WYKORZYSTANIE METODY MOVING BLOCK BOOTSTRAP W PROGNOZOWANIU SZEREGÓW CZASOWYCH Z WAHANIAMI OKRESOWYMI *

Transkrypt

1 Grzegorz Kończak Michał Miłek Uiwersye Ekoomiczy w Kaowicach WYKORZYSTANIE METODY MOVING BLOCK BOOTSTRAP W PROGNOZOWANIU SZEREGÓW CZASOWYCH Z WAHANIAMI OKRESOWYMI * Wprowadzeie Celem aalizy szeregu czasowego jes między iymi umożliwieie formułowaia progoz. Podsawą wioskowaia o przyszłych warościach zmieych są ich przeszłe realizacje. Do progozowaia szeregów czasowych wykorzysuje się róże meody, jak p. meoda aiwa, modele Hola i Wiersa, modele ARiMA, a akże róże meody symulacyje. Do ajczęściej sosowaych meod symulacyjych w badaiach saysyczych ależy meoda boosrap. Zosała oa zapropoowaa przez Efroa (979). Meoda boosrap jes ajczęściej wykorzysywaa do szacowaia wariacji esymaorów oraz esowaia hipoez w przypadkach, gdy ie jes zay rozkład saysyki esowej. Meoda a ie wymaga, by pobierae próby pochodziły z populacji o rozkładzie ormalym. Ze względu a kosrukcję prób losowych w ej meodzie zazwyczaj ie ma możliwości bezpośrediego jej zasosowaia w aalizach szeregów czasowych. W lieraurze są rozważae pewe modyfikacje meody boosrap prowadzące do możliwości wykoaia akich aaliz. Jedą z akich meod jes movig block boosrap. Propozycja wykorzysaia ej meody do kosrukcji przedziałów predykcji zosała przedsawioa w arykule dla szeregów czasowych z wahaiami okresowymi. Wyiki orzymywae za pomocą ej meody zosały porówae z oceami orzymaymi za pomocą klasyczej kosrukcji przedziałów predykcji oraz meody ARIMA. * Część opracowaia zrealizowaa przez pierwszego z auorów zosała sfiasowaa ze środków Narodowego Cerum Nauki przyzaych a podsawie decyzji umer DEC-0/03/B/HS4/05630.

2 9 Grzegorz Kończak, Michał Miłek. Przedziałowa predykcja Podczas przeprowadzaia aaliz szeregów czasowych bardzo częso są kosruowae progozy pukowe, kóre określają przyszłą warość badaej zmieej poprzez eksrapolację modelu opisującego badae zjawisko. Te sposób progozowaia ie iesie jedak pełej iformacji a ema przyszłej warości zmieej ie wiadomo, z jakim prawdopodobieńswem przyszła realizacja zajdzie się w zadaym ooczeiu progozy. W wielu syuacjach posiadaie akiej iformacji mogłoby prowadzić do podjęcia zupełie iych decyzji. Po wyzaczeiu progozy może się okazać, że przedział, kóry z określoym prawdopodobieńswem obejmuje przyszłe realizacje szeregu czasowego, jes a yle szeroki, że w ogóle ie waro podejmować ryzyka związaego z działaiem a podsawie akich przewidywań. Z ego powodu coraz częściej kosruuje się progozy przedziałowe, kóre uściślają dokładość predykcji. Dzięki emu moża określić iepewość progozy, rozważyć róże sraegie, a akże porówać progozy uzyskae a podsawie kilku meod (Chafield, 993). Progoza przedziałowa składa się z dolej i górej graicy przedziału, w kórym zajdzie się progozowaa warość z pewym określoym prawdopodobieńswem. W lieraurze przedział e jes różie azyway: zakresem przewidywaia (Brockwell, 987), przedziałem ufości (Grager, Newbold, 986), a graice przedziału azywa się limiami progozy (Wei, 990). Najczęściej pojawia się jedak sformułowaie: przedział progozy. Isieje wiele meod wyzaczaia przedziałów progoz, ie ma jedak jedej, kórą moża by zasosować we wszyskich przypadkach. W szczególości przedziały eoreycze ie zawsze są możliwe do zasosowaia ze względu p. a złożoość modeli, zwłaszcza wielorówaiowych. W dalszych rozważaiach zosaą przyjęe przedsawioe poiżej ozaczeia. Niech y, y,... y będzie ciągiem obserwacji aalizowaego szeregu czasowego, gdzie ozacza liczbę obserwacji lub, iaczej mówiąc, liczbę rozparywaych okresów. Wspomiay szereg obserwacji jes jedą z możliwych realizacji dyskreego procesu sochasyczego, będącego zmieiającym się w czasie zjawiskiem saysyczym zgodie z pewym rozkładem prawdopodobieńswa. Proces sochasyczy może być zapisay asępująco { Y } = ( Y, Y,..., Y ) =,,...,. Niech celem aalizy będzie posawieie progozy a k =,,, S okresów (przez S będzie ozaczay horyzo progozy), wówczas progoza pukowa będzie ozaczoa jako Yˆ (), ˆ (),..., ˆ Y Y ( S), aomias warości obserwowae w okresie progozy jako yˆ (), yˆ (),..., yˆ ( S). Błąd progozy w odiesieiu

