METODY NUMERYCZNE. Wykład 3. Plan. Aproksymacja Interpolacja wielomianowa Przykłady. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh. Met.Numer.
|
|
- Bogusław Domagała
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 METODY NUMERYCZNE Wykład 3. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh Met.Numer. wykład 3 1 Plan Aproksymacja Interpolacja wielomianowa Przykłady Met.Numer. wykład 3 2 1
2 Aproksymacja Metody numeryczne zajmują się rozwiązywaniem zadań matematycznych za pomocą działań arytmetycznych. Zachodzi zatem potrzeba przybliżania wielkości nie arytmetycznych wielkościami arytmetycznymi i badania błędów wywołanych takimi przybliżeniami. Wybór przybliżenia zależy od tego, którym z możliwych kryteriów posłużymy się w ocenie skuteczności danego przybliżenia. Jaki jest dopuszczalny błąd wyniku? Jak szybko można otrzymać rozwiązanie jaka jest szybkość zbieżności danej metody, np. procesu iteracyjnego? Met.Numer. wykład 3 3 Co to jest interpolacja? Dane są punkty (x 0,y 0 ), (x 1,y 1 ),.(x n,y n ). Znaleźć nieznaną wartość y dla dowolnego x. Met.Numer. wykład 3 4 2
3 Różnica pomiędzy aproksymacją i interpolacją interpolacja aproksymacja Met.Numer. wykład 3 5 Aproksymacja Chcemy przybliżyć funkcję f(x) kombinacją (najczęściej liniową) funkcji należących do pewnej szczególnej klasy. Klasy funkcji: dla N pierwszych wyrazów szeregu Taylora ogólniej: p n (x) jest wielomianem stopnia n wielomiany trygonometryczne Największe znaczenie posiada aproksymacja wielomianowa Met.Numer. wykład 3 6 3
4 Aproksymacja liniowa funkcji f(x) Aproksymacja klasy funkcji: współczynniki stałe: Przybliżenia liniowe stosuje się ponieważ badanie aproksymacji kombinacjami nieliniowymi funkcji przybliżających jest bardzo trudne jak analiza większości zagadnień nieliniowych. Czasami stosuje się przybliżenia wymierne: Met.Numer. wykład 3 7 Aproksymacja Kryteria wyboru stałych współczynników Trzy typy przybliżeń o dużym znaczeniu przybliżenie interpolacyjne współczynniki są tak dobrane, aby w punktach funkcja przybliżająca wraz z jej pierwszymi r i pochodnymi (r i jest liczbą całkowitą nieujemną) była zgodna z f(x) i jej pochodnymi (z dokładnością do błędów zaokrągleń) Met.Numer. wykład 3 8 4
5 Aproksymacja Kryteria wyboru stałych współczynników przybliżenie średniokwadratowe szukamy minimum wyrażenia będącego całką z kwadratu różnicy pomiędzy f(x) i jej przybliżeniem w przedziale <x 1,x 2 > lub sumą ważoną kwadratów błędów rozciągniętą na zbiór dyskretny punktów z przedziału <x 1,x 2 > przybliżenie jednostajne znalezienie najmniejszego maksimum różnicy między f(x) i jej przybliżeniem w przedziale <x 1,x 2 > Met.Numer. wykład 3 9 Metoda najmniejszych kwadratów Regresja liniowa Met.Numer. wykład
6 Warunek minimum funkcji dwu zmiennych: Otrzymujemy układ równań liniowych dla niewiadomych a i b Rozwiązując ten układ równań uzyskuje się wyrażenia na a i b Met.Numer. wykład 3 11 gdzie: wyznacznik główny W wyraża się wzorem Z praw statystyki można wyprowadzić wyrażenia na odchylenia standardowe u(a) i u(b) obu parametrów prostej a,b: Met.Numer. wykład
7 Aproksymacja wielomianowa Zastosowanie w obliczeniach wielomianów jako funkcji przybliżających wiąże się z faktem, że maszyna cyfrowa wykonuje w praktyce działania arytmetyczne. Wspólną właściwością potęg zmiennej i wielomianów trygonometrycznych (a także funkcji wykładniczych) jest to, że w przybliżeniach korzystających z każdej z tych klas przesunięcie układu współrzędnych zmienia współczynniki, ale nie zmienia postaci przybliżenia. Jeżeli P(x) jest wielomianem lub funkcją wymierną to P(x+α) jest również tej postaci, a jeśli T(x) jest liniowym lub wymiernym przybliżeniem zbudowanym z sinusów lub cosinusów, to takie jest również T(x+α). Met.Numer. wykład 3 13 Aproksymacja wielomianowa Przybliżenia funkcjami mają taką zaletę, że przy zmianie skali zmiennej zmieniają się tylko współczynniki, a nie zmienia się kształt przybliżenia. Przykład: wielomian P(kx) jest również wielomianem zmiennej x. Tej własności nie mają przybliżenia trygonometryczne, gdyż dla niecałkowitego k na ogół sin(nkx) nie jest elementem klasy Met.Numer. wykład
