ANALIZA MATEMATYCZNA 1
|
|
- Dawid Chmiel
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 ANALIZA MATEMATYCZNA 1
2 Maria Gewert Zbigiew Skoczylas ANALIZA MATEMATYCZNA 1 Defiicje, twierdzeia, wzory Wydaie dwudzieste piąte zmieioe GiS Oficya Wydawicza GiS Wrocław 2017
3 Maria Gewert Wydział Matematyki Politechika Wrocławska pwr.edu.pl Zbigiew Skoczylas Wydział Matematyki Politechika Wrocławska pwr.edu.pl Projekt okładki IMPRESJA Studio Grafiki Reklamowej Copyright c by Oficya Wydawicza GiS Utwór w całości ai we fragmetach ie może być powielay ai rozpowszechiay za pomocą urządzeń elektroiczych, mechaiczych, kopiujących, agrywających i iych. Poadto utwór ie może być umieszczay ai rozpowszechiay w postaci cyfrowej zarówo w Iterecie, jak i w sieciach lokalych, bez pisemej zgody posiadacza praw autorskich. Składwykoaowsystemie L A TEX. ISBN Wydaie XXV zmieioe, Wrocław 2017 Oficya Wydawicza GiS, s.c., Druk i oprawa: Oficya Wydawicza ATUT 4
4 Spis treści 1 Wstęp 7 1 Zbiory i fukcje liczbowe 9 1.Zbioryograiczoeikresy Fukcje podstawoweokreśleia Złożeiafukcjiifukcjeodwrote Fukcjeelemetareiie Ciągi liczbowe 27 1.Podstawoweokreśleia Graiceciągów Twierdzeiaograicachciągów Graice i ciągłość fukcji 40 1.Defiicjegraicfukcji Twierdzeiaograicachfukcji Asymptotyfukcji Ciągłośćfukcji Działaiaafukcjachciągłych Twierdzeiaofukcjachciągłych Pochode fukcji 61 1.Podstawowepojęcia Pochodejedostroeipochodeiewłaściwe Twierdzeiaopochodejfukcji Różiczkafukcji Pochodewyższychrzędów Pochodefukcjiwektorowych Zastosowaia pochodych 76 1.Twierdzeiaowartościśrediej Twierdzeiaograicachieozaczoych RozwiięcieTaylorafukcji Ekstremafukcji
5 5.Fukcjewypukłeipuktyprzegięcia Przybliżoerozwiązywaierówań Badaiefukcji Całki ieozaczoe 97 1.Fukcjepierwoteicałkiiezaczoe Twierdzeiaocałkachieozaczoych Całkowaiefukcjiwymierych Całkowaiefukcjitrygoometryczych Całkowaiefukcjiziewymierościami Całki ozaczoe Podstawowepojęcia Metodyobliczaiacałekozaczoych Własościcałekozaczoych Fukcjagórejgraicycałkowaia* Przybliżoemetodyobliczaiacałek* Zastosowaie całek ozaczoych Zastosowaiawgeometrii Zastosowaiawfizyce Odpowiedzi i wskazówki 134 Literatura 154 Skorowidz 154 6
6 1 Wstęp Niiejsza książka jest pierwszą częścią zestawu podręczików do Aalizy matematyczej 1. Pozostałymi częściami są zbiory zadań Aaliza matematycza 1. Przykłady i zadaia i Aaliza matematycza 1. Kolokwia i egzamiy. Podręcziki te są przezaczoe główie dla studetów politechik. Mogą z ich korzystać także studeci wydziałów auk ścisłych i przyrodiczych uiwersytetów oraz uczeli ekoomiczych, pedagogiczych i roliczych. Opracowaie zawiera defiicje, twierdzeia i wzory z rachuku różiczkowego oraz całkowego fukcji jedej zmieej wraz z zastosowaiami. Wszystkie zagadieia teoretycze zakończoo ćwiczeiami, przy czym początkowe z ich są z reguły ajprostsze. Podręczik jest bogato ilustrowayzawiera poad 300 rysuków). Fragmety materiału ozaczoe gwiazdką iezaczie wykraczają poza aktualy program przedmiotu. Tak samo ozaczoo trudiejsze ćwiczeia. Dodatkowy materiał oraz trudiejsze ćwiczeia dołączoo z myślą o studetach, którzy chcą rozszerzyć swoją wiedzę z aalizy matematyczej. Studetów zaiteresowaych rozwiązywaiem trudych i ietypowych zadań z aalizy zachęcamy do zapozaia się z książką Algebra i aaliza. Egzamiy a oceę celującą. Rówolegle do materiału omawiaego a wykładzie studeci powii przerabiać samodzielie i a ćwiczeiach odpowiedio dobrae zadaia. Takie zadaia wraz z metodami ich rozwiązywaia moża zaleźć w zbiorze zadań Aaliza matematycza 1. Przykłady i zadaia. Ćwiczeia z tego podręczika oraz przykłady i zadaia z drugiej części zestawu są podobych typów i mają te sam stopień trudości jak zadaia, które zwykle pojawiają a kolokwiach i egzamiach. Zadaia, które w poprzedich latach studeci Politechiki Wrocławskiej rozwiązywali a sprawdziaach, są umieszczoe w trzeciej części podręczika. Do tego wydaiu dodao owe ćwiczeia i rysuki oraz zmieioo układ materiału. Poadto poprawioo zauważoe błędy i usterki. Serdeczie dziękujemy Pai dr Teresie Jurlewicz za przygotowaie odpowiedzi do ćwiczeń z wcześiejszych wydań. Szczególe podziękowaia składamy Paom dr. Maciejowi Bureckiemu, dr. Krzysztofowi Michalikowi, prof. dr. hab. Jauszowi Mier- 7
7 8 Wstęp czyńskiemu, prof. dr. hab. Krzysztofowi Stempakowi oraz Pai dr Jolacie Sulkowskiej za licze spostrzeżeia, które pozwalały ulepszać koleje wydaia. Dziękujemy także Koleżakom i Kolegom z Wydziału Matematyki Politechiki Wrocławskiej oraz aszym Studetom za uwagi o poprzedich wydaiach. Dziękujemy rówież Koleżakom i Kolegom z iych uczeli za kometarze dotyczące zakresu i sposobu ujęcia materiału. Uprzejmie prosimy wykładowców i studetów o przesyłaie uwag o podręcziku oraz iformacji o dostrzeżoych błędach i usterkach. Maria Gewert Zbigiew Skoczylas
8 2 Ciągiliczbowe Podstawowe określeia Defiicja 1.1.ciąg liczbowy) Ciągiem liczbowym azywamy fukcję określoą a zbiorze liczb aturalych i przyjmującą wartości ze zbioru liczb rzeczywistych. Wartość tej fukcji dla liczby aturalejazywamy-tymwyrazemciąguiozaczamyp.przeza.ciągotakich wyrazachozaczamyprzeza ).Zbiórwyrazówciągua ),tj.{a : N},ozaczamykrótkoprzez{a }.Ciągibędziemyprzedstawialiapłaszczyźie,jakozbiory puktówowspółrzędych,a ),gdzie N,albojakoideksowaepuktyaosi liczb rzeczywistych. a) a b) 1,a 1 ) 2,a 2 ) 3,a 3 ) 4,a 4 ) 5,a 5 ) a 1 a 2 a 3... a Rys Ilustracja ciągua) a płaszczyźie,b) a prostej Obrazowo: ciąg moża traktować jako zbiór poumerowaych liczb rzeczywistych, które są ustawioe według rosących umerów Przykład 1.2. Ciągi możemy określać: a 1,a 2,a 3,...,a,... wzorem: a)a =2, b)b = 1 si, c)c = +1, d)d = , e)e = , f)f = { 3 dlaieparzystych, 3 dlaparzystych; 27
9 28 2. Ciągi liczbowe rekurecyjietz. kolejy wyraz ciągu wyraża się przez iektóre poprzedie): a)a 1 =7,a +1 =a +3 ciągarytmetyczy, b)b 1 =1,b +1 =2b ciąggeometryczy, c)c 1 =1,c 2 =1,c +2 =c +c +1 ciągfiboacciego, d)d 1 =2,d +1 =2 d1 ; opisowo: a)a -tacyfrapoprzecikuwrozwiięciudziesiętymliczbyπ, b)p -taliczbapierwsza, c)c przedostatiacyfrarozwiięciadziesiętegoliczby+3) 2. Defiicja 1.3.ciągi ograiczoe) Mówimy,żeciąga )jestograiczoyzdołu,jeżeliistiejeliczbarzeczywistam taka,iżierówośćm a jestprawdziwadlawszystkich N.Obrazowo:ciągjest ograiczoy z dołu, gdy jego wyrazy leżą ad pewą prostą poziomą. a) a b) a M m Rys.1.2.Wykresciąguograiczoegoa)zdołu,b)zgóry Podobiemówimy,żeciąga )jestograiczoyzgóry,jeżeliistiejeliczbarzeczywistamtaka,iżierówośća Mjestprawdziwadlawszystkich N.Obrazowo: ciąg jest ograiczoy z góry, gdy jego wyrazy leżą pod pewą prostą poziomą. Zkoleimówimy,żeciąga )jestograiczoy,jeżelijestograiczoyzdołuiz góry. Obrazowo: ciąg jest ograiczoy, gdy jego wyrazy leżą między dwiema prostymi poziomymi. Ciąg, który ie jest ograiczoy, azywamy ieograiczoym. a) a b) a M m Rys Wykres ciągua) ograiczoego,b) ieograiczoego LeoardoPisaoFiboacci ),matematykwłoski.
