WPŁYW REDUKCJI SZUMU LOSOWEGO METODĄ NAJBLIŻSZYCH SĄSIADÓW NA WYNIKI PROGNOZ OTRZYMANYCH ZA POMOCĄ NAJWIĘKSZEGO WYKŁADNIKA LAPUNOWA

Transkrypt

1 Monika Miśkiewicz-Nawrocka Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach WPŁYW REDUKCJI SZUMU LOSOWEGO MEODĄ NAJBLIŻSZYCH SĄSIADÓW NA WYNIKI PROGNOZ ORZYMANYCH ZA POMOCĄ NAJWIĘKSZEGO WYKŁADNIKA LAPUNOWA Wprowazenie Problem prognozowania zjawisk ekonomicznych jest problemem trunym, który próbuje się rozwiązywać różnymi metoami. O momentu pojawienia się w literaturze pojęcia eterministycznego chaosu, poejmuje się próby prognozowania realnych zjawisk na postawie pojęć i meto teorii nieliniowych ukłaów ynamicznych. Jenym z narzęzi tej teorii są wykłaniki Lapunowa, które mierzą wrażliwość ukłau na zmianę warunków początkowych, czyli chaotyczność ukłau ynamicznego. Największy wykłanik Lapunowa pozwala określić, jak barzo zmienia się (zwiększa lub zmniejsza) oległość pomięzy bieżącym stanem x N ukłau a jego najbliższym sąsiaem x i poczas ewolucji ukłau oraz oszacować oległość pomięzy ich następnikami x N+ i x i+. Na postawie tej oległości można wyznaczyć wartość prognozy x ˆ N + [Guégan, Leroux, 2009, s. 240; Zhang et al., 2004, s. 3]. Metoa najbliższych sąsiaów wywozi się z teorii nieliniowych ukłaów ynamicznych i została stworzona o prognozowania przyszłych wartości szeregów czasowych [Lorenz, 969, s ], ale może być również stosowana o reukcji szumu losowego w szeregach czasowych. Rzeczywiste szeregi czasowe (s t ) skłaają się z części eterministycznej szeregu (y t ) oraz części stochastycznej szeregu (ε t ), która wyraża poziom szumu losowego, reprezentującego szum ob-

2 WPŁYW REDUKCJI SZUMU LOSOWEGO 83 serwacyjny, systemowy lub kombinację szumu obserwacyjnego i systemowego. Reukcja szumu losowego pozwala poznać własności szeregu (y t ) na postawie analizy szeregu obserwacji (s t ). Celem pracy jest ocena okłaności oraz porównanie prognoz otrzymanych za pomocą największego wykłanika Lapunowa la wybranych szeregów czasowych, prze i po zastosowaniu proceury reukcji szumu losowego metoą najbliższych sąsiaów. Baania empiryczne przeprowazono na postawie rzeczywistych anych natury ekonomicznej, tj. szeregów utworzonych z notowań kursów walut: CHF, EUR, GBP, JPY, USD wobec złotego, cen zamknięcia: Dębicy, ING Banku Śląskiego, LPP SA, Mostostalu Zabrze, Vistuli, oraz ineksów giełowych: WIG i WIG20. Do przeprowazenia niezbęnych obliczeń wykorzystano program napisany przez autora w języku Delhi, arkusz kalkulacyjny Excel oraz program GREL.. Szeregi czasowe Rzeczywisty szereg czasowy jest yskretnym ukłaem ynamicznym (X, f) opisanym za pomocą zależności [Nowiński, 2007, s. 24]: x t+ = f(x t + η t ), () s t+ = h(x t+ ) + ξ t, t = 0,,2, (2) gzie: X R m, X przestrzeń stanów, f : X X m-wymiarowe owzorowanie opisujące rzeczywistą ynamikę ukłau, h : X R funkcja pomiarowa generująca szereg czasowy obserwacji s t ukłau ynamicznego, x t, x t+ X stan nieznanego, pierwotnego ukłau wielowymiarowego opowienio w chwilach t, t+, s t+ obserwacja szeregu czasowego w chwili t+, η t szum ynamiczny wewnątrz ukłau, ξ t szum pomiarowy. Krótko, można zapisać rzeczywisty szereg czasowy jako: s t = y t + ε t, (3) gzie: y t część eterministyczna szeregu czasowego, ε t część stochastyczna szeregu czasowego (szum losowy skłaający się z szumu obserwacyjnego, systemowego lub ich kombinacji).

3 84 Monika Miśkiewicz-Nawrocka 2. Największy wykłanik Lapunowa Dla ukłau ynamicznego (X, f), w którym X R m, f : X X (m ), wykłaniki Lapunowa są zefiniowane jako granice [Zawazki, 996, s. 6]: λi ( x0 ) = lim ln μi ( n, x0 ), gzie: i =,,m, (4) n n gzie: i =,, m, μ i (n, x 0 ) wartości własne macierzy Df n (x 0 ), Df n (x 0 ) macierz Jacobiego owzorowania f n równą Df n (x 0 ) = Df(x n ) Df(x ) Df(x 0 ), f i Df ( x) = ( x), x j f i skłaowe owzorowania f, i, j =,2,, m. i =,, m. Zgonie z twierzeniem Oseleeca [968, s ], la m-wymiarowego ukłau ynamicznego istnieje m wykłaników Lapunowa, spełniających warunek: λ i λ i+, la i =,, m. Jenak najważniejszy jest największy z nich, który mierzy śrenie tempo zbieżności i rozbieżności wóch początkowo barzo bliskich trajektorii. Doatnia wartość największego wykłanika jest głównym wskaźnikiem ynamiki chaotycznej. Uowoniono, że prawziwa jest następująca zależność [Eckmann, Ruelle, 985, s. 630; Kantz, Schreiber, 2004, s. 67]: kλmax Δ Δ, (5) gzie λ max największy wykłanik Lapunowa, Δ k <<, k >> *. k Jeśli λ max jest oatnie, to z powyższego wzoru wynika, że początkowo bliskie sobie stany rozbiegają się (oalają się o siebie) w tempie wykłaniczym, co najwyżej równym największemu wykłanikowi Lapunowa. W związku z tym, że wie trajektorie nie mogą oalić się o siebie na oległość większą niż rozmiar atraktora, przybliżona równość (5) jest prawziwa tylko la takich k, la których Δ k pozostaje małe. 0 e * a << b oznacza, że a jest użo mniejsze niż b.