8 Aproksymacja wielomianowa Najczęściej wybiera się wielomiany gdyż można łatwo: obliczać ich wartości różniczkować całkować Met.Numer. wykład 3 15 Aproksymacja wielomianowa Z przybliżeń wielomianowych wywodzą się metody: interpolacji ekstrapolacji różniczkowania numerycznego kwadratur rozwiązywania numerycznego równań różniczkowych zwyczajnych Powiązania pomiędzy tymi metodami są łatwo dostrzegalne, gdyż metody interpolacyjne są podstawą wzorów różniczkowania numerycznego, kwadratur i rozwiązywania numerycznego równań różniczkowych. Met.Numer. wykład
9 INTERPOLACJA WIELOMIANOWA Założenie: W przedziale [a,b] danych jest (n+1) różnych punktów x 0, x 1,, x n, które nazywamy węzłami interpolacji, oraz wartości pewnej funkcji y = f(x) w tych punktach: f(x i ) = y i dla i = 0, 1,..., n. interpolacja Met.Numer. wykład 3 17 INTERPOLACJA WIELOMIANOWA Zadanie interpolacji: Wyznaczenie przybliżonych wartości funkcji w punktach nie będących węzłami oraz oszacowanie błędu tych przybliżonych wartości. 1. W tym celu należy znaleźć funkcję F(x), zwaną funkcją interpolującą, która będzie przybliżać funkcję f(x) w przedziale [a,b]. 2. Funkcja F(x) w węzłach interpolacji przyjmuje takie same wartości co funkcja y = f(x). 3. W zagadnieniu interpolacji wielomianowej funkcja F(x) jest wielomianem stopnia co najwyżej n. Twierdzenie Istnieje dokładnie jeden wielomian interpolacyjny stopnia co najwyżej n (n 0), który w punktach x 0, x 1,, x n przyjmuje wartości y 0, y 1,, y n. Met.Numer. wykład
10 Interpolacja - metoda bezpośrednia Przez n+1 punktów (x 0,y 0 ), (x 1,y 1 ),.(x n,y n ) przechodzi dokładnie jeden wielomian stopnia n gdzie a 0, a 1,. a n są stałymi współczynnikami (R) Ułożyć n+1 równań aby znaleźć n+1 stałych Podstawić wartość x do wielomianu, aby znaleźć y Met.Numer. wykład 3 19 Przykład Tabela 1 Prędkość v jako funkcja czasu t t(s) v(m/s) Znaleźć prędkość w chwili t=16 s stosując metodę bezpośrednią dla dwóch punktów Met.Numer. wykład
11 Nie można obecnie wyświetlić tego obrazu. Interpolacja liniowa Rozwiązanie układu równań A zatem Met.Numer. wykład 3 21 Interpolacja kwadratowa Rozwiązanie układu równań Met.Numer. wykład
12 Interpolacja kwadratowa Błąd względny Met.Numer. wykład 3 23 Interpolacja sześcienna Met.Numer. wykład
13 Interpolacja sześcienna Rozwiązać układ równań: Zadanie domowe Podać i narysować v(t) Met.Numer. wykład 3 25 Interpolacja sześcienna -rozwiązanie Błąd względny Met.Numer. wykład
14 Porównanie Met.Numer. wykład 3 27 Obliczenia przemieszczenia od t=11s do t=16s Met.Numer. wykład
15 Obliczenia przyspieszenia Met.Numer. wykład 3 29 Wzór interpolacyjny Newtona Interpolacja liniowa: dane są punkty szukamy Met.Numer. wykład
16 Przykład Tabela 1 Prędkość v jako funkcja czasu t t(s) v(m/s) Znaleźć prędkość w chwili t=16 s stosując metodę Newtona Met.Numer. wykład 3 31 Interpolacja liniowa Wiadomo, że: Znajdujemy: A zatem: Jako zadanie domowe, proszę sprawdzić czy wynik uzyskany jest zgodny z wynikiem interpolacji bezpośredniej Met.Numer. wykład
17 Interpolacja liniowa Szukana prędkość w chwili t=16 s wynosi: Met.Numer. wykład 3 33 Dane są punkty szukamy Interpolacja kwadratowa Met.Numer. wykład
18 Interpolacja kwadratowa Wiadomo, że: Znajdujemy: Met.Numer. wykład 3 35 Interpolacja kwadratowa A zatem: dla t=16s: Jako zadanie domowe, proszę sprawdzić czy wynik uzyskany jest zgodny z wynikiem interpolacji bezpośredniej Met.Numer. wykład
