Matematyka Dyskretna. Andrzej Szepietowski. 25 czerwca 2002 roku
|
|
- Sylwester Wysocki
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Matematyka Dyskretna Andrzej Szepietowski 25 czerwca 2002 roku
2
3 Rozdział 1 Kombinatoryka 11 Ci agi Zastanówmy siȩ, ile ci agów długości można utworzyć z elementów zbioru zawieraj acego symboli Jeżeli zbiór symboli zawiera dwa elementy: to można utworzyć dwa ci agi długości jeden: cztery ci agi długości dwa: Aby uzyskać ci agi długości trzy, postȩpujemy w nastȩpuj acy sposób: bierzemy cztery ci agi długości dwa i najpierw do każdego z nich dopisujemy na pocz atku Otrzymujemy w ten sposób komplet: Zauważmy, że s a to wszystkie ci agi długości trzy z pierwsz a liter a Potem do tych samych czterech ci agów długości dwa dopisujemy na pocz atku symbol i otrzymujemy komplet: Komplety te s a rozł aczne i oba zawieraj a różne ci agi Razem tworz a zbiór wszystkich ci agów długości trzy: Postȩpuj ac podobnie, możemy otrzymać szesnaście ci agów długości cztery 3
4 4 Rozdział 1 Kombinatoryka Twierdzenie 11 Liczba ci agów długości o elementach ze zbioru wynosi Dowód przez indukcjȩ Jak już pokazano, s a dwa ci agi długości jeden Załóżmy teraz, że liczba ci agów długości wynosi i zauważmy, że wszystkich ci agów długości jest dwa razy wiȩcej Jest ci agów z pierwszym elementem i ci agów z pierwszym elementem Razem mamy ci agów długości Jeżeli zbiór symboli zawiera elementów, to powtarzaj ac powyższe rozumowanie, możemy siȩ przekonać, że istnieje ci agów długości jeden, ci agów długości dwa i ogólnie ci agów długości jest razy wiȩcej niż ci agów długości Zachodzi zatem twierdzenie Twierdzenie 12 Liczba ci agów długości o elementach ze zbioru -elementowego wynosi 12 Funkcje Policzmy teraz, ile jest funkcji ze zbioru w zbiór Przypuśćmy, że zbiór zawiera elementów: Każd a funkcjȩ z w można przedstawić jako ci ag Ci ag ten jest długości, a jego elementy s a wziȩte ze zbioru Zauważmy, że każdej funkcji odpowiada jeden ci ag, i na odwrót, każdy ci ag opisuje jedn a funkcjȩ Mianowicie funkcjȩ, która dla każdego przypisuje wartość Przykład 13 Jeżeli a to ci ag składa siȩ z trzech elementów: składa siȩ z czterech elementów: # '&( )# opisuje funkcjȩ stał a (która w całej swojej dziedzinie przyjmuje wartość ), a ci ag '( opisuje funkcjȩ, która przyjmuje nastȩpuj ace wartości: * &
5 13 Ci agi bez powtórzeń 5 Z powyższego wynika, że funkcji ze zbioru w zbiór jest tyle samo co ci agów długości z elementami ze zbioru Udowodniliśmy wiȩc poniższe twierdzenie Twierdzenie 14 Jeżeli zbiór zawiera elementów, a zbiór zawiera elementów, to liczba funkcji ze zbioru w zbiór wynosi 13 Ci agi bez powtórzeń Policzmy teraz, ile jest ci agów bez powtórzeń, czyli ci agów różnowartościowych Jeżeli elementy bierzemy ze zbioru trzyelementowego to możemy utworzyć trzy ci agi jednoelementowe: sześć różnowartościowych ci agów dwuelementowych: ' oraz sześć ci agów trójelementowych: ' ' ' ' Nie ma, oczywiście, dłuższych ci agów różnowartościowych utworzonych z elementów zbioru '( Twierdzenie 15 Jeżeli elementy wybieramy ze zbioru -elementowego, to liczba ci agów -elementowych bez powtórzeń, które można wybrać z tego zbioru, wynosi: * W tym wyrażeniu mamy iloczyn na kolejnych liczb, poczynaj ac od, a kończ ac Dowód Jeżeli budujemy ci ag bez powtórzeń, to na pierwszy element ci agu możemy wybrać każdy z elementów zbioru, na drug a pozycjȩ w ci agu możemy wybrać już tylko jeden z elementów (wszystkie poza tym, który został wybrany na pierwszy element ci agu) i tak dalej, na każd a kolejn a pozycjȩ mamy o jeden element do wyboru mniej Zauważmy, że jeżeli, to:, co jest zgodne z tym, że w takim przypadku nie można utworzyć żadnego -elementowego ci agu bez powtórzeń z elementami ze zbioru
6 & & 6 Rozdział 1 Kombinatoryka 14 Permutacje Permutacje to ci agi bez powtórzeń długości, wybierane ze zbioru -elementowego Na przykład, mamy dwie permutacje dwuelementowe: oraz sześć permutacji trzyelementowych: ' ' Zgodnie z twierdzeniem?? liczba permutacji w zbiorze czyli jest równa Funkcja silnia określona jest dla Dodatkowo przyjmujemy Mamy więc Wartości funkcji silnia szybko rosn a, na przykład: w nastȩpuj acy sposób: Dla przybliżonego obliczania silni korzysta siȩ ze wzoru Stirlinga: Dla każdego zachodz a również nastȩpuj ace oszacowania: -elementowym wynosi: & & # * & (11) (12) Dowody wzoru Stirlinga oraz powyższych oszacowań wychodz a poza zakres tego podrȩcznika Czasami używa siȩ innej definicji permutacji Mianowicie permutacja -elementowa to dowolna funkcja różnowartościowa ze zbioru na ten sam zbiór Na oznaczenie permutacji używa siȩ zapisu: Przykład 16 Permutacja: & & ' jest funkcj a, która przyjmuje nastȩpuj ace wartości: & &
7 & 15 Podzbiory 7 i określone jest wzorem: Dwie permutacje -elementowe można składać tak, jak składa siȩ funkcje Złożenie permutacji Na przykład: & & & & &' Zbiór wszystkich permutacji na zbiorze z działaniem złożenia ma nastȩpuj ace własności: Złożenie permutacji jest ł aczne To znaczy, dla każdych trzech permutacji,, : Wśród permutacji istnieje identyczność, czyli permutacja, która każdemu z dziedziny przypisuje wartość Identyczność jest elementem neutralnym składania permutacji, ponieważ dla każdej permutacji : Dla każdej permutacji istnieje permutacja odwrotna (funkcja odwrotna), spełniaj aca warunek: Powyższe zależności oznaczaj a, że zbiór wszystkich permutacji na zbiorze działaniem składania permutacji stanowi grupȩ 15 Podzbiory z Policzmy teraz, ile podzbiorów ma skończony zbiór siȩ z trzech elementów: -elementowy Jeżeli zbiór składa to możemy łatwo wypisać wszystkie jego podzbiory: Tych podzbiorów jest osiem Każdy zbiór trzyelementowy posiada osiem podzbiorów, ponieważ nie ma znaczenia, jak nazywaj a siȩ elementy zbioru Zbiór pusty ma tylko jeden podzbiór: zbiór pusty Jeżeli zbiór zawiera jeden element, to ma dwa podzbiory:
8 8 Rozdział 1 Kombinatoryka a jeżeli zbiór zawiera dwa elementy Rozważmy teraz ogólnie podzbiory zbioru, to ma cztery podzbiory: ' Z każdym podzbiorem jest zwi azana jego funkcja charakterystyczna, określona nastȩpuj acym wzorem: Dziedzin a funkcji jest zbiór, a przeciwdziedzin a zbiór Zauważmy, że każdemu podzbiorowi odpowiada jedna funkcja charakterystyczna, i na odwrót, jeżeli weźmiemy dowoln a funkcjȩ: to wyznacza ona zbiór: Przykład 17 Dla funkcja charakterystyczna zbioru ' jest opisana przez ci ag, a ci ag opisuje funkcjȩ charakterystyczn a zbioru: '&( Z powyższych rozważań wynika, że liczba podzbiorów zbioru -elementowego jest równa liczbie funkcji ze zbioru w zbiór Czyli na podstawie twierdzenia?? mamy twierdzenie poniższe Twierdzenie 18 Każdy zbiór -elementowy ma podzbiorów 16 Podzbiory -elementowe Zastanówmy siȩ teraz nad podzbiorami określonej mocy Mówimy, że zbiór jest mocy, jeżeli zawiera elementów Dla zbioru czteroelementowego & mamy jeden podzbiór pusty (zeroelementowy), cztery podzbiory jednoelementowe: sześć podzbiorów dwuelementowych: &( & & '&(
9 16 Podzbiory -elementowe 9 cztery podzbiory trzyelementowe: '( i jeden podzbiór czteroelementowy: '&( ' &( ' '&( ' & Liczbȩ podzbiorów -elementowych zbioru -elementowego oznacza siȩ przez Jest to tak zwany symbol Newtona Inaczej, jest równe liczbie sposobów na jakie można wybrać elementów ze zbioru elementowego Właśnie pokazaliśmy, że: & & & & & & & & Z definicji wynika, że jeżeli, to Zachodz a dwa wzory: (13) (14) Wzór (??) bierze siȩ z prostej obserwacji, że wybranie elementów, które należ a do podzbioru, jest równoważne wybraniu elementów, które do nie należ a Aby uzasadnić równość (??), rozważmy -elementowe podzbiory zbioru Policzmy osobno te podzbiory, które zawieraj a element, i osobno te, które go nie zawieraj a Podzbiorów nie zawieraj acych jest, bo wszystkie elementów trzeba wybrać ze zbioru Podzbiorów zawieraj acych jest, bo elementów trzeba wybrać ze zbioru Razem wszystkich -elementowych podzbiorów zbioru jest Korzystaj ac z równości (??), możemy obliczać symbole Newtona rekurencyjnie Najpierw mamy, ponieważ jest jeden zeroelementowy (pusty) podzbiór zbioru zeroelementowego (pustego) Jeżeli mamy już policzone symbole Newtona dla, to możemy liczyć, ile jest podzbiorów zbioru -elementowego Zaczynamy od oraz, a nastȩpnie korzystamy z równania (??) Metodȩ tȩ ilustruje tak zwany trójk at Pascala:
10 10 Rozdział 1 Kombinatoryka W -tym wierszu (wiersze numerowane s a od ) znajduj a siȩ symbole Newtona: Na skraju znajduj a siȩ jedynki, ponieważ -ty element w -tym wierszu dla jest sum a dwóch elementów stoj acych bezpośrednio nad nim: Jeżeli, to symbol Newtona można też obliczyć ze wzoru: * (15) lub (16) Oto uzasadnienie wzoru (??): Aby wybrać podzbiór -elementowy ze zbioru, wybieramy -elementowy ci ag bez powtórzeń i bierzemy do podzbioru elementy tego ci agu ignoruj ac ich kolejność Ponieważ każdemu -elementowemu podzbiorowi odpowiada ci agów o tych samych elementach, wiȩc podzbiorów jest razy mniej niż -elementowych ci agów bez powtórzeń Wzór (??) wynika teraz z twierdzenia??, a wzór (??) bezpośrednio ze wzoru (??) Wzór (??) pozwala wyprowadzić oszacowania na wartość symbolu Newtona, dla : * * Ponieważ, jak łatwo sprawdzić dla każdego Korzystaj ac z nierówności wyprowadzonej ze wzoru Stirlinga (??), otrzymujemy górne ograniczenie: 17 Dwumian Newtona Symbole Newtona wystȩpuj a w znanym twierdzeniu Newtona Twierdzenie 19 (dwumian Newtona) Dla każdej liczby rzeczywistej oraz liczby całkowitej zachodzi:
11 Pierwszy dowód wielomianu stoj acy przy ' Rozważmy iloczyn: 17 Dwumian Newtona 11 jest wielomianem stopnia Policzmy współczynnik tego razy Przy rozwijaniu tego wyrażenia wybieramy z każdego czynnika lub, potem wymnażamy wybrane elementy i sumujemy tak utworzone iloczyny W iloczynie otrzymamy wtedy, gdy wybierzemy razy oraz wybierzemy razy Można to zrobić na sposobów, tak wiȩc współczynnik przy wynosi Drugi dowód przez indukcjȩ Wzór jest oczywisty dla Załóżmy teraz, że jest prawdziwy dla Mamy: Współczynnik przy ' po prawej stronie wynosi: Pierwszy składnik pochodzi od iloczynu: wzoru (??) wynika, że współczynnik przy wynosi, a drugi od iloczynu: Jeżeli do wzoru Newtona podstawimy, a potem pomnożymy obie strony przez to otrzymamy inn a znan a wersjȩ wzoru Newtona Wniosek 110 Dla dowolnych liczb rzeczywistych i i dowolnej liczby całkowitej : Jeżeli podstawimy do wzoru z twierdzenia??, to otrzymamy: Ze, co potwierdza jeszcze raz, że wszystkich podzbiorów zbioru -elementowego jest Zobaczymy teraz, że wśród wszystkich podzbiorów zbioru jest tyle samo podzbiorów mocy parzystej (o parzystej liczbie elementów) i podzbiorów mocy nieparzystej (o nieparzystej liczbie elementów) Twierdzenie 111 Dla każdego zbioru zawieraj acego elementów, liczba podzbiorów parzystej mocy jest równa liczbie podzbiorów nieparzystej mocy
