WPŁYW REDUKCJI SZUMU LOSOWEGO METODĄ NAJBLIŻSZYCH SĄSIADÓW NA WYNIKI PROGNOZ OTRZYMANYCH ZA POMOCĄ NAJWIĘKSZEGO WYKŁADNIKA LAPUNOWA

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "WPŁYW REDUKCJI SZUMU LOSOWEGO METODĄ NAJBLIŻSZYCH SĄSIADÓW NA WYNIKI PROGNOZ OTRZYMANYCH ZA POMOCĄ NAJWIĘKSZEGO WYKŁADNIKA LAPUNOWA"

Transkrypt

1 Monika Miśkiewicz-Nawrocka Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach WPŁYW REDUKCJI SZUMU LOSOWEGO MEODĄ NAJBLIŻSZYCH SĄSIADÓW NA WYNIKI PROGNOZ ORZYMANYCH ZA POMOCĄ NAJWIĘKSZEGO WYKŁADNIKA LAPUNOWA Wprowazenie Problem prognozowania zjawisk ekonomicznych jest problemem trunym, który próbuje się rozwiązywać różnymi metoami. O momentu pojawienia się w literaturze pojęcia eterministycznego chaosu, poejmuje się próby prognozowania realnych zjawisk na postawie pojęć i meto teorii nieliniowych ukłaów ynamicznych. Jenym z narzęzi tej teorii są wykłaniki Lapunowa, które mierzą wrażliwość ukłau na zmianę warunków początkowych, czyli chaotyczność ukłau ynamicznego. Największy wykłanik Lapunowa pozwala określić, jak barzo zmienia się (zwiększa lub zmniejsza) oległość pomięzy bieżącym stanem x N ukłau a jego najbliższym sąsiaem x i poczas ewolucji ukłau oraz oszacować oległość pomięzy ich następnikami x N+ i x i+. Na postawie tej oległości można wyznaczyć wartość prognozy x ˆ N + [Guégan, Leroux, 2009, s. 240; Zhang et al., 2004, s. 3]. Metoa najbliższych sąsiaów wywozi się z teorii nieliniowych ukłaów ynamicznych i została stworzona o prognozowania przyszłych wartości szeregów czasowych [Lorenz, 969, s ], ale może być również stosowana o reukcji szumu losowego w szeregach czasowych. Rzeczywiste szeregi czasowe (s t ) skłaają się z części eterministycznej szeregu (y t ) oraz części stochastycznej szeregu (ε t ), która wyraża poziom szumu losowego, reprezentującego szum ob-

2 WPŁYW REDUKCJI SZUMU LOSOWEGO 83 serwacyjny, systemowy lub kombinację szumu obserwacyjnego i systemowego. Reukcja szumu losowego pozwala poznać własności szeregu (y t ) na postawie analizy szeregu obserwacji (s t ). Celem pracy jest ocena okłaności oraz porównanie prognoz otrzymanych za pomocą największego wykłanika Lapunowa la wybranych szeregów czasowych, prze i po zastosowaniu proceury reukcji szumu losowego metoą najbliższych sąsiaów. Baania empiryczne przeprowazono na postawie rzeczywistych anych natury ekonomicznej, tj. szeregów utworzonych z notowań kursów walut: CHF, EUR, GBP, JPY, USD wobec złotego, cen zamknięcia: Dębicy, ING Banku Śląskiego, LPP SA, Mostostalu Zabrze, Vistuli, oraz ineksów giełowych: WIG i WIG20. Do przeprowazenia niezbęnych obliczeń wykorzystano program napisany przez autora w języku Delhi, arkusz kalkulacyjny Excel oraz program GREL.. Szeregi czasowe Rzeczywisty szereg czasowy jest yskretnym ukłaem ynamicznym (X, f) opisanym za pomocą zależności [Nowiński, 2007, s. 24]: x t+ = f(x t + η t ), () s t+ = h(x t+ ) + ξ t, t = 0,,2, (2) gzie: X R m, X przestrzeń stanów, f : X X m-wymiarowe owzorowanie opisujące rzeczywistą ynamikę ukłau, h : X R funkcja pomiarowa generująca szereg czasowy obserwacji s t ukłau ynamicznego, x t, x t+ X stan nieznanego, pierwotnego ukłau wielowymiarowego opowienio w chwilach t, t+, s t+ obserwacja szeregu czasowego w chwili t+, η t szum ynamiczny wewnątrz ukłau, ξ t szum pomiarowy. Krótko, można zapisać rzeczywisty szereg czasowy jako: s t = y t + ε t, (3) gzie: y t część eterministyczna szeregu czasowego, ε t część stochastyczna szeregu czasowego (szum losowy skłaający się z szumu obserwacyjnego, systemowego lub ich kombinacji).

3 84 Monika Miśkiewicz-Nawrocka 2. Największy wykłanik Lapunowa Dla ukłau ynamicznego (X, f), w którym X R m, f : X X (m ), wykłaniki Lapunowa są zefiniowane jako granice [Zawazki, 996, s. 6]: λi ( x0 ) = lim ln μi ( n, x0 ), gzie: i =,,m, (4) n n gzie: i =,, m, μ i (n, x 0 ) wartości własne macierzy Df n (x 0 ), Df n (x 0 ) macierz Jacobiego owzorowania f n równą Df n (x 0 ) = Df(x n ) Df(x ) Df(x 0 ), f i Df ( x) = ( x), x j f i skłaowe owzorowania f, i, j =,2,, m. i =,, m. Zgonie z twierzeniem Oseleeca [968, s ], la m-wymiarowego ukłau ynamicznego istnieje m wykłaników Lapunowa, spełniających warunek: λ i λ i+, la i =,, m. Jenak najważniejszy jest największy z nich, który mierzy śrenie tempo zbieżności i rozbieżności wóch początkowo barzo bliskich trajektorii. Doatnia wartość największego wykłanika jest głównym wskaźnikiem ynamiki chaotycznej. Uowoniono, że prawziwa jest następująca zależność [Eckmann, Ruelle, 985, s. 630; Kantz, Schreiber, 2004, s. 67]: kλmax Δ Δ, (5) gzie λ max największy wykłanik Lapunowa, Δ k <<, k >> *. k Jeśli λ max jest oatnie, to z powyższego wzoru wynika, że początkowo bliskie sobie stany rozbiegają się (oalają się o siebie) w tempie wykłaniczym, co najwyżej równym największemu wykłanikowi Lapunowa. W związku z tym, że wie trajektorie nie mogą oalić się o siebie na oległość większą niż rozmiar atraktora, przybliżona równość (5) jest prawziwa tylko la takich k, la których Δ k pozostaje małe. 0 e * a << b oznacza, że a jest użo mniejsze niż b.

4 WPŁYW REDUKCJI SZUMU LOSOWEGO 85 Po obustronnym zlogarytmowaniu równania (5) uzyskano: ln Δ k = ln Δ 0 + kλ max. (6) W praktyce największy wykłanik Lapunowa szacuje się jako współczynnik kierunkowy regresji równania (6) [Rosenstein, Collins et al. 993, s. 7-34; Kantz, 994, s ]. 3. Prognozowanie szeregów czasowych metoa LEM * Należy rozważyć jenowymiarowy szereg czasowy złożony z N obserwacji (s, s 2,, s N ). W zrekonstruowanej przestrzeni stanów ** każa obserwacja s t, ( )τ + t N jest związana z wektorem zanurzenia (-historią), który powstaje w wyniku przesunięcia oryginalnego szeregu czasowego o pewną stałą wartość opóźnienia czasowego τ. Elementami zrekonstruowanej -wymiarowej przestrzeni stanów są więc -wymiarowe punkty (-historie) zwane wektorami opóźnień, ane wzorem [Packer et al., 980, s ; akens, 98, s ]: ( ) s i = si, si τ, si 2 τ,..., si ( ) τ, (7) gzie: i = ( )τ +,, N, s i obserwacje oryginalnego szeregu, i =,, N, wymiar rekonstruowanej przestrzeni (zwany również wymiarem zanurzenia), τ opóźnienie czasowe. Przeprowazenie rekonstrukcji przestrzeni stanów ukłau ynamicznego wymaga ustalenia wartości parametrów τ i m. Nie istnieje jenak jenoznaczna metoa wyznaczenia wartości opóźnienia τ oraz minimalnego wymiaru zanurzenia m. Wartość opóźnienia czasowego τ można oszacować na postawie funkcji autokorelacji lub funkcji informacji wzajemnej [Kantz, Schreiber, 2004, s. 50]. Przy ustalaniu minimalnego wymiaru opóźnienia powszechnie stosowaną jest metoa pozornych najbliższych sąsiaów [Kennel et al., 992]. Spośró wszystkich wektorów s t zrekonstruowanej przestrzeni stanów należy wybrać wektor najbliższy (w sensie oległości eukliesowej) wektorowi s i oznaczyć przez s min. Niech Δ min oznacza oległość pomięzy s oraz N N * Lyapunov Exponent Metho. ** Rekonstrukcja przestrzeni stanów polega na otworzeniu na postawie jenowymiarowego ciągu obserwacji, przestrzeni stanów ukłau ynamicznego.

5 86 Monika Miśkiewicz-Nawrocka s min, a Δ oległość pomięzy sn s + oraz min+. Zakłaając, że Δ /Δ min ulega małym zmianom poczas ewolucji ukłau, to oległość mięzy wektorami sn + i wyraża się wzorem [Guégan, Leroux, 2009, s. 2402]: smin+ gzie: λ max wykłanik Lapunowa. λmax Δ Δ e, (8) min Ponieważ: s N ( s s s ), + + = N + N τ + N ( ) τ,...,, (9) prognozowaną wartość s N+ można wyznaczyć z równania (8) [Zhang et al., 2004, s. 6; Guégan, Leroux, 2009, s. 2402]. Kolejne prognozy s ˆ N +, la = 2,3, można wyznaczyć bezpośrenio z zależności: Δ Δ min e λ max, (0) gzie Δ oznacza oległość pomięzy wektorami s N i s min po krokach iteracji, czyli pomięzy wektorami s N + i s min +, lub metoą iteracyjną, stosując opisaną powyżej proceurę la wektora sn + [ Zhang.et al., 2004, s. 3; Guégan, Leroux, 2009, s. 2402]. Algorytm prognozowania przyszłych wartości szeregu czasowego (s, s 2,, s N ) za pomocą największego wykłanika Lapunowa [Zhang et al., 2004, s. 6] metoa LEM jest następujący:. Należy wybrać opóźnienie czasowe τ oraz wymiar rekonstruowanej przestrzeni stanów. 2. Należy obliczyć wykłanik Lapunowa λ max, jeśli λ max < 0, przejść o kroku Należy rekonstruować przestrzeń stanów la wybranych wartości τ oraz. Otrzymuje się N ( )τ wektorów w rekonstruowanej -wymiarowej przestrzeni stanów. 4. Należy wyznaczyć wektor s min położony najbliżej, w sensie oległości eukliesowej, wektora s N. 5. Należy obliczyć oległość Δ min pomięzy wektorami s min oraz s N. 6. Należy obliczyć oległość Δ pomięzy wektorami smin+ oraz sn +.