4 WPŁYW REDUKCJI SZUMU LOSOWEGO 85 Po obustronnym zlogarytmowaniu równania (5) uzyskano: ln Δ k = ln Δ 0 + kλ max. (6) W praktyce największy wykłanik Lapunowa szacuje się jako współczynnik kierunkowy regresji równania (6) [Rosenstein, Collins et al. 993, s. 7-34; Kantz, 994, s ]. 3. Prognozowanie szeregów czasowych metoa LEM * Należy rozważyć jenowymiarowy szereg czasowy złożony z N obserwacji (s, s 2,, s N ). W zrekonstruowanej przestrzeni stanów ** każa obserwacja s t, ( )τ + t N jest związana z wektorem zanurzenia (-historią), który powstaje w wyniku przesunięcia oryginalnego szeregu czasowego o pewną stałą wartość opóźnienia czasowego τ. Elementami zrekonstruowanej -wymiarowej przestrzeni stanów są więc -wymiarowe punkty (-historie) zwane wektorami opóźnień, ane wzorem [Packer et al., 980, s ; akens, 98, s ]: ( ) s i = si, si τ, si 2 τ,..., si ( ) τ, (7) gzie: i = ( )τ +,, N, s i obserwacje oryginalnego szeregu, i =,, N, wymiar rekonstruowanej przestrzeni (zwany również wymiarem zanurzenia), τ opóźnienie czasowe. Przeprowazenie rekonstrukcji przestrzeni stanów ukłau ynamicznego wymaga ustalenia wartości parametrów τ i m. Nie istnieje jenak jenoznaczna metoa wyznaczenia wartości opóźnienia τ oraz minimalnego wymiaru zanurzenia m. Wartość opóźnienia czasowego τ można oszacować na postawie funkcji autokorelacji lub funkcji informacji wzajemnej [Kantz, Schreiber, 2004, s. 50]. Przy ustalaniu minimalnego wymiaru opóźnienia powszechnie stosowaną jest metoa pozornych najbliższych sąsiaów [Kennel et al., 992]. Spośró wszystkich wektorów s t zrekonstruowanej przestrzeni stanów należy wybrać wektor najbliższy (w sensie oległości eukliesowej) wektorowi s i oznaczyć przez s min. Niech Δ min oznacza oległość pomięzy s oraz N N * Lyapunov Exponent Metho. ** Rekonstrukcja przestrzeni stanów polega na otworzeniu na postawie jenowymiarowego ciągu obserwacji, przestrzeni stanów ukłau ynamicznego.

5 86 Monika Miśkiewicz-Nawrocka s min, a Δ oległość pomięzy sn s + oraz min+. Zakłaając, że Δ /Δ min ulega małym zmianom poczas ewolucji ukłau, to oległość mięzy wektorami sn + i wyraża się wzorem [Guégan, Leroux, 2009, s. 2402]: smin+ gzie: λ max wykłanik Lapunowa. λmax Δ Δ e, (8) min Ponieważ: s N ( s s s ), + + = N + N τ + N ( ) τ,...,, (9) prognozowaną wartość s N+ można wyznaczyć z równania (8) [Zhang et al., 2004, s. 6; Guégan, Leroux, 2009, s. 2402]. Kolejne prognozy s ˆ N +, la = 2,3, można wyznaczyć bezpośrenio z zależności: Δ Δ min e λ max, (0) gzie Δ oznacza oległość pomięzy wektorami s N i s min po krokach iteracji, czyli pomięzy wektorami s N + i s min +, lub metoą iteracyjną, stosując opisaną powyżej proceurę la wektora sn + [ Zhang.et al., 2004, s. 3; Guégan, Leroux, 2009, s. 2402]. Algorytm prognozowania przyszłych wartości szeregu czasowego (s, s 2,, s N ) za pomocą największego wykłanika Lapunowa [Zhang et al., 2004, s. 6] metoa LEM jest następujący:. Należy wybrać opóźnienie czasowe τ oraz wymiar rekonstruowanej przestrzeni stanów. 2. Należy obliczyć wykłanik Lapunowa λ max, jeśli λ max < 0, przejść o kroku Należy rekonstruować przestrzeń stanów la wybranych wartości τ oraz. Otrzymuje się N ( )τ wektorów w rekonstruowanej -wymiarowej przestrzeni stanów. 4. Należy wyznaczyć wektor s min położony najbliżej, w sensie oległości eukliesowej, wektora s N. 5. Należy obliczyć oległość Δ min pomięzy wektorami s min oraz s N. 6. Należy obliczyć oległość Δ pomięzy wektorami smin+ oraz sn +.

