ĆWICZENIE STATYSTYCZNE. STABILIZACJA WZGLĘDNYCH CZĘSTOŚCI I ROZKŁADY WZGLĘD- NYCH CZĘSTOŚCI ZDARZEŃ
|
|
- Monika Szymczak
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Ćwczee M-8 ĆWICZENIE STATYSTYCZNE. STABILIZACJA WZGLĘDNYCH CZĘSTOŚCI I ROZKŁADY WZGLĘD- NYCH CZĘSTOŚCI ZDARZEŃ I. Cel ćwczea: zapzae studeta z charakterystykam prawdłwścam zdarzeń statystyczych a przykładze prstych dśwadczeń. Przeprwadzee ćwczea statystyczeg ma zlustrwać w spsób przekujący ses wprwadzea ektórych pjęć wykazać, że zjawskam maswym rządzą kreśle prawdłwśc, które częst mża przewdzeć teretycze w parcu dść prste załżea. II. Przyrządy: III. Lteratura: przyrząd ruletka, stper.. Z. Hellwg, Elemety rachuku prawdpdbeństwa statystyk matematyczej, W-wa 978, PWN.. Z. Pawłwsk, Wstęp d statystyk matematyczej, W-wa 966, PWN. 3. J.L. Kacpersk, I pracwa fzycza, UŁ R. Zelńsk, Tablce statystycze, W-wa 97, PWN. Wele zjawsk, e tylk fzyczych, ma charakter przypadkwy, tz. wyk zjawska e mże być przewdzay przed jeg zakńczeem ze względu a emżść uwzględea zbyt welu warukujących g czyków lub wręcz ch ezajmść. Jakklwek e mża przewdzeć wyku pjedyczeg zdarzea, t jedak welkrte pwtarzae prób wywłaa teg zdarzea pzwala dla przecętych wyków trzymać pewe prawdłwśc zwae statystyczym. IV. Stablzacja częstśc zdarzeń pjęce prawdpdbeństwa. Elemetarym pjęcem w dzedze zjawsk statystyczych jest zdarzee. Zdarzeem jest p. wyrzucee rła w przypadkwym rzuce metą lub wyrzucee trójk w przypadkwym rzuce kstką d gry. Zdarzeem jest także trzymae wyku pmaru zawerająceg sę w z góry kreślym przedzale wartśc. Rzut metą, kstką lub przeprwadzee pmaru azywa sę próbą. Najprstszą klasyfkacją dla zdarzeń jest stwerdzee, czy w wyku próby kreśle zdarzee astąpł czy też e. Jeżel zdarzee astąpł, t mówmy sukcese takemu zdarzeu przyprządkwujemy lczbę, jeśl zaś e astąpł, t mówmy epwdzeu przyprządkwujemy mu lczbę 0. Nech lczba wszystkch prób w dśwadczeu będze rówa, zaś lczbę sukcesów dla kreśleg rdzaju zdarzeń zaczmy przez m. Stsuek m/ będzemy azywal częstścą względą" występwaa teresująceg as zjawska. Na gół dśwadczee ptwerdza przypuszczee, że częstść względa w marę wzrstu lczby prób, mm pewych wahań, wykazuje wyraźą tedecję zdążaa d kreślej dla daeg zdarzea gracy zwaej jeg prawdpdbeństwem, c zapsujemy m lm = P. () Ozacza t, że różca mędzy częstścą względą m/ a prawdpdbeństwem P mm lkalych wahań staje sę craz mejsza przy wzrśce. Ta prawdłwść s azwę stablzacj
2 Ćwczee M-8 względej częstśc zdarzeń. Zdarzee, dla któreg P = 0, azywać będzemy emżlwym, a take dla któreg P =, pewym. IV. Prawdpdbeństw zdarzea, wyzaczae jeg wartśc rzkład względych częstśc Z pprzedeg wyka, że prawdpdbeństw jest welkścą charakteryzującą pewą prawdłwść statystyczą zjawska przypadkweg. Z sesu jak adaje prawdpdbeństwu wzór () ależy wskwać, że wartść prawdpdbeństwa zawera sę w gracach 0 P peważ 0 m (tj. lczba sukcesów e mże być wększa d lczby prób) raz e mże przyjmwać wartśc ujemych. Jede ze spsbów zajdwaa przyblżej wartśc P pdaje wzór () p wykau dużej lczby prób. Słabą strą teg spsbu jest t, że praktycze e mża przeprwadzć eskńczej lczby prób, a w zwązku z tym ależy przyjąć P m/, c daje wartść przyblżą a padt wartść prawdpdbeństwa mże być wyzacza p przeprwadzeu dśwadczea (ser prób) e mże być zaa przed jeg wykaem tj. a prr. Nekedy steje mżlwść wyzaczea prawdpdbeństwa a prr. Kecze jest wówczas, by teresujące as zdarzee stawł rówprawą część spśród ych waratów zdarzeń. Np. przy rzucau metą mamy dwe mżlwśc: wyrzucea rła wyrzucea resztk, zaś przy rzucau kstką d gry sześć waratów zdarzeń: wyrzucee jedyk, dwójk td. aż d szóstk. Jeśl meta kstka są symetrycze względem śrdka cężkśc, t każdy z mżlwych wyków jest rówprawy. W perwszym przypadku zarów wyrzucee rła jak resztk stawą / część wszystkch waratów, a w przypadku kstk wyrzucee wybraej lczby czek (w gracach 6) staw /6 część wszystkch mżlwych zdarzeń. Wartśc stawące dwrtść lczby wszystkch rówprawych waratów zdarzeń rówe są prawdpdbeństwu zastea jedeg waratu. IV.3 Zdarzea ezależe, wykluczające sę, przecwstawe, lczy, suma zdarzeń ch prawdpdbeństwa. O dwóch zdarzeach A A pwemy, że są ezależe wtedy, gdy zajśce lub ezastee jedeg z ch e zmea prawdpdbeństwa realzacj drugeg zdarzea. Np. zdarzee plegające a wylswau kul kreślej barwy z ury zawerającej p. dwa rdzaje kul w sytuacj, gdy w pprzedm lswau dka zmay składu A A Rys. ury w spsób umwy zależe d wyku teg lswaa, jest zdarzeem zależym d rezultatu pprzedeg cągea. Jeżel w cągu zdarzeń A, A,...A żade dwa spśród ch e mgą zasteć łącze, t zdarzea te azywamy wzajeme wykluczającym sę. Iterpretując zdarzee lswe jak zbór utwrzy z elemetów zbru zawerająceg wszystke mżlwe zdarzea (elemety), zdarzeach wykluczających sę pwemy, że ch zbry są rzłącze (czyl e zawerają elemetów wspólych). Sytuację tą lustruje rys.. A A Rys. Peważ zdarzee plegające a łączym zasteu zdarzeń A A azywa sę lczyem zdarzeń, t prawdpdbeństw lczyu zdarzeń wykluczających sę jest rówe zeru. Ilczy zdarzeń lustruje rys.. Prawdpdbeństw lczyu zdarzeń ewykluczających sę jest rówe
