METODY NUMERYCZNE. Wykład 3. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh. Met.Numer. wykład 3 1
|
|
|
- Roman Sobolewski
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 METODY NUMERYCZNE Wykład 3. dr hab.iż. Kaarzya Zakrzewska, pro.agh Me.Numer. wykład 3
2 Pla Aproksymacja Ierpolacja wielomiaowa Przykłady Me.Numer. wykład 3
3 Aproksymacja Meody umerycze zajmują się rozwiązywaiem zadań maemayczych za pomocą działań arymeyczych. Zachodzi zaem porzeba przybliżaia wielkości ie arymeyczych wielkościami arymeyczymi i badaia błędów wywołaych akimi przybliżeiami. Wybór przybliżeia zależy od ego, kórym z możliwych kryeriów posłużymy się w oceie skueczości daego przybliżeia. Jaki jes dopuszczaly błąd wyiku? Jak szybko moża orzymać rozwiązaie jaka jes szybkość zbieżości daej meody, p. procesu ieracyjego? Me.Numer. wykład 3 3
4 Co o jes ierpolacja? Dae są puky,y,,y,.,y. Zaleźć iezaą warość y dla dowolego. Me.Numer. wykład 3 4
5 Różica pomiędzy aproksymacją i ierpolacją ierpolacja aproksymacja Me.Numer. wykład 3 5
6 Aproksymacja Chcemy przybliżyć ukcję kombiacją ajczęściej liiową ukcji ależących do pewej szczególej klasy. Klasy ukcji: { },,... dla N pierwszych wyrazów szeregu Taylora { } p,,... ogóliej: p jes wielomiaem sopia {si,cos },,... wielomiay rygoomerycze Największe zaczeie posiada aproksymacja wielomiaowa Me.Numer. wykład 3 6
7 Aproksymacja liiowa ukcji klasy ukcji: Aproksymacja ag + ag amgm { g },,... współczyiki sałe: a i i,,..., m Przybliżeia liiowe sosuje się poieważ badaie aproksymacji kombiacjami ieliiowymi ukcji przybliżających jes bardzo rude jak aaliza większości zagadień ieliiowych. Czasami sosuje się przybliżeia wymiere: ag b g + ag + b g a b Me.Numer. wykład 3 7 m k g g m k
8 Aproksymacja Kryeria wyboru sałych współczyików a i i,,..., m Trzy ypy przybliżeń o dużym zaczeiu przybliżeie ierpolacyje współczyiki są ak dobrae, aby w pukach i i,,..., p ukcja przybliżająca wraz z jej pierwszymi r i pochodymi r i jes liczbą całkowią ieujemą była zgoda z i jej pochodymi z dokładością do błędów zaokrągleń Me.Numer. wykład 3 8
9 Aproksymacja Kryeria wyboru sałych współczyików a i i,,..., m przybliżeie średiokwadraowe szukamy miimum wyrażeia będącego całką z kwadrau różicy pomiędzy i jej przybliżeiem w przedziale <, > lub sumą ważoą kwadraów błędów rozciągięą a zbiór dyskrey puków z przedziału <, > przybliżeie jedosaje zalezieie ajmiejszego maksimum różicy między i jej przybliżeiem w przedziale <, > Me.Numer. wykład 3 9
10 Meoda ajmiejszych kwadraów Regresja liiowa y 6 S i [ y a b ] mi + i i 4 a+b a3.3, b-.8 y i i i Me.Numer. wykład 3
11 Me.Numer. wykład 3 Waruek miimum ukcji dwu zmieych: b S a S Orzymujemy układ rówań liiowych dla iewiadomych a i b + + i i i i i i y b a y b a Rozwiązując e układ rówań uzyskuje się wyrażeia a a i b W y y b W y y a i i i i i i i i i
12 Me.Numer. wykład 3 Z praw saysyki moża wyprowadzić wyrażeia a odchyleia sadardowe ua i ub obu paramerów prosej a,b: i i W a u b u W S a u i gdzie: wyzaczik główy W wyraża się wzorem
13 Aproksymacja wielomiaowa Zasosowaie w obliczeiach wielomiaów jako ukcji przybliżających wiąże się z akem, że maszya cyrowa wykouje w prakyce działaia arymeycze. Wspólą właściwością poęg zmieej i wielomiaów rygoomeryczych a akże ukcji wykładiczych jes o, że w przybliżeiach korzysających z każdej z ych klas przesuięcie układu współrzędych zmieia współczyiki, ale ie zmieia posaci przybliżeia. Jeżeli P jes wielomiaem lub ukcją wymierą o P+α jes rówież ej posaci, a jeśli T jes liiowym lub wymierym przybliżeiem zbudowaym z siusów lub cosiusów, o akie jes rówież T+α. Me.Numer. wykład 3 3
14 Aproksymacja wielomiaowa Przybliżeia ukcjami { },,... mają aką zaleę, że przy zmiaie skali zmieej zmieiają się ylko współczyiki, a ie zmieia się kszał przybliżeia. Przykład: wielomia Pk jes rówież wielomiaem zmieej. Tej własości ie mają przybliżeia rygoomerycze, gdyż dla iecałkowiego k a ogół sik ie jes elemeem klasy {si },,... Me.Numer. wykład 3 4
15 Aproksymacja wielomiaowa Najczęściej wybiera się wielomiay gdyż moża ławo: obliczać ich warości różiczkować całkować Me.Numer. wykład 3 5
16 Aproksymacja wielomiaowa Z przybliżeń wielomiaowych wywodzą się meody: ierpolacji eksrapolacji różiczkowaia umeryczego kwadraur rozwiązywaia umeryczego rówań różiczkowych zwyczajych Powiązaia pomiędzy ymi meodami są ławo dosrzegale, gdyż meody ierpolacyje są podsawą wzorów różiczkowaia umeryczego, kwadraur i rozwiązywaia umeryczego rówań różiczkowych. Me.Numer. wykład 3 6
17 INTERPOLACJA WIELOMIANOWA Założeie: W przedziale [a,b] daych jes + różych puków,,,, kóre azywamy węzłami ierpolacji, oraz warości pewej ukcji y w ych pukach: i y i dla i,,...,. ierpolacja Me.Numer. wykład 3 7
18 INTERPOLACJA WIELOMIANOWA Zadaie ierpolacji: Wyzaczeie przybliżoych warości ukcji w pukach ie będących węzłami oraz oszacowaie błędu ych przybliżoych warości.. W ym celu ależy zaleźć ukcję F, zwaą ukcją ierpolującą, kóra będzie przybliżać ukcję w przedziale [a,b].. Fukcja F w węzłach ierpolacji przyjmuje akie same warości co ukcja y. 3. W zagadieiu ierpolacji wielomiaowej ukcja F jes wielomiaem sopia co ajwyżej. Twierdzeie Isieje dokładie jede wielomia ierpolacyjy sopia co ajwyżej, kóry w pukach,,, przyjmuje warości y, y,, y. Me.Numer. wykład 3 8
19 Ierpolacja - meoda bezpośredia Przez + puków,y,,y,.,y przechodzi dokładie jede wielomia sopia y a + a a. gdzie a, a,. a są sałymi współczyikami R Ułożyć + rówań aby zaleźć + sałych Podsawić warość do wielomiau, aby zaleźć y Me.Numer. wykład 3 9
20 Przykład Tabela Prędkość v jako ukcja czasu s vm/s predkosc vm/s dae czas s Zaleźć prędkość w chwili 6 s sosując meodę bezpośredią dla dwóch puków Me.Numer. wykład 3