6 WPŁYW REDUKCJI SZUMU LOSOWEGO Znając współrzęne punktu s min+ w zrekonstruowanej przestrzeni stanów, na postawie równania (8) prognozuje się za pomocą wykłanika Lapunowa λ max kolejną wartość szeregu czasowego s N+. 8. Należy zmienić wymiar zanurzenia i przejść o kroku 2. Ze wzoru (8) wynika, że znając oległość pomięzy wektorami s N i s min oraz wykłanik Lapunowa λ max, można wyznaczyć oległość mięzy ich następnikami, czyli wektorami s N + i s min+. Oległość ta nie zależy o znaku wykłanika λ max, tzn. jest niezależna o tego czy ukła jest lokalnie chaotyczny, czy lokalnie stabilny. W związku z tym, że znane są również wszystkie oprócz pierwszej współrzęne wektora s N + = ( sn +, sn τ +,..., sn ( ) τ + ), można wyznaczyć wartość s N+. sn +, która znajuje się na przecięciu sfery o promieniu λ max Δ = Δ mine i o śroku w punkcie s N z prostą l przechozącą przez punkty postaci ( z, s N τ,..., s N ( ) τ + ), z R. W przestrzeni eukliesowej s N+ należy o zbioru wszystkich punktów z R, bęących miejscem zerowym wielomianu: 2 2 ( z s + ) + ( sn si ) sn ( ) τ + si ( ) 2 λ 2 max ( ) ( Δ e ) = 0 τ + i. () ˆ + Stą prognoza s N może przyjmować wie wartości: min + s ˆN + oraz s ˆN +, bęące opowienio przeszacowaną (LEM + ) i nieoszacowaną (LEM ) wartością rzeczywistego s N+ [Guégan, Leroux, 2009, s ]. 4. Reukcja szumu losowego W metozie NS reukcji szumu losowego, część eterministyczną (y t ) szeregu czasowego buuje się na postawie najbliższych sąsiaów (w sensie metryki eukliesowej -wymiarowej) wektorów s t zrekonstruowanej przestrzeni stanów ukłau ynamicznego opisanego szeregiem (s t ). Algorytm wyznaczania wartości y n, < n < N szeregu czasowego (s, s 2,, s N ) metoą najbliższych sąsiaów jest następujący:. Dla oszacowanego wymiaru zanurzenia oraz opóźnienia czasowego τ = stworzono wektor opóźnień postaci: s t = s t,s t+,,s t+(-), (2) tak aby filtrowana obserwacja s n była jeną ze śrokowych współrzęnych wektora s t.

7 88 Monika Miśkiewicz-Nawrocka 2. Wyznaczono k najbliższych sąsiaów (w sensie oległości eukliesowej) wektora s t, postaci: s l(), sl( 2),..., sl( k ). Często spotykanym w literaturze postulatem jest, aby liczba najbliższych sąsiaów spełniała warunek 2( + ) k < N ( )τ [Casagli, 989, s. 340; Cao, Sofio, 999, s. 425]. 3. Na postawie wyznaczonych sąsiaów obliczono wartość y n jako śrenią arytmetyczną pierwszych współrzęnych najbliższych sąsiaów: 4. Baania empiryczne y = k n s l k i= () i. (3) Przemiotem baania były logarytmy ziennych stóp zwrotu kursów: franka szwajcarskiego (CHF), euro (EUR), funta brytyjskiego (GBP), jena japońskiego (JPY), olara amerykańskiego (USD), wobec złotego; cen: Dębicy (DBC), ING Banku Śląskiego (BSK), LPP SA (LPP), Mostostalu Zabrze (MSZ), Vistuli (VS); oraz ineksów giełowych: WIG i WIG20, postaci: gzie: s t obserwacja szeregu. x t = ln s t ln s t, (4) Doatkowo baaniu poano szeregi reszt, które powstały z baanych szeregów przefiltrowanych moelami ARMA. Do oszacowania parametrów moeli ARMA oraz o wyznaczenia parametrów szeregów reszt wykorzystano program GREL. Przy wyborze opowieniego moelu ARMA kierowano się istotnością oszacowanych parametrów oraz kryterium Schwarza. Szeregi reszt oznaczono symbolem NazwaSzeregu_. Następnie szeregi reszt poano proceurze reukcji szumu losowego metoą najbliższych sąsiaów. Uzyskane w ten sposób szeregi oznaczono NazwaSzeregu_2. Wartość największego wykłanika Lapunowa la analizowanych szeregów oszacowano na postawie zależności (6) w zrekonstruowanej przestrzeni stanów. Parametry -historii, tj. opóźnienie czasowe i minimalny wymiar zanurzenia, oszacowano za pomocą funkcji autokorelacji ACF oraz metoy pozornych fałszywych sąsiaów. Obliczenia wykonano przy użyciu programu napisanego przez autora. W obliczeniach przyjęto liczbę najbliższych sąsiaów k =. W tabeli przestawiono wyniki szacowania największego wykłanika Lapunowa.

8 WPŁYW REDUKCJI SZUMU LOSOWEGO 89 Wyniki szacowania największego wykłanika Lapunowa la analizowanych szeregów abela Szereg Równanie regresji λ max Szereg Równanie regresji λ max BSK y = 0,0074x 4,059 y = 0,0028x 3,8968 R 2 0,0074 LPP = 0,477 R 2 = 0,25 (0,0028) BSK_ y = 0,002x 4,0364 y = 0,009x 3,834 R 2 0,002 LPP_ = 0,327 R 2 = 0,4022 0,009 BSK_2 y = 0,0023x 4,9233 y = 0,007x 5,4842 R 2 0,0023 LPP_2 = 0,444 R 2 = 0,3929 0,007 CHF y = 0,004x 4,8925 y = 0,0022x 3,5262 R 2 0,004 MSZ = 0,533 R 2 = 0,297 (0,0022) CHF_ y = 0,0008x 4,089 y = 0,00x 3,4639 R 2 0,0008 MSZ_ = 0,4689 R 2 = 0,4605 0,00 CHF_2 y = 0,0029x 6,558 y = 0,0009x 5,785 R 2 0,0029 MSZ_2 = 0,6646 R 2 = 0,344 (0,0009) DBC y = 0,002x 4,093 y = 0,003x 4,605 R 2 0,002 USD = 0,594 R 2 = 0,4525 0,003 DBC_ y = 0,0034x 4,0988 y = 0,0008x 4,6068 R 2 0,0034 USD_ = 0,7244 R 2 = 0,493 0,0008 DBC_2 y = 0,005x 6,2532 y = 0,0007x 6,2377 R 2 0,005 USD_2 = 0,4394 R 2 = 0,0643 EUR y = 0,0028x 5,345 y = 0,0025x 3,5699 R 2 0,0028 VS = 0,53 R 2 = 0,2798 0,0025 EUR_ y = 0,00x 5,567 y = 0,002x 3,5992 R 2 0,00 VS_ = 0,6004 R 2 = 0,577 0,002 EUR_2 y = 0,0002x 6,9627 y = 0,0063x 5,3806 R 2 VS_2 = 0,006 R 2 = 0,3563 0,0063 GBP y = 0,0009x 4,8483 y = 0,0023x 4,332 R 2 0,0009 WIG = 0,23 R 2 = 0,6634 0,0023 GBP_ y = 0,00x 4,8536 y = 0,00x 4,35 R 2 0,00 WIG_ = 0,6404 R 2 = 0,5345 0,00 GBP_2 y = 0,0043x 6,7553 y = 0,0002x 5,9989 R 2 0,0043 WIG_2 = 0,6284 R 2 = 0,6899 0,0002 JPY y = 0,00x 4,5883 y = 0,002x 4,253 R 2 0,00 WIG20 = 0,48 R 2 = 0,3335 0,002 JPY_ y = 0,005x 4,5798 y = 0,0008x 4,587 R 2 0,005 WIG20_ = 0,6678 R 2 = 0,876 (0,0008) JPY_2 y = 0,0005x 6,722 y = 0,008x 6,0239 R 2 (0,0005) WIG20_2 = 0,2833 R 2 = 0,3937 0,008 Na postawie anych zamieszczonych w tabeli można stwierzić wpływ filtrowania, a w szczególności reukcji szumu losowego, na wartość największego wykłanika Lapunowa. Dla szeregów CHF, GBP, DBC, LPP, VS, WIG20 po reukcji szumu wartość wykłanika Lapunowa wzrosła. Można zatem wnioskować, że poziom chaosu (choć naal niewielki) w baanych szeregach zwiększył się. Po przefiltrowaniu metoą najbliższych sąsiaów szeregów EUR i USD ustalenie wartości λ max, stało się niemożliwe ze wzglęu na zbyt ni-

9 90 Monika Miśkiewicz-Nawrocka ski współczynnik R 2. Poobnie, la szeregów LPP, MSZ, MSZ_2 i WIG20_, oszacowany współczynnik regresji nie może być traktowany jako wartość największego wykłanika Lapunowa. Do wyznaczenia prognoz baanych szeregów czasowych zastosowano metoę LEM. Do oceny okłaności prognozy wykorzystano: bezwzglęny błą prognozy w momencie : śreni błą prognozy ex post: = x xˆ, (5) n h 2 σ =, (6) + x xˆ ) +( h t = n wzglęny błą prognozy: współczynnik hiela: σ σ =, (7) σ 2 hσ I, (8) 2 = n + h 2 x = n+ gzie: x rzeczywista wartość baanej zmiennej w momencie, xˆ prognoza wartości zmiennej w momencie, σ ochylenie stanarowe szeregu obserwacji, = n +,, n + h, h liczba naturalna oznaczająca oległość okresu prognozowanego o okresu bieżącego. W tabeli 2 przestawiono błęy t i σ t otrzymanych prognoz la baanych szeregów czasowych. W związku z tym, że la szeregów EUR_2 i USD_2 nie można było oszacować wartości największego wykłanika Lapunowa, szeregi te nie zostały poane proceurze prognozowania metoa LEM.