3 P ( A A ) = P( A ) P( ) A Ćwczee M-8, () gdze P(A ) P(A ) są bezwzględym prawdpdbeństwam dpwedch zdarzeń A A. Jak przykład lczyu dwóch zdarzeń mża pdać zdarzee plegające a wycągęcu dwóch kul bałych przy dwóch cągeach z tej samej ury lub z różych ur. Sumą zdarzeń A, A,... A jest zdarzee plegające a zrealzwau sę przyajmej jedeg z tych zdarzeń. Np. jeśl A jest zdarzeem plegającym a wyrzuceu rła w rzuce metą, atmast A jest zdarzeem plegającym a wycągęcu lsu pusteg, t suma zdarzeń A + A zacza zdarzee, w którym alb wykem rzutu metą będze rzeł, alb zstae wycągęty ls pusty, alb że zstae wycągęty ls pusty w cągeu z ury wykem rzutu metą będze wyrzucee rła. Zauważmy, że sumą zdarzeń będze róweż zdarzee plegające a wyrzuceu parzystej lczby czek przy rzuce kstką. Zdarzee t zrealzuje sę zawsze wtedy, gdy wykem rzutu będze alb dwójka, alb czwórka, alb szóstka. Jeżel zdarzea param wykluczają sę, t prawdpdbeństw sumy zdarzeń jest rówe sume prawdpdbeństw realzacj każdeg z tych zdarzeń, c zapsujemy ( A A ) = P( A ) P( ) P + +. (3) A Jeżel atmast zdarzea e wykluczają sę tz. pza alteratywym zasteem bu zdarzeń e jest wyklucze łącze ch zajśce, wówczas prawdpdbeństw sumy tych zdarzeń będze pmejsze w stsuku d (3) prawdpdbeństw ch lczyu P ( A A ) = P( A ) + P( A ) P( A ) +. (4) A Np. wyk rzutu jedą metą są ezależe wykluczają sę. Natmast wyk dśwadczea plegająceg a rzuce dwema metam są ezależe ale kreśly wyk dla jedej mety e wyklucza detyczeg wyku dla drugej. Zdarzee lswe plegające a ewystąpeu zdarzea lsweg A azywamy zdarzeem przecwstawym d A. Jeżel prawdpdbeństw realzacj zdarzea A jest P(A) a zdarzee przecwstawe zaczymy przez A, t prawdpdbeństw teg, że A e wystąp jest rówe P( A) = P( A), (5) tz. że prawdpdbeństw zdarzea lsweg prawdpdbeństw zdarzea przecwstaweg uzupełają sę d jedśc. IV.4 Zmea lswa Zmeą przyjmującą w spsób lswy (przypadkwy) wartśc z kreśleg przedzału azywamy zmeą lswą. W przypadku dśwadczea plegająceg a rzutach kstką d gry pwemy, że dzedza zmeej lswej jest skńcza tz. zmea ta przyjmuje wartśc,,... 6 z kreślym prawdpdbeństwam rówym dpwed prawdpdbeństwu wyrzucea jedyk, dwójk td. Zmeą lswą, której zbór mżlwych wartśc jest skńczy lub c ajwyżej przelczaly azywamy zmeą lswą dyskretą. Jeżel atmast zmea lswa mże przyjąć każdą wartść rzeczywstą z peweg przedzału skńczeg lub eskńczeg, t taką zmeą azwemy zmeą lswą cągłą. 3
4 Ćwczee M-8 P k f(x) IV.5 Fukcje rzkładu zmeych lswych. Zależść wążąca wartśc, jake mże przyjmwać zmea lswa dyskreta z prawdpdbeństwem ch występwaa, azywa sę fukcją prawdpdbeństwa (rys.3). W przypad- x k x x Rys.3 Rys.4 ku cągłej zmeej lswej mówmy fukcj gęstśc prawdpdbeństwa f(x) (rys.4). Prawdpdbeństw przyjęca przez zmeą lswą cągłą wartśc z przedzału (x x/, x + x/) szerkśc x a tyle małej, by mża przyjąć, że w m f(x) = cst., jest rówe P ( x x < x < x + x ) = f ( x) x. (6) Dla x 0 szukae elemetare prawdpdbeństw wys dp = f ( x)dx. (7) W przypadku, gdy przedzał x jest a tyle rzcągły, że f(x) e pzstaje w m stała, blczee prawdpdbeństwa wymaga plczea całk x + x ( x x < x < x + x ) = f ( x) P dx. (8) x x Należy zauważyć, że e każda fukcja zmeej lswej mże być fukcją rzkładu prawdpdbeństwa. Mus a spełać tzw. waruek rmalzacyjy. Dla zmeej cągłej jest astępujący: a dla zmeej dyskretej: = ( x) f dx =, (9) P =. (0) Czasem zachdz ptrzeba scharakteryzwaa rzkładu zmeej lswej za pmcą jedej lub paru lczb wyrażających ajsttejsze własśc rzkładu. D takch charakterystyk rzkładu zalcza sę adzeję matematyczą, aczej wartść czekwaą zmeej lswej warację. Nadzeja matematycza frmuje tym, jak jest przecęty pzm wartśc przyberaych przez zmeą lswą. Dla zmeej lswej dyskretej adzeję matematyczą kreśla sę jak sumę lczyów pszczególych wartśc jake zmea mże przyjąć przez dpwadające m prawdpdbeństwa ( x) = x P( x ) E k = x k () Sumwae rzcąga sę a wszystke mżlwe wartśc zmeej lswej. k 4
5 Ćwczee M-8 Jeżel zmea lswa jest cągła przybera wartśc jedye z przedzału [a, b], t jej adzeja matematycza wyraża sę całką E b ( x) = x f ( x) a dx. () Warację defuje sę jak adzeję matematyczą kwadratów dchyleń zmeej lswej x d jej wartśc czekwaej. Zgde z pdaym kreśleem zapszemy D ( x) E[ x E( x) ] =. (3) W blczeach ma zastswae a pstać wzru (3), a mawce ( ) E( x ) E ( x) D x =. (4) Na gół wększe zaczee praktycze ma perwastek kwadratwy z waracj, który kreśla sę maem dchylea stadardweg zmeej lswej. Ozaczając dchylee stadardwe przez σ mamy [ x E( x) ] σ = E. (5) IV.6 Rzkłady zmeych lswych IV.6. Rzkład dwupuktwy Rzkład, w którym dyskreta zmea lswa mże przyjmwać tylk dwe wartśc x x z prawdpdbeństwem dpwed p q (p + q = ) azywamy rzkładem dwupuktwym. Zmeą lswą rzkładze dwupuktwym terpretuje sę jak lczbę przypsaą realzacj kreśleg zdarzea w pjedyczym dśwadczeu. Na gół realzacj zdarzea lsweg przypsuje sę lczbę, a e zasteu teg zdarzea - lczbę 0. Praw rzkładu dwupuktweg ma pstać P( x = ) = p P( x = 0) = q = p Nadzeja matematycza zmeej takm rzkładze wys E ( x) = p, (6) atmast waracja ma wartść D( x) = p q. (7) IV.6.. Rzkład dwumawy Rzkład dwumawy jest rzkładem zmeej lswej dyskretej zdefwaej jak lczba realzacj kreśleg wyku w ezależych próbach, gdy w każdej z ch prawdpdbeństw pjawea sę teg wyku jest p. Praw rzkładu zmeej lswej rzkładze dwumawym ma pstać m m P( x = m) = p ( p), (8) m! gdze =. (9) m m! ( m)! Nadzeja matematycza dla teg rzkładu wys E ( x) p =, (0) 5
6 Ćwczee M-8 a waracja D( x) = p q. () Dla przypadku p = q rzkład dwumawy jest symetryczy względem m = /. IV.6.3. Rzkład Pssa Przy spełeu waruku, że prawdpdbeństw trzymaa teresująceg wyku w pjedyczej próbe jest bardz małe raz lczba prób dąży d eskńczśc przy czym jedcześe zachdz p = λ = cst ( ezbyt duże ), () rzkład dwumawy dąży d rzkładu Pssa: m λ λ P( x = m) = e, (3) m! λ jest średą lczbą realzacj wyróżeg zdarzea w ser dśwadczeń. Dla rzkładu Pssa adzeja matematycza waracja są sbe rówe ( x) = D( x) = λ E. (4) IV.6.4. Rzkład prstkąty Najprstszym rzkładem cągłym jest rzkład prstkąty, kedy t zmea lswa z jedakwym prawdpdbeństwem mże przyjmwać każdą wartść z przedzału [a, b]. Gęstść prawdpdbeństwa tej zmeej lswej w przedzale [a, b] jest stała ( x) c cst Uwzględając waruek rmalzacyjy (9) zajdzemy, że f = =. (5) c =. (6) b a Zatem fukcję rzkładu prstkąteg zapszemy astępując Nadzeja matematycza E( x) Waracja D( x) f ( x) = ( b a ) 0 0 x < a a x b. (7) x > b b + a =. (8) ( b + a) =. (9) IV.6.5 Rzkład rmaly Szczególe ważą rlę w statystyce matematyczej peł rzkład rmaly gęstśc prawdpdbeństwa ( ) ( x µ ) f x exp, σ π σ (30) µ, σ są parametram rzkładu. Nadzeja matematycza E ( x) = µ. (3) Waracja ( ) D x = σ. (3) 6