21 Ierpolacja liiowa v v a a v + a + a a + a Rozwiązaie układu rówań a.93 a 3.94 y, y, y A zaem v , m/s v Me.Numer. wykład 3
22 Nie moża obecie wyświelić ego obrazu. Ierpolacja kwadraowa a + a a v + y, y v v v a + a + a a + a 5 + a a + a + a Rozwiązaie układu rówań, y a.5 a a v , v m/s, y Me.Numer. wykład 3
23 Ierpolacja kwadraowa v , m s v / Błąd względy 8 a % Vm/s s Me.Numer. wykład 3 3
24 Ierpolacja sześciea 3 a + a + a a v + 3 y, y 3, y 3, y, y a 3 + a + a a a 3 + a 5 + a 5 a a 3 + a + a a a + a.5 + a.5 a. 3 v + v + v + v Me.Numer. wykład 3 4
25 Ierpolacja sześciea Zadaie domowe Rozwiązać układ rówań: a + a + a + a3 7.4 a + 5a + 5a a a + a + 4a + 8a a +.5a a a Podać i arysować v Me.Numer. wykład 3 5
26 Ierpolacja sześciea -rozwiązaie a 4.54 a.66 a. 34 a v , m s v / Błąd względy a % Me.Numer. wykład 3 6
27 Porówaie Rząd wielomiau 3 v 6m/s błąd względy %.3369 % Me.Numer. wykład 3 7
28 Obliczeia przemieszczeia v od s do 6s ,. 5 6 s 6 s v 6 d m 3 3 d Me.Numer. wykład 3 8
29 ν ,. 5 a v d d d d a Obliczeia przyspieszeia, m/s Me.Numer. wykład 3 9
30 Wzór ierpolacyjy Newoa Ierpolacja liiowa: dae są puky,,, y, y szukamy b + b b b Me.Numer. wykład 3 3
31 Przykład Tabela Prędkość v jako ukcja czasu s vm/s predkosc vm/s dae czas s Zaleźć prędkość w chwili 6 s sosując meodę Newoa Me.Numer. wykład 3 3
32 Wiadomo, że: 5, v, v Ierpolacja liiowa v b + b A zaem: v b + b v Me.Numer. wykład 3 3 b Zajdujemy: b 5, v v Jako zadaie domowe, proszę sprawdzić czy wyik uzyskay jes zgody z wyikiem ierpolacji bezpośrediej
33 Ierpolacja liiowa v b + b Szukaa prędkość w chwili 6 s wyosi: v vm/s b + b m / s dae czas s Me.Numer. wykład 3 33
34 Me.Numer. wykład 3 34 Ierpolacja kwadraowa b b b + + b b b Dae są puky,, y,, y,, y szukamy
35 Ierpolacja kwadraowa Wiadomo, że:, v 5, v , v b v 7.48 b v Zajdujemy: v b v.3766 v v v Me.Numer. wykład 3 35
36 Ierpolacja kwadraowa A zaem: v b + b + b , dla 6s: v 6 b + b 6 + b m / s 5 Jako zadaie domowe, proszę sprawdzić czy wyik uzyskay jes zgody z wyikiem ierpolacji bezpośrediej Me.Numer. wykład 3 36
37 Ierpolacja kwadraowa dae vm/s czas s Błąd względy w odiesieiu do poprzediej ierpolacji a % Me.Numer. wykład 3 37
38 Me.Numer. wykład 3 38 Ogóla ormuła b b b + + gdzie A zaem ],, [ ], [ ] [ + + ] [ b ], [ b ], [ ], [ ],, [ b iloraz różicowy pierwszego rzędu iloraz różicowy drugiego rzędu
39 Ogóla ormuła Mając + puków y,, y,...,, y,, y, b + b b... gdzie b [ ] b [, ] b [,, ] b b M [,,..., ] [,,..., ] Me.Numer. wykład 3 39
40 Ierpolacja sześciea Wielomia 3-ciego sopia, mając dae,,,,,, i,, y y y 3 y3 ma posać 3 [ ] + + [ [ 3,, ],, + [ ],, ] b b, ] b [,, ] [ b 3, ],,, ] [,, ] 3 3 [, 3 ] [ 3 [ 3 Me.Numer. wykład 3 4
41 Ierpolacja sześciea Zadaie domowe Zaleźć rówaie a prędkość i obliczyć v6s a podsawie ierpolacji sześcieej Newoa : v b + b + b + b3 Dae, v 5, v , v , v Zaleźć współczyiki b i Zaleźć drogę przebyą w czasie od s do 6 s. Zaleźć przyspieszeie w chwili 6 s. Me.Numer. wykład 3 4
42 Rozwiązaie 7. 4 b b 7.48 b 5, b 3.94, , b 7.4; b 7.48; b.3766; b * -3 Me.Numer. wykład 3 4
43 Porówaie Rząd wielomiau 3 v m/s Błąd względy przybliżeia %.3347 % Me.Numer. wykład 3 43
44 Me.Numer. wykład 3 44 Ierpolacja z rówo-odległymi węzłami ih i + Dae są warości ukcji i y i dla i,, w pukach rozmieszczoych w jedakowych odsępach:...!...!! Δ Δ + Δ + o o o I h y h y h y y N Pierwszy wielomia ierpolacyjy Newoa ma posać: gdzie k jes różica progresywa k-ego rzędu
45 Ierpolacja z rówo-odległymi węzłami Różice progresywe: Δ yi i + h i yi+ Δ yi Δ Δyi Δyi+ Δyi y i Jeśli wprowadzimy: orzymamy Te wielomia ierpolacyjy Newoa jes korzysy w pobliżu począku ablicy. Me.Numer. wykład 3 45
46 Me.Numer. wykład 3 46 Ierpolacja z rówo-odległymi węzłami Drugi wielomia ierpolacyjy Newoa:...!...!! h y h y h y y N II Δ Δ + Δ + Różice wsecze: i i i i i y y h y i i i i y y y y Moża udowodić, że:
47 Ierpolacja z rówo-odległymi węzłami Jeśli wprowadzimy: Drugi wielomia ierpolacyjy Newoa przybiera posać: Wzór e jes korzysy w pobliżu końca ablicy i zawiera różice wsecze: y i i i h yi yi Me.Numer. wykład 3 47
48 Me.Numer. wykład 3 48 Iaczej: Wzór ierpolacyjy Lagrage a gdzie: ω j jeswarością pochodej wielomiau ω pukcie j będącym zerem ego wielomiau j j j j j j j j W j ' ω ω ω ω... ω Ogólie: j j j j j j j j j j j W + +
49 Przykład Tabela Prędkość v jako ukcja czasu s vm/s predkosc vm/s dae czas s Zaleźć prędkość w chwili 6 s sosując meodę ierpolacji wielomiaem Lagrage a dla dwóch puków Me.Numer. wykład 3 49
50 Me.Numer. wykład 3 5 Ierpolacja liiowa wielomiaem Lagrage a 36.78, 5 v 57.35, v Wiadomo, że: Zajdujemy: A zaem: Jako zadaie domowe, proszę sprawdzić czy wyik uzyskay jes zgody z wyikiem ierpolacji bezpośrediej v L v L v L v i i i + L j j j j L j j j j v v v
51 6 6 5 v Ierpolacja liiowa wielomiaem Lagrage a m / s vm/s dae czas s Me.Numer. wykład 3 5
52 Me.Numer. wykład 3 5 Ierpolacja kwadraowa Dae są puky,, y,, y, y szukamy i j j j i j i L v L v L v L v L v i i i + +
53 Me.Numer. wykład 3 53 Ierpolacja kwadraowa Wiadomo, że: 36.78, 5 v 57.35, v 7.4, v Zajdujemy: L j j j j L j j j j L j j j j A zaem: v v v v + +
54 Ierpolacja kwadraowa dla 6s: v m / s Jako zadaie domowe, proszę sprawdzić czy wyik uzyskay jes zgody z wyikiem ierpolacji bezpośrediej i meodą Newoa. Me.Numer. wykład 3 54
55 Ierpolacja kwadraowa dae vm/s czas s Błąd względy w odiesieiu do poprzediej ierpolacji a % Me.Numer. wykład 3 55
56 Ierpolacja sześciea Zadaie domowe Zaleźć rówaie a prędkość i obliczyć v6s a podsawie ierpolacji sześcieej Lagrage a Dae, v 5, v , v , v Zaleźć drogę przebyą w czasie od s do 6 s. Zaleźć przyspieszeie w chwili 6 s. Porówać wyiki z uzyskaymi a podsawie ierpolacji meodą bezpośrediej i Newoa. Me.Numer. wykład 3 56