3 Wykorzysaie meody movig block boosrap 93 do yˆ ( ) może być zapisay asępująco e ˆ ( ) ˆ ( ) = Y y ( ). Jedą z ajczęściej sosowaych meod wyzaczaia przedziałów progozy jes obliczeie dolej i górej graicy przedziału a podsawie założoego rozkładu (ajczęściej rozkładu ormalego). Wówczas do wyzaczaia progozy przedziałowej wykorzysuje się asępującą formułę (Box, Jekis, 983): P ˆ y ( ) + z var( e ( )) < y ( ) < yˆ ( ) + z var( e ( )) = gdzie z i z są kwaylami sadardowego rozkładu ormalego rzędu i, a o prawdopodobieńswo określające wiarygodość progozy. Wzór () zakłada, że błędy progozy mają rozkład ormaly oraz że progoza jes ieobciążoa, wówczas prawdziwa jes asępująca rówość: E ( e ( ) ) var( e ( ) ) () = () Isieją jedak meody pozwalające a pomiięcie założeia o ormalości rozkładu i ieobciążoości błędów progozy (Chafield, 993). W ym celu częso sosuje się meody boosrapowe. Ich zaleą jes o, że mogą być sosowae w syuacji, gdy ie jes zay rozkład badaej zmieej albo gdy próbka jes zby mała, by możliwe było wykorzysaie wierdzeń graiczych. Meoda boosrap jes odmiaą meody Moe Carlo, polegającą a wielokroym losowaiu próby z próbki pierwoej (Kopczewska, Kopczewski, Wójcik, 009). Z wejściowego szeregu daych jes losowaa B-kroie -elemeowa próbka ze zwracaiem. Na podsawie każdej z próbek jes wyzaczaa progoza, z kórych jes wyliczaa średia (esymaor boosrapowy) i w efekcie jes orzymywaa progoza pukowa. Uzyskay zbiór warości pozwala skosruować akże przedziały progoz. Dola i góra graica przedziału jes wyzaczaa a podsawie odpowiedich kwayli warości uzyskaych w procedurze boosrap. Jedak bezpośredie zasosowaie meody boosrap w aalizie szeregów czasowych z wahaiami okresowymi ie jes możliwe, poieważ akie rozwiązaie ie uwzględia okresowości badaego zjawiska. W dalszych rozważaiach doyczących progozowaia dla wspomiaych szeregów czasowych zosaie wykorzysaa modyfikacja meody movig block boosrap.

4 94 Grzegorz Kończak, Michał Miłek. Movig block boosrap Efro i Tibshirai (993) przedsawiają możliwości wykorzysaia meody boosrap w zasosowaiu dla szeregu czasowego. Opisywaa meoda movig block boosrap (MBB) jes wykorzysywaa do esymacji paramerów modelu auoregresyjego. Idea MBB przedsawioa przez Efroa i Tibshirai (993) zosała zaprezeowaa schemayczie a rysuku. Orygialy szereg czasowy Próbka movig block boosrap 0 S czas Rys.. Idea zasosowaia meody movig block boosrap Meoda a prowadzi do zwroego pobieraia próbki pełych bloków o długości G obserwacji i wsawiaia ich łączie do szeregu czasowego. Na ilusracji przedsawioej a rysuku przyjęo G = 4. Możliwości zasosowaia meody movig block boosrap w miejszym sopiu zależą od modelu szeregu czasowego iż w przypadku klasyczej meody boosrap. Może być zasosowaa do aalizy szeregów czasowych z wysępującą auokorelacją, a w dalszych rozważaiach zosaie wykorzysaa do aalizy szeregów czasowych z wahaiami okresowymi. 3. Wykorzysaie meody movig block boosrap w aalizie szeregów czasowych z wahaiami okresowymi Mogomery i i. (008) rozważają dwa modele szeregów czasowych okresowych: model addyywy i model muliplikaywy. W poiższych aalizach będzie rozparyway model addyywy. Model aki może być zapisay asępująco (Mogomery i i., 008; Zeliaś i i., 00): Y = f ( ) + + ε (3) + w

5 Wykorzysaie meody movig block boosrap 95 gdzie: =,,, Y warość szeregu w okresie, f() fukcja redu, w składiki sezoowe dla modelu addyywego + G w = w + S = K = w + ( k ) S + spełiające waruek w = 0, gdzie =,,, S, aomias S jes = k =, S D ε ) = σ. liczbą wyróżioych okresów w szeregu czasowym, czyli ε składik reszowy o własościach E( ε ) = 0 i ( ε Dla wyróżioych k pełych okresów jes spełioy waruek = ks. Szereg Y pozbawioy redu przyjmuje asępującą posać: X = + + ε ( =,,, ) (4) w W orzymaym szeregu X koleje realizacje według asępującego schemau: x, x,, x K mogą zosać zapisae, x, K, xs, xs +, xs +, K, xs, K, x( k ) S +, x( k ) S +, K xks (5) x, Uwzględiając okresowość zjawiska, moża powyższy szereg przedsawić z wyróżieiem bloków okresowych w asępującej posaci: ( x x,, x ), ( x, x, K, x ), K, ( x, x,, x ), K S S + S + S ( k ) S + ( k ) S + K ks (6) Niech i-y (i =,.,, k) blok będzie ozaczoy przez & x&, czyli: & i ( ( i ) S + ( i ) S + is x && = x, x, K, x ) (7) Prowadzi o do orzymaia ciągu bloków realizacji szeregu czasowego X : & x && &&& x K && x&,,, k (8) Podobie jak poprzedio, moża określić blok o długości S warości fukcji redu: & f &&( ) = ( f ( ), f ( + ), K, f ( + S )) (9) Przyjmując powyższe ozaczeie, koleje warości fukcji redu mogą być zapisae w posaci ciągu bloków: & f &&( ), &&& f ( S + ), K, && f& (( k ) S + ) (0) i