7 Ćwczee M-8 W zastswaach rzkładu rmaleg wykrzystuje sę zmeą lswą u zwązaą ze zmeą x astępującą zależścą: f(u) 0 Rys.5 Fukcja gęstśc prawdpdbeństwa rzkładu rmaleg N(0,) u u = x µ, (33) σ Mża wykazać, że zmea lswa u ma rzkład rmaly parametrach µ = 0 σ = [N(0,)]. Fukcję gęstśc teg rzkładu kreśla frmuła f u ( u) = exp π. (34) Gęstść prawdpdbeństwa dla rzkładu rmaleg z µ = 0 σ = zstały ze względów praktyczych stabelaryzwae. Stabelaryzwa róweż dystrybuatę teg rzkładu czyl fukcję kreślającą prawdpdbeństw przyjęca przez zmeą lswą rmalą wartśc mejszej d górej gracy całkwaa x ( x) = f ( x) F dx. (35) IV.6.6 Rzkład χ (ch-kwadrat ) Jeśl x, x,..., x j jest cągem ezależych zmeych lswych rzkładze rmalym z µ = 0 σ =, t zmeą lswą: χ = x + x + L + x j (36) azywamy zmeą rzkładze χ z k stpam swbdy(k jest lczbą ezależych składków w wyrażeu (36) ). Fukcja gęstśc prawdpdbeństwa zmeej lswej rzkładze χ k stpach swbdy daa jest wzrem k χ ( ) ( ) f χ = χ exp. (37) k k Γ Nadzeja matematycza E( χ ) = k, (38) Waracja D( χ ) = k. (39) f(χ ) k = 3 k = k = 6 Rys.6 Przebeg fukcj prawdpdbeństwa zmeej lswej χ z lczbą stp swbdy dpwed: k =, k = 3, k = 6. χ χ Fukcja χ zstała stabelaryzwaa ze względu m.. a jej zaczee w ter weryfkacj hptez statystyczych. Isteją dwa rdzaje tablc. Jede pdaje dla różych wartśc parametru 7
8 Ćwczee M-8 k (a węc dla różych rzkładów χ ) prawdpdbeństw teg, że zmea lswa przyjmuje wartść wększą d kreślej lczby χ ( χ > χ ) P = = P. (40) Drug rdzaj tablc pdaje dla różych wartśc parametru k take lczby rzeczywste χ, że prawdpdbeństw przybraa przez zmeą lswą wartśc wększej d daej lczby jest rówe z góry daej lczbe = P χ > χ. (4) ( ) Parametr azywamy pzmem sttśc. Jest rówy plu pwerzch mędzy daą krzywą a są χ w zakreskwaym bszarze a rysuku 6. IV.7 Test χ ( ch-kwadrat ) Test χ ma zastswae przy sprawdzau hptezy, że rzkład bserwwaej zmeej lswej ma kreślą pstać aaltyczą. Załóżmy, że przedmtem bserwacj jest pewa zmea lswa x że ależy sprawdzć hptezę, ż zmea ta ma kreśly typ rzkładu. Pdzelmy bszar zmeśc x a j drębych klas (przedzałów). Ozaczmy przez lczbę zabserwwaych w próbe elemetów, dla których zmea x przyjęła wartść ależącą d klasy. Nech prawdpdbeństw teg, że zmea lswa przyjme wartść ależącą d tej klasy (wykające z załżej hptezy H ) wys P. Jeżel przez zaczymy lczbę bserwacj w próbe, t lczy = P azwemy lczebścą teretyczą -tej klasy. Jest t czekwaa lczba bserwacj w -tej klase blcza przy załżeu, że prawdzwa jest hpteza sprawdzaa H. Różca mędzy lczbam raz mże być pdstawą d zbudwaa sprawdzau hptezy, że bserwwaa zmea lswa ma kreśly typ rzkładu. Gdy różce są małe, będzemy skł przyjąć hptezę, atmast przy dużych rzbeżścach mędzy rzeczywstym a teretyczym lczebścam hptezę drzucamy. Jak sprawdza hptezy przyjmujemy (za K. Pearsem ) wyrażee χ ( ) =. (4) Mża wykazać, że przy wyrażee p prawej stre wzru (4) ma rzkład χ, stąd zaczee lewej stry pwyższej zależśc tym symblem. Rzkład te ma k = j r stp swbdy, przy czym r zacza tu lczbę parametrów rzkładu załżej pstac fukcyjej, które ależał wstępe szacwać z próby, by astępe blczyć prawdpdbeństwa P lczebśc teretycze = P. Z testu teg mża skrzystać tylk wtedy, gdy wszystke lczby są rówe przyajmej 5, a jest przyajmej rówe 50. Tak węc testwae rzkładu będze plegał a blczeu wartśc χ zgde ze wzrem (4) prówau jej ze stabelaryzwaą zmeą χ (patrz p. dpweda tabela I pracwa fzycza J. L. Kacpersk ). Hptezę zgdśc rzkładu eksperymetaleg teretyczeg przyjmujemy wówczas, gdy speła jest erówść: k, χ χk,, (43) 8
9 Ćwczee M-8 gdze jest przyjętym pzmem sttśc p. = 0,05, k lczbą stp swbdy. V. Wykae pmarów. Wykae pmarów statystyczych sprwadza sę d przeprwadzea k. 00 ruchów ruletką zatwaa pższych daych:. welkśc kąta sektra β j, a którym zatrzymała sę strzałka (p. dla β = 0, 40, 60, 80, 60 ).. płżee wskazówk a skal kątwej ( kąt β ). 3. czas "t" trwaa ruchu strzałk d mmetu wprawea jej w ruch d chwl zatrzymaa. Dae te ajwygdej jest zapsać w tabel: Lp β β t VI. Opracwae wyków. W pracwau trzymaych daych statystyczych ależy: a. Dla wybraeg sektra welkśc β wykreślć zależść stsuku m / d dla wartśc wzrastających p. 5 ( m zacza lść przypadków zatrzymaa sę strzałk w wybraym sektrze w ser prób ). Przeaalzwać przebeg krzywej łączącej kleje pukty wykresu z puktu wdzea stablzacj względych częstśc. b. Wykać rzkład częstśc zatrzymaa sę strzałk m razy w ser p. = 9 ezależych prób w wybraym sektrze β = 60, gdze m =,, 3,.... Prówać trzymay rzkład zmeej dyskretej z rzkładem dwumawym, dla któreg prawdpdbeństw zajśca wyróżeg zdarzea wys P = 60/360 = 0,66. a. Wykać rzkład częstśc dla welkśc kąta β (zmeej lswej cągłej ), wskazywaeg przez strzałkę. Zbudwać hstgram dśwadczaly dzeląc cały zakres zmeśc kąta [ 0, 360 ] a klasy (przedzały ) ustalej szerkśc x = δβ. β δβ Szerkść δβ ależy przyjąć jak rówą w przyblżeu /4 dchylea stadardweg σ pstulwaeg rzkładu (w tym przypadku prstkąteg). Peważ teretycza wartść σ dla teg kkreteg rzkładu prstkąteg wys k.04 (patrz wzór (9) (5)), t prpwaa szerkść przedzału wys δβ (/4)04 = 6. Z uwag a t, że lść prze j = = 9