19 Interpolacja kwadratowa Błąd względny w odniesieniu do poprzedniej interpolacji Met.Numer. wykład 3 37 Ogólna formuła gdzie iloraz różnicowy pierwszego rzędu A zatem iloraz różnicowy drugiego rzędu Met.Numer. wykład
20 Ogólna formuła Mając (n+1) punktów Met.Numer. wykład 3 39 Interpolacja sześcienna Met.Numer. wykład
21 Interpolacja sześcienna Zadanie domowe Znaleźć równanie na prędkość i obliczyć v(16s) na podstawie interpolacji sześciennej Newtona : Dane Znaleźć współczynniki b i Znaleźć drogę przebytą w czasie od 11s do 16 s. Znaleźć przyspieszenie w chwili t=16 s. Met.Numer. wykład 3 41 Rozwiązanie Met.Numer. wykład
22 Porównanie Met.Numer. wykład 3 43 Interpolacja z równo-odległymi węzłami Dane są wartości funkcji f(x i )=y i dla i=0,1, n w punktach rozmieszczonych w jednakowych odstępach: Pierwszy wielomian interpolacyjny Newtona ma postać: gdzie k f(x 0 ) jest różnica progresywna k-tego rzędu Met.Numer. wykład
23 Interpolacja z równo-odległymi węzłami Wielomian interpolacyjny Newtona jest korzystny w pobliżu początku tablicy. W pobliżu końca tablicy stosujemy drugi wielomian interpolacyjny Newtona z różnicami wstecznymi Met.Numer. wykład 3 45 Różnice progresywne Różnice wsteczne Met.Numer. wykład
24 Wzór interpolacyjny Lagrange a Inaczej: Ogólnie: gdzie: ω n (x j ) jest wartością pochodnej wielomianu ω n (x) punkcie x j będącym zerem tego wielomianu Met.Numer. wykład 3 47 Przykład Tabela 1 Prędkość v jako funkcja czasu t t(s) v(m/s) Znaleźć prędkość w chwili t=16 s stosując metodę interpolacji wielomianem Lagrange a dla dwóch punktów Met.Numer. wykład
25 Interpolacja liniowa wielomianem Lagrange a Wiadomo, że: Znajdujemy: A zatem: Jako zadanie domowe, proszę sprawdzić czy wynik uzyskany jest zgodny z wynikiem interpolacji bezpośredniej Met.Numer. wykład 3 49 Interpolacja liniowa wielomianem Lagrange a Met.Numer. wykład
26 Interpolacja kwadratowa Dane są punkty szukamy Met.Numer. wykład 3 51 Interpolacja kwadratowa Wiadomo, że: Znajdujemy: A zatem: Met.Numer. wykład
27 Interpolacja kwadratowa dla t=16s: Jako zadanie domowe, proszę sprawdzić czy wynik uzyskany jest zgodny z wynikiem interpolacji bezpośredniej i metodą Newtona. Met.Numer. wykład 3 53 Interpolacja kwadratowa Błąd względny w odniesieniu do poprzedniej interpolacji Met.Numer. wykład
28 Interpolacja sześcienna Zadanie domowe Znaleźć równanie na prędkość i obliczyć v(16s) na podstawie interpolacji sześciennej Lagrange a Dane Znaleźć drogę przebytą w czasie od 11s do 16 s. Znaleźć przyspieszenie w chwili t=16 s. Porównać wyniki z uzyskanymi na podstawie interpolacji metodą bezpośredniej i Newtona. Met.Numer. wykład 3 55 Porównanie Met.Numer. wykład
29 Wzór interpolacyjny Lagrange a - przykład Niech dane będą punkty:0,1,3,6.znaleźć wielomian interpolacyjny Lagrange a, który będzie przybliżać funkcję Rozwiązanie: Wartości funkcji f(x) w węzłach interpolacji są następujące: Można pokazać, że wielomian interpolacyjny Lagrange a przyjmuje postać: Met.Numer. wykład 3 57 Wzór interpolacyjny Lagrange a - przykład funkcja f(x) wielomian interpolacyjny W 3 (x) Wielomian interpolacyjny przybliża funkcję f(x) tylko pomiędzy skrajnymi węzłami, tzn. w przedziale [0,6]. Im mniejsze odległości między węzłami, tym lepsze przybliżenie uzyskujemy Met.Numer. wykład
30 Oszacowanie błędu wzoru interpolacyjnego Z jaką dokładnością wielomian interpolacyjny W n (x) przybliża funkcję f(x) w pozostałych punktach leżących wewnątrz przedziału <a, b>? Zakładamy, że funkcja f(x) w rozpatrywanym przedziale <a, b> ma pochodne do rzędu (n+1) włącznie. zależy od wyboru węzłów interpolacji Met.Numer. wykład 3 59 Interpolacja za pomocą funkcji sklejanych-spline Wady interpolacji wielomianowej: Motywacja Pogorszenie wyników interpolacji przy zwiększaniu liