Wprowadzenie. Wojciech HYB, Joanna KALETA

Transkrypt

1 Wojciech HYB, Joaa KALETA Kaedra Zasosowań Maemayki Deparme of Applied Mahemaics Porówaie meod wyzaczaia współczyików modelu maemayczego a przykładzie progozy liczby ludości świaa Compariso of mehods of deermiaio of mehemaical model coefficies o he example of world populaio projecio Słowa kluczowe: ludość świaa, model maemayczy, progoza Key words: world populaio, mahemaical model, projecio Wprowadzeie Praca doyczy zagadieia progozy liczby ludości świaa, a jej celem jes zbadaie wpływu zmiay meody wyzaczaia paramerów załoŝoego modelu a progozę. Dzięki zasosowaiu iej miary dopasowaia (Hyb 2003) moŝliwe będzie uzyskaie zaczie miejszych błędów predykcji. JuŜ od czasów Eulera próbowao dobrać idealy model demograficzy pasujący do edecji cechującej zmiaę liczby ludości w usaloym przedziale czasowym z uwzględieiem progozy. Sosowao w ym celu dwa modele: deermiisyczy i z redem wzrosowym. Jedak obydwa dawały rozbieŝe progozy, a wyiki odbiegały od rzeczywisości. W połowie XIX wieku belgijski maemayk F.F. Verhuls zapropoował krzywą logisyczą, zakładającą zmieość współczyika wskaźika urodzeń jako model dopasowujący się do wzrosu populacji ludzkiej zarówo a całym świecie, jak i w poszczególych pańswach. Ze względu a rudości w orzymaiu właściwych esymaorów paramerów ej krzywej i iepewość podawaych przez ią progoz, szczególie długoermiowych, okazało się, Ŝe wspomiaa krzywa akŝe ie saowi miarodajego modelu. Nadal jedak sosowao w demografii krzywą logisyczą, zwłaszcza Ŝe w 985 roku opracowao meodę zw. zadowalającej esymacji paramerów ej fukcji (Smolik 985). 94 W. Hyb, J. Kalea

2 Poszukiwao rówieŝ iych modeli demograficzych, a w 996 roku S. Smolik zapropoował model posaci ˆ c y f ( ) a arcg( b e ) () gdzie: ŷ liczba ludości świaa (w milioach) obliczoa wzorem () dla roku o umerze, a, b, c współczyiki modelu, azywae akŝe paramerami srukuralymi (Smolik 996). Za ajlepsze esymaory iezaych paramerów a, b, c dla modelu () przyjęo w pracy Smolika (996) e warości, dla kórych suma kwadraów odchyleń: S ( a, b, c) [ y a arcg( b e c )] 2 (2) osiąga warość ajmiejszą (y rzeczywisa liczba ludości świaa w roku o umerze ). Prowadzi o do klasyczej meody wyzaczaia fukcji regresji, kórą jes maksymalizacja współczyika korelacji krzywoliiowej (Elad 964). Praca Smolika (996) jes iezwykle ciekawa z uwagi a rafość w doborze modelu opisującego umeryczy wzros populacji świaa w laach wraz z progozą od 986 do 994 roku (Smolik 996, ab. ), a akŝe ze względu a przeprowadzoy przez auora sposób esymacji paramerów fukcji regresji (). Zapropoowaa przez Smolika fukcja regresji ma posać: ˆ 0, 02 y arcg(0,27 e ) (3) gdzie ozacza umer daego roku (przyjęo dla roku 950). Zmiaa miary dopasowaia a progoza liczby ludości świaa W prezeowaej pracy adal rozwaŝay jes model określoy wzorem (), ale jego współczyiki a, b, c posaowioo wyzaczyć, miimalizując proceowy średi błąd względy MRE 00% (mea relaive error) określoy wzorem (Hyb 2003): MRE 00% y y yˆ a arcg( b e y y c 00% ) 00% (4) Miimalizacja zaleŝości (4) ze względu a paramery a, b, c jes moŝliwa ylko w sposób umeryczy. JedakŜe sosowaie owoczesych meod i echik obliczeiowych pozwala zlokalizować dokładiej obszar poszukiwaia paramerów, a asępie obliczyć ich przybliŝoe warości, sosując p. meodę Newoa-Marquarda. Aby porówać orzymae wyiki, posaowioo wyzaczyć warości współczyików a, b, c, uŝywając daych z la i przyjmując za rok 950 oraz za 36 rok 985, aalogiczie jak w pracy Smolika (996). Miimalizując proceowy średi błąd względy (4) uzyskao fukcję regresji w posaci: 0,022 zˆ 9500 arcg(0,254 e ) (5) Porówaie meod wyzaczaia współczyików modelu maemayczego... 95