10 Ćwczee M-8 dzałów mus być lczbą całkwtą, statecze berzemy δβ = 4 wówczas lść przedzałów jest rówa j = 360 /4 = 5. Na s Y dłżyć lczebśc zatrzymań strzałk w pszczególych klasach. Oblczyć: wartść średą śred błąd kwadratwy β = β =, ( β β) sβ =. b. Sprawdzć hptezę, ż rzkład (β) jest rzkładem prstkątym. Prawdpdbeństw teg, że zmea lswa czyl kąt β przyjme wartść ależącą d - teg przedzału wys δβ P = δβ =, b a 360 δβ a lczebść teretycza = P =. 360 Na tle rzkładu dśwadczaleg aryswać rzkład teretyczy zazaczyć parametry rzkładu µ σ (patrz wzór (8) raz (9) (5)). Ze wzru (4) zajdujemy χ. Oblczea zebrać w tabel: Nr przedzału δβ = 360 ( ) χ = Pamętajmy, by w przedzałach były wększe d 5. W przecwym raze przedzały ależy płączyć, by 5. Lczba stp swbdy jest rówa lczbe słupków hstgramu p płączeu (jeśl t był kecze) mus (dla rzkładu prstkąteg r = ). Przy przyjętym pzme sttśc dla blczej lczby stp swbdy k dczytać z tablc (p. I pracwa fzycza J. L. Kacpersk) wartść χ. Prówać tę wartść z trzymaą ustsukwać sę d pstawej hptezy. 3. Wykać rzkład dśwadczaly dla czasu t trwaa ruchu strzałk raz wylczyć rzkład teretyczy zakładając kreślą fukcję rzkładu prawdpdbeństwa p. rzkładu rmaleg. Zakładając rzkład rmaly ależy blczyć: wartść średą k, 0
11 Ćwczee M-8 śred błąd kwadratwy t = t =, ( t t) st = Przedstawć wyk dśwadczale w frme grafczej w pstac hstgramu dśwadczaleg, dzeląc przedzał zmeśc zmeej lswej t a j klas szerkśc t każda (wg pdbych zasad jak w przypadku hstgramu prstkąteg). =. Wyk dśwadczale będące pdstawą hstgramu zapsać w tabel Nr przedzału Śrdek przedz. t Lczba przypadków t t j Rzkład dśwadczaly rmalzujemy za pmcą pdstawea u t t = (wa zmea st lswa). Z tablc stadaryzwaeg rzkładu rmaleg dczytujemy gęstść prawdpdbeństwa dla u czyl p(u ). Wyrażee a P = p( u ) u = p( u ) st jest przyblżą wartścą prawdpdbeństwa trzymaa wyku w -tym przedzale szerkśc u, gdze a = t jest szerkścą słupka hstgramu dla zmeej t. Precyzja przyblżea zależy d szerkśc t słupka hstgramu. Na tym samym wykrese c hstgram dśwadczaly zazaczyć pukty rzkładu teretyczeg łącząc je ze sbą lą cągłą (wykrzystać czwartą klumę w tabel pżej ). Zazaczyć parametry teg rzkładu tz. pukty: t = t, t = t ± s wraz z rzędym. Oblczyć wartść χ w spsób pdby jak w pukce b ceć czy załżee rmalśc rzkładu był słusze. Wyk mża zebrać w tabel: Nr przedzału u t t t = p(u ) = p( u ) st st t ( ) j χ =
12 Ćwczee M-8 Czwarta kluma w tabel pdaje wartśc czekwae w -tym przedzale. UWAGA Obszerejszy zarys ter zagadeń przedstawych w tej strukcj mża zaleźć w tekśce strukcj pd takm samym tytułem zaczej jak M-8BIS dstępej w bbltece Fzyk.
[6] H. Hofmokl, A. Zawadzki, Laboratorium fizyczne.
Ćwczee M-5A ROZKŁAD OPORNOŚCI OPORNIKÓW. EKSPERYMENT STATYSTYCZNY I. Cel ćwczea: Pzae charaterysty prawdłwśc zdarzeń statystyczych a pdstawe dśwadczea. II. Przyrządy: III. Lteratura: Multmetr, przewdy
Tablica Galtona. Mechaniczny model rozkładu normalnego
Ćwczee M- Tablca Galta. Mechaczy mdel rzładu rmaleg I. Cel ćwczea: zapzae sę z charaterystyą prawdłwścą zdarzeń statystyczych a pdstawe dśwadczea. II. Przyrządy: tablca Galta, stalwe ul, pzmca. III. Lteratura:
. Wtedy E V U jest równa
Prawdopodobeństwo statystyka 7.0.0r. Zadae Dwuwymarowa zmea losowa Y ma rozkład cągły o gęstośc gdy ( ) 0 y f ( y) 0 w przecwym przypadku. Nech U Y V Y. Wtedy E V U jest rówa 8 7 5 7 8 8 5 Prawdopodobeństwo
JEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA
JEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA Nech E będze zborem zdarzeń elemetarych daego dośwadczea. Fucję X(e) przyporządowującą ażdemu zdarzeu elemetaremu e E jedą tylo jedą lczbę X(e)=x azywamy ZMIENNĄ LOSOWĄ. Przyład:
OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B
OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B W przypadku gdy e występuje statystyczy rozrzut wyków (wszystke pomary dają te sam wyk epewość pomaru wyzaczamy w y sposób. Główą przyczyą epewośc pomaru jest epewość
ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH
ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH ZMIENNA LOSOWA Defcja. Zmeą losową jest fukcja: X: E -> R która każdemu zdarzeu elemetaremu E przypsuje lczbę rzeczywstą e X ( e) R DYSTRYBUANTA Dystrybuatą zmeej losowej X
POPULACJA I PRÓBA. Próba reprezentatywna. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 5 1
POPULACJA I PRÓBA POPULACJĄ w statystyce matematyczej azywamy zbór wszystkch elemetów (zdarzeń elemetarych charakteryzujących sę badaą cechą opsywaą zmeą losową. Zbadae całej populacj (przeprowadzee tzw.
VI. TWIERDZENIA GRANICZNE
VI. TWIERDZENIA GRANICZNE 6.. Wprowadzee Twerdzea gracze dotyczą własośc graczych cągów zmeych losowych dzelą sę a:! twerdzea lokale opsują zbeżośc cągu fukcj prawdopodobeństwa w przypadku cągu {X } zmeych
Prawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadae. W ure zajduje sę 5 kul, z których 5 jest bałych czarych. Losujemy bez zwracaa kolejo po jedej kul. Kończymy losowae w momece, kedy wycągęte zostaą wszystke czare kule. Oblcz wartość oczekwaą lczby
Tablica Galtona. Mechaniczny model rozkładu normalnego (M10)
Tablca Galtoa. Mechaczy model rozkładu ormalego (M) I. Zestaw przyrządów: Tablca Galtoa, komplet kulek sztuk. II. Wykoae pomarów.. Wykoać 8 pomarów, wrzucając kulk pojedyczo.. Uporządkować wyk pomarów,
W zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = =
4. Na podstawe erówośc Cramera Rao wyzacz dole ograczee dla waracj eobcążoego estymatora waracj σ w rozkładze ormalym N(0, σ. W zadau e ma polecea wyzaczaa estymatora eobcążoego o mmalej waracj dla σ,
IV. ZMIENNE LOSOWE DWUWYMIAROWE
IV. ZMIENNE LOSOWE DWUWYMIAROWE 4.. Rozkład zmeej losowej dwuwymarowej Defcja 4.. Uporządkowaą parę (X, Y) azywamy zmeą losową dwuwymarową, jeśl każda ze zmeych X Y jest zmeą losową. Defcja 4.. Fukcję
N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi.