12 12 Rozdział 1 Kombinatoryka Pierwszy dowód Jeżeli podstawimy do wzoru Newtona, to otrzymamy: Zauważmy, że w sumie po prawej stronie z plusem wystȩpuj a symbole Newtona dla parzystych, a z minusem dla nieparzystych Tak wiȩc z plusem mamy liczbȩ podzbiorów parzystej mocy, a z minusem liczbȩ podzbiorów nieparzystej mocy Z powyższego wzoru wynika, że podzbiorów parzystej mocy jest tyle samo co podzbiorów mocy nieparzystej Drugi dowód Rozważmy funkcjȩ, która każdemu podzbiorowi przyporz adkuje podzbiór czyli różnicȩ symetryczn a zbioru i zbioru jednoelementowego Zauważmy, że funkcja ł aczy podzbiory w pary, ponieważ jeżeli, to Rzeczywiście, jeżeli zawiera, to ) i * Jeżeli natomiast nie zawiera, to ) i również * Pozostaje zauważyć, że z pary zbiorów i jeden jest mocy parzystej i jeden nieparzystej 18 Zasada szufladkowa Dirichleta Zasada szyfladkowa Dirichleta w najprostszej postaci mówi, że jeżeli mamy kul i chcemy je rozmieścić w szufladach, to w przynajmniej jednej szufladzie musi znaleźć się więcej niż jedna kula Zasada ta jest intuicyjnie bardzo prosta, ale jest często używana W nieco ogólniejszej postaci brzmi ona następująco: Twierdzenie 112 (Zasada szufladkowa Dirichleta) Jeżeli zbiór podzielimy na podzbiorów, to przynajmniej jeden z tych podzbiorów ma lub więcej elementów Dowód Nie wprost Przypuśćmy, że każdy z podzbiorów ma mniej niż elementów Wtedy cały zbiór ma mniej niż elementów; sprzeczność 19 Zasada sumy W najprostszej postaci zasada sumy, mówi że moc sumy dwóch zbiorów i jest równa
13 110 Zasada wł aczania i wył aczania 13 Wyobraźmy sobie, że obliczaj ac praw a stronȩ tej równości liczymy po kolei elementy zbioru i dla każdego elementu dodajemy do ogólnej sumy, nastȩpnie liczymy elementy zbiorów i dla każdego dodajemy, a na końcu liczymy elementy przekroju i dla każdego dodajemy Zastanówmy siȩ teraz jaki jest udział poszczególnych elementów w tak powstałej sumie Jeżeli jakiś element wystȩpuje tylko w lub tylko w, to jego udział wynosi 1 Ale także, jeżeli należy do obu zbiorów i to jego udział wynosi Dlatego na końcu wynik bȩdzie równy liczbie elementów, które należ a do jednego lub drugiego zbioru Przykład 113 Policzmy ile spośród liczb od 1 do 30 jest podzielnych przez 2 lub 3 Niech oznacza zbiór liczb z tego przedziału podzielnych przez 2, a zbiór liczb podzielnych przez 3 Liczby podzielne przez 2 lub 3 tworz a zbiór Mamy oraz zawiera liczby podzielne przez 2 i 3, czyli podzielne przez 6 Ze wzoru na sumȩ otrzymujemy: Podobnie możemy uzasadnić wzór na sumȩ trzech zbiorów: Jeżeli zastosujemy podobne liczenie, to udział elementów, które należ a tylko do jednego zbioru, wynosi 1, tych, które należ a do dwóch (ale nie do trzech naraz), wynosi, a tych, które należ a do wszystkich trzech zbiorów, * * Przykład 114 Policzmy ile spośród liczb od 1 do 30 jest podzielnych przez 2, 3, lub 5 Niech oznacza zbiór liczb podzielnych przez 2, zbiór liczb podzielnych przez 3, a podzielnych przez 5 Mamy,,,,,, Ze wzoru na sumȩ otrzymujemy: * Jak widać, tylko osiem liczb mniejszych od 30 nie jest podzielnych przez 2, 3 lub 5; s a to: 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 W nastȩpnym podrozdziale pokażemy jak można obliczyć sumy dowolnej skończonej klasy zbiorów 110 Zasada wł aczania i wył aczania Zacznijmy od przykładu W grupie 100 studentów 45 uprawia koszykówkȩ, 53 pływanie, a 28 jedno i drugie Pytanie: ilu studentów nie uprawia ani koszykówki, ani pływania? Zadanie to można rozwi azać na palcach & studentów uprawia tylko koszykówkȩ, a studentów uprawia tylko pływanie Zatem
14 14 Rozdział 1 Kombinatoryka Rysunek 11: Diagram Venna pływanie koszykówka studentów uprawia jeden z dwóch sportów, a nie uprawia ani koszykówki, ani pływania Na rysunku 11 zilustrowano ten przykład Jest to tak zwany diagram Venna Przypuśćmy teraz, że s a także studenci graj acy w szachy Graj acych w szachy jest 55 Takich, którzy graj a w koszykówkȩ i szachy, jest 32, takich, którzy graj a w szachy i pływaj a, jest 35, a takich, którzy uprawiaj a wszystkie trzy sporty, jest 20 To zadanie też można rozwi azać za pomoc a diagramu Venna (rysunek 12) Na przykład, 8 studentów uprawia koszykówkȩ i pływanie, ale nie gra w szachy, a 22 studentów nie uprawia żadnego sportu Zasada wł aczania i wył aczania pozwala rozwi azywać tego typu zadania bez diagramów Venna Niech bȩdzie naszym uniwersum, jego podzbiorami Dla każdego
15 110 Zasada wł aczania i wył aczania 15 Rysunek 12: Diagram Venna pływanie szachy koszykówka podzbioru zbioru indeksów definiujemy zbiór: przyjmujemy przy tym W naszym przykładzie to zbiór wszystkich studentów, pływanie, a szachy: to uprawiaj acy koszykówkȩ i pływanie, to uprawiaj acy pływanie i szachy, to uprawiaj acy koszykówkȩ i szachy, to uprawiaj acy wszystkie trzy sporty to uprawiaj acy koszykówkȩ,
16 16 Rozdział 1 Kombinatoryka, któ- Twierdzenie 115 (zasada wł aczania i wył aczania) Liczba elementów uniwersum re nie należ a do żadnego podzbioru, wynosi: Sumujemy tutaj po wszystkich podzbiorach zbioru (17) Dowód Podobnie jak w poprzednim podrozdziale, żeby obliczyć sumȩ (??), liczymy elementy poszczególnych zbiorów, i dla każdego elementu dodajemy do sumy (, gdy jest parzyste, lub, gdy jest nieparzyste) Udział pojedynczego elementu w tak utwirzonej sumie wynosi czyli jest równy sumie współczynników których dla tych podzbiorów, dla Jeżeli nie należy do żadnego z podzbiorów, to jest liczony tylko raz, w zbiorze, i jego udział w sumie (??) wynosi 1 Przypuśćmy teraz, że należy do jakiś podzbiorów i niech czyli to indeksy tych podzbiorów, które zawieraj a Zauważmy teraz, że wtedy i tylko wtedy, gdy Rzeczywiście wtedy i tylko wtedy, gdy, dla każdego, czyli gdy Tak wiȩc udział elementu w sumie (??) wynosi: Jest to suma po wszystkich podzbiorach zbioru Uporz adkujmy teraz składniki tej sumy według mocy podzbiorów i niech Mamy podzbiorów mocy, wiȩc: Przedostatnia równość wynika ze wzoru Newtona Tak wiȩc wkłady elementów, które nie należ a do żadnego, wynosz a po 1, a wkłady tych elementów, które należ a do jakiegoś, wynosz a po 0 A zatem suma (??) zlicza elementy nie należ ace do żadnego Stosuj ac zasadȩ wł aczania i wył aczania do przykładu ze studentami możemy teraz policzyć studentów, którzy nie uprawiaj a żadnego sportu: &
