0,086 σ 0,000 0,0085 0,0076 0,008 0,0074 0,0095 0,0093 0,005 0,00 0,020 CHF_2 LEM"+" t 0,0020 0,0062 0,0004 0,004 0,007 0,0050 0,002 0,0055 0,003 0,0045 σ 0,0020 0,0046 0,0038 0,0039 0,0036 0,0038 0,0036 0,0039 0,0038 0,0039 CHF_2 LEM" " t 0,0004 0,0022 0,0035 0,0002 0,0044 0,004 0,0050 0,005 0,0006 0,00 σ 0,0004 0,006 0,0024 0,002 0,0027 0,0025 0,0030 0,0029 0,0027 0,0026 EUR LEM"+" t 0,064 0,033 0,0244 0,0250 0,0206 0,009 0,043 0,0304 0,037 0,0224 σ 0,064 0,049 0,086 0,0204 0,0205 0,090 0,084 0,0203 0,097 0,0200 EUR LEM" " t 0,008 0,052 0,0279 0,020 0,0236 0,063 0,095 0,052 0,057 0,0296 σ 0,008 0,032 0,094 0,098 0,0206 0,0200 0,099 0,094 0,090 0,0203 EUR_ LEM"+" t 0,063 0,029 0,0232 0,0238 0,089 0,0077 0,03 0,0307 0,028 0,0235 σ 0,063 0,047 0,080 0,096 0,094 0,080 0,074 0,096 0,089 0,094

11 92 Monika Miśkiewicz-Nawrocka c. tabeli 2 t EUR_ LEM" " t 0,03 0,060 0,0270 0,0200 0,0226 0,049 0,082 0,058 0,062 0,0304 σ 0,03 0,039 0,093 0,095 0,020 0,094 0,092 0,088 0,085 0,0200 GBP LEM"+" t 0,0394 0,0060 0,008 0,0264 0,0202 0,0028 0,002 0,034 0,035 0,006 σ 0,0394 0,0282 0,0235 0,0242 0,0235 0,025 0,099 0,027 0,0230 0,028 GBP LEM" " t 0,0296 0,067 0,0272 0,026 0,0044 0,048 0,0394 0,0389 0,0009 0,0283 σ 0,0296 0,024 0,025 0,0254 0,0228 0,027 0,0250 0,027 0,0256 0,0259 GBP_ LEM"+" t 0,059 0,006 0,0053 0,0028 0,0093 0,0060 0,07 0,07 0,007 0,0255 σ 0,059 0,020 0,003 0,0090 0,009 0,0086 0,009 0,0095 0,0092 0,09 GBP_ LEM" " t 0,003 0,062 0,074 0,0046 0,003 0,07 0,023 0,0 0,0277 0,047 σ 0,003 0,06 0,038 0,022 0,00 0,0 0,03 0,03 0,04 0,04 GBP_2 LEM"+" t 0,0033 0,00 0,0009 0,0009 0,0003 0,004 0,004 0,0034 0,008 0,0076 σ 0,0033 0,0024 0,002 0,008 0,007 0,0023 0,0022 0,0023 0,0035 0,004 GBP_2 LEM" " t 0,0009 0,000 0,0007 0,0027 0,000 0,0006 0,0057 0,0025 0,0009 0,0037 σ 0,0009 0,0006 0,0006 0,005 0,004 0,003 0,0025 0,0025 0,0024 0,0025 JPY LEM"+" t 0,0389 0,0260 0,0434 0,0239 0,036 0,0237 0,032 0,047 0,079 0,044 σ 0,0389 0,033 0,0369 0,034 0,0336 0,0322 0,0320 0,0304 0,0293 0,0282 JPY LEM" " t 0,037 0,002 0,0337 0,0364 0,0682 0,075 0,0602 0,0037 0,073 0,0406 σ 0,037 0,0235 0,0273 0,0299 0,0405 0,0377 0,047 0,0390 0,0372 0,0376 JPY_ LEM"+" t 0,0245 0,028 0,0570 0,0597 0,0566 0,035 0,0636 0,0703 0,0569 0,0002 σ 0,0245 0,095 0,0366 0,0435 0,0464 0,0427 0,0463 0,0499 0,0507 0,048 JPY_ LEM" " t 0,0274 0,03 0,0260 0,0643 0,0206 0,0638 0,0437 0,0573 0,055 0,055 σ 0,0274 0,0293 0,0283 0,0404 0,0373 0,0429 0,0430 0,0450 0,0462 0,044 JPY_2 LEM"+" t 0,0097 0,0085 0,0074 0,0055 0,0053 0,0057 0,0077 0,0083 0,0062 0,0022 σ 0,0097 0,009 0,0086 0,0079 0,0075 0,0072 0,0073 0,0074 0,0073 0,0069 JPY_2 LEM" " t 0,0075 0,0045 0,0065 0,0088 0,0045 0,0082 0,0058 0,0066 0,0084 0,0000 σ 0,0075 0,0062 0,0063 0,0070 0,0066 0,0069 0,0067 0,0067 0,0069 0,0066 USD LEM"+" t 0,0604 0,023 0,055 0,093 0,0648 0,003 0,0272 0,0039 0,0375 0,0080 σ 0,0604 0,0436 0,0477 0,0424 0,0478 0,0436 0,047 0,0390 0,0388 0,0369 USD LEM" " t 0,0226 0,093 0,0277 0,028 0,066 0,0380 0,0556 0,077 0,0299 0,03 σ 0,0226 0,020 0,0234 0,023 0,029 0,0253 0,035 0,030 0,030 0,0288 USD_ LEM"+" t 0,0204 0,0320 0,05 0,0023 0,0292 0,0364 0,0325 0,03 0,0487 0,073 σ 0,0204 0,0269 0,0236 0,0205 0,0225 0,0253 0,0265 0,0252 0,0288 0,0278

12 WPŁYW REDUKCJI SZUMU LOSOWEGO 93 c. tabeli 2 t USD_ LEM" " t 0,044 0,0025 0,0338 0,0070 0,030 0,0042 0,0062 0,0230 0,05 0,075 σ 0,044 0,0293 0,0309 0,0270 0,0278 0,0255 0,0237 0,0236 0,0226 0,022 DBC LEM"+" t 0,093 0,0450 0,33 0,4 0,297 0,0905 0,0324 0,0783 0,0857 0,32 σ 0,093 0,0835 0,020 0,30 0,66 0,26 0,050 0,020 0,004 0,07 DBC LEM" " t 0,0552 0,28 0,58 0,54 0,0766 0,023 0,005 0,0907 0,067 0,302 σ 0,0552 0,0888 0,0986 0,03 0,0984 0,0990 0,097 0,096 0,0892 0,094 DBC_ LEM"+" t 0,03 0,0877 0,0630 0,054 0,0436 0,0809 0,0922 0,0302 0,0866 0,082 σ 0,03 0,0957 0,0862 0,0794 0,0737 0,0749 0,0776 0,0734 0,0750 0,074 DBC_ LEM" " t 0,0853 0,0885 0,0073 0,096 0,033 0,2 0,0880 0,0300 0,063 0,0783 σ 0,0853 0,0869 0,07 0,078 0,074 0,0794 0,0807 0,0762 0,0749 0,0752 DBC_2 LEM"+" t 0,046 0,0 0,027 0,009 0,0029 0,0209 0,0074 0,0066 0,0095 0,0079 σ 0,046 0,030 0,029 0,024 0,02 0,033 0,026 0,020 0,08 0,05 DBC_2 LEM" " t 0,03 0,005 0,0052 0,0077 0,0008 0,0052 0,047 0,05 0,009 0,0027 σ 0,03 0,009 0,0094 0,0090 0,008 0,0077 0,0090 0,0093 0,0093 0,0089 LPP LEM"+" t 0,0736 0,335 0,0552 0,795 0,0832 0,26 0,0960 0,240 0,249 0,06 σ 0,0736 0,078 0,0936 0,209 0,44 0,56 0,30 0,44 0,56 0,4 LPP LEM" " t 0,65 0,048 0,0226 0,0487 0,202 0,03 0,232 0,0977 0,58 0,082 σ 0,65 0,36 0,9 0,0999 0,043 0,053 0,08 0,068 0,079 0,079 LPP_ LEM"+" t 0,080 0,0338 0,033 0,0664 0,0856 0,0375 0,057 0,27 0,0926 0,0508 σ 0,080 0,065 0,0780 0,0752 0,0774 0,0723 0,0703 0,0797 0,082 0,0787 LPP_ LEM" " t 0,208 0,058 0,0984 0,0346 0,63 0,0884 0,384 0,0290 0,026 0,090 σ 0,208 0,0862 0,0905 0,0802 0,0886 0,0886 0,0973 0,096 0,0928 0,0946 LPP_2 LEM"+" t 0,062 0,0026 0,025 0,008 0,0076 0,0044 0,005 0,073 0,065 0,0053 σ 0,062 0,06 0,09 0,0 0,005 0,0097 0,0092 0,006 0,04 0,009 LPP_2 LEM" " t 0,027 0,0048 0,065 0,0003 0,026 0,0085 0,0249 0,0056 0,034 0,074 σ 0,027 0,0096 0,023 0,007 0,036 0,029 0,052 0,043 0,042 0,046 MSZ LEM"+" t 0,085 0,0980 0,0423 0,0942 0,0735 0,0306 0,0973 0,0723 0,0937 0,007 σ 0,085 0,097 0,0788 0,0829 0,08 0,075 0,0786 0,0779 0,0798 0,082 MSZ LEM" " t 0,0373 0,0980 0,93 0,0622 0,0409 0,042 0,0970 0,0884 0,0599 0,0 σ 0,0373 0,074 0,097 0,0853 0,0784 0,078 0,0759 0,0776 0,0759 0,0787 MSZ_ LEM"+" t 0,330 0,447 0,065 0,0778 0,0324 0,439 0,6 0,646 0,0767 0,0076 σ 0,330 0,390 0,29 0,83 0,068 0,39 0,42 0,26 0,75 0,5

