ANALIZA MATEMATYCZNA 1

Transkrypt

1 ANALIZA MATEMATYCZNA

2 Maria Gewert Zbigiew Skoczylas ANALIZA MATEMATYCZNA Przykłady i zadaia Wydaie dwudzieste piąte uzupełioe GiS Oficya Wydawicza GiS Wrocław 07

3 Maria Gewert Wydział Matematyki Politechika Wrocławska pwr.edu.pl Zbigiew Skoczylas Wydział Matematyki Politechika Wrocławska pwr.edu.pl Projekt okładki: IMPRESJA Studio Grafiki Reklamowej Copyright c by Oficya Wydawicza GiS Utwór w całości ai we fragmetach ie może być powielay ai rozpowszechiay za pomocą urządzeń elektroiczych, mechaiczych, kopiujących, agrywających i iych. Poadto utwór ie może być umieszczay ai rozpowszechiay w postaci cyfrowej zarówo w Iterecie, jak i w sieciach lokalych, bez pisemej zgody posiadacza praw autorskich. Składwykoaowsystemie L A TEX. ISBN Wydaie XXV uzupełioe, Wrocław 07 Oficya Wydawicza GiS, s.c., Druk i oprawa: Oficya Wydawicza ATUT

4 Spis treści Wstęp 7 Fukcje 9 Przykłady... 9 Podstawoweokreśleia... 9 Fukcjemootoicze... 0 Złożeiefukcji... Fukcjeodwrote... Fukcjeelemetareiie... 3 Zadaia... 5 Ciągi liczbowe 7 Przykłady... 7 Podstawoweokreśleia... 7 Graiceciągów... Twierdzeiaograicachciągów... Zadaia Graice i ciągłość fukcji 38 Przykłady Defiicjegraicfukcji Twierdzeiaograicachfukcji... 0 Asymptotyfukcji... 5 Ciągłośćfukcji Twierdzeiaofukcjachciągłych... 6 Zadaia Pochode fukcji 7 Przykłady... 7 Podstawowepojęcia... 7 Pochodejedostroeipochodeiewłaściwe Twierdzeiaopochodejfukcji Różiczkafukcji

5 Pochodewyższychrzędów Pochodefukcjiwektorowych Zadaia Zastosowaia pochodych 00 Przykłady Twierdzeiaowartościśrediej Twierdzeiaograicachieozaczoych RozwiięcieTaylorafukcji... Ekstremafukcji... 7 Fukcjewypukłeipuktyprzegięciawykresufukcji... 5 Badaiefukcji Zadaia... 6 Całki ieozaczoe 8 Przykłady... 8 Całkiieozaczoe... 8 Twierdzeiaocałkachieozaczoych Całkowaiefukcjiwymierych Całkowaiefukcjitrygoometryczych Całkowaiefukcjiziewymierościami Zadaia Całki ozaczoe 83 Przykłady Podstawowetwierdzeierachukucałkowego Metodyobliczaiacałekozaczoych Twierdzeiaocałkachozaczoych Zadaia Zastosowaia całek ozaczoych 97 Przykłady Zastosowaiawgeometrii Zastosowaiawfizyce Zadaia Odpowiedzi i wskazówki Zbiory zadań 7 6

