ANALIZA MATEMATYCZNA 1

Transkrypt

1 ANALIZA MATEMATYCZNA 1

2 Maria Gewert Zbigiew Skoczylas ANALIZA MATEMATYCZNA 1 Defiicje, twierdzeia, wzory Wydaie dwudzieste czwarte zmieioe Oficya Wydawicza GiS Wrocław 2015

3 Maria Gewert Wydział Matematyki Politechika Wrocławska pwr.edu.pl Zbigiew Skoczylas Wydział Matematyki Politechika Wrocławska pwr.edu.pl Projekt okładki IMPRESJA Studio Grafiki Reklamowej Copyright c , 2015 by Oficya Wydawicza GiS Utwór w całości ai we fragmetach ie może być powielay ai rozpowszechiay za pomocą urządzeń elektroiczych, mechaiczych, kopiujących, agrywających i iych. Poadto utwór ie może być umieszczay ai rozpowszechiay w postaci cyfrowej zarówo w Iterecie, jak i w sieciach lokalych, bez pisemej zgody posiadacza praw autorskich. Składwykoaowsystemie L A TEX. ISBN Wydaie XXIV zmieioe, Wrocław 2015 Oficya Wydawicza GiS, s.c., Druk i oprawa: Oficya Wydawicza ATUT 4

4 Spis treści Wstęp 7 0 Zbiory i fukcje liczbowe Liczbyrzeczywiste Fukcje podstawoweokreśleia Złożeiafukcjiifukcjeodwrote Fukcjeelemetareiiektóreieelemetare Ciągi liczbowe Podstawoweokreśleia Graiceciągów Twierdzeiaograicachciągów Graice i ciągłość fukcji Defiicjegraicfukcji Twierdzeiaograicachfukcji Asymptotyfukcji Ciągłośćfukcji Działaiaafukcjachciągłych Twierdzeiaofukcjachciągłych Pochode fukcji Podstawowepojęcia Pochodejedostroeipochodeiewłaściwe Twierdzeiaopochodejfukcji Różiczkafukcji Pochodewyższychrzędów Pochodefukcjiwektorowych Zastosowaia pochodych Twierdzeiaowartościśrediej Twierdzeiaograicachieozaczoych RozwiięcieTaylorafukcji Ekstremafukcji

5 4.5 Fukcjewypukłeipuktyprzegięcia Przybliżoerozwiązywaierówań Badaiefukcji Całki ieozaczoe Fukcjepierwoteicałkiiezaczoe Twierdzeiaocałkachieozaczoych Całkowaiefukcjiwymierych Całkowaiefukcjitrygoometryczych Całkowaiefukcjiziewymierościami Całki ozaczoe Podstawowepojęcia Metodyobliczaiacałekozaczoych Własościcałekozaczoych Fukcjagórejgraicycałkowaia* Przybliżoemetodyobliczaiacałek* Zastosowaie całek ozaczoych Zastosowaiawgeometrii Zastosowaiawfizyce Dowody wybraych twierdzeń i faktów 128 Odpowiedzi i wskazówki 147 Literatura 168 6