13 94 Monika Miśkiewicz-Nawrocka c. tabeli 2 t MSZ_ LEM" " t 0,546 0,0864 0,826 0,0449 0,0004 0,402 0,304 0,058 0,0650 0,0360 σ 0,546 0,252 0,469 0,292 0,55 0,200 0,25 0,97 0,49 0,096 MSZ_2 LEM"+" t 0,035 0,070 0,0028 0,00 0,0046 0,0243 0,050 0,097 0,007 0,057 σ 0,035 0,054 0,026 0,02 0,00 0,04 0,042 0,050 0,046 0,047 MSZ_2 LEM" " t 0,0377 0,0257 0,0247 0,0326 0,0084 0,0276 0,08 0,004 0,032 0,084 σ 0,0377 0,0323 0,0300 0,0306 0,0277 0,0276 0,0260 0,0243 0,0252 0,0246 VS LEM"+" t 0,0749 0,0549 0,0458 0,073 0,0470 0,0988 0,0939 0,0599 0,054 0,0886 σ 0,0749 0,0657 0,0598 0,0629 0,060 0,068 0,0723 0,0709 0,0690 0,072 VS LEM" " t 0,084 0,0272 0,0409 0,0994 0,0470 0,0270 0,0788 0,0378 0,27 0,0793 σ 0,084 0,0790 0,0687 0,0775 0,0724 0,0670 0,0688 0,0658 0,075 0,0755 VS_ LEM"+" t 0,00 0,004 0,0974 0,0427 0,063 0,398 0,0707 0,20 0,033 0,0886 σ 0,00 0,002 0,0993 0,0886 0,0924 0,09 0,0980 0,0999 0,0948 0,0942 VS_ LEM" " t 0,645 0,284 0,0573 0,0407 0,38 0,0693 0,0072 0,56 0,202 0,0822 σ 0,645 0,476 0,249 0,0 0,62 0,098 0,07 0,00 0,236 0,20 VS_2 LEM"+" t 0,0249 0,053 0,009 0,067 0,0044 0,0078 0,0078 0,0084 0,045 0,0045 σ 0,0249 0,0207 0,077 0,075 0,057 0,047 0,039 0,034 0,035 0,029 VS_2 LEM" " t 0,0095 0,0222 0,006 0,0047 0,0244 0,0235 0,0059 0,0279 0,0252 0,089 σ 0,0095 0,07 0,052 0,034 0,062 0,076 0,065 0,083 0,092 0,092 WIG LEM"+" t 0,0562 0,0564 0,0770 0,0766 0,056 0,066 0,0600 0,054 0,0425 0,042 σ 0,0562 0,0563 0,0640 0,0674 0,0653 0,0654 0,0647 0,0632 0,062 0,0596 WIG LEM" " t 0,0833 0,0489 0,029 0,044 0,0372 0,0338 0,080 0,0466 0,068 0,0683 σ 0,0833 0,0683 0,0582 0,0545 0,055 0,0490 0,0547 0,0538 0,0556 0,0570 WIG_ LEM"+" t 0,056 0,0202 0,0043 0,030 0,0298 0,0443 0,096 0,0293 0,0357 0,0288 σ 0,056 0,080 0,049 0,098 0,0222 0,027 0,0262 0,0266 0,0278 0,0279 WIG_ LEM" " t 0,047 0,0053 0,0544 0,0004 0,0267 0,006 0,0369 0,079 0,020 0,043 σ 0,047 0,0297 0,0397 0,0344 0,0330 0,030 0,032 0,0298 0,0290 0,0279 WIG_2 LEM"+" t 0,000 0,008 0,004 0,0093 0,0050 0,0029 0,0074 0,003 0,0053 0,0085 σ 0,000 0,0072 0,0084 0,0086 0,0080 0,0074 0,0074 0,0070 0,0069 0,0070 WIG_2 LEM" " t 0,0070 0,0038 0,0069 0,009 0,0084 0,0062 0,0065 0,0046 0,0083 0,0006 σ 0,0070 0,0057 0,006 0,0054 0,006 0,006 0,0062 0,0060 0,0063 0,0060 WIG20 LEM"+" t 0,027 0,034 0,020 0,0070 0,053 0,0499 0,033 0,0042 0,0366 0,0203 σ 0,027 0,080 0,063 0,045 0,047 0,0244 0,0255 0,0239 0,0256 0,025

14 WPŁYW REDUKCJI SZUMU LOSOWEGO 95 c. tabeli 2 t WIG20 LEM" " t 0,040 0,0047 0,035 0,0024 0,0463 0,00 0,038 0,096 0,0239 0,07 σ 0,0400 0,0292 0,025 0,027 0,0284 0,0259 0,0246 0,0240 0,0240 0,023 WIG20 LEM"+" t 0,0508 0,0589 0,039 0,0736 0,0362 0,0766 0,0355 0,0498 0,0455 0,052 σ 0,0508 0,0550 0,0502 0,0570 0,0535 0,0580 0,0553 0,0547 0,0537 0,0536 WIG20 LEM" " t 0,08 0,0489 0,0305 0,049 0,0397 0,0294 0,0842 0,0457 0,0627 0,0494 σ 0,08 0,0669 0,0574 0,0540 0,054 0,0484 0,0550 0,0539 0,0550 0,0544 WIG20 LEM"+" t 0,074 0,0085 0,007 0,0002 0,0086 0,022 0,069 0,02 0,0205 0,00 σ 0,074 0,037 0,09 0,003 0,000 0,004 0,06 0,05 0,028 0,026 WIG20 LEM" " t 0,035 0,069 0,034 0,036 0,04 0,025 0,02 0,076 0,0098 0,007 σ 0,035 0,053 0,047 0,044 0,044 0,04 0,038 0,043 0,039 0,036 Analizując ane zawarte w tabeli 2 można stwierzić, że la przefiltrowanych szeregów czasowych metoą najbliższych sąsiaów okłaność prognoz znacznie się poprawiła. Świaczą o tym użo niższe wartości błęów t i σ. Przefiltrowanie szeregów moelami ARMA w większości przypaków też spowoowało zmniejszenie błęów wyznaczonych prognoz. W tabeli 3 przestawiono wartości błęów σ i I 2 w całym przeziale weryfikacji la h = 0. abela 3 Błęy oszacowanych prognoz w całym przeziale weryfikacji LEM"+" LEM" " Szereg BSK BSK_ BSK_2 BSK BSK_ BSK_2 σ 3,7624 2,0356 3,5907 4,0236,6255 3,395 I 2 39,0208,94 64,246 44,6277 7,362 49,0232 Szereg CHF CHF_ CHF_2 CHF CHF_ CHF_2 σ 3,7669 0,9985 2,8544 4,0706,3387,9053 I 2 70,807 4,8945 8,5426 8,9537 8,7979 3,8060 Szereg DBC DBC_ DBC_2 DBC DBC_ DBC_2 σ 5,284 3,7262 5,8703 4,8860 3,9282 4,5523 I 2 42, ,449 23, ,9824 3,2795 4,3930 Szereg EUR EUR_ EUR_2 EUR EUR_ EUR_2 σ 2,9462 2,8763 2,9939 2,9643 I 2 25, , , ,55 Szereg GBP GBP_ GBP_2 GBP GBP_ GBP_2 σ 2,6097,4286 3,6255 3,0950,6943 2,2337 I 2 4,4494 4,382 0, ,3234 6,637 4,674