6 Wstęp Komplet podręczików do Aalizy matematyczej składa się z trzech części. Pierwszą z ich jest książka pt. Aaliza matematycza. Defiicje, twierdzeia, wzory, drugą iiejszy zbiór zadań, a ostatią opracowaie pt. Aaliza matematycza. Kolokwia i egzamiy. Podręcziki są przezaczoe główie dla studetów politechik. Mogą z ich korzystać także studeci wydziałów auk ścisłych i przyrodiczych uiwersytetów oraz uczeli ekoomiczych, pedagogiczych i roliczych. Zbiór zawiera przykładowe zadaia z rozwiązaiami przedstawioymi krok po kroku oraz podobe zadaia przezaczoe do samodzielej pracy. Przykłady i zadaia obejmują rachuek różiczkowy i całkowy fukcji jedej zmieej wraz z zastosowaiami. Materiał teoretyczy, którego zajomość jest potrzeba do rozwiązywaia zadań, moża zaleźć w pierwszej części zestawu. Zadaia ozaczoe gwiazdką są przezaczoe dla ambitych studetów. Więcej podobych zadań Czytelik zajdzie w książce Algebra i aaliza. Egzamiy a oceę celującą. Na końcu zbioru umieszczoe są odpowiedzi lub wskazówki do wszystkich zadań. Przykłady i zadaia z tego zbioru są podobych typów oraz mają zbliżoy stopień trudości do zadań, które studeci zwykle rozwiązują a kolokwiach i egzamiach. Zadaia ze sprawdziaów przeprowadzoych w poprzedich latach w Politechice Wrocławskiej zawiera trzecia część zestawu. Do obecego wydaia zbioru dołączoo kilkaaście owych przykładów oraz zadań. Poadto poprawioo zauważoe błędy i usterki. Dziękujemy Koleżakom i Kolegom z Wydziału Matematyki Politechiki Wrocławskiej oraz aszym Studetom za uwagi o poprzedich wydaiach podręczika. Maria Gewert Zbigiew Skoczylas 7

7 Ciągiliczbowe Przykłady Podstawowe określeia Przykład..Zbadać,czypodaeciągisąograiczoezdołu,zgóry,sąograiczoe: a)a ; b)b 000 ; c)c ) ; d)d +; e)e Rozwiązaie.Ciąga )jestograiczoyzdołu,jeżeliistiejeliczbarzeczywistamtaka, żeierówośćm a jestprawdziwadlakażdejliczbyaturalej.podobie,ciąga ) jestograiczoyzgóry,jeżeliistiejeliczbarzeczywistamtaka,żeierówośća Mjest prawdziwadlakażdejliczbyaturalej.ciąga )jestograiczoy,jeżelijestograiczoy zdołuizgóry.zaprzeczającpowyższymokreśleiomotrzymamy,żeciąga )iejestograiczoyzdołu,jeżelidlakażdejliczbyrzeczywistejmmożawskazaćliczbęaturalą 0 taką,żea 0 <m.aalogiczie,ciąga )iejestograiczoyzgóry,jeżelidlakażdejliczby rzeczywistejmmożawskazaćliczbęaturalą 0taką,żeM<a 0. a)ciąga )jestograiczoyzdołuprzezliczbęm0,gdyżdlakażdego Nspełioa jest ierówość a >0m. CiągtejestograiczoyzgóryprzezliczbęM,gdyżdlakażdego Nspełioajest ierówość a <M. Ciąga )jestzatemograiczoy. b)ciągb )jestograiczoyzgóryprzezliczbęm 999,gdyżdlakażdego N spełioa jest ierówość b M. Ciąg te ie jest jedak ograiczoy z dołu, gdyż dla każdej liczby rzeczywistej m istieje liczbaaturala 0taka,że b <m. 7

8 8 Ciągi liczbowe Rzeczywiście,wystarczyprzyjąć 000 m ),abyspełioabyłapowyższaierówość. c)ciągc )iejestograiczoyzdołuaizgóry.wykażemyjegoieograiczoość z góry. Dowód ieograiczoości z dołu jest podoby. Niech M będzie dowolą liczbą dodatią.mamypokazać,żeistiejeliczbaaturala 0,dlaktórejzachodziierówość Liczbątakąjestp. 0 M +). c 0 0) 0 >M. d)ciągd )jestograiczoyzdołuprzezliczbęm,gdyżdlakażdejliczbyaturalej spełioa jest ierówość d +> m. Ciągteiejestograiczoyzgóry,gdyżciągd,omiejszychwyrazach,iejest ograiczoy z góry. e)oczywistejest,żeciąge )jestograiczoyzdołuprzezliczbęm0.pokażemy, że ciąg te jest także ograiczoy z góry. Niech będzie dowolą liczbą aturalą. Wtedy zachodzą ierówości e <M. Zatemciąge )jestograiczoyzgóryprzezliczbęm. Przykład..Zbadać,czypodaeciągisąmootoiczeodpewegomiejsca: a)a + ; b)b + ; c)c! + ; d)d cos π ; e*)e 5 +6 ; f)f!)! ; 3)! g*)g + ) + ; h)h Rozwiązaie.Ciąga )jestrosącyodideksu 0,jeżeliierówośća +>a jestprawdziwadlakażdejliczbyaturalej 0.Jeżeiędzyelemetamiciągua )zachodzi ierówośćsłabaa + a dla 0,tociągjestiemalejącyodideksu 0.Zmieiając powyżej kieruek ierówości między wyrazami ciągu otrzymamy określeia ciągu malejącegoiierosącego.mootoiczośćciągua )ustalamybadajączakróżicya + a, awprzypadkuciągówowyrazachdodatichmożemyporówaćiloraza +/a z. a)zbadamyzakróżicya + a.mamy a + a )+) >0dlakażdego N. Poieważróżicajestdodatia,więcciąga )jestrosący. b)mamy b + b +) + +)! +! +) + +) +)

