Estymacja: Punktowa (ocena, błędy szacunku) Przedziałowa (przedział ufności)

Transkrypt

1 IV. Estymacja parametrów Estymacja: Puktowa (ocea, błędy szacuku Przedziałowa (przedział ufości Załóżmy, że rozkład zmieej losowej X w populacji geeralej jest opisay dystrybuatą F(x;α, gdzie α jest iezaym parametrem tego rozkładu; jego wartość będzie szacowaa a podstawie elemetowej próby ( X 1,X,...X Estymatorem A ( parametru α rozkładu zmieej losowej X jest statystyka A( a(x 1,X,...,X, której rozkład zależy od tego parametru. Oceą a ( parametru α jest wartość liczbowa a, ( a(x1,x,...,x jaką przyjmuje estymator A ( dla kokretej realizacji próby x, x,...,x. ( 1 1 1

2 Estymator jest zgody, jeśli jest stochastyczie zbieży do szacowaego parametru; tz. spełia waruek lim P( A( 0 1 Estymator jest ieobciążoy, jeśli jego wartość oczekiwaa jest rówa szacowaemu parametrowi, tz. E(A ( = α Estymator jest ajefektywiejszy w daej klasie estymatorów, jeśli ma ajmiejszą wariację spośród estymatorów daej klasy. Różica A ( -α jest zmieą losową zwaą błędem szacuku parametru α, jego miarą jest E(A ( Jeśli estymator A ( jest ieobciążoy, to błąd szacuku jest wariacją tego estymatora; wtedy odchyleie stadardowe: D(A ( zwae jest średim (stadardowym błędem szacuku parametru α, a względym średim błędem szacuku jest: (A D (

3 Estymacja przedziałowa DEF: Niech cecha X ma w populacji rozkład z iezaym parametrem Q. Załóżmy, że a podstawie próby losowej pochodzącej z tej populacji wyzaczoo fukcje: T(X,X,..., X i 1 T(X 1,X,..., X ( 1 takie, że: 1. dla każdego x, x,..., x zachodzi T T oraz. dla z góry ustaloego prawdopodobieństwa 1 - mamy P T ( X, X,..., X Q T ( X, X,..., X 1 ( 1 1 Losowy przedział (T;T azywa się przedziałem ufości parametru Q, a ustaloe z góry prawdopodobieństwo, z jakim te przedział pokrywa iezaą wartość parametru Q,(1 - - współczyikiem (poziomem ufości. Przedział ufości dla średiej m w populacji ormalej ze zaym odchyleiem stadardowym Niech cecha X ma w populacji rozkład N(m, ; m iezae, - zae. Niech (1 - współczyik ufości, 0 < < 1 ( X 1,X,..., X - próba losowa. Estymatorem parametru m uzyskaym MNW jest 1 średia arytmetycza, która ma rozkład tadaryzując zmieą X otrzymuje się zmieą X m o rozkładzie N(0,1. U X X i N(m, i1 3

4 Niech u będzie taką wartością, że P( u U u 1 Po podstawieiu za U mamy X m P( u u 1 tąd P(X u m X u 1 Na postawie defiicji losowy przedział (X u ; X u jest przedziałem ufości dla średiej m, przy współczyiku ufości 1 -. Dyspoując kokretą próbą ( x1, x,...,x, otrzyma się kokrety przedział liczbowy: (x u ; x u Uwaga: Przedział ufości określoy powyższym wzorem ma stałą długość rówą u, a losowe są tylko jego graice. Maksymaly błąd szacuku jest rówy połowie długości przedziału ufości: d u x (im miejszy błąd szacuku (węższy przedział, tym większa dokładość oszacowaia 4

5 Przykład 14. Waga jabłek przezaczoych a export ma rozkład ormaly z odchyleiem stadardowym rówym 30 g. Zbadao 50 jabłek otrzymując średią wagę rówą 50 g. Wyzacz długość przedziału ufości pokrywającego iezaą średią oraz dokładość oszacowaia, przy współczyiku ufości 1 α = 0,95. Wyzacz przedział ufości. Przykład 14 - rozwiązaie N(m, 30 (m iezae, - zae = 30 g - odchyleie stadardowe w populacji = 50 - liczebość próby X = 50 g średia wyliczoa z próby 1 α = 0,95 poziom ufości (czyli = 0, u ; Przedział ufości: Długość przedziału ufości: α u , 0,975 ( u u u odczytujemy z tablic rozkładu ormalego dla : u? 0,