15 96 Monika Miśkiewicz-Nawrocka c. tabeli Szereg JPY JPY_ JPY_2 JPY JPY_ JPY_2 σ 2,2379 3,8340 5,4232 2,9857 3,557 5,333 I 2 0,7782 3,673 23,0972 9,849 26, ,6940 Szereg LPP LPP_ LPP_2 LPP LPP_ LPP_2 σ 4,9060 3,476 2,7385 4,753 4,76 3,6589 I 2 20,778 0,080 8,8826 8,9254 4,4653 5,8568 Szereg MSZ MSZ_ MSZ_2 MSZ MSZ_ MSZ_2 σ 2,4086 3,3030 2,6979 2,3099 3,2466 4,5026 I 2 9, ,5732 9,3809 7, , ,282 Szereg USD USD_ USD_2 USD USD_ USD_2 σ 3,4346 2,5969 2,688 2,0639 I 2 26,8553 6,47 6,3723 4,0530 Szereg VS VS_ VS_2 VS VS_ VS_2 σ 2,2836 3,0554 2,7537 2,428 3,8972 4,0948 I 2 6,8404 0,540 4,0823 7,6934 7,497 9,0269 Szereg WIG WIG_ WIG_2 WIG WIG_ WIG_2 σ 4,2494,999 2,9440 4,0635,999 2,4955 I 2 56,3558,0287 8,4273 5,5320,0283 6,0553 Szereg WIG20 WIG20_ WIG20_2 WIG20 WIG20_ WIG20_2 σ,566 3,2440 5,373,395 3,296 5,5535 I 2 7, ,673 4,7888 6,329 36,3054 7,2823 Na postawie anych zawartych w tabeli 3 można stwierzić, że w wielu przypakach błęy prognoz w całym przeziale weryfikacji la szeregów przefiltrowanych metoą najbliższych sąsiaów są mniejsze niż błęy prognoz otrzymane la szeregów prze filtracją. Dla szeregów JPY, MSZ, WIG20 okłaniejsze prognozy otrzymano la szeregów nieprzefiltrowanych. Może to być spowoowane faktem, że oszacowane wykłaniki Lapunowa la tych szeregów charakteryzowały się niskim współczynnikiem R 2 i nie powinny być brane po uwagę. Wyjątek stanowi szereg BSK. Przefiltrowane baanych szeregów czasowych, tylko za pomocą moeli ARMA, w wielu przypakach pozwoliło uzyskać okłaniejsze prognozy. Posumowanie W pracy zbaano wpływ reukcji szumu metoą najbliższych sąsiaów na okłaność prognoz ekonomicznych szeregów czasowych, otrzymanych za pomocą największego wykłanika Lapunowa. Celem artykułu było porównanie błęów prognoz la szeregów prze i po reukcji szumu oraz szeregów przefiltrowanych moelami ARMA.

16 WPŁYW REDUKCJI SZUMU LOSOWEGO 97 Na postawie otrzymanych wyników można stwierzić, że reukcja szumu losowego w baanych szeregach czasowych pozwoliła uzyskać okłaniejsze prognozy. Ponato, w wielu przypakach przefiltrowanie baanych szeregów tylko za pomocą moeli ARMA również spowoowało znaczne zmniejszenie błęów uzyskanych prognoz. Literatura Cao L., Soofi A. (999): Nonlinear Deterministic Forecasting of Daily Dollar Exchange Rates. International Journal of Forecasting, Vol. 5, s Casagli M. (989): Nonlinear Preiction of Chaotic ime Series. Physica D, Vol. 53, s Eckmann J.P., Ruelle D. (985): Ergoic heory of Chaos an Strange Attractors. Reviews of Moern Physics, Vol. 57, No. 3. Guégan D., Leroux J. (2009): Forecasting Chaotic Systems: he Role of Local Lyapunov Exponents. Chaos, Solitons & Fractals, Vol. 4, s Kantz H. (994): A Robust Metho to Estimate the Maximal Lyapunov Exponent of a ime Series. Physical Letters A, Vol. 85(), s Kantz H., Schreiber. (2004): Nonlinear ime Series Analysis. Cambrige University Press, Cambrige. Kennel M.B., Brown R., Abarbanel H.D.I. (992): Detecting Embeing Dimension for Phase Space Reconstruction Using a Geometrical Construction. Physical Review A, 45. Lorenz E.N. (969): Atmospheric Preictability as Reveale by Naturally Occurring Analogues. J. Atmos. Sci., 26, s Miśkiewicz-Nawrocka M. (202): Zastosowanie wykłaników Lapunowa o analizy ekonomicznych szeregów czasowych. Wyawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego, Katowice. Nowiński M. (2007): Nieliniowa ynamika szeregów czasowych. Wyawnictwo Akaemii Ekonomicznej, Wrocław. Oseleec V.I. (968): A Mulitiplicative Ergoic heorem. Lyapunov Characteristic Numbers for Dynamical System. rans. Moscow Math. Soc., 9, s Packar N.H., Crutchfiel J.P., Farmer J.D., Shaw R.S. (980): Geometry from a ime Series. Physical Review Letters, Vol. 45, s Rosenstein M.., Collins J.J. et al. (993): A Practical Metho for Calculating Largest Lyapunov Exponents from Small Data Sets. Physica D, Vol. 65, s akens (98): Detecting Strange Atractors in urbulance. W: Lecture Notes in Mathematics. Es. D.A. Ran, L.S. Young. Springer Verlag, Berlin.

17 98 Monika Miśkiewicz-Nawrocka Zawazki H. (996): Chaotyczne systemy ynamiczne. Elementy teorii i wybrane zaganienia ekonomiczne. Wyawnictwo Akaemii Ekonomicznej, Katowice. Zhang J., Lam K.C., Yan W.J., Gao H., Li Y., (2004): ime Series Preiction using Lyapunov Exponents in Embeing Phase Space. Computers an Electrical Engineering 30, s. -5. HE EFFEC OF HE REDUCION RANDOM NOISE BY HE MEHOD OF NEARES NEIGHBORS ON FORECASING RESULS OBAINED USING HE LARGES LYAPUNOV EXPONEN Summary In this paper has been researche the effect of ranom noise reuction on the accuracy of forecasts of economic time series obtaine using the largest Lyapunov exponent metho (LEM). he aim of the article was to compare the preiction errors obtaine by LEM for the series before an after the ranom noice reuction an the time series filtre by moels ARMA. he nearest neighbors metho was use to reuce ranom noise in economic time series.