17 Aby policzyć moc sumy zbiorów 111 Przestawienia 17 możemy wykorzystać wzór (??), przy założeniu, że Twierdzenie Przestawienia Mamy wtedy Przestawieniem bȩdziemy nazywać permutacjȩ bez punktu stałego, czyli tak a permutacjȩ, w której żaden element nie stoi na swoim miejscu Wykorzystamy teraz zasadȩ wł aczania i wył aczania, do policzenia liczby przestawień w zbiorze -elementowym Twierdzenie 117 Liczba przestawień (permutacji bez punktów stałych) w zbiorze - elementowym wynosi: Dowód Niech bȩdzie zbiorem wszystkich permutacji zbiorze, a zbiorem permutacji, w których jest punktem stałym, to znaczy * Moc zbioru wynosi: ponieważ w zbiorze s a te permutacje, które permutuj a wszystkie elementów oprócz -tego Podobnie moc zbioru wynosi: bo teraz w permutujemy elementów, wszystkie oprócz tych, które należ a do Permutacje bez punktów stałych to te permutacje, które nie należ a do żadnego ze zbiorów Z zasady wł aczania i wył aczania ich liczba wynosi: Pogrupujmy teraz składniki według mocy zbiorów Mamy podzbiorów mocy Dla każdego z nich składnik sumy wynosi, tak wiȩc liczba przestawień wynosi:
18 18 Rozdział 1 Kombinatoryka Twierdzenie wynika teraz z równości: 112 Generowanie obiektów kombinatorycznych W tym rozdziale zajmiemy siȩ algorytmami generującymi (wypisuj acymi) obiekty kombinatoryczne Przedstawione algorytmy bȩd a działaly według nastȩpuj acego schematu: Wypisujemy pierwszy obiekt Powtarzamy, aż do napotkania ostatniego obiektu: Przetwarzamy bież acy obiekt tak, aby otrzymać nastȩpny obiekt Takie algorytmy maj a t a zaletȩ, że nie wymagaj a dużo pamiȩci Należy tylko pamiȩtać jeden obiekt Algorytmy generuj ace obiekty s a używane w przypadku, gdy chcemy sprawdzić wszystkie obiekty danej klasy lub wtedy, gdy chcemy wylosować obiekt danej klasy Przypuśćmy, na przykład, że chcemy wylosować jakiś 3 elementowy podzbiór zbioru W tym celu losujemy liczbȩ naturaln a od 1 do, a nastȩpnie generujujemy podzbiory, aż do elementu 1121 Generowanie podzbiorów Zaczniemy od najprostszego przypadku wypisania wszystkich podzbiorów zbioru Algorytm wypisuj acy wszystkie podzbiory zbioru : Pierwszy podzbiór: by uzyskać nastȩpny po Jeżeli takiego nie ma, to koniec algorytmu, zbiór jest ostatnim podzbiorem podzbiór: Wskazujemy na najwiȩkszy element nie należ acy do, czyli W przeciwnym przypadku dodajemy do i usuwamy z wszystkie elementy wiȩksze od Przykład 118 Dla,, ',, powyższy algorytm wypisze po kolei nastȩpuj ace zbiory:,,, '(
19 & 112 Generowanie obiektów kombinatorycznych 19 Zauważmy, że funkcje charakterystyczne wypisywanych podzbiorów, traktowane jako binarny zapis liczb, tworz a ci ag kolejnych liczb od 0 do Szukaj ac nastȩpnego z kolei elemenetu algorytm postȩpuje podobnie jak algorytm zwiȩkszania o jeden liczby w systemie dwójkowym 1122 Generowanie -elementowych podzbiorów Algorytm generuj acy elementowe podzbiory zbioru : Pierwszy -podzbiór to i jest to ostatni wyge- Przypuśćmy, że ostatnio wygenerowany podzbiór, to Aby wygenerować nastȩpny podzbiór: znajdujemy najmniejsze takie, że ; jeżeli, to znaczy, że ) nerowany podzbiór, gdzie jeżeli, to zwiȩkszamy o jeden, a elementy mniejsze od zamieniamy na najmniejszych liczb, to znaczy dla Dla i algorytm wypisze po kolei nastȩpuj ace podzbiory (podajemy je bez nawiasów i przecinków) & & & & & & & & Zauważmy,że najpierw wypisywane s a 4-podzbiory niezawieraj ace 6: & & & & & '& a później 4-podzbiory zawieraj ace 6 & & & & & '& które otrzymywane s a w ten sposób, że do kolejnych 3-podzbiorów zbioru dopisywana jest 6 Jest to ogólna zasada działania tego algorytmu: aby wypisać -podzbiory zbioru algorytm najpierw wypisuje podzbiory zbioru, a nastȩpnie podzbiory zawieraj ace element (s a one otrzymywane przez dodawanie do podzbiorów zbioru ) W powyższym przykładzie wśrod podzbiorów zawieraj acych 6 najpierw mamy te, które s a utworzone z 3-podzbiorów ' & z dopisan a 6: & & & a po nich nastȩpuj a te, które s a utworzone z 2-podzbiorów ' &(, z dopisan a 5 i 6: & & ' &
20 20 Rozdział 1 Kombinatoryka Dlatego, kiedy w bierz acym zbiorze algorytm znalazł takie, że, to znaczy, że algorytm jest w trakcie wypisywania tych podzbiorów, które zawieraj a (wszystkie wiȩksze od ), plus jakiś -podzbiór zbioru Zbiór jest ostatnim podzbiorem, w którym wystȩpuj a, oraz jakiś -podzbiór zbioru, a nie wystȩpuje Według opisanej wyżej zasady teraz powinny nast apić podzbiory, które zawieraj a plus jakiś -podzbiór zbioru, plus elementy Pierwszy z nich to podzbiór I taki element jest wypisywany po zbiorze 1123 Generowanie permutacji Algorytm generowania permutacji zbioru Pierwsza permutacja to *, dla Aby wypisać nastȩpn a po : permutacjȩ: Znajdujemy najwiȩksze spełniaj ace warunek jeżeli takiego nie ma, to bierz aca permutacja jest ostatnia, jeżeli takie istnieje, to zamieniamy z najmniejszym takim, że oraz, a nastȩpnie odwracamy porz adek elementów Alorytm wypisuje permutacje w porz adku rosn acym, jeżeli potraktujemy permutacje jako liczby zapisane z baz a, a liczby jako cyfry w tym systemie Na przykład przypuśćmy, że bierz ac a permutacj a jest & Algorytm znajduje i Wtedy ta permutacja jest ostatni a (najwiȩksz a) permutacj a spośród permutacji zaczynaj acych siȩ od &, bo od pozycji trzeciej mamy ci ag malej acy i jest to najwiȩkszy ci ag jaki można utworzyć z elementów 1,2,5,6 Teraz powinny nast apić permutacje zaczynaj ace siȩ od & (czwórki na pierwszym miejscu nie zmieniamy, a trójka na drugim miejscu powinna być zamieniona przez nastȩpn a spośrod liczb stoj acych za ni a, czyli przez 5) Pierwsz a tak a permutacj a jest ta, w której pozostałe elementy rosn a, czyli & Przykład 119 Oto 10 pierwszych permutacji czteroelementowych & & & & & & & & & & & & 113 Zadania 1 Ile numerów rejestracyjnych samochodów można utworzyć, jeżeli każdy numer składa siȩ z trzech liter i czterech cyfr? Ile numerów rejestracyjnych można utworzyć, jeżeli bȩdziemy dodatkowo wymagać, aby każdy numer zaczynał siȩ od spółgłoski?