6 WPŁYW REDUKCJI SZUMU LOSOWEGO Znając współrzęne punktu s min+ w zrekonstruowanej przestrzeni stanów, na postawie równania (8) prognozuje się za pomocą wykłanika Lapunowa λ max kolejną wartość szeregu czasowego s N+. 8. Należy zmienić wymiar zanurzenia i przejść o kroku 2. Ze wzoru (8) wynika, że znając oległość pomięzy wektorami s N i s min oraz wykłanik Lapunowa λ max, można wyznaczyć oległość mięzy ich następnikami, czyli wektorami s N + i s min+. Oległość ta nie zależy o znaku wykłanika λ max, tzn. jest niezależna o tego czy ukła jest lokalnie chaotyczny, czy lokalnie stabilny. W związku z tym, że znane są również wszystkie oprócz pierwszej współrzęne wektora s N + = ( sn +, sn τ +,..., sn ( ) τ + ), można wyznaczyć wartość s N+. sn +, która znajuje się na przecięciu sfery o promieniu λ max Δ = Δ mine i o śroku w punkcie s N z prostą l przechozącą przez punkty postaci ( z, s N τ,..., s N ( ) τ + ), z R. W przestrzeni eukliesowej s N+ należy o zbioru wszystkich punktów z R, bęących miejscem zerowym wielomianu: 2 2 ( z s + ) + ( sn si ) sn ( ) τ + si ( ) 2 λ 2 max ( ) ( Δ e ) = 0 τ + i. () ˆ + Stą prognoza s N może przyjmować wie wartości: min + s ˆN + oraz s ˆN +, bęące opowienio przeszacowaną (LEM + ) i nieoszacowaną (LEM ) wartością rzeczywistego s N+ [Guégan, Leroux, 2009, s ]. 4. Reukcja szumu losowego W metozie NS reukcji szumu losowego, część eterministyczną (y t ) szeregu czasowego buuje się na postawie najbliższych sąsiaów (w sensie metryki eukliesowej -wymiarowej) wektorów s t zrekonstruowanej przestrzeni stanów ukłau ynamicznego opisanego szeregiem (s t ). Algorytm wyznaczania wartości y n, < n < N szeregu czasowego (s, s 2,, s N ) metoą najbliższych sąsiaów jest następujący:. Dla oszacowanego wymiaru zanurzenia oraz opóźnienia czasowego τ = stworzono wektor opóźnień postaci: s t = s t,s t+,,s t+(-), (2) tak aby filtrowana obserwacja s n była jeną ze śrokowych współrzęnych wektora s t.

7 88 Monika Miśkiewicz-Nawrocka 2. Wyznaczono k najbliższych sąsiaów (w sensie oległości eukliesowej) wektora s t, postaci: s l(), sl( 2),..., sl( k ). Często spotykanym w literaturze postulatem jest, aby liczba najbliższych sąsiaów spełniała warunek 2( + ) k < N ( )τ [Casagli, 989, s. 340; Cao, Sofio, 999, s. 425]. 3. Na postawie wyznaczonych sąsiaów obliczono wartość y n jako śrenią arytmetyczną pierwszych współrzęnych najbliższych sąsiaów: 4. Baania empiryczne y = k n s l k i= () i. (3) Przemiotem baania były logarytmy ziennych stóp zwrotu kursów: franka szwajcarskiego (CHF), euro (EUR), funta brytyjskiego (GBP), jena japońskiego (JPY), olara amerykańskiego (USD), wobec złotego; cen: Dębicy (DBC), ING Banku Śląskiego (BSK), LPP SA (LPP), Mostostalu Zabrze (MSZ), Vistuli (VS); oraz ineksów giełowych: WIG i WIG20, postaci: gzie: s t obserwacja szeregu. x t = ln s t ln s t, (4) Doatkowo baaniu poano szeregi reszt, które powstały z baanych szeregów przefiltrowanych moelami ARMA. Do oszacowania parametrów moeli ARMA oraz o wyznaczenia parametrów szeregów reszt wykorzystano program GREL. Przy wyborze opowieniego moelu ARMA kierowano się istotnością oszacowanych parametrów oraz kryterium Schwarza. Szeregi reszt oznaczono symbolem NazwaSzeregu_. Następnie szeregi reszt poano proceurze reukcji szumu losowego metoą najbliższych sąsiaów. Uzyskane w ten sposób szeregi oznaczono NazwaSzeregu_2. Wartość największego wykłanika Lapunowa la analizowanych szeregów oszacowano na postawie zależności (6) w zrekonstruowanej przestrzeni stanów. Parametry -historii, tj. opóźnienie czasowe i minimalny wymiar zanurzenia, oszacowano za pomocą funkcji autokorelacji ACF oraz metoy pozornych fałszywych sąsiaów. Obliczenia wykonano przy użyciu programu napisanego przez autora. W obliczeniach przyjęto liczbę najbliższych sąsiaów k =. W tabeli przestawiono wyniki szacowania największego wykłanika Lapunowa.

8 WPŁYW REDUKCJI SZUMU LOSOWEGO 89 Wyniki szacowania największego wykłanika Lapunowa la analizowanych szeregów abela Szereg Równanie regresji λ max Szereg Równanie regresji λ max BSK y = 0,0074x 4,059 y = 0,0028x 3,8968 R 2 0,0074 LPP = 0,477 R 2 = 0,25 (0,0028) BSK_ y = 0,002x 4,0364 y = 0,009x 3,834 R 2 0,002 LPP_ = 0,327 R 2 = 0,4022 0,009 BSK_2 y = 0,0023x 4,9233 y = 0,007x 5,4842 R 2 0,0023 LPP_2 = 0,444 R 2 = 0,3929 0,007 CHF y = 0,004x 4,8925 y = 0,0022x 3,5262 R 2 0,004 MSZ = 0,533 R 2 = 0,297 (0,0022) CHF_ y = 0,0008x 4,089 y = 0,00x 3,4639 R 2 0,0008 MSZ_ = 0,4689 R 2 = 0,4605 0,00 CHF_2 y = 0,0029x 6,558 y = 0,0009x 5,785 R 2 0,0029 MSZ_2 = 0,6646 R 2 = 0,344 (0,0009) DBC y = 0,002x 4,093 y = 0,003x 4,605 R 2 0,002 USD = 0,594 R 2 = 0,4525 0,003 DBC_ y = 0,0034x 4,0988 y = 0,0008x 4,6068 R 2 0,0034 USD_ = 0,7244 R 2 = 0,493 0,0008 DBC_2 y = 0,005x 6,2532 y = 0,0007x 6,2377 R 2 0,005 USD_2 = 0,4394 R 2 = 0,0643 EUR y = 0,0028x 5,345 y = 0,0025x 3,5699 R 2 0,0028 VS = 0,53 R 2 = 0,2798 0,0025 EUR_ y = 0,00x 5,567 y = 0,002x 3,5992 R 2 0,00 VS_ = 0,6004 R 2 = 0,577 0,002 EUR_2 y = 0,0002x 6,9627 y = 0,0063x 5,3806 R 2 VS_2 = 0,006 R 2 = 0,3563 0,0063 GBP y = 0,0009x 4,8483 y = 0,0023x 4,332 R 2 0,0009 WIG = 0,23 R 2 = 0,6634 0,0023 GBP_ y = 0,00x 4,8536 y = 0,00x 4,35 R 2 0,00 WIG_ = 0,6404 R 2 = 0,5345 0,00 GBP_2 y = 0,0043x 6,7553 y = 0,0002x 5,9989 R 2 0,0043 WIG_2 = 0,6284 R 2 = 0,6899 0,0002 JPY y = 0,00x 4,5883 y = 0,002x 4,253 R 2 0,00 WIG20 = 0,48 R 2 = 0,3335 0,002 JPY_ y = 0,005x 4,5798 y = 0,0008x 4,587 R 2 0,005 WIG20_ = 0,6678 R 2 = 0,876 (0,0008) JPY_2 y = 0,0005x 6,722 y = 0,008x 6,0239 R 2 (0,0005) WIG20_2 = 0,2833 R 2 = 0,3937 0,008 Na postawie anych zamieszczonych w tabeli można stwierzić wpływ filtrowania, a w szczególności reukcji szumu losowego, na wartość największego wykłanika Lapunowa. Dla szeregów CHF, GBP, DBC, LPP, VS, WIG20 po reukcji szumu wartość wykłanika Lapunowa wzrosła. Można zatem wnioskować, że poziom chaosu (choć naal niewielki) w baanych szeregach zwiększył się. Po przefiltrowaniu metoą najbliższych sąsiaów szeregów EUR i USD ustalenie wartości λ max, stało się niemożliwe ze wzglęu na zbyt ni-