10 WPŁYW REDUKCJI SZUMU LOSOWEGO 9 Błęy otrzymanych prognoz la analizowanych szeregów abela 2 t BSK LEM"+" t 0,0734 0,0598 0,052 0,0577 0,0275 0,80 0,0720 0,0799 0,0755 0,05 σ 0,0734 0,0670 0,0622 0,06 0,0560 0,0703 0,0705 0,077 0,0722 0,076 BSK LEM" " t 0,207 0,0646 0,074 0,034 0,0420 0,0927 0,066 0,0640 0,097 0,0902 σ 0,207 0,0969 0,005 0,0887 0,085 0,0835 0,0807 0,0788 0,0803 0,084 BSK_ LEM"+" t 0,0273 0,0050 0,0284 0,0393 0,0365 0,075 0,0263 0,0383 0,0568 0,088 σ 0,0273 0,097 0,0230 0,0280 0,0299 0,0282 0,0279 0,0294 0,0336 0,040 BSK_ LEM" " t 0,0353 0,0469 0,050 0,0069 0,0454 0,0063 0,09 0,075 0,0296 0,0362 σ 0,0353 0,045 0,0446 0,0387 0,0402 0,0368 0,0343 0,0327 0,0324 0,0328 BSK_2 LEM"+" t 0,0354 0,0069 0,0205 0,0486 0,0464 0,0282 0,0387 0,078 0,092 0,0079 σ 0,0354 0,0255 0,0240 0,0320 0,0353 0,0342 0,0349 0,0333 0,0320 0,0305 BSK_2 LEM" " t 0,033 0,0085 0,044 0,0483 0,030 0,049 0,0362 0,0253 0,0258 0,0236 σ 0,033 0,02 0,024 0,0264 0,0272 0,0256 0,0273 0,027 0,0270 0,0266 CHF LEM"+" t 0,0446 0,0406 0,07 0,049 0,0384 0,0387 0,0276 0,027 0,0426 0,0328 σ 0,0446 0,0427 0,0362 0,0323 0,0336 0,0345 0,0336 0,0328 0,034 0,0339 CHF LEM" " t 0,0493 0,0305 0,028 0,020 0,085 0,0432 0,0570 0,023 0,0287 0,0456 σ 0,0493 0,040 0,0372 0,0338 0,033 0,0336 0,0378 0,0363 0,0356 0,0367 CHF_ LEM"+" t 0,0003 0,0046 0,0039 0,0003 0,0078 0,0046 0,0039 0,03 0,073 0,040 σ 0,0003 0,0033 0,0035 0,0030 0,0044 0,0044 0,0044 0,0062 0,0082 0,0089 CHF_ LEM" " t 0,000 0,020 0,0053 0,0093 0,0033 0,065 0,0079 0,066 0,045 0,086 σ 0,000 0,0085 0,0076 0,008 0,0074 0,0095 0,0093 0,005 0,00 0,020 CHF_2 LEM"+" t 0,0020 0,0062 0,0004 0,004 0,007 0,0050 0,002 0,0055 0,003 0,0045 σ 0,0020 0,0046 0,0038 0,0039 0,0036 0,0038 0,0036 0,0039 0,0038 0,0039 CHF_2 LEM" " t 0,0004 0,0022 0,0035 0,0002 0,0044 0,004 0,0050 0,005 0,0006 0,00 σ 0,0004 0,006 0,0024 0,002 0,0027 0,0025 0,0030 0,0029 0,0027 0,0026 EUR LEM"+" t 0,064 0,033 0,0244 0,0250 0,0206 0,009 0,043 0,0304 0,037 0,0224 σ 0,064 0,049 0,086 0,0204 0,0205 0,090 0,084 0,0203 0,097 0,0200 EUR LEM" " t 0,008 0,052 0,0279 0,020 0,0236 0,063 0,095 0,052 0,057 0,0296 σ 0,008 0,032 0,094 0,098 0,0206 0,0200 0,099 0,094 0,090 0,0203 EUR_ LEM"+" t 0,063 0,029 0,0232 0,0238 0,089 0,0077 0,03 0,0307 0,028 0,0235 σ 0,063 0,047 0,080 0,096 0,094 0,080 0,074 0,096 0,089 0,094

11 92 Monika Miśkiewicz-Nawrocka c. tabeli 2 t EUR_ LEM" " t 0,03 0,060 0,0270 0,0200 0,0226 0,049 0,082 0,058 0,062 0,0304 σ 0,03 0,039 0,093 0,095 0,020 0,094 0,092 0,088 0,085 0,0200 GBP LEM"+" t 0,0394 0,0060 0,008 0,0264 0,0202 0,0028 0,002 0,034 0,035 0,006 σ 0,0394 0,0282 0,0235 0,0242 0,0235 0,025 0,099 0,027 0,0230 0,028 GBP LEM" " t 0,0296 0,067 0,0272 0,026 0,0044 0,048 0,0394 0,0389 0,0009 0,0283 σ 0,0296 0,024 0,025 0,0254 0,0228 0,027 0,0250 0,027 0,0256 0,0259 GBP_ LEM"+" t 0,059 0,006 0,0053 0,0028 0,0093 0,0060 0,07 0,07 0,007 0,0255 σ 0,059 0,020 0,003 0,0090 0,009 0,0086 0,009 0,0095 0,0092 0,09 GBP_ LEM" " t 0,003 0,062 0,074 0,0046 0,003 0,07 0,023 0,0 0,0277 0,047 σ 0,003 0,06 0,038 0,022 0,00 0,0 0,03 0,03 0,04 0,04 GBP_2 LEM"+" t 0,0033 0,00 0,0009 0,0009 0,0003 0,004 0,004 0,0034 0,008 0,0076 σ 0,0033 0,0024 0,002 0,008 0,007 0,0023 0,0022 0,0023 0,0035 0,004 GBP_2 LEM" " t 0,0009 0,000 0,0007 0,0027 0,000 0,0006 0,0057 0,0025 0,0009 0,0037 σ 0,0009 0,0006 0,0006 0,005 0,004 0,003 0,0025 0,0025 0,0024 0,0025 JPY LEM"+" t 0,0389 0,0260 0,0434 0,0239 0,036 0,0237 0,032 0,047 0,079 0,044 σ 0,0389 0,033 0,0369 0,034 0,0336 0,0322 0,0320 0,0304 0,0293 0,0282 JPY LEM" " t 0,037 0,002 0,0337 0,0364 0,0682 0,075 0,0602 0,0037 0,073 0,0406 σ 0,037 0,0235 0,0273 0,0299 0,0405 0,0377 0,047 0,0390 0,0372 0,0376 JPY_ LEM"+" t 0,0245 0,028 0,0570 0,0597 0,0566 0,035 0,0636 0,0703 0,0569 0,0002 σ 0,0245 0,095 0,0366 0,0435 0,0464 0,0427 0,0463 0,0499 0,0507 0,048 JPY_ LEM" " t 0,0274 0,03 0,0260 0,0643 0,0206 0,0638 0,0437 0,0573 0,055 0,055 σ 0,0274 0,0293 0,0283 0,0404 0,0373 0,0429 0,0430 0,0450 0,0462 0,044 JPY_2 LEM"+" t 0,0097 0,0085 0,0074 0,0055 0,0053 0,0057 0,0077 0,0083 0,0062 0,0022 σ 0,0097 0,009 0,0086 0,0079 0,0075 0,0072 0,0073 0,0074 0,0073 0,0069 JPY_2 LEM" " t 0,0075 0,0045 0,0065 0,0088 0,0045 0,0082 0,0058 0,0066 0,0084 0,0000 σ 0,0075 0,0062 0,0063 0,0070 0,0066 0,0069 0,0067 0,0067 0,0069 0,0066 USD LEM"+" t 0,0604 0,023 0,055 0,093 0,0648 0,003 0,0272 0,0039 0,0375 0,0080 σ 0,0604 0,0436 0,0477 0,0424 0,0478 0,0436 0,047 0,0390 0,0388 0,0369 USD LEM" " t 0,0226 0,093 0,0277 0,028 0,066 0,0380 0,0556 0,077 0,0299 0,03 σ 0,0226 0,020 0,0234 0,023 0,029 0,0253 0,035 0,030 0,030 0,0288 USD_ LEM"+" t 0,0204 0,0320 0,05 0,0023 0,0292 0,0364 0,0325 0,03 0,0487 0,073 σ 0,0204 0,0269 0,0236 0,0205 0,0225 0,0253 0,0265 0,0252 0,0288 0,0278

12 WPŁYW REDUKCJI SZUMU LOSOWEGO 93 c. tabeli 2 t USD_ LEM" " t 0,044 0,0025 0,0338 0,0070 0,030 0,0042 0,0062 0,0230 0,05 0,075 σ 0,044 0,0293 0,0309 0,0270 0,0278 0,0255 0,0237 0,0236 0,0226 0,022 DBC LEM"+" t 0,093 0,0450 0,33 0,4 0,297 0,0905 0,0324 0,0783 0,0857 0,32 σ 0,093 0,0835 0,020 0,30 0,66 0,26 0,050 0,020 0,004 0,07 DBC LEM" " t 0,0552 0,28 0,58 0,54 0,0766 0,023 0,005 0,0907 0,067 0,302 σ 0,0552 0,0888 0,0986 0,03 0,0984 0,0990 0,097 0,096 0,0892 0,094 DBC_ LEM"+" t 0,03 0,0877 0,0630 0,054 0,0436 0,0809 0,0922 0,0302 0,0866 0,082 σ 0,03 0,0957 0,0862 0,0794 0,0737 0,0749 0,0776 0,0734 0,0750 0,074 DBC_ LEM" " t 0,0853 0,0885 0,0073 0,096 0,033 0,2 0,0880 0,0300 0,063 0,0783 σ 0,0853 0,0869 0,07 0,078 0,074 0,0794 0,0807 0,0762 0,0749 0,0752 DBC_2 LEM"+" t 0,046 0,0 0,027 0,009 0,0029 0,0209 0,0074 0,0066 0,0095 0,0079 σ 0,046 0,030 0,029 0,024 0,02 0,033 0,026 0,020 0,08 0,05 DBC_2 LEM" " t 0,03 0,005 0,0052 0,0077 0,0008 0,0052 0,047 0,05 0,009 0,0027 σ 0,03 0,009 0,0094 0,0090 0,008 0,0077 0,0090 0,0093 0,0093 0,0089 LPP LEM"+" t 0,0736 0,335 0,0552 0,795 0,0832 0,26 0,0960 0,240 0,249 0,06 σ 0,0736 0,078 0,0936 0,209 0,44 0,56 0,30 0,44 0,56 0,4 LPP LEM" " t 0,65 0,048 0,0226 0,0487 0,202 0,03 0,232 0,0977 0,58 0,082 σ 0,65 0,36 0,9 0,0999 0,043 0,053 0,08 0,068 0,079 0,079 LPP_ LEM"+" t 0,080 0,0338 0,033 0,0664 0,0856 0,0375 0,057 0,27 0,0926 0,0508 σ 0,080 0,065 0,0780 0,0752 0,0774 0,0723 0,0703 0,0797 0,082 0,0787 LPP_ LEM" " t 0,208 0,058 0,0984 0,0346 0,63 0,0884 0,384 0,0290 0,026 0,090 σ 0,208 0,0862 0,0905 0,0802 0,0886 0,0886 0,0973 0,096 0,0928 0,0946 LPP_2 LEM"+" t 0,062 0,0026 0,025 0,008 0,0076 0,0044 0,005 0,073 0,065 0,0053 σ 0,062 0,06 0,09 0,0 0,005 0,0097 0,0092 0,006 0,04 0,009 LPP_2 LEM" " t 0,027 0,0048 0,065 0,0003 0,026 0,0085 0,0249 0,0056 0,034 0,074 σ 0,027 0,0096 0,023 0,007 0,036 0,029 0,052 0,043 0,042 0,046 MSZ LEM"+" t 0,085 0,0980 0,0423 0,0942 0,0735 0,0306 0,0973 0,0723 0,0937 0,007 σ 0,085 0,097 0,0788 0,0829 0,08 0,075 0,0786 0,0779 0,0798 0,082 MSZ LEM" " t 0,0373 0,0980 0,93 0,0622 0,0409 0,042 0,0970 0,0884 0,0599 0,0 σ 0,0373 0,074 0,097 0,0853 0,0784 0,078 0,0759 0,0776 0,0759 0,0787 MSZ_ LEM"+" t 0,330 0,447 0,065 0,0778 0,0324 0,439 0,6 0,646 0,0767 0,0076 σ 0,330 0,390 0,29 0,83 0,068 0,39 0,42 0,26 0,75 0,5

