[6] H. Hofmokl, A. Zawadzki, Laboratorium fizyczne.

Transkrypt

1 Ćwczee M-5A ROZKŁAD OPORNOŚCI OPORNIKÓW. EKSPERYMENT STATYSTYCZNY I. Cel ćwczea: Pzae charaterysty prawdłwśc zdarzeń statystyczych a pdstawe dśwadczea. II. Przyrządy: III. Lteratura: Multmetr, przewdy zacs mcwaa. [] J. L. Kacpers, I Pracwa fzycza, [] J. L. Kacpers, K. Nedźwedzu; I Pracwa fzycza, [3] J. L. Kacpers Opracwae daych pmarwych ; [4] K. Małuszyńsa, M. Przytuła Labratrum fzy ądrwe, [5] M. Kaczmarczy Ćwczee statystycze. Stablzaca względych częstśc rzład względych częstśc zdarzeń (struca pracwaa, [6] H. Hfml, A. Zawadz, Labratrum fzycze. IV. Rzład rmaly Przy pmarze welśc fzyczych trzymae wy zależą d welu czyów, częst ezależych d prwadząceg pmar. Dzałae ch pwdue pawee sę błędu pmaru. Ne esteśmy w stae przewdzeć wyu pmaru wyaeg w daych waruach. Wy est welścą zmeaącą sę przypadw w pewych gracach, eedy esńczych. Welść tą azywamy zmeą lswą, charateryzwaą przez pewe rzład, tóry będze szerszy (w przypadu gdy wystąp wele czyów załócaących lub węższy (gdy czyów będze ewele. Rzład dśwadczaly azywamy hstgramem. W przypadu edy wyem pmaru mgą być tyl etóre wartśc z dstępeg przedzału mówmy, że est t zmea lswa swa (dysreta. W przypadu edy wyem pmaru mże być dwla wartść mówmy zmee lswe cągłe. Wyamy serę pmarów pewe welśc x. Nech trzymae wy pmaru x, x, x 3, x przymuą wartśc z reśleg przedzału raz ech lczba pmarów speła warue >> 0 (est t lść wystarczaąca d uzysaa w pratyce przyblżea rzładu rmaleg. Na hstgrame (rys. mżemy przedstawć dae dśwadczale dzeląc e a przedzały (lasy rówe szerśc x. Szerść przedzału pwa wysć w gracach σ ze względu 4 6 a przerzystść hstgramu, gdze σ est dchyleem stadardwym (patrz dale. Ilść przedzałów mus być lczbą całwtą. Na s rzędych dładamy lść pmarów dpwadaących daemu przedzałw ( x x/, x + x/, a a s dcętych przedzałów szerśc x ( x est śrdem -teg przedzału. Zachdz czywśce Otrzymae wartśc aczęśce są zgrupwae w bszarze zaduącym sę w śrdwe częśc hstgramu. Im dale d teg bszaru tym me bserwue sę przypadów, stąd częstść występwaa tae wartśc malee. Częstść występwaa merzymy stsuem lczby pmarów w daym przedzale d całwte lczby pmarów czyl. /6

2 Ćwczee M-5A x Rys. Hstgram dśwadczaly pewe welśc x śrdem -teg przedzału. Dla dchylea stadardweg σ: P ( W przypadu, gdy lczba pmarów wzrasta, a szerść x malee, rzład wyów dśwadczalych w przypadu graczym dae rzywą cągłą, tóra wyraża sę rzładem rmalym Gaussa. Krzywa est symetrycza względem wartśc średe charateryzuą ą dwa parametry: wartść średa x dchylee stadardwe σ. Wartść średa reśla płżee masmum rzywe, a dchylee stadardwe e szerść. Mamy węc σ s x x ( lub x x (a gdy próba pmarwa pdzela est a przedzały (lasy. Tuta x est wyem pmaru a x est (x x (3 x lub σ s (x x (3a dla próby pdzele a przedzały; s est średm błędem wadratwym pedyczeg pmaru. W przypadu, gdy est bardz duże, rzład wyów pmarów mża przedstawć w pstac fuc, tórą wyraża rzład rmaly. p(x e σ π ( x x Fucę p(x azywamy gęstścą prawdpdbeństwa rzładu rmaleg. Ilczy p(x dx staw prawdpdbeństw zalezea wartśc x w przedzale (x dx/, x + dx/, ym słwy est t prawdpdbeństw przyęca przez zmeą lswą wartśc z przedzału (x dx/, x + dx/ (zaceme ple a rys.. σ (4 /6

