Ciągi Podzbiory Symbol Newtona Zasada szufladkowa Dirichleta Zasada włączania i wyłączania. Ilość najkrótszych dróg. Kombinatoryka. Magdalena Lemańska

Transkrypt

1 Kombinatoryka Magdalena Lemańska

2 Literatura Matematyka Dyskretna Andrzej Szepietowski Discrete Mathematics Seymour Lipschutz, Marc Lipson Aspekty kombinatoryki Victor Bryant Combinatorics V.K. Balakrishnan

3 Ciągi długości k Ile ciągów długości k można utworzyć z elementów zbioru zawierającego n symboli?

4 Ciągi długości k Ile ciągów długości k można utworzyć z elementów zbioru zawierającego n symboli? 1 Jeśli zbiór symboli zawiera dwa elementy a, b, to można utworzyć dwa ciągi długości jeden: i cztery ciągi długości dwa: (a); (b) (a, a); (a, b); (b, a); (b, b).

5 Ciągi długości k Ile ciągów długości k można utworzyć z elementów zbioru zawierającego n symboli? 1 Jeśli zbiór symboli zawiera dwa elementy a, b, to można utworzyć dwa ciągi długości jeden: i cztery ciągi długości dwa: (a); (b) (a, a); (a, b); (b, a); (b, b). 2 Aby uzyskać ciągi długości trzy, postępujemy w następujący sposób: bierzemy cztery ciągi długości dwa i najpierw do każdego z nich dopisujemy na początku a. Otrzymujemy w ten sposób komplet (a, a, a); (a, a, b); (a, b, a); (a.b, b).

6 Ciągi długości k Ile ciągów długości k można utworzyć z elementów zbioru zawierającego n symboli? 1 Jeśli zbiór symboli zawiera dwa elementy a, b, to można utworzyć dwa ciągi długości jeden: i cztery ciągi długości dwa: (a); (b) (a, a); (a, b); (b, a); (b, b). 2 Aby uzyskać ciągi długości trzy, postępujemy w następujący sposób: bierzemy cztery ciągi długości dwa i najpierw do każdego z nich dopisujemy na początku a. Otrzymujemy w ten sposób komplet (a, a, a); (a, a, b); (a, b, a); (a.b, b). 3 Potem do tych samych czterech ciągów długości dwa dopisujemy na początku symbol b i otrzymujemy komplet: (b, a, a); (b, a, b); (b, b, a); (b, b, b).

7 Ciągi długości k Ile ciągów długości k można utworzyć z elementów zbioru zawierającego n symboli? 1 Jeśli zbiór symboli zawiera dwa elementy a, b, to można utworzyć dwa ciągi długości jeden: i cztery ciągi długości dwa: (a); (b) (a, a); (a, b); (b, a); (b, b). 2 Aby uzyskać ciągi długości trzy, postępujemy w następujący sposób: bierzemy cztery ciągi długości dwa i najpierw do każdego z nich dopisujemy na początku a. Otrzymujemy w ten sposób komplet (a, a, a); (a, a, b); (a, b, a); (a.b, b). 3 Potem do tych samych czterech ciągów długości dwa dopisujemy na początku symbol b i otrzymujemy komplet: (b, a, a); (b, a, b); (b, b, a); (b, b, b). 4 Komplety te są rozłączne i oba zawierają różne ciągi. Razem tworzą zbiór wszystkich ciągów długości trzy.