13 94 Monika Miśkiewicz-Nawrocka c. tabeli 2 t MSZ_ LEM" " t 0,546 0,0864 0,826 0,0449 0,0004 0,402 0,304 0,058 0,0650 0,0360 σ 0,546 0,252 0,469 0,292 0,55 0,200 0,25 0,97 0,49 0,096 MSZ_2 LEM"+" t 0,035 0,070 0,0028 0,00 0,0046 0,0243 0,050 0,097 0,007 0,057 σ 0,035 0,054 0,026 0,02 0,00 0,04 0,042 0,050 0,046 0,047 MSZ_2 LEM" " t 0,0377 0,0257 0,0247 0,0326 0,0084 0,0276 0,08 0,004 0,032 0,084 σ 0,0377 0,0323 0,0300 0,0306 0,0277 0,0276 0,0260 0,0243 0,0252 0,0246 VS LEM"+" t 0,0749 0,0549 0,0458 0,073 0,0470 0,0988 0,0939 0,0599 0,054 0,0886 σ 0,0749 0,0657 0,0598 0,0629 0,060 0,068 0,0723 0,0709 0,0690 0,072 VS LEM" " t 0,084 0,0272 0,0409 0,0994 0,0470 0,0270 0,0788 0,0378 0,27 0,0793 σ 0,084 0,0790 0,0687 0,0775 0,0724 0,0670 0,0688 0,0658 0,075 0,0755 VS_ LEM"+" t 0,00 0,004 0,0974 0,0427 0,063 0,398 0,0707 0,20 0,033 0,0886 σ 0,00 0,002 0,0993 0,0886 0,0924 0,09 0,0980 0,0999 0,0948 0,0942 VS_ LEM" " t 0,645 0,284 0,0573 0,0407 0,38 0,0693 0,0072 0,56 0,202 0,0822 σ 0,645 0,476 0,249 0,0 0,62 0,098 0,07 0,00 0,236 0,20 VS_2 LEM"+" t 0,0249 0,053 0,009 0,067 0,0044 0,0078 0,0078 0,0084 0,045 0,0045 σ 0,0249 0,0207 0,077 0,075 0,057 0,047 0,039 0,034 0,035 0,029 VS_2 LEM" " t 0,0095 0,0222 0,006 0,0047 0,0244 0,0235 0,0059 0,0279 0,0252 0,089 σ 0,0095 0,07 0,052 0,034 0,062 0,076 0,065 0,083 0,092 0,092 WIG LEM"+" t 0,0562 0,0564 0,0770 0,0766 0,056 0,066 0,0600 0,054 0,0425 0,042 σ 0,0562 0,0563 0,0640 0,0674 0,0653 0,0654 0,0647 0,0632 0,062 0,0596 WIG LEM" " t 0,0833 0,0489 0,029 0,044 0,0372 0,0338 0,080 0,0466 0,068 0,0683 σ 0,0833 0,0683 0,0582 0,0545 0,055 0,0490 0,0547 0,0538 0,0556 0,0570 WIG_ LEM"+" t 0,056 0,0202 0,0043 0,030 0,0298 0,0443 0,096 0,0293 0,0357 0,0288 σ 0,056 0,080 0,049 0,098 0,0222 0,027 0,0262 0,0266 0,0278 0,0279 WIG_ LEM" " t 0,047 0,0053 0,0544 0,0004 0,0267 0,006 0,0369 0,079 0,020 0,043 σ 0,047 0,0297 0,0397 0,0344 0,0330 0,030 0,032 0,0298 0,0290 0,0279 WIG_2 LEM"+" t 0,000 0,008 0,004 0,0093 0,0050 0,0029 0,0074 0,003 0,0053 0,0085 σ 0,000 0,0072 0,0084 0,0086 0,0080 0,0074 0,0074 0,0070 0,0069 0,0070 WIG_2 LEM" " t 0,0070 0,0038 0,0069 0,009 0,0084 0,0062 0,0065 0,0046 0,0083 0,0006 σ 0,0070 0,0057 0,006 0,0054 0,006 0,006 0,0062 0,0060 0,0063 0,0060 WIG20 LEM"+" t 0,027 0,034 0,020 0,0070 0,053 0,0499 0,033 0,0042 0,0366 0,0203 σ 0,027 0,080 0,063 0,045 0,047 0,0244 0,0255 0,0239 0,0256 0,025

14 WPŁYW REDUKCJI SZUMU LOSOWEGO 95 c. tabeli 2 t WIG20 LEM" " t 0,040 0,0047 0,035 0,0024 0,0463 0,00 0,038 0,096 0,0239 0,07 σ 0,0400 0,0292 0,025 0,027 0,0284 0,0259 0,0246 0,0240 0,0240 0,023 WIG20 LEM"+" t 0,0508 0,0589 0,039 0,0736 0,0362 0,0766 0,0355 0,0498 0,0455 0,052 σ 0,0508 0,0550 0,0502 0,0570 0,0535 0,0580 0,0553 0,0547 0,0537 0,0536 WIG20 LEM" " t 0,08 0,0489 0,0305 0,049 0,0397 0,0294 0,0842 0,0457 0,0627 0,0494 σ 0,08 0,0669 0,0574 0,0540 0,054 0,0484 0,0550 0,0539 0,0550 0,0544 WIG20 LEM"+" t 0,074 0,0085 0,007 0,0002 0,0086 0,022 0,069 0,02 0,0205 0,00 σ 0,074 0,037 0,09 0,003 0,000 0,004 0,06 0,05 0,028 0,026 WIG20 LEM" " t 0,035 0,069 0,034 0,036 0,04 0,025 0,02 0,076 0,0098 0,007 σ 0,035 0,053 0,047 0,044 0,044 0,04 0,038 0,043 0,039 0,036 Analizując ane zawarte w tabeli 2 można stwierzić, że la przefiltrowanych szeregów czasowych metoą najbliższych sąsiaów okłaność prognoz znacznie się poprawiła. Świaczą o tym użo niższe wartości błęów t i σ. Przefiltrowanie szeregów moelami ARMA w większości przypaków też spowoowało zmniejszenie błęów wyznaczonych prognoz. W tabeli 3 przestawiono wartości błęów σ i I 2 w całym przeziale weryfikacji la h = 0. abela 3 Błęy oszacowanych prognoz w całym przeziale weryfikacji LEM"+" LEM" " Szereg BSK BSK_ BSK_2 BSK BSK_ BSK_2 σ 3,7624 2,0356 3,5907 4,0236,6255 3,395 I 2 39,0208,94 64,246 44,6277 7,362 49,0232 Szereg CHF CHF_ CHF_2 CHF CHF_ CHF_2 σ 3,7669 0,9985 2,8544 4,0706,3387,9053 I 2 70,807 4,8945 8,5426 8,9537 8,7979 3,8060 Szereg DBC DBC_ DBC_2 DBC DBC_ DBC_2 σ 5,284 3,7262 5,8703 4,8860 3,9282 4,5523 I 2 42, ,449 23, ,9824 3,2795 4,3930 Szereg EUR EUR_ EUR_2 EUR EUR_ EUR_2 σ 2,9462 2,8763 2,9939 2,9643 I 2 25, , , ,55 Szereg GBP GBP_ GBP_2 GBP GBP_ GBP_2 σ 2,6097,4286 3,6255 3,0950,6943 2,2337 I 2 4,4494 4,382 0, ,3234 6,637 4,674

15 96 Monika Miśkiewicz-Nawrocka c. tabeli Szereg JPY JPY_ JPY_2 JPY JPY_ JPY_2 σ 2,2379 3,8340 5,4232 2,9857 3,557 5,333 I 2 0,7782 3,673 23,0972 9,849 26, ,6940 Szereg LPP LPP_ LPP_2 LPP LPP_ LPP_2 σ 4,9060 3,476 2,7385 4,753 4,76 3,6589 I 2 20,778 0,080 8,8826 8,9254 4,4653 5,8568 Szereg MSZ MSZ_ MSZ_2 MSZ MSZ_ MSZ_2 σ 2,4086 3,3030 2,6979 2,3099 3,2466 4,5026 I 2 9, ,5732 9,3809 7, , ,282 Szereg USD USD_ USD_2 USD USD_ USD_2 σ 3,4346 2,5969 2,688 2,0639 I 2 26,8553 6,47 6,3723 4,0530 Szereg VS VS_ VS_2 VS VS_ VS_2 σ 2,2836 3,0554 2,7537 2,428 3,8972 4,0948 I 2 6,8404 0,540 4,0823 7,6934 7,497 9,0269 Szereg WIG WIG_ WIG_2 WIG WIG_ WIG_2 σ 4,2494,999 2,9440 4,0635,999 2,4955 I 2 56,3558,0287 8,4273 5,5320,0283 6,0553 Szereg WIG20 WIG20_ WIG20_2 WIG20 WIG20_ WIG20_2 σ,566 3,2440 5,373,395 3,296 5,5535 I 2 7, ,673 4,7888 6,329 36,3054 7,2823 Na postawie anych zawartych w tabeli 3 można stwierzić, że w wielu przypakach błęy prognoz w całym przeziale weryfikacji la szeregów przefiltrowanych metoą najbliższych sąsiaów są mniejsze niż błęy prognoz otrzymane la szeregów prze filtracją. Dla szeregów JPY, MSZ, WIG20 okłaniejsze prognozy otrzymano la szeregów nieprzefiltrowanych. Może to być spowoowane faktem, że oszacowane wykłaniki Lapunowa la tych szeregów charakteryzowały się niskim współczynnikiem R 2 i nie powinny być brane po uwagę. Wyjątek stanowi szereg BSK. Przefiltrowane baanych szeregów czasowych, tylko za pomocą moeli ARMA, w wielu przypakach pozwoliło uzyskać okłaniejsze prognozy. Posumowanie W pracy zbaano wpływ reukcji szumu metoą najbliższych sąsiaów na okłaność prognoz ekonomicznych szeregów czasowych, otrzymanych za pomocą największego wykłanika Lapunowa. Celem artykułu było porównanie błęów prognoz la szeregów prze i po reukcji szumu oraz szeregów przefiltrowanych moelami ARMA.