6 1 Wstęp Niiejsza książka jest pierwszą częścią zestawu podręczików do Aalizy matematyczej 1. Pozostałymi częściami są zbiór pt. Aaliza matematycza 1. Przykłady i zadaia oraz opracowaie Aaliza matematycza 1. Kolokwia i egzamiy. Podręcziki te są przezaczoe główie dla studetów politechik. Mogą z ich korzystać także studeci wydziałów auk ścisłych i przyrodiczych uiwersytetów oraz uczeli ekoomiczych, pedagogiczych i roliczych. Opracowaie zawiera defiicje, twierdzeia i wzory z rachuku różiczkowego oraz całkowego fukcji jedej zmieej wraz z zastosowaiami. Wszystkie zagadieia teoretycze zakończoo ćwiczeiami, przy czym początkowe z ich są z reguły ajprostsze. Podręczik jest bogato ilustrowayzawiera poad 300 rysuków), ułatwia to przyswajaie wiedzy. Na końcu książki umieszczoo dowody większości twierdzeńw tekście twierdzeia te ozaczoe są symbolem ). Fragmety materiału ozaczoe gwiazdką iezaczie wykraczają poza aktualy program przedmiotu. Tak samo ozaczoo trudiejsze ćwiczeia. Dodatkowy materiał, trudiejsze ćwiczeia oraz dowody twierdzeń dołączoo z myślą o studetach, którzy chcą rozszerzyć swoją wiedzę z aalizy matematyczej. Rówolegle do materiału omawiaego a wykładzie studeci powii przerabiać samodzielie i a ćwiczeiach odpowiedio dobrae zadaia. Przykładową listę zadań wraz z metodami ich rozwiązywaia moża zaleźć w drugiej części podręczika. Ćwiczeia z tego podręczika oraz zadaia z listy zadań są podobych typów i mają te sam stopień trudości jak zadaia, które zwykle pojawiają a kolokwiach i egzamiach. Zestawy zadań, które w poprzedich latach studeci Politechiki Wrocławskiej rozwiązywali a sprawdziaach, są umieszczoe w trzeciej części podręczika. W obecym wydaiu podręczika zmieioo układ materiału oraz dodao owy paragraf Przybliżoerozwiązywaierówań.Jedocześieprzeredagowaosformułowaia wszystkich defiicji i twierdzeń. Poadto zwiększoo liczbę łatwych ćwiczeń, dołączoo owe rysuki oraz dowody kolejych twierdzeń. Poprawioo także błędy i usterki zgłoszoe przez studetów i wykładowców. Dzięki temu książka stała się bardziej przyjazda dla czytelika. 7

7 8 Wstęp Serdeczie dziękujemy Pai dr Teresie Jurlewicz za przygotowaie odpowiedzi do ćwiczeń z wcześiejszych wydań. Szczególe podziekowaia składamy Paom dr. Maciejowi Bureckiemu, prof. dr. hab. Jauszowi Mierczyńskiemu oraz prof. dr. hab. Krzysztofowi Stempakowi za licze spostrzeżeia, które pozwalały ulepszać koleje wydaia. Dziękujemy także Koleżakom i Kolegom z Wydziału Matematyki Politechiki Wrocławskiej oraz aszym Studetom za uwagi o poprzedich wydaiach. Dziękujemy rówież Koleżakom i Kolegom z iych uczeli za kometarze dotyczące zakresu i sposobu ujęcia materiału. Uprzejmie prosimy wykładowców i studetów o przesyłaie uwag o podręcziku oraz iformacji o dostrzeżoych błędach i usterkach. Maria Gewert Zbigiew Skoczylas

8 1 Ciągiliczbowe Podstawoweokreśleia Defiicja ciąg liczbowy) Ciągiem liczbowym azywamy fukcję określoą a zbiorze liczb aturalych i przyjmującą wartości ze zbioru liczb rzeczywistych. Wartość tej fukcji dla liczby aturalej azywamy-tymwyrazemciąguiozaczamyp.przeza.ciągotakichwyrazachozaczamyprzeza ).Zbiórwyrazówciągua ),tj.{a : N},ozaczamy krótkoprzez{a }.Ciągibędziemyprzedstawialiapłaszczyźie,jakozbiorypuktówowspółrzędych,a ),gdzie N,albojakoideksowaepuktyaosiliczb rzeczywistych. a) a b) 1,a 1 ) 2,a 2 ) 3,a 3 ) 4,a 4 ) 5,a 5 ) a 1 a 2 a 3... a Rys Ilustracja ciągua) a płaszczyźie,b) a prostej Obrazowo: ciąg moża traktować jako zbiór poumerowaych liczb rzeczywistych, które są ustawioe według rosących umerów a 1,a 2,a 3,...,a,... Przykład Ciągi możemy określać: wzorem: a)a =2, b)b = 1 si, c)c = +1, d)d = , e)e = , f)f = { 3 dlaieparzystych, 3 dlaparzystych; 27

9 28 Ciągi liczbowe rekurecyjietz. kolejy wyraz ciągu wyraża się przez iektóre poprzedie): a)a 1 =7,a +1 =a +3 ciągarytmetyczy, b)b 1 =1,b +1 =2b ciąggeometryczy, c)c 1 =1,c 2 =1,c +2 =c +c +1 ciągfiboacciego, d)d 1 =2,d +1 =2 d1 ; opisowo: a)a -tacyfrapoprzecikuwrozwiięciudziesiętymliczbyπ, b)p -taliczbapierwsza, c)c przedostatiacyfrarozwiięciadziesiętegoliczby+3) 2. Defiicja ciągi ograiczoe) Mówimy,żeciąga )jestograiczoyzdołu,jeżeliistiejeliczbarzeczywistam taka,iżierówośćm a jestprawdziwadlakażdego N.Obrazowo:ciągjest ograiczoy z dołu, gdy wszystkie jego wyrazy leżą ad pewą prostą poziomą. a) a b) a m M Rys Wykres ciągu ograiczoegoa) z dołu,b) z góry Podobiemówimy,żeciąga )jestograiczoyzgóry,jeżeliistiejeliczbarzeczywistamtaka,iżierówośća Mjestprawdziwadlakażdego N.Obrazowo: ciąg jest ograiczoy z góry, gdy wszystkie jego wyrazy leżą pod pewą prostą poziomą. Zkoleimówimy,żeciąga )jestograiczoy,jeżelijestograiczoyzdołuiz góry. Obrazowo: ciąg jest ograiczoy, gdy wszystkie jego wyrazy leżą między dwiema prostymi poziomymi. Ciąg, który ie jest ograiczoy, azywamy ieograiczoym. a) M m a b) a Rys Wykres ciągua) ograiczoego,b) ieograiczoego LeoardoPisaoFiboacci ),matematykwłoski.

10 Podstawowe określeia 29 Ćwiczeie Zbadać, czy podae ciągi są ograiczoe z dołu, z góry, ograiczoe: a)a = 2; b)a = +1 ; c)a = 2 +3 ; d)a =5si!+1); e)a =3 ; f)a = ; g*)a = 1+ 1 ) ; h)a =10 2 ; i*)a = Defiicja ciągi mootoicze) Mówimy,żeciąga )jestrosący,jeżeliierówośća <a +1 jestprawdziwa dlakażdego N.Obrazowo:ciągjestrosący,gdyjegowyrazypowiększająsięze wzrostemideksu,tz. a 1 <a 2 <a 3 <... a) a b) a Rys Wykres ciągua) rosącego,b) malejącego Podobiemówimy,żeciąga )jestmalejący,jeżeliierówośća >a +1 jestprawdziwa dla każdego N. Obrazowo: ciąg jest malejący, gdy jego wyrazy zmiejszają sięzewzrostemideksusię,tz.a 1 >a 2 >a 3 >... Uwaga. Jeżeli w powyższych defiicjach ostre ierówości zastąpimy słabymi, to mówimy,żeciąga )jestodpowiedioiemalejącyiierosący.ciągirosące,malejące, ierosące i iemalejące azywamy mootoiczymi. Wprowadza się także pojęcie ciągówmootoiczychodumeru 0. Ćwiczeie Zbadać mootoiczość ciągów: a)a = 1 ; b)a = 2 ; c)a = ) ;! d)a = 3)!!) 3; e*)a = ; f*)a =5 3 2 ; g)a = ; h)a = ; i)a = ; j)a = 100 ; k)a =! 1+ 1 ) ; l)a 1 = 2,a +1 = 2+a ; m)a = 2 +1; *)a = Ćwiczeie1.1.7.a)Dla 4iechp ozaczadługośćajwiększejprzekątejkątaforemegowpisaegowokrągopromieiu1.czyciągp )jestrosący?

