Modelowanie i Analiza Danych Przestrzennych

Transkrypt

1 odelowae Aalza Dayh Przestrzeyh Wyład 7 Adrze Leśa atedra Geoormaty Iormaty Stosowae Aadema Górzo-Hutza w raowe red występuąy w dayh : may głębooś da edaleo brzegu morza may temperatury w góre zęś sorupy em rygg uversaly pozwala a przeprowadzee terpola w obeoś tredu w dayh awet gdy e zamy dołade posta tredu. Poeważ model est w tym wypadu dość somploway rośe róweż epewość.

2 rygg uwersaly est stosoway w wypadu stea drytu. Przymuemy że dae maą postać: µ ( ( ( µ ( + ε ( gdze to sładowa opsuąa dryt (determstyzy tred dayh zaś ε to sładowa stohastyza (proes rezydualy. Poprzede dwa typy ryggu zwyzay prosty załadały że µ est ezależe od położea. usmy odseparować te dwa sład od sebe elem oblzea wartoś terpolowayh. aładamy że ( µ ( β ( gdze są zaym uam zależym od współrzędyh zaś współzyam wagowym. Wówzas: ( β ( + ε ( Często tred est po prostu lowy: ( β + β + β + ε ( β W tym wypadu wartość pola w pue estymuemy ao: ˆ ( λ ( Wartość ozewaa wyos: E N N ( ˆ ( λ E( ( λ β ( λ Estymator est eobążoy eśl est spełoy warue: N ( ( dla λ Będzemy poszuwać współzyów λ oraz β poprzez mmalzaę wara przy założeu dodatowyh waruów ( podobe a poprzedo metoda możów Lagrage a. Uład rówań ormalyh ae otrzymuemy podobe a w wypadu ryggu zwyzaego prowadz do astępuąego uładu rówań: ( λ ( + m + m ( N N λ λ ( ( N N gdze: m są możam Lagrage a ( to semwaraa proesu rezydualego pomędzy a ( to semwaraa proesu rezydualego pomędzy a

3 ( ( ( ( ( ( ( ( N m m m λ λ λ λ λ Γ ( ( ( ( ( ( ( ( ( Γ ( ( ( ( ( ( ( ( ( F Γ Γ F F ( ( ( ( ( ( ( ( ( F Jest to podstawowy uład rówań ryggu uwersalego. Powyższy uład rówań może być zapsay w orme maerzowe. aowe: Rozwązae podstawowego uładu rówań moża w orme maerzowe zapsać ao: λ Γ W rezultae (po rozwązau uładu rówań otrzymuemy wartoś współzyów λ tóre wstawoe do wzoru: ( ( ˆ λ pozwalaą a oblzee wartoś estymowaego pola w pue. Waraę (a tym samym błąd wyzazea wartoś estymowaego pola w pue moża oblzyć ao: ( ( + + N U m m λ λ σ

4 Warto zazazyć że podobe a ryggu zwyzay prosty ta róweż ryggu uwersaly może a awet (ze względu a złożoość oblzeową powe wyorzystywać meszy zestaw dayh ż peły zestaw o lzeboś N. Główą przyzyą est eraowae wpływu dalszyh putów przez puty leżąe blże putu oraz establość umeryza zwęszaąa sę wraz ze wzrostem loś putów używayh do oblzeń. Dwa -trzeh putów w otae (regoe π/4 est w peł wystarzaąe dla sytua gdy dae e są (! azotropowe. Wprowadzaą model estaoarego tredu mamy możlwość zastosowaa metod geostatysty do bardze zróżowayh dayh pomarowyh ż tylo dae staoare. Nestety w zapropoowae metodze e ma możlwoś oblzea współzyów β występuąyh we wzorze µ ( β ( Ne mamy róweż możlwoś estymowaa w sposób bezpośred semwarogramu ( gdyż wymagałoby to wydzelea tredu by meć dostęp do proesu rezydualego ε(. Jest to oeze by w sposób bezpośred oblzyć semwarogram. Bez rozwązae tego zagadea ała proedura ryggu uwersalego est bezużyteza. oża zapropoować astępuąy sposób postępowaa:

5 . Oblzamy współzy β (perwsza teraa stosuą metodę ameszyh wadratów dla założoego typu u wg wzoru: ˆ β. Oblzamy proes rezydualy : ( F F F ( ( ( ( ε β F ˆ ( F F F F 3. Na podstawe tego proesu oblzamy perwszą estymatę semwarogramu empryzego emp do tórego doberamy alepe pasuąy semwarogram teoretyzy teor. 4. Po raz oley oblzamy estymatę współzyów β (druga teraa tym razem orzystaą z orma o semwara proesu (lub zwązaą z tym proesem maerzą owara Σ: ˆ β ( F Σ F Σ σ I Γ 5. a estymata może zostać użyta do poowego wydzelea proesu rezydualego oraz olee estyma semwarogramu (pt.3 Proedurę tera ońzymy w momee osągęa zbeżoś proedury tz gdy astąp zauważaly bra zma pomędzy oleym teraam. F Σ N usy te proedury: Warogram wyestymoway w oparu o ta oblzoy proes rezydualy est z reguły obążoy Wyestymoway proes rezydualy εˆ wyazue węe ueme orela ż rzezywsty proes ε. Wyestymowaa waraa ryggu est zdeydowae zażoa alety proedury: Obązee proedury warogramu est bardzo małe dla zerowyh małyh odległoś (lags. Pozwala to zaedbywać lub obżać wag dla dużyh odległoś Poeważ wag ryggu szybo maleą wraz z odległośą możemy używać małe loś putów w proedurze do estyma wartoś w poblżu putu doelowego zyl e popełamy dużego błędu.

6 Przyład - (poazuąy a trohę uprość somplowaą proedurę ryggu uwersalego Będzemy aalzować zmay wysooś zweradła wody a podstawe pomarów pozomu wody w pezometrah. Po aalze dayh zauważoo wyraźy tred rosąy ze wshodu a zahód obszaru. Postaowoo przeaalzować semwarogramy eruowe w ztereh eruah (o 45. Ja wdać obo trzy z h wyraźe wsazuą a stee tredu. ylo ede ostat - est typowy dla proesu staoarego. Dopasowuemy do ego Gaussows semwarogram teoretyzy: ( 3( h a ( h C e aładamy że tred est lowy zyl pozom wody ma w rzezywstoś postać: ( β + β + β + ε (

7 Estymuemy ao przyład wartość pozomu wody w pue (693 a podstawe wartoś w sześu pezometrah. Odległoś: put pomarowy put pomarowy put terpoloway - put pomarowy W przeweństwe do proedury opsae poprzedo (teraye wyorzystywao tylo ede semwarogram przymuą że est to prawdłowa ego postać. Oblzea dały wy przedstawoe powyże. Obo wy a mape u góry wartoś wyestymowae poże wartoś wara.

8 Proedurę przeprowadzoo dla ałego obszaru dla regulare sat putów. Poże wy po terpola. Ie rodzae ryggu rygg bloowy pozwala a estymaę wartoś e w edym pue ale w pewym prostoąe (blou rygg logarytmzo-ormaly stosoway dla sle sośyh (dodato hstogramów dayh ryggu dyatorowym pomary sprowadzoe są do wartoś zyl spełaąe e spełaąe waruu rygg stratyoway polega a podzale aalzowaego obszaru a mesze o zasadzo odmeym rozładze parametru przeprowadzae a h osobyh estyma empryzy rygg Bayesa (wprowadzoy przez rmę ESRI w paee ArGIS dzel dae a podzbory tóre zęśowo mogą sę porywać oblza semwarogramy. Następe a h podstawe symulue owe dae tóre spełaą wymog ryggu (rozład ormaly bra tredów rozład staoary proes est welorote powtarzay uzysay zostae optymaly semwarogram do modelowaa rozładu wartoś.