16 WPŁYW REDUKCJI SZUMU LOSOWEGO 97 Na postawie otrzymanych wyników można stwierzić, że reukcja szumu losowego w baanych szeregach czasowych pozwoliła uzyskać okłaniejsze prognozy. Ponato, w wielu przypakach przefiltrowanie baanych szeregów tylko za pomocą moeli ARMA również spowoowało znaczne zmniejszenie błęów uzyskanych prognoz. Literatura Cao L., Soofi A. (999): Nonlinear Deterministic Forecasting of Daily Dollar Exchange Rates. International Journal of Forecasting, Vol. 5, s Casagli M. (989): Nonlinear Preiction of Chaotic ime Series. Physica D, Vol. 53, s Eckmann J.P., Ruelle D. (985): Ergoic heory of Chaos an Strange Attractors. Reviews of Moern Physics, Vol. 57, No. 3. Guégan D., Leroux J. (2009): Forecasting Chaotic Systems: he Role of Local Lyapunov Exponents. Chaos, Solitons & Fractals, Vol. 4, s Kantz H. (994): A Robust Metho to Estimate the Maximal Lyapunov Exponent of a ime Series. Physical Letters A, Vol. 85(), s Kantz H., Schreiber. (2004): Nonlinear ime Series Analysis. Cambrige University Press, Cambrige. Kennel M.B., Brown R., Abarbanel H.D.I. (992): Detecting Embeing Dimension for Phase Space Reconstruction Using a Geometrical Construction. Physical Review A, 45. Lorenz E.N. (969): Atmospheric Preictability as Reveale by Naturally Occurring Analogues. J. Atmos. Sci., 26, s Miśkiewicz-Nawrocka M. (202): Zastosowanie wykłaników Lapunowa o analizy ekonomicznych szeregów czasowych. Wyawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego, Katowice. Nowiński M. (2007): Nieliniowa ynamika szeregów czasowych. Wyawnictwo Akaemii Ekonomicznej, Wrocław. Oseleec V.I. (968): A Mulitiplicative Ergoic heorem. Lyapunov Characteristic Numbers for Dynamical System. rans. Moscow Math. Soc., 9, s Packar N.H., Crutchfiel J.P., Farmer J.D., Shaw R.S. (980): Geometry from a ime Series. Physical Review Letters, Vol. 45, s Rosenstein M.., Collins J.J. et al. (993): A Practical Metho for Calculating Largest Lyapunov Exponents from Small Data Sets. Physica D, Vol. 65, s akens (98): Detecting Strange Atractors in urbulance. W: Lecture Notes in Mathematics. Es. D.A. Ran, L.S. Young. Springer Verlag, Berlin.

17 98 Monika Miśkiewicz-Nawrocka Zawazki H. (996): Chaotyczne systemy ynamiczne. Elementy teorii i wybrane zaganienia ekonomiczne. Wyawnictwo Akaemii Ekonomicznej, Katowice. Zhang J., Lam K.C., Yan W.J., Gao H., Li Y., (2004): ime Series Preiction using Lyapunov Exponents in Embeing Phase Space. Computers an Electrical Engineering 30, s. -5. HE EFFEC OF HE REDUCION RANDOM NOISE BY HE MEHOD OF NEARES NEIGHBORS ON FORECASING RESULS OBAINED USING HE LARGES LYAPUNOV EXPONEN Summary In this paper has been researche the effect of ranom noise reuction on the accuracy of forecasts of economic time series obtaine using the largest Lyapunov exponent metho (LEM). he aim of the article was to compare the preiction errors obtaine by LEM for the series before an after the ranom noice reuction an the time series filtre by moels ARMA. he nearest neighbors metho was use to reuce ranom noise in economic time series.

ZASTOSOWANIE WYKŁADNIKÓW LAPUNOWA DO WERYFIKACJI HIPOTEZY RYNKU KOHERENTNEGO

ZASTOSOWANIE WYKŁADNIKÓW LAPUNOWA DO WERYFIKACJI HIPOTEZY RYNKU KOHERENTNEGO Monika Miśkiewicz-Nawrocka Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach ZASTOSOWANIE WYKŁADNIKÓW LAPUNOWA DO WERYFIKACJI HIPOTEZY RYNKU KOHERENTNEGO Wstęp Prowadzone od wielu lat badania nad zmiennością cen na

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie wykładników Lapunowa do badania stabilności sieci elektroenergetycznej

Zastosowanie wykładników Lapunowa do badania stabilności sieci elektroenergetycznej Zastosowanie wykładników Lapunowa do badania stabilności sieci elektroenergetycznej dr inż. Olgierd Małyszko Katedra Elektroenergetyki i Napędów Elektrycznych, Wydział Elektryczny Zachodniopomorski Uniwersytet

Bardziej szczegółowo

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu 1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie

Bardziej szczegółowo

OCENA CHARAKTERU ZMIENNOŚCI POLSKIEGO RYNKU AKCJI

OCENA CHARAKTERU ZMIENNOŚCI POLSKIEGO RYNKU AKCJI RUCH PRAWNICZY, EKONOMICZNY I SOCJOLOGICZNY Rok LXIII zeszyt 3 2001 MAŁGORZATA DOMAN OCENA CHARAKTERU ZMIENNOŚCI POLSKIEGO RYNKU AKCJI 1. WSTĘP Założenia dotyczące typu zmienności występującej na badanym

Bardziej szczegółowo

Metrologia Techniczna

Metrologia Techniczna Zakła Metrologii i Baań Jakości Wrocław, nia Rok i kierunek stuiów Grupa (zień tygonia i gozina rozpoczęcia zajęć) Metrologia Techniczna Ćwiczenie... Imię i nazwisko Imię i nazwisko Imię i nazwisko Błęy

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH Transport, studia I stopnia Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym

Bardziej szczegółowo

U L T R A ZAKŁAD BADAŃ MATERIAŁÓW

U L T R A ZAKŁAD BADAŃ MATERIAŁÓW U L T R A ZAKŁAD BADAŃ MATERIAŁÓW Zał 1 instr Nr02/01 str. 53-621 Wrocław, Głogowska 4/55, tel/fax 071 3734188 52-404 Wrocław, Harcerska 42, tel. 071 3643652 www.ultrasonic.home.pl tel. kom. 0 601 710290

Bardziej szczegółowo

MODEL MATEMATYCZNY RUCHU GRANUL NAWOZU PO ZEJŚCIU Z TARCZY ROZSIEWAJĄCEJ

MODEL MATEMATYCZNY RUCHU GRANUL NAWOZU PO ZEJŚCIU Z TARCZY ROZSIEWAJĄCEJ InŜynieria Rolnicza 6/006 Wojciech Przystupa Katera Zastosowań Matematyki Akaemia Rolnicza w Lublinie MODEL MATEMATYCZNY RUCHU GRANUL NAWOZU PO ZEJŚCIU Z TARCZY ROZSIEWAJĄCEJ Streszczenie W pracy zbaano

Bardziej szczegółowo

Metoda Johansena objaśnienia i przykłady

Metoda Johansena objaśnienia i przykłady Metoda Johansena objaśnienia i przykłady Model wektorowej autoregresji rzędu p, VAR(p), ma postad gdzie oznacza wektor zmiennych endogenicznych modelu. Model VAR jest stabilny, jeżeli dla, tzn. wielomian

Bardziej szczegółowo

UNIWESRYTET EKONOMICZNY WE WROCŁAWIU HOSSA ProCAPITAL WYCENA OPCJI. Sebastian Gajęcki WYDZIAŁ NAUK EKONOMICZNYCH

UNIWESRYTET EKONOMICZNY WE WROCŁAWIU HOSSA ProCAPITAL WYCENA OPCJI. Sebastian Gajęcki WYDZIAŁ NAUK EKONOMICZNYCH UNIWESRYTET EKONOMICZNY WE WROCŁAWIU HOSSA ProCAPITAL WYCENA OPCJI Sebastian Gajęcki WYDZIAŁ NAUK EKONOMICZNYCH WPROWADZENIE Opcje są instrumentem pochonym, zatem takim, którego cena zależy o ceny instrumentu

Bardziej szczegółowo

Porównanie właściwości wybranych wektorowych regulatorów prądu w stanach dynamicznych w przekształtniku AC/DC

Porównanie właściwości wybranych wektorowych regulatorów prądu w stanach dynamicznych w przekształtniku AC/DC Piotr FALKOWSKI, Marian Roch DUBOWSKI Politechnika Białostocka, Wyział Elektryczny, Katera Energoelektroniki i Napęów Elektrycznych Porównanie właściwości wybranych wektorowych regulatorów prąu w stanach

Bardziej szczegółowo

WYKORZYSTANIE MODELI AUTOREGRESJI DO PROGNOZOWANIA SZEREGU CZASOWEGO ZWIĄZANEGO ZE SPRZEDAŻĄ ASORTYMENTU HUTNICZEGO

WYKORZYSTANIE MODELI AUTOREGRESJI DO PROGNOZOWANIA SZEREGU CZASOWEGO ZWIĄZANEGO ZE SPRZEDAŻĄ ASORTYMENTU HUTNICZEGO 5/18 ARCHIWUM ODLEWNICTWA Rok 2006, Rocznik 6, Nr 18 (1/2) ARCHIVES OF FOUNDRY Year 2006, Volume 6, N o 18 (1/2) PAN Katowice PL ISSN 1642-5308 WYKORZYSTANIE MODELI AUTOREGRESJI DO PROGNOZOWANIA SZEREGU

Bardziej szczegółowo

Algorytmy graficzne. Metody binaryzacji obrazów

Algorytmy graficzne. Metody binaryzacji obrazów Algorytmy graficzne Metoy binaryzacji obrazów Progowanie i binaryzacja Binaryzacja jest procesem konwersji obrazów kolorowych lub monochromatycznych (w ocieniach szarości) o obrazu wupoziomowego (binarnego).