57 Porówaie Rząd wielomiau 3 v m/s Błąd względy przybliżeia %.3347 % Me.Numer. wykład 3 57
58 Wzór ierpolacyjy Lagrage a - przykład Niech dae będą puky:,,3,6.zaleźć wielomia ierpolacyjy Lagrage a, kóry będzie przybliżać ukcję π si 6 Rozwiązaie: Warości ukcji w węzłach ierpolacji są asępujące: y, y, y 3, y 6. 3 Moża pokazać, że wielomia ierpolacyjy Lagrage a przyjmuje posać: 3 7 W Me.Numer. wykład 3 58
59 Wzór ierpolacyjy Lagrage a - przykład 5 ukcja -5 y siπ/6 wielomia ierpolacyjy W W Wielomia ierpolacyjy przybliża ukcję ylko pomiędzy skrajymi węzłami, z. w przedziale [,6]. Im miejsze odległości między węzłami, ym lepsze przybliżeie uzyskujemy Me.Numer. wykład 3 59
60 Oszacowaie błędu wzoru ierpolacyjego Z jaką dokładością wielomia ierpolacyjy W przybliża ukcję w pozosałych pukach leżących wewąrz przedziału <a, b>? Zakładamy, że ukcja w rozparywaym przedziale <a, b> ma pochode do rzędu + włączie. W sup < a, b> + +! i i zależy od wyboru węzłów ierpolacji Me.Numer. wykład 3 6
61 Ierpolacja za pomocą ukcji sklejaych-splie Moywacja Wady ierpolacji wielomiaowej: Pogorszeie wyików ierpolacji przy zwiększaiu liczby węzłów. Przykład: Zjawisko Rugego przykład źle uwarukowaego zadaia: Ierpolacja wielomiaami wysokich sopi przy sałych odległościach węzłów prowadzi do poważych odchyleń od ierpolowaej ukcji zwłaszcza a końcach przedziału. Ierpolacja a środkowych częściach przedziału jes aomias bardzo dobra i użyecza Przykład: + 5 Me.Numer. wykład 3 6
62 Ierpolacja wielomiaowa szczególych ukcji Me.Numer. wykład 3 6
63 Zjawisko Rugego Me.Numer. wykład 3 63
64 Ierpolacja za pomocą liiowych ukcji sklejaych Mając dae puky:, y,, y,..., y,, y prowadzimy liie prose pomiędzy pukami. Me.Numer. wykład 3 64
65 Me.Numer. wykład achyleie prosej pomiędzy węzłami Ierpolacja za pomocą liiowych ukcji sklejaych
66 Ierpolacja kwadraowa za pomocą ukcji sklejaych Mając dae puky:, y,, y,..., y,, y zapisujemy róże ukcje kwadraowe pomiędzy każdą parą puków. Me.Numer. wykład 3 66
67 Ierpolacja kwadraowa za pomocą ukcji sklejaych a + b + c a + b + c... a + b + c Zaleźć współczyiki a b, c i, i,,..., i i Mamy 3 iewiadomych czyli porzebujemy 3 rówań Me.Numer. wykład 3 67
68 Ierpolacja kwadraowa za pomocą ukcji sklejaych Każda parabola przechodzi przez dwa sąsiedie puky, czyli mamy rówań a + b + c a + b + c. i ai i + bi i i ai i + bi i ci + c +. a + b a + b c + c + Me.Numer. wykład 3 68 i
69 dla. Ierpolacja kwadraowa za pomocą ukcji sklejaych Dodakowe waruki orzymujemy żądając ciągłości pierwszych pochodych w - wewęrzych pukach węzłowych: + b c a + ' a b + a zaem a a + b + b a + b a + b + c a + b + b a Me.Numer. wykład 3 69
70 Ierpolacja kwadraowa za pomocą ukcji sklejaych Prowadzi o do - rówań posaci: a + b a b a + b a3 b3. a b a b i i. a b a + + i i+ i i+ b Całkowia liczba rówań wyosi +-3- Porzebe jedo rówaie może przyjąć posać p. a Pierwsza ukcja sklejaa jes liiowa. Me.Numer. wykład 3 7
71 Przykład Tabela Prędkość v jako ukcja czasu s vm/s predkosc vm/s dae czas s Zaleźć prędkość w chwili 6 s sosując meodę ierpolacji za pomocą kwadraowych ukcji sklejaych Me.Numer. wykład 3 7
72 Rozwiązaie c v a + b +, b c, a b c 3 3 3, a b c 4 4 4, a b c 5 5 a , Me.Numer. wykład 3 7
73 Każda ukcja sklejaa przechodzi przez dwa sąsiedie puky c v a + b +, a + b + c a + b + c 7.4 predkosc vm/s dae czas s Me.Numer. wykład 3 73
74 Dalsze rówaia s vm/s Jes rówań, 5 poszukiwaych współczyików a + b + c a 5 + b 5 + c a a a a a a b3 5 + c3 3 + b3 + c3 4 + b4 + c b4.5 + c b5.5 + c b5 3 + c Me.Numer. wykład 3 74
75 Żądaie ciągłości pochodych d d v a + b +, c a + b + c, 5 a + b + c a + b + c d d a + b a + b + b a a + b a + b a b Me.Numer. wykład 3 75
76 dla s Żądaie ciągłości pochodych - cd a + b a b dla 5s dla s a 5 + b a35 b3 a + b3 a4 b4 3 dla.5s a.5 + b4 a5.5 b5 4 4 dodakowe rówaia osaie rówaie a Me.Numer. wykład 3 76
77 Me.Numer. wykład c b a c b a c b a c b a c b a Osaeczy układ 5 rówań a 5 iewiadomych
78 bc a i Warości współczyików i a i b i c i Proszę sprawdzić czy podae warości są prawidłowe Me.Numer. wykład 3 78
79 Osaecze rozwiązaie v.74, , , , ,.5 3 Me.Numer. wykład 3 79
80 a Prędkość w chwili 6s v.74, , , , ,.5 3 v Prędkość w określoym pukcie m/s 4.6 Jako zadaie domowe, proszę porówać obliczoą warość prędkości z warością orzymaą za pomocą ierpolacji wielomiaowej Me.Numer. wykład 3 8
81 b Przyspieszeie w 6 s Przyspieszeie w określoym pukcie v.74, , , , ,.5 3 a d d 6 v 6 Me.Numer. wykład 3 8
82 Przyspieszeie w określoym pukcie, Fukcja kwadraowa sklejaa prawdziwa w pukcie 6s jes daa jako , v 5 a d d , 4.6 a m/s Jako zadaie domowe, proszę porówać obliczoą warość przyspieszeia z warością orzymaą za pomocą ierpolacji wielomiaowej Me.Numer. wykład 3 8
83 c Zaleźć drogę przebyą przez rakieę od s do 6s. v.74, , , , ,.5 3 S Droga z proilu prędkości 6 S 6 v d Me.Numer. wykład 3 83
84 Droga z proilu prędkości , v 5 S , 5 6 S v d v d + 6 v d d 4.6 d m Jako zadaie domowe, proszę porówać obliczoą warość przebyej odległości z warością orzymaą za pomocą ierpolacji wielomiaowej Me.Numer. wykład 3 84
85 Błąd wzoru ierpolacyjego W sup < a, b> + +! i i Przyjmujemy ozaczeia: M + sup + < a, b> Kres góry modułu +-szej pochodej ukcji a przedziale <a,b> ω... Me.Numer. Wykład 4 85
86 Błąd wzoru ierpolacyjego Przykład: M + W ω +! Oceić, z jaką dokładością moża obliczyć warość l,5 przy użyciu wzoru ierpolacyjego Lagrage a, jeżeli dae są warości: l, l, l, l 3 l, l,5 W M 4 3,,5 a, b 3, 4 sup <,3> ,5,5,5,5, ! 4 9 Me.Numer. Wykład 4 86
87 Opymaly dobór węzłów ierpolacji M + W ω +! Wielkość błędu zależy od wyboru węzłów ierpolacji poprzez ω. Na M + ie mamy wpływu. Jak wybrać węzły ierpolacji i, aby: sup ω < a, b> miało jak ajmiejszą warość Zagadieie zosało sormułowae przez rosyjskiego maemayka P.L. Czebyszewa jako zagadieie zajdowaia wielomiau algebraiczego ajlepiej przybliżającego zero a zadaym przedziale. Me.Numer. Wykład 4 87