3 Orzymae wyiki dla la zesawioo w abeli, w kórej y ozacza rzeczywisą liczbę ludości świaa, ŷ jes obliczoe wzorem (3), ẑ jes obliczoe wzorem (5), aomias RE ozacza błąd względy w proceach (relaive error), obliczoy odpowiedio dla warości ŷ i ẑ,. Nasępie przedsawioo progozę liczby ludości świaa a laa dla fukcji regresji (3) i (5) oraz sprawdzoo dokładość ych progoz za pomocą błędów względych, dyspoując daymi ( y ) uzyskaymi z ONZ (ab. 2) i przyjmując ozaczeia jak w abeli. Podsumowaie i wioski Aaliza wyików przedsawioych w abeli prowadzi do wiosku, Ŝe fukcje regresji określoe wzorami (3) i (5) dają dobre przybliŝeie rzeczywisej liczby ludości świaa. Średi błąd względy esymacji dla fukcji (5) jes ieco miejszy iŝ dla fukcji (3), co ma związek z ią meodą wyzaczaia współczyików. Naomias w przypadku progozy fukcja regresji (5), kórej współczyiki wyzaczoo za pomocą miary dopasowaia (4), gwarauje większą dokładość iŝ fukcja określoa wzorem (3). Miarą ej dokładości są zaczie miejsze warości błędów względych w kolumie RE dla wzoru (5) iŝ dla wzoru (3) (ab. 2). Poado moŝa swierdzić, Ŝe progoza a laa orzymaa przy zasosowaiu fukcji (5) jes dokłada. Świadczą o ym bardzo małe warości błędów względych. Największy błąd względy orzymay w 2000 roku dla fukcji (5) wyosi 2,37%, a dla fukcji (3) jes rówy 5,%. PoiewaŜ od 996 roku progoza orzymaa przy zasosowaiu fukcji (3) daje błąd względy poad 3%, więc aleŝy uzać ją za iewysarczającą. Dodakowo zamieszczoo w pracy abelę 3, z kórej wyika, Ŝe progozy liczby ludości świaa wyzaczoe a koleje laa fukcjami regresji (3) i (5) róŝią się isoie. Poado moŝa swierdzić, Ŝe asympoycza liczba ludości świaa asympoa pioowa fukcji posaci () wyosi 4922,6 ml dla fukcji (5) i 29845, ml dla fukcji (3), a ajwiększy przyros roczy liczby ludości świaa wyiesie 03,9 ml w 202 roku dla fukcji (5) i 90,0 ml w roku 2053 dla fukcji (3). Orzymae wyiki sugerują, Ŝe meoda wyzaczaia współczyików fukcji regresji za pomocą miary dopasowaia (4) moŝe dawać zaczie lepsze progozy liczby ludości świaa, zwłaszcza w długim okresie czasowym. Waro zaem poszukiwać współczyików modelu maemayczego, posługując się ie ylko meodami klasyczymi. Lieraura ELANDT R. 964: Saysyka maemaycza w zasosowaiu do doświadczalicwa roliczego. PWN, Warszawa. HYB M. 2003: Aaliza saysycza wybraych charakerysyk kosolidacyjych gruów orgaiczych. Przegląd Naukowy IŜyieria i Kszałowaie Środowiska 2 (XVII): SMOLIK S. 985: Wyzaczaie paramerów krzywej logisyczej. Przegląd Saysyczy, XXXII, 4: W. Hyb, J. Kalea

4 SMOLIK S. 996: Log-erm Projecio of Numerical Growh of Populaio. II Krajowa Koferecja Zasosowań Maemayki w Biologii i Medycyie. Summary Compariso of mehods of deermiaio of mehemaical models coefficies o he example of world populaio projecio. Aalysis of he resuls obaied i his paper idicaes, i some sese, predomiace of he mehod deermiig regressio fucio coefficies (fi measure (4)) over he mehod usig fi measure (2). Thaks o fi measure (4) oe ca obai more exac projecios, paricularly logerm projecios. Auhors address: Wojciech Hyb, Joaa Kalea Szkoła Główa Gospodarswa Wiejsiego Kaedra Zasosowań Maemayki Warszawa, ul. Nowoursyowska 59 Polad hyb@alpha.sggw.waw.pl kalea@alpha.sggw.waw.pl Porówaie meod wyzaczaia współczyików modelu maemayczego... 97

5 Sreszczeie Wojciech Hyb, Joaa Kalea Kaedra Zasosowań Maemayki Warsaw Agriculural Uiversiy SGGW Warszawa, ul. Nowoursyowska Porówaie meod wyzaczaia współczyików modelu maemayczego a przykładzie progozy liczby ludości świaa W pracy wyzaczoo współczyiki pewego modelu maemayczego opisującego wzros populacji ludzkiej meodą miimalizacji średiego błędu względego. Orzymae wyiki, szczególie dla progozy, okazały się zaczie lepsze iŝ uzyskae wcześiej przez dla aalogiczego modelu, kórego współczyiki wyzaczoo klasyczą meodą ajmiejszych kwadraów. Przedsawioo akŝe hipoeyczy rozwój ludości świaa a laa W kokluzji swierdzoo, Ŝe aleŝy poszukiwać owych meod wyzaczaia współczyików fukcji regresji. 98 W. Hyb, J. Kalea