Modelowanie i Analiza Danych Przestrzennych

Transkrypt

1 odelowae Aalza Daych Przestrzeych Wykład Adrzej Leśak atedra Geoormatyk Iormatyk Stosowaej Akadema Górczo-Hutcza w rakowe red występujący w daych : may głębokośc da edaleko brzegu morza may temperatury w górej częśc skorupy em rygg uversaly pozwala a przeprowadzee terpolacj w obecośc tredu w daych awet gdy e zamy dokładej postac tredu. Poeważ model jest w tym wypadku dość skomplkoway rośe róweż epewość.

2 rygg uwersaly jest stosoway w wypadku stea drytu. Przyjmujemy że dae mają postać: µ ( ( ( µ ( + ε ( gdze to składowa opsująca dryt (determstyczy tred daych zaś ε to składowa stochastycza (proces rezydualy. Poprzede dwa typy kryggu zwyczajy prosty zakładały że µ jest ezależe od położea. usmy odseparować te dwa składk od sebe celem oblczea wartośc terpolowaych. akładamy że ( µ ( β ( gdze są zaym ukcjam zależym od współrzędych zaś współczykam wagowym. Wówczas: ( β ( + ε ( Często tred jest po prostu lowy: ( β + β + β + ε ( β W tym wypadku wartość pola w pukce estymujemy jako: ˆ ( ( Wartość oczekwaa wyos: E ( ˆ ( E( ( β ( k Estymator jest eobcążoy jeśl jest spełoy waruek: ( ( dla k k k Będzemy poszukwać współczyków oraz β poprzez mmalzację waracj przy założeu dodatkowych waruków ( podobe jak poprzedo metoda możków Lagrage a. Układ rówań ormalych jake otrzymujemy podobe jak w wypadku kryggu zwyczajego prowadz do astępującego układu rówań: ( j ( j + m + mk k ( j j k ( ( k j k k k k gdze: m są możkam Lagrage a ( to semwaracja procesu rezydualego pomędzy a ( j to semwaracja procesu rezydualego pomędzy a j

3 ( ( m m m Γ Γ F Γ Γ F F F Jest to podstawowy układ rówań kryggu uwersalego. Powyższy układ rówań może być zapsay w orme macerzowej. aowce: Rozwązae podstawowego układu rówań moża w orme macerzowej zapsać jako: Γ W rezultace (po rozwązau układu rówań otrzymujemy wartośc współczyków które wstawoe do wzoru: ( ( ˆ pozwalają a oblczee wartośc estymowaego pola w pukce. Warację (a tym samym błąd wyzaczea wartośc estymowaego pola w pukce moża oblczyć jako: ( ( + + U m m σ

4 Warto zazaczyć że podobe jak kryggu zwyczajy prosty tak róweż kryggu uwersaly może a awet (ze względu a złożoość oblczeową powe wykorzystywać mejszy zestaw daych ż peły zestaw o lczebośc. Główą przyczyą jest ekraowae wpływu dalszych puktów przez pukty leżące blżej puktu oraz establość umerycza zwększająca sę wraz ze wzrostem lośc puktów używaych do oblczeń. Dwa -trzech puktów w oktace (regoe π/4 jest w peł wystarczające dla sytuacj gdy dae e są (! azotropowe. Wprowadzając model estacjoarego tredu mamy możlwość zastosowaa metod geostatystyk do bardzej zróżcowaych daych pomarowych ż tylko dae stacjoare. estety w zapropoowaej metodze e ma możlwośc oblczea współczyków β występujących we wzorze µ ( β ( e mamy róweż możlwośc estymowaa w sposób bezpośred semwarogramu ( gdyż wymagałoby to wydzelea tredu by meć dostęp do procesu rezydualego ε(. Jest to koecze by w sposób bezpośred oblczyć semwarogram. Bez rozwązae tego zagadea cała procedura kryggu uwersalego jest bezużytecza. oża zapropoować astępujący sposób postępowaa:

5 . Oblczamy współczyk β (perwsza teracja stosując metodę ajmejszych kwadratów dla założoego typu ukcj wg wzoru: ˆ β. Oblczamy proces rezydualy : ( F F F ( ( ( ( ε β F ˆ ( F F F F 3. a podstawe tego procesu oblczamy perwszą estymatę semwarogramu empryczego emp do którego doberamy ajlepej pasujący semwarogram teoretyczy teor. 4. Po raz kolejy oblczamy estymatę współczyków β (druga teracja tym razem korzystając z ormacj o semwaracj procesu (lub zwązaą z tym procesem macerzą kowaracj Σ: ˆ β ( F Σ F Σ σ I Γ 5. a estymata może zostać użyta do poowego wydzelea procesu rezydualego oraz kolejej estymacj semwarogramu (pkt.3 Procedurę teracj kończymy w momece osągęca zbeżośc procedury tz gdy astąp zauważaly brak zma pomędzy kolejym teracjam. F Σ usy tej procedury: Warogram wyestymoway w oparcu o tak oblczoy proces rezydualy jest z reguły obcążoy Wyestymoway proces rezydualy εˆ wykazuje węcej ujemej korelacj ż rzeczywsty proces ε. Wyestymowaa waracja kryggu jest zdecydowae zażoa alety procedury: Obcązee procedury warogramu jest bardzo małe dla zerowych małych odległośc (lags. Pozwala to zaedbywać lub obżać wag dla dużych odległośc Poeważ wag kryggu szybko maleją wraz z odległoścą możemy używać małej lośc puktów w procedurze do estymacj wartośc w poblżu puktu docelowego czyl e popełamy dużego błędu.