6 96 Grzegorz Kończak, Michał Miłek Uwzględiając powyższe ozaczeia (7) i (0) szereg czasowy Y może być zapisay asępująco: Y = & f&& (),&&& f ( S + ), K, &&& f (( k ) S + )) + (&&& x,&&& x, K,&& x& ) () ( k Wprowadźmy ozaczeie próby MBB: * * * (& x &&,&&& x, K,&& x& ) k * gdzie & x && i = ( x( j ) S +, x( j ) S +, K, x js ) oraz i, j {,, K, k}. Wykorzysując aką próbę, moża określić szereg boosrapowy, w kórym red jes usaloy, zgody z orzymaą oceą uzyskaą a podsawie obliczeń z wyjściowego szeregu czasowego, a składiki sezoowe i odchyleia losowe są dodawae a podsawie próbkowaia boosrap. Tak orzymay szereg moża zapisać asępująco: Y * * * * = ( & f&& (),&&& f ( G + ), K, &&& f (( k ) G + )) + (&&& x,&&& x, K,&& x& ) () Progozę a koleje S okresów czasowych moża zapisać asępująco: ˆ ˆ ˆ * ( Y (), Y (),..., Y ( S)) f ( + ) + xi = & & (3) gdzie i =,,, k. Pobierając w e sposób B-kroie próbki boosrapowe, orzymuje się B szeregów czasowych: Y, Y, K, Y *() *() *( B) Dla każdego z szeregów czasowych () jes wyzaczaa progoza. Na podsawie B progoz dla usaloego okresu + v (v =,,, S) wyzacza się kwayle rzędu i. Są o odpowiedio dola i góra graica przedziału pre- dykcji wyzaczoego meodą MBB. k 4. Aaliza symulacyja Celem przeprowadzoych symulacji było porówaie wyików orzymywaia progoz przedziałowych z wykorzysaiem propoowaej meody wykorzysującej MBB oraz klasyczej meody predykcji i meody ARIMA. Do akich porówań zwykle wykorzysuje się dae pochodzące z geeraorów liczb losowych. W poiższych rozważaiach zdecydowao się a odwołaie do daych

7 Wykorzysaie meody movig block boosrap 97 o ceach eergii w diach pochodzących z ryku eergii dia asępego. Dae o ceach były rejesrowae w sysemie godziym. Symulacje przeprowadzoo z wykorzysaiem procedur opracowaych w języku R. We wszyskich symulacjach przyjęo poziom wiarygodości progozy = 0,95. Przebieg procedury symulacyjej był asępujący:. Na podsawie obserwacji z 3 pełych ygodi (3 x 7 x 4 = 84 obserwacji) wyzaczao progozy przedziałowe rzema meodami: MBB, klasyczą i ARIMA a k okresów (godzi) do przodu dla v =, 5, 9, 3, 7, oraz a godz..00 kolejych di ygodia dla v = 5, 49, 73, 97,, 45.. Dla wszyskich wymieioych okresów sprawdzao, czy obserwowaa warość zalazła się w wyzaczoym przedziale predykcji. W każdym przypadku rejesrowao długość przedziału predykcji. 3. Kroki i były przeprowadzoe po przesuięciu oka obserwacji związaym z wykreśleiem pierwszych =,,, 000 obserwacji, co prowadziło do wykoaia 000 powórzeń wyzaczeia predykcji dla usaloych warości v. 4. Każdorazowo pobierao B = 00 próbek boosrapowych. Orzymae wyiki zosały uśredioe. Wyiki symulacji przedsawioo w abelach i. Rezulay symulacji kompuerowych przedsawioo rówież a rysuku. Wyiki uzyskae meodami MBB i ARIMA są zbliżoe i bliskie założoemu poziomowi wiarygodości progozy. Zaczie miejsze częsości pokrycia warości progozowaych uzyskao z zasosowaiem meody klasyczej. v Ocea pokrycia warości progozowaych w asępym diu Ocea prawdopodobieńswa pokrycia MBB Progoza klasycza ARIMA 0,885 0,55 0, ,895 0,5 0, ,880 0,5 0, ,885 0,50 0, ,885 0,5 0,9 0,890 0,5 0,938 Tabela