9 90 Monika Miśkiewicz-Nawrocka ski współczynnik R 2. Poobnie, la szeregów LPP, MSZ, MSZ_2 i WIG20_, oszacowany współczynnik regresji nie może być traktowany jako wartość największego wykłanika Lapunowa. Do wyznaczenia prognoz baanych szeregów czasowych zastosowano metoę LEM. Do oceny okłaności prognozy wykorzystano: bezwzglęny błą prognozy w momencie : śreni błą prognozy ex post: = x xˆ, (5) n h 2 σ =, (6) + x xˆ ) +( h t = n wzglęny błą prognozy: współczynnik hiela: σ σ =, (7) σ 2 hσ I, (8) 2 = n + h 2 x = n+ gzie: x rzeczywista wartość baanej zmiennej w momencie, xˆ prognoza wartości zmiennej w momencie, σ ochylenie stanarowe szeregu obserwacji, = n +,, n + h, h liczba naturalna oznaczająca oległość okresu prognozowanego o okresu bieżącego. W tabeli 2 przestawiono błęy t i σ t otrzymanych prognoz la baanych szeregów czasowych. W związku z tym, że la szeregów EUR_2 i USD_2 nie można było oszacować wartości największego wykłanika Lapunowa, szeregi te nie zostały poane proceurze prognozowania metoa LEM.

10 WPŁYW REDUKCJI SZUMU LOSOWEGO 9 Błęy otrzymanych prognoz la analizowanych szeregów abela 2 t BSK LEM"+" t 0,0734 0,0598 0,052 0,0577 0,0275 0,80 0,0720 0,0799 0,0755 0,05 σ 0,0734 0,0670 0,0622 0,06 0,0560 0,0703 0,0705 0,077 0,0722 0,076 BSK LEM" " t 0,207 0,0646 0,074 0,034 0,0420 0,0927 0,066 0,0640 0,097 0,0902 σ 0,207 0,0969 0,005 0,0887 0,085 0,0835 0,0807 0,0788 0,0803 0,084 BSK_ LEM"+" t 0,0273 0,0050 0,0284 0,0393 0,0365 0,075 0,0263 0,0383 0,0568 0,088 σ 0,0273 0,097 0,0230 0,0280 0,0299 0,0282 0,0279 0,0294 0,0336 0,040 BSK_ LEM" " t 0,0353 0,0469 0,050 0,0069 0,0454 0,0063 0,09 0,075 0,0296 0,0362 σ 0,0353 0,045 0,0446 0,0387 0,0402 0,0368 0,0343 0,0327 0,0324 0,0328 BSK_2 LEM"+" t 0,0354 0,0069 0,0205 0,0486 0,0464 0,0282 0,0387 0,078 0,092 0,0079 σ 0,0354 0,0255 0,0240 0,0320 0,0353 0,0342 0,0349 0,0333 0,0320 0,0305 BSK_2 LEM" " t 0,033 0,0085 0,044 0,0483 0,030 0,049 0,0362 0,0253 0,0258 0,0236 σ 0,033 0,02 0,024 0,0264 0,0272 0,0256 0,0273 0,027 0,0270 0,0266 CHF LEM"+" t 0,0446 0,0406 0,07 0,049 0,0384 0,0387 0,0276 0,027 0,0426 0,0328 σ 0,0446 0,0427 0,0362 0,0323 0,0336 0,0345 0,0336 0,0328 0,034 0,0339 CHF LEM" " t 0,0493 0,0305 0,028 0,020 0,085 0,0432 0,0570 0,023 0,0287 0,0456 σ 0,0493 0,040 0,0372 0,0338 0,033 0,0336 0,0378 0,0363 0,0356 0,0367 CHF_ LEM"+" t 0,0003 0,0046 0,0039 0,0003 0,0078 0,0046 0,0039 0,03 0,073 0,040 σ 0,0003 0,0033 0,0035 0,0030 0,0044 0,0044 0,0044 0,0062 0,0082 0,0089 CHF_ LEM" " t 0,000 0,020 0,0053 0,0093 0,0033 0,065 0,0079 0,066 0,045 0,086 σ 0,000 0,0085 0,0076 0,008 0,0074 0,0095 0,0093 0,005 0,00 0,020 CHF_2 LEM"+" t 0,0020 0,0062 0,0004 0,004 0,007 0,0050 0,002 0,0055 0,003 0,0045 σ 0,0020 0,0046 0,0038 0,0039 0,0036 0,0038 0,0036 0,0039 0,0038 0,0039 CHF_2 LEM" " t 0,0004 0,0022 0,0035 0,0002 0,0044 0,004 0,0050 0,005 0,0006 0,00 σ 0,0004 0,006 0,0024 0,002 0,0027 0,0025 0,0030 0,0029 0,0027 0,0026 EUR LEM"+" t 0,064 0,033 0,0244 0,0250 0,0206 0,009 0,043 0,0304 0,037 0,0224 σ 0,064 0,049 0,086 0,0204 0,0205 0,090 0,084 0,0203 0,097 0,0200 EUR LEM" " t 0,008 0,052 0,0279 0,020 0,0236 0,063 0,095 0,052 0,057 0,0296 σ 0,008 0,032 0,094 0,098 0,0206 0,0200 0,099 0,094 0,090 0,0203 EUR_ LEM"+" t 0,063 0,029 0,0232 0,0238 0,089 0,0077 0,03 0,0307 0,028 0,0235 σ 0,063 0,047 0,080 0,096 0,094 0,080 0,074 0,096 0,089 0,094