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji Statystyka dla jakości produktów i usług Six sigma i inne strategie Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji StatSoft Polska Wybrane zagadnienia analizy korelacji Przy analizie zjawisk i procesów stanowiących

Bardziej szczegółowo

Efekt motyla i dziwne atraktory

Efekt motyla i dziwne atraktory O układzie Lorenza Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja kopernika Toruń, 3 grudnia 2009 Spis treści 1 Wprowadzenie Wyjaśnienie pojęć 2 O dziwnych atraktorach 3 Wyjaśnienie pojęć Dowolny

Bardziej szczegółowo

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych, IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy

Bardziej szczegółowo

Niestacjonarne zmienne czasowe własności i testowanie

Niestacjonarne zmienne czasowe własności i testowanie Materiał dla studentów Niestacjonarne zmienne czasowe własności i testowanie (studium przypadku) Część 3: Przykłady testowania niestacjonarności Nazwa przedmiotu: ekonometria finansowa I (22204), analiza

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCHY KOMPETENCJI EFEKTY KSZTAŁCENIA

WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCHY KOMPETENCJI EFEKTY KSZTAŁCENIA I. KARTA PRZEDMIOTU. Nazwa przedmiotu: MATEMATYKA STOSOWANA 2. Kod przedmiotu: Ms 3. Jednostka prowadząca: Wydział Nawigacji i Uzbrojenia Okrętowego 4. Kierunek: Nawigacja 5. Specjalność: Nawigacja morska

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 41 WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA ZAŁAMANIA ŚWIATŁA ZA POMOCĄ MIKROSKOPU. Kraków, luty 2004 - kwiecień 2015

ĆWICZENIE 41 WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA ZAŁAMANIA ŚWIATŁA ZA POMOCĄ MIKROSKOPU. Kraków, luty 2004 - kwiecień 2015 Józef Zapłotny, Maria Nowotny-Różańska Zakła Fizyki, Uniwersytet Rolniczy Do użytku wewnętrznego ĆWICZENIE 41 WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA ZAŁAMANIA ŚWIATŁA ZA POMOCĄ MIKROSKOPU Kraków, luty 2004 - kwiecień

Bardziej szczegółowo

Wpływ zdarzeń ekstremalnych i superekstermalnych na stochastyczną dynamikę szeregów czasowych

Wpływ zdarzeń ekstremalnych i superekstermalnych na stochastyczną dynamikę szeregów czasowych Proc. niegaussowskie Smoki Metodologia Symulacje Podsumowanie Wpływ zdarzeń ekstremalnych i superekstermalnych na stochastyczną dynamikę szeregów czasowych T.R. Werner 1 T. Gubiec 2 P. Kosewski 2 R. Kutner

Bardziej szczegółowo

Optyka 2. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Optyka 2. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Optka Projekt współinansowan przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funuszu Społecznego Optka II Promień świetln paając na powierzchnię zwierciała obija się zgonie z prawem obicia omówionm w poprzeniej

Bardziej szczegółowo

PROGNOZOWANIE PRZYCHODÓW ZE SPRZEDAŻY

PROGNOZOWANIE PRZYCHODÓW ZE SPRZEDAŻY Joanna Chrabołowska Joanicjusz Nazarko PROGNOZOWANIE PRZYCHODÓW ZE SPRZEDAŻY NA PRZYKŁADZIE PRZEDSIĘBIORSTWA HANDLOWEGO TYPU CASH & CARRY Wprowadzenie Wśród wielu prognoz szczególną rolę w zarządzaniu

Bardziej szczegółowo

ANALIZA NUMERYCZNA ROZKŁADU TEMPERATURY W ZEWNĘTRZNEJ PRZEGRODZIE PIONOWEJ

ANALIZA NUMERYCZNA ROZKŁADU TEMPERATURY W ZEWNĘTRZNEJ PRZEGRODZIE PIONOWEJ Buownictwo o zoptymalizowanym potencjale energetycznym 1(13) 2014, s. 22-27 Anna DERLATKA, Piotr LACKI Politechnika Częstochowska ANALIZA NUMERYCZNA ROZKŁADU TEMPERATURY W ZEWNĘTRZNEJ PRZEGRODZIE PIONOWEJ

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1.

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1. tel. 44 683 1 55 tel. kom. 64 566 811 e-mail: biuro@wszechwiedza.pl Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: gdzie: y t X t y t = 1 X 1

Bardziej szczegółowo

Specjalistyczna Pracownia Komputerowa Obliczanie widma Lapunowa

Specjalistyczna Pracownia Komputerowa Obliczanie widma Lapunowa Arkadiusz Neubauer IV rok, Fizyka z Informatyką. Specjalistyczna Pracownia Komputerowa Obliczanie widma Lapunowa 1 Problem fizyczny W poniższej pracy przedstawiono numeryczną metodę obliczania widma Lapunowa

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyczna teoria korelacji i regresji (1) Jest to dział statystyki zajmujący

Bardziej szczegółowo

1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia

1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia 1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia Definicja wielomianu. Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję w określoną wzorem w(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, przy

Bardziej szczegółowo

Geometria płaska - matura Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości 3 7cm poprowadzona z wierzchołka kąta prostego ma długość: 12

Geometria płaska - matura Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości 3 7cm poprowadzona z wierzchołka kąta prostego ma długość: 12 Geometria płaska - matura 010 1. Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają ługości 7cm i 4 7cm. Wysokość poprowazona z wierzchołka kąta prostego ma ługość: 1 5 A. 7cm B. cm C. 8 7cm D. 7 7cm 5 7. Miara

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem

Bardziej szczegółowo

METODA OCENY PSR PIESZYCH NA OSYGNALIZOWANYCH PRZEJŚCIACH POZIOMYCH

METODA OCENY PSR PIESZYCH NA OSYGNALIZOWANYCH PRZEJŚCIACH POZIOMYCH POBLEMY KOMUNIKACYJNE MIAST W WAUNKACH ZATŁOCZENIA MOTOYZACYJNEGO IX Konferencja Naukowo-Techniczna Poznań-osnówko 19-21.06.2013 Jarosław CHMIELEWSKI* *) inż., Koło Naukowe Miasto w ruchu, Politechnika

Bardziej szczegółowo

3. Modele tendencji czasowej w prognozowaniu

3. Modele tendencji czasowej w prognozowaniu II Modele tendencji czasowej w prognozowaniu 1 Składniki szeregu czasowego W teorii szeregów czasowych wyróżnia się zwykle następujące składowe szeregu czasowego: a) składowa systematyczna; b) składowa

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum

Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum Poziom rozszerzony Obowiązują wymagania z zakresu podstawowego oraz dodatkowo: FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE zaznacza kąt w układzie współrzędnych, wskazuje

Bardziej szczegółowo

Systemy. Krzysztof Patan

Systemy. Krzysztof Patan Systemy Krzysztof Patan Systemy z pamięcią System jest bez pamięci (statyczny), jeżeli dla dowolnej chwili t 0 wartość sygnału wyjściowego y(t 0 ) zależy wyłącznie od wartości sygnału wejściowego w tej

Bardziej szczegółowo

1. Stacjonarnośd i niestacjonarnośd szeregów czasowych 2. Test ADF i test KPSS 3. Budowa modeli ARMA dla zmiennych niestacjonarnych 4.

1. Stacjonarnośd i niestacjonarnośd szeregów czasowych 2. Test ADF i test KPSS 3. Budowa modeli ARMA dla zmiennych niestacjonarnych 4. 1. Stacjonarnośd i niestacjonarnośd szeregów czasowych 2. Test ADF i test KPSS 3. Budowa modeli ARMA dla zmiennych niestacjonarnych 4. Prognozowanie stóp zwrotu na podstawie modeli ARMA 5. Relacje kointegrujące

Bardziej szczegółowo

Ścieżka rozwoju polskiej gospodarki w latach gospodarki w latach W tym celu wykorzystana zostanie metoda diagramowa,

Ścieżka rozwoju polskiej gospodarki w latach gospodarki w latach W tym celu wykorzystana zostanie metoda diagramowa, Barbara Batóg, Jacek Batóg Uniwersytet Szczeciński Ścieżka rozwoju polskiej gospodarki w latach - W artykule podjęta zostanie próba analizy, diagnozy i prognozy rozwoju polskiej gospodarki w latach -.

Bardziej szczegółowo

Ważny przykład oscylator harmoniczny

Ważny przykład oscylator harmoniczny 6.03.00 6. Ważny przykła oscylator harmoniczny 73 Rozział 6 Ważny przykła oscylator harmoniczny 6. Wprowazenie Klasyczny, jenowymiarowy oscylator harmoniczny opowiaa potencjałowi energii potencjalnej:

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.)

PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) Równanie prostej w postaci ogólnej Wzajemne połoŝenie dwóch prostych Nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi

Bardziej szczegółowo

METODY WYZNACZANIA CHARAKTERYSTYK PRZEPŁYWOWYCH DŁAWIKÓW HYDRAULICZNYCH

METODY WYZNACZANIA CHARAKTERYSTYK PRZEPŁYWOWYCH DŁAWIKÓW HYDRAULICZNYCH METODY WYZNACZANIA CHARAKTERYSTYK PRZEPŁYWOWYCH DŁAWIKÓW HYDRAULICZNYCH Małgorzata SIKORA 1 1. WPROWADZENIE Łożyska oraz prowanice hyrostatyczne jako ukłay hyrauliczne zasilane olejem o stałym ciśnieniu

Bardziej szczegółowo

Rozdział 8: Podstawowe zadania geodezyjne z rachunku współrzędnych

Rozdział 8: Podstawowe zadania geodezyjne z rachunku współrzędnych 183 Rozział 8: ostawowe zaania geoezyjne z rachunku współrzęnych 8.1. Orientacja pomiarów geoezyjnych W rozziale 1 przestawiliśmy krótką charakterystykę ukłaów współrzęnych stosowanych w geoezji, w tym

Bardziej szczegółowo

KOOF Szczecin: www.of.szc.pl

KOOF Szczecin: www.of.szc.pl LVIII OLIMPIADA FIZYCZNA (2008/2009). Stopień II, zaanie oświaczalne D. Źróło: Autor: Nazwa zaania: Działy: Słowa kluczowe: Komitet Główny Olimpiay Fizycznej. Ernest Groner Komitet Główny Olimpiay Fizycznej,

Bardziej szczegółowo

Ć W I C Z E N I E N R E-17

Ć W I C Z E N I E N R E-17 INSTYTUT FIZYKI WYDZIAŁ INŻYNIERII PRODUKCJI I TECHNOLOGII MATERIAŁÓW POLITECHNIKA CZĘSTOCHOWSKA PRACOWNIA ELEKTRYCZNOŚCI I MAGNETYZMU Ć W I C Z E N I E N R E-17 WYZNACZANIE STAŁEJ DIELEKTRYCZNEJ RÓŻNYCH