11 30 Ciągi liczbowe b)dla 3iechS ozaczapole-kątaforemegoopisaegoakoleopromieiu1. CzyciągS )jestmalejący? 1.2 Graiceciągów Defiicja graica właściwa ciągu, ciąg zbieży) Mówimy,żeciąga )magraicęwłaściwąa R,cozapisujemy lim a =a,gdy dlakażdejliczbydodatiejεmożadobraćtakąliczbęaturalą 0,iżierówość a a <εjestprawdziwadlawszystkich> 0.Ciąg,którymagraicęwłaściwą, azywamy zbieżym. W przypadku przeciwym ciąg azywamy rozbieżym. Obrazowo: ciąg ma graicę a, gdy jego dostateczie dalekie wyrazy leżą dowolie blisko puktu a. a a+ε a a ε Rys Ilustracja graicy właściwej ciągu Ćwiczeie Korzystając z defiicji uzasadić rówości: a) lim = 3; b) lim 1+ 2 =0; c) lim a=1,gdziea>0. +1 Ćwiczeie* Udowodić, że ciąg zbieży: a) ma dokładie jedą graicę;b) jest ograiczoy. Defiicja graice iewłaściwe ciągu) Mówimy,żeciąga )jestrozbieżydo,cozapisujemy lim a =,gdydla każdejliczbydodatiejemożadobraćtakąliczbęaturalą 0,iżierówośća >E jestprawdziwadlakażdego> 0.Obrazowo:ciągmagraicęiewłaściwą,gdy dostateczie dalekie wyrazy tego ciągu są większe od dowolej liczby dodatiej. a E Rys Ilustracja graicy iewłaściwej

12 Graice ciągów 31 Podobie,mówimy,żeciąga )jestrozbieżydo,cozapisujemy lim a =,gdydlakażdejliczbyujemeje możadobraćtakąliczbęaturala 0,że ierówośća <Ejestprawdziwadlakażdego> 0.Obrazowo:ciągmagraicę iewłaściwą, gdy jego dostateczie dalekie wyrazy są miejsze od dowolej liczby ujemej. a E Rys Ilustracja graicy iewłaściwej Uwaga. O ciągach rozbieżych do i mówimy także, że mają graice iewłaściwe odpowiedio lub. Ciągami rozbieżymi, które ie mają graic iewłaściwych, sąp.:a = 2),b =cosπ.graicawłaściwaaiiewłaściwaciąguiezależyod wartości skończeie wielu jego wyrazów. Iaczej mówiąc, zmiaa wartości skończoej liczby wyrazów ciągu ie zmieia jego graicy. Ćwiczeie Korzystając z defiicji uzasadić rówości: a) lim = ; b) lim Ćwiczeie Pokazać,żeciąggeometryczyq )jest: 1 2 ) = ; c) lim 2 5)=. 1)zbieżydo0,gdy q <1; 2)zbieżydo1,gdyq=1; 3)rozbieżydo,gdyq>1; 4)rozbieży,gdyq 1. Korzystając z tego faktu wyzaczyć graice ciągów: a)a = 1 2) ; b)a = 10 3 ; c)a = 4) 5 ; d)a =3 π) ; e)a =si 17; f)a =tg π π 4 Defiicja podciąg) Niecha )będziedowolymciągiemoraziechk )będzierosącymciągiemliczb aturalych.podciągiemciągua )azywamyciągb )określoywzorem b =a k,gdzie N. Obrazowo: podciągiem azywamy ciąg pozostały po skreśleiu pewej liczbybyć może ieskończoej) wyrazów ciągu wyjściowegozobacz ilustracja iżej). a\ 1 a 2 a\ 3 a\ 4 a 5 a\ 6 a 7 a 8 a 9 a\ b 1 b 2 b 3 b 4 b 5... ).