11 92 Monika Miśkiewicz-Nawrocka c. tabeli 2 t EUR_ LEM" " t 0,03 0,060 0,0270 0,0200 0,0226 0,049 0,082 0,058 0,062 0,0304 σ 0,03 0,039 0,093 0,095 0,020 0,094 0,092 0,088 0,085 0,0200 GBP LEM"+" t 0,0394 0,0060 0,008 0,0264 0,0202 0,0028 0,002 0,034 0,035 0,006 σ 0,0394 0,0282 0,0235 0,0242 0,0235 0,025 0,099 0,027 0,0230 0,028 GBP LEM" " t 0,0296 0,067 0,0272 0,026 0,0044 0,048 0,0394 0,0389 0,0009 0,0283 σ 0,0296 0,024 0,025 0,0254 0,0228 0,027 0,0250 0,027 0,0256 0,0259 GBP_ LEM"+" t 0,059 0,006 0,0053 0,0028 0,0093 0,0060 0,07 0,07 0,007 0,0255 σ 0,059 0,020 0,003 0,0090 0,009 0,0086 0,009 0,0095 0,0092 0,09 GBP_ LEM" " t 0,003 0,062 0,074 0,0046 0,003 0,07 0,023 0,0 0,0277 0,047 σ 0,003 0,06 0,038 0,022 0,00 0,0 0,03 0,03 0,04 0,04 GBP_2 LEM"+" t 0,0033 0,00 0,0009 0,0009 0,0003 0,004 0,004 0,0034 0,008 0,0076 σ 0,0033 0,0024 0,002 0,008 0,007 0,0023 0,0022 0,0023 0,0035 0,004 GBP_2 LEM" " t 0,0009 0,000 0,0007 0,0027 0,000 0,0006 0,0057 0,0025 0,0009 0,0037 σ 0,0009 0,0006 0,0006 0,005 0,004 0,003 0,0025 0,0025 0,0024 0,0025 JPY LEM"+" t 0,0389 0,0260 0,0434 0,0239 0,036 0,0237 0,032 0,047 0,079 0,044 σ 0,0389 0,033 0,0369 0,034 0,0336 0,0322 0,0320 0,0304 0,0293 0,0282 JPY LEM" " t 0,037 0,002 0,0337 0,0364 0,0682 0,075 0,0602 0,0037 0,073 0,0406 σ 0,037 0,0235 0,0273 0,0299 0,0405 0,0377 0,047 0,0390 0,0372 0,0376 JPY_ LEM"+" t 0,0245 0,028 0,0570 0,0597 0,0566 0,035 0,0636 0,0703 0,0569 0,0002 σ 0,0245 0,095 0,0366 0,0435 0,0464 0,0427 0,0463 0,0499 0,0507 0,048 JPY_ LEM" " t 0,0274 0,03 0,0260 0,0643 0,0206 0,0638 0,0437 0,0573 0,055 0,055 σ 0,0274 0,0293 0,0283 0,0404 0,0373 0,0429 0,0430 0,0450 0,0462 0,044 JPY_2 LEM"+" t 0,0097 0,0085 0,0074 0,0055 0,0053 0,0057 0,0077 0,0083 0,0062 0,0022 σ 0,0097 0,009 0,0086 0,0079 0,0075 0,0072 0,0073 0,0074 0,0073 0,0069 JPY_2 LEM" " t 0,0075 0,0045 0,0065 0,0088 0,0045 0,0082 0,0058 0,0066 0,0084 0,0000 σ 0,0075 0,0062 0,0063 0,0070 0,0066 0,0069 0,0067 0,0067 0,0069 0,0066 USD LEM"+" t 0,0604 0,023 0,055 0,093 0,0648 0,003 0,0272 0,0039 0,0375 0,0080 σ 0,0604 0,0436 0,0477 0,0424 0,0478 0,0436 0,047 0,0390 0,0388 0,0369 USD LEM" " t 0,0226 0,093 0,0277 0,028 0,066 0,0380 0,0556 0,077 0,0299 0,03 σ 0,0226 0,020 0,0234 0,023 0,029 0,0253 0,035 0,030 0,030 0,0288 USD_ LEM"+" t 0,0204 0,0320 0,05 0,0023 0,0292 0,0364 0,0325 0,03 0,0487 0,073 σ 0,0204 0,0269 0,0236 0,0205 0,0225 0,0253 0,0265 0,0252 0,0288 0,0278