8 Ciągi długości k Ile ciągów długości k można utworzyć z elementów zbioru zawierającego n symboli? 1 Jeśli zbiór symboli zawiera dwa elementy a, b, to można utworzyć dwa ciągi długości jeden: i cztery ciągi długości dwa: (a); (b) (a, a); (a, b); (b, a); (b, b). 2 Aby uzyskać ciągi długości trzy, postępujemy w następujący sposób: bierzemy cztery ciągi długości dwa i najpierw do każdego z nich dopisujemy na początku a. Otrzymujemy w ten sposób komplet (a, a, a); (a, a, b); (a, b, a); (a.b, b). 3 Potem do tych samych czterech ciągów długości dwa dopisujemy na początku symbol b i otrzymujemy komplet: (b, a, a); (b, a, b); (b, b, a); (b, b, b). 4 Komplety te są rozłączne i oba zawierają różne ciągi. Razem tworzą zbiór wszystkich ciągów długości trzy. Twierdzenie Liczba ciągów długości k o elementach ze zbioru {a, b} wynosi 2 k.

9 Uogólnienie Jeśli zbiór symboli zawiera n elementów, to powtarzając powyższe rozumowanie możemy sią przekonać, że istnieje n ciągów długości jeden, n 2 ciągów długości dwa i ogólnie ciągów długości k + 1 jest n razy więcej niż ciągów długości k. Zachodzi zatem twierdzenie.

10 Uogólnienie Jeśli zbiór symboli zawiera n elementów, to powtarzając powyższe rozumowanie możemy sią przekonać, że istnieje n ciągów długości jeden, n 2 ciągów długości dwa i ogólnie ciągów długości k + 1 jest n razy więcej niż ciągów długości k. Zachodzi zatem twierdzenie. Twierdzenie Liczba ciągów długości k o elementach ze zbioru n-elementowego wynosi n k.

11 Uogólnienie Jeśli zbiór symboli zawiera n elementów, to powtarzając powyższe rozumowanie możemy sią przekonać, że istnieje n ciągów długości jeden, n 2 ciągów długości dwa i ogólnie ciągów długości k + 1 jest n razy więcej niż ciągów długości k. Zachodzi zatem twierdzenie. Twierdzenie Liczba ciągów długości k o elementach ze zbioru n-elementowego wynosi n k. Funkcje Policzymy teraz, ile jest funkcji ze zbioru k-elementowego A w zbiór n-elementowy B.

12 Uogólnienie Jeśli zbiór symboli zawiera n elementów, to powtarzając powyższe rozumowanie możemy sią przekonać, że istnieje n ciągów długości jeden, n 2 ciągów długości dwa i ogólnie ciągów długości k + 1 jest n razy więcej niż ciągów długości k. Zachodzi zatem twierdzenie. Twierdzenie Liczba ciągów długości k o elementach ze zbioru n-elementowego wynosi n k. Funkcje Policzymy teraz, ile jest funkcji ze zbioru k-elementowego A w zbiór n-elementowy B. Funkcja jako ciąg Każdą funkcję f : A B można przedstawić jako ciąg (f (1), f (2),..., f (k)).

13 Uogólnienie Jeśli zbiór symboli zawiera n elementów, to powtarzając powyższe rozumowanie możemy sią przekonać, że istnieje n ciągów długości jeden, n 2 ciągów długości dwa i ogólnie ciągów długości k + 1 jest n razy więcej niż ciągów długości k. Zachodzi zatem twierdzenie. Twierdzenie Liczba ciągów długości k o elementach ze zbioru n-elementowego wynosi n k. Funkcje Policzymy teraz, ile jest funkcji ze zbioru k-elementowego A w zbiór n-elementowy B. Funkcja jako ciąg Każdą funkcję f : A B można przedstawić jako ciąg (f (1), f (2),..., f (k)). Ciąg ten jest długości k, a jego elementy są wzięte ze zbioru B.

14 Zauważmy, że każdej funkcji odpowiada jeden ciąg i na odwrót, każdy ciąg (b 1,..., b k ) opisuje jedną funkcję: taką, która dla każdego 1 i k przypisuje wartość f (i) = b i.

15 Zauważmy, że każdej funkcji odpowiada jeden ciąg i na odwrót, każdy ciąg (b 1,..., b k ) opisuje jedną funkcję: taką, która dla każdego 1 i k przypisuje wartość f (i) = b i. W takim razie funkcji ze zbioru A w zbiór B jest tyle samo, co ciągów długości k = A z elementami ze zbioru B. Udowodniliśmy więc poniższe twierdzenie.