10 1. Podstawowe określeia 29 Ćwiczeie 1.4. Zbadać, czy podae ciągi są ograiczoe z dołu, z góry, ograiczoe: a)a = 2; b)a = +1 ; c)a = 2 +3 ; d)a =5si!+1); e)a =3 ; f)a = ; g*)a = 1+ 1 ) ; h)a =10 2 ; i*)a = Defiicja 1.5.ciągi mootoicze) Mówimy,żeciąga )jestrosący,jeżeliierówośća <a +1 jestprawdziwadla wszystkich N. Obrazowo: ciąg jest rosący, gdy jego wyrazy powiększają się ze wzrostemideksu,tz. a 1 <a 2 <a 3 <... a) a b) a Rys Wykres ciągua) rosącego,b) malejącego Podobiemówimy,żeciąga )jestmalejący,jeżeliierówośća >a +1 jest prawdziwa dla wszystkich N. Obrazowo: ciąg jest malejący, gdy jego wyrazy zmiejszająsięzewzrostemideksusię,tz.a 1 >a 2 >a 3 >... Uwaga. Jeżeli defiicji ostre ierówości zastąpimy słabymi, to otrzymamy określeia odpowiedio ciągu iemalejącego i ierosącego. Ciągi rosące, malejące, ierosące i iemalejące azywamy mootoiczymi. Wprowadza się także pojęcie ciągów mootoiczychodumeru 0. Ćwiczeie 1.6. Zbadać mootoiczość ciągów: a)a = 1 ; b)a = 2 ; c)a = ) ;! d)a = 3)!!) 3; e*)a = ; f*)a =5 3 2 ; g)a = ; h)a = ; i)a = ; j)a = 100 ; k)a =! 1+ 1 ) ; l)a 1 = 2,a +1 = 2+a ; m)a = 2 +1; *)a = Ćwiczeie1.7. a)dla 4iechp ozaczadługośćajwiększejprzekątej-kąta foremegowpisaegowokrągopromieiu1.czyciągp )jestrosący?
11 30 2. Ciągi liczbowe b)dla 3iechS ozaczapole-kątaforemegoopisaegoakoleopromieiu1. CzyciągS )jestmalejący? 2. Graice ciągów Defiicja 2.1.graica właściwa ciągu, ciąg zbieży) Mówimy,żeciąga )magraicęwłaściwąa R,cozapisujemy lim a =a,gdy dladowolejliczbydodatiejεmożadobraćtakąliczbęaturalą 0,iżierówość a a <εbędzieprawdziwadlawszystkich> 0.Ciąg,którymagraicęwłaściwą, azywamy zbieżym. W przypadku przeciwym ciąg azywamy rozbieżym. Obrazowo: ciąg ma graicę a, gdy jego dostateczie dalekie wyrazy leżą dowolie blisko puktu a. a a+ε a a ε Rys Ilustracja ciągu zbieżego Ćwiczeie 2.2. Korzystając z defiicji uzasadić rówości: a) lim = 3; b) lim 1+ 2 =0; c) lim a=1,gdziea>0. +1 Ćwiczeie* 2.3. Udowodić, że ciąg zbieży: a) ma tylko jedą graicę;b) jest ograiczoy. Defiicja 2.4.ciągu rozbieżego do ) Mówimy,żeciąga )jestrozbieżydo,cozapisujemy lim a =,gdydla dowolejliczbydodatiejemożadobraćtakąliczbęaturalą 0,iżierówość a >Ebędzieprawdziwadlawszystkich> 0.Obrazowo:ciągjestrozbieżydo, gdy dostateczie dalekie wyrazy tego ciągu są większe od dowolej liczby dodatiej. a E Rys Ilustracja ciągu rozbieżego do
12 2. Graice ciągów 31 Podobiemówimy,żeciąga )jestrozbieżydo,cozapisujemy lim a =,gdydladowolejliczbyujemejemożadobraćtakąliczbęaturala 0,że ierówośća <Ebędzieprawdziwadlawszystkich> 0.Obrazowo:ciągjest rozbieży do, gdy jego dostateczie dalekie wyrazy są miejsze od dowolej liczby ujemej. a E Rys Ilustracja ciągu rozbieżego do Uwaga. O ciągach rozbieżych do i mówimy także, że mają graice iewłaściwe odpowiedio lub. Ciągami rozbieżymi, które ie mają graic iewłaściwych, sąp.:a = 2),b =cosπ.graicawłaściwaaiiewłaściwaciąguiezależyod wartości skończeie wielu jego wyrazów. Iaczej mówiąc, zmiaa wartości skończoej liczby wyrazów ciągu ie zmieia jego graicy. Ćwiczeie 2.5. Korzystając z defiicji uzasadić rówości: a) lim = ; b) lim 1 2 ) = ; c) lim 2 5)=. Ćwiczeie 2.6. Pokazać,żeciąggeometryczyq )jest: i)zbieżydo0,gdy q <1; ii)zbieżydo1,gdyq=1; iii)rozbieżydo,gdyq>1; iv)rozbieży,gdyq 1. Korzystając z tego faktu wyzaczyć graice ciągów: a)a = 1 2) ; b)a = 10 3 ; c)a = 4) 5 ; d)a =3 π) ; e)a =si 2017; f)a =tg π π 4 Defiicja 2.7.podciąg) Niecha )będzieciągiemoraziechk )będzierosącymciągiemliczbaturalych. Podciągiemciągua )azywamyciągb )określoywzorem b =a k,gdzie N. Obrazowo: podciągiem azywamy ciąg pozostały po skreśleiu pewej liczbybyć może ieskończoej) wyrazów ciągu wyjściowegozobacz ilustracja iżej). a\ 1 a 2 a\ 3 a\ 4 a 5 a\ 6 a 7 a 8 a 9 a\ b 1 b 2 b 3 b 4 b 5... ).
13 32 2. Ciągi liczbowe Przykład 2.8. a)ciągliczbparzystychb =2jestpodciągiemciąguliczbaturalycha =. b)ciągb = 1+ 1 ) jestpodciągiemciągua = ) c)ciągb )=1,1,2,2,3,3,...)iejestpodciągiemciągua )=1,2,3,...). TWIERDZENIE 2.9.o graicy podciągu) a) Podciąg ciągu z graicą właściwą ma tę samą graicę. b)podciągciągurozbieżegodo )jestrozbieżydo ). Uwaga. Ciąg, z którego moża wybrać dwa podciągi z różymi graicami, jest rozbieży. Ćwiczeie Korzystając z twierdzeia o graicy podciągu uzasadić rówości: 1 1 a) lim 1+2=0; b) lim 3 +2 =0; ) c) lim =1; d) lim =. 3 Ćwiczeie Wybierając odpowiedie podciągi uzasadić, że ie istieją graice: a) lim +2 [ ; b) lim 1)2 + 1) 2] ; c) lim siπ 3. TWIERDZENIE2.12. Bolzao Weierstrassa,ociągachograiczoych) Jeżeli ciąg jest ograiczoy, to ma podciąg zbieży. Uwaga.Jeżeliciągiejestograiczoy,tomapodciągrozbieżydo lub. 3. Twierdzeia o graicach ciągów TWIERDZENIE 3.1. o arytmetyce graic ciągów) Jeżeliciągia )ib )majągraicewłaściwe,to a) lim a +b )= lim a + lim b, b)lim a b )= lim a lim b, ) ) c) lim a b )= a e) lim = b lim a lim b lim a lim b, d)lim c a )=c lim a c R),, f)lim k a = k lim a k N). BerhardBolzao ),matematykifilozofczeski. KarlTheodorWilhelmWeierstrass ),matematykiemiecki.
14 3. Twierdzeia o graicach ciągów 33 Dowódc). Niech ε będzie dowolą liczbą dodatią. Mamy pokazać, że istieje taka liczba aturala 0,iżierówość a b ab <εjestprawdziwadlakażdegoaturalego> 0.Zezbieżościciągua )wyikajegoograiczoość.zatemistiejeliczbam ataka,że a M adlawszystkich N.NiechMbędziewiększązdwóchliczbM a, b,tj.iech M=max{M a, b }.Wdefiicjigraicyciągua )przyjmujemyε =ε/2m.wtedyistieje takaliczbaaturala a,iżierówość a a <ε jestprawdziwadlakażdego> a. Podobiewdefiicygraicyciągub )przyjmujemyε =ε/2m.wtedyistiejetakaliczba aturala b,żeierówość b b <ε jestprawdziwadlakażdego> b.pokażemy,że liczba 0=max{ a, b }spełiapoczątkowywaruek.rzeczywiście,dla> 0mamy a b ab = a b b)+ba a) a b b + b a a M a ε +M ε ε =M a 2M +M ε 2M M ε 2M +M ε 2M =ε. Zatem graica iloczyu ciągów rówa się iloczyowi graic tych ciągów. Uwaga. Wzorya) ic) są prawdziwe dla dowolej liczby odpowiedio składików i czyików. Z kolei we wzorache) if) zakładamy, że wyrażeia po obu stroach zaku rówości mają ses. Ćwiczeie 3.2. Obliczyć graice: a) lim 3 ; b) lim +1 d) lim g) lim ) 499 ) 5 ; e) lim 3 333; h) lim +1) 2 + ) ; c) lim +1) ) ; )!! ; f) lim +1)!+! ; ; i) lim Ćwiczeie3.3. a)dla 3iechα ozaczamiarękątawewętrzego kątaforemego. Obliczyć lim α. b)dla 6iechp ozaczadługośćajkrótszej,aq ajdłuższejprzekątej kąta foremego, którego bok ma długość 1. Obliczyć: lim p, lim q. c)dla 3iechS ozaczapole kątaforemegoopisaegoakoleopromieiu 1. Obliczyć lim S. Podać iterpretacje geometrycze otrzymaych wyików. Ćwiczeie 3.4. Pokazać rówoważość lim a =0 lim a =0.Następie uzasadić rówości: a) lim 1) 2 +1 =0; 1) b) lim =0. +1 TWIERDZENIE 3.5.o trzech ciągach) Jeżeliwyrazyciągówa ),b ),c )spełiająierówościa b c dla 0 oraz lim a = lim c =b,to lim b =b.
15 34 2. Ciągi liczbowe b a,b,c c b a Rys Ilustracja twierdzeia o trzech ciągach Dowód.Niechεbędziedowoląliczbądodatią.Wtedyzezbieżościciągówa )ic )dob wyika,żeistiejątakieliczbyaturale a, c,iżierówość a b <εjestprawdziwadla > a,aierówość c b <εjestprawdziwadla> c.niech b ozaczaajwiększą wśródliczb a, coraz 0,tj.iech b =max{ a, c, 0}.Wtedydla> b zachodzą ierówości b ε<a <b+ε, b ε<c <b+ε. Poieważdla b spełioesąierówości:a b c,więctakże Stąd Toozacza,żeciągb )magraicęb. b ε<a b c <b+ε. b b <εdla> b. Ćwiczeie 3.6. Korzystając z twierdzeia o trzech ciągach uzasadić rówości: a) lim si =5; b) lim 2 =0; +1 c) lim =3; d) lim = 2; e) lim =1; g) lim f) lim log =1; h) lim 2 +1 ) =2; =1; i) lim +1 ) =1; j) lim si +1 si =0; ) 1 k) lim =1; l*) lim )=
16 3. Twierdzeia o graicach ciągów 35 TWIERDZENIE 3.7.o ciągu mootoiczym i ograiczoym) Jeżeliciąga )jestiemalejącyorazograiczoyzgóry,tojestzbieży. a a a a Rys Ilustracja twierdzeia o ciągu a) iemalejącym i ograiczoym z góry,b) ierosącym i ograiczoym z dołu Dowód. Pokażemy, że lim a=sup{a}.zbiór{a}jestiepustyiograiczoyzgóry.zatemzaksjomatuciągłościmakresgóry.przyjmijmya=sup{a }.Niechεbędziedowolą liczbądodatią.pokażemy,żeistiejeliczba 0taka,żedla> 0zachodziierówość a ε<a <a+ε.zdefiicjikresugóregowyika,żeistiejetakielemeta 0 zbioru {a },iżprawdziwajestierówośća 0 >a ε.gdybytakiebyło,toa εbyłobyograiczeiemgórymzbioru{a },miejszymoda.toprzeczyłobydefiicjikresugórego,jako ajmiejszegoograiczeiagórego.skorociąga )jestiemalejący,toierówość a a =a a a a 0 <ε jestprawdziwadlawszystkich> 0.Tozkoleiozacza,żegraicąciągua )jesta. Uwaga. Prawdziwe jest aalogicze twierdzeie o ciągu ierosącym i ograiczoym zdołu. Ćwiczeie 3.8. Koleje wyrazy ciągu tworzymy dopisując po przeciku dowolą cyfrę p.x 1 =0.3,x 2 =0.37,x 3 =0.370,x 4 =0.3705,...Pokazać,żeciągx )jest zbieży. Ćwiczeie 3.9. Korzystając z twierdzeia o ciągu mootoiczym i ograiczoym uzasadić zbieżość ciągów: a)a = ; b)a =! ; c)a 1 =0,c +1 =arctg1+c ); d*)a = 1+ ) 1 +1 ; e*)a = 1 1! +1 2! ! )! ; f*)a =. W przykładachb) if*) ułożyć rówaia z graicami i astępie je wyzaczyć. Ćwiczeie Korzystając z twierdzeia o ciągu mootoiczym i ograiczoym uzasadić rówości:
17 36 2. Ciągi liczbowe 100 [3)!] 2 a) lim =0; b) lim! 2)!4)! =0; c*) lim b =2,gdzieb 1 = 2,b +1 = 2+b dla N; d*) lim c = 1 2 FAKT 3.11.określeie liczby e) Ciąge = 1+ ) 1 jestzbieży. 5 1 ),gdziec 1 =1orazc +1 = 1 1+c dla N. e e Rys.3.3.Wykresciągue ) Dowód.Najpierwpokażemy,żeciąge )jestrosący.mamy 1+ 1 ) +1 ) e +1 = +1 e 1+ 1 ) = [ ] 1 1 > =1. +1) 2 +1) 2 Nierówośćotrzymaliśmyprzyjmującr=+1orazx= 1/+1) 2 wierówościberoulliego :1+x) r >1+rx.Ciąge )jestzatemrosący. Pokażemy teraz ograiczoość z góry tego ciągu. Skorzystamy ze wzoru dwumiaowego Newtoa a+b) = ) a b ) a 1 b ) a 2 b ) a 0 b orazzierówości!>2 1 prawdziwejdlakażdego 3.Nierówośćtajestłatwado wykazaia przy pomocy idukcji matematyczej. Mamy e = 1+ ) 1 ) ) ) ) = = ) ) 1 2 ) ) 1 2 ) ) 2! 3!! < ! +1 3! ! < ) < ) = =3. 2 Zobacz Wstępdoaalizyialgebry,str.31.,wyd.3