3 Metody estymacj N ( µ, σ ) Wyzacz estymatory parametrów µ 3 Populacja geerala ma rozład ormaly mometów wyorzystując perwszy momet zwyły drug momet cetraly z prób σ metodą 3 Zmea losowa ma rozład geometryczy
Planowanie eksperymentu pomiarowego I
POLITECHNIKA ŚLĄSKA W GLIWICACH WYDZIAŁ INŻYNIERII ŚRODOWISKA ENERGETYKI INSTYTUT MASZYN URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH Plaowae eksperymetu pomarowego I Laboratorum merctwa (M 0) Opracował: dr ż. Grzegorz Wcak
ma rozkład normalny z nieznaną wartością oczekiwaną m
Zadae Każda ze zmeych losowych,, 9 ma rozkład ormaly z ezaą wartoścą oczekwaą m waracją, a każda ze zmeych losowych Y, Y,, Y9 rozkład ormaly z ezaą wartoścą oczekwaą m waracją 4 Założoo, że wszystke zmee
Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. t warunkowo niezależne i mają (brzegowe) rozkłady Poissona:
Zadae. W kolejych okresach czasu t =, ubezpeczoy, charakteryzujący sę parametrem ryzyka Λ, geeruje N t szkód. Dla daego Λ = λ zmee N, N są warukowo ezależe mają (brzegowe) rozkłady Possoa: k λ Pr( N t
W zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = =
4. Na podstawe erówośc Cramera Rao wyzacz dole ograczee dla waracj eobcążoego estymatora waracj σ w rozkładze ormalym N(0, σ ). W zadau e ma polecea wyzaczaa estymatora eobcążoego o mmalej waracj dla σ,
Zadanie 1. ), gdzie 1. Zmienna losowa X ma rozkład logarytmiczno-normalny LN (, . EX (A) 0,91 (B) 0,86 (C) 1,82 (D) 1,95 (E) 0,84
Zadae. Zmea losowa X ma rozkład logarytmczo-ormaly LN (, ), gdze E ( X e X e) 4. Wyzacz. EX (A) 0,9 (B) 0,86 (C),8 (D),95 (E) 0,84 Zadae. Nech X, X,, X0, Y, Y,, Y0 będą ezależym zmeym losowym. Zmee X,
W loterii bierze udział 10 osób. Regulamin loterii faworyzuje te osoby, które w eliminacjach osiągnęły lepsze wyniki:
Zadae W loter berze udzał 0 osób. Regulam loter faworyzuje te osoby, które w elmacjach osągęły lepsze wyk: Zwycęzca elmacj, azyway graczem r. otrzymuje 0 losów, Osoba, która zajęła druge mejsce w elmacjach,
ma rozkład normalny z wartością oczekiwaną EX = EY = 1, EZ = 0 i macierzą kowariancji
Zadae. Zmea losowa (, Y, Z) ma rozkład ormaly z wartoścą oczekwaą E = EY =, EZ = 0 macerzą kowaracj. Oblczyć Var(( Y ) Z). (A) 5 (B) 7 (C) 6 Zadae. Zmee losowe,, K,,K P ( = ) = P( = ) =. Nech S =. Oblcz
( X, Y ) będzie dwuwymiarową zmienną losową o funkcji gęstości
Zadae. Nech Nech (, Y będze dwuwymarową zmeą losową o fukcj gęstośc 4 x + xy gdy x ( 0, y ( 0, f ( x, y = 0 w przecwym przypadku. S = + Y V Y E V S =. =. Wyzacz ( (A 0 (B (C (D (E 8 8 7 7 Zadae. Załóżmy,
Statystyka powtórzenie (II semestr) Rafał M. Frąk
Statstka pwtórzee (II semestr) Rafał M. Frąk TEORIA, OZNACZENIA, WZORY Rdzae mar statstczch mar płżea - wzaczaą przecęta wartść cech statstcze mar zróżcwaa (lub zmeśc, rzprszea, dspers) - wzaczaą słę zróżcwaa
Statystyka Matematyczna Anna Janicka
Statystyka Matematycza Aa Jacka wykład II, 3.05.016 PORÓWNANIE WIĘCEJ NIŻ DWÓCH POPULACJI TESTY NIEPARAMETRYCZNE Pla a dzsaj 1. Porówywae węcej ż dwóch populacj test jedoczykowej aalzy waracj (ANOVA).
będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu o gęstości
Prawdopodobeństwo statystyka 4.0.00 r. Zadae Nech... będą ezależym zmeym losowym z rozkładu o gęstośc θ f ( x) = θ xe gdy x > 0. Estymujemy dodat parametr θ wykorzystując estymator ajwększej warogodośc
Podstawy analizy niepewności pomiarowych (I Pracownia Fizyki)
Podstawy aalzy epewośc pomarowych (I Pracowa Fzyk) Potr Cygak Zakład Fzyk Naostruktur Naotecholog Istytut Fzyk UJ Pok. 47 Tel. 0-663-5838 e-mal: potr.cygak@uj.edu.pl Potr Cygak 008 Co to jest błąd pomarowy?
Obliczanie średniej, odchylenia standardowego i mediany oraz kwartyli w szeregu szczegółowym i rozdzielczym?
Oblczae średej, odchylea tadardowego meday oraz kwartyl w zeregu zczegółowym rozdzelczym? Średa medaa ależą do etymatorów tzw. tedecj cetralej, atomat odchylee tadardowe to etymatorów rozprozea (dyperj)
L.Kowalski PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH
L.Kowalsk PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE TESTY STATYSTYCZNE poteza statystycza to dowole przypuszczee dotyczące rozkładu cechy X. potezy statystycze: -parametrycze dotyczą ezaego parametru, -parametrycze
Zadanie 1. Rzucamy symetryczną monetą tak długo, aż w dwóch kolejnych rzutach pojawią się,,reszki. Oblicz wartość oczekiwaną liczby wykonanych rzutów.
Pradopodobeństo statystya 6..3r. Zadae. Rzucamy symetryczą moetą ta długo aż dóch olejych rzutach pojaą sę resz. Oblcz artość oczeaą lczby yoaych rzutó. (A) 7 (B) 8 (C) 9 (D) (E) 6 Wsazóa: jeśl rzuce umer
Indukcja matematyczna
Iducja matematycza Twerdzee. zasada ducj matematyczej Nech T ozacza pewą tezę o lczbe aturalej. Jeżel dla pewej lczby aturalej 0 teza T 0 jest prawdzwa dla ażdej lczby aturalej 0 z prawdzwośc tezy T wya
Statystyka Opisowa 2014 część 3. Katarzyna Lubnauer
Statystyka Opsowa 014 część 3 Katarzya Lubauer Lteratura: 1. Statystyka w Zarządzau Admr D. Aczel. Statystyka Opsowa od Podstaw Ewa Waslewska 3. Statystyka, Lucja Kowalsk. 4. Statystyka opsowa, Meczysław
ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA POJĘCIE ZMIENNEJ LOSOWEJ
ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA POJĘCIE ZMIENNEJ LOSOWEJ Podstawowe pojęca rachuu prawdopodobeństwa: zdarzee losowe, zdarzee elemetare, prawdopodobeństwo, zbór zdarzeń elemetarych. Def. Nech E będze zborem
Prawdopodobieństwo i statystyka r.
Prawdopodobeństwo statystyka 0.06.0 r. Zadae. Ura zawera kul o umerach: 0,,,,. Z ury cągemy kulę, zapsujemy umer kulę wrzucamy z powrotem do ury. Czyość tę powtarzamy, aż kula z każdym umerem zostae wycągęta
Statystyczne charakterystyki liczbowe szeregu
Statystycze charakterystyk lczbowe szeregu Aalzę badaej zmeej moża uzyskać posługując sę parametram opsowym aczej azywaym statystyczym charakterystykam lczbowym szeregu. Sytetycza charakterystyka zborowośc
Różniczkowanie funkcji rzeczywistych wielu zmiennych. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Różczkowae fukcj rzeczywstych welu zmeych rzeczywstych Matematyka Studum doktoracke KAE SGH Semestr let 8/9 R. Łochowsk Pochoda fukcj jedej zmeej e spojrzee Nech f : ( α, β ) R, α, β R, α < β Fukcja f
Wyrażanie niepewności pomiaru
Wyrażae epewośc pomaru Adrzej Kubaczyk Wydzał Fzyk, Poltechka Warszawska Warszawa, 05 Iformacje wstępe Każdy pomar welkośc fzyczej dokoyway jest ze skończoą dokładoścą, co ozacza, że wyk tego pomaru dokoyway
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 2 ESTYMACJA PUNKTOWA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD ESTYMACJA PUNKTOWA Nech - ezay parametr rozkładu cechy X. Wartość parametru będzemy estymować (przyblżać) a podstawe elemetowej próby. - wyberamy statystykę U o rozkładze
Statystyka Inżynierska
Statystyka Iżyerska dr hab. ż. Jacek Tarasuk AGH, WFIS 013 Wykład 3 DYSKRETNE I CIĄGŁE ROZKŁADY JEDNOWYMIAROWE, PODSTAWY ESTYMACJI Dwuwymarowa, dyskreta fukcja rozkładu rawdoodobeństwa, Rozkłady brzegowe
będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym 2 x
Prawdopodobeństwo statystyka 8.0.007 r. Zadae. Nech,,, rozkładze z gęstoścą Oblczyć m E max będą ezależym zmeym losowym o tym samym { },,, { },,, gdy x > f ( x) = x. 0 gdy x 8 8 Prawdopodobeństwo statystyka
EKSTREMA FUNKCJI EKSTREMA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Tw. Weierstrassa Każda funkcja ciągła na przedziale domkniętym ma wartość najmniejszą i największą.