16 Zauważmy, że każdej funkcji odpowiada jeden ciąg i na odwrót, każdy ciąg (b 1,..., b k ) opisuje jedną funkcję: taką, która dla każdego 1 i k przypisuje wartość f (i) = b i. W takim razie funkcji ze zbioru A w zbiór B jest tyle samo, co ciągów długości k = A z elementami ze zbioru B. Udowodniliśmy więc poniższe twierdzenie. Twierdzenie Jeśli zbiór A zawiera k elementów, a zbiór B zawiera n elementów, to liczba funkcji ze zbioru A w zbiór B wynosi n k.

17 Zauważmy, że każdej funkcji odpowiada jeden ciąg i na odwrót, każdy ciąg (b 1,..., b k ) opisuje jedną funkcję: taką, która dla każdego 1 i k przypisuje wartość f (i) = b i. W takim razie funkcji ze zbioru A w zbiór B jest tyle samo, co ciągów długości k = A z elementami ze zbioru B. Udowodniliśmy więc poniższe twierdzenie. Twierdzenie Jeśli zbiór A zawiera k elementów, a zbiór B zawiera n elementów, to liczba funkcji ze zbioru A w zbiór B wynosi n k. Zadanie Wypisz wszystkie funkcje F : X Y, gdzie: X = {1, 2, 3}, Y = {a, b} X = {a, b}, Y = {1, 2, 3}. Zrobić to samo z dodatkowym warunkiem, że funkcje są różnowartościowe.

18 Zauważmy, że każdej funkcji odpowiada jeden ciąg i na odwrót, każdy ciąg (b 1,..., b k ) opisuje jedną funkcję: taką, która dla każdego 1 i k przypisuje wartość f (i) = b i. W takim razie funkcji ze zbioru A w zbiór B jest tyle samo, co ciągów długości k = A z elementami ze zbioru B. Udowodniliśmy więc poniższe twierdzenie. Twierdzenie Jeśli zbiór A zawiera k elementów, a zbiór B zawiera n elementów, to liczba funkcji ze zbioru A w zbiór B wynosi n k. Zadanie Wypisz wszystkie funkcje F : X Y, gdzie: X = {1, 2, 3}, Y = {a, b} X = {a, b}, Y = {1, 2, 3}. Zrobić to samo z dodatkowym warunkiem, że funkcje są różnowartościowe. Zadanie Ile jest funkcji f ze zbioru {1,..., n} w zbiór {a, b, c}? Ile spośród nich spełnia warunek f (1) = a? Ile spełnia warunek f (1) f (2)?

19 Ciągi bez powtórzeń Policzmy teraz, ile jest ciągów bez powtórzeń, czyli ciągów rȯżnowartościowych. Jeśli elementy bierzemy ze zbioru trzyelementowego {1, 2, 3}, to możemy utworzyć: trzy ciągi jednoelementowe: sześć ciągów dwuoelementowych: oraz sześć ciągów trójelementowych: (1), (2), (3) (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 3), (3, 1), (3, 2) (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1)

20 Ciągi bez powtórzeń Policzmy teraz, ile jest ciągów bez powtórzeń, czyli ciągów rȯżnowartościowych. Jeśli elementy bierzemy ze zbioru trzyelementowego {1, 2, 3}, to możemy utworzyć: trzy ciągi jednoelementowe: sześć ciągów dwuoelementowych: oraz sześć ciągów trójelementowych: (1), (2), (3) (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 3), (3, 1), (3, 2) (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1) Przykład Ile różnowartościowych ciągów długości cztery można stworzyć dla zbioru siedmioelementowego?

21 Twierdzenie Jeśli elementy wybieramy ze zbioru n-elementowego A, to liczba ciągów k-elementowych bez powtórzeń, które można wybrać z tego zbioru, wynosi n(n 1)... (n k + 1).

22 Twierdzenie Jeśli elementy wybieramy ze zbioru n-elementowego A, to liczba ciągów k-elementowych bez powtórzeń, które można wybrać z tego zbioru, wynosi n(n 1)... (n k + 1). Zadanie Ile jest liczb trzycyfrowych w systemach dziesiętnym, trójkowym i dwójkowym?

23 Twierdzenie Jeśli elementy wybieramy ze zbioru n-elementowego A, to liczba ciągów k-elementowych bez powtórzeń, które można wybrać z tego zbioru, wynosi n(n 1)... (n k + 1). Zadanie Ile jest liczb trzycyfrowych w systemach dziesiętnym, trójkowym i dwójkowym? Zadanie Ile istnieje liczb naturalnych pięciocyfrowych, w których zapisie nie występuje cyfra zero? Ile istnieje liczb naturalnych pięciocyfrowych takich, w których cyfra setek jest 5?

24 Permutacje Permutacje to ciągi bez powtórzeń długości n, wybierane ze zbioru n-elementowego.

25 Permutacje Permutacje to ciągi bez powtórzeń długości n, wybierane ze zbioru n-elementowego. Przykład Na przykład, mamy dwie permutacje dwuelementowe: (2, 1), (1, 2) oraz sześć permutacji trzyelementowych: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1).

26 Permutacje Permutacje to ciągi bez powtórzeń długości n, wybierane ze zbioru n-elementowego. Przykład Na przykład, mamy dwie permutacje dwuelementowe: (2, 1), (1, 2) oraz sześć permutacji trzyelementowych: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1). Ilość permutacji Zgodnie z poprzednim twierdzeniem, ilość permutacji w zbiorze n-elementowym wynosi n(n 1)... 1, czyli jest równa n!.

27 Permutacje Permutacje to ciągi bez powtórzeń długości n, wybierane ze zbioru n-elementowego. Przykład Na przykład, mamy dwie permutacje dwuelementowe: (2, 1), (1, 2) oraz sześć permutacji trzyelementowych: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1). Ilość permutacji Zgodnie z poprzednim twierdzeniem, ilość permutacji w zbiorze n-elementowym wynosi n(n 1)... 1, czyli jest równa n!. Zadanie Rodzina sześcioosobowa (rodzice i czworo dzieci) ustawia się w szeregu do zdjęcia. Ile różnych fotografii można otrzymać, jeśli: a) każdy może stać obok każdego; b) rodzice stoją na dwóch końcach szeregu?

28 Permutacje Permutacje to ciągi bez powtórzeń długości n, wybierane ze zbioru n-elementowego. Przykład Na przykład, mamy dwie permutacje dwuelementowe: (2, 1), (1, 2) oraz sześć permutacji trzyelementowych: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1). Ilość permutacji Zgodnie z poprzednim twierdzeniem, ilość permutacji w zbiorze n-elementowym wynosi n(n 1)... 1, czyli jest równa n!. Zadanie Rodzina sześcioosobowa (rodzice i czworo dzieci) ustawia się w szeregu do zdjęcia. Ile różnych fotografii można otrzymać, jeśli: a) każdy może stać obok każdego; b) rodzice stoją na dwóch końcach szeregu? Zadanie Na egzaminie posadzono w sposób losowy w jednym rzędzie dziesięciu zdających, w tym dwóch z jednej szkoły. Na ile sposobów można rozsadzić zdających tak, by: a) znajomi z jednej szkoły nie siedzieli obok siebie; b) siedzieli na przeciwnych końcach rzędu; c) między nimi siedziały dokładnie trzy inne osoby?

29 Inna definicja permutacji Czasami używa się innej definicji permutacji. Mianowicie, permutacja n-elementowa to dowolna funkcja różnowartościowa ze zbioru {1, 2,..., n} na ten sam zbiór.