18 3. Twierdzeia o graicach ciągów 37 Toozacza,żeciągjestograiczoyzgóryprzez3.Ztwierdzeiaociągumootoiczymi ograiczoymtwierdzeie3.7)wyika,żeciąge )jestzbieży. Uwaga.Graicęciągue )ozaczamyprzeze: e= lim ) Liczbaepodaazdokładościądo2cyfrpoprzecikujestrówa2.72. Logarytmprzypodstawieeazywamyaturalymiozaczamyprzezl;lx=log e x. Fukcję wykładiczą przy podstawie e azywamy ekspoes i ozaczamy przez exp; expx=e x. Ćwiczeie Pokazać,żejeżeliciągx )jest,rozbieżydo±,to lim 1+ 1 ) x =e.korzystając z tego obliczyć x graice: a) lim d) lim ) 3 ; b) lim ) 2 +1 ; e) lim FAKT 3.13.o graicach iewłaściwych ciągów) 1 ) 1 ; c) lim 1 1 ) ; ) 3+1 ; f) lim 3+4 ) a) Jeżeli lim a =0ia >0 N),to lim 1/a )=. b) Jeżeli lim a =,aciągb )jestograiczoy,to lim b /a )=0. c) Jeżeli lim a =,aciągb )jestograiczoyzdołu,to lim a +b )=. d) Jeżeli lim a = orazb m>0 N),to lim a b )=. Dowóda).NiechEbędzieliczbądodatią.Pokażemy,żeistieje 0 Ntaka,żewaruek 1/a >Ejestspełioydla> 0.Wdefiicjigraicyciągua )przyjmujemyε=1/e. Wtedyistiejetakie a N,żedla> aspełioyjestwaruek a <1/E.Stądiz założeiaa >0,mamya <1/Edla> a.zatem 1 > 1 a 1/E =E dla> 0= a,cokończydowód. Uwaga.Aalogiczetwierdzeiamożasformułowaćdla działań zsymbolem. Ćwiczeie Obliczyć graice ciągów: a) lim 2 +1)! ; b) lim ); ) c) lim +3 ; d) lim 1+ 3.
19 38 2. Ciągi liczbowe Pokażemy iżej, że graica ilorazu ciągów rozbieżych do ieskończoości może przyjmować dowole wartości albo ie istieć. Przykład Dla ciągów: a)a = 2,b =mamy lim a /b = lim =, b)a =c,gdziec>0,b =mamy lim a /b = lim c=c, c)a =,b = 2 mamy lim a /b = lim 1/=0, d)a =2+ 1) ),b =mamy lim a /b = lim 2+ 1) ) ieistieje. Ztegowzględuciąga /b )dla lim a =, lim b = azywamywyrażeiem ieozaczoym postaci /. Poadto, mamy sześć iych typów wyrażeń ieozaczoych. Są to kolejo: a b )dla lim a =, lim b = wyrażeie, a b )dla lim a =0, lim b =, wyrażeie0, a /b )dla lim a =0, lim b =0, wyrażeie0/0, ) a b dla lim a =1, lim b =, wyrażeie1, ) a b dla lim a =, lim b =0, wyrażeie 0, ) a b dla lim a =0, lim b =0 wyrażeie0 0. Ćwiczeie3.16.Podaćprzykładyciągówa ),b )świadczące,żewyrażeiapostaci,1,0 0 sąieozaczoe.rozważyćwszystkiewartości,jakiemogąprzyjąć te wyrażeia. TWIERDZENIE o dwóch ciągach) Jeżeliwyrazyciągówa )ib )spełiająierówośća b dla 0,aciąga ) jestrozbieżydo,torówieżciągb )jestrozbieżydo. a,b b a Rys Ilustracja twierdzeia o dwóch ciągach Dowód.Mamypokazać,żedladowolegoEistiejetakie b N,iżierówośćb >Ejest prawdziwadla> b.niechebędzieliczbądodatią.zdefiicjirozbieżościciągua )do
20 3. Twierdzeia o graicach ciągów 39,wyika,żeistieje a Ntakie,iża >Edla> a.przyjmując b = azzałożeia a b N),mamyb >Edla> b.toozacza,żeciągb )jestrozbieżydo. Uwaga. Prawdziwe jest aalogicze twierdzeie dla ciągów rozbieżych do. Ćwiczeie Korzystając z twierdzeia o dwóch ciągach uzasadić rówości: a) lim [4 + 1) ]= ; b) lim 2 +3)= ; [ c) lim 2cos 5) 2 ] 1 = ; d) lim )=. 2 a +1 Ćwiczeie3.19.Dlaciągówa )obliczyć lim albo lim a dowyboru): a a)a =2 +3 ; b)a = 2! ; c)a = 2 +2; d)a = Najważiejsze graice ciągów lim lim 1 x lim lim p=0p>0), lim q = q>0), =0, gdy x <1, =1, gdy x=1, =, gdy x>1, ieistieje, gdy x 1, a=1a>0), lim =1, 1+ ) 1 =e, lim ) 2. ) = 1 e, ogólielim 1+ a =e ) a a R).
ANALIZA MATEMATYCZNA 1
ANALIZA MATEMATYCZNA 1 Maria Gewert Zbigiew Skoczylas ANALIZA MATEMATYCZNA 1 Defiicje, twierdzeia, wzory Wydaie dwudzieste czwarte zmieioe Oficya Wydawicza GiS Wrocław 2015 Maria Gewert Wydział Matematyki
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 1
ANALIZA MATEMATYCZNA Maria Gewert Zbigiew Skoczylas ANALIZA MATEMATYCZNA Przykłady i zadaia Wydaie dwudzieste piąte uzupełioe GiS Oficya Wydawicza GiS Wrocław 07 Maria Gewert Wydział Matematyki Politechika
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 1
ANALIZA MATEMATYCZNA Maria Gewert Zbigiew Skoczylas ANALIZA MATEMATYCZNA Przykłady i zadaia Wydaie dwudzieste szóste zmieioe Oficya Wydawicza GiS Wrocław 08 Maria Gewert Wydział Matematyki Politechika
Bardziej szczegółowoa 1, a 2, a 3,..., a n,...
III. Ciągi liczbowe. 1. Defiicja ciągu liczbowego. Defiicja 1.1. Ciągiem liczbowym azywamy fukcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb aturalych N w zbiór liczb rzeczywistych R i ozaczamy przez { }. Używamy
Bardziej szczegółowoStwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).
Materiały dydaktycze Aaliza Matematycza Wykład Ciągi liczbowe i ich graice. Graice ieskończoe. Waruek Cauchyego. Działaia arytmetycze a ciągach. Podstawowe techiki obliczaia graic ciągów. Istieie graic
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Szeregi liczbowe
Zadaia z aalizy matematyczej - sem. I Szeregi liczbowe Defiicja szereg ciąg sum częściowyc. Szeregiem azywamy parę uporządkowaą a ) S ) ) ciągów gdzie: ciąg a ) ciąg S ) jest day jest ciągiem sum częściowych
Bardziej szczegółowoCiągi liczbowe wykład 3
Ciągi liczbowe wykład 3 dr Mariusz Grządziel semestr zimowy, r akad 204/205 Defiicja ciągu liczbowego) Ciagiem liczbowym azywamy fukcję odwzorowuja- ca zbiór liczb aturalych w zbiór liczb rzeczywistych
Bardziej szczegółowodna szeregu. ; m., k N ; ó. ; u. x 2n 1 ; e. n n! jest, że
KILKA ZADAŃ O SZEREGACH Zbadać zbieżość i zbieżość bezwzgle da = a, jeśli a = a!! ; a + + ; c + ; ć! ; d +/ + 3 ; e! e 3 3+ ; f ; + g 000+ ; h ; + i! ; j k ; l 5 + l + 7 0 +3 6 0 + ; +3 ; ; m 3 + 3 ; +a
Bardziej szczegółowo2 n < 2n + 2 n. 2 n = 2. 2 n 2 +3n+2 > 2 0 = 1 = 2. n+2 n 1 n+1 = 2. n+1
Tekst a iebiesko jest kometarzem lub treścią zadaia. Zadaie 1. Zbadaj mootoiczość i ograiczoość ciągów. a = + 3 + 1 Ciąg jest mootoiczie rosący i ieograiczoy poieważ różica kolejych wyrazów jest dodatia.