ZASTOSOWANIE WYKŁADNIKÓW LAPUNOWA DO WERYFIKACJI HIPOTEZY RYNKU KOHERENTNEGO

ZASTOSOWANIE WYKŁADNIKÓW LAPUNOWA DO WERYFIKACJI HIPOTEZY RYNKU KOHERENTNEGO Monika Miśkiewicz-Nawrocka Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach ZASTOSOWANIE WYKŁADNIKÓW LAPUNOWA DO WERYFIKACJI HIPOTEZY RYNKU KOHERENTNEGO Wstęp Prowadzone od wielu lat badania nad zmiennością cen na

Bardziej szczegółowo

OCENA CHARAKTERU ZMIENNOŚCI POLSKIEGO RYNKU AKCJI

OCENA CHARAKTERU ZMIENNOŚCI POLSKIEGO RYNKU AKCJI RUCH PRAWNICZY, EKONOMICZNY I SOCJOLOGICZNY Rok LXIII zeszyt 3 2001 MAŁGORZATA DOMAN OCENA CHARAKTERU ZMIENNOŚCI POLSKIEGO RYNKU AKCJI 1. WSTĘP Założenia dotyczące typu zmienności występującej na badanym

Bardziej szczegółowo

Metrologia Techniczna

Metrologia Techniczna Zakła Metrologii i Baań Jakości Wrocław, nia Rok i kierunek stuiów Grupa (zień tygonia i gozina rozpoczęcia zajęć) Metrologia Techniczna Ćwiczenie... Imię i nazwisko Imię i nazwisko Imię i nazwisko Błęy

Bardziej szczegółowo

U L T R A ZAKŁAD BADAŃ MATERIAŁÓW

U L T R A ZAKŁAD BADAŃ MATERIAŁÓW U L T R A ZAKŁAD BADAŃ MATERIAŁÓW Zał 1 instr Nr02/01 str. 53-621 Wrocław, Głogowska 4/55, tel/fax 071 3734188 52-404 Wrocław, Harcerska 42, tel. 071 3643652 www.ultrasonic.home.pl tel. kom. 0 601 710290

Bardziej szczegółowo

Metoda Johansena objaśnienia i przykłady

Metoda Johansena objaśnienia i przykłady Metoda Johansena objaśnienia i przykłady Model wektorowej autoregresji rzędu p, VAR(p), ma postad gdzie oznacza wektor zmiennych endogenicznych modelu. Model VAR jest stabilny, jeżeli dla, tzn. wielomian

Bardziej szczegółowo

UNIWESRYTET EKONOMICZNY WE WROCŁAWIU HOSSA ProCAPITAL WYCENA OPCJI. Sebastian Gajęcki WYDZIAŁ NAUK EKONOMICZNYCH

UNIWESRYTET EKONOMICZNY WE WROCŁAWIU HOSSA ProCAPITAL WYCENA OPCJI. Sebastian Gajęcki WYDZIAŁ NAUK EKONOMICZNYCH UNIWESRYTET EKONOMICZNY WE WROCŁAWIU HOSSA ProCAPITAL WYCENA OPCJI Sebastian Gajęcki WYDZIAŁ NAUK EKONOMICZNYCH WPROWADZENIE Opcje są instrumentem pochonym, zatem takim, którego cena zależy o ceny instrumentu

Bardziej szczegółowo

Porównanie właściwości wybranych wektorowych regulatorów prądu w stanach dynamicznych w przekształtniku AC/DC

Porównanie właściwości wybranych wektorowych regulatorów prądu w stanach dynamicznych w przekształtniku AC/DC Piotr FALKOWSKI, Marian Roch DUBOWSKI Politechnika Białostocka, Wyział Elektryczny, Katera Energoelektroniki i Napęów Elektrycznych Porównanie właściwości wybranych wektorowych regulatorów prąu w stanach

Bardziej szczegółowo

Algorytmy graficzne. Metody binaryzacji obrazów

Algorytmy graficzne. Metody binaryzacji obrazów Algorytmy graficzne Metoy binaryzacji obrazów Progowanie i binaryzacja Binaryzacja jest procesem konwersji obrazów kolorowych lub monochromatycznych (w ocieniach szarości) o obrazu wupoziomowego (binarnego).

Bardziej szczegółowo

Efekt motyla i dziwne atraktory

Efekt motyla i dziwne atraktory O układzie Lorenza Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja kopernika Toruń, 3 grudnia 2009 Spis treści 1 Wprowadzenie Wyjaśnienie pojęć 2 O dziwnych atraktorach 3 Wyjaśnienie pojęć Dowolny

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 41 WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA ZAŁAMANIA ŚWIATŁA ZA POMOCĄ MIKROSKOPU. Kraków, luty 2004 - kwiecień 2015

ĆWICZENIE 41 WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA ZAŁAMANIA ŚWIATŁA ZA POMOCĄ MIKROSKOPU. Kraków, luty 2004 - kwiecień 2015 Józef Zapłotny, Maria Nowotny-Różańska Zakła Fizyki, Uniwersytet Rolniczy Do użytku wewnętrznego ĆWICZENIE 41 WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA ZAŁAMANIA ŚWIATŁA ZA POMOCĄ MIKROSKOPU Kraków, luty 2004 - kwiecień

Bardziej szczegółowo

Optyka 2. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Optyka 2. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Optka Projekt współinansowan przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funuszu Społecznego Optka II Promień świetln paając na powierzchnię zwierciała obija się zgonie z prawem obicia omówionm w poprzeniej

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1.

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1. tel. 44 683 1 55 tel. kom. 64 566 811 e-mail: biuro@wszechwiedza.pl Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: gdzie: y t X t y t = 1 X 1

Bardziej szczegółowo

PROGNOZOWANIE PRZYCHODÓW ZE SPRZEDAŻY

PROGNOZOWANIE PRZYCHODÓW ZE SPRZEDAŻY Joanna Chrabołowska Joanicjusz Nazarko PROGNOZOWANIE PRZYCHODÓW ZE SPRZEDAŻY NA PRZYKŁADZIE PRZEDSIĘBIORSTWA HANDLOWEGO TYPU CASH & CARRY Wprowadzenie Wśród wielu prognoz szczególną rolę w zarządzaniu

Bardziej szczegółowo

Rozdział 8: Podstawowe zadania geodezyjne z rachunku współrzędnych

Rozdział 8: Podstawowe zadania geodezyjne z rachunku współrzędnych 183 Rozział 8: ostawowe zaania geoezyjne z rachunku współrzęnych 8.1. Orientacja pomiarów geoezyjnych W rozziale 1 przestawiliśmy krótką charakterystykę ukłaów współrzęnych stosowanych w geoezji, w tym

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji Statystyka dla jakości produktów i usług Six sigma i inne strategie Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji StatSoft Polska Wybrane zagadnienia analizy korelacji Przy analizie zjawisk i procesów stanowiących

Bardziej szczegółowo

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyczna teoria korelacji i regresji (1) Jest to dział statystyki zajmujący

Bardziej szczegółowo

METODA OCENY PSR PIESZYCH NA OSYGNALIZOWANYCH PRZEJŚCIACH POZIOMYCH

METODA OCENY PSR PIESZYCH NA OSYGNALIZOWANYCH PRZEJŚCIACH POZIOMYCH POBLEMY KOMUNIKACYJNE MIAST W WAUNKACH ZATŁOCZENIA MOTOYZACYJNEGO IX Konferencja Naukowo-Techniczna Poznań-osnówko 19-21.06.2013 Jarosław CHMIELEWSKI* *) inż., Koło Naukowe Miasto w ruchu, Politechnika

Bardziej szczegółowo

Wpływ zdarzeń ekstremalnych i superekstermalnych na stochastyczną dynamikę szeregów czasowych

Wpływ zdarzeń ekstremalnych i superekstermalnych na stochastyczną dynamikę szeregów czasowych Proc. niegaussowskie Smoki Metodologia Symulacje Podsumowanie Wpływ zdarzeń ekstremalnych i superekstermalnych na stochastyczną dynamikę szeregów czasowych T.R. Werner 1 T. Gubiec 2 P. Kosewski 2 R. Kutner

Bardziej szczegółowo

Systemy. Krzysztof Patan

Systemy. Krzysztof Patan Systemy Krzysztof Patan Systemy z pamięcią System jest bez pamięci (statyczny), jeżeli dla dowolnej chwili t 0 wartość sygnału wyjściowego y(t 0 ) zależy wyłącznie od wartości sygnału wejściowego w tej

Bardziej szczegółowo

Ważny przykład oscylator harmoniczny

Ważny przykład oscylator harmoniczny 6.03.00 6. Ważny przykła oscylator harmoniczny 73 Rozział 6 Ważny przykła oscylator harmoniczny 6. Wprowazenie Klasyczny, jenowymiarowy oscylator harmoniczny opowiaa potencjałowi energii potencjalnej:

Bardziej szczegółowo

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne: Prosto do matury klasa d Rok szkolny 014/015 WYMAGANIA EDUKACYJNE Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

Budowa sztucznych sieci neuronowych do prognozowania. Przykład jednostek uczestnictwa otwartego funduszu inwestycyjnego

Budowa sztucznych sieci neuronowych do prognozowania. Przykład jednostek uczestnictwa otwartego funduszu inwestycyjnego Budowa sztucznych sieci neuronowych do prognozowania. Przykład jednostek uczestnictwa otwartego funduszu inwestycyjnego Dorota Witkowska Szkoła Główna Gospodarstwa Wiejskiego w Warszawie Wprowadzenie Sztuczne

Bardziej szczegółowo

Matematyka bankowa 1 1 wykład

Matematyka bankowa 1 1 wykład Matematyka bankowa 1 1 wykład Dorota Klim Department of Nonlinear Analysis, Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Łódź, Banacha 22, 90-238 Łódź, Poland E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl

Bardziej szczegółowo

KOOF Szczecin: www.of.szc.pl

KOOF Szczecin: www.of.szc.pl LVIII OLIMPIADA FIZYCZNA (2008/2009). Stopień II, zaanie oświaczalne D. Źróło: Autor: Nazwa zaania: Działy: Słowa kluczowe: Komitet Główny Olimpiay Fizycznej. Ernest Groner Komitet Główny Olimpiay Fizycznej,

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

K wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys. jp.

K wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys. jp. Sprawdzian 2. Zadanie 1. Za pomocą KMNK oszacowano następującą funkcję produkcji: Gdzie: P wartość produkcji, w tys. jp (jednostek pieniężnych) K wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys.

Bardziej szczegółowo

Ć W I C Z E N I E N R E-17

Ć W I C Z E N I E N R E-17 INSTYTUT FIZYKI WYDZIAŁ INŻYNIERII PRODUKCJI I TECHNOLOGII MATERIAŁÓW POLITECHNIKA CZĘSTOCHOWSKA PRACOWNIA ELEKTRYCZNOŚCI I MAGNETYZMU Ć W I C Z E N I E N R E-17 WYZNACZANIE STAŁEJ DIELEKTRYCZNEJ RÓŻNYCH

Bardziej szczegółowo

Korelacje krzyżowe kryzysów finansowych w ujęciu korelacji potęgowych. Analiza ewolucji sieci na progu liniowości.

Korelacje krzyżowe kryzysów finansowych w ujęciu korelacji potęgowych. Analiza ewolucji sieci na progu liniowości. Korelacje krzyżowe kryzysów finansowych w ujęciu korelacji potęgowych. Analiza ewolucji sieci na progu liniowości. Cross-correlations of financial crisis analysed by power law classification scheme. Evolving

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL. sin x2 (1)

ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL. sin x2 (1) ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL 1. Problem Rozważmy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi (x 1, x 2 ): 1 x1 sin x2 x2 cos x1 (1) Nie jest

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy. Klasa III Technik pojazdów samochodowych/ Technik urządzeń i systemów energetyki odnawialnej. Kształcenie ogólne w zakresie podstawowym

Plan wynikowy. Klasa III Technik pojazdów samochodowych/ Technik urządzeń i systemów energetyki odnawialnej. Kształcenie ogólne w zakresie podstawowym Oznaczenia: wymagania konieczne, P wymagania podstawowe, R wymagania rozszerzające, D wymagania dopełniające, W wymagania wykraczające. Plan wynikowy lasa III Technik pojazdów samochodowych/ Technik urządzeń

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE ANALIZY SKUPIE W ESTYMACJI REGRESYJNEJ DLA MA YCH OBSZARÓW

ZASTOSOWANIE ANALIZY SKUPIE W ESTYMACJI REGRESYJNEJ DLA MA YCH OBSZARÓW A C A U N I V E R S I A I S L O D Z I E N S I S FOLIA OECONOMICA 7, 0 * ZASOSOWANIE ANALIZY SKUPIE W ESYMACJI REGRESYJNEJ DLA MA YCH OBSZARÓW Streszczenie. W estymacji regresyjnej parametrów ma ych obszarów

Bardziej szczegółowo

Wielowymiarowa analiza regresji. Regresja wieloraka, wielokrotna

Wielowymiarowa analiza regresji. Regresja wieloraka, wielokrotna Wielowymiarowa analiza regresji. Regresja wieloraka, wielokrotna Badanie współzależności zmiennych Uwzględniając ilość zmiennych otrzymamy 4 odmiany zależności: Zmienna zależna jednowymiarowa oraz jedna

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OPTYMALIZCJI BEZ OGRANICZEŃ

ZADANIA OPTYMALIZCJI BEZ OGRANICZEŃ ZADANIA OPTYMALIZCJI BEZ OGRANICZEŃ Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTEP Zadanie minimalizacji bez ograniczeń f(ˆx) = min x R nf(x) f : R n R funkcja ograniczona z dołu Algorytm rozwiazywania Rekurencyjny

Bardziej szczegółowo

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ MATEMATYKA Klasa III ZAKRES PODSTAWOWY Dział programu Temat Wymagania. Uczeń: 1. Miara łukowa kąta zna pojęcia: kąt skierowany, kąt

Bardziej szczegółowo

Wpływ czynników zewnętrznych na obciążalność kabli

Wpływ czynników zewnętrznych na obciążalność kabli Wpływ czynników zewnętrznych na obciążalność kabli Wybrane zaganienia Franciszek Spyra ZPBE Energopomiar Elektryka Gliwice Wstęp W artykule przestawiono wpływ czynników zewnętrznych na obciążalność kabli.

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera

Bardziej szczegółowo

Wykład z Nowej ekonometrii, 7 marca 2006:

Wykład z Nowej ekonometrii, 7 marca 2006: Wykład z Nowej ekonometrii, 7 marca 2006: Na mojej stronie internetowej podane są pliki z danymi: http://akson.sgh.waw.pl/~ewams/mills.zip http://akson.sgh.waw.pl/~ewams/mills_obligacje.xls dane z pierwszego

Bardziej szczegółowo

Pakiet ACTIVE STP Carry FX

Pakiet ACTIVE STP Carry FX 1 Pakiet ACTIVE STP Carry FX z dnia 2 listopada 2015 roku AUDCAD.ct australijskiego do dolara AUDCHF.ct australijskiego do franka AUDJPY.ct australijskiego do jena AUD 100 000 0.01 0.001 od 0.006% od 0

Bardziej szczegółowo

Prace magisterskie 1. Założenia pracy 2. Budowa portfela

Prace magisterskie 1. Założenia pracy 2. Budowa portfela 1. Założenia pracy 1 Założeniem niniejszej pracy jest stworzenie portfela inwestycyjnego przy pomocy modelu W.Sharpe a spełniającego następujące warunki: - wybór akcji 8 spółek + 2 papiery dłużne, - inwestycja

Bardziej szczegółowo

Finansowe szeregi czasowe

Finansowe szeregi czasowe 24 kwietnia 2009 Modelem szeregu czasowego jest proces stochastyczny (X t ) t Z, czyli rodzina zmiennych losowych, indeksowanych liczbami całkowitymi i zdefiniowanych na pewnej przestrzeni probabilistycznej

Bardziej szczegółowo

ENERGOOSZCZĘDNY NAPĘD Z SILNIKIEM SYNCHRONICZNYM O MAGNESACH TRWAŁYCH Z ŁAGODNYM STARTEM

ENERGOOSZCZĘDNY NAPĘD Z SILNIKIEM SYNCHRONICZNYM O MAGNESACH TRWAŁYCH Z ŁAGODNYM STARTEM POZNAN UNIVE RSITY OF TE CHNOLOGY ACADE MIC JOURNALS No 75 Electrical Engineering 213 Tomaz PAJCHROWSKI* ENERGOOSZCZĘDNY NAPĘD Z SILNIKIEM SYNCHRONICZNYM O MAGNESACH TRWAŁYCH Z ŁAGODNYM STARTEM W artykule

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 4. Wartości własne i wektory własne 4.1. Podstawowe definicje, własności i twierdzenia 4.2. Lokalizacja wartości własnych 4.3. Metoda potęgowa znajdowania

Bardziej szczegółowo

BADANIA WYBRANYCH SYSTEMÓW LOKALNEGO POZYCJONOWANIA W PRZESTRZENI

BADANIA WYBRANYCH SYSTEMÓW LOKALNEGO POZYCJONOWANIA W PRZESTRZENI BADANIA WYBRANYCH SYSTEMÓW LOKALNEGO POZYCJONOWANIA W PRZESTRZENI Sławomir ZATOR Streszczenie: W prac przestawiono sstem lokalnego pozcjonowania obiektów w przestrzeni wkorzstujące różnice prękości rozchozenia

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. Modele regresji wielorakiej - dobór zmiennych, szacowanie. Paweł Cibis pawel@cibis.pl. 1 kwietnia 2007

Ekonometria. Modele regresji wielorakiej - dobór zmiennych, szacowanie. Paweł Cibis pawel@cibis.pl. 1 kwietnia 2007 Modele regresji wielorakiej - dobór zmiennych, szacowanie Paweł Cibis pawel@cibis.pl 1 kwietnia 2007 1 Współczynnik zmienności Współczynnik zmienności wzory Współczynnik zmienności funkcje 2 Korelacja

Bardziej szczegółowo

Matematyka 2 wymagania edukacyjne

Matematyka 2 wymagania edukacyjne Matematyka wymagania edukacyjne Zakres podstawowy POZIOMY WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

Wstęp. System pomiarowy. Przemysław Słota I Liceum Ogólnokształcące Bytom, Grupa Twórcza Quark Pałac Młodzieży w Katowicach

Wstęp. System pomiarowy. Przemysław Słota I Liceum Ogólnokształcące Bytom, Grupa Twórcza Quark Pałac Młodzieży w Katowicach Przemysław Słota I Liceum Ogólnokształcące Bytom, Grupa Twórcza Quark Pałac Młodzieży w Katowicach 1. Wymyśl sam Wiadomo, że niektóre obwody elektryczne wykazują zachowanie chaotyczne. Zbuduj prosty układ

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 3. Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony

MATeMAtyka 3. Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Agnieszka Kamińska, Dorota Ponczek MATeMAtyka 3 Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE POLSKIEJ GOSPODARKI Z PAKIETEM R Michał Rubaszek

MODELOWANIE POLSKIEJ GOSPODARKI Z PAKIETEM R Michał Rubaszek Tytuł: Autor: MODELOWANIE POLSKIEJ GOSPODARKI Z PAKIETEM R Michał Rubaszek Wstęp Książka "Modelowanie polskiej gospodarki z pakietem R" powstała na bazie materiałów, które wykorzystywałem przez ostatnie

Bardziej szczegółowo

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe Metoda najmn. kwadr. - funkcje nieliniowe Metoda najmniejszych kwadratów Funkcje nieliniowe Procedura z redukcją kroku iteracji Przykłady zastosowań Dopasowanie funkcji wykładniczej Dopasowanie funkcji

Bardziej szczegółowo

Regresja wielokrotna. PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Regresja wielokrotna. PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com Regresja wielokrotna Model dla zależności liniowej: Y=a+b 1 X 1 +b 2 X 2 +...+b n X n Cząstkowe współczynniki regresji wielokrotnej: b 1,..., b n Zmienne niezależne (przyczynowe): X 1,..., X n Zmienna

Bardziej szczegółowo

J. SZYMSZAL 1, A. GIEREK 2, J. PIĄTKOWSKI 3, J. KLIŚ 4 Politechnika Śląska, 40-019 Katowice, ul. Krasińskiego 8

J. SZYMSZAL 1, A. GIEREK 2, J. PIĄTKOWSKI 3, J. KLIŚ 4 Politechnika Śląska, 40-019 Katowice, ul. Krasińskiego 8 3/18 ARCHIWUM ODLEWNICTWA Rok 2006, Rocznik 6, Nr 18 (1/2) ARCHIVES OF FOUNDRY Year 2006, Volume 6, N o 18 (1/2) PAN Katowice PL ISSN 1642-5308 PROGNOZOWANIE SZEREGU CZASOWEGO WYKAZUJĄCEGO WAHANIA SEZONOWE

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie 1. Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartości funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego. Zdający

Bardziej szczegółowo

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com Analiza korelacji i regresji KORELACJA zależność liniowa Obserwujemy parę cech ilościowych (X,Y). Doświadczenie jest tak pomyślane, aby obserwowane pary cech X i Y (tzn i ta para x i i y i dla różnych

Bardziej szczegółowo

EUR / USD 1,3615 / 1,3620

EUR / USD 1,3615 / 1,3620 EUR / USD 1,3615 / 1,3620 waluta kupno / sprzedaŝ bazowa / notowana BID / OFFER (ASK) Zadanie 1 Bank kwotuje następujący kurs walutowy: USD/SEK = 7,3020/40 Wyznacz: 1. walutę bazową.. 4. kurs sprzedaŝy

Bardziej szczegółowo

A.Światkowski. Wroclaw University of Economics. Working paper

A.Światkowski. Wroclaw University of Economics. Working paper A.Światkowski Wroclaw University of Economics Working paper 1 Planowanie sprzedaży na przykładzie przedsiębiorstwa z branży deweloperskiej Cel pracy: Zaplanowanie sprzedaży spółki na rok 2012 Słowa kluczowe:

Bardziej szczegółowo

METODA SYMPLEKS. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski

METODA SYMPLEKS. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski METODA SYMPLEKS Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP Algorytm Sympleks najpotężniejsza metoda rozwiązywania programów liniowych Metoda generuje ciąg dopuszczalnych rozwiązań x k w taki sposób,

Bardziej szczegółowo

dr Bartłomiej Rokicki Katedra Makroekonomii i Teorii Handlu Zagranicznego Wydział Nauk Ekonomicznych UW

dr Bartłomiej Rokicki Katedra Makroekonomii i Teorii Handlu Zagranicznego Wydział Nauk Ekonomicznych UW Katedra Makroekonomii i Teorii Handlu Zagranicznego Wydział Nauk Ekonomicznych UW arytet siły nabywczej () arytet siły nabywczej jest wyprowadzany w oparciu o prawo jednej ceny. rawo jednej ceny zakładając,

Bardziej szczegółowo

SYMULACJA WYBRANYCH PROCESÓW

SYMULACJA WYBRANYCH PROCESÓW Romuald Mosdorf Joanicjusz Nazarko Nina Siemieniuk SYMULACJA WYBRANYCH PROCESÓW EKONOMICZNYCH Z ZASTOSOWANIEM TEORII CHAOSU DETERMINISTYCZNEGO Gospodarka rynkowa oparta jest na mechanizmach i instytucjach

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY 1. FUNKCJA KWADRATOWA rysuje wykres funkcji i podaje jej własności sprawdza algebraicznie, czy dany punkt należy

Bardziej szczegółowo

Struktura terminowa rynku obligacji

Struktura terminowa rynku obligacji Krzywa dochodowości pomaga w inwestowaniu w obligacje Struktura terminowa rynku obligacji Wskazuje, które obligacje są atrakcyjne a których unikać Obrazuje aktualną sytuację na rynku długu i zmiany w czasie