9 Proesy welowymarowe ałóżmy że w tyh samyh putah przestrzeyh. pomerzoo la (p różyh pól. Np. oetrae różyh metal w osadah ezoryh. ( ( ( ( Jeśl ażde z pól ma wartoś to możemy zestawć e w posta maerzy ( ( p ( ( ( ( p ( ( ( p olumy to wy pomarów edego pola w różyh putah wersze to pomary różyh pól w tym samym pue. Np. dla pomarów oetra ztereh metal mamy: ożemy polzyć maerz owara e uwzględaą przestrzeego rozmeszzea pomarów. Wdać że orelae są stosuowo wysoe. ( ( ( ( ( Cd Cu Pb p Jeśl uwzględmy współrzęde putów w tóryh prowadzoe były pomary może oazać sę że sorelowae są e tylo wartoś stężeń metal ale róweż wartoś te mogą być sorelowae przestrzee.

10 ałóżmy że ue ( p są uam losowym wewętrze staoarym zyl : ( ( + h ( E( ( + h ( ( h E p Aby zbadać zależość przestrzea mędzy zmeym zregoalzowaym ( ( oblzamy ta zway ross-warogram (semwarogram wzaemy : [ ( ] p ( h E ( ( + h ( ( + h ( ( ( Jest to ua symetryza: h h ożemy róweż zdeować ta zwaą uę odyspers: ( h ν ( h ( h ( h Jest to współzy orela pomędzy przestrzeym różam zmeyh ( (. Jeśl ue ( ( są uam staoarym drugego rzędu to stee ua owara (przestrzea. C µ ( h E[ ( ( ( ( + h µ ] E[ ( ] µ p Wraz z ą deuemy uę ross-owara: C µ [ ( µ ] ( h E ( ( ( + h E[ ( ] ross-orelaę przestrzeą: µ p ( h C ( h ( C ( C de zahodz zwąze: C h C h zyl Wose: Fua owara est asymetryza. ( ( C ( h C ( h C ( h C ( h Dla proesów wewętrze staoaryh drugego rzędu zwąze obu u est astępuąy: ( h C ( ( C ( h + C ( h

11 Ja merzyć relae przestrzee różyh zmeyh losowyh gdy e są oe merzoe w tyh samyh putah? orzystamy w tym wypadu z pseudo-ross-warogramu. ( ( h E ( ( h C µ gdyż w przewym raze ( h C + Dea ta ma ses tylo wówzas gdy µ e est waraą róż. Ią propozyą te same de est: ( P ( h var ( ( + h C P C P Jeśl µ to ( h ( h. W przewym raze ( h ( h + ( µ µ. µ Jah wzorów używamy do modelowań? aładaą ze mamy wystarzaąą lzbę putów by przeprowadzć estymaę moża użyć wzoru: ˆ ( h ( m( h m h ( z ( + h z ( ( z ( + h z ( Estymator azywa sę empryzym ross-warogramem. Jao model teoretyzy używamy u warogramów teoretyzyh używayh w edowymarowe aalze geostatystyze. Należy eda wyberać tae wśród model by w wyu estyma e dawały wartoś meszyh bądź rówyh zeru. Przyład. Dae dla Pb. Warogramy yu ołowu oraz h ross-warogram

12 Corgg (orggu zyl ryggu w oparu o pomerzoe wartoś welu proesów losowyh. ałóżmy że mamy do dyspozy proes welowymarowy p Celem o-ryggu est wyoae terpola w pue wybraego pola t. wyzazee wartoś ( bazuą a wartośah proesu welowymarowego: gdze wartoś wetorów pomarowym. z( z ( z( z( z( z ( ( z ( z ( z ( Postać estymatora w pue est astępuąa: ˆ p ( ( ( ( są wartośam poszzególyh pól w pue l ( λ z ( l Poeważ w wewętrze sume des l zmea sę do l stąd e wszyste pola mogą być merzoe w ażdym pue t. etóre mogą być próbowae gęśe e rzadze. Wag λ by estymator był eobążoy muszą spełać astępuąy warue: l l dla λl l dla l l Γ Będzemy poszuwać współzyów λ l poprzez mmalzaę wara przy założeu dodatowyh waruów ( podobe a poprzedo metoda możów Lagrage a. Ozywśe estymaa może być wyoywaa dla putu lub blou B. Np. dla ryggu bloowego otrzymuemy astępuąy uład rówań (postać maerzowa: Γ Γ Γ Γ Γλ gdze: ( ( ( ( ( ( Γ aerz ross-semwara pomędzy zmeym λ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( λ λ λ λ λ λ m m