21 113 Zadania 21 2 Ile liczb trzycyfrowych zawiera cyfrę & lub? 3 W grupie jest piȩć dziewcz at i piȩciu chłopców Na ile sposobów można wybrać podgrupȩ składaj ac a siȩ z dwóch dziewcz at i dwóch chłopców? Na ile sposobów można utworzyć w tej grupie piȩć par, z jednym chłopcem i jedn a dziewczyn a w każdej parze? 4 Znana jest zabawka dla dzieci składaj aca siȩ z dwunastu sześciennych klocków z naklejonymi na ściankach fragmentami obrazków Na ile sposobów można ułożyć te klocki w prostok at (trzy rzȩdy po cztery klocki w rzȩdzie)? 5 Ile słów można utworzyć z liter słowa ULICA (litery nie mog a siȩ powtarzać)? 6 Udowodnij wzór: Wskazówka Policz na dwa różne sposoby, ile -elementowych drużyn z kapitanem można utworzyć ze zbioru sportowców 7 Udowodnij wzór: Wskazówka Policz na dwa różne sposoby, ile -elementowych grup można utworzyć w klasie złożonej z chłopców i dziewcz at 8 Udowodnij, że jest najwiȩksze dla i 9 Udowodnij, że: 10 Rozwiń wielomian 11 Udowodnij, że 12 Przedstaw wzór na sumȩ czterech zbiorów,, i 13 Ile elementów zawiera różnica symetryczna? 14 Wyznacz liczbȩ elementów,, oraz, wiedz ac, że oraz 15 Oblicz ile liczb mniejszych od 100 jest podzielnych przez 2, 3 lub 5,,
22 22 Rozdział 1 Kombinatoryka 16 Oblicz ile liczb mniejszych od 100 nie jest podzielnych przez 2, 3, 5 lub 7 Udowodnij, że wszystkie te liczby oprócz 1 s a pierwsze Ile jest liczb pierwszych mniejszych od 100? 17 Wypisz wszystkie podzbiory zbioru ' & 18 Wypisz wszystkie 2 elementowe podzbiory zbioru 19 Wypisz 14 kolejnych permutacji zbioru '& ' '& poczynaj ac od permutacji 20 Napisz programy realizuj ace opisane w tym rozdziale algorytmy generowania obiektów kombinatorycznych 114 Problemy 1141 Rozmieszczanie przedmiotów w pudełkach Przypuśćmy, że mamy sposobów rożłożenia tych kul do nierozróżnialnych kul Udowodnij, że istnieje rozróżnialnych pudełek Wskazówka Każde rozmieszczenia kul w pudełkach może być przedstawione jako ciąg zer i jedynek długosci, w którym występuje dokładnie jedynek Zera symbolizują kule a jedynki przegrody pomiędzy pudełkami Na przykład ciąg przedstawia rozłożenie pięciu kul do czterech pudełek, w których pierwsze pudełko zawiera dwie kule, drugie jest puste, trzecie zawiera jedną kule, a czwarte dwie kule 1142 Wybór przedmiotów rozróżnialnych typów Wyobraźmy sobie, że mamy przedmioty w różnych typach, że liczba przedmiotów każdego typu jest nieograniczona i że przedmioty jednego typu są nierozróżnialne Zastanówmy się na ile sposobów można wybrać przedmiotów spośród tych typów, przy założeniu, że dopuszczalne są powtórzenia typów Pokaż, że można to zrobić na sposobów Na ile sposobów można wybrać 5 monet jeżeli mamy nieograniczone zapsy złotówek, dwuzłotówek i pięciozłotówek? Wskazówka Wybory przedmiotów typów są równoważne rozkładaniu nierozróżnialnych kul do szuflad Włożenie kuli do -tej szuflady oznacza, że jest ona tego typu
23 114 Problemy Kombinacje z powtórzeniami -elementowe kombinacje z powtórzeniami ze zbioru -elementowego s a to -elementowe wybory elementów zbioru -elementowego, w których elementy mog a siȩ powtarzać i w których nie jest istotna kolejność wybieranych elementów Na przykład, mamy cztery trzyelementowe kombinacje z powtórzeniami ze zbioru dwuelementowego ; oto one:,,, Udowodnij, że liczba -elementowych kombinacji z powtórzeniami ze zbioru - elementowego wynosi 1144 Permutacje z powtórzeniami Przypuśćmy, że mamy przedmiotów różnych typów oraz, że przedmiotów typu jest Rozważmy ustawienia wszystkich tych przedmiotów w ciąg Przy tym dwa ustawienia są rozróżnialne tylko, jeżeli na jakiejś pozycji mają przedmioty różnych typów Pokaż, że takich rozróżnialnych ustawień jest Ile słów można utworzyć z liter słowa MATMA (litery M i A mog a wyst apić po dwa razy)? 1145 Podziały uporzadkowane Mamy elementówy zbiór i liczby elementy zbioru można na takie, że sposoby podzielić na podzbiorów, takich, że tym, że kolejność podzbiorów jest istotna Na ile sposobów można rozdać 52 kartry na cztery osoby? 1146 Permutacje bez punktów stałych Pokaż, że Zakładamy przy Udowodnij, że liczba przestawień (permutacji bez punktów stałych) w zbiorze -elementowym jest równa zaokr agleniu liczby do najbliższej liczby naturalnej; jest podstaw a logarytmu naturalnego Wskazówka Skorzystaj z twierdzenia??, z rozwiniȩcia:
24 24 Rozdział 1 Kombinatoryka oraz z oszacowania: * 1147 Liczba surjekcji Udowodnij, że liczba surjekcji (funkcji na cał a przeciwdziedzinȩ) ze zbioru -elementowego na zbiór -elementowy wynosi: Wskazówka Skorzystaj z zasady wł aczania i wył aczania dla zbioru wszystkich funkcji ze zbioru w zbiór Zbiór to funkcje, które nie maj a elementu w obrazie
Ciągi Podzbiory Symbol Newtona Zasada szufladkowa Dirichleta Zasada włączania i wyłączania. Ilość najkrótszych dróg. Kombinatoryka. Magdalena Lemańska
Kombinatoryka Magdalena Lemańska Literatura Matematyka Dyskretna Andrzej Szepietowski http://wazniak.mimuw.edu.pl/ Discrete Mathematics Seymour Lipschutz, Marc Lipson Aspekty kombinatoryki Victor Bryant
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna Oznaczenia
Matematyka dyskretna Oznaczenia Andrzej Szepietowski W tym rozdziale przedstawimy podstawowe oznacznia. oznacza kwantyfikator ogólny dla każdego. oznacza kwantyfikator szczegó lowy istnieje. 1 Sumy i iloczyny
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 10/10 Podziały i liczby Stirlinga Liczba Stirlinga dla cykli (często nazywana liczbą Stirlinga pierwszego rodzaju) to liczba permutacji
Bardziej szczegółowoMoneta 1 Moneta 2 Kostka O, R O,R 1,2,3,4,5, Moneta 1 Moneta 2 Kostka O O ( )
Nowa matura kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Zadania zamknięte (0 1 pkt) 1. Doświadczenie losowe polega na rzucie dwiema symetrycznymi monetami i sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoKOMBINATORYKA. Problem przydziału prac
KOMBINATORYKA Dział matematyki zajmujący się badaniem różnych możliwych zestawień i ugrupowań, jakie można tworzyć z dowolnego zbioru skończonego. Zbiory skończone, najczęściej wraz z pewną relacją obiekty
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś. Wprowadzenie
1 MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś Wprowadzenie Istniej a dwa różne kryteria mówi ace, które narzȩdzia matematyczne należy zaliczyć do matematyki dyskretnej. Pierwsze definiuje matematykȩ
Bardziej szczegółowoKombinatoryka. Jerzy Rutkowski. Teoria. P n = n!. (1) Zadania obowiązkowe
Kombinatoryka Jerzy Rutkowski 2. Elementy kombinatoryki 2.1. Permutacje Definicja 1. Niech n N. Permutacją n-elementowego zbioru A nazywamy dowolną funkcję różnowartościową f : {1,..., n} A. Innymi słowy:
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna dla informatyków
Matematyka dyskretna dla informatyków Część I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szymański Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Poznań 2007 4 Zależności rekurencyjne Wiele zależności
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 6/10 Zasada Dirichleta 1 ZASADA SZUFLADKOWA DIRICHLETA (1ZSD) Jeśli n obiektów jest rozmieszczonych w m szufladach i n > m > 0, to
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Sebastian Rymarczyk srymarczyk@afm.edu.pl Tematyka zajęć 1. Elementy kombinatoryki. 2. Definicje prawdopodobieństwa. 3. Własności prawdopodobieństwa. 4. Zmienne losowe, parametry
Bardziej szczegółowoMatematyka Dyskretna. Andrzej Szepietowski. 25 czerwca 2002 roku
Matematyka Dyskretna Andrzej Szepietowski 25 czerwca 2002 roku Rozdział 1 Rekurencja 11 Wieże Hanoi Rekurencja jest to zdolność podprogramu (procedury lub funkcji) do wywoływania samego siebie Zacznijmy
Bardziej szczegółowoMatematyka Dyskretna Zestaw 2
Materiały dydaktyczne Matematyka Dyskretna (Zestaw ) Matematyka Dyskretna Zestaw 1. Wykazać, że nie istnieje liczba naturalna, która przy dzieleniu przez 18 daje resztę 13, a przy dzieleniu przez 1 daje
Bardziej szczegółowo0.1 Kombinatoryka. n! = (n 1) n. Przyjmujemy umownie że 0! = 1 Wypiszmy silnie kolejnych liczb naturalnych
1 0.1 Kombinatoryka Kombinatoryka obejmuje takie pojȩcia jak silnia liczby naturalnej n, permutacje, wariacje bez powtȯrzeṅ i wariacje z powtȯrzeniami oraz kombinacje. Niżej podajemy opis tych pojȩċ z
Bardziej szczegółowo0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.