Joaa Ceślak, aula Bawej ESTREA FUNCJI ESTREA FUNCJI JEDNEJ ZIENNEJ Otoczeem puktu R jest każdy przedzał postac,+, gdze >. Sąsedztwem puktu jest każdy zbór postac,,+, gdze >. Nech R, : R oraz ech. De. ówmy,
Permutacje. } r ( ) ( ) ( ) 1 2 n. f = M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I Wykład 2-2
Permutacje { 2,,..., } Defcja: Permutacją zboru lczb azywamy dowolą różowartoścową fukcję określoą a tym zborze o wartoścach w tym zborze. Uwaga: Lczba wszystkch permutacj wyos! Permutacje zapsujemy w
[, ] [, ] [, ] ~ [23, 2;163,3] 19,023 2,7
6. Przez 0 losowo wybrayh d merzoo zas dojazdu do pray paa A uzyskują próbkę x,..., x 0. Wyk przedstawały sę astępująo: jest to próbka losowa z rozkładu 0 0 x 300, 944. x Zakładamy, że N ( µ, z ezaym parametram
Podstawowe pojcia. Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 7: Statystyka opisowa. Rozkłady prawdopodobiestwa wystpujce w statystyce.
Metody probablstycze statystyka Wykład 7: Statystyka opsowa. Rozkłady prawdopodobestwa wystpujce w statystyce. Podstawowe pojca Populacja geerala - zbór elemetów majcy przyajmej jed włacwo wspól dla wszystkch
Monika Jeziorska - Pąpka Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu
DYNAMICZNE MODELE EKONOMERYCZNE X Ogólopolske Semarum Naukowe, 4 6 wrześa 2007 w oruu Katedra Ekoometr Statystyk, Uwersytet Mkołaja Koperka w oruu Moka Jezorska - Pąpka Uwersytet Mkołaja Koperka w oruu
Miary położenia wskazują miejsce wartości najlepiej reprezentującej wszystkie wielkości danej zmiennej. Mówią o przeciętnym poziomie analizowanej
Podstawy Mary położea wskazują mejsce wartośc ajlepej reprezetującej wszystke welkośc daej zmeej. Mówą o przecętym pozome aalzowaej cechy. Średa arytmetycza suma wartośc zmeej wszystkch jedostek badaej
ELEMENTY TEORII MOŻLIWOŚCI
ELEMENTY TEORII MOŻLIWOŚCI Opracował: M. Kweselewcz Zadeh (978) wprowadzł pojęce rozkładu możlwośc jako rozmyte ograczee, kóre odzaływuje w sposób elastyczy a wartośc przypsae daej zmeej. Defcja. Nech
D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne (wykład 2 _AW&D) [1] Postać kanoniczna liniowego modelu decyzyjnego (ogólnie)
D. Mszczyńska, M.Mszczyńsk KBO UŁ, Badaa peracyje (wykład 2 _AW&D) [] Pstać kacza lweg mdelu decyzyjeg (góle) Zajdź wartść ajwększą (ajmejszą) fukcj celu f c c c ma(m) przy warukach a a a 2 m 2 2 a a a
Metoda Monte-Carlo i inne zagadnienia 1
Metoda Mote-Carlo e zagadea Metoda Mote-Carlo Są przypadk kedy zamast wykoać jakś eksperymet chcelbyśmy symulować jego wyk używając komputera geeratora lczb (pseudolosowych. Wększość bblotek programów
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 1. Wiadomości wstępne
TATYTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD Wadomośc wstępe tatystyka to dyscypla aukowa, której zadaem jest wykrywae, aalza ops prawdłowośc występujących w procesach masowych. Populacja to zborowość podlegająca badau
wyniki serii n pomiarów ( i = 1,..., n) Stosując metodę największej wiarygodności możemy wykazać, że estymator wariancji 2 i=
ESTYMATOR WARIANCJI I DYSPERSJI Ozaczmy: µ wartość oczekwaa rozkładu gauowkego wyków pomarów (wartość prawdzwa merzoej welkośc σ dyperja rozkładu wyków pomarów wyk er pomarów (,..., Stoując metodę ajwękzej
k k M. Przybycień Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Wykład 13-2
Pojęce przedzału ufośc Przyład: Rozważmy pewe rzad proces (tz. ta tórego lczba zajść podlega rozładow Possoa). W cągu pewego czasu zaobserwowao =3 tae zdarzea. Oceć możlwy przedzał lczby zdarzeń tego typu
STATYKA. Cel statyki. Prof. Edmund Wittbrodt
STATYKA Cel statyk Celem statyk jest zastąpee dowolego układu sł ym, rówoważym układem sł, w tym układem złożoym z jedej tylko sły jedej pary sł (redukcja do sły mometu główego) lub zbadae waruków, jake
Mh n. 2 ε. h h/ n n. Ekstrapolacja Richardsona (szacowanie błędu) błąd. ekstrapolowana wartość całki I. kwadratury z adaptowanym krokiem
Ekstrapolacja Rchardsoa (szacowae błędu) dla daej, ustaloej metody błąd Mh zakładając, że M jest w przyblżeu ezależe od h I I + Mh h h/ / I I + Mh ekstrapolowaa wartość całk I I e I h / + Ih / ( I h )
Materiały do wykładu 7 ze Statystyki
Materał do wkładu 7 ze Statstk Aalza ZALEŻNOŚCI pomędz CECHAMI (Aalza KORELACJI REGRESJI) korelacj wkres rozrzutu (korelogram) rodzaje zależośc (brak, elowa, lowa) pomar sł zależośc lowej (współczk korelacj
Wyznaczanie oporu naczyniowego kapilary w przepływie laminarnym.