30 Inna definicja permutacji Czasami używa się innej definicji permutacji. Mianowicie, permutacja n-elementowa to dowolna funkcja różnowartościowa ze zbioru {1, 2,..., n} na ten sam zbiór. Oznaczenia Na oznaczenie permutacji używa się zapisu: ( 1...n ) π(1)...π(n)

31 Inna definicja permutacji Czasami używa się innej definicji permutacji. Mianowicie, permutacja n-elementowa to dowolna funkcja różnowartościowa ze zbioru {1, 2,..., n} na ten sam zbiór. Oznaczenia Na oznaczenie permutacji używa się zapisu: ( 1...n ) π(1)...π(n) Składanie permutacji Dwie permutacje n-elementowe można składać tak, jak składa się funkcje. Złożenie permutacji określone jest wzorem: π 1 π 2 (x) = π 1 (π 2 (x)).

32 Inna definicja permutacji Czasami używa się innej definicji permutacji. Mianowicie, permutacja n-elementowa to dowolna funkcja różnowartościowa ze zbioru {1, 2,..., n} na ten sam zbiór. Oznaczenia Na oznaczenie permutacji używa się zapisu: ( 1...n ) π(1)...π(n) Składanie permutacji Dwie permutacje n-elementowe można składać tak, jak składa się funkcje. Złożenie permutacji określone jest wzorem: π 1 π 2 (x) = π 1 (π 2 (x)). Własności permutacji Zbiór wszystkich permutacji na zbiorze {1, 2,..., n} z działaniem złożenia ma następujące własności:

33 Własności permutacji

34 Własności permutacji Złożenie permutacji jest łączne, tzn. dla każdych trzech permutacji π, σ, ρ : jest π (σ ρ) = (π σ) ρ.

35 Własności permutacji Złożenie permutacji jest łączne, tzn. dla każdych trzech permutacji π, σ, ρ : jest π (σ ρ) = (π σ) ρ. Wśród permutacji istnieje identyczność id, czyli permutacja, która każdemu x z dziedziny przypisuje wartość id(x) = x. Identyczność jest elementem neutralnym składania permutacji, ponieważ dla każdej permutacji π, id π = π id = π.

36 Własności permutacji Złożenie permutacji jest łączne, tzn. dla każdych trzech permutacji π, σ, ρ : jest π (σ ρ) = (π σ) ρ. Wśród permutacji istnieje identyczność id, czyli permutacja, która każdemu x z dziedziny przypisuje wartość id(x) = x. Identyczność jest elementem neutralnym składania permutacji, ponieważ dla każdej permutacji π, id π = π id = π. Dla każdej permutacji π istnieje permutacja odwrotna π 1, spełniająca warunek π π 1 = π 1 π = id.

37 Własności permutacji Złożenie permutacji jest łączne, tzn. dla każdych trzech permutacji π, σ, ρ : jest π (σ ρ) = (π σ) ρ. Wśród permutacji istnieje identyczność id, czyli permutacja, która każdemu x z dziedziny przypisuje wartość id(x) = x. Identyczność jest elementem neutralnym składania permutacji, ponieważ dla każdej permutacji π, id π = π id = π. Dla każdej permutacji π istnieje permutacja odwrotna π 1, spełniająca warunek π π 1 = π 1 π = id. Zadanie Obliczyć π 1 π 2, π 2 π 1, π 1 1, π 1 2, jeśli π 1 = ( 12345) 25431, π1 = ( ).

38 Podzbiory Policzmy teraz, ile podzbiorów ma skończony zbiór n-elementowy. Jeśli zbiór składa się z trzech elementów: {a, b, c}, to możemy łatwo wypisać wszystkie jego podzbiory:, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}.

39 Podzbiory Policzmy teraz, ile podzbiorów ma skończony zbiór n-elementowy. Jeśli zbiór składa się z trzech elementów: {a, b, c}, to możemy łatwo wypisać wszystkie jego podzbiory:, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}. Rozważmy teraz ogólnie podzbiory zbioru {1, 2,..., n}. Z każdym zbiorem A {1, 2,..., n} związana jest jego funkcja charakterystyczna, określona wzorem: χ A (i) = 1, i A, χ A (i) = 0, i / A.

40 Podzbiory Policzmy teraz, ile podzbiorów ma skończony zbiór n-elementowy. Jeśli zbiór składa się z trzech elementów: {a, b, c}, to możemy łatwo wypisać wszystkie jego podzbiory:, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}. Rozważmy teraz ogólnie podzbiory zbioru {1, 2,..., n}. Z każdym zbiorem A {1, 2,..., n} związana jest jego funkcja charakterystyczna, określona wzorem: χ A (i) = 1, i A, χ A (i) = 0, i / A. Dziedziną funkcji jest zbiór {1, 2,..., n}, a przeciwdziedziną zbiór {0, 1}. Zauważmy, że każdemu podzbiorowi odpowiada jedna funkcja charakterystyczna i na odwrót, jeśli weźmiemy dowolną funkcę χ : {1, 2,..., n} {0, 1}, to wyznacza ona zbiór A = {i : χ(i) = 1}.

41 Z powyższych rozważań wynika, że liczba podzbiorów zbioru n-elementowego jest równa liczbie funkcji ze zbioru {1, 2,..., n} w zbiór {0, 1}. Czyli na podstawie wcześniejszego twierdzenia o funkcjach mamy:

42 Z powyższych rozważań wynika, że liczba podzbiorów zbioru n-elementowego jest równa liczbie funkcji ze zbioru {1, 2,..., n} w zbiór {0, 1}. Czyli na podstawie wcześniejszego twierdzenia o funkcjach mamy: Twierdzenie Każdy zbiór n-elementowy ma 2 n podzbiorów.

43 Podzbiory k-elementowe Zastanowimy się teraz nad podzbiorami określonej mocy.

44 Podzbiory k-elementowe Zastanowimy się teraz nad podzbiorami określonej mocy. Dla zbioru czteroelementowego {1, 2, 3, 4} mamy jeden podzbiór pusty (zeroelementowy), cztery podzbiory jednoelementowe {1}, {2}, {3}, {4}; sześć podzbiorów dwuelementowych: {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}; cztery podzbiory trzyelementowe: {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4} i jeden podzbiór czteroelementowy: {1, 2, 3, 4}.

45 Podzbiory k-elementowe Zastanowimy się teraz nad podzbiorami określonej mocy. Dla zbioru czteroelementowego {1, 2, 3, 4} mamy jeden podzbiór pusty (zeroelementowy), cztery podzbiory jednoelementowe {1}, {2}, {3}, {4}; sześć podzbiorów dwuelementowych: {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}; cztery podzbiory trzyelementowe: {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4} i jeden podzbiór czteroelementowy: {1, 2, 3, 4}. Liczbę podzbiorów k-elementowych zbioru n-elementowego oznacza się przez ( n k).

46 Podzbiory k-elementowe Zastanowimy się teraz nad podzbiorami określonej mocy. Dla zbioru czteroelementowego {1, 2, 3, 4} mamy jeden podzbiór pusty (zeroelementowy), cztery podzbiory jednoelementowe {1}, {2}, {3}, {4}; sześć podzbiorów dwuelementowych: {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}; cztery podzbiory trzyelementowe: {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4} i jeden podzbiór czteroelementowy: {1, 2, 3, 4}. Liczbę podzbiorów k-elementowych zbioru n-elementowego oznacza się przez ( n k). Właśnie pokazaliśmy, że ( 4 ( 4 ( 4 ( 4 ( 4 = 1, = 4, = 6, = 4, = 1. 0) 1) 2) 3) 4)

47 Twierdzenie Dla 0 < k n mamy: ( n k) = ( n 1 ) + k 1 ( n 1 ). k

48 Twierdzenie Dla 0 < k n mamy: ( n k) = ( n 1 ) + k 1 ( n 1 ). k Jeśli 0 k n, to symbol Newtona można obliczyć ze wzoru: ( n n! = k) k!(n k)!.