6 Przykład - (pokazujący jak trochę uproścć skomplkowaą procedurę kryggu uwersalego Będzemy aalzować zmay wysokośc zwercadła wody a podstawe pomarów pozomu wody w pezometrach. Po aalze daych zauważoo wyraźy tred rosący ze wschodu a zachód obszaru. Postaowoo przeaalzować semwarogramy kerukowe w czterech kerukach (co 45. Jak wdać obok trzy z ch wyraźe wskazują a stee tredu. ylko jede ostat - jest typowy dla procesu stacjoarego. Dopasowujemy do ego Gaussowsk semwarogram teoretyczy: ( 3( h a ( h C e akładamy że tred jest lowy czyl pozom wody ma w rzeczywstośc postać: ( β + β + β + ε (

7 Estymujemy jako przykład wartość pozomu wody w pukce (693 a podstawe wartośc w sześcu pezometrach. Odległośc: pukt pomarowy pukt pomarowy pukt terpoloway - pukt pomarowy W przecweństwe do procedury opsaej poprzedo (teracyjej wykorzystywao tylko jede semwarogram przyjmując że jest to prawdłowa jego postać. Oblczea dały wyk przedstawoe powyżej. Obok wyk a mape u góry wartośc wyestymowae pożej wartośc waracj.

8 Procedurę przeprowadzoo dla całego obszaru dla regularej satk puktów. Pożej wyk po terpolacj. rygg blokowy Czasem jesteśmy zateresowa by e dokoywać estymacj wartośc pola w jedym pukce (p. w pukce satk regularej ale w pewym (ajczęścej regularym obszarze. Sytuacja taka jest często spotykaa w górctwe gdze teresuje as średa zawartość (kocetracja daej kopaly e w pukce lecz a pewym obszarze p. przyzaej kocesj a wydobyce. Deujemy wartość średą pola ( a obszarze bloku B: ( B ( d B Waracja pola ( a obszarze bloku B (zwaa waracją dyspersyją ( w B wyos z kole: B ( B B ( B ( y σ B B B B gdze całkowae semwarogramu po zmeych y jest od sebe ezależe przebega po obszarze B. d

9 Podobe jak poprzedo deujemy predykcję wartośc w bloku jako ˆ ( B ( System rówań dla kryggu blokowego otrzymujemy poowe jako mmalzację waracj pola wyestymowaego (tym razem z bloku jest o astępujący: ( B B j ( j j j j gdze m B jest możkem Lagrage a. Waracja kryggu blokowego wyos: gdze σ m ( B ( B B B ( ( B ( B ( B ( B B B ( ( d B Postać waracj jak wdać jest bardzo podoba do kryggu zwyczajego tylko semwaracje pukt pukt są zastępowae semwaracjam pukt-blok blok-blok. echcze jest to po prostu lczee wartośc średch z semwaracje typu pukt-pukt dla bloku podzeloego a mejszą lość częśc. alecaa lość podzałów: wymar Ilość podzałów Wartośc pokazują sposób lczea semwaracj pukt blok. Lczoe są semwaracje pukt-pukt pomędzy puktem a cetram małych kwadratów (.5km. astępe wartośc te są uśredae końcowy wyk wyos.68

10 Porówae wyków kryggu zwyczajego kryggu blokowego Wartośc oblczao ezależe dla każdego bloku. Wartośc błędu terpolacj metodą wyków kryggu zwyczajego kryggu blokowego. rygg logarytmczo - ormaly lasyczy semwarogram jest bardzo czuły a slą dodatą skośość hstogramu daych pomarowych co jest cechą charakterystyczą dla welu typów daych. Skośość może zostać zredukowaa poprzez trasormację daych zmejszającą warację p. przez zlogarytmowae daych. Y ( log( ( akładamy ze proces Y( jest procesem stacjoarym rzędu II. Jeśl dae mają rozkład zblżoy do ormalego to mówmy w skróce o rozkładze log-ormalym. Wykoujemy oblczea dla daych Y y y y tz. estymujemy semwarogram empryczy dokoujemy terpolacj w wybraych puktach metodą kryggu (p. prostego otrzymujemy wyk w skal logarytmczej. Aby otrzymać wyk w skal lowej stosujemy wzór ˆ ep Yˆ + σ ( ( ( W wypadku kryggu prostego waracja estymaty ( wyos var ( ˆ ( µ ep( σ ep( σ Y Y ( ( ( gdze µ jest zaą wartoścą średą procesu (. Dla kryggu zwyczajego e moża polczyć waracj estymaty bo e zamy wartośc µ. Y

11 Ie rodzaje kryggu metoda cokryggu wykorzystuje dwa rodzaje daych w tym dae pomoccze wykład w astępym tygodu w kryggu dykatorowym pomary sprowadzoe są do wartośc czyl spełające e spełające waruku kryggstratykoway polega a podzale aalzowaego obszaru a mejsze o zasadczo odmeym rozkładze parametru przeprowadzae a ch osobych estymacj empryczy kryggbayesa (wprowadzoy przez rmę ESRI w pakece ArcGIS dzel dae a podzbory które częścowo mogą sę pokrywać oblcza semwarogramy. astępe a ch podstawe symuluje owe dae które spełają wymog kryggu (rozkład ormaly brak tredów rozkład stacjoary proces jest welokrote powtarzay uzyskay zostaje optymaly semwarogram do modelowaa rozkładu wartośc.