9 Przykłady 9 Zbadamy teraz dla jakich liczb aturalych iloraz te jest miejszy od. Mamy < ++< < 3 + <. Ostatiaierówośćjestspełioadlaliczbaturalych.Poieważbadayciągma wyrazydodatieorazdla jegowyrazyspełiająierówośćb +/b <,więcjest malejącyodumeru 0. c)mamy c oraz + + ) ++ ) ++ c Pokażemybezpośredio,żec +>c dla N.Rzeczywiście,wychodzącodoczywistej relacji + >, otrzymamy kolejo rówoważe ierówości: + < ; + + <+ ; < ; + + +< + +. Stąd mamy c czylijakżądao.toozacza,żeciągc )jestrosący. > + + c, d)zbadamymootoiczośćciągud )ustalajączakróżicyd + d.wykorzystamy wzór Mamy cosα cosβsi β α π d + d cos +) cosπ π π π +) +) + π si si Dla Nliczby si α+β. si π +),+)π +) ależądoprzedziału0,π),więc si π >0oraz si+)π +) +) >0. Zatemd + d >0,czyliciągd )jestrosący. π +) si+)π +).

10 0 Ciągi liczbowe e*)mamy e ) +. Zauważmy,żedla Nzachodziierówość ) 5 ) 5 + +> Abyuzasadićmootoiczośćciągue )skorzystamyzoczywistejierówości a> + a dla ustaloego a > oraz mootoiczości fukcji k xdlaustaloegok N.Dladowolej liczby aturalej mamy zatem 5 ) + 5 ) + 5 ) e <6 + <6 + e Toozacza,żeciąge )jestmalejący. f)poieważf >0dla N,więc,abyzbadaćmootoiczośćciąguf ),wystarczy porówaćilorazf +/f z.mamy f + +)![+)]! 3)! f [3+)]!!)! [!+)][+)+))!] 3+3)3+)3+)3)! Zatemciągf )jestmalejący. 3)!!)! +)+) 33+)3+) <. g*)zauważmy,żeg >0dla N.Jeżelipokażemy,żedla ilorazg /g jest miejszyod,tobadayciągbędziemalejącyodumeru 0..Mamy g g ) ) + + ) + + ) + + ) Nierówość )wyikazierówościberoulliego : + +x) +x, gdziex oraz N, Dowód ierówości Beroulliego moża zaleźć w iym podręcziku autorów pt. Wstęp do aalizy i algebry. Teoria, przykłady, zadaia. <.

11 Przykłady wktórejprzyjętox.zatembadayciągjestmalejący. h)zbadamyzakróżicyh + h.mamy h + h ) ) ) ) )+)3+)3+) >0. Poieważdlakażdejliczbyaturalejróżicah + h jestdodatia,więcciągh )jest rosący. Graice ciągów Przykład.3.Korzystajączdefiicjigraicywłaściwejciąguuzasadićrówości: a) 0; b) ; c) Rozwiązaie.Ciąga )magraicęwłaściwąa R,gdydladowolejliczbydodatiej εmożadobraćtakąliczbęaturalą 0,żeierówość a a <εjestprawdziwadla wszystkich> 0. a) Mamy pokazać, że dla dowolej liczby dodatiej ε moża dobrać taką liczbę aturalą 0,żeierówość / + ) 0 <εjestprawdziwadlawszystkich>0.niechε będziedowoląliczbądodatią.musimyzatemwskazaćliczbę 0 Ntaką,żedlakażdego > 0spełioabędzieierówość/ + ) <ε.dla Nierówośćtajestkolejo rówoważa ierówościom +> ε > ε. Ostatiaierówośćjestoczywista,gdy/ε <,tz.dlaε>/5.zkoleidla0<ε /5ierówośćtajestrówoważawarukowi> /ε.zatemza 0możaprzyjąć dowoląliczbęaturaląwiększąlubrówą /ε. b) Mamy pokazać, że dla dowolej liczby dodatiej ε moża dobrać taką liczbę aturalą 0,iżierówość /+) <εjestprawdziwadlawszystkich> 0.Niechεbędzie dowoląliczbądodatią.musimyzatemzaleźćliczbę 0 Ntaką,żedlakażdego> 0 spełioabędzieierówość /+) <ε.mamy + + <ε > ε. Zatemza 0możaprzyjąćdowoląliczbęaturaląwiększąlubrówą/ε. c) Mamy pokazać, że dla dowolej liczby dodatiej ε moża dobrać taką liczbę aturalą 0,iżierówość 5 <εjestprawdziwadlawszystkich>0.niechεbędziedowolą

12 Ciągi liczbowe liczbądodatią.musimyzatemzaleźćliczbę 0 Ntaką,żedlakażdego> 0spełioa będzieierówość 5 <ε.mamy 5 5 <ε 5 / <+ε <log 5 +ε) > log 5 +ε). Zatemza 0możaprzyjąćdowoląliczbęaturaląwiększąlubrówą/log 5 +ε). Przykład..Korzystajączdefiicjigraicyiewłaściwejciąguuzasadićrówości: a) 3 + ; b) ) ; c). log Rozwiązaie. W dowodach rówościa) ib) wykorzystamy defiicję ciągu rozbieżego do :ciąga )jestrozbieżydo,gdydladowolejliczbydodatiejemożadobraćtaką liczbęaturalą 0,żeierówośća >Ejestprawdziwadlawszystkich> 0.Zkolei wdowodzierówościc)zastosujemydefiicjęciągurozbieżegodo :ciąga )jest rozbieży do, gdy dla dowolej liczby ujemej E moża dobrać taką liczbę aturalą 0,żeierówośća <Ejestprawdziwadlawszystkich> 0. a) Mamy pokazać, że dla dowolej liczby dodatiej E moża dobrać taką liczbę aturalą 0,iżierówość 3 +>Ejestprawdziwadlawszystkich> 0.NiechEbędziedowolą liczbądodatią.musimyzatemzaleźćliczbę 0 Ntaką,żedlakażdego> 0spełioa będzieierówość 3 +>E.Mamy 3 +>E >E 3. Zatemza 0możaprzyjąćdowoląliczbęaturaląwiększąlubrówąE 3. b) Mamy pokazać, że dla dowolej liczby dodatiej E moża dobrać taką liczbę aturalą 0,iżierówość >Ejestprawdziwadlawszystkich> 0.NiechEbędziedowolą liczbądodatią.musimyzatemzaleźćliczbę 0 Ntaką,żedlakażdego> 0spełioa będzieierówość >E.Dla Nmamy >E >E+ > E+. Zatemza 0możaprzyjąćdowoląliczbęaturaląwiększąlubrówą E+. c) Mamy pokazać, że dla dowolej liczby ujemej E moża dobrać taką liczbę aturalą 0,iżierówośćlog <Ejestprawdziwadlawszystkich> 0.NiechEbędziedowolą liczbąujemą.musimyzatemwskazaćliczbęaturalą 0taką,żedla> 0zachodzi ierówośćlog <E.Mamy E ) E log<e log<log > ) E. Zatemza 0możaprzyjąćdowoląliczbęaturaląwiększąlubrówą E. Twierdzeia o graicach ciągów Przykład.5.Korzystającztwierdzeńoarytmetycegraicciągówobliczyć: ) a) ; b) ; c) ) ;

13 Przykłady 3 d) g) 3 3; e) ++ ) ) )! ; h) +)!+ ; f) + +) ; ; i) Rozwiązaie. W rozwiązaiach wykorzystamy twierdzeia o arytmetyce graic: jeżeli ciągi a )ib )majągraicewłaściwe,to [] a +b ) a + b, [] 3 a b )a ) b ), [] 5 a ) p a ) p p Z), [] a b ) a b, [] a b [] 6 k a k a b, oile a k N). b 0, Poadto wykorzystamy fakt: [ 7 ] ciąggeometryczyq )jestzbieżydo0,gdy q <. Wzory [ ] i[3]sąprawdziwedladowolejliczbyodpowiedioskładikówiczyików.z kolei we wzorach[5] i[6] zakładamy, że wyrażeia po obu stroach zaku rówości mają ses. W rozwiązaiach podajemy umer rówości, z której skorzystao. a)mamy b)mamy 3 [ ] + : : [] ) + 5 ) [, ] [ ] : : [ ] 5 3 ) + 6 [ ] ),

14 Ciągi liczbowe c) W rozwiązaiu wykorzystamy wzór a sumę początkowych k składików ciągu arytmetyczego:s k a +a k ) k/,gdziea ozaczapierwszy,aa k ostatiskładiksumy.w sumiewliczikujest+składikówpierwszymskładikiemjest,aostatim+). Zatem ) ++) +)+). Zkoleisumawmiaowikumaskładikówpierwszymskładikiem,aostatim3+). Zatem ) +3+) 3+5). Teraz możemy obliczyć graicę. Mamy ) ) +) [ ] : 3+5) : + ) [] 3+ 5 [ + ) ] [ ) ] 3+ 5 ) [ ] +,3,5 +0) d)mamy 3 [ ] ) : 3 ) : 3 3 [ ) ) [] 3 ) ) ] ) 3 ] ) [ ) 3 [] 3 e)wrozwiązaiuwykorzystamydodatkowowzór [ ] a b a b [ ] ++ ) ++ ) +++ : ] +++[ : ) [] 0 0 ) a+b a+b 0).Mamy + ) [] + ) [ ] ),6 + ++

15 Przykłady f)przedewszystkimzauważmy,żedlax,y>0mamy x y ) x+ y ) x y x+ y x ) x+ ) x y y y x+ y x+ y ) x y ) x+ y x+ y ) ). x+ y Korzystając z tego wzoru otrzymamy + + +) + + ) + ) +) + ) + +) + +) 3 + [ ] ++ + ) ++ + ) : 3 : )+ + + ). Stąd [] ) + + ) ) [+ 3 [] )] 3 + ) ) + 3 [ ] ) ),, ) ).

16 6 Ciągi liczbowe g)mamy 3 + [ : : ] [] ) [ ] h)wrozwiązaiuzastosujemytożsamość!k! k+)... ) 0 k<). Mamy zatem + ) )! + ) )! [ ] : )! +)!+ )!)+)+ : )! [ ] + + : : +)+ +. )! + )! Stąd + ) )! +)! )! + ) [ ] ) [] + + )! )! i) W rozwiązaiu wykorzystamy wzór a sumę początkowych k składików ciągu geometryczegos k a q k q,gdzieaozaczapierwszywyraz,aqilorazciągugeometryczego. Sumarozważaawliczikuma+składikówpierwszywyrazciągua,ailoraz q).zatem Zkoleisumarozważaawmiaowikumaskładikówpierwszywyrazciągua, ailorazq).zatem ). Teraz możemy obliczyć graicę. Mamy [ : 3 : ] 3 ) [ ] 3,

17 Przykłady 7 3 ) ) [] 3 ) ) [ 7 ] Przykład.6. Korzystającztwierdzeiaotrzechciągachzaleźćgraice: si + a) ; b) 5+cos) ; c) ; 3 d) ; e) +3; g) f) 5 3 ; ) log ; h*) +) log +). Rozwiązaie.Przypomiamytwierdzeieotrzechciągach:jeżeliciągia ),b ),c )spełiają,zaczyającodpewejliczbyaturalej 0,ierówościa b c iskrajeciągi a ),c )sązbieżedotejsamejgraicy,tociągśrodkowyb )jestrówieżzbieżydo [ ] a,gdya>0; tej graicy. Poadto w rozwiązaich wykorzystamy graice: [ ]. a)dlakażdegox Rprawdziwesąierówościx < x x.zatemdla Nmamy <. Ciągiograiczającebadayciągzlewejizprawejstroymajątesamegraice.Mamy bowiem ) + + oraz + +. Zatem z twierdzeia o trzech ciągach wyika, że + b)zauważmyajpierw,że cos dlakażdego N.Stądmamyoczywiste ierówości ) ) 6 5+cos) 3. dlakażdego N.Poieważwzór [] 7,s.3) ) ) 3 0 oraz 00, więc z twierdzeia o trzech ciągach mamy cos) 0.

18 8 Ciągi liczbowe c)zauważmyajpierw,że0 si dlakażdego N.Stąd si dlakażdego N. Poieważ 3 + oraz 3 3 3, więc z twierdzeia o trzech ciągach wyika, że si d)zauważmyajpierw,żedlakażdego Nmamy Poieważ 55oraz 5 3 [] 5 5,więcztwierdzeiaotrzechciągach wyika, że e)dlakażdego 3spełioesąierówości Ciągiograiczającebadayciągsązbieżedoporówaj [ ], [ ] ).Zatemztwierdzeia otrzechciągachwyika,żeciągtejestzbieżydo. f)mamy ) 3 ) Zatemdla zachodząierówości ) 3 ) ) 3 ) Ciągiograiczającebadayciągzlewejizprawejstroymajątesamegraice.Mamy bowiem [ ] oraz Zatem z twierdzeia o trzech ciągach wyika, że g) Zauważmy ajpierw, że -ty wyraz ciągu jest sumą składików, wśród których ajmiejszy jest rówy / +,aajwiększy / +.Dlakażdego Nprawdziwesązatemierówości

19 Przykłady 9 Poieważ + + oraz + +, więc z twierdzeia o trzech ciągach wyika, że h*)dla Nprawdziwajestierówość oraz log +) log +) log log + ) log log log log log + +)log + Mamy zatem ). log +) log +) log + ) log + log log +)log + log. Poieważ zachodzą oczywiste rówości + log +) log +) +. + więc z twierdzeia o trzech ciągach wyika, że + oraz, log +) log +). Przykład.7.Korzystającztwierdzeiaociągumootoiczymiograiczoym uzasadić zbieżość ciągów: a)x! ; b)y! +! +...+! + +)! ; c)z, z + z ; d)u +z Obliczyćgraiceciągówx ),z ). Rozwiązaie. Rozpocziemy od sformułowaia twierdzeia o ciągu mootoiczym i ograiczoym. Ciąg iemalejacy ierosący) od pewego umeru oraz ograiczoy z góry z dołu) jest zbieży do graicy właściwej. a)zbadamyajpierwmootoiczośćciągux ).Poieważciągtemawyrazydodatie,więcwystarczyporówaćilorazx +/x z.mamy + x + +)! x +.! Zauważmy,żex +/x dla.toozacza,żeciągx )jestierosący.ciągte

20 30 Ciągi liczbowe jestograiczoyzdołu,bodlakażdego Nmamyx >0.Ztwierdzeiaociągumootoiczym i ograiczoym wyika, że jest o zbieży. Niech g ozacza graicę tego ciągu. Przechodzącwrówościx + + xzdoieskończoościotrzymamyrówaie g0 g,stądg0. b)mootoiczośćciąguy )okreśybadajączakróżicyy + y.mamy ) ) y + y! +! +...+! + +)! + +)!! +! +...+! + +)! +)! +)! +)! <0dlakażdego N. Zatemciągy )jestmalejący.ograiczoośćtegociąguzdołuwyikazierówościy >0 dlakażdego N.Ztwierdzeiaociągumootoiczymiograiczoymwyika,żeciągy ) jest zbieży. Wyzaczeie graicy tego ciągu wymaga jedak wiadomości z teorii szeregów ciągtejestzbieżydoe ). c)zauważmyajpierw,żeciągz )mawyrazydodatie,azatemjestograiczoyz dołu.poadtodlakażdego Nmamy z +z +z <z. To ozacza, że ciąg te jest malejący. Z twierdzeia o ciągu mootoiczym i ograiczoym wyika,żeciągz )jestzbieży.niechgozaczajegograicę.przechodzącwrówości z +z zdoieskończoościotrzymamywaruekg g +z +g,stądg0. d)zbadamyajpierwmootoiczośćciąguu ).Mamy ) u + u ) >0. Zatemciągu )jestrosący.uzasadimyteraz,żeciągtejestograiczoyzgóry.mamy u ) < [] [ ] <. 3) Pokazaliśmy, że baday ciąg spełia założeia twierdzeia o ciągu mootoiczym i ograiczoym, a zatem jest zbieży. Uwaga. W miejscu ozaczoym[ ] korzystaliśmy ze wzoru a sumę początkowych wyrazów ciągugeometryczegos a q q.

