Modelowanie i Analiza Danych Przestrzennych

Transkrypt

1 Modelowae Aalza Dayh Przestrzeyh Wykład Adrze Leśak atedra Geoformatyk Iformatyk Stosowae Akadema Górzo-Hutza w rakowe Proesy welowymarowe ałóżmy że w tyh samyh uktah rzestrzeyh x x.x omerzoo klka ( różyh ól. N. koetrae różyh metal w osadah ezoryh. = ( ( x ( x ( x Jeśl każde z ól ma wartoś to możemy zestawć e w osta maerzy ( x ( x ( x ( x ( ( x x M M M M ( x ( x ( x = olumy to wyk omarów edego ola w różyh uktah wersze to omary różyh ól w tym samym uke. N. dla omarów koetra ztereh metal mamy: = Możemy olzyć maerz kowara e uwzględaą rzestrzeego rozmeszzea omarów. Wdać że korelae są stosukowo wysoke. ( ( x ( x ( x ( x d u Pb

2 Jeśl uwzględmy wsółrzęde uktów w któryh rowadzoe były omary może okazać sę że skorelowae są e tylko wartoś stężeń metal ale róweż wartoś te mogą być skorelowae rzestrzee. ałóżmy że fuke (x = są fukam losowym wewętrze staoarym zyl : ( ( x + h ( x = = E( ( x + h ( x = ( h E Aby zbadać zależość rzestrzea mędzy zmeym zregoalzowaym (x (x oblzamy tak zway kross-warogram (semwarogram wzaemy : [ ( ] = ( h = E ( ( x + h ( x ( x + h ( x ( ( Jest to fuka symetryza: h = h Możemy róweż zdefować tak zwaą fukę kodysers: ( h ν = ( h ( h ( h Jest to wsółzyk korela omędzy rzestrzeym różam zmeyh (x (x. Jeśl fuke (x (xsą fukam staoarym drugego rzędu to stee fuka kowara (rzestrzea. µ ( h = E[ ( ( x ( ( x + h µ ] = E[ ( x ] µ =

3 Wraz z ą defuemy fukę kross-kowara: µ [ ( µ ] ( h = E ( ( x ( x + h = E[ ( x ] kross-korelaę rzestrzeą: µ = ( h = ( h ( ( def zahodz zwązek: h h zyl Wosek: Fuka kowara est asymetryza. ( = ( ( h ( h ( h ( h Dla roesów wewętrze staoaryh drugego rzędu zwąze obu fuk est astęuąy: ( h = ( ( ( h + ( h Jak merzyć relae rzestrzee różyh zmeyh losowyh gdy e są oe merzoe w tyh samyh uktah? orzystamy w tym wyadku z seudo-kross-warogramu. ( ( h = E ( x ( x h µ = gdyż w rzewym raze ( h + Defa ta ma ses tylko wówzas gdy µ e est waraą róż. Ią roozyą te same def est: ( P ( h = var ( x ( x + h P P Jeśl µ = to ( h = ( h. W rzewym raze ( h = ( h + ( µ µ. µ Jakh wzorów używamy do modelowań? akładaą ze mamy wystarzaąą lzbę uktów by rzerowadzć estymaę moża użyć wzoru: ˆ ( h ( m( h = m h k = ( z ( x + h z ( x ( z ( x + h z ( x k Estymator azywa sę emryzym kross-warogramem. Jako model teoretyzy używamy fuk warogramów teoretyzyh używayh w edowymarowe aalze geostatystyze. Należy edak wyberać take wśród model by w wyku estyma e dawały wartoś meszyh bądź rówyh zeru. k k k

4 Przykład. Dae dla Pb. Warogramy yku ołowu oraz h kross-warogram orgg (kokrggu zyl kryggu w oaru o omerzoe wartoś welu roesów losowyh. ałóżmy że mamy do dysozy roes welowymarowy = x x elem o-kryggu est wykoae terola w uke x wybraego ola t. wyzazee wartoś (x bazuą a wartośah roesu welowymarowego: gdze wartoś wektorów omarowym. z( x z ( z( x z( x z( z = x ( T ( x = z ( x z ( x z ( x Postać estymatora w uke x est astęuąa: ˆ ( ( ( ( x są wartośam oszzególyh ól w uke l ( x = λ z ( x k = l= Poeważ w wewętrze sume deks lzmea sę do l stąd e wszystke ola mogą być merzoe w każdym uke t. ektóre mogą być róbkowae gęśe e rzadze. Wag λ by estymator był eobążoy muszą sełać astęuąy waruek: kl l dla k = λkl = l= dla k kl l k