5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,
Bardziej szczegółowoZbiory, relacje i funkcje
Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania z teorii liczb
Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2016 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 9A/14 Permutacje Permutacja zbioru skończonego X to bijekcja z X w X. Zbiór permutacji zbioru oznaczamy przez, a permutacje małymi
Bardziej szczegółowoDoświadczenie i zdarzenie losowe
Doświadczenie i zdarzenie losowe Doświadczenie losowe jest to takie doświadczenie, które jest powtarzalne w takich samych warunkach lub zbliżonych, a którego wyniku nie można przewidzieć jednoznacznie.
Bardziej szczegółowoKOMBINATORYKA OBIEKTY KOMBINATORYCZNE MATEMATYKA DYSKRETNA (2014/2015)
MATEMATYKA DYSKRETNA (2014/2015) dr hab. inż. Małgorzata Sterna malgorzata.sterna@cs.put.poznan.pl www.cs.put.poznan.pl/msterna/ KOMBINATORYKA OBIEKTY KOMBINATORYCZNE TEORIA ZLICZANIA Teoria zliczania
Bardziej szczegółowoĆwiczenia z metodyki nauczania rachunku prawdopodobieństwa
Ćwiczenia z metodyki nauczania rachunku prawdopodobieństwa 25 marca 209 Zadanie. W urnie jest b kul białych i c kul czarnych. Losujemy n kul bez zwracania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pierwsza kula
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, B/14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 12B/14 Permutacje bez punktów stałych Nieporządek na zbiorze X to permutacja taka, że dla dowolnego, czyli permutacja "bez punktów
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2012 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 11/14 Współczynniki multimianowe (wielomianowe) Współczynniki dwumianowe pojawiały się przy rozwinięciu dwumianu. Odpowiadały one
Bardziej szczegółowoW. Guzicki Zadanie 41 z Informatora Maturalnego poziom podstawowy 1
W. Guzicki Zadanie 41 z Informatora Maturalnego poziom podstawowy 1 W tym tekście zobaczymy rozwiązanie zadania 41 z Informatora o egzaminie maturalnym z matematyki od roku szkolnego 014/015 oraz rozwiązania
Bardziej szczegółowoGrupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi.
Grupy. Permutacje 1 1 Definicja grupy Niech G będzie zbiorem. Działaniem na zbiorze G nazywamy odwzorowanie (oznaczane, jak mnożenie, przez ) przyporządkowujące każdej parze uporządkowanej (a, b) G G element
Bardziej szczegółowoMatematyka Dyskretna. Andrzej Szepietowski. 25 czerwca 2002 roku
Matematyka Dyskretna Andrzej Szepietowski 25 czerwca 2002 roku Rozdział 1 Rachunek prawdopodobieństwa 11 Zdarzenia Podstawowym pojȩciem rachunku prawdopodobieństwa jest przestrzeń zdarzeń elementarnych,
Bardziej szczegółowoWykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.
Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna 1 Zasada indukcji Rozpatrzmy najpierw następujący przykład. Przykład 1 Oblicz sumę 1 + + 5 +... + (n 1). Dyskusja. Widzimy że dla n = 1 ostatnim składnikiem powyższej sumy jest n
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 7/15 Rachunek różnicowy Dobrym narzędziem do obliczania skończonych sum jest rachunek różnicowy. W rachunku tym odpowiednikiem operatora
Bardziej szczegółowoMatematyka Dyskretna 2/2008 rozwiązania. x 2 = 5x 6 (1) s 1 = Aα 1 + Bβ 1. A + B = c 2 A + 3 B = d
C. Bagiński Materiały dydaktyczne 1 Matematyka Dyskretna /008 rozwiązania 1. W każdym z następujących przypadków podać jawny wzór na s n i udowodnić indukcyjnie jego poprawność: (a) s 0 3, s 1 6, oraz
Bardziej szczegółowoLuty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl
System dziesiętny 7 * 10 4 + 3 * 10 3 + 0 * 10 2 + 5 *10 1 + 1 * 10 0 = 73051 Liczba 10 w tym zapisie nazywa się podstawą systemu liczenia. Jeśli liczba 73051 byłaby zapisana w systemie ósemkowym, co powinniśmy
Bardziej szczegółowoWykłady z Matematyki Dyskretnej
Wykłady z Matematyki Dyskretnej dla kierunku Informatyka dr Instytut Informatyki Politechnika Krakowska Wykłady na bazie materiałów: dra hab. Andrzeja Karafiata dr hab. Joanny Kołodziej, prof. PK Informacje
Bardziej szczegółowoMetody Numeryczne Wykład 4 Wykład 5. Interpolacja wielomianowa
Sformułowanie zadania interpolacji Metody Numeryczne Wykład 4 Wykład 5 Interpolacja wielomianowa Niech D R i niech F bȩdzie pewnym zbiorem funkcji f : D R. Niech x 0, x 1,..., x n bȩdzie ustalonym zbiorem
Bardziej szczegółowo2 Arytmetyka. d r 2 r + d r 1 2 r 1...d d 0 2 0,
2 Arytmetyka Niech b = d r d r 1 d 1 d 0 będzie zapisem liczby w systemie dwójkowym Zamiana zapisu liczby b na system dziesiętny odbywa się poprzez wykonanie dodawania d r 2 r + d r 1 2 r 1 d 1 2 1 + d
Bardziej szczegółowoLOGIKA I TEORIA ZBIORÓW
LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2015 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 10A/15 Permutacje Permutacja zbioru skończonego X to bijekcja z X w X. Zbiór permutacji zbioru oznaczamy przez, a permutacje małymi
Bardziej szczegółowoMatematyczne Podstawy Kognitywistyki
Matematyczne Podstawy Kognitywistyki Dorota Leszczyńska-Jasion Kombinatoryka, ci agi liczbowe, skończone przestrzenie probabilistyczne Przykłady zagadnień kombinatorycznych Rozważmy układ n miast o bardzo
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/10
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 8A/10 Zbiory przeliczalne Przyjmujemy, że Zn = {0, 1, 2, 3, n-1} dla n>0 oraz Zn = przy n=0. Zbiór skończony to zbiór bijektywny z
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2014/15
Ćwiczenia 0.10.014 Powtórka przed sprawdzianem nr 1. Wzory skróconego mnożenia dwumian Newtona procenty. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Ćwiczenia 138.10.014 Sprawdzian nr 1: 1.10.014 godz. 8:15-8:40
Bardziej szczegółowoCIĄGI wiadomości podstawowe
1 CIĄGI wiadomości podstawowe Jak głosi definicja ciąg liczbowy to funkcja, której dziedziną są liczby naturalne dodatnie (w zadaniach oznacza się to najczęściej n 1) a wartościami tej funkcji są wszystkie
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.
Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowoElementy statystyki opisowej, teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka
Wymagania egzaminacyjne: a) oblicza średnią arytmetyczną, średnią ważoną, medianę i odchylenie standardowe danych; interpretuje te parametry dla danych empirycznych, b) zlicza obiekty w prostych sytuacjach
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej
Zasada indukcji matematycznej Twierdzenie 1 (Zasada indukcji matematycznej). Niech ϕ(n) będzie formą zdaniową zmiennej n N 0. Załóżmy, że istnieje n 0 N 0 takie, że 1. ϕ(n 0 ) jest zdaniem prawdziwym,.