3 Ćwczee M-5A W przypadu pdstawea u x x σ Fuca p(x est symetrycza względem x tz. wartśc rzeczywste welśc merze. Wartść średa x est blsa wartśc rzeczywste x. W pratyce dla ser zaweraące bardz dużą lczbę pmarów przymuemy, że x x raz σ s Prawdpdbeństw teg, że wy przyme edą z wartśc d zera d esńczśc wys + P(- <x< p ( x dx (5 c dpwada pewśc. Ple pwerzch pd rzywą rówe est edśc. rzywa rówau (4 ulega przesuęcu w lew dce x, a dcęte są wyraże w edstach σ. W wyu w/w zma trzymuemy tzw. rzywą zrmalzwaą parametrach x 0, σ. Rówae (4 przymue pstać p(u e (6 π Wartśc fuc p(u w zależśc d u są stabelaryzwae (patrz pzyce lteratury []- [3],[6]. Z dśwadczalych wyów blczamy u, a wartść gęstśc prawdpdbeństwa p(u dczytuemy z tabel. Aby wyres teretyczy prówać z hstgramem dśwadczalym ależy e ałżyć a sebe, blczaąc uprzed teretyczą lczbę przypadów występwaa w pszczególych przedzałach. Peważ prawdpdbeństw teg, że wy pmaru leży w przedzale ( x x/, p( u x + x/ wys P p( x x, a p( x, t wówczas wyrzystuąc rówae ( p σ ewelm przeształceu dla przedzału szerśc x trzymamy x p(u (7 σ V. Test zgdśc χ ( ch-wadrat (. Spdzewaą teretyczą lczbę bserwac w -tym przep(x Rzład dśwadczaly reśle welśc fzycze mża prówać z rzładem teretyczym. Jeśl e esteśmy pew, że zbór daych dśwadczalych pdlega załżemu rzładw, wyuemy tzw. test zgdśc χ (test Pearsa. Nech wartśc trzymae w wyu pmaru wyszą x, x.x. Pdzelmy ś dcętych a przedzałów ażdy szerśc x ( x x/, x + x/, gdze,,.. Nech P zacza prawdpdbeństw, że zmea lswa x rzładze p(x przymue wartśc z przedzału x x/, x + x/, ech zacza dśwadczalą lczbę pmarów dpwadaącą przedzałw ( x x/, x + x/, a x -σ x x +σ dx Rys. Fuca gęstśc prawdpdbeństwa u x 3/6

4 Ćwczee M-5A dzale pdae wzór (7. Wówczas a ryterum zgdśc rzładu, z rzładem rmalym przymuemy welść: ( χ (8 tórą azywamy zmeą ch- wadrat stpach swbdy. Ilść stp swbdy blczamy z relac r (9 gdze est t lczba przedzałów, a r lczba parametrów rzładu teretyczeg dla rzładu rmaleg r Optymala lczba przedzałów est blsa perwastw z lczby przypadów:. W przypadu stswaa testu χ pwy być spełe astępuące waru: lczba przedzałów > 6 8, lczba stp swbdy 4, lść pmarów w ażdym przedzale > 5 (w przecwym wypadu ależy płączyć w ede przedzał la sraych przedzałów. Testwae rzładu będze plegał a blczeu wartśc χ zgde ze wzrem (8 prówau e ze stabelaryz- waym rzładem χ,α dla lczby stp swbdy załżeg pzmu sttśc α (zwyle α 0,05. Hptezę zgdśc rzładu esperymetaleg teretyczeg przymuemy, gdy speła est erówść χ χ (0, gdze α est przyętym pzmem sttśc. Węce a temat rzładu testu str.6 raz w [] [4]. α χ w Uzupełeu VI. Pmary Pmar prśc wszystch prów wyuemy multmetrem cyfrwym, wyrzystuąc g a mmerz. Kńce prów chwytamy rdylam, tórym są zańcze z ede stry przewdy pmarwe lub wyrzystuemy dpwedą prawę zacsaącą pr. Pmar dla daeg pra wyuemy ede raz. VII. Opracwae wyów. Ustalamy wartść mmalą R m R max zaduemy zares R max R m.. W/w zares dzelmy a przedzałów szerśc R, uwzględaąc przy tym rytera dla (trzeba sę zdecydwać a ed ryterum. 3. Zaduemy lść pmarów w daym przedzale. 4. Oblczamy wartść R ze wzru (a dchylee stadardwe σ s ze wzru (3a wyrzystuąc dpwede lumy tabel. 5. Oblczamy teretyczą wartść (luma 0 w tabel. Uprzed zaduemy u d- czytuemy z właścwe tablcy wartśc p(u. Teretycza wartść ds sę d śrda przedzału, tóreg wartść wys: R R + R. Wy blczea zapsuemy w tab.. Kluma tabel zawera przedzały wartśc prów edmęte z prawe stry. 6. Na pdstawe 4 lumy wyuemy hstgram dśwadczaly. Na eg aładamy wartśc teretycze (luma 0 w tabel. Pzwala t ceć w przyblżeu charater rzładu (w przypadu wątplwśc patrz w pz.[], [4]. 4/6