Bardziej szczegółowo

Matematyka licea ogólnokształcące, technika

Matematyka licea ogólnokształcące, technika Matematyka licea ogólnokształcące, technika Opracowano m.in. na podstawie podręcznika MATEMATYKA w otaczającym nas świecie zakres podstawowy i rozszerzony Funkcja liniowa Funkcję f: R R określoną wzorem

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

Metody Prognozowania

Metody Prognozowania Wprowadzenie Ewa Bielińska 3 października 2007 Plan 1 Wprowadzenie Czym jest prognozowanie Historia 2 Ciągi czasowe Postępowanie prognostyczne i prognozowanie Predykcja długo- i krótko-terminowa Rodzaje

Bardziej szczegółowo

Prognozowanie na podstawie modelu ekonometrycznego

Prognozowanie na podstawie modelu ekonometrycznego Prognozowanie na podstawie modelu ekonometrycznego Przykład. Firma usługowa świadcząca usługi doradcze w ostatnich kwartałach (t) odnotowała wynik finansowy (yt - tys. zł), obsługując liczbę klientów (x1t)

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie ciągłych układów chaotycznych do bezpiecznej komunikacji. Karol Jastrzębski

Zastosowanie ciągłych układów chaotycznych do bezpiecznej komunikacji. Karol Jastrzębski Zastosowanie ciągłych układów chaotycznych do bezpiecznej komunikacji Karol Jastrzębski kjastrze@elka.pw.edu.pl Plan prezentacji Teoria chaosu wprowadzenie Cechy sygnału chaotycznego Obwód Chuy oscylator

Bardziej szczegółowo

Pole temperatury - niestacjonarne (temperatura zależy od położenia elementu ciała oraz czasu)

Pole temperatury - niestacjonarne (temperatura zależy od położenia elementu ciała oraz czasu) PODSAWY WYMIANY CIEPŁA. Postawowe pojęcia w wymianie ciepła Sposoby transportu ciepła: przewozenie konwekcja - swobona - wymuszona promieniowanie ransport ciepła w ciałach stałych obywa się na roze przewozenia.

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015

Metody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015 Metody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015 1 Metody numeryczne Dział matematyki Metody rozwiązywania problemów matematycznych za pomocą operacji na liczbach. Otrzymywane

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Wykład XII: Zagadnienia redukcji wymiaru danych 12 maja 2014 Definicja Niech X będzie zmienną losową o skończonym drugim momencie. Standaryzacją zmiennej X nazywamy zmienną losową Z = X EX Var (X ). Definicja

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OPTYMALIZCJI BEZ OGRANICZEŃ

ZADANIA OPTYMALIZCJI BEZ OGRANICZEŃ ZADANIA OPTYMALIZCJI BEZ OGRANICZEŃ Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTEP Zadanie minimalizacji bez ograniczeń f(ˆx) = min x R nf(x) f : R n R funkcja ograniczona z dołu Algorytm rozwiazywania Rekurencyjny

Bardziej szczegółowo

Korelacje krzyżowe kryzysów finansowych w ujęciu korelacji potęgowych. Analiza ewolucji sieci na progu liniowości.

Korelacje krzyżowe kryzysów finansowych w ujęciu korelacji potęgowych. Analiza ewolucji sieci na progu liniowości. Korelacje krzyżowe kryzysów finansowych w ujęciu korelacji potęgowych. Analiza ewolucji sieci na progu liniowości. Cross-correlations of financial crisis analysed by power law classification scheme. Evolving

Bardziej szczegółowo

= Zapiszemy poniższy układ w postaci macierzy. 8+$+ 2&=4 " 5 3$ 7&=0 5$+7&=4

= Zapiszemy poniższy układ w postaci macierzy. 8+$+ 2&=4  5 3$ 7&=0 5$+7&=4 17. Układ równań 17.1 Co nazywamy układem równań liniowych? Jak zapisać układ w postaci macierzowej (pokazać również na przykładzie) Co to jest rozwiązanie układu? Jaki układ nazywamy jednorodnym, sprzecznym,

Bardziej szczegółowo

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne: Prosto do matury klasa d Rok szkolny 014/015 WYMAGANIA EDUKACYJNE Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

Matematyka bankowa 1 1 wykład

Matematyka bankowa 1 1 wykład Matematyka bankowa 1 1 wykład Dorota Klim Department of Nonlinear Analysis, Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Łódź, Banacha 22, 90-238 Łódź, Poland E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl

Bardziej szczegółowo

Budowa sztucznych sieci neuronowych do prognozowania. Przykład jednostek uczestnictwa otwartego funduszu inwestycyjnego

Budowa sztucznych sieci neuronowych do prognozowania. Przykład jednostek uczestnictwa otwartego funduszu inwestycyjnego Budowa sztucznych sieci neuronowych do prognozowania. Przykład jednostek uczestnictwa otwartego funduszu inwestycyjnego Dorota Witkowska Szkoła Główna Gospodarstwa Wiejskiego w Warszawie Wprowadzenie Sztuczne

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni ,5 1

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni ,5 1 Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ B Nazwa w języku angielskim Algebra and Analytic Geometry B Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność

Bardziej szczegółowo

REKONSTRUKCJA ATRAKTORA MONARCHY SAFYE NA PODSTAWIE SZEREGÓW CZASOWYCH

REKONSTRUKCJA ATRAKTORA MONARCHY SAFYE NA PODSTAWIE SZEREGÓW CZASOWYCH ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MARYNARKI WOJENNEJ ROK LIII NR 1 (188) 2012 Hubert Wysocki Akademia Marynarki Wojennej REKONSTRUKCJA ATRAKTORA MONARCHY SAFYE NA PODSTAWIE SZEREGÓW CZASOWYCH STRESZCZENIE W artykule

Bardziej szczegółowo

Prace magisterskie 1. Założenia pracy 2. Budowa portfela

Prace magisterskie 1. Założenia pracy 2. Budowa portfela 1. Założenia pracy 1 Założeniem niniejszej pracy jest stworzenie portfela inwestycyjnego przy pomocy modelu W.Sharpe a spełniającego następujące warunki: - wybór akcji 8 spółek + 2 papiery dłużne, - inwestycja

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. Modele regresji wielorakiej - dobór zmiennych, szacowanie. Paweł Cibis pawel@cibis.pl. 1 kwietnia 2007

Ekonometria. Modele regresji wielorakiej - dobór zmiennych, szacowanie. Paweł Cibis pawel@cibis.pl. 1 kwietnia 2007 Modele regresji wielorakiej - dobór zmiennych, szacowanie Paweł Cibis pawel@cibis.pl 1 kwietnia 2007 1 Współczynnik zmienności Współczynnik zmienności wzory Współczynnik zmienności funkcje 2 Korelacja

Bardziej szczegółowo

Dopasowywanie modelu do danych

Dopasowywanie modelu do danych Tematyka wykładu dopasowanie modelu trendu do danych; wybrane rodzaje modeli trendu i ich właściwości; dopasowanie modeli do danych za pomocą narzędzi wykresów liniowych (wykresów rozrzutu) programu STATISTICA;

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie

Bardziej szczegółowo

parametrów strukturalnych modelu = Y zmienna objaśniana, X 1,X 2,,X k zmienne objaśniające, k zmiennych objaśniających,

parametrów strukturalnych modelu = Y zmienna objaśniana, X 1,X 2,,X k zmienne objaśniające, k zmiennych objaśniających, 诲 瞴瞶 瞶 ƭ0 ƭ 瞰 parametrów strukturalnych modelu Y zmienna objaśniana, = + + + + + X 1,X 2,,X k zmienne objaśniające, k zmiennych objaśniających, α 0, α 1, α 2,,α k parametry strukturalne modelu, k+1 parametrów

Bardziej szczegółowo

Granica funkcji. 16 grudnia Wykład 5

Granica funkcji. 16 grudnia Wykład 5 Granica funkcji 16 grudnia 2010 Tw. o trzech funkcjach Twierdzenie Niech f, g, h : R D R będa funkcjami takimi, że lim f (x) = lim h(x), x x 0 x x0 gdzie x 0 D. Jeżeli istnieje otoczenie punktu x 0 w którym

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL. sin x2 (1)

ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL. sin x2 (1) ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL 1. Problem Rozważmy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi (x 1, x 2 ): 1 x1 sin x2 x2 cos x1 (1) Nie jest

Bardziej szczegółowo

K wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys. jp.

K wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys. jp. Sprawdzian 2. Zadanie 1. Za pomocą KMNK oszacowano następującą funkcję produkcji: Gdzie: P wartość produkcji, w tys. jp (jednostek pieniężnych) K wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys.

Bardziej szczegółowo

EKONOMIA XL NAUKI HUMANISTYCZNO-SPOŁECZNE ZESZYT 391 TORUŃ Joanna Górka WŁASNOŚCI PROGNOSTYCZNE MODELI KLASY RCA *

EKONOMIA XL NAUKI HUMANISTYCZNO-SPOŁECZNE ZESZYT 391 TORUŃ Joanna Górka WŁASNOŚCI PROGNOSTYCZNE MODELI KLASY RCA * ACTA UNIVERSITATIS NICOLAI COPERNICI EKONOMIA XL NAUKI HUMANISTYCZNO-SPOŁECZNE ZESZYT 391 TORUŃ 2009 Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Katedra Ekonometrii i Statystyki Joanna Górka WŁASNOŚCI PROGNOSTYCZNE

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI

MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI Daniel Wójcik Instytut Biologii Doświadczalnej PAN Szkoła Wyższa Psychologii Społecznej d.wojcik@nencki.gov.pl dwojcik@swps.edu.pl tel. 022 5892 424 http://www.neuroinf.pl/members/danek/swps/

Bardziej szczegółowo

Pole temperatury - niestacjonarne (temperatura zależy od położenia elementu ciała oraz czasu)

Pole temperatury - niestacjonarne (temperatura zależy od położenia elementu ciała oraz czasu) PODSAWY WYMIANY CIEPŁA. Postawowe pojęcia w wymianie ciepła Sposoby transportu ciepła: przewozenie konwekcja - swobona - wymuszona promieniowanie ransport ciepła w ciałach stałych obywa się na roze przewozenia.