6 Przykład 14 - rozwiązaie u 0,975 = 1,96 Przykład 14 - rozwiązaie Długość przedziału ufości: u 1,96 3,94,4 16, Błąd szacuku: 30 d x u 1,96 1,964,4 8,31 50 Przedział ufości: ( 50 8,31; 50 8,31 P( 41,69 m 58,31 0,95 6

7 Przedział ufości dla średiej m w populacji ormalej z iezaym odchyleiem stadardowym Niech cecha X ma w populacji rozkład N(m, ; m iezae, - iezae. Niech (1 - współczyik ufości, 0 < < 1 ( X - próba losowa. 1,X,..., X Estymatorem parametru m uzyskaym MNW jest 1 średia arytmetycza X X i. i1 Nie moża wyzaczyć rozkładu tego estymatora, gdyż ie jest zaa wartość parametru. X m Wiadomo jedak, że statystyka t 1 ma rozkład t-tudeta z -1 stopiami swobody, iezależy od. ( odchyleie stadardowe z próby Niech t będzie taką wartością, że ( t U t Po podstawieiu za t mamy tąd,1 P,1,1 1 X m ( t,1 1 t, 1 P 1 (X t,1 m X t, P 1 Na postawie defiicji losowy przedział ( X t,1 ; X t,1 1 1 jest przedziałem ufości dla średiej m, przy współczyiku ufości

8 Dyspoując kokretą próbą ( x1, x,...,x, otrzyma się kokrety przedział liczbowy ( x t,1 ; x t,1 1 1 Uwaga: Przedział ufości określoy powyższym wzorem ma ie tylko losowe graice, ale także losową długość rówą t,1 1 (bo zmiea losowa. Maksymaly błąd szacuku jest rówy połowie długości przedziału ufości: d x t, 1 1 Przy tej samej liczebości próby przedział ufości dla średiej m jest a ogół dłuższy, gdy ie jest zae w porówaiu do przypadku, gdy zamy (rozkład t-tudeta ma większe rozproszeie iż rozkład ormaly. Poieważ rozkład t-tudeta dąży do N(0,1, gdy liczba stopi swobody, to w praktyce przy dużych próbach ( > 10; lub miej rygorystyczie > 30 wartość t, 1 zastępuje się wartością. u 8

9 Przykład 15. Wiadomo, że czas potrzeby a rozwiązaie zadaia ma rozkład N(m, σ. Chcąc ustalić średi czas potrzeby a rozwiązaie zadaia przeprowadzoo eksperymet, polegający a losowym wybraiu grupy studetów, którym zmierzoo czas rozwiązywaia zadaia. Okazało się, że w badaej 10 osobowej grupie średi czas wyiósł 50 miut, a odchyleie stadardowe 15 miut. Ile wyosi średi czas rozwiązaia zadaia przy współczyiku ufości 1 α = 0,97? Przykład 15 - rozwiązaie N(m, (m iezae, - zae = 15 mi - odchyleie stadardowe w próbie = 10 - liczebość próby (mała próba X = 50 mi średia wyliczoa z próby 1 α = 0,97 poziom ufości (czyli = 0,03 Przedział ufości: Z tablic rozkładu tudeta: 15 ( 50 t, 1 ; 50 t, t, 1 t0,03;

10 Przykład 15 - rozwiązaie Tablice rozkładu t-tudeta: t 1 t0,03;9 α,,57 Przykład 15 - rozwiązaie Przedział ufości: (50, ; 50, ( 50 1,85; 50 1,85 (37,15; 6,85 P( 37,15 m 6,85 0,97 10

11 Przedział ufości dla średiej m w populacji o iezaym rozkładzie Niech (duża próba losowa ( X 1,X,..., X pochodzi z populacji o dowolym rozkładzie z iezaą wartością oczekiwaą m i ze zaym odchyleiem stadardowym. Średia arytmetycza 1 X X i, wyzaczaa z próby i1 pochodzącej z populacji o dowolym rozkładzie, ma graiczy rozkład N( m,, a statystyka X m U - rozkład N(0,1. Wtedy X m P( u u 1 tąd P(X u m X u 1 Uwaga: W tym przypadku przedział ma charakter przybliżoy i ależy wyzaczać go a podstawie dużej próby ( > 10 lub > 30. gdy odchyleie stadardowe ie jest zae, a dyspoujemy dużą próbą moża przyjąć, że, gdzie odchyleie stadardowe z próby. Wtedy przedział ufości dla m wyzacza się ze wzoru P(X u m X u 1 11