21 Przykłady 3 Przykład.8.Obliczyćgraice: a) + ) 6 ) + +5 ; b) ; +3 + ) ) + +3 c) ; d) +. Rozwiązaie. W rozwiązaiach wykorzystamy twierdzeia o arytmetyce graic ciągów oraz fakt: jeżeli a,to + ) ae. a a)przyjmujemya +3.Wtedy a oraz63a 9.Zatem + ) 6 + ) 3a 9 +3 a { [ + ) ] a 3 + ) } 9 a a [ b) Poieważ + a ) a ] 3 ) ) a ) 9 e 3 9 e więcprzyjmujemya +)/.Wtedy a oraz+8a.zatem ) ) 8a + a { [ + ) ] a 8 + ) } a a [ c) Poieważ + a ) a ] 8 ) ) a ) e 8 9 e 8 ), +) więcprzyjmujemya +).Wtedy a oraz a / /.Zatem ) + d) Poieważ [ + ) a/ / a { [ + ) ] a / a + ) ] a / a + ) ) +3, ) } / a + ) / e / / e / a e.,

22 3 Ciągi liczbowe więcprzyjmujemya.wtedy ) ) a+3 a { [ + ) ] a a [ a oraz +3a +3.Zatem + a ) a ] + ) 3 } a + ) 3 e 3 e. a Przykład.9. Korzystającztwierdzeiaodwóchciągachzaleźćgraice: a) 8; b) ) ) ; c) ; d) si ). Rozwiązaie.Twierdzeieodwóchciągach:jeżeliciągia ),b )spełiają,począwszyod pewejliczbyaturalej 0,ierówośća b orazciąga )jestrozbieżydo,tociąg b )rówieżjestrozbieżydo.aalogiczie,jeżeliciągia ),b )spełiają,począwszy odpewejliczbyaturalej 0,ierówośća b orazciągb )jestrozbieżydo,to ciąga )rówieżjestrozbieżydo. a)zauważmy,żedla spełioajestierówość b 3 8 3) a. 3 Poieważciąg ) )jestrozbieżydo,więcztwierdzeiaodwóchciągachwyika,żeciąg /8 jest rówież rozbieży do. b)pokażemy,żeciąg ) ) jestrozbieżydo.mamy a ) 3) b dla. Poieważciągowyrazachb jestrozbieżydo,więcztwierdzeiaodwóchciągach wyika,żeciąga )jestrówieżrozbieżydo. c)zauważmy,żedla spełioajestierówość a si + b. Poadto b.zatemztwierdzeieodwóchciągachwyika,żeciąga )jest rozbieży do. d)pokażemy,żeciągb jestrozbieżydo.mamy b }{{} składików 3 3 a. Poieważciąga )jestrozbieżydo,więcztwierdzeiaodwóchciągchwyika,żeciąg b )takżejestrozbieżydo.