Bardziej szczegółowoCałka nieoznaczona, podstawowe wiadomości
Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości Funkcją pierwotną funkcji w przedziale nazywamy funkcję taką, że dla każdego punktu z tego przedziału zachodzi Różnica dwóch funkcji pierwotnych w przedziale danej
Bardziej szczegółowoWYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA
ZBIORY Z POWTÓRZENIAMI W zbiorze z powtórzeniami ten sam element może występować kilkakrotnie. Liczbę wystąpień nazywamy krotnością tego elementu w zbiorze X = { x,..., x n } - zbiór k,..., k n - krotności
Bardziej szczegółowoP r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt.
P r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt. Lekcja 2 Temat: Podstawowe pojęcia związane z prawdopodobieństwem. Str. 10-21 1. Doświadczenie losowe jest to doświadczenie,
Bardziej szczegółowo0.1 Sposȯb rozk ladu liczb na czynniki pierwsze
1 Temat 5: Liczby pierwsze Zacznijmy od definicji liczb pierwszych Definition 0.1 Liczbȩ naturaln a p > 1 nazywamy liczb a pierwsz a, jeżeli ma dok ladnie dwa dzielniki, to jest liczbȩ 1 i sam a siebie
Bardziej szczegółowo= 10 9 = Ile jest wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych podzielnych przez 3? A. 12 B. 24 C. 29 D. 30. Sposób I = 30.
Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Zadania zamknięte (0 1 pkt) 1. Flagę, taką jak pokazano na rysunku, należy zszyć z trzech jednakowej szerokości pasów kolorowej tkaniny. Oba pasy zewnętrzne
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa- wykład 2
Rachunek prawdopodobieństwa- wykład 2 Pojęcie dyskretnej przestrzeni probabilistycznej i określenie prawdopodobieństwa w tej przestrzeni dr Marcin Ziółkowski Instytut Matematyki i Informatyki Uniwersytet
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do kombinatoryki
Wprowadzenie do kombinatoryki http://www.matemaks.pl/kombinatoryka.html Kombinatoryka jest działem matematyki, który pomaga odpowiedzieć na pytania typu: "ile jest możliwych wyników w rzucie monetą?",
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2016 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 6/14 Sumy Oto dwie konwencje zapisu skończonych sum wyrazów: (notacja Sigma, Fourier, 1820) Czasami stosowana jest ogólniejsza notacja,
Bardziej szczegółowo3. Macierze i Układy Równań Liniowych
3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x
Bardziej szczegółowoNiech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach:
Teoria miary WPPT IIr semestr zimowy 2009 Wyk lad 4 Liczby kardynalne, indukcja pozaskończona DOBRY PORZA DEK 14/10/09 Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x
Bardziej szczegółowoUniwersytet Kazimierza Wielkiego w Bydgoszczy Zespół Szkół nr 5 Mistrzostwa Sportowego XV Liceum Ogólnokształcące w Bydgoszczy
Uniwersytet Kazimierza Wielkiego w Bydgoszczy Zespół Szkół nr 5 Mistrzostwa Sportowego XV Liceum Ogólnokształcące w Bydgoszczy Matematyka, królowa nauk Edycja X - etap 2 Bydgoszcz, 16 kwietnia 2011 Fordoński
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Oblicz prawdopodobieństwo, że rzucając dwiema kostkami do gry otrzymamy:
Zadanie 1. Oblicz prawdopodobieństwo, że rzucając dwiema kostkami do gry otrzymamy: a) sumę oczek równą 6, b) iloczyn oczek równy 6, c) sumę oczek mniejszą niż 11, d) iloczyn oczek będący liczbą parzystą,
Bardziej szczegółowoSpotkanie olimpijskie nr lutego 2013 Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa
Spotkanie olimpijskie nr 5 16 lutego 2013 Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Kombinatoryka Jadwiga Słowik Reguła mnożenia Jeśli wybór polega na podjęciu k decyzji, przy czym pierwszą decyzję możemy
Bardziej szczegółowoW. Guzicki Próbna matura, grudzień 2014 r. poziom rozszerzony 1
W. Guzicki Próbna matura, grudzień 20 r. poziom rozszerzony Próbna matura rozszerzona (jesień 20 r.) Zadanie kilka innych rozwiązań Wojciech Guzicki Zadanie. Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe, że w trzykrotnym
Bardziej szczegółowoWykład z równań różnicowych
Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Wykład 2: Kombinatoryka. Gniewomir Sarbicki
Matematya dysretna Wyład 2: Kombinatorya Gniewomir Sarbici Kombinatorya Definicja Kombinatorya zajmuje się oreślaniem mocy zbiorów sończonych, w szczególności mocy zbiorów odwzorowań jednego zbioru w drugi
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2017 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 14/14 TWIERDZENIE HALLA Twierdzenie o kojarzeniu małżeństw rozważa dwie grupy - dziewcząt i chłopców, oraz podgrupy dziewczyn i podgrupy
Bardziej szczegółowoMetoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010
R. Rȩbowski 1 WPROWADZENIE Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010 1 Wprowadzenie Powszechnie uważa siȩ, że metoda simplex, jako uniwersalny algorytm pozwalaj acyznaleźć rozwi azanie optymalne
Bardziej szczegółowoLogarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.
Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 4/14 Indukcja matematyczna Poprawność indukcji matematycznej wynika z dobrego uporządkowania liczb naturalnych, czyli z następującej
Bardziej szczegółowo=, wariacje bez powtorzen. (n k)! = n k, wariacje z powtorzeniami.
1 SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS 02-892 WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16 Silnia, Kombinacje i Wariacje n! = 1 2 3 (n 1) n, silnia Cn k n! = k!(n k)!, kombinacje Vn k n! =, wariacje bez powtorzen. (n k)! = n k, wariacje
Bardziej szczegółowoMatematyka Dyskretna Rozgrzewka I test semestr letni 2012/2013
Matematyka Dyskretna Rozgrzewka I test semestr letni 2012/2013 Zadanie 1. Dla n naturalnego mamy zdanie: Jeżeli n jest liczbą pierwszą, to n jest równa 2 lub jest liczbą nieparzystą. Możemy je zapisać
Bardziej szczegółowoLiczba 2, to jest jedyna najmniejsza liczba parzysta i pierwsza. Oś liczbowa. Liczba 1, to nie jest liczba pierwsza
1 SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS 02-892 WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16 3 Liczba 2, to jest jedyna najmniejsza liczba parzysta i pierwsza 2 1 0 1 2 3 x Oś liczbowa. Liczba 1, to nie jest liczba pierwsza MATEMATYKA
Bardziej szczegółowoKombinatoryka. Reguła dodawania. Reguła dodawania
Kombinatoryka Dział matematyki, który zajmuje się obliczaniem liczebności zbiorów bądź długości ciągów, które łączą w określony sposób elementy należące do skończonego zbioru (teoria zliczania). W jakich
Bardziej szczegółowoWYRAŻENIA ALGEBRAICZNE
WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Wyrażeniem algebraicznym nazywamy wyrażenie zbudowane z liczb, liter, nawiasów oraz znaków działań, na przykład: Symbole literowe występujące w wyrażeniu algebraicznym nazywamy zmiennymi.
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, 2019 Zadania
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl Zadania 101-170 101. Oblicz postać zwartą symbolu { n 4}. 102. Udowodnij, że n k =1 ( 1) k ( n k) =1 103. Ile może być 4-cyfrowych
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl. Przykłady zadań egzaminacyjnych (do liczenia lub dowodzenia)
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl Przykłady zadań egzaminacyjnych (do liczenia lub dowodzenia) 1. Ile układów kart w pokerze to Dwie pary? Dwie pary to układ 5 kart
Bardziej szczegółowoBukiety matematyczne dla gimnazjum
Bukiety matematyczne dla gimnazjum http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ 1 X 2002 Bukiet I Dany jest prostokąt o bokach wymiernych a, b, którego obwód O i pole P są całkowite. 1. Sprawdź, że zachodzi równość
Bardziej szczegółowoJak odróżnić wariację z powtórzeniami od wariacji bez powtórzeń, kombinacji?