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna A1, zima 2011/12. Kresy zbiorów. x Z M R
Kresy zbiorów. Ćwiczeia 21.11.2011: zad. 197-229 Kolokwium r 7, 22.11.2011: materiał z zad. 1-249 Defiicja: Zbiór Z R azywamy ograiczoym z góry, jeżeli M R x Z x M. Każdą liczbę rzeczywistą M R spełiającą
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.
Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia 5.11.2012: zad. 140-173 Kolokwium r 5, 6.11.2012: materiał z zad. 1-173 Ćwiczeia 12.11.2012: zad. 174-190 13.11.2012: zajęcia czwartkowe
Bardziej szczegółowoDamian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim.
Damia Doroba Ciągi. Graice, z których korzystamy. k. q.. 5. dla k > 0 dla k 0 0 dla k < 0 dla q > 0 dla q, ) dla q Nie istieje dla q ) e a, a > 0. Opis. Pierwsza z graic powia wydawać się oczywista. Jako
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17
Egzami, 18.02.2017, godz. 9:00-11:30 Zadaie 1. (22 pukty) W każdym z zadań 1.1-1.10 podaj w postaci uproszczoej kresy zbioru oraz apisz, czy kresy ależą do zbioru (apisz TAK albo NIE, ewetualie T albo
Bardziej szczegółowoMatematyka ETId I.Gorgol Twierdzenia o granicach ciagów. Twierdzenia o granicach ciagów
Twierdzeia o graicach ciagów Matematyka ETId I.Gorgol Zbieżość ciagu a jego ograiczoość TWIERDZENIE Jeżeli ci ag liczbowy a ) jest zbieży do graicy skończoej, to jest ograiczoy. Zbieżość ciagu a jego ograiczoość
Bardziej szczegółowoI kolokwium z Analizy Matematycznej
I kolokwium z Aalizy Matematyczej 4 XI 0 Grupa A. Korzystając z zasady idukcji matematyczej udowodić ierówość dla wszystkich N. Rozwiązaie:... 4 < + Nierówość zachodzi dla, bo 4
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna. Robert Rałowski
Aaliza matematycza Robert Rałowski 6 paździerika 205 2 Spis treści 0. Liczby aturale.................................... 3 0.2 Liczby rzeczywiste.................................... 5 0.2. Nierówości...................................
Bardziej szczegółowozadań z pierwszej klasówki, 10 listopada 2016 r. zestaw A 2a n 9 = 3(a n 2) 2a n 9 = 3 (a n ) jest i ograniczony. Jest wiec a n 12 2a n 9 = g 12
Rozwiazaia zadań z pierwszej klasówki, 0 listopada 06 r zestaw A Ciag a ) jest zaday rekuryjie: a a, a + a a 9, a R, a
Bardziej szczegółowoMetody badania zbieżności/rozbieżności ciągów liczbowych
Metody badaia zbieżości/rozbieżości ciągów liczbowych Ryszard Rębowski 14 grudia 2017 1 Wstęp Kluczowe pytaie odoszące się do zagadieia badaia zachowaia się ciągu liczbowego sprowadza się do sposobu opisu
Bardziej szczegółowoFunkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta
Fukcje cze Moduł - dział -temat Fukcje cze dowolego kąta Lp 1 kąt w układzie współrzędych fukcje cze dowolego kąta zaki czych wartości czych iektórych kątów Kąt obrotu 2 dodati i ujemy kieruek obrotu wartości
Bardziej szczegółowoInformatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce!
Iformatyka Stosowaa-egzami z Aalizy Matematyczej Każde zadaie ależy rozwiązać a oddzielej, podpisaej kartce! y, Daa jest fukcja f (, + y, a) zbadać ciągłość tej fukcji f b) obliczyć (,) (, (, (,) c) zbadać,
Bardziej szczegółowoFunkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta
Fukcje cze Moduł - dział -temat Fukcje cze dowolego kąta Lp 1 kąt w układzie współrzędych fukcje cze dowolego kąta zaki czych wartości czych iektórych kątów Kąt obrotu 2 dodati i ujemy kieruek obrotu wartości
Bardziej szczegółowoTwierdzenia o funkcjach ciągłych
Automatya i Robotya Aaliza Wyład 5 dr Adam Ćmiel cmiel@aghedupl Twierdzeia o ucjach ciągłych Tw (Weierstrassa Jeżeli ucja : R [ R jest ciągła a [, to ograiczoa i : ( sup ( i ( i ( [, Dowód Ograiczoość
Bardziej szczegółowolim a n Cigi liczbowe i ich granice
Cigi liczbowe i ich graice Cigiem ieskoczoym azywamy dowol fukcj rzeczywist okrelo a zbiorze liczb aturalych. Dla wygody zapisu, zamiast a() bdziemy pisa a. Elemet a azywamy -tym wyrazem cigu. Cig (a )
Bardziej szczegółowoMatematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 11
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochroa radiologicza Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 11 Całka ozaczoa podstawowe pojęcia Defiicja podziału odcika Podziałem P odcika < a, b > a części azywamy zbiór
Bardziej szczegółowoFunkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta
Fukcje trygoometrycze Moduł - dział -temat Fukcje trygoometry cze dowolego kąta 1 kąt w układzie współrzędych fukcje trygoometrycze dowolego kąta zaki trygoometryczych wartości trygoometryczych iektórych
Bardziej szczegółowoTeoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =
Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a 2,..., a będą dowolymi liczbami. Sumę a + a 2 +... + a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od k do a k ). Zak Σ to duża grecka
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16
Egzami,.9.6, godz. :-5: Zadaie. ( puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z 4 = 4 w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej (bez używaia fukcji trygoometryczych)
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna I dla Inżynierii Biomedycznej Lista zadań
Aaliza Matematycza I dla Iżyierii Biomedyczej Lista zadań Jacek Cichoń, WPPT PWr, 205/6 Logika, zbiory i otacja matematycza Zadaie Niech p, q, r będą zmieymi zdaiowymi. Pokaż, że:. = ( (p p)), 2. = (p
Bardziej szczegółowoZadania z Matematyka 2 - SIMR 2008/ szeregi zadania z rozwiązaniami. n 1. n n. ( 1) n n. n n + 4
Zadaia z Matematyka - SIMR 00/009 - szeregi zadaia z rozwiązaiami. Zbadać zbieżość szeregu Rozwiązaie: 0 4 4 + 6 0 : Dla dostateczie dużych 0 wyrazy szeregu są ieujeme 0 a = 4 4 + 6 0 0 Stosujemy kryterium
Bardziej szczegółowo3. Funkcje elementarne
3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących
Bardziej szczegółowoMateriały do ćwiczeń z Analizy Matematycznej I
Materiały do ćwiczeń z Aalizy Matematyczej I 08/09 Maria Frotczak Ludwika Kaczmarek Katarzya Klimczak Maria Michalska Beata Osińska-Ulrych Tomasz Rodak Adam Różycki Grzegorz Skalski Staisław Spodzieja
Bardziej szczegółowo2. Nieskończone ciągi liczbowe
Ciągiem liczbowym azywamy fukcję 2. Nieskończoe ciągi liczbowe a: N R. Wartości tej fukcji ozaczamy przez a) = a i azywamy wyrazami ciągu. Często ciąg ozaczamy przez {a } = lub po prostu przez {a }. Prostymi
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n 4n n 1
30. Obliczyć wartość graicy ( 0 ( ( ( 4 +1 + 1 4 +3 + 4 +9 + 3 4 +7 +...+ 1 4 +3 + 1 ( ( 4 +3. Rozwiązaie: Ozaczmy sumę występującą pod zakiem graicy przez b. Zamierzamy skorzystać z twierdzeia o trzech
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 1 (MAP 1024) LISTY ZADAŃ
ANALIZA MATEMATYCZNA (MAP 0) LISTY ZADAŃ Listy zadań przezaczoe są dla studetów którzy program matematyki szkoły poadgimazjalej zają jedyie a poziomie podstawowym Obejmują iezbęde do dalszej auki zagadieia
Bardziej szczegółowoDydaktyka matematyki III-IV etap edukacyjny (wykłady)
Dydaktyka matematyki III-IV etap edukacyjy (wykłady) Wykład r 12: Fukcja wykładicza cd. Ciągłość fukcji. Pochoda fukcji Semestr zimowy 2018/2019 Fukcja wykładicza (cd.) propozycja Podobie jak w przykładach
Bardziej szczegółowoSzeregi liczbowe. Szeregi potęgowe i trygonometryczne.