88 Wielomiay Czebyszewa T cos arc cos Wielomiay Czebyszewa pierwszego rodzaju: Moża pokazać, że wielomia T jes ideyczy z pewym wielomiaem algebraiczym zawężoym do przedziału <-,>. T T cos arc cos T cosarc cos 3 T cos3arc cos wzór rekurecyjy T T T Me.Numer. Wykład 4 88
89 Me.Numer. Wykład 4 89 Wielomiay Czebyszewa pierwszego rodzaju są rozwiązaiem rówaia różiczkowego: + T d dt d T d Wielomiay Czebyszewa Deiiuje się je poprzez wzór Rodriguesa: [ ]!! d d T w Wielomiay Czebyszewa pierwszego rodzaju są orogoale w przedziale <-,> z wagą:
90 Opymaly dobór węzłów ierpolacji Każdy wielomia Czebyszewa sopia ma różych pierwiasków w pukach: m zawarych między - i + m + cos π, m,,,..., Współczyik przy ajwyższej poędze w T jes rówy -. Szukamy wielomiau, kóry przy ajwyższej poędze ma współczyik rówy jedości T T gdzie m m,,,, są pierwiaskami wielomiau T + Me.Numer. Wykład 4 9
91 Opymaly dobór węzłów ierpolacji Wyrażeie: sup < a, b> ω w przedziale <-,> ma ajmiejszą warość dla wielomiau: wówczas: ω T... + sup <,> ω Jeżeli w przedziale <-,> za węzły ierpolacji przyjmiemy zera wielomiau Czebyszewa, o M + W +! Me.Numer. Wykład 4 9
92 Opymaly dobór węzłów ierpolacji W dowolym przedziale <a,b> oszacowaie błędu wyosi: przy wyborze węzłów M +! + + b a W + m + m b acos b a, m,,,..., π Nowe węzły m ie są rozmieszczoe w rówych odsępach lecz są zagęszczoe przy końcach przedziału. b a z + b + a Prose rasormacje liiowe sprowadzają z przedziału <a,b> do z ależącego do z b a <-,> Me.Numer. Wykład 4 9 [ ] b a
93 Podsumowaie ierpolacji Przeczyać i przeaalizować rozdział..8 Uwagi końcowe, Z.Forua, B.Macukow, J.Wąsowski, Meody umerycze Wioski:. Przy obliczaiu warości wielomiau ierpolacyjego w jedym lub kilku pukach problem wyboru posaci wzoru ierpolacyjego ie jes isoy.. Rodzaj wybraego wzoru i rozmieszczeie węzłów ma wpływ jedyie a błąd obliczeń. 3. O czasochłoości obliczeń decyduje liczba możeń i dzieleń. dla wielomiau Lagrage a saowi o +4+ dla wielomiau Newoa / +3/ Me.Numer. Wykład 4 93
Definicja interpolacji
INTERPOLACJA Defiicja iterpolacji Defiicja iterpolacji 3 Daa jest fukcja y = f (x), x[x 0, x ]. Zamy tablice wartości tej fukcji, czyli: f ( x ) y 0 0 f ( x ) y 1 1 Defiicja iterpolacji Wyzaczamy fukcję
D:\materialy\Matematyka na GISIP I rok DOC\07 Pochodne\8A.DOC 2004-wrz-15, 17: Obliczanie granic funkcji w punkcie przy pomocy wzoru Taylora.
D:\maerialy\Maemayka a GISIP I rok DOC\7 Pochode\8ADOC -wrz-5, 7: 89 Obliczaie graic fukcji w pukcie przy pomocy wzoru Taylora Wróćmy do wierdzeia Taylora (wzory (-( Tw Szczególie waża dla dalszych R rozważań
21. CAŁKA KRZYWOLINIOWA NIESKIEROWANA. x = x(t), y = y(t), a < t < b,
CAŁA RZYWOLINIOWA NIESIEROWANA rzywą o rówaiach parameryczych: = (), y = y(), a < < b, azywamy łukiem regularym (gładkim), gdy spełioe są asępujące waruki: a) fukcje () i y() mają ciągłe pochode, kóre
METODY NUMERYCZNE dr inż. Mirosław Dziewoński
Metody Numerycze METODY NUMERYCZNE dr iż. Mirosław Dziewoński e-mail: miroslaw.dziewoski@polsl.pl Pok. 151 Wykład /1 Metody Numerycze Aproksymacja fukcji jedej zmieej Wykład / Aproksymacja fukcji jedej
METODY NUMERYCZNE. Wykład 3. Plan. Aproksymacja Interpolacja wielomianowa Przykłady. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh. Met.Numer.
METODY NUMERYCZNE Wykład 3. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh Met.Numer. wykład 3 1 Plan Aproksymacja Interpolacja wielomianowa Przykłady Met.Numer. wykład 3 2 1 Aproksymacja Metody numeryczne
APROKSYMACJA I INTERPOLACJA. funkcja f jest zbyt skomplikowana; użycie f w dalszej analizie problemu jest trudne
APROKSYMACJA I INTERPOLACJA Przybliżeie fucji f(x) przez ią fucję g(x) fucja f jest zbyt sompliowaa; użycie f w dalszej aalizie problemu jest trude fucja f jest zaa tylo tabelaryczie; wymagaa jest zajomość
, gdzie b 4c 0 oraz n, m ( 2). 2 2 b b b b b c b x bx c x x c x x
Meody aeaycze w echologii aeriałów Uwaga: Proszę paięać, że a zajęciach obowiązuje akże zajoość oówioych w aeriałach przykładów!!! CAŁKOWANIE FUNKCJI WYMIERNYCH Fukcją wyierą azyway fukcję posaci P ( )
TRANZYSTORY POLOWE JFET I MOSFET
POLTECHNKA RZEZOWKA Kaedra Podsaw Elekroiki srukcja Nr5 F 00/003 sem. lei TRANZYTORY POLOWE JFET MOFET Cel ćwiczeia: Pomiar podsawowych charakerysyk i wyzaczeie paramerów określających właściwości razysora
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 11
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD Szeregi potęgowe Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C jeżeli jest -krotie różiczkowala i jej -ta pochoda jest fukcją ciągłą. Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C, jeżeli jest
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n
Maemayka ubezpieczeń mająkowych 9.0.006 r. Zadaie. Rozważamy proces adwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskreym posaci: U = u + c S = 0... S = W + W +... + W W W W gdzie zmiee... są iezależe i mają e sam
EKONOMETRIA. Liniowy model ekonometryczny (regresji) z jedną zmienną objaśniającą
EKONOMETRIA Tema wykładu: Liiowy model ekoomeryczy (regresji z jedą zmieą objaśiającą Prowadzący: dr iż. Zbigiew TARAPATA e-mail: Zbigiew.Tarapaa Tarapaa@isi.wa..wa.edu.pl hp:// zbigiew.arapaa.akcja.pl/p_ekoomeria/
Wzór Taylora. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Wzór Taylora Szeregi potęgowe Matematyka Studium doktorackie KAE SGH Semestr leti 8/9 R. Łochowski Graica fukcji w pukcie Niech f: R D R, R oraz istieje ciąg puktów D, Fukcja f ma w pukcie graicę dowolego
CAŁKA NIEOZNACZONA. F (x) = f(x) dx.
CAŁKA NIEOZNACZONA Mówimy, że fukcja F () jest fukcją pierwotą dla fukcji f() w pewym ustaloym przedziale - gdy w kadym pukcie zachodzi F () = f(). Fukcję pierwotą często azywamy całką ieozaczoą i zapisujemy
Analiza numeryczna. Stanisław Lewanowicz. Aproksymacja funkcji
http://www.ii.ui.wroc.pl/ sle/teachig/a-apr.pdf Aaliza umerycza Staisław Lewaowicz Grudzień 007 r. Aproksymacja fukcji Pojęcia wstępe Defiicja. Przestrzeń liiową X (ad ciałem liczb rzeczywistych R) azywamy
Rekursja 2. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Rekursja Materiały pomocicze do wykładu wykładowca: dr Magdalea Kacprzak Rozwiązywaie rówań rekurecyjych Jedorode liiowe rówaia rekurecyje Twierdzeie Niech k będzie ustaloą liczbą aturalą dodatią i iech
Katalog wymagań programowych z matematyki od absolwenta II klasy (poziom rozszerzony).
Katalog wymagań programowych z matematyki od absolweta II klasy (poziom rozszerzoy). LICZBY RZECZYWISTE Na poziomie wymagań koieczych lub podstawowych a oceę dopuszczającą () lub dostateczą (3) uczeń wykorzystać
Niepewności pomiarowe
Niepewości pomiarowe Obserwacja, doświadczeie, pomiar Obserwacja zjawisk fizyczych polega a badaiu ych zjawisk w warukach auralych oraz a aalizie czyików i waruków, od kórych zjawiska e zależą. Waruki
Ćwiczenia nr 5. TEMATYKA: Regresja liniowa dla prostej i płaszczyzny
TEMATYKA: Regresja liiowa dla prostej i płaszczyzy Ćwiczeia r 5 DEFINICJE: Regresja: metoda statystycza pozwalająca a badaie związku pomiędzy wielkościami daych i przewidywaie a tej podstawie iezaych wartości
Analiza numeryczna Kurs INP002009W. Wykład 1 Narzędzia matematyczne. Karol Tarnowski A-1 p.223
Aaliza umerycza Kurs INP002009W Wykład Narzędzia matematycze Karol Tarowski karol.tarowski@pwr.wroc.pl A- p.223 Pla wykładu Czym jest aaliza umerycza? Podstawowe pojęcia Wzór Taylora Twierdzeie o wartości
Damian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim.
Damia Doroba Ciągi. Graice, z których korzystamy. k. q.. 5. dla k > 0 dla k 0 0 dla k < 0 dla q > 0 dla q, ) dla q Nie istieje dla q ) e a, a > 0. Opis. Pierwsza z graic powia wydawać się oczywista. Jako
Metody numeryczne. Marek Lefik. Wykład 1 Studia doktoranckie
Metody umerycze Marek Lefik Wykład 1 Studia doktorackie 01-013 Metody umerycze: wstęp ogóly Czemu służą MN Rozwiązaia symbolicze zagadień brzegowych dla skomplikowaej geometrii ie jest możliwe Rozwiązaia
Metody numeryczne Laboratorium 5 Info
Metody umerycze Laboratorium 5 Ifo Aproksymacja - proces określaia rozwiązań przybliżoych a podstawie rozwiązań zaych, które są bliskie rozwiązaiom dokładym w ściśle sprecyzowaym sesie. Metoda ajmiejszych
MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań
MATURA 0 z WSiP Matematyka Poziom rozszerzoy Zasady oceiaia zadań Copyright by Wydawictwa Szkole i Pedagogicze sp z oo, Warszawa 0 Matematyka Poziom rozszerzoy Kartoteka testu Numer zadaia Sprawdzaa umiejętość
Informatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce!
Iformatyka Stosowaa-egzami z Aalizy Matematyczej Każde zadaie ależy rozwiązać a oddzielej, podpisaej kartce! y, Daa jest fukcja f (, + y, a) zbadać ciągłość tej fukcji f b) obliczyć (,) (, (, (,) c) zbadać,
ALGEBRA LINIOWA Informatyka 2015/2016 Kazimierz Jezuita. ZADANIA - Seria 1. Znaleźć wzór na ogólny wyraz ciągu opisanego relacją rekurencyjną: x
Iformatyka 05/06 Kazimierz Jezuita ZADANIA - Seria. Relacja rekurecyja kowecja sumacyja suma ciągu geometryczego. Zaleźć wzór a ogóly wyraz ciągu opisaego relacją rekurecyją: x sprowadzając problem do
Zadania z Matematyka 2 - SIMR 2008/ szeregi zadania z rozwiązaniami. n 1. n n. ( 1) n n. n n + 4
Zadaia z Matematyka - SIMR 00/009 - szeregi zadaia z rozwiązaiami. Zbadać zbieżość szeregu Rozwiązaie: 0 4 4 + 6 0 : Dla dostateczie dużych 0 wyrazy szeregu są ieujeme 0 a = 4 4 + 6 0 0 Stosujemy kryterium
Prawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VI: Metoda Mote Carlo 17 listopada 2014 Zastosowaie: przybliżoe całkowaie Prosta metoda Mote Carlo Przybliżoe obliczaie całki ozaczoej Rozważmy całkowalą fukcję f : [0, 1] R. Chcemy zaleźć przybliżoą
KADD Metoda najmniejszych kwadratów
Metoda ajmiejszych kwadratów Pomiary bezpośredie o rówej dokładości o różej dokładości średia ważoa Pomiary pośredie Zapis macierzowy Dopasowaie prostej Dopasowaie wielomiau dowolego stopia Dopasowaie
Numeryczny opis zjawiska zaniku
FOTON 8, iosa 05 7 Numeryczy opis zjawiska zaiku Jerzy Giter ydział Fizyki U Postawieie problemu wielu zagadieiach z różych działów fizyki spotykamy się z astępującym problemem: zmiay w czasie t pewej
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16
Egzami,.9.6, godz. :-5: Zadaie. ( puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z 4 = 4 w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej (bez używaia fukcji trygoometryczych)
UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH
Ekoeergetyka Matematyka. Wykład 4. UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Defiicja (Układ rówań liiowych, rozwiązaie układu rówań) Układem m rówań liiowych z iewiadomymi,,,, gdzie m, azywamy układ rówań postaci: a a a
Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie III poziom rozszerzony
Wymagaia edukacyje a poszczególe ocey z matematyki w klasie III poziom rozszerzoy Na oceę dopuszczającą, uczeń: zazacza kąt w układzie współrzędych, wskazuje jego ramię początkowe i końcowe wyzacza wartości
3. Regresja liniowa Założenia dotyczące modelu regresji liniowej
3. Regresja liiowa 3.. Założeia dotyczące modelu regresji liiowej Aby moża było wykorzystać model regresji liiowej, muszą być spełioe astępujące założeia:. Relacja pomiędzy zmieą objaśiaą a zmieymi objaśiającymi
1. Element nienaprawialny, badania niezawodności. Model matematyczny elementu - dodatnia zmienna losowa T, określająca czas życia elementu
Badaia iezawodościowe i saysycza aaliza ich wyików. Eleme ieaprawialy, badaia iezawodości Model maemayczy elemeu - dodaia zmiea losowa T, określająca czas życia elemeu Opis zmieej losowej - rozkład, lub
Egzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011
Egzami maturaly z matematyki CZERWIEC 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Poziom podstawowy czerwiec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr
Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D.
Arkusz ćwiczeiowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaiach od. do. wybierz i zazacz poprawą odpowiedź. Zadaie. ( pkt) Liczbę moża przedstawić w postaci A. 8. C. 4 8 D. 4 Zadaie. ( pkt)
Równania liniowe rzędu drugiego stałych współczynnikach
Rówaia liiowe rzędu drugiego stałyh współzyikah Rówaiem różizkowym zwyzajym liiowym drugiego rzędu azywamy rówaie postai p( t) y q( t) y r( t), (1) gdzie p( t), q( t), r( t ) są daymi fukjami Rówaie to,
I kolokwium z Analizy Matematycznej
I kolokwium z Aalizy Matematyczej 4 XI 0 Grupa A. Korzystając z zasady idukcji matematyczej udowodić ierówość dla wszystkich N. Rozwiązaie:... 4 < + Nierówość zachodzi dla, bo 4
I. Podzielność liczb całkowitych
I Podzielość liczb całkowitych Liczba a = 57 przy dzieleiu przez pewą liczbę dodatią całkowitą b daje iloraz k = 3 i resztę r Zaleźć dzieik b oraz resztę r a = 57 = 3 b + r, 0 r b Stąd 5 r b 8, 3 więc
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17
Egzami, 18.02.2017, godz. 9:00-11:30 Zadaie 1. (22 pukty) W każdym z zadań 1.1-1.10 podaj w postaci uproszczoej kresy zbioru oraz apisz, czy kresy ależą do zbioru (apisz TAK albo NIE, ewetualie T albo
Wykład FIZYKA I. 2. Kinematyka punktu materialnego. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Dr hab. iż. Władysław Arur Woźiak Wykład FIZYKA I. Kiemayka puku maerialego Dr hab. iż. Władysław Arur Woźiak Isyu Fizyki Poliechiki Wrocławskiej hp://www.if.pwr.wroc.pl/~woziak/fizyka1.hml Dr hab. iż.
Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice laboratorium
Marci Rociek Iformatyka, II rok Metody Obliczeiowe w Nauce i Techice laboratorium zestaw 1: iterpolacja Zadaie 1: Zaleźć wzór iterpolacyjy Lagrage a mając tablicę wartości: 3 5 6 y 1 3 5 6 Do rozwiązaia
Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres rozszerzony)
Przedmiotowy system oceiaia wraz z określeiem wymagań edukacyjych (zakres rozszerzoy) Wymagaia koiecze (K) dotyczą zagadień elemetarych, staowiących swego rodzaju podstawę, zatem powiy być opaowae przez
Zadania z algebry liniowej - sem. I Liczby zespolone
Zadaia z algebry liiowej - sem. I Liczby zespoloe Defiicja 1. Parę uporządkowaą liczb rzeczywistych x, y azywamy liczbą zespoloą i ozaczamy z = x, y. Zbiór wszystkich liczb zespoloych ozaczamy przez C
Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schematy oceniania zadań otwartych. Matematyka. Poziom podstawowy
Klucz odpowiedzi do zadań zamkiętych oraz schematy oceiaia zadań otwartych Matematyka CZERWIEC 0 Schemat oceiaia Klucz puktowaia zadań zamkiętych Nr zad Odp 5 6 8 9 0 5 6 8 9 0 5 6 B C C B C C A A B B
h = 10 / N, a N jest zadaną liczbą naturalną.
5. CAŁKOWAIE I RÓŻICZKOWAIE FUKCJI 5.. Przykład wprowadzający Dae są ukcje cos oraz F si dla [,] związae zależościami: F dξ ξ oraz oraz ciąg wartości argumetu : dla,..., gdzie df d /, a jest zadaą liczbą
Funkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta
Fukcje cze Moduł - dział -temat Fukcje cze dowolego kąta Lp 1 kąt w układzie współrzędych fukcje cze dowolego kąta zaki czych wartości czych iektórych kątów Kąt obrotu 2 dodati i ujemy kieruek obrotu wartości
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2, lato 2018/19
7 Wyzaczyć zbiór wszyskich warości rzeczywisych parameru p, dla kórych całka iewłaściwa jes zbieża x xe Dzieląc przedział całkowaia orzymujemy x x e x x e x x e Zbadamy, dla kórych warości parameru p całki
4. Aproksymacja Wprowadzenie (4.1) aproksymowana aproksymującej przybliżającej błędami aproksymacji przybliżenia
4. Aproksymacja Wprowadzeie (4.1) Aproksymacja ozacza przybliżaie fukcji y= f x za pomocą prostszej, ależącej do określoej klasy fukcji y=f x. Przyczyy strosowaia aproksymacji: - fukcja aproksymowaa y=
MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum
MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturaly wraz ze schematem oceiaia dla klasy II Liceum Propozycja zadań maturalych sprawdzających opaowaie wiadomości i umiejętości matematyczych z zakresu
Podprzestrzenie macierzowe
Podprzestrzeie macierzowe Defiicja: Zakresem macierzy AŒ mâ azywamy podprzestrzeń R(A) przestrzei m geerowaą przez zakres fukcji ( ) : m f x = Ax ( A) { Ax x } = Defiicja: Zakresem macierzy A Œ âm azywamy
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu
Techikum Nr 2 im. ge. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekoomiczych w Kaliszu Wymagaia edukacyje iezbęde do uzyskaia poszczególych śródroczych i roczych oce klasyfikacyjych z obowiązkowych zajęć
3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe.
3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe. Bóg stworzył liczby aturale, wszystko ie jest dziełem człowieka. Leopold Kroecker Ozaczeia: zbiór liczb aturalych: N = {1, 2,...} zbiór liczb całkowitych ieujemych: N
Podprzestrzenie macierzowe
Podprzestrzeie macierzowe Defiicja: Zakresem macierzy AŒ mâ azywamy podprzestrzeń R(A) przestrzei m geerowaą przez zakres fukcji : m f x = Ax RAAx x Defiicja: Zakresem macierzy A Œ âm azywamy podprzestrzeń
Teoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =
Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a 2,..., a będą dowolymi liczbami. Sumę a + a 2 +... + a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od k do a k ). Zak Σ to duża grecka
MIANO ROZTWORU TITRANTA. Analiza statystyczna wyników oznaczeń
MIANO ROZTWORU TITRANTA Aaliza saysycza wyików ozaczeń Esymaory pukowe Średia arymeycza x jes o suma wyików w serii podzieloa przez ich liczbę: gdzie: x i - wyik poszczególego ozaczeia - liczba pomiarów
WYKŁAD nr 2. to przekształcenie (1.4) zwane jest przekształceniem całkowym Laplace a
WYKŁAD r. Elemey rachuku operaorowego Podawą rachuku operaorowego je zw. przekzałceie Laplace a, mające poać przekzałceia całkowego, przyporządkowujące fukcjom pewe owe fukcje, iego argumeu. Mówi ię, że
Funkcja generująca rozkład (p-two)
Fucja geerująca rozład (p-wo Defiicja: Fucją geerującą rozład (prawdopodobieńswo (FGP dla zmieej losowej przyjmującej warości całowie ieujeme, azywamy: [ ] g E P Twierdzeie: (o jedozaczości Jeśli i są
2 n < 2n + 2 n. 2 n = 2. 2 n 2 +3n+2 > 2 0 = 1 = 2. n+2 n 1 n+1 = 2. n+1
Tekst a iebiesko jest kometarzem lub treścią zadaia. Zadaie 1. Zbadaj mootoiczość i ograiczoość ciągów. a = + 3 + 1 Ciąg jest mootoiczie rosący i ieograiczoy poieważ różica kolejych wyrazów jest dodatia.
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.
Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia 5.11.2012: zad. 140-173 Kolokwium r 5, 6.11.2012: materiał z zad. 1-173 Ćwiczeia 12.11.2012: zad. 174-190 13.11.2012: zajęcia czwartkowe
Wyznaczyć prędkości punktów A i B
Wyzaczaie prędkości i przyspieszeia puku ciała w ruchu płaskim (a) Wyzaczyć prędkości puków i Dae: rad/s; ε 0; 5 cm; 5 cm 48 mechaika echicza kiemayka 3 Wyzaczaie prędkości i przyspieszeia puku ciała w
Schrödingera. Dr inż. Zbigniew Szklarski. Katedra Elektroniki, paw. C-1, pok
Wykład 0: Rówaie Schrödigera Dr iż. Zbigiew Szklarski Kaedra Elekroiki paw. C- pok.3 szkla@agh.edu.pl hp://layer.uci.agh.edu.pl/z.szklarski/ Rówaie Schrödigera jedo z podsawowych rówań ierelaywisyczej
Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schematy oceniania zadań otwartych. Matematyka. Poziom podstawowy
Klucz odpowiedzi do zadań zamkiętych oraz schematy oceiaia zadań otwartych Matematyka CZERWIEC 0 Klucz puktowaia zadań zamkiętych Nr zad Odp 5 6 8 9 0 5 6 8 9 0 5 6 B C C B C C A A B B C A B A A A B D
1 Układy równań liniowych
Katarzya Borkowska, Wykłady dla EIT, UTP Układy rówań liiowych Defiicja.. Układem U m rówań liiowych o iewiadomych azywamy układ postaci: U: a x + a 2 x 2 +... + a x =b, a 2 x + a 22 x 2 +... + a 2 x =b
C d u. Po podstawieniu prądu z pierwszego równania do równania drugiego i uporządkowaniu składników lewej strony uzyskuje się:
Zadanie. Obliczyć przebieg napięcia na pojemności C w sanie przejściowym przebiegającym przy nasępującej sekwencji działania łączników: ) łączniki Si S są oware dla < 0, ) łącznik S zamyka się w chwili
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Szeregi liczbowe
Zadaia z aalizy matematyczej - sem. I Szeregi liczbowe Defiicja szereg ciąg sum częściowyc. Szeregiem azywamy parę uporządkowaą a ) S ) ) ciągów gdzie: ciąg a ) ciąg S ) jest day jest ciągiem sum częściowych
Sygnały pojęcie i klasyfikacja, metody opisu.
Sygały pojęcie i klasyfikacja, meody opisu. Iformacja przekazywaa jes za pośredicwem sygałów, kóre przeoszą eergię. Sygał jes o fukcja czasowa dowolej wielkości o charakerze eergeyczym, w kórym moża wyróżić
Funkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta
Fukcje cze Moduł - dział -temat Fukcje cze dowolego kąta Lp 1 kąt w układzie współrzędych fukcje cze dowolego kąta zaki czych wartości czych iektórych kątów Kąt obrotu 2 dodati i ujemy kieruek obrotu wartości
Klasa II technikum Egzamin poprawkowy z matematyki sierpień 2013
/7 I. FUNKCJA KWADRATOWA. Fukcja kwadratowa w postaci kaoiczej i ogólej. Napisz wzór fukcji kwadratowej wiedząc, że wierzchołkiem paraboli będącej jej wykresem jest początek układu współrzędych oraz, że
Obligacja i jej cena wewnętrzna
Obligacja i jej cea wewęrza Obligacja jes o isrume fiasowy (papier warościowy), w kórym jeda sroa, zwaa emieem obligacji, swierdza, że jes dłużikiem drugiej sroy, zwaej obligaariuszem (jes o właściciel
Funkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta
Fukcje trygoometrycze Moduł - dział -temat Fukcje trygoometry cze dowolego kąta 1 kąt w układzie współrzędych fukcje trygoometrycze dowolego kąta zaki trygoometryczych wartości trygoometryczych iektórych
O pewnych zastosowaniach rachunku różniczkowego funkcji dwóch zmiennych w ekonomii
O pewych zastosowaiach rachuku różiczkowego fukcji dwóch zmieych w ekoomii 1 Wielkość wytwarzaego dochodu arodowego D zależa jest od wielkości produkcyjego majątku trwałego M i akładów pracy żywej Z Fukcję
X i. X = 1 n. i=1. wartość tej statystyki nazywana jest wartością średnią empiryczną i oznaczamy ją symbolem x, przy czym x = 1. (X i X) 2.
Zagadieia estymacji Puktem wyjścia badaia statystyczego jest wylosowaie z całej populacji pewej skończoej liczby elemetów i zbadaie ich ze względu a zmieą losową cechę X Uzyskae w te sposób wartości x,
7 Liczby zespolone. 7.1 Działania na liczbach zespolonych. Liczby zespolone to liczby postaci. z = a + bi,
7 Liczby zespoloe Liczby zespoloe to liczby postaci z a + bi, gdzie a, b R. Liczbę i azywamy jedostką urojoą, spełia oa waruek i 2 1. Zbiór liczb zespoloych ozaczamy przez C: C {a + bi; a, b R}. Liczba
Gretl konstruowanie pętli Symulacje Monte Carlo (MC)
Grel kosruowaie pęli Symulacje Moe Carlo (MC) W Grelu, aby przyspieszyć pracę, wykoać iesadardową aalizę (ie do wyklikaia ) możliwe jes użycie pęli. Pęle realizuje komeda loop, kóra przyjmuje zesaw iych
DYNAMIKA KONSTRUKCJI
10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI 1 10. 10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI 10.1. Wprowadzenie Ogólne równanie dynamiki zapisujemy w posaci: M d C d Kd =P (10.1) Zapis powyższy oznacza, że równanie musi być spełnione w każdej
x R, (1) Ogólnie równanie o jednej niewiadomej x można przedstawić w postaci
Metody rozwiązywaia rówań ieliiowyc i ic układów Rozwiązywaie rówań ieliiowyc Ogólie rówaie o jedej iewiadomej moża przedstawić w postaci 0 R gdzie jest wystarczająco regularą ukcją. Naszym celem ie jest
Poziom rozszerzony. 5. Ciągi. Uczeń:
PIOTR LUDWIKOWSKI Materiał z wykładu z aalizy dla uczestików koerecji Podstawa programowa z kometarzami Tom 6 Edukacja matematycza i techicza w szkole podstawowej, gimazjum i liceum matematyka, zajęcia
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n = Rozwiązanie: Stosując wzór na wartość współczynnika dwumianowego otrzymujemy
12. Dowieść, że istieje ieskończeie wiele par liczb aturalych k < spełiających rówaie ( ) ( ) k. k k +1 Stosując wzór a wartość współczyika dwumiaowego otrzymujemy ( ) ( )!! oraz k k! ( k)! k +1 (k +1)!
Szeregi liczbowe. Szeregi potęgowe i trygonometryczne.
Szeregi iczbowe. Szeregi potęgowe i trygoometrycze. wykład z MATEMATYKI Automatyka i Robotyka sem. I, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Iformatyki Poitechika Białostocka Szeregi iczbowe Defiicja..
Analiza matematyczna dla informatyków 4 Zajęcia 5
Aaliza matematycza dla iformatyków Zajęcia 5 Twiereie (auchy ego) Niech Ω bęie otwartym pobiorem oraz f : Ω fukcją holomorficzą Wtedy dla dowolego koturu całkowicie zawartego w Ω zachoi f(z) = 0 Zadaie
Analiza wyników symulacji i rzeczywistego pomiaru zmian napięcia ładowanego kondensatora
Aaliza wyików symulacji i rzeczywistego pomiaru zmia apięcia ładowaego kodesatora Adrzej Skowroński Symulacja umożliwia am przeprowadzeie wirtualego eksperymetu. Nie kostruując jeszcze fizyczego urządzeia
Twierdzenie Cayleya-Hamiltona
Twierdzeie Cayleya-Hamiltoa Twierdzeie (Cayleya-Hamiltoa): Każda macierz kwadratowa spełia swoje włase rówaie charakterystycze. D: Chcemy pokazać, że jeśli wielomiaem charakterystyczym macierzy A jest
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16
Egzami,.6.6, godz. 9:-: Zadaie. puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z i w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej bez używaia fukcji trygoometryczych) oraz zazaczyć
Znajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek
Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy
Wykład III. Granice funkcji. f : R A R, A przedział. f określona w x. K M x. lim. lim. Granice niewłaściwe:
: R A R, A przedział A, Wykład III Graice ukcji określoa w, S \ Deiicja 3. (deiicja Caucy eo raicy ukcji) : D U,, ( ) : ot Iaczej: Uot D U K M U ot U ot K M Graice iewłaściwe: k K R D M K K R M R D De.
I. Ciągi liczbowe. , gdzie a n oznacza n-ty wyraz ciągu (a n ) n N. spełniający warunek. a n+1 a n = r, spełniający warunek a n+1 a n
I. Ciągi liczbowe Defiicja 1. Fukcję określoą a zbiorze liczb aturalych o wartościach rzeczywistych azywamy ciągiem liczbowym. Ciągi będziemy ozaczać symbolem a ), gdzie a ozacza -ty wyraz ciągu a ). Defiicja.
Lista 5. Odp. 1. xf(x)dx = xdx = 1 2 E [X] = 1. Pr(X > 3/4) E [X] 3/4 = 2 3. Zadanie 3. Zmienne losowe X i (i = 1, 2, 3, 4) są niezależne o tym samym
![Lista 5. Odp. 1. xf(x)dx = xdx = 1 2 E [X] = 1. Pr(X > 3/4) E [X] 3/4 = 2 3. Zadanie 3. Zmienne losowe X i (i = 1, 2, 3, 4) są niezależne o tym samym](/thumbs/101/149835017.jpg "Lista 5. Odp. 1. xf(x)dx = xdx = 1 2 E [X] = 1. Pr(X > 3/4) E [X] 3/4 = 2 3. Zadanie 3. Zmienne losowe X i (i = 1, 2, 3, 4) są niezależne o tym samym")
Lista 5 Zadaia a zastosowaie ierówosci Markowa i Czebyszewa. Zadaie 1. Niech zmiea losowa X ma rozkład jedostajy a odciku [0, 1]. Korzystając z ierówości Markowa oszacować od góry prawdopodobieństwo, że
Internetowe Kółko Matematyczne 2004/2005
Iteretowe Kółko Matematycze 2004/2005 http://www.mat.ui.toru.pl/~kolka/ Zadaia dla szkoły średiej Zestaw I (20 IX) Zadaie 1. Daa jest liczba całkowita dodatia. Co jest większe:! czy 2 2? Zadaie 2. Udowodij,
P π n π. Równanie ogólne płaszczyzny w E 3. Dane: n=[a,b,c] Wówczas: P 0 P=[x-x 0,y-y 0,z-z 0 ] Równanie (1) nazywamy równaniem ogólnym płaszczyzny
![P π n π. Równanie ogólne płaszczyzny w E 3. Dane: n=[a,b,c] Wówczas: P 0 P=[x-x 0,y-y 0,z-z 0 ] Równanie (1) nazywamy równaniem ogólnym płaszczyzny](/thumbs/96/126808149.jpg "P π n π. Równanie ogólne płaszczyzny w E 3. Dane: n=[a,b,c] Wówczas: P 0 P=[x-x 0,y-y 0,z-z 0 ] Równanie (1) nazywamy równaniem ogólnym płaszczyzny")
Rówaie ogóle płaszczyzy w E 3. ae: P π i π o =[A,B,C] P (,y,z ) Wówczas: P P=[-,y-y,z-z ] P π PP PP= o o Rówaie () azywamy rówaiem ogólym płaszczyzy A(- )+B(y-y )+C(z-z )= ( ) A+By+Cz+= Przykład
3. Funkcje elementarne
3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących
Szereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3:
Szereg geometryczy Zad : Suma wszystkich wyrazów ieskończoego ciągu geometryczego jest rówa 4, a suma trzech początkowych wyrazów wyosi a) Zbadaj mootoiczość ciągu sum częściowych tego ciągu geometryczego
Dwumian Newtona. Agnieszka Dąbrowska i Maciej Nieszporski 8 stycznia 2011
Dwumia Newtoa Agiesza Dąbrowsa i Maciej Nieszporsi 8 styczia Wstęp Wzory srócoego możeia, tóre pozaliśmy w gimazjum (x + y x + y (x + y x + xy + y (x + y 3 x 3 + 3x y + 3xy + y 3 x 3 + y 3 + 3xy(x + y
Pochodna funkcji jednej zmiennej
Pocoda fukcji jedej zmieej Defiicja. Mówimy, że fukcja f : ( a, b) posiada pocodą w pukcie ( a, b), gdy istieje graica ilorazu różicowego: Mówimy też wtedy, że fukcja f jest różiczkowala w pukcie. f (
2.1 Zagadnienie Cauchy ego dla równania jednorodnego. = f(x, t) dla x R, t > 0, (2.1)
Wykład 2 Sruna nieograniczona 2.1 Zagadnienie Cauchy ego dla równania jednorodnego Równanie gań sruny jednowymiarowej zapisać można w posaci 1 2 u c 2 2 u = f(x, ) dla x R, >, (2.1) 2 x2 gdzie u(x, ) oznacza
Parametryzacja rozwiązań układu równań
Parametryzacja rozwiązań układu rówań Przykład: ozwiąż układy rówań: / 2 2 6 2 5 2 6 2 5 //( / / 2 2 9 2 2 4 4 2 ) / 4 2 2 5 2 4 2 2 Korzystając z postaci schodkowej (środkowa macierz) i stosując podstawiaie
Wymagania kl. 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Uczeń:
Wymagaia kl. 2 Zakres podstawowy i rozszerzoy Temat lekcji Zakres treści Osiągięcia uczia 1. WIELOMIANY 1. Stopień i defiicja jedomiau, dwumiau, wielomiau współczyiki pojęcie stopia jedomiau i stopia wielomiau
LABORATORIUM MODELOWANIA I SYMULACJI. Ćwiczenie 3 MODELOWANIE SYSTEMÓW DYNAMICZNYCH METODY OPISU MODELI UKŁADÓW
Wydział Elektryczy Zespół Automatyki (ZTMAiPC) ZERiA LABORATORIUM MODELOWANIA I SYMULACJI Ćwiczeie 3 MODELOWANIE SYSTEMÓW DYNAMICZNYCH METODY OPISU MODELI UKŁADÓW I. Cel ćwiczeia Celem ćwiczeia jest zapozaie
Wektory Funkcje rzeczywiste wielu. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Wektory Fukcje rzeczywiste wielu zmieych rzeczywistych Matematyka Studium doktorackie KAE SGH Semestr leti 2008/2009 R. Łochowski Wektory pukty w przestrzei R Przestrzeń R to zbiór uporządkowaych -ek liczb