13 32 Ciągi liczbowe Przykład a)ciągliczbparzystychb =2jestpodciągiemciąguliczbaturalycha =. b)ciągb = 1+ 1 ) jestpodciągiemciągua = ) c)ciągb )=1,1,2,2,3,3,...)iejestpodciągiemciągua )=1,2,3,...). Twierdzeie o graicy podciągu) 1) Każdy podciąg ciągu z graicą właściwą ma tę samą graicę. 2) Każdy podciąg ciągu rozbieżego do ± jest rozbieży do ±. Uwaga. Ciąg, z którego moża wybrać dwa podciągi z różymi graicami ie ma graicy. Ćwiczeie Korzystając z twierdzeia o graicy podciągu uzasadić rówości: 1 1 a) lim 1+2=0; b) lim 3 +2 =0; ) c) lim =1; d) lim =. 3 Ćwiczeie Wybierając odpowiedie podciągi uzasadić, że ie istieją graice: a) lim +2 [ ; b) lim + 1) 2] ; c) lim siπ 1)2 3. Twierdzeie Bolzao Weierstrassa,ociągachograiczoych) Jeżeli ciąg jest ograiczoy, to ma podciąg zbieży. Uwaga.Jeżeliciągiejestograiczoy,tomapodciągrozbieżydo lub. 1.3 Twierdzeia o graicach ciągów Twierdzeie o arytmetyce graic ciągów, dowód str. 123) Jeżeliciągia )ib )majągraicewłaściwe,to 1) lim a +b )= lim a + lim b, 2)lim a b )= lim a lim b, ) ) 3) lim a b )= lim a lim b, 4)lim c a )=c lim a c R), lim a 5) lim = b a lim b, 6)lim k a = k lim a k N). BerhardBolzao ),matematykifilozofczeski. KarlTheodorWilhelmWeierstrass ),matematykiemiecki.

14 Twierdzeia o graicach ciągów 33 Uwaga. Wzory1) i3) są prawdziwe dla dowolej liczby odpowiedio składików i czyików. Z kolei we wzorach5) i6) zakładamy, że wyrażeia po obu stroach zaku rówości mają ses. Ćwiczeie Obliczyć graice: a) lim 3 ; b) lim +1 d) lim g) lim ) 499 ) 5 ; e) lim 3 333; h) lim +1) 2 + ) ; c) lim +1) ) ; )!! ; f) lim +1)!+! ; ; i) lim Ćwiczeie1.3.3.a)Dla 3iechα ozaczamiarękątawewętrzego kąta foremego. Obliczyć lim α. b)dla 6iechp ozaczadługośćajkrótszej,aq ajdłuższejprzekątej kąta foremego, którego bok ma długość 1. Obliczyć: lim p, lim q. c)dla 3iechS ozaczapole kątaforemegoopisaegoakoleopromieiu 1. Obliczyć lim S. Podać iterpretacje geometrycze otrzymaych wyików. Ćwiczeie Pokazać rówoważość lim a =0 lim a =0.Następie uzasadić rówości: a) lim 1) 2 +1 =0; 1) b) lim =0. +1 Twierdzeie o trzech ciągach, dowód str. 123) Jeżeliciągia ),b ),c )spełiająierówościa b c dlakażdego 0 oraz lim a = lim c =b,to lim b =b. b a,b,c c b a Rys Ilustracja twierdzeia o trzech ciągach

15 34 Ciągi liczbowe Ćwiczeie Korzystając z twierdzeia o trzech ciągach uzasadić rówości: a) lim si =5; b) lim 2 =0; +1 c) lim =3; d) lim = 2; e) lim =1; g) lim f) lim log =1; h) lim 2 +1 ) =2; =1; i) lim +1 ) =1; j) lim si +1 si =0; ) 1 k) lim =1; l*) lim )= Twierdzeie o ciągu mootoiczym i ograiczoym, dowód str. 124) Jeżeliciąga )jestiemalejącyorazograiczoyzgóry,tojestzbieży. a a a a Rys Ilustracja twierdzeia o ciągu a) iemalejącym i ograiczoym z góry,b) ierosącym i ograiczoym z dołu Uwaga. Prawdziwe jest aalogicze twierdzeie dla ciągu ierosącego i ograiczoego zdołu. Ćwiczeie Korzystając z twierdzeia o ciągu mootoiczym i ograiczoym uzasadić zbieżość ciągów: a)a = ; b)a =! ; c)a 1 =0,c +1 =arctg1+c ); d*)a = 1+ ) 1 +1 ; e*)a = 1 1! +1 2! ! )! ; f*)a =. W przykładachb) if*) ułożyć rówaia z graicami i astępie je wyzaczyć.