12 Wybór przedziału ZNANE odchyleie stadardowe populacji ( Duża próba (>30 Mała próba (<30 σ ( x uα ; x uα σ NIE ZNANE odchyleie stadardowe populacji ( ( x u ; x u ; x t 1 ( x t, 1, 1 1 Przykład 16. W cetrali telefoiczej przeprowadzoo 17 obserwacji długości losowo wybraych rozmów w ciągu jedego dia i otrzymao (w mi.: X = 5,48, = 1,; a tej podstawie przy założeiu, że długości rozmów telefoiczych mają rozkład ormaly wyzacz 95%-ową realizację przedziału ufości dla wartości przeciętej długości rozmowy telefoiczej przeprowadzoej za pośredictwem tej cetrali w daym diu. 1

13 Przykład 16 - rozwiązaie = 17 mała próba X = 5,48, = 1,, 1 α = 0,95 ( ie zae x tα, m x t P( 1 α,1, t 0,05;16,1 1, 1, P( 5,48,1 m 5,48,1 0, P( 4,84 m 6,1 0, 95 m ( 4,84; 6, 1 Przykład 17. W cetrali telefoiczej przeprowadzoo 11 obserwacje długości losowo wybraych rozmów w ciągu jedego dia i otrzymao (w mi.: X = 5,48, = 1,; a tej podstawie przy założeiu, że długości rozmów telefoiczych mają rozkład ormaly wyzacz 95%-ową realizację przedziału ufości dla wartości przeciętej długości rozmowy telefoiczej przeprowadzoej za pośredictwem tej cetrali w daym diu. 13

14 Przykład 17 - rozwiązaie = 11 duża próba X = 5,48, = 1,, 1 α = 0,95 ie zae, ale przyjmujemy P( x uα m x uα 0,95 u 0 1,96,975 1, 1, P( 5,48 1,96 m 5,48 1,96 0, P( 5,7 m 5,69 0, 95 m( 5,7; 5, 69 (tak jak w przykładzie 14 Węższy iż w przykładzie 16! Przykład 18. Rocze wydatki a zakup książek przez studetów pewej uczeli mają rozkład ormaly o odchyleiu stadardowym rówym 300 zł. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w wylosowaej 5-osobowej grupie studetów średie rocze wydatki różić się będą od średich wydatków całej zbiorowości studetów tej uczeli o więcej iż 10 zł? 14

15 Przykład 18 - rozwiązaie N(m, 300 = 5 mała próba, ale zae P P x m 10? x m 10 zatem m x 10 lub x m 10 zatem m x 10 x 10 x 10 x m 10 1 Px 10 m x 10 Przykład 18 - rozwiązaie P x 10 m x 10 1 α x 10 m x 10 1 (1 α α 1 P - szukamy! σ 5 u α 10 stąd u α σ 300 u (1 α 1 α 0,977 α 0,

16 Przykład 18 odpowiedź: Prawdopodobieństwo, że w wylosowaej 5-osobowej grupie studetów średie rocze wydatki różić się będą od średich wydatków całej zbiorowości studetów tej uczeli o więcej iż 10 zł wyosi 0,0456. Przedział ufości dla wariacji w populacji ormalej Niech cecha X ma w populacji rozkład N(m, ; m, iezae, ( X 1,X,..., X - próba losowa; (1 - współczyik ufości, 0 < < 1 Estymatorem parametru uzyskaym MNW jest wariacja z próby: 1 (Xi X i1 tatystyka ma rozkład z -1 stopiami swobody. Niech i będą takie, że P( 1 ; -1 ; -1 1 i P( 1 ; -1 ; -1 16

17 Wtedy P( 1 ; -1 ; -1 1 a po uwzględieiu defiicji i przekształceiach mamy: P 1 ; -1 1 ; -1 Uwaga: dla dużej próby ( > 30 rozkład moża przybliżyć rozkładem ormalym: P 1 u u 1 1 Przykład 19. Badao zróżicowaie czasu potrzebego a wykoaie oprawy książki w zakładzie itroligatorskim. Losowo wybrao 0 zamówień i otrzymao, że średio czas potrzeby a oprawę książki wyiósł 5 godzi, przy czterogodziej wariacji. Zakładamy, że rozkład czasu potrzebego a oprawę jest rozkładem ormalym. Jaki wyik uzyskao, jeżeli przyjęto współczyik ufości 1 α = 0,90? 17