12 WPŁYW REDUKCJI SZUMU LOSOWEGO 93 c. tabeli 2 t USD_ LEM" " t 0,044 0,0025 0,0338 0,0070 0,030 0,0042 0,0062 0,0230 0,05 0,075 σ 0,044 0,0293 0,0309 0,0270 0,0278 0,0255 0,0237 0,0236 0,0226 0,022 DBC LEM"+" t 0,093 0,0450 0,33 0,4 0,297 0,0905 0,0324 0,0783 0,0857 0,32 σ 0,093 0,0835 0,020 0,30 0,66 0,26 0,050 0,020 0,004 0,07 DBC LEM" " t 0,0552 0,28 0,58 0,54 0,0766 0,023 0,005 0,0907 0,067 0,302 σ 0,0552 0,0888 0,0986 0,03 0,0984 0,0990 0,097 0,096 0,0892 0,094 DBC_ LEM"+" t 0,03 0,0877 0,0630 0,054 0,0436 0,0809 0,0922 0,0302 0,0866 0,082 σ 0,03 0,0957 0,0862 0,0794 0,0737 0,0749 0,0776 0,0734 0,0750 0,074 DBC_ LEM" " t 0,0853 0,0885 0,0073 0,096 0,033 0,2 0,0880 0,0300 0,063 0,0783 σ 0,0853 0,0869 0,07 0,078 0,074 0,0794 0,0807 0,0762 0,0749 0,0752 DBC_2 LEM"+" t 0,046 0,0 0,027 0,009 0,0029 0,0209 0,0074 0,0066 0,0095 0,0079 σ 0,046 0,030 0,029 0,024 0,02 0,033 0,026 0,020 0,08 0,05 DBC_2 LEM" " t 0,03 0,005 0,0052 0,0077 0,0008 0,0052 0,047 0,05 0,009 0,0027 σ 0,03 0,009 0,0094 0,0090 0,008 0,0077 0,0090 0,0093 0,0093 0,0089 LPP LEM"+" t 0,0736 0,335 0,0552 0,795 0,0832 0,26 0,0960 0,240 0,249 0,06 σ 0,0736 0,078 0,0936 0,209 0,44 0,56 0,30 0,44 0,56 0,4 LPP LEM" " t 0,65 0,048 0,0226 0,0487 0,202 0,03 0,232 0,0977 0,58 0,082 σ 0,65 0,36 0,9 0,0999 0,043 0,053 0,08 0,068 0,079 0,079 LPP_ LEM"+" t 0,080 0,0338 0,033 0,0664 0,0856 0,0375 0,057 0,27 0,0926 0,0508 σ 0,080 0,065 0,0780 0,0752 0,0774 0,0723 0,0703 0,0797 0,082 0,0787 LPP_ LEM" " t 0,208 0,058 0,0984 0,0346 0,63 0,0884 0,384 0,0290 0,026 0,090 σ 0,208 0,0862 0,0905 0,0802 0,0886 0,0886 0,0973 0,096 0,0928 0,0946 LPP_2 LEM"+" t 0,062 0,0026 0,025 0,008 0,0076 0,0044 0,005 0,073 0,065 0,0053 σ 0,062 0,06 0,09 0,0 0,005 0,0097 0,0092 0,006 0,04 0,009 LPP_2 LEM" " t 0,027 0,0048 0,065 0,0003 0,026 0,0085 0,0249 0,0056 0,034 0,074 σ 0,027 0,0096 0,023 0,007 0,036 0,029 0,052 0,043 0,042 0,046 MSZ LEM"+" t 0,085 0,0980 0,0423 0,0942 0,0735 0,0306 0,0973 0,0723 0,0937 0,007 σ 0,085 0,097 0,0788 0,0829 0,08 0,075 0,0786 0,0779 0,0798 0,082 MSZ LEM" " t 0,0373 0,0980 0,93 0,0622 0,0409 0,042 0,0970 0,0884 0,0599 0,0 σ 0,0373 0,074 0,097 0,0853 0,0784 0,078 0,0759 0,0776 0,0759 0,0787 MSZ_ LEM"+" t 0,330 0,447 0,065 0,0778 0,0324 0,439 0,6 0,646 0,0767 0,0076 σ 0,330 0,390 0,29 0,83 0,068 0,39 0,42 0,26 0,75 0,5