8 98 Grzegorz Kończak, Michał Miłek Ocea pokrycia warości progozowaych w kolejych diach (o godz..00) Tabela Ocea pokrycia v MBB Progoza klasycza ARIMA 5 0,885 0,48 0, ,90 0,56 0, ,90 0,66 0, ,940 0,80 0,95 0,975 0,88 0, ,945 0,85 0,957 p 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0 MBB klasycze ARIMA eoreycze v 40 Rys.. Ocea pokrycia warości progozowaych rzema meodami Źródło: Tabela i abela. Podsumowaie Przeprowadzoe badaia pozwoliły a powierdzeie możliwości zasosowaia meody movig block boosrap do progozowaia szeregów czasowych z wahaiami okresowymi. Zapropoowae rozwiązaie ie jes z pewością jedyym z możliwych i ależy dalej poszukiwać meod ieparameryczych pozwalających a osiągięcie jeszcze lepszych wyików. W aalizach symulacyjych oparo się a daych rzeczywisych, dla kórych zwykle ie są spełioe założeia wysępujące w klasyczych meodach. Aalizując uzyskae wyiki, moża zauważyć, że częsości pokrycia przedziałem predykcji uzyskaym me-

9 Wykorzysaie meody movig block boosrap 99 odą MBB są bardzo zbliżoe do wyików uzyskaych z wykorzysaiem meody ARIMA. Przewagą meody MBB ad meodą klasyczą jes możliwość jej zasosowaia akże w przypadku iespełieia założeia o ormalości resz aalizowaego szeregu. Wadą wszyskich aalizowaych meod jes wrażliwość a iesabilość rozkładu w czasie. Lieraura Box G.E.P., Jekis G.M. (983): Aaliza szeregów czasowych. Progozowaie i serowaie. Pańswowe Wydawicwo Naukowe, Warszawa. Brockwell P.J., Davis R.A. (987): Time Series: Theory ad Mehods. Spriger-Verlag, New York. Chafield C. (993): Calculaig Ierval Forecass. Joural of Busiess & Ecoomic Saisics, Vol., No., s. -35, 8. Efro B. (979): Boosrap Mehods: Aoher Look a he Jackkife. Aals Saisics 7, s. -6. Efro B., Tibshirai R. (993): A Iroducio o he Boosrap. Sciece Busiess Media, Ic. Grager C.W.J., Newbold P. (986): Forecasig Ecoomic Time Series. Academic Press, New York. Kopczewska K., Kopczewski T., Wójcik P. (009): Meody ilościowe w R. Warszawa. Mogomery D.C., Jeigs C.L., Kulahci M. (008): Iroducio o Time Series Aalysis ad Forecasig. Joh Wiley & Sos, Ic., New Jersey. Wei W.W.S. (990): Time Series Aalysis. Addiso-Wesley, Redwood Ciy, CA. Zeliaś A., Pawełek B., Waa S. (00): Meody saysycze. Zadaia i sprawdziay. Pańswowe Wydawicwo Ekoomicze, Warszawa. THE USE OF THE MOVING BLOCK BOOTSTRAP METHOD IN PERIODIC TIME SERIES FORECASTING Summary The aim of he aalysis of he ime series is, amog ohers, o faciliae he formulaio of progosis. The basis for he iferece of he fuure variables are heir fuure realizaios. There are various mehods used i ime series forecasig, such as for example aïve mehod, Hol-Wiers models, ARIMA models ad various simulaio mehods. Oe of he mos popular ad widely used simulaio mehod i saisical research is he boosrap mehod proposed by B. Efro. I is usually applied i measurig he esimaes of he variace ad esig he hypoheses i cases whe he disribuio of he es saisic is ukow. This mehod does o require for he seleced samples o be from he sadard ormal disribuio populaio. Due o he cosrucio of he radom

10 00 Grzegorz Kończak, Michał Miłek samples i his mehod, here is usually o possibiliy o direcly apply i i he aalysis of he periodic ime series. I he lieraure wrie o his subjec, here are he proposals o iroduce some modificaios o he boosrap mehod ha would provide he possibiliy o coduc such aalyses. Oe of such mehods is he movig block boosrap. I he prese essay, we will prese he proposal o apply his mehod o creae he cofideial iervals for he periodic ime series forecass. The resuls gahered by applyig ha mehod are compared wih he resuls obaied via he classic cosrucio of he cofideial iervals for he forecass ad o he cofideial iervals based o ARIMA models.