18 Przykład 19 - rozwiązaie = 0 mała próba, x = 5 godzi, = 4, 1 α = 0,90, N(m, 04 P 0,1 ; ,1 1 ;19 0,9? 0? 0,05;19,95;19 Przykład 19 - rozwiązaie 0,05;19 30,144 0,95;19 10,117 18

19 Przykład 19 - rozwiązaie P 80 30, ,117 0,9 P,654 7,907 0, 9,654; 1,69; 7,907,81 Przykład 0. Wylosowao 48 ziare pszeicy i zbadao w ich zawartość białka (w procetach. Otrzymao średią rówą 16,8[%] i odchyleie stadardowe,1[%]. Zaleźć 98%- ową realizację przedziału ufości dla wariacji zawartości białka w ziarach pszeicy całej partii. 19

20 Przykład 0 - rozwiązaie = 48 duża próba x = 16,8%, =,1%, 1 - = 0,98 (czyli = 0,0 P 1,1,1 0,98 u u α 1 1 0, 01 0, 99 u 0, 33 u α,99 Przykład 0 - rozwiązaie,1 P, ,1 0,98, P P 1,697,755 0, 98,880 7,591 0, 98,880 ; 7,591 0

21 Przedział ufości dla wskaźika struktury (frakcji X Jaki procet badaej zbiorowości geeralej posiada wyróżioą cechę? Tylko dla 100 u X 1 X p X u X 1 X u odczytujemy z tablic rozkładu ormalego dla u 1 α α Przykład 1. W pewej przychodi wśród losowo wybraych 980 ludzi poddaych prześwietleiu stwierdzoo zmiay chorobowe u 100 osób. Wyzacz 95%-ową realizację przedziału ufości dla frakcji osób chorych spośród wszystkich ludzi obsługiwaych przez tę przychodię. 1

22 Przykład 1 - rozwiązaie X = 100, = 980, 1 - = 0, u p u α 05 u 1 1 0, 0,975 u 0 1, 96,975 0,10 0,019 p 0,10 0,019 0,083 p 0,11 Od 8,3% do 1,1% pacjetów tej przychodi jest chorych z prawdopodobieństwem 0,95. Problem miimalej liczebości próby Długość przedziału ufości może być miarą dokładości estymacji przedziałowej parametru α. Jakie czyiki wpływają a długość przedziału ufości i czy moża otrzymać oszacowaie o pożądaej dokładości rozpatrzmy a przykładzie estymacji wartości oczekiwaej m w populacji ormalej ze zaym odchyleiem stadardowym.

23 (X u średiej u ; X u -przedział ufości dla - długość przedziału ufości Dokładość estymacji parametru m zależy od: przyjętego współczyika ufości 1 -, dyspersji cechy w populacji - (stała, liczebości próby. Przedział ufości moża skrócić poprzez przyjęcie iskiej wartości współczyika ufości lub zwiększeie liczebości próby. Przyjęcie iskiej wartości współczyika ufości zwiększa prawdopodobieństwo tego, że otrzymay przedział ie pokryje wartości estymowaego parametru, zatem lepiej wpływać a dokładość szacuku poprzez ustaleie dobrej liczebości próby. 3

24 Chcemy, aby maksymaly błąd szacuku (połowa długości przedziału ufości ie przekraczał ustaloej wartości d, tz.: u u d ασ stąd Więc miimala liczebość próby zapewiająca, że błąd szacuku ie przekroczy d wyosi mi u d u 1 d d gdy gdy mi u d u d N N Przykład. Ilu studetów ależy wziąć do próby, aby przy współczyiku ufości 0,90 oszacować średi wyik ogółu studetów tej uczeli w skoku wzwyż za pomocą przedziału ufości o rozpiętości cm? Przyjąć odchyleie stadardowe rówe 5 cm. 4

25 Przykład - rozwiązaie 1 - = 0,90 = 5 cm. u cm czyli: d =, stąd: d = 1 u σ d α,1 0 u 1 0, 95 u 0 1, 65 1,65 1 mi 5 68,065 N 68, Należy do próby wziąć co ajmiej 69 studetów.,95 5