49 Twierdzenie Dla 0 < k n mamy: ( n k) = ( n 1 ) + k 1 ( n 1 ). k Jeśli 0 k n, to symbol Newtona można obliczyć ze wzoru: ( n n! = k) k!(n k)!. Twierdzenie Dla każdej liczby rzeczywistej t oraz liczby całkowitej n 0 zachodzi wzór (1 + t) n = n k=0 ( n k) t k.

50 Twierdzenie Dla 0 < k n mamy: ( n k) = ( n 1 ) + k 1 ( n 1 ). k Jeśli 0 k n, to symbol Newtona można obliczyć ze wzoru: ( n n! = k) k!(n k)!. Twierdzenie Dla każdej liczby rzeczywistej t oraz liczby całkowitej n 0 zachodzi wzór (1 + t) n = n k=0 ( n k) t k. Wniosek Dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b oraz liczby całkowitej n 0 zachodzi wzór (a + b) n = n k=0 ( n k) a n k b k.

51 Twierdzenie Dla 0 < k n mamy: ( n k) = ( n 1 ) + k 1 ( n 1 ). k Jeśli 0 k n, to symbol Newtona można obliczyć ze wzoru: ( n n! = k) k!(n k)!. Twierdzenie Dla każdej liczby rzeczywistej t oraz liczby całkowitej n 0 zachodzi wzór (1 + t) n = n k=0 ( n k) t k. Wniosek Dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b oraz liczby całkowitej n 0 zachodzi wzór (a + b) n = n k=0 ( n k) a n k b k. Jeśli podstawimy t = 1 do wzoru z twierdzenia, to otrzymamy 2 n = n k=0 ( n k), co potwierdza jeszcze raz, że wszystkich podzbiorów zbioru n-elementowego jest 2 n.

52 Zasada szufladkowa Dirichleta Zasada szufladkowa Dirichleta Jeżeli n obiektów jest rozmieszczonych w m szufladach i n > m, to istnieje co najmniej jedna szuflada z przynajmniej dwoma obiektami.

53 Zasada szufladkowa Dirichleta Zasada szufladkowa Dirichleta Jeżeli n obiektów jest rozmieszczonych w m szufladach i n > m, to istnieje co najmniej jedna szuflada z przynajmniej dwoma obiektami. Przykład Na sali znajduje się 47 osób. Pokazać, że na sali znajdzie się siedem osób urodzonych tego samego dnia tygodnia.

54 Zasada szufladkowa Dirichleta Zasada szufladkowa Dirichleta Jeżeli n obiektów jest rozmieszczonych w m szufladach i n > m, to istnieje co najmniej jedna szuflada z przynajmniej dwoma obiektami. Przykład Na sali znajduje się 47 osób. Pokazać, że na sali znajdzie się siedem osób urodzonych tego samego dnia tygodnia. Przykład Spośród liczb {1, 2,..., 9} wylosowano sześć. Udowodnić, że spośród wybranych liczb można wybrać dwie, które sumują się do 10.

55 Zasada szufladkowa Dirichleta Zasada szufladkowa Dirichleta Jeżeli n obiektów jest rozmieszczonych w m szufladach i n > m, to istnieje co najmniej jedna szuflada z przynajmniej dwoma obiektami. Przykład Na sali znajduje się 47 osób. Pokazać, że na sali znajdzie się siedem osób urodzonych tego samego dnia tygodnia. Przykład Spośród liczb {1, 2,..., 9} wylosowano sześć. Udowodnić, że spośród wybranych liczb można wybrać dwie, które sumują się do 10. Przykład Pewna grupa osób wita się, podając sobie ręce. Nikt nie wita się z samym sobą i żadna para osób nie wita się podwójnie. Czy muszą być dwie osoby, które witały tą samą liczbę osób?