23 Przykłady 33 Przykład.0. Korzystającztwierdzeiaograicachiewłaściwychciągówobliczyć graice: )3 a) ; b) 3 + ; d) + +) ; ) 3 e) +3 ; f) 3 +3 ) ; g) ). Rozwiązaie. Podae iżej rówości są umową formą zapisu odpowiedich twierdzeń o graicach iewłaściwych ciągów. [ ] a+ dla <a, [ ] a dla0<a, [ 3 ] a 0dla <a<, [ ] a 0 + dla0<a. Poadto wykorzystamy fakt: [ 5 ] ciąggeometryczyq )jestzbieżydo0,gdy q <,irozbieżydo,gdyq>. W rozwiązaiach podajemy umer rówości, z której skorzystao. a) 3 [ ] : 3 : b) + + d) ) [] +0 0 ] [ 5 9 5) ] [+ ) ) 9 ) 5 5 +)3 [ ] :3 +) :3 ) e) +3 ) [] ) ) ) ) +3+ [ ] [ ]. [ ] [ ]. ) [ 5 ] [ ] [] 3[ ]

24 3 Ciągi liczbowe 3 3 [ ] 3 +3 f) +3 ) ) ) + 3 ) ) ) ) [ : ] 3 +3) + 3 : [] 3[ ] Wmiejscuozaczoym[ ]korzystaliśmyzewzorua 3 b 3 a b) a +ab+b ). [ ) g) ) {7 6 5 ]} [5 ] 7 7) 0 0) [ ]. Zadaia Odp. str... Zbadać, czy podae ciągi są ograiczoe z dołu, z góry, są ograiczoe: a)x ; b)y )!; c)z +; d)t ) + ) ; e)b 3 ; f)a +8 +3; g)d +cos 3 si ; h)e si π ; i*)f! ; j)c Zbadać, czy podae ciągi są mootoicze od pewego miejsca: a)u 3+ + ; b)x 6+0 ; c)y +3 ; d)z tg 00π + ; e)s 50 )! ; f)t! 0 ; g)a 9 50; h)b 3 + ) ; i)c ; j)d ) ) ; k)e ; l)f

25 Zadaia Korzystając z defiicji graicy właściwej ciągu uzasadić rówości: a) 0; b) ; c) + d) 0; e*) +5 + ; ; f*) 0. +!.. Korzystając z defiicji graicy iewłaściwej ciągu uzasadić rówości: a) log +3) ; b) ) ; ) c) ; d) 0 3 )..5. Korzystając z twierdzeń o arytmetyce graic ciągów obliczyć graice: + +5 a) 3 ; b) ; c) +6 ) ; + )!+ 0 + ) d) ; e) +)+)! 3 +) 0; f) ; ) ; g) i) k) m) 3 3 ; h) ) 3 ; j) ; arctg3+) + ; l) arctg+) ; ; ) +6 + o*) si π ) + + ; p*) Korzystając z twierdzeia o trzech ciągach zaleźć graice: a) π +; b) ; si c) 3 + ; + ) 3 + d) ; e) +si! ; f) 3cos ; g) ; h) + +3; i) 3+si; 3 + j) π ) ; 3 cos k) ) ; ) ; l) si+ ;.

26 36 Ciągi liczbowe m) ; ) o) ; p) r) t*) ) ; ; s*) ). + ) ; log + ) log +) ;.7. Korzystając z twierdzeia o ciągu mootoiczym i ograiczoym uzasadić zbieżość ciągów: a)x ) ; b)y ; c)z ; d)t,t + 6+t ; e)a ; f)b!) )! ; g)c +! + +! ! ; h)d +)3 ;! i)e ) )... ) ; j*)f,f + + f ). Obliczyćgraiceciągówy ),t ),b ),d )if )..8. Obliczyć graice: a) d) g) ) 5 ; b) + ) 6 ; e) ) 5 ; h) ) + + ) 3 ; c) ) ; f) ) ) ; i) ) ; 3+ + ) 3 ; ) Korzystając z twierdzeia o dwóch ciągach zaleźć graice: ) a) +5; b) 3 cos ); c) ; ) ) d) si ) ; e) ; f) ) ; g) [3+ ) ] + ; h) [l+) l] ;

27 Zadaia i) 5 +3; j) l*)!; m*) ) + + ; k) + ) cos/) ; + ) Korzystając z twierdzeia o graicach iewłaściwych ciągów obliczyć graice: a) 3 3 ) +)! + ; b) ; c)!+ ; arctg d) arcctg ; e) ) ; f) + 3 arctg ); g) ; h*) + ).