Szeregi iczbowe. Szeregi potęgowe i trygoometrycze. wykład z MATEMATYKI Automatyka i Robotyka sem. I, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Iformatyki Poitechika Białostocka Szeregi iczbowe Defiicja..
Bardziej szczegółowoSZEREGI LICZBOWE. s n = a 1 + a a n = a k. k=1. aq n = 1 qn+1 1 q. a k = s n + a k, k=n+1. s n = 0. a k lim n
SZEREGI LICZBOWE Z ciągu liczb a, a 2,... utwórzmy owy ciąg Przyjmijmy ozaczeia s = a + a 2 +... a = a k. k= k= a k = a + a 2 +... = s. Gdy graica k= a k jest liczbą, to mówimy, że szereg k= a k jest sumowaly
Bardziej szczegółowo1. Granica funkcji w punkcie
Graica ukcji w pukcie Deiicja Sąsiedztwem o promieiu r > 0 puktu a R azywamy zbiór S ( a ( a r ( a a Deiicja Sąsiedztwem lewostroym o promieiu r > 0 puktu a R azywamy zbiór S ( a ( a r Deiicja Sąsiedztwem
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n = Rozwiązanie: Stosując wzór na wartość współczynnika dwumianowego otrzymujemy
12. Dowieść, że istieje ieskończeie wiele par liczb aturalych k < spełiających rówaie ( ) ( ) k. k k +1 Stosując wzór a wartość współczyika dwumiaowego otrzymujemy ( ) ( )!! oraz k k! ( k)! k +1 (k +1)!
Bardziej szczegółowoAnaliza numeryczna Kurs INP002009W. Wykład 1 Narzędzia matematyczne. Karol Tarnowski A-1 p.223
Aaliza umerycza Kurs INP002009W Wykład Narzędzia matematycze Karol Tarowski karol.tarowski@pwr.wroc.pl A- p.223 Pla wykładu Czym jest aaliza umerycza? Podstawowe pojęcia Wzór Taylora Twierdzeie o wartości
Bardziej szczegółowoZadania z algebry liniowej - sem. I Liczby zespolone
Zadaia z algebry liiowej - sem. I Liczby zespoloe Defiicja 1. Parę uporządkowaą liczb rzeczywistych x, y azywamy liczbą zespoloą i ozaczamy z = x, y. Zbiór wszystkich liczb zespoloych ozaczamy przez C
Bardziej szczegółowoSzeregi liczbowe. 15 stycznia 2012
Szeregi liczbowe 5 styczia 0 Szeregi o wyrazach dodatich. Waruek koieczy zbieżości szeregu Defiicja.Abyszereg a < byłzbieżyciąga musizbiegaćdo0. Jest to waruek koieczy ale ie dostateczy. Jak wiecie z wykładu(i
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/ n 333))
46. Wskazać liczbę rzeczywistą k, dla której graica k 666 + 333)) istieje i jest liczbą rzeczywistą dodatią. Obliczyć wartość graicy przy tak wybraej liczbie k. Rozwiązaie: Korzystając ze wzoru a różicę
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16
Egzami,.6.6, godz. 9:-: Zadaie. puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z i w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej bez używaia fukcji trygoometryczych) oraz zazaczyć
Bardziej szczegółowo201. a 1 a 2 a 3...a n a 2 1 +a 2 2 +a a 2 n n a 4 1 +a 4 2 +a a 4 n n. a1 + a 2 + a a n 204.
Liczby rzeczywiste dodatie a 1, a 2, a 3,...a spełiają waruek a 1 +a 2 +a 3 +...+a =. Wpisać w kratkę zak lub i udowodić podaą ierówość bez korzystaia z gotowych twierdzeń (moża korzystać z wcześiejszych
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ)
MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Ciągi liczbowe 1.1. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowola fukcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym (ciąg skończoy), albo wszystkim (ciąg ieskończoy) liczbom aturalym.
Bardziej szczegółowo3.1. Ciągi liczbowe - ograniczoność, monotoniczność, zbieżność ciągu. Liczba e. Twierdzenie o trzech ciągach.
WYKŁAD 6 3 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ 31 Ciągi liczbowe - ogriczoość, mootoiczość, zbieżość ciągu Liczb e Twierdzeie o trzech ciągch 3A+B1 (Defiicj: ieskończoość) Symbole,,
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie III poziom rozszerzony
Wymagaia edukacyje a poszczególe ocey z matematyki w klasie III poziom rozszerzoy Na oceę dopuszczającą, uczeń: zazacza kąt w układzie współrzędych, wskazuje jego ramię początkowe i końcowe wyzacza wartości
Bardziej szczegółowoCiąg liczbowy. Granica ciągu
Temat wykładu: Ciąg liczbowy. Graica ciągu Kody kolorów: Ŝółty owe pojęcie pomarańczowy uwaga kursywa kometarz * materiał adobowiązkowy Aa Rajfura, Matematyka a kieruku Biologia w SGGW 1 Zagadieia 1. Przykłady
Bardziej szczegółowoSzereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3:
Szereg geometryczy Zad : Suma wszystkich wyrazów ieskończoego ciągu geometryczego jest rówa 4, a suma trzech początkowych wyrazów wyosi a) Zbadaj mootoiczość ciągu sum częściowych tego ciągu geometryczego
Bardziej szczegółowoEgzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania
zadaia Egzamiy wstępe a wyższe uczelie 003 I. Akademia Ekoomicza we Wrocławiu. Rozwiąż układ rówań Æ_ -9 y - 5 _ y = 5 _ -9 _. Dla jakiej wartości parametru a suma kwadratów rozwiązań rzeczywistych rówaia
Bardziej szczegółowoIII seria zadań domowych - Analiza I
III seria zadań domowych - Aaliza I Różiczkowalość fukcji Zadaie Dla jakich wartości parametrów abc R fukcje a + gdy π si + b gdy > π a + b gdy 0 gdy > c a + b gdy c są różiczkowale. a + b gdy a 0 / arcsi
Bardziej szczegółowoRekursja 2. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Rekursja Materiały pomocicze do wykładu wykładowca: dr Magdalea Kacprzak Rozwiązywaie rówań rekurecyjych Jedorode liiowe rówaia rekurecyje Twierdzeie Niech k będzie ustaloą liczbą aturalą dodatią i iech
Bardziej szczegółowoZnajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek
Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy
Bardziej szczegółowo+ ln = + ln n + 1 ln(n)
"Łatwo z domu rzeczywistości zajśd do lasu matematyki, ale ieliczi tylko umieją wrócid." Hugo Dyoizy Steihaus Niech (a ) będzie ieskooczoym ciągiem rzeczywistym. Def. Szeregiem = a azywamy parę ciągów
Bardziej szczegółowoModuł 4. Granica funkcji, asymptoty
Materiały pomocicze do e-learigu Matematyka Jausz Górczyński Moduł. Graica fukcji, asymptoty Wyższa Szkoła Zarządzaia i Marketigu Sochaczew Od Autora Treści zawarte w tym materiale były pierwotie opublikowae
Bardziej szczegółowoI. Podzielność liczb całkowitych
I Podzielość liczb całkowitych Liczba a = 57 przy dzieleiu przez pewą liczbę dodatią całkowitą b daje iloraz k = 3 i resztę r Zaleźć dzieik b oraz resztę r a = 57 = 3 b + r, 0 r b Stąd 5 r b 8, 3 więc
Bardziej szczegółowoTechnikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu
Techikum Nr 2 im. ge. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekoomiczych w Kaliszu Wymagaia edukacyje iezbęde do uzyskaia poszczególych śródroczych i roczych oce klasyfikacyjych z obowiązkowych zajęć
Bardziej szczegółowoWektory Funkcje rzeczywiste wielu. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Wektory Fukcje rzeczywiste wielu zmieych rzeczywistych Matematyka Studium doktorackie KAE SGH Semestr leti 2008/2009 R. Łochowski Wektory pukty w przestrzei R Przestrzeń R to zbiór uporządkowaych -ek liczb
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna I. Pula jawnych zadań na kolokwia.