16 Twierdzeia o graicach ciągów 35 Ćwiczeie Korzystając z twierdzeia o ciągu mootoiczym i ograiczoym uzasadić rówości: 100 [3)!] 2 a) lim =0; b) lim! 2)!4)! =0; c*) lim b =2,gdzieb 1 = 2,b +1 = 2+b dla N; d*) lim c = ),gdziec 1 =1orazc +1 = 1 1+c dla N. Ćwiczeie Koleje wyrazy ciągu tworzymy dopisując po przeciku dowolą cyfręp.x 1 =0.3,x 2 =0.37,x 3 =0.370,x 4 =0.3705,...Pokazać,żeciągx )jest zbieży. Fakt określeie liczby e, dowód str. 124) Ciąge = 1+ ) 1 jestzbieży. e e Rys Wykresciągue ) Uwaga.Graicęciągue )ozaczamyprzeze: e= lim ) Liczbaepodaazdokładościądo2cyfrpoprzecikujestrówa2.72. Logarytmprzypodstawieeazywamyaturalymiozaczamyprzezl;lx=log e x. Fukcję wykładiczą przy podstawie e azywamy ekspoes i ozaczamy przez exp; expx=e x. Ćwiczeie ) x =e.korzysta- x Pokazać,żejeżeliciągx )jest,rozbieżydo±,to lim jąc z tego obliczyć graice: a) lim d) lim ) 3 ; b) lim ) 2 +1 ; e) lim 1 ) 1 ; c) lim 1 1 ) ; ) 3+1 ; f) lim 3+4 )

17 36 Ciągi liczbowe Fakt o graicach iewłaściwych ciągów, dowód str. 125) 1) Jeżeli lim a 1 =0ia >0 N),to lim =. a 2) Jeżeli lim a b = orazciągb )jestograiczoy,to lim =0. a 3) Jeżeli lim a = orazciągb )jestograiczoyzdołu,to lim a +b )=. 4) Jeżeli lim a = orazb m>0 N),to lim a b )=. Uwaga.Aalogiczetwierdzeiamożasformułowaćdla działań zsymbolem. Ćwiczeie Obliczyć graice ciągów: a) lim 2 +1)! ; b) lim ); ) c) lim +3 ; d) lim Pokażemy iżej, że graica ilorazu ciągów rozbieżych do ieskończoości może przyjmować dowole wartości albo awet ie istieć. Przykład Dla ciągów: a)a = 2,b =mamy lim a /b = lim = ; b)a =c,gdziec>0,b =mamy lim a /b = lim c=c; c)a =,b = 2 mamy lim a /b = lim 1/=0; d)a =2+ 1) ),b =mamy lim a /b = lim 2+ 1) ) ieistieje. Ztegowzględuciąga /b )dla lim a =, lim b = azywamywyrażeiem ieozaczoym postaci /. Poadto, mamy sześć iych typów wyrażeń ieozaczych. Są to kolejo: a b )dla lim a =, lim b = wyrażeiepostaci ; a b )dla lim a =0, lim b =, wyrażeiepostaci0 ; a /b )dla lim a =0, lim b =0, wyrażeiepostaci0/0; ) a b dla lim a =1, lim b =, wyrażeiepostaci1 ; ) a b dla lim a =, lim b =0, wyrażeiepostaci 0 ; ) a b dla lim a =0, lim b =0 wyrażeie0 0. Ćwiczeie Podaćprzykładyciągówa ),b )świadczące,żewyrażeiapostaci,1,0 0 sąieozaczoe.rozważyćwszystkiewartości,jakiemogą przyjąć te wyrażeia.

18 Twierdzeia o graicach ciągów 37 Twierdzeie o dwóch ciągach, dowód str. 125) Jeżeliciągia )ib )spełiająierówośća b dla 0,aciąga )jest rozbieżydo,torówieżciągb )jestrozbieżydo. a,b b a Rys Ilustracja twierdzeia o dwóch ciągach Uwaga. Prawdziwe jest aalogicze twierdzeie dla ciągów rozbieżych do. Ćwiczeie Korzystając z twierdzeia o dwóch ciągach uzasadić rówości: a) lim [4 + 1) ]= ; b) lim 2 +3)= ; [ c) lim 2cos 5) 2 ] 1 = ; d) lim )=. 2