Bardziej szczegółowo

Modelowanie glikemii w procesie insulinoterapii

Modelowanie glikemii w procesie insulinoterapii Dawid Kaliszewski Modelowanie glikemii w procesie insulinoterapii Promotor dr hab. inż. Zenon Gniazdowski Cel pracy Zbudowanie modelu predykcyjnego przyszłych wartości glikemii diabetyka leczonego za pomocą

Bardziej szczegółowo

Tabela specyfikacji Kontraktów Różnic Kursowych (CFD) HFT Brokers Dom Maklerski SA Pakiet ACTIVE STP Robotero

Tabela specyfikacji Kontraktów Różnic Kursowych (CFD) HFT Brokers Dom Maklerski SA Pakiet ACTIVE STP Robotero 1 Tabela specyfikacji Kontraktów Różnic Kursowych (CFD) Dom Maklerski SA Pakiet ACTIVE STP Robotero 1. Kontrakty Różnic Kursowych CFD z dnia 21 października 2014 roku krok AUDCAD.stp kanadyjskiego AUDCHF.stp

Bardziej szczegółowo

Agnieszka Nowak Brzezińska

Agnieszka Nowak Brzezińska Agnieszka Nowak Brzezińska jeden z algorytmów regresji nieparametrycznej używanych w statystyce do prognozowania wartości pewnej zmiennej losowej. Może również byd używany do klasyfikacji. - Założenia

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania

Przykładowe rozwiązania Przykładowe rozwiązania (E. Ludwikowska, M. Zygora, M. Walkowiak) Zadanie 1. Rozwiąż równanie: w przedziale. ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) Uwzględniając, że x otrzymujemy lub lub lub. Zadanie. Dany jest czworokąt

Bardziej szczegółowo

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ MATEMATYKA Klasa III ZAKRES PODSTAWOWY Dział programu Temat Wymagania. Uczeń: 1. Miara łukowa kąta zna pojęcia: kąt skierowany, kąt

Bardziej szczegółowo

Analiza szeregów czasowych: 5. Liniowe modele stochastyczne

Analiza szeregów czasowych: 5. Liniowe modele stochastyczne Analiza szeregów czasowych: 5. Liniowe modele stochastyczne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2006/07 Dwa rodzaje modelowania 1. Modelowanie z pierwszych zasad. Znamy prawa

Bardziej szczegółowo

Pakiet ACTIVE STP Carry FX

Pakiet ACTIVE STP Carry FX 1 Pakiet ACTIVE STP Carry FX z dnia 2 listopada 2015 roku AUDCAD.ct australijskiego do dolara AUDCHF.ct australijskiego do franka AUDJPY.ct australijskiego do jena AUD 100 000 0.01 0.001 od 0.006% od 0

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE POLSKIEJ GOSPODARKI Z PAKIETEM R Michał Rubaszek

MODELOWANIE POLSKIEJ GOSPODARKI Z PAKIETEM R Michał Rubaszek Tytuł: Autor: MODELOWANIE POLSKIEJ GOSPODARKI Z PAKIETEM R Michał Rubaszek Wstęp Książka "Modelowanie polskiej gospodarki z pakietem R" powstała na bazie materiałów, które wykorzystywałem przez ostatnie

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie układów równań liniowych

Rozwiązywanie układów równań liniowych Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy

Bardziej szczegółowo

Rozkład wyników ogólnopolskich

Rozkład wyników ogólnopolskich Rozkład wyników ogólnopolskich 1 9 8 7 procent uczniów 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3 31 32 33 34 35 36 37 38 39 4 41 42 43 44 45 46 47 48 49

Bardziej szczegółowo

Finansowe szeregi czasowe

Finansowe szeregi czasowe 24 kwietnia 2009 Modelem szeregu czasowego jest proces stochastyczny (X t ) t Z, czyli rodzina zmiennych losowych, indeksowanych liczbami całkowitymi i zdefiniowanych na pewnej przestrzeni probabilistycznej

Bardziej szczegółowo

Wpływ czynników zewnętrznych na obciążalność kabli

Wpływ czynników zewnętrznych na obciążalność kabli Wpływ czynników zewnętrznych na obciążalność kabli Wybrane zaganienia Franciszek Spyra ZPBE Energopomiar Elektryka Gliwice Wstęp W artykule przestawiono wpływ czynników zewnętrznych na obciążalność kabli.

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania z teorii liczb

Przykładowe zadania z teorii liczb Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE ANALIZY SKUPIE W ESTYMACJI REGRESYJNEJ DLA MA YCH OBSZARÓW

ZASTOSOWANIE ANALIZY SKUPIE W ESTYMACJI REGRESYJNEJ DLA MA YCH OBSZARÓW A C A U N I V E R S I A I S L O D Z I E N S I S FOLIA OECONOMICA 7, 0 * ZASOSOWANIE ANALIZY SKUPIE W ESYMACJI REGRESYJNEJ DLA MA YCH OBSZARÓW Streszczenie. W estymacji regresyjnej parametrów ma ych obszarów

Bardziej szczegółowo

OCENA STABILNOŚCI WYNIKÓW KLASYFIKACJI WOJEWÓDZTW POLSKI POD WZGLĘDEM POZIOMU ŻYCIA LUDNOŚCI

OCENA STABILNOŚCI WYNIKÓW KLASYFIKACJI WOJEWÓDZTW POLSKI POD WZGLĘDEM POZIOMU ŻYCIA LUDNOŚCI METODY ILOŚCIOWE W BADANIACH EKONOMICZNYCH Tom XIII/3 01 str. 159 168 OCENA STABILNOŚCI WYNIKÓW KLASYFIKACJI WOJEWÓDZTW POLSKI POD WZGLĘDEM POZIOMU ŻYCIA LUDNOŚCI Małgorzata Machowska-Szewczyk Katera Meto

Bardziej szczegółowo

PROGNOZOWANIE I SYMULACJE EXCEL 1 AUTOR: MARTYNA MALAK PROGNOZOWANIE I SYMULACJE EXCEL 1 AUTOR: MARTYNA MALAK

PROGNOZOWANIE I SYMULACJE EXCEL 1 AUTOR: MARTYNA MALAK PROGNOZOWANIE I SYMULACJE EXCEL 1 AUTOR: MARTYNA MALAK 1 PROGNOZOWANIE I SYMULACJE 2 http://www.outcome-seo.pl/excel1.xls DODATEK SOLVER WERSJE EXCELA 5.0, 95, 97, 2000, 2002/XP i 2003. 3 Dodatek Solver jest dostępny w menu Narzędzia. Jeżeli Solver nie jest

Bardziej szczegółowo

Wstęp. System pomiarowy. Przemysław Słota I Liceum Ogólnokształcące Bytom, Grupa Twórcza Quark Pałac Młodzieży w Katowicach

Wstęp. System pomiarowy. Przemysław Słota I Liceum Ogólnokształcące Bytom, Grupa Twórcza Quark Pałac Młodzieży w Katowicach Przemysław Słota I Liceum Ogólnokształcące Bytom, Grupa Twórcza Quark Pałac Młodzieży w Katowicach 1. Wymyśl sam Wiadomo, że niektóre obwody elektryczne wykazują zachowanie chaotyczne. Zbuduj prosty układ

Bardziej szczegółowo

EUR / USD 1,3615 / 1,3620

EUR / USD 1,3615 / 1,3620 EUR / USD 1,3615 / 1,3620 waluta kupno / sprzedaŝ bazowa / notowana BID / OFFER (ASK) Zadanie 1 Bank kwotuje następujący kurs walutowy: USD/SEK = 7,3020/40 Wyznacz: 1. walutę bazową.. 4. kurs sprzedaŝy

Bardziej szczegółowo

7. Funkcje elementarne i ich własności.

7. Funkcje elementarne i ich własności. Misztal Aleksandra, Herman Monika 7. Funkcje elementarne i ich własności. Definicja funkcji elementarnej Podstawowymi funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje: stałe potęgowe, np. wykładnicze logarytmiczne

Bardziej szczegółowo

Program zajęć pozalekcyjnych z matematyki poziom rozszerzony- realizowanych w ramach projektu Przez naukę i praktykę na Politechnikę

Program zajęć pozalekcyjnych z matematyki poziom rozszerzony- realizowanych w ramach projektu Przez naukę i praktykę na Politechnikę Program zajęć pozalekcyjnych z matematyki poziom rozszerzony- realizowanych w ramach projektu Przez naukę i praktykę na Politechnikę 1. Omówienie programu. Zaznajomienie uczniów ze źródłami finansowania

Bardziej szczegółowo

Przekształcenie całkowe Fouriera

Przekształcenie całkowe Fouriera Przekształcenie całkowe Fouriera Postać zespolona szeregu Fouriera Niech ana bęzie funkcja f spełniająca w przeziale [, ] warunki Dirichleta. Wtey szereg Fouriera tej funkcji jest o niej zbieżny, tj. przy

Bardziej szczegółowo

Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI

Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI MATEMATYKA ZAKRES PODSTAWOWY Rok szkolny 01/013 Klasa: II Nauczyciel: Mirosław Kołomyjski Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI Lp. Zagadnienie Osiągnięcia ucznia. 1. Podstawowe własności funkcji.. Podaje określenie

Bardziej szczegółowo

POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny

POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny Funkcja Falowa Postulat 1 Dla każdego układu istnieje funkcja falowa (funkcja współrzędnych i czasu), która jest ciągła, całkowalna w kwadracie,

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy. Klasa III Technik pojazdów samochodowych/ Technik urządzeń i systemów energetyki odnawialnej. Kształcenie ogólne w zakresie podstawowym

Plan wynikowy. Klasa III Technik pojazdów samochodowych/ Technik urządzeń i systemów energetyki odnawialnej. Kształcenie ogólne w zakresie podstawowym Oznaczenia: wymagania konieczne, P wymagania podstawowe, R wymagania rozszerzające, D wymagania dopełniające, W wymagania wykraczające. Plan wynikowy lasa III Technik pojazdów samochodowych/ Technik urządzeń

Bardziej szczegółowo

Hierarchiczna analiza skupień

Hierarchiczna analiza skupień Hierarchiczna analiza skupień Cel analizy Analiza skupień ma na celu wykrycie w zbiorze obserwacji klastrów, czyli rozłącznych podzbiorów obserwacji, wewnątrz których obserwacje są sobie w jakimś określonym

Bardziej szczegółowo

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 4 (Materiały)

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 4 (Materiały) Analiza wrażliwości Rozwiązanie programu liniowego jest dopiero początkiem analizy. Z punktu widzenia decydenta (menadżera) jest istotne, żeby wiedzieć jak na rozwiązanie optymalne wpływają zmiany parametrów

Bardziej szczegółowo

1. Potęgi. Logarytmy. Funkcja wykładnicza

1. Potęgi. Logarytmy. Funkcja wykładnicza 1. Potęgi. Logarytmy. Funkcja wykładnicza Tematyka zajęć: WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY KL. 3 POZIOM PODSTAWOWY Potęga o wykładniku rzeczywistym powtórzenie Funkcja wykładnicza i jej własności

Bardziej szczegółowo

czyli o szukaniu miejsc zerowych, których nie ma

czyli o szukaniu miejsc zerowych, których nie ma zerowych, których nie ma Instytut Fizyki im. Mariana Smoluchowskiego Centrum Badania Systemów Złożonych im. Marka Kaca Uniwersytet Jagielloński Metoda Metoda dla Warszawa, 9 stycznia 2006 Metoda -Raphsona

Bardziej szczegółowo