Wyzaczae oporu aczyowego kaplary w przepływe lamarym. I. Przebeg ćwczea. 1. Zamkąć zawór odcający przewody elastycze a astępe otworzyć zawór otwerający dopływ wody do przewodu kaplarego. 2. Ustawć zawór
Pomiary bezpośrednie i pośrednie obarczone błędem przypadkowym
Pomary bezpośrede pośrede obarczoe błędem przypadkowym I. Szacowae wartośc przyblŝoej graczego błędu przypadkowego a przykładze bezpośredego pomaru apęca elem ćwczea jest oszacowae wartośc przyblŝoej graczego
Analiza Matematyczna Ćwiczenia. J. de Lucas
Aalza Matematycza Ćwczea J. de Lucas Zadae. Oblczyć grace astępujących fucj a lm y 3,y 0,0 b lm y 3 y ++y,y 0,0 +y c lm,y 0,0 + 4 y 4 y d lm y,y 0,0 3 y 3 e lm,y 0,0 +y 4 +y 4 f lm,y 0,0 4 y 6 +y 3 g lm,y
Podstawowe zadanie statystyki. Statystyczna interpretacja wyników eksperymentu. Zalety statystyki II. Zalety statystyki
tatystycza terpretacja wyków eksperymetu Małgorzata Jakubowska Katedra Chem Aaltyczej Wydzał IŜyer Materałowej Ceramk AGH Podstawowe zadae statystyk tatystyka to uwersale łatwo dostępe arzędze, które pomaga
Matematyka dyskretna. 10. Funkcja Möbiusa
Matematyka dyskreta 10. Fukcja Möbusa Defcja 10.1 Nech (P, ) będze zborem uporządkowaym. Mówmy, że zbór uporządkoway P jest lokale skończoy, jeśl każdy podzał [a, b] P jest skończoy, a, b P Uwaga 10.1
METODY ANALIZY DANYCH DOŚWIADCZALNYCH
POLITECHNIKA Ł ÓDZKA TOMASZ W. WOJTATOWICZ METODY ANALIZY DANYCH DOŚWIADCZALNYCH Wybrae zagadea ŁÓDŹ 998 Przedsłowe Specyfką teor pomarów jest jej wtóry charakter w stosuku do metod badawczych stosowaych
Powinowactwo chemiczne Definicja oraz sens potencjału chemicznego, aktywność Termodynamiczne funkcje mieszania
ermdyamka układów rzeczywstych 2.7.1. Pwwactw chemcze 2.7.2. Defcja raz ses tecjału chemczeg aktywść 2.7.3. ermdyamcze fukcje meszaa 2.7.4. Klasyfkacja rztwrów Waruk ztermcz-zchrycze ) ( V F F j V V d
Podstawy opracowania wyników pomiarowych, analiza błędów
Podstawy opracowaa wyków pomarowych, aalza błędów I Pracowa Fzycza IF UJ Grzegorz Zuzel Lteratura I Pracowa fzycza Pod redakcją Adrzeja Magery Istytut Fzyk UJ Kraków 2006 Wstęp do aalzy błędu pomarowego
PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE
Marek Cecura, Jausz Zacharsk PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE CZĘŚĆ II STATYSTYKA OPISOWA Na prawach rękopsu Warszawa, wrzeseń 0 Data ostatej aktualzacj: czwartek, 0 paźdzerka
ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE
ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT.. Zagadee trasportowe w postac tablcy Z m puktów (odpowedo A,...,A m ) wysyłamy edorody produkt w loścach a,...,a m do puktów odboru (odpowedo B,...,B ), gdze est odberay w
f f x f, f, f / / / METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH niech N = 2 (2 równania różniczkowe zwyczajne liniowe I-rz.) lub jedno II-rzędu
METODA RÓŻIC SKOŃCZOYCH (omówee a przykładze rówań lowych) ech ( rówaa różczkowe zwyczaje lowe I-rz.) lub jedo II-rzędu f / / p( x) f / + q( x) f + r( x) a x b, f ( a) α, f ( b) β dea: a satce argumetu
System finansowy gospodarki
System fasowy gospodark Zajęca r 6 Matematyka fasowa c.d. Rachuek retowy (autetowy) Maem rachuku retowego określa sę regulare płatośc w stałych odstępach czasu przy założeu stałej stopy procetowej. Przykłady
PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH. dr Michał Silarski
PODTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH dr Mchał larsk I Pracowa Fzycza IF UJ, 9.0.06 Pomar Pomar zacowae wartośc prawdzwej Bezpośred (welkość fzycza merzoa jest
PŁASKA GEOMETRIA MAS. Środek ciężkości figury płaskiej
PŁAKA GEOMETRIA MA Środek cężkośc fgury płaskej Mometam statyczym M x M y fgury płaskej względem os x lub y (rys. 7.1) azywamy gracę algebraczej sumy loczyów elemetarych pól d przez ch odległośc od os,
Laboratorium Metod Statystycznych ĆWICZENIE 2 WERYFIKACJA HIPOTEZ I ANALIZA WARIANCJI
Laboatoum Metod tatystyczych ĆWICZENIE WERYFIKACJA HIPOTEZ I ANALIZA WARIANCJI Oacowała: Katazya tąo Weyfkaca hotez Hoteza statystycza to dowole zyuszczee dotyczące ozkładu oulac. Wyóżamy hotezy: aametycze
FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH
FUNKCJE DWÓCH MIENNYCH De. JeŜel kaŝdemu puktow (, ) ze zoru E płaszczz XY przporządkujem pewą lczę rzeczwstą z, to mówm, Ŝe a zorze E określoa została ukcja z (, ). Gd zór E e jest wraźe poda, sprawdzam
1. Relacja preferencji
dr Mchał Koopczyńsk EKONOMIA MATEMATYCZNA Wykłady, 2, 3 (a podstawe skryptu r 65) Relaca preferec koszyk towarów: przestrzeń towarów: R + = { x R x 0} x = ( x,, x ) X X R+ x 0 x 0 =, 2,, x~y xf y x y x
5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA
5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA Zdarza sę dość często, że zależośc występujące w aalzowaych procesach (p. ospodarczych) mają charakter elowy. Dlateo też, oprócz lowych zadań decyzyjych, formułujemy także elowe
Regresja REGRESJA
Regresja 39. REGRESJA.. Regresja perwszego rodzaju Nech (, będze dwuwyarową zeą losową, dla które steje kowaracja. Nech E( y ozacza warukową wartość oczekwaą zdefowaą dla przypadku zeych losowych typu
Jego zależy od wysokości i częstotliwości wypłat kuponów odsetkowych, ceny wykupu, oczekiwanej stopy zwrotu oraz zapłaconej ceny za obligację.
Wrażlwość oblgacj Jedym z czyków ryzyka westowaa w oblgacje jest zmeość rykowych stóp procetowych. Iżyera fasowa dyspouje metodam pozwalającym zabezpeczyć portfel przed egatywym skutkam zma stóp procetowych.
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Zajęcia 7-8
Stasław Cchock Natala Nehreecka Zajęca 7-8 . Testowae łączej stotośc wyraych regresorów. Założea klasyczego modelu regresj lowej 3. Własośc estymatora MNK w KMRL Wartość oczekwaa eocążoość estymatora Waracja
Pomiary parametrów napięć i prądów przemiennych
Ćwczee r 3 Pomary parametrów apęć prądów przemeych Cel ćwczea: zapozae z pomaram wartośc uteczej, średej, współczyków kształtu, szczytu, zekształceń oraz mocy czyej, berej, pozorej współczyka cosϕ w obwodach
Średnia arytmetyczna Klasyczne Średnia harmoniczna Średnia geometryczna Miary położenia inne
Mary położea Średa arytmetycza Klasycze Średa harmocza Średa geometrycza Mary położea e Modala Kwartyl perwszy Pozycyje Medaa (kwartyl drug) Kwatyle Kwartyl trzec Decyle Średa arytmetycza = + +... + 2
AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE
AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE Istytut Iżyer Ruchu Morskego Zakład Urządzeń Nawgacyjych Istrukcja r 0 Wzory do oblczeń statystyczych w ćwczeach z radoawgacj Szczec 006 Istrukcja r 0: Wzory do oblczeń statystyczych