56 Zasada włączania i wyłączania.

57 Zasada włączania i wyłączania. Zadanie W klasie liczącej 33 osoby, 17 uczniów uczy się włoskiego, 17 hiszpańskiego i 15 portugalskiego. Wśród nich 7 uczniów uczy się hiszpańskiego i włoskiego, 9 włoskiego i portugalskiego, 6 hiszpańskiego i portugalskiego. Dwóch uczniów uczy się wszystkich trzech języków. Ilu uczniów nie uczy się żadnego języka?

58 Zasada włączania i wyłączania. Zadanie W klasie liczącej 33 osoby, 17 uczniów uczy się włoskiego, 17 hiszpańskiego i 15 portugalskiego. Wśród nich 7 uczniów uczy się hiszpańskiego i włoskiego, 9 włoskiego i portugalskiego, 6 hiszpańskiego i portugalskiego. Dwóch uczniów uczy się wszystkich trzech języków. Ilu uczniów nie uczy się żadnego języka? Zadanie Do pracy zgłosiło się 16 tłumaczy znających rosyjski, hiszpański lub angielski. 12 znało rosyjski, 15 hiszpański, a angielski tylu samo, co rosyjski i hiszpański jednocześnie. Ilu znało hiszpański i angielski, ale nie znało rosyjskiego, jeśli wiadomo, że 8 znało rosyjski i angielski?

59 Zasada włączania i wyłączania. Zadanie W klasie liczącej 33 osoby, 17 uczniów uczy się włoskiego, 17 hiszpańskiego i 15 portugalskiego. Wśród nich 7 uczniów uczy się hiszpańskiego i włoskiego, 9 włoskiego i portugalskiego, 6 hiszpańskiego i portugalskiego. Dwóch uczniów uczy się wszystkich trzech języków. Ilu uczniów nie uczy się żadnego języka? Zadanie Do pracy zgłosiło się 16 tłumaczy znających rosyjski, hiszpański lub angielski. 12 znało rosyjski, 15 hiszpański, a angielski tylu samo, co rosyjski i hiszpański jednocześnie. Ilu znało hiszpański i angielski, ale nie znało rosyjskiego, jeśli wiadomo, że 8 znało rosyjski i angielski? Zasada włączania i wyłączania Dla zbiorów A 1,..., A n, skończonych i parami rozłącznych: A 1 A 2... A n = A 1 + A A n.

60 Zasada włączania i wyłączania Zasada włączania i wyłączania Dla zbiorów skończonych A 1,..., A n zachodzi: A 1 A 2... A n = A 1 + A A n 2 + A n 1 + A n A 1 A 2 A 1 A 3... A n 2 A n A n 1 A n + A 1 A 2 A A n 2 A n 1 A n ( 1) n+1 A 1 A 2... A n.

61 Ilość najkrótszych dróg Ile jest najkrótszych dróg z A do B?

62 Mamy 9 skrzyżowań, wybieramy 6 z których idziemy na wschód lub 3, na których idziemy na północ. Mamy więc ( 9 3) = ( 9 6) = 94.

63 Mamy 9 skrzyżowań, wybieramy 6 z których idziemy na wschód lub 3, na których idziemy na północ. Mamy więc ( 9 3) = ( 9 6) = 94. Ogólnie, ( dla kratki m n rysujemy m + n odcinków, a więc ilość najkrótszych dróg to m+n ) ( m = m+n ) n.

64 Mamy 9 skrzyżowań, wybieramy 6 z których idziemy na wschód lub 3, na których idziemy na północ. Mamy więc ( 9 3) = ( 9 6) = 94. Ogólnie, ( dla kratki m n rysujemy m + n odcinków, a więc ilość najkrótszych dróg to m+n ) ( m = m+n ) n. Przykład Ile rozwiązań ma ma równanie x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 7, gdzie x i są liczbami całkowitymi?