Bardziej szczegółowo

JAKOŚCIOWA ANALIZA TERMOGRAMÓW W DIAGNOSTYCE IZOLACYJNOŚCI TERMICZNEJ PRZEGRÓD ZEWNĘTRZNYCH W BUDYNKACH MIESZKALNYCH *

JAKOŚCIOWA ANALIZA TERMOGRAMÓW W DIAGNOSTYCE IZOLACYJNOŚCI TERMICZNEJ PRZEGRÓD ZEWNĘTRZNYCH W BUDYNKACH MIESZKALNYCH * JAKOŚCIOWA ANALIZA TERMOGRAMÓW W DIAGNOSTYCE IZOLACYJNOŚCI TERMICZNEJ PRZEGRÓD ZEWNĘTRZNYCH W BUDYNKACH MIESZKALNYCH * Dr inż. Paweł Krause, Dr inż. Tomasz Steil, Dr inż. Artur Nowoświat WPROWADZENIE Obliczenia

Bardziej szczegółowo

Etapy modelowania ekonometrycznego

Etapy modelowania ekonometrycznego Etapy modelowania ekonometrycznego jest podstawowym narzędziem badawczym, jakim posługuje się ekonometria. Stanowi on matematyczno-statystyczną formę zapisu prawidłowości statystycznej w zakresie rozkładu,

Bardziej szczegółowo

Opcje III. 1. Opcje na indeksy

Opcje III. 1. Opcje na indeksy . Opcje na ineksy Opcje III Na wielu giełach notowane są opcje na ineksy giełowe, w których instrumentem bazowym jest ineks. Najbarziej popularnymi opcjami ineksowymi są: opcja na ineks S&P500 (opcja typu

Bardziej szczegółowo

NOWY PROGRAM STUDIÓW 2016/2017 SYLABUS PRZEDMIOTU AUTORSKIEGO: Wprowadzenie do teorii ekonometrii. Część A

NOWY PROGRAM STUDIÓW 2016/2017 SYLABUS PRZEDMIOTU AUTORSKIEGO: Wprowadzenie do teorii ekonometrii. Część A NOWY PROGRAM STUDIÓW 2016/2017 SYLABUS PRZEDMIOTU AUTORSKIEGO: Autor: 1. Dobromił Serwa 2. Tytuł przedmiotu Sygnatura (będzie nadana, po akceptacji przez Senacką Komisję Programową) Wprowadzenie do teorii

Bardziej szczegółowo

Porównanie generatorów liczb losowych wykorzystywanych w arkuszach kalkulacyjnych

Porównanie generatorów liczb losowych wykorzystywanych w arkuszach kalkulacyjnych dr Piotr Sulewski POMORSKA AKADEMIA PEDAGOGICZNA W SŁUPSKU KATEDRA INFORMATYKI I STATYSTYKI Porównanie generatorów liczb losowych wykorzystywanych w arkuszach kalkulacyjnych Wprowadzenie Obecnie bardzo

Bardziej szczegółowo

METODY WZMACNIANIA KONSTRUKCJI STALOWYCH STRENGTHENING OF STEEL STRUCTURES CONCEPTS AND THEIR APPLICATIONS

METODY WZMACNIANIA KONSTRUKCJI STALOWYCH STRENGTHENING OF STEEL STRUCTURES CONCEPTS AND THEIR APPLICATIONS Mateusz Kuśnierek, Maciej Maciejak I rok (stuia II stopnia) Koło Naukowe KONKRET przy Katerze Konstrukcji Betonowych Politechnika Wrocławska Opiekun naukowy referatu r inż. T. Trapko METODY WZMACNIANIA

Bardziej szczegółowo

( x) Równanie regresji liniowej ma postać. By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : Gdzie:

( x) Równanie regresji liniowej ma postać. By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : Gdzie: ma postać y = ax + b Równanie regresji liniowej By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : xy b = a = b lub x Gdzie: xy = też a = x = ( b ) i to dane empiryczne, a ilość

Bardziej szczegółowo

PRZYBLI ONE METODY ROZWI ZYWANIA RÓWNA

PRZYBLI ONE METODY ROZWI ZYWANIA RÓWNA PRZYBLI ONE METODY ROZWI ZYWANIA RÓWNA Metody kolejnych przybli e Twierdzenie. (Bolzano Cauchy ego) Metody kolejnych przybli e Je eli funkcja F(x) jest ci g a w przedziale domkni tym [a,b] i F(a) F(b)

Bardziej szczegółowo

Modele ARIMA prognoza, specykacja

Modele ARIMA prognoza, specykacja Modele ARIMA prognoza, specykacja Wst p do ekonometrii szeregów czasowych wiczenia 3 5 marca 2010 Plan prezentacji 1 Specykacja modelu ARIMA 2 3 Plan prezentacji 1 Specykacja modelu ARIMA 2 3 Funkcja autokorelacji

Bardziej szczegółowo

Tabela specyfikacji Kontraktów Różnic Kursowych (CFD) HFT Brokers Dom Maklerski SA Pakiet ACTIVE STP Robotero

Tabela specyfikacji Kontraktów Różnic Kursowych (CFD) HFT Brokers Dom Maklerski SA Pakiet ACTIVE STP Robotero 1 Tabela specyfikacji Kontraktów Różnic Kursowych (CFD) Dom Maklerski SA Pakiet ACTIVE STP Robotero 1. Kontrakty Różnic Kursowych CFD z dnia 21 października 2014 roku krok AUDCAD.stp kanadyjskiego AUDCHF.stp

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

y f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0.

y f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0. Matematyka ZLic - 3 Pochodne i różniczki funkcji jednej zmiennej Definicja Pochodną funkcji f w punkcie x, nazwiemy liczbę oznaczaną symbolem f x lub df x dx, równą granicy właściwej f x lim h - o ile

Bardziej szczegółowo

Analiza zależności liniowych

Analiza zależności liniowych Narzędzie do ustalenia, które zmienne są ważne dla Inwestora Analiza zależności liniowych Identyfikuje siłę i kierunek powiązania pomiędzy zmiennymi Umożliwia wybór zmiennych wpływających na giełdę Ustala

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE POŁĄCZEŃ TYPU SWORZEŃ OTWÓR ZA POMOCĄ MES BEZ UŻYCIA ANALIZY KONTAKTOWEJ

MODELOWANIE POŁĄCZEŃ TYPU SWORZEŃ OTWÓR ZA POMOCĄ MES BEZ UŻYCIA ANALIZY KONTAKTOWEJ Jarosław MAŃKOWSKI * Andrzej ŻABICKI * Piotr ŻACH * MODELOWANIE POŁĄCZEŃ TYPU SWORZEŃ OTWÓR ZA POMOCĄ MES BEZ UŻYCIA ANALIZY KONTAKTOWEJ 1. WSTĘP W analizach MES dużych konstrukcji wykonywanych na skalę

Bardziej szczegółowo

klasa III technikum I. FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA Wiadomości i umiejętności

klasa III technikum I. FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA Wiadomości i umiejętności I. FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA - zna i rozumie pojęcia, zna własności figur: ogólne równanie prostej, kierunkowe równanie prostej okrąg, równanie okręgu - oblicza odległość dwóch punktów na płaszczyźnie -

Bardziej szczegółowo

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych

Bardziej szczegółowo

Ekonometria ćwiczenia 3. Prowadzący: Sebastian Czarnota

Ekonometria ćwiczenia 3. Prowadzący: Sebastian Czarnota Ekonometria ćwiczenia 3 Prowadzący: Sebastian Czarnota Strona - niezbędnik http://sebastianczarnota.com/sgh/ Normalność rozkładu składnika losowego Brak normalności rozkładu nie odbija się na jakości otrzymywanych

Bardziej szczegółowo

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI SPIS TREŚCI WSTĘP.................................................................. 8 1. LICZBY RZECZYWISTE Teoria............................................................ 11 Rozgrzewka 1.....................................................

Bardziej szczegółowo

Analiza zdarzeń Event studies

Analiza zdarzeń Event studies Analiza zdarzeń Event studies Dobromił Serwa akson.sgh.waw.pl/~dserwa/ef.htm Leratura Campbell J., Lo A., MacKinlay A.C.(997) he Econometrics of Financial Markets. Princeton Universy Press, Rozdział 4.