Jak odróżnić wariację z powtórzeniami od wariacji bez powtórzeń, kombinacji? Porada niniejsza traktuje o tzw. elementach kombinatoryki. Często zdarza się, że rozwiązujący zadania z tej dziedziny mają problemy
Bardziej szczegółowo4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych.
Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących, 008/09. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. 15 listopada 008 r. Uwaga: Przyjmujemy,
Bardziej szczegółowoZestaw zadań dotyczących liczb całkowitych
V Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych Opracowanie Monika Fabijańczyk ROZDZIAŁ 1 Cechy podzielności Poniższe zadania zostały wybrane z różnych zbiorów zadań, opracowań, konkursów matematycznych.
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 3/10 indukcja matematyczna Poprawność indukcji matematycznej wynika z dobrego uporządkowania liczb naturalnych, czyli z następującej
Bardziej szczegółowoRozdzia l 2. Najważniejsze typy algebr stosowane w logice
Rozdzia l 2. Najważniejsze typy algebr stosowane w logice 1. Algebry Boole a Definicja. Kratȩ dystrybutywn a z zerem i jedynk a, w której dla każdego elementu istnieje jego uzupe lnienie nazywamy algebr
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 7/10 Generowanie podzbiorów Weźmy n-elementowy zbiór X={x 1, x 2 x n }. Każdemu podzbiorowi YX przyporządkujemy ciąg binarny b 0 b
Bardziej szczegółowoCiała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);
Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy
Bardziej szczegółowoAlgebra Boole a i jej zastosowania
lgebra oole a i jej zastosowania Wprowadzenie Niech dany będzie zbiór dwuelementowy, którego elementy oznaczymy symbolami 0 oraz 1, tj. {0, 1}. W zbiorze tym określamy działania sumy :, iloczynu : _ oraz
Bardziej szczegółowoRelacje. opracował Maciej Grzesiak. 17 października 2011
Relacje opracował Maciej Grzesiak 17 października 2011 1 Podstawowe definicje Niech dany będzie zbiór X. X n oznacza n-tą potęgę kartezjańską zbioru X, tzn zbiór X X X = {(x 1, x 2,..., x n ) : x k X dla
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna zestaw II ( )
Matematyka dyskretna zestaw II (17-18.10.2016) Uwaga: Część z zadań z tego zestawu opiera się na zasadzie szufladkowej Dirichleta. Zadanie 1. Na ile sposobów można umieścić w 7 szufladach 3 koszule tak,
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I KOMBINATORYKA
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I KOMBINATORYKA Doświadczenia losowe Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się zdarzeniami jakie zachodzą, gdy przeprowadzamy doświadczenia losowe. Mówimy, że doświadczenie jest
Bardziej szczegółowoKombinowanie o nieskończoności. 3. Jak policzyć nieskończone materiały do ćwiczeń
Kombinowanie o nieskończoności. 3. Jak policzyć nieskończone materiały do ćwiczeń Projekt Matematyka dla ciekawych świata spisał: Michał Korch 22 marzec 2018 Szybkie przypomnienie z wykładu Prezentacja
Bardziej szczegółowoKombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa (rozszerzenie)
Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa (rozszerzenie) (1) Ile liczb czterocyfrowych można utworzyć używając jedynie cyfr 1,2,3,4,5,6,7,8? (2) Ile liczb czterocyfrowych o różnych cyfrach można utworzyć
Bardziej szczegółowoPierwiastki arytmetyczne n a
Chapter 1 Pierwiastki arytmetyczne n a Operacja wyci aganie pierwiastka stopnia n z liczby a jest odwrotn a operacj a do potȩgowania, jeżeli operacja odwrotna jest wykonalna w liczbach rzeczywistych. Zacznijmy
Bardziej szczegółowoWokół Problemu Steinhausa z teorii liczb
Wokół Problemu Steinhausa z teorii liczb Konferencja MathPAD 0 Piotr Jędrzejewicz Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Mikołaja Kopernika w Toruniu Celem referatu jest przedstawienie sposobu wykorzystania
Bardziej szczegółowoPodstawy nauk przyrodniczych Matematyka
Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka Elementy rachunku prawdopodobieństwa dr inż. Małgorzata Szeląg Zakład Genetyki Molekularnej Człowieka tel. 61 829 59 04 malgorzata.szelag@amu.edu.pl Pokój 1.118
Bardziej szczegółowo51. Wykorzystywanie sumy, iloczynu i różnicy zdarzeń do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń.
Matematyka lekcja 5 5. Wykorzystywanie sumy, iloczynu i różnicy zdarzeń do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń. I. rzypomnij sobie:. Jak rysujemy drzewo stochastyczne i przy jego pomocy obliczamy prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowo1 Działania na zbiorach
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej
Bardziej szczegółowoRozwiązaniem jest zbiór (, ] (5, )
FUNKCJE WYMIERNE Definicja Miech L() i M() będą niezerowymi wielomianami i niech D { R : M( ) 0 } Funkcję (*) D F : D R określoną wzorem F( ) L( ) M( ) nazywamy funkcją wymierną Funkcja wymierna, to iloraz
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2015 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 3/15 Indukcja matematyczna Poprawność indukcji matematycznej wynika z dobrego uporządkowania liczb naturalnych, czyli z następującej
Bardziej szczegółowo1.1 Wprowadzenie teoretyczne i przyk lady
Rozdzia l 1 Zbiory i rodziny zbiorów 1.1 Wprowadzenie teoretyczne i przyk lady Zbiory definiujemy poprzez określenie ich elementów. Dwa zbiory, które maj a te same elementy, uważamy za identyczne. A =
Bardziej szczegółowoMatematyka podstawowa X. Rachunek prawdopodobieństwa
Matematyka podstawowa X Rachunek prawdopodobieństwa Zadania wprowadzające: 1. Rzucasz trzy razy monetą a) Napisz zbiór wszystkich wyników tego doświadczenia losowego. Ile ich jest? Wyrzuciłeś większą liczbę
Bardziej szczegółowoPropozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON.
Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Zadanie 6. Dane są punkty A=(5; 2); B=(1; -3); C=(-2; -8). Oblicz odległość punktu A od prostej l przechodzącej
Bardziej szczegółowoZajęcia nr. 3 notatki
Zajęcia nr. 3 notatki 22 kwietnia 2005 1 Funkcje liczbowe wprowadzenie Istnieje nieskończenie wiele funkcji w matematyce. W dodaktu nie wszystkie są liczbowe. Rozpatruje się funkcje które pobierają argumenty
Bardziej szczegółowoSystem liczbowy binarny.
1 System liczbowy binarny. 0.1 Wstȩp Ogȯlna forma systemów pozycyjnych liczbowych ma postać wielomianu α n 1 ρ n 1 + α n 2 ρ n 2 + + α 2 ρ 2 + α 1 ρ + α 0, (1) gdzie liczbȩ naturaln a ρ 2 nazywamy podstaw
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 6/15 Sumy Oto dwie konwencje zapisu skończonych sum wyrazów: (notacja Sigma, Fourier, 1820) Czasami stosowana jest ogólniejsza notacja,
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2014 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 3/15 Indukcja matematyczna Poprawność indukcji matematycznej wynika z dobrego uporządkowania liczb naturalnych, czyli z następującej
Bardziej szczegółowoMaria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI
Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Matematyka dla liceum ogólnokształcącego i technikum w zakresie podstawowym i rozszerzonym Z E S Z Y T M E T O D Y C Z N Y Miejski
Bardziej szczegółowo