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
,,, ~ B, β ( β β ( ( Γ( β Γ + f ( Γ ( + ( + β + ( + β Γ + β Γ + Γ + β Γ + + β E Γ Γ β Γ Γ + + β Γ + Γ β + β β β Γ + β Γ + Γ + β Γ + + β E ( Γ Γ β Γ Γ + + β Γ + Γ β β + β Metoda mometów polega a przyrówau
Wstęp do prawdopodobieństwa. Dr Krzysztof Piontek. Literatura:
Studum podyplomowe altyk Fasowy Wstęp do prawdopodobeństwa Lteratura: Ostasewcz S., Rusak Z., Sedlecka U.: Statystyka elemety teor zadaa, kadema Ekoomcza we Wrocławu 998. mr czel: Statystyka w zarządzau,
L.Kowalski zadania ze statystyki opisowej-zestaw 5. ZADANIA Zestaw 5
L.Kowalsk zadaa ze statystyk opsowej-zestaw 5 Zadae 5. X cea (zł, Y popyt (tys. szt.. Mając dae ZADANIA Zestaw 5 x,5,5 3 3,5 4 4,5 5 y 44 43 43 37 36 34 35 35 Oblcz współczyk korelacj Pearsoa. Oblcz współczyk
Elementy arytmetyki komputerowej
Elemety arytmetyk komputerowej cz. I Elemety systemów lczbowych /materał pomocczy do wykładu Iformatyka sem II/ Sps treśc. Wprowadzee.... Wstępe uwag o systemach lczbowych... 3. Przegląd wybraych systemów
Modele wartości pieniądza w czasie
Joaa Ceślak, Paula Bawej Modele wartośc peądza w czase Podstawowe pojęca ozaczea Kaptał (ag. prcpal), kaptał początkowy, wartośd początkowa westycj - peądze jake zostały wpłacoe a początku westycj (a początku
LABORATORIUM AKUSTYKI
BORORIUM KUSYKI ĆWICZEIE R 3 Pmar aalza cśea akustyczeg.cel ćwczea Celem ćwczea jest pzae spsbu pmaru aalzy wdmwej przebegów akustyczych..układ pmarwy 4 5 3 6 7 - geeratr - krektr graczy 3- wzmacacz mcy
będzie próbką prostą z rozkładu normalnego ( 2
Zadae. eh K będze próbką prostą z rozkładu ormalego ( μ σ ) zaś: ( ) S gdze:. Iteresuje as względy błąd estymaj: σ R S. σ rzy wartość ozekwaa E R jest rówa ( ) (A).8 (B).9 (C). (D). (E). Zadae. eh K K
KONCEPCJA WIELOKRYTERIALNEGO WSPOMAGANIA DOBORU WARTOŚCI PROGOWEJ W BIOMETRYCZNYM SYSTEMIE UWIERZYTELNIANIA. Adrian Kapczyński Maciej Wolny
KONCEPCJA WIELOKRYTERIALNEGO WSPOMAGANIA DOBORU WARTOŚCI PROGOWEJ W BIOMETRYCZNYM SYSTEMIE UWIERZYTELNIANIA Adra Kapczyńsk Macej Woly Wprowadzee Rozwój całego spektrum coraz doskoalszych środków formatyczych
I. Elementy analizy matematycznej
WSTAWKA MATEMATYCZNA I. Elementy analzy matematycznej Pochodna funkcj f(x) Pochodna funkcj podaje nam prędkość zman funkcj: df f (x + x) f (x) f '(x) = = lm x 0 (1) dx x Pochodna funkcj podaje nam zarazem
OKREŚLANIE NIEPEWNOŚCI POMIARÓW (poradnik do Laboratorium Fizyki)
Adrzej Kubaczyk Laboratorum Fzyk I Wydzał Fzyk Poltechka Warszawska OKREŚLANIE NIEPEWNOŚCI POMIARÓW (poradk do Laboratorum Fzyk) ROZDZIAŁ Wstęp W roku 995 z cjatywy Mędzyarodowego Komtetu Mar (CIPM) zostały
= n ESTYMACJA PUNKTOWA. 1. Estymacja punktowa dla wartości średniej - określanie błędu standardowego s s sˆ n
ESTYMACJA PUNKTOWA 1. Estymacja puktwa dla wartści średiej - kreślaie błędu stadardweg s s sˆ s( x) = = 1 k k 1 s( p*) = = p * q * Zad. 1. Oblicz średi błąd szacwaia s raz przecięty błąd względy v dla
TARCIE CIĘGIEN O POWIERZCHNIĘ WALCOWĄ WZÓR EULERA
Ćwczee 8 TARCIE CIĘGIEN O POWIERZCHNIĘ WALCOWĄ WZÓR EULERA 8.. Cel ćwczea Celem ćwczea jest wyzaczee statyczego współczyka tarca pomędzy walcową powerzchą cała a opasującą je lą. Poadto a drodze eksperymetalej
TESTY NORMALNOŚCI. ( Cecha X populacji ma rozkład normalny). Hipoteza alternatywna H1( Cecha X populacji nie ma rozkładu normalnego).
TESTY NORMALNOŚCI Test zgodośc Hpoteza zerowa H 0 ( Cecha X populacj ma rozkład ormaly). Hpoteza alteratywa H1( Cecha X populacj e ma rozkładu ormalego). Weryfkacja powyższych hpotez za pomocą tzw. testu
8.1 Zbieżność ciągu i szeregu funkcyjnego
Rozdzał 8 Cąg szereg fukcyje 8.1 Zbeżość cągu szeregu fukcyjego Dla skrócea zapsu przyjmjmy pewe ozaczee. Defcja. Nech X, Y. Przez Y X ozaczamy zbór wszystkch fukcj określoych a zborze X o wartoścach w
O liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi
O liczbach aturalych, których suma rówa się iloczyowi Lew Kurladczyk i Adrzej Nowicki Toruń UMK, 10 listopada 1998 r. Liczby aturale 1, 2, 3 posiadają szczególą własość. Ich suma rówa się iloczyowi: Podobą
FINANSE II. Model jednowskaźnikowy Sharpe a.
ODELE RYNKU KAPITAŁOWEGO odel jedowskaźkowy Sharpe a. odel ryku kaptałowego - CAP (Captal Asset Prcg odel odel wycey aktywów kaptałowych). odel APT (Arbtrage Prcg Theory Teora artrażu ceowego). odel jedowskaźkowy
Wykłady z Analizy rzeczywistej i zespolonej w Matematyce stosowanej. Literatura. W. Rudin: Podstawy analizy matematycznej, PWN, Warszawa, 1982.
Wyłady z Aalzy rzeczywstej zespoloej w Matematyce stosowaej Lteratura W Rud: Podstawy aalzy matematyczej, PWN, Warszawa, 1982 W Rud: Aalza rzeczywsta zespoloa, PZWS, Warszawa, 1986 W Szabat: Wstęp do aalzy
Lekcja 1. Pojęcia podstawowe: Zbiorowość generalna i zbiorowość próbna
TECHNIKUM ZESPÓŁ SZKÓŁ w KRZEPICACH PRACOWNIA EKONOMICZNA TEORIA ZADANIA dla klasy II Techkum Marek Kmeck Zespół Szkół Techkum w Krzepcach Wprowadzee do statystyk Lekcja Statystyka - określa zbór formacj
Ze względu na sposób zapisu wielkości błędu rozróżnia się błędy bezwzględne i względne.
Katedra Podsta Systemó Techczych - Podstay metrolog - Ćczee 3. Dokładość pomaró, yzaczae błędó pomaroych Stroa:. BŁĘDY POMIAROWE, PODSTAWOWE DEFINICJE Każdy yk pomaru bez określea dokładośc pomaru jest
( ) ( ) 2. Zadanie 1. są niezależnymi zmiennymi losowymi o. oraz. rozkładach normalnych, przy czym EX. i σ są nieznane. 1 Niech X
Prawdopodobeństwo statystyka.. r. Zadane. Zakładamy, że,,,,, 5 są nezależnym zmennym losowym o rozkładach normalnych, przy czym E = μ Var = σ dla =,,, oraz E = μ Var = 3σ dla =,, 5. Parametry μ, μ σ są
UOGÓLNIONA ANALIZA WRAŻLIWOŚCI ZYSKU W PRZEDSIĘBIORSTWIE PRODUKUJĄCYM N-ASORTYMENTÓW. 1. Wprowadzenie
B A D A N I A O P E R A C Y J N E I D E C Y J E Nr 2 2007 Aa ĆWIĄKAŁA-MAŁYS*, Woletta NOWAK* UOGÓLNIONA ANALIA WRAŻLIWOŚCI YSKU W PREDSIĘBIORSTWIE PRODUKUJĄCYM N-ASORTYMENTÓW Przedstawoo ajważejsze elemety
Statystyczna analiza miesięcznych zmian współczynnika szkodowości kredytów hipotecznych
dr Ewa Wycka Wyższa Szkoła Bakowa w Gdańsku Wtold Komorowsk, Rafał Gatowsk TZ SKOK S.A. Statystycza aalza mesęczych zma współczyka szkodowośc kredytów hpoteczych Wskaźk szkodowośc jest marą obcążea kwoty/lczby
Analiza danych pomiarowych
Materały pomoccze dla studetów Wydzału Chem UW Opracowała Ageszka Korgul. Aalza daych pomarowych wersja trzeca, uzupełoa Lteratura, Wstęp 3 R OZDZIAŁ SPRAWOZDANIE Z DOŚWIADCZENIA FIZYCZNEGO 4 Stałe elemety