Aaliza matematycza I. Pula jawych zadań a kolokwia. Wydział MIiM UW, 23/4 ostatie poprawki: 6 listopada 23 Szaowi Państwo, zgodie z zapowiedzią, a każdym kolokwium w pierwszym semestrze co ajmiej 2 zadaia
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 11
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD Szeregi potęgowe Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C jeżeli jest -krotie różiczkowala i jej -ta pochoda jest fukcją ciągłą. Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C, jeżeli jest
Bardziej szczegółowoWzór Taylora. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Wzór Taylora Szeregi potęgowe Matematyka Studium doktorackie KAE SGH Semestr leti 8/9 R. Łochowski Graica fukcji w pukcie Niech f: R D R, R oraz istieje ciąg puktów D, Fukcja f ma w pukcie graicę dowolego
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2, lato 2018/19
47. W każdym z zadań 47.-47.5 podaj wzór a fukcję różiczkowalą f :D f R o podaym wzorze a pochodą oraz o podaej wartości w podaym pukcie. 47.. f x 4x 5 54 f D f R 4x 555 fx + 47.. f x x+ f D f, + fx 9
Bardziej szczegółowoZauważone błędy bardzo proszę zgłaszać mailem lub na ćwiczeniach. Z góry dziękuję :-)
Odpowiedzi do zadań z szeregów, cz I. Zauważoe błędy bardzo proszę zgłaszać mailem lub a ćwiczeiach. Z góry dziękuję :-. a +, wsk. skorzystać z rówości a b a b, astępie a+b wyciągąć ajwyższe potęgi z liczika
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU WIMiR Semestr zimowy 2017/18
dr Aa Barbaszewska-Wiśiowska ZAGADNIENIA Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU WIMiR Semestr zimowy 17/18 1 Elemety logiki matematyczej Zdaia i formy zdaiowe fuktory zdaiotwórcze Tautologie Wartości logicze
Bardziej szczegółowof '. Funkcja h jest ciągła. Załóżmy, że ciąg (z n ) n 0, z n+1 = h(z n ) jest dobrze określony, tzn. n 0 f ' ( z n
Metoda Newtoa i rówaie z = 1 Załóżmy, że fucja f :C C ma ciągłą pochodą. Dla (prawie) ażdej liczby zespoloej z 0 tworzymy ciąg (1) (z ) 0, z 1 = z f ( z ), ciąg te f ' (z ) będziemy azywać orbitą liczby
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego
Przkładowe zadaia dla poziomu rozszerzoego Zadaie. ( pkt W baku w pierwszm roku oszczędzaia stopa procetowa bła rówa p%, a w drugim roku bła o % iższa. Po dwóch latach, prz roczej kapitalizacji odsetek,
Bardziej szczegółowoFunkcja wykładnicza i logarytm
Rozdział 3 Fukcja wykładicza i logarytm Potrafimy już defiiować potęgi liczb dodatich o wykładiku wymierym: jeśli a > 0 i x = p/q Q dla p, q N, to aturalie jest przyjąć a x = a 1/q) p = a 1/q } {{... a
Bardziej szczegółowoO liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi
O liczbach aturalych, których suma rówa się iloczyowi Lew Kurladczyk i Adrzej Nowicki Toruń UMK, 10 listopada 1998 r. Liczby aturale 1, 2, 3 posiadają szczególą własość. Ich suma rówa się iloczyowi: Podobą
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2
ANALIZA MATEMATYCZNA Marian Gewert Zbigniew Skoczylas ANALIZA MATEMATYCZNA Przykłady i zadania Wydanie dziewiętnaste powiększone GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław 6 Marian Gewert Wydział Matematyki Politechnika
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna I. Pula jawnych zadań na kolokwia.
Aaliza matematycza I. Pula jawych zadań a kolokwia. Wydział MIiM UW, 25/6 ostatie poprawki: 8 styczia 26 Szaowi Państwo, zgodie z zapowiedzią, a każdym kolokwium w pierwszym semestrze co ajmiej jeda trzecia
Bardziej szczegółowoWykªad 2. Szeregi liczbowe.
Wykªad jest prowadzoy w oparciu o podr czik Aaliza matematycza 2. Deicje, twierdzeia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 2. Szeregi liczbowe. Deicje i podstawowe twierdzeia Deicja Szeregiem liczbowym
Bardziej szczegółowoAnaliza numeryczna. Stanisław Lewanowicz. Aproksymacja funkcji
http://www.ii.ui.wroc.pl/ sle/teachig/a-apr.pdf Aaliza umerycza Staisław Lewaowicz Grudzień 007 r. Aproksymacja fukcji Pojęcia wstępe Defiicja. Przestrzeń liiową X (ad ciałem liczb rzeczywistych R) azywamy
Bardziej szczegółowoMateriały do wykładu Matematyka Stosowana 1. Dariusz Chrobak
Materiały do wykładu Matematyka Stosowaa Dariusz Chrobak 7 styczia 207 Spis treści Zbiory liczbowe i fukcje 2. Zbiór liczb wymierych Q...................... 2.2 Liczby iewymiere.........................
Bardziej szczegółowo3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe.