5 Ćwczee M-5A [R,R + R R R M R R (R R u (R R s p( u Tab. Rp(u s 7. Sprawdzamy rmalść rzładu prób prów przy pmcy testu χ. Zam blczymy wartść χ musmy sprawdzć, czy zstały spełe wszyste rytera dla przeprwadzea w/w testu (patrz str. 3 te struc, zwłaszcza czy lczebśc przedzałów są węsze d m 5. Jeśl te warue e est speły, ależy płączyć dpwedą lczbę sąsaduących przedzałów (a w tabel. W przypadu grupwaa przedzałów ależy pamętać, że ch lczba ulega zmeszeu lczbę tych zsypaych. Zmeszy sę też dpwed lczba stp swbdy (wzór 9. Węce patrz [] str.6. Krzystaąc z tabel twrzymy tabelę blczamy wartść χ. Dla pzmu sttśc α 0,05 zae lczby stp swbdy z właścwe tabel dczytuemy. Jeśl zachdz relaca (0 hptezę zgdśc rzładu esperymetaleg χ,α teretyczeg przymuemy. Jeśl est dwrte hptezę drzucamy. Tab Nr przedzału Rp(u (R R u p(u s s ( } } M M M ( } } χ 8. Przeprwadzamy dysusę wyaeg dśwadczea trzymaych wyów. 5/6

6 Ćwczee M-5A VIII. UZUPEŁNIENIE Rzład χ, test χ, pzm sttśc. Jeśl u, u,..., u są zmeym lswym pdlegaącym rzładw rmalemu wartśc średe rówe 0 dchyleu stadardwemu σ, t wyrażee u χ ( reśla wą zmeą lswą χ (ch-wadrat. Pdlega a rzładw, tóreg gęstść prawdpdbeństwa psaa est fucą p(χ. Pstać aaltycza fuc est dść złża e zameszczamy e w struc (mża ą zaleźć w [3], [4]. Jedyym parametrem teg rzładu est lczba stp swbdy. Lczba stp swbdy est rówa: r ( lczba sładów sumy (, r lczba parametrów załżeg rzładu. Przebeg fuc gęstśc prawdpdbeństwa p(χ dla peweg przedstawa rysue 3. Prawdpdbeństw teg, że zmea χ p(χ przyme wartść węszą d pewe wartśc χ wys ( χ >χ p( χ, α χ P dχ α ( Parametr α s azwę pzmu sttśc est rówy ceme pwerzch a rysuu 3 (ta χ,α χ est, eśl mamy d czyea z rzładem urmwaym całwta pwerzcha pd rzywą Rys. 3 Fuca gęstśc prawdpdbeństwa rzładu χ dla pewe wartśc zamść est stta w welu zagadeach est rówa. Prawdpdbeństwa P, tórych statystyczych są stabelaryzwae (p. w [3] [6],. Isteą dwa rdzae tablc. Jede pdaą dla różych wartśc prawdpdbeństw teg, że zmea lswa przyme wartść węszą d reśle lczby χ. Drug rdza tablc pdae dla różych wartśc parametru tae lczby rzeczywste χ, że prawdpdbeństw przybraa przez zmeą lswą wartśc węsze d dae lczby est rówe z góry dae lczbe α. Przyętą hptezę (p., że rzład dśwadczaly est rzładem rmalym sprawdzamy rzystaąc z własśc rzładu χ. Naperw dla ptrzeb testu blczamy wartść χ dla asze ser pmarów (wg wzru (8 te struc. Ozaczamy tę wartść przez χ. Następe z pwdu stea dwóch rdzaów tablc stsuemy sę d ede z psaych że prcedur.. Krzystaąc z dpwede tablcy [] zaduemy prawdpdbeństw α P P(χ > χ dla dpwede lczby stp swbdy wartśc χ. Jeżel dczytaa wartść prawdpdbeństwa P est zawarta w przedzale 0, < P < 0,9, t hptezę przymuemy za prawdzwą. Gdy α < 0,0 lub α > 0,98 hpteza est mał prawdpdba ależy ą drzucć. Jeśl α > 0,98, t stee pderzee, że aeś ddatwe czy p. zamść przewdywae welśc, sprwwała zarąglae wartśc pmarwe, aby dstać masymalą zgdść z terą.. Krzystaąc z dpwede tablcy [], dla reśle lczby stp swbdy załżeg pzmu sttśc α (czyl reśleg prawdpdbeństwa P zaduemy wartść zachdz relaca χ, t hptezę przymuemy za prawdzwą. Jeśl est dwrte - hptezę drzucamy. χ < ple α, α χ. Jeśl Bardze szczegółwe frmace a temat rachuu statystyczeg mża zaleźć w lteraturze pdae a pczątu struc. 6/6