5 Γ = Będzemy oszukwać wsółzyków λ kl orzez mmalzaę wara rzy założeu dodatkowyh waruków (odobe ak orzedo metoda możków Lagrage a. Ozywśe estymaa może być wykoywaa dla uktu x lub bloku B. N. dla kryggu blokowego otrzymuemy astęuąy układ rówań (ostać maerzowa: Γ Γ Γ Γ M M M M = Γλ gdze: ( x x ( x x ( x x ( x x ( x x ( x x Γ = M M Maerz kross-semwara omędzy zmeym = = = λ = ( ( x x ( x x ( x x ( ( x x ( x x ( x x ( x x ( x x ( x x ( ( λ λ λ λ λ λ m m T T M T T Jeśl stee maerz odwrota do maerzy Γto formale rozwązae układu rówań ma ostać: λ = Γ Waraa estymaty wyos w tym wyadku: σ U = T λ Bardzo odobe wyk otrzymuemy dla okryggu blokowego. Jedyą różą est w tym wyadku oerowae e a kross-semwaraah lez a średh kross-semwaraah ˆ ( B. x orzyś ze stosowaa okrggu:. Jeśl zmea terolowaa est rzadko róbkowaa to gdy e wartoś są skorelowae z ą zmeą wykorzystae okrggumoże sowodować zazy sadek błędu terola.. Jeśl wszystke zmee są róbkowae we wszystkh uktah. W tym wyadku okrggozwala a wykorzystae kohere wartoś różyh ól losowyh. Mówmy że krgguest koherety eśl wartość wyestymowaadla sumy zmeyh est rówa sume wartoś wyestymowayhdla każde ze zmeyh z osoba (ezależe. okrgggwaratue kohereę. Przykład omaru gruboś warstwy gleby leżąe a warstwe asków.

6 Fuke semwara krossemwara (ekserymetal e teoretyze dla ztereh metal z erwszego rzykładu.

7

8 rgg wskaźkowy (dykatorowy Dla ola (x dokoao omarów w uktah x otrzymuą wartoś z(x. meą wskaźkową (dykatorową defuemy ako dla z( x z ω = dla yh Obszar zostae odzeloy a dwa odobszary ede z wartośam oże ozomu z drug z wartośam owyże ozomu z. Przykład oddzał obszaru zaezyszzoego określoym metalem a dwe zęś słabo sle zaezyszzoą. Tak ak z(x są realzaą roesu losowego (x tak fuka dykatorowa est realzaą ewego roesu Ω(x. Pole to moża sharakteryzować rozkładem rawdoodobeństwa: P ( ( z = P( ( x z = E Ω ( x Warogram zmee dykatorowe ma ostać aalogzą do zmeyh losowyh ągłyh: ( h = ( Ω ( x h ( x Ω E + Ω

9 Estymator ma ostać: ˆ ω ( h = m h ( m h ( ( ( ( ω xk + h ω x k k = Semwarogram emryzy dla ako rzykład. Podobe moża zdefować estymator kross-semwarogramu oraz fuke kowara kross-kowara: Ω ( h = E Ω ( x h ( x x h + Ω s Ω + Ω s h = ov Ω x + h Ω x ( ( ( ( x s ( ( Ω x + h Ω x ( ( ( ( h = ov ( ( Ω Ω s s Maą wylzoy dykatorowy warogram emryzy moża doasować do ego warogram teoretyzy użyć go do kryggu dykatorowego. Estymator ma ostać: Ωˆ ( x = λω ( x gdze wag λ są ak zwykle doberae orzez mmalzaę wara. Wyestymowaa wartość Ωˆ ( x zwykle leży w rzedzale [] może być terretowaa ako rawdoodobeństwo zdarzea że (x leży oże ozomu. = Przykład. watyle koetra dla złoża yku Będzemy lzyć krgg dykatorowy dla oszzególyh ozomów wyzazoyh rzez wartoś kwatyl.

10 Wyk kryggu dykatorowego dla którego ozomy to oszzególe kwatyle koetra rudy w złożah yku. Semwarogramy krosssemwarogramy dla wartoś ograzoyh rzez oszzególe kwatyle wraz z doasowaym modelam teoretyzym