3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe. Bóg stworzył liczby aturale, wszystko ie jest dziełem człowieka. Leopold Kroecker Ozaczeia: zbiór liczb aturalych: N = {1, 2,...} zbiór liczb całkowitych ieujemych: N
Bardziej szczegółowoGeometrycznie o liczbach
Geometryczie o liczbach Geometryczie o liczbach Łukasz Bożyk Dodatią liczbę całkowitą moża iterpretować jako pole pewej figury składającej się z kwadratów jedostkowych Te prosty pomysł pozwala w aturaly
Bardziej szczegółowoPoziom rozszerzony. 5. Ciągi. Uczeń:
PIOTR LUDWIKOWSKI Materiał z wykładu z aalizy dla uczestików koerecji Podstawa programowa z kometarzami Tom 6 Edukacja matematycza i techicza w szkole podstawowej, gimazjum i liceum matematyka, zajęcia
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 1
ANALIZA MATEMATYCZNA 1 Marian Gewert Zbigniew Skoczylas ANALIZA MATEMATYCZNA 1 Kolokwia i egzaminy Wydanie siedemnaste zmienione GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław 2018 Marian Gewert Wydział Matematyki
Bardziej szczegółowoMatematyka. Zakres podstawowy. Nawi zanie do gimnazjum. n/m Rozwi zywanie zada Zadanie domowe Dodatkowe Komunikaty Bie ce materiały
Lekcja 1. Lekcja orgaizacyja kotrakt Podręczik: W. Babiański, L. Chańko, D. Poczek Mateatyka. Zakres podstawowy. Wyd. Nowa Era. Zakres ateriału: Liczby rzeczywiste Wyrażeia algebraicze Rówaia i ierówości
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna dla informatyków
Aaliza matematycza dla iformatyków Sprawdziay do Wykładów dla pierwszego roku iformatyki a Wydziale Matematyki, Iformatyki i Mechaiki Uiwersytetu Warszawskiego w latach 2007/8, 2008/9, 2009/0, 20/2, 202/3,
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1 LUX, zima 2016/17
585. Wskaż liczbę rzeczywistą k, dla której podaa graica istieje i jest dodatią liczbą rzeczywistą. Podaj wartość graicy dla tej wartości parametru k. Jeżeli odpowiedź jest liczbą wymierą, podaj ją w postaci
Bardziej szczegółowoWykład 7. Przestrzenie metryczne zwarte. x jest ciągiem Cauchy ego i posiada podciąg zbieżny. Na mocy
Wyład 7 Przestrzeie metrycze zwarte Defiicja 8 (przestrzei zwartej i zbioru zwartego Przestrzeń metryczą ( ρ X azywamy zwartą jeśli ażdy ciąg elemetów tej przestrzei posiada podciąg zbieży (do putu tej
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 1
ANALIZA MATEMATYCZNA Marian Gewert Zbigniew Skoczylas ANALIZA MATEMATYCZNA Kolokwia i egzaminy Wydanie szesnaste uzupełnione GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław 204 Marian Gewert Instytut Matematyki i Informatyki
Bardziej szczegółowoZdarzenia losowe, definicja prawdopodobieństwa, zmienne losowe
Metody probabilistycze i statystyka Wykład 1 Zdarzeia losowe, defiicja prawdopodobieństwa, zmiee losowe Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki
Bardziej szczegółowoWyk lad 8 Zasadnicze twierdzenie algebry. Poj. ecie pierścienia
Wy lad 8 Zasadicze twierdzeie algebry. Poj ecie pierścieia 1 Zasadicze twierdzeie algebry i jego dowód Defiicja 8.1. f: C C postaci Wielomiaem o wspó lczyiach zespoloych azywamy fucj e f(x) = a x + a 1
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna dla informatyków
Aaliza matematycza dla iformatyków Sprawdziay do Wykładów dla pierwszego roku iformatyki a Wydziale Matematyki, Iformatyki i Mechaiki Uiwersytetu Warszawskiego w latach 2007/8, 2008/9, 2009/0, 20/2, 202/3,
Bardziej szczegółowoCIĄGI LICZBOWE. Poziom podstawowy
CIĄGI LICZBOWE Poziom podstawowy Zadaie ( pkt) + 0 Day jest ciąg o wyrazie ogólym a =, N+ + jest rówy? Wyzacz a a + Czy istieje wyraz tego ciągu, który Zadaie (6 pkt) Marek chce przekopać swój przydomowy
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2 (LUX), lato 2017/18. a n n = 10.
Czy istieje ciąg (a ) taki, że (podać przykład lub dowieść, że ie istieje) : 576. a > 1 dla ieskończeie wielu, a > 0, szereg a jest zbieży. N 577. a = 1 2 dla ieskończeie wielu, a = 10. 578. a 2 = 1 N,
Bardziej szczegółowoALGEBRA I GEOMETRIA ANALITYCZNA
ALGEBRA I GEOMETRIA ANALITYCZNA Opracowanie Marian Gewert Zbigniew Skoczylas ALGEBRA I GEOMETRIA ANALITYCZNA Kolokwia i egzaminy Wydanie piętnaste zmienione GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław 2014 Marian
Bardziej szczegółowoĆWICZENIA NR 1 Z MATEMATYKI (Finanse i Rachunkowość, studia zaoczne, I rok) Zad. 1. Wyznaczyć dziedziny funkcji: 1 = 1, b) ( x) , c) h ( x) x x
ĆWICZENIA NR Z MATEMATYKI (Fiase i Rachukowość studia zaocze I rok) Zad Wyzaczyć dziedziy fukcji: a) f ( ) b) ( ) + + 6 f c) f ( ) + + d) f ( ) + e) ( ) f l f) f ( ) l( + ) + l( ) g) f ( ) l( si ) h) f
Bardziej szczegółowoAnaliza I.1, zima globalna lista zadań
Aaliza I., zima 207 - globala lista zadań Marci Kotowsi 8 styczia 208 Podstawy Zadaie. Udowodij, że dla ażdego aturalego liczby 7 2 + oraz 7 2 dzielą się przez 6. Zadaie 2. Rozstrzygij, czy poiższe liczby
Bardziej szczegółowoCiągi i szeregi liczbowe. Ciągi nieskończone.
Ciągi i szeregi liczbowe W zbiorze liczb X jest określoa pewa fukcja f, jeŝeli kaŝdej liczbie x ze zbioru X jest przporządkowaa dokładie jeda liczba pewego zbioru liczb Y Przporządkowaie to zapisujem w
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.
Zasada idukcji matematyczej Dowody idukcyje Z zasadą idukcji matematyczej i dowodami idukcyjymi sytuacja jest ajczęściej taka, że podaje się w szkole treść zasady idukcji matematyczej, a astępie omawia,
Bardziej szczegółowoWykªad 05 (granice c.d., przykªady) Rozpoczniemy od podania kilku przykªadów obliczania granic ci gów. n an = + dla a > 1. (5.1) lim.
Wykªad 05 graice cd, przykªady Rozpocziemy od podaia kilku przykªadów obliczaia graic ci gów Niech a > Ozaczmy a = c > 0 Mamy Poiewa» c = +, wi c tak»e a = + c + c c a = + dla a > 5 Poadto, zauwa»amy,»e
Bardziej szczegółowoKatalog wymagań programowych z matematyki od absolwenta II klasy (poziom rozszerzony).
Katalog wymagań programowych z matematyki od absolweta II klasy (poziom rozszerzoy). LICZBY RZECZYWISTE Na poziomie wymagań koieczych lub podstawowych a oceę dopuszczającą () lub dostateczą (3) uczeń wykorzystać
Bardziej szczegółowoZADANIA Z TOPOLOGII I. PRZESTRZENIE METRYCZNE. II. ZBIORY OTWARTE I DOMKNIĘTE.
ZADANIA Z TOPOLOGII I. PRZESTRZENIE METRYCZNE. 1. Niech (X, ρ) będzie przestrzeią metryczą zaś a liczbą rzeczywistą dodatią. Wykaż, że fukcja σ: X X R określoa wzorem σ(x, y) = mi {ρ(x, y), a} jest metryką
Bardziej szczegółowoSzeregi liczbowe i ich własności. Kryteria zbieżności szeregów. Zbieżność bezwzględna i warunkowa. Mnożenie szeregów.
Materiały dydaktyze Aaliza Matematyza (Wykład 3) Szeregi lizbowe i ih własośi. Kryteria zbieżośi szeregów. Zbieżość bezwzględa i warukowa. Możeie szeregów. Defiija. Nieh {a } N będzie iągiem lizbowym.
Bardziej szczegółowoO pewnych zastosowaniach rachunku różniczkowego funkcji dwóch zmiennych w ekonomii
O pewych zastosowaiach rachuku różiczkowego fukcji dwóch zmieych w ekoomii 1 Wielkość wytwarzaego dochodu arodowego D zależa jest od wielkości produkcyjego majątku trwałego M i akładów pracy żywej Z Fukcję
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna I dla Fizyki na WPPT Lista zadań
Aaliza Matematycza I dla Fizyki a WPPT Lista zadań Jacek Cichoń, WPPT, PWr, 06/7 Zadaia ozaczoe * są ieco trudiejsze od zadań bez gwiazdki. Zadaia ozaczoe ** są jeszcze trochę trudiejsze. Logika, zbiory
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VI: Metoda Mote Carlo 17 listopada 2014 Zastosowaie: przybliżoe całkowaie Prosta metoda Mote Carlo Przybliżoe obliczaie całki ozaczoej Rozważmy całkowalą fukcję f : [0, 1] R. Chcemy zaleźć przybliżoą
Bardziej szczegółowo