13 94 Monika Miśkiewicz-Nawrocka c. tabeli 2 t MSZ_ LEM" " t 0,546 0,0864 0,826 0,0449 0,0004 0,402 0,304 0,058 0,0650 0,0360 σ 0,546 0,252 0,469 0,292 0,55 0,200 0,25 0,97 0,49 0,096 MSZ_2 LEM"+" t 0,035 0,070 0,0028 0,00 0,0046 0,0243 0,050 0,097 0,007 0,057 σ 0,035 0,054 0,026 0,02 0,00 0,04 0,042 0,050 0,046 0,047 MSZ_2 LEM" " t 0,0377 0,0257 0,0247 0,0326 0,0084 0,0276 0,08 0,004 0,032 0,084 σ 0,0377 0,0323 0,0300 0,0306 0,0277 0,0276 0,0260 0,0243 0,0252 0,0246 VS LEM"+" t 0,0749 0,0549 0,0458 0,073 0,0470 0,0988 0,0939 0,0599 0,054 0,0886 σ 0,0749 0,0657 0,0598 0,0629 0,060 0,068 0,0723 0,0709 0,0690 0,072 VS LEM" " t 0,084 0,0272 0,0409 0,0994 0,0470 0,0270 0,0788 0,0378 0,27 0,0793 σ 0,084 0,0790 0,0687 0,0775 0,0724 0,0670 0,0688 0,0658 0,075 0,0755 VS_ LEM"+" t 0,00 0,004 0,0974 0,0427 0,063 0,398 0,0707 0,20 0,033 0,0886 σ 0,00 0,002 0,0993 0,0886 0,0924 0,09 0,0980 0,0999 0,0948 0,0942 VS_ LEM" " t 0,645 0,284 0,0573 0,0407 0,38 0,0693 0,0072 0,56 0,202 0,0822 σ 0,645 0,476 0,249 0,0 0,62 0,098 0,07 0,00 0,236 0,20 VS_2 LEM"+" t 0,0249 0,053 0,009 0,067 0,0044 0,0078 0,0078 0,0084 0,045 0,0045 σ 0,0249 0,0207 0,077 0,075 0,057 0,047 0,039 0,034 0,035 0,029 VS_2 LEM" " t 0,0095 0,0222 0,006 0,0047 0,0244 0,0235 0,0059 0,0279 0,0252 0,089 σ 0,0095 0,07 0,052 0,034 0,062 0,076 0,065 0,083 0,092 0,092 WIG LEM"+" t 0,0562 0,0564 0,0770 0,0766 0,056 0,066 0,0600 0,054 0,0425 0,042 σ 0,0562 0,0563 0,0640 0,0674 0,0653 0,0654 0,0647 0,0632 0,062 0,0596 WIG LEM" " t 0,0833 0,0489 0,029 0,044 0,0372 0,0338 0,080 0,0466 0,068 0,0683 σ 0,0833 0,0683 0,0582 0,0545 0,055 0,0490 0,0547 0,0538 0,0556 0,0570 WIG_ LEM"+" t 0,056 0,0202 0,0043 0,030 0,0298 0,0443 0,096 0,0293 0,0357 0,0288 σ 0,056 0,080 0,049 0,098 0,0222 0,027 0,0262 0,0266 0,0278 0,0279 WIG_ LEM" " t 0,047 0,0053 0,0544 0,0004 0,0267 0,006 0,0369 0,079 0,020 0,043 σ 0,047 0,0297 0,0397 0,0344 0,0330 0,030 0,032 0,0298 0,0290 0,0279 WIG_2 LEM"+" t 0,000 0,008 0,004 0,0093 0,0050 0,0029 0,0074 0,003 0,0053 0,0085 σ 0,000 0,0072 0,0084 0,0086 0,0080 0,0074 0,0074 0,0070 0,0069 0,0070 WIG_2 LEM" " t 0,0070 0,0038 0,0069 0,009 0,0084 0,0062 0,0065 0,0046 0,0083 0,0006 σ 0,0070 0,0057 0,006 0,0054 0,006 0,006 0,0062 0,0060 0,0063 0,0060 WIG20 LEM"+" t 0,027 0,034 0,020 0,0070 0,053 0,0499 0,033 0,0042 0,0366 0,0203 σ 0,027 0,080 0,063 0,045 0,047 0,0244 0,0255 0,0239 0,0256 0,025

14 WPŁYW REDUKCJI SZUMU LOSOWEGO 95 c. tabeli 2 t WIG20 LEM" " t 0,040 0,0047 0,035 0,0024 0,0463 0,00 0,038 0,096 0,0239 0,07 σ 0,0400 0,0292 0,025 0,027 0,0284 0,0259 0,0246 0,0240 0,0240 0,023 WIG20 LEM"+" t 0,0508 0,0589 0,039 0,0736 0,0362 0,0766 0,0355 0,0498 0,0455 0,052 σ 0,0508 0,0550 0,0502 0,0570 0,0535 0,0580 0,0553 0,0547 0,0537 0,0536 WIG20 LEM" " t 0,08 0,0489 0,0305 0,049 0,0397 0,0294 0,0842 0,0457 0,0627 0,0494 σ 0,08 0,0669 0,0574 0,0540 0,054 0,0484 0,0550 0,0539 0,0550 0,0544 WIG20 LEM"+" t 0,074 0,0085 0,007 0,0002 0,0086 0,022 0,069 0,02 0,0205 0,00 σ 0,074 0,037 0,09 0,003 0,000 0,004 0,06 0,05 0,028 0,026 WIG20 LEM" " t 0,035 0,069 0,034 0,036 0,04 0,025 0,02 0,076 0,0098 0,007 σ 0,035 0,053 0,047 0,044 0,044 0,04 0,038 0,043 0,039 0,036 Analizując ane zawarte w tabeli 2 można stwierzić, że la przefiltrowanych szeregów czasowych metoą najbliższych sąsiaów okłaność prognoz znacznie się poprawiła. Świaczą o tym użo niższe wartości błęów t i σ. Przefiltrowanie szeregów moelami ARMA w większości przypaków też spowoowało zmniejszenie błęów wyznaczonych prognoz. W tabeli 3 przestawiono wartości błęów σ i I 2 w całym przeziale weryfikacji la h = 0. abela 3 Błęy oszacowanych prognoz w całym przeziale weryfikacji LEM"+" LEM" " Szereg BSK BSK_ BSK_2 BSK BSK_ BSK_2 σ 3,7624 2,0356 3,5907 4,0236,6255 3,395 I 2 39,0208,94 64,246 44,6277 7,362 49,0232 Szereg CHF CHF_ CHF_2 CHF CHF_ CHF_2 σ 3,7669 0,9985 2,8544 4,0706,3387,9053 I 2 70,807 4,8945 8,5426 8,9537 8,7979 3,8060 Szereg DBC DBC_ DBC_2 DBC DBC_ DBC_2 σ 5,284 3,7262 5,8703 4,8860 3,9282 4,5523 I 2 42, ,449 23, ,9824 3,2795 4,3930 Szereg EUR EUR_ EUR_2 EUR EUR_ EUR_2 σ 2,9462 2,8763 2,9939 2,9643 I 2 25, , , ,55 Szereg GBP GBP_ GBP_2 GBP GBP_ GBP_2 σ 2,6097,4286 3,6255 3,0950,6943 2,2337 I 2 4,4494 4,382 0, ,3234 6,637 4,674