13 Jeśl stee maerz odwrota do maerzy Γ to ormale rozwązae uładu rówań ma postać: λ Γ Waraa estymaty wyos w tym wypadu: σ U λ Bardzo podobe wy otrzymuemy dla oryggu bloowego. Jedyą różą est w tym wypadu operowae e a ross-semwaraah lez a średh ross-semwaraah ˆ ( B. orzyś ze stosowaa orggu:. Jeśl zmea terpolowaa est rzado próbowaa to gdy e wartoś są sorelowae z ą zmeą wyorzystae orggu może spowodować zazy spade błędu terpola.. Jeśl wszyste zmee są próbowae we wszysth putah. W tym wypadu orgg pozwala a wyorzystae ohere wartoś różyh pól losowyh. ówmy że rggu est oherety eśl wartość wyestymowaa dla sumy zmeyh est rówa sume wartoś wyestymowayh dla ażde ze zmeyh z osoba (ezależe. Corgg gwaratue ohereę. Przyład pomaru gruboś warstwy gleby leżąe a warstwe pasów. Fue semwara rossemwara (esperymetal e teoretyze dla ztereh metal z perwszego przyładu.

14

15

16 rgg wsaźowy (dyatorowy Dla pola ( dooao pomarów w putah otrzymuą wartoś z(. meą wsaźową (dyatorową deuemy ao dla z( z ω dla yh Obszar zostae podzeloy a dwa podobszary ede z wartośam poże pozomu z drug z wartośam powyże pozomu z. Przyład poddzał obszaru zaezyszzoego oreśloym metalem a dwe zęś słabo sle zaezyszzoą. a a z( są realzaą proesu losowego ( ta ua dyatorowa est realzaą pewego proesu Ω(. Pole to moża sharateryzować rozładem prawdopodobeństwa: P ( ( z P( ( z E Ω ( Warogram zmee dyatorowe ma postać aalogzą do zmeyh losowyh ągłyh: ( h ( Ω ( h ( Ω E + Ω Estymator ma postać: ˆ ω ( h m h ( m h ( ( ( ( ω + h ω Semwarogram empryzy dla ao przyład. Podobe moża zdeować estymator ross-semwarogramu oraz ue owara ross-owara: Ω ( h E Ω ( h ( h + Ω s Ω + Ω s C h ov Ω + h Ω C ( ( ( ( s ( ( Ω + h Ω ( ( ( ( h ov ( ( Ω Ω s s

17 aą wylzoy dyatorowy warogram empryzy moża dopasować do ego warogram teoretyzy użyć go do ryggu dyatorowego. Estymator ma postać: Ωˆ ( λω ( gdze wag λ są a zwyle doberae poprzez mmalzaę wara. Wyestymowaa wartość Ωˆ ( zwyle leży w przedzale [] może być terpretowaa ao prawdopodobeństwo zdarzea że ( leży poże pozomu. Przyład. watyle oetra dla złoża yu Będzemy lzyć rgg dyatorowy dla poszzególyh pozomów wyzazoyh przez wartoś watyl. Semwarogramy rosssemwarogramy dla wartoś ograzoyh przez poszzególe watyle wraz z dopasowaym modelam teoretyzym

18 Wy ryggu dyatorowego dla tórego pozomy to poszzególe watyle oetra rudy w złożah yu.