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy z przedmiotu: MATEMATYKA

Plan wynikowy z przedmiotu: MATEMATYKA Plan wynikowy z przedmiotu: MATEMATYKA Szkoła: Liceum Ogólnokształcące Klasa: pierwsza Poziom nauczania: podstawowy Numer programu: DPN-5002-31/08 Podręcznik: MATEMATYKA Anna Jatczak, Monika Ciołkosz,

Bardziej szczegółowo

Statystyka opisowa Opracował: dr hab. Eugeniusz Gatnar, prof. WSBiF

Statystyka opisowa Opracował: dr hab. Eugeniusz Gatnar, prof. WSBiF Statystyka opisowa Opracował: dr hab. Eugeniusz Gatnar, prof. WSBiF 120 I. Ogólne informacje o przedmiocie Cel przedmiotu: Opanowanie podstaw teoretycznych, poznanie przykładów zastosowań metod statystycznych.

Bardziej szczegółowo

Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje

Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje Opracował: Zbigniew Rudnicki Powtórka z poprzedniego wykładu 2 1 Dokument, regiony, klawisze: Dokument Mathcada realizuje

Bardziej szczegółowo

Marek GĄSIOR. Szumowy model zastępczy krzemowych detektorów paskowych opracowany na podstawie Detektora Śladowego eksperymentu DELPHI

Marek GĄSIOR. Szumowy model zastępczy krzemowych detektorów paskowych opracowany na podstawie Detektora Śladowego eksperymentu DELPHI Akaemia Górniczo-Hutnicza imienia Stanisława Staszica w Krakowie Wyział Elektrotechniki, Automatyki i Elektroniki Katera Elektroniki Marek GĄSIOR Kierunek: Elektronika i Telekomunikacja Specjalność: Aparatura

Bardziej szczegółowo

Wytyczne do projektów

Wytyczne do projektów Wytyczne do projektów Prognozowanie i symulacje wszystkie rodzaje studiów Politechnika Śląska Wydział Organizacji i Zarządzania w Zabrzu rok akademicki 2012/13 Wytyczne do projektów Prognozowanie i symulacje

Bardziej szczegółowo

istocie dziedzina zajmująca się poszukiwaniem zależności na podstawie prowadzenia doświadczeń jest o wiele starsza: tak na przykład matematycy

istocie dziedzina zajmująca się poszukiwaniem zależności na podstawie prowadzenia doświadczeń jest o wiele starsza: tak na przykład matematycy MODEL REGRESJI LINIOWEJ. METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW Analiza regresji zajmuje się badaniem zależności pomiędzy interesującymi nas wielkościami (zmiennymi), mające na celu konstrukcję modelu, który dobrze

Bardziej szczegółowo

Zrównoleglona optymalizacja stochastyczna na dużych zbiorach danych

Zrównoleglona optymalizacja stochastyczna na dużych zbiorach danych Zrównoleglona optymalizacja stochastyczna na dużych zbiorach danych mgr inż. C. Dendek prof. nzw. dr hab. J. Mańdziuk Politechnika Warszawska, Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Outline 1 Uczenie

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM FIZYKI PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ W NYSIE. Ćwiczenie nr 3 Temat: Wyznaczenie ogniskowej soczewek za pomocą ławy optycznej.

LABORATORIUM FIZYKI PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ W NYSIE. Ćwiczenie nr 3 Temat: Wyznaczenie ogniskowej soczewek za pomocą ławy optycznej. LABORATORIUM FIZYKI PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ W NYSIE Ćwiczenie nr 3 Temat: Wyznaczenie ogniskowej soczewek za pomocą ławy optycznej.. Wprowadzenie Soczewką nazywamy ciało przezroczyste ograniczone

Bardziej szczegółowo

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu: Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania Zadanie 4 c) Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:. Analiza funkcji: (a) Wyznaczenie dziedziny funkcji (b) Obliczenie

Bardziej szczegółowo

Raport: Wycena opcji metodą Quasi Monte Carlo

Raport: Wycena opcji metodą Quasi Monte Carlo Raport: Wycena opcji metodą Quasi Monte Carlo Autor: Dominik Winnicki Spis treści Opis problemu... 2 Wstęp teoretyczny... 2 Liczby Haltona... 4 Liczby Sobol a... 4 Ocena uzyskanych ciągów Haltona i Sobol

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Matematyka. Poznać, zrozumieć Kształcenie w zakresie rozszerzonym. Klasa 3 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony W klasie drugiej na poziomie rozszerzonym realizujemy materiał z klasy pierwszej tylko z poziomu rozszerzonego (na czerwono) oraz cały materiał z klasy drugiej. Rozkład

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. Regresja liniowa, współczynnik zmienności, współczynnik korelacji liniowej, współczynnik korelacji wielorakiej

Ekonometria. Regresja liniowa, współczynnik zmienności, współczynnik korelacji liniowej, współczynnik korelacji wielorakiej Regresja liniowa, współczynnik zmienności, współczynnik korelacji liniowej, współczynnik korelacji wielorakiej Paweł Cibis pawel@cibis.pl 23 lutego 2007 1 Regresja liniowa 2 wzory funkcje 3 Korelacja liniowa

Bardziej szczegółowo

Akademia Młodego Ekonomisty. Walutowa Wieża Babel

Akademia Młodego Ekonomisty. Walutowa Wieża Babel Akademia Młodego Ekonomisty Walutowa Wieża Babel Dr Andrzej Dzun Uniwersytet w Białymstoku 20 listopada 2014 r. Pieniądz- powszechnie akceptowany z mocy prawa lub zwyczaju środek regulowania zobowiązań,

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania

Bardziej szczegółowo

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych dr inż. Adam Kisiel kisiel@if.pw.edu.pl pokój 117b (12b) 1 Materiały do wykładu Transparencje do wykładów: http://www.if.pw.edu.pl/~kisiel/kadd/kadd.html Literatura

Bardziej szczegółowo

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ L.p. 1. Liczby rzeczywiste 2. Wyrażenia algebraiczne bada, czy wynik obliczeń jest liczbą

Bardziej szczegółowo

WITOLD ORZESZKO NIELINIOWA IDENTYFIKACJA RZĘDU AUTOZALEŻNOŚCI W STOPACH ZMIAN INDEKSÓW GIEŁDOWYCH 1 1. WSTĘP 2. MIARA INFORMACJI WZAJEMNEJ

WITOLD ORZESZKO NIELINIOWA IDENTYFIKACJA RZĘDU AUTOZALEŻNOŚCI W STOPACH ZMIAN INDEKSÓW GIEŁDOWYCH 1 1. WSTĘP 2. MIARA INFORMACJI WZAJEMNEJ PRZEGLĄD STATYSTYCZNY R. LIX ZESZYT 4 2012 WITOLD ORZESZKO NIELINIOWA IDENTYFIKACJA RZĘDU AUTOZALEŻNOŚCI W STOPACH ZMIAN INDEKSÓW GIEŁDOWYCH 1 1. WSTĘP Współczynnik korelacji Pearsona jest najczęściej

Bardziej szczegółowo

SZCZEGÓŁOWA SPECYFIKACJA TECHNICZNA D.02.01.01 45112000-5. WYKONANIE WYKOPÓW W GRUNTACH NIESKALISTYCH. CPV: Roboty ziemne i wykopaliskowe.

SZCZEGÓŁOWA SPECYFIKACJA TECHNICZNA D.02.01.01 45112000-5. WYKONANIE WYKOPÓW W GRUNTACH NIESKALISTYCH. CPV: Roboty ziemne i wykopaliskowe. SZCZEGÓŁOWA SPECYFIKACJA TECHNICZNA D.02.01.01 45112000-5 WYKONANIE WYKOPÓW W GRUNTACH NIESKALISTYCH. CPV: Roboty ziemne i wykopaliskowe. 32 1. WSTĘP 1.1. Przemiot ST Przemiotem niniejszej specyfikacji

Bardziej szczegółowo

1 Renty życiowe. 1.1 Podstawowe renty życiowe

1 Renty życiowe. 1.1 Podstawowe renty życiowe Renty życiowe Renta życiowa jest serią płatności okonywanych w czasie życia ubezpieczonego Jej wartość teraźniejsza jest zienną losową (bo zależy o przyszłego czasu życia T, oznaczaną Y Postawowe renty

Bardziej szczegółowo