15 96 Monika Miśkiewicz-Nawrocka c. tabeli Szereg JPY JPY_ JPY_2 JPY JPY_ JPY_2 σ 2,2379 3,8340 5,4232 2,9857 3,557 5,333 I 2 0,7782 3,673 23,0972 9,849 26, ,6940 Szereg LPP LPP_ LPP_2 LPP LPP_ LPP_2 σ 4,9060 3,476 2,7385 4,753 4,76 3,6589 I 2 20,778 0,080 8,8826 8,9254 4,4653 5,8568 Szereg MSZ MSZ_ MSZ_2 MSZ MSZ_ MSZ_2 σ 2,4086 3,3030 2,6979 2,3099 3,2466 4,5026 I 2 9, ,5732 9,3809 7, , ,282 Szereg USD USD_ USD_2 USD USD_ USD_2 σ 3,4346 2,5969 2,688 2,0639 I 2 26,8553 6,47 6,3723 4,0530 Szereg VS VS_ VS_2 VS VS_ VS_2 σ 2,2836 3,0554 2,7537 2,428 3,8972 4,0948 I 2 6,8404 0,540 4,0823 7,6934 7,497 9,0269 Szereg WIG WIG_ WIG_2 WIG WIG_ WIG_2 σ 4,2494,999 2,9440 4,0635,999 2,4955 I 2 56,3558,0287 8,4273 5,5320,0283 6,0553 Szereg WIG20 WIG20_ WIG20_2 WIG20 WIG20_ WIG20_2 σ,566 3,2440 5,373,395 3,296 5,5535 I 2 7, ,673 4,7888 6,329 36,3054 7,2823 Na postawie anych zawartych w tabeli 3 można stwierzić, że w wielu przypakach błęy prognoz w całym przeziale weryfikacji la szeregów przefiltrowanych metoą najbliższych sąsiaów są mniejsze niż błęy prognoz otrzymane la szeregów prze filtracją. Dla szeregów JPY, MSZ, WIG20 okłaniejsze prognozy otrzymano la szeregów nieprzefiltrowanych. Może to być spowoowane faktem, że oszacowane wykłaniki Lapunowa la tych szeregów charakteryzowały się niskim współczynnikiem R 2 i nie powinny być brane po uwagę. Wyjątek stanowi szereg BSK. Przefiltrowane baanych szeregów czasowych, tylko za pomocą moeli ARMA, w wielu przypakach pozwoliło uzyskać okłaniejsze prognozy. Posumowanie W pracy zbaano wpływ reukcji szumu metoą najbliższych sąsiaów na okłaność prognoz ekonomicznych szeregów czasowych, otrzymanych za pomocą największego wykłanika Lapunowa. Celem artykułu było porównanie błęów prognoz la szeregów prze i po reukcji szumu oraz szeregów przefiltrowanych moelami ARMA.

16 WPŁYW REDUKCJI SZUMU LOSOWEGO 97 Na postawie otrzymanych wyników można stwierzić, że reukcja szumu losowego w baanych szeregach czasowych pozwoliła uzyskać okłaniejsze prognozy. Ponato, w wielu przypakach przefiltrowanie baanych szeregów tylko za pomocą moeli ARMA również spowoowało znaczne zmniejszenie błęów uzyskanych prognoz. Literatura Cao L., Soofi A. (999): Nonlinear Deterministic Forecasting of Daily Dollar Exchange Rates. International Journal of Forecasting, Vol. 5, s Casagli M. (989): Nonlinear Preiction of Chaotic ime Series. Physica D, Vol. 53, s Eckmann J.P., Ruelle D. (985): Ergoic heory of Chaos an Strange Attractors. Reviews of Moern Physics, Vol. 57, No. 3. Guégan D., Leroux J. (2009): Forecasting Chaotic Systems: he Role of Local Lyapunov Exponents. Chaos, Solitons & Fractals, Vol. 4, s Kantz H. (994): A Robust Metho to Estimate the Maximal Lyapunov Exponent of a ime Series. Physical Letters A, Vol. 85(), s Kantz H., Schreiber. (2004): Nonlinear ime Series Analysis. Cambrige University Press, Cambrige. Kennel M.B., Brown R., Abarbanel H.D.I. (992): Detecting Embeing Dimension for Phase Space Reconstruction Using a Geometrical Construction. Physical Review A, 45. Lorenz E.N. (969): Atmospheric Preictability as Reveale by Naturally Occurring Analogues. J. Atmos. Sci., 26, s Miśkiewicz-Nawrocka M. (202): Zastosowanie wykłaników Lapunowa o analizy ekonomicznych szeregów czasowych. Wyawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego, Katowice. Nowiński M. (2007): Nieliniowa ynamika szeregów czasowych. Wyawnictwo Akaemii Ekonomicznej, Wrocław. Oseleec V.I. (968): A Mulitiplicative Ergoic heorem. Lyapunov Characteristic Numbers for Dynamical System. rans. Moscow Math. Soc., 9, s Packar N.H., Crutchfiel J.P., Farmer J.D., Shaw R.S. (980): Geometry from a ime Series. Physical Review Letters, Vol. 45, s Rosenstein M.., Collins J.J. et al. (993): A Practical Metho for Calculating Largest Lyapunov Exponents from Small Data Sets. Physica D, Vol. 65, s akens (98): Detecting Strange Atractors in urbulance. W: Lecture Notes in Mathematics. Es. D.A. Ran, L.S. Young. Springer Verlag, Berlin.

17 98 Monika Miśkiewicz-Nawrocka Zawazki H. (996): Chaotyczne systemy ynamiczne. Elementy teorii i wybrane zaganienia ekonomiczne. Wyawnictwo Akaemii Ekonomicznej, Katowice. Zhang J., Lam K.C., Yan W.J., Gao H., Li Y., (2004): ime Series Preiction using Lyapunov Exponents in Embeing Phase Space. Computers an Electrical Engineering 30, s. -5. HE EFFEC OF HE REDUCION RANDOM NOISE BY HE MEHOD OF NEARES NEIGHBORS ON FORECASING RESULS OBAINED USING HE LARGES LYAPUNOV EXPONEN Summary In this paper has been researche the effect of ranom noise reuction on the accuracy of forecasts of economic time series obtaine using the largest Lyapunov exponent metho (LEM). he aim of the article was to compare the preiction errors obtaine by LEM for the series before an after the ranom noice reuction an the time series filtre by moels ARMA. he nearest neighbors metho was use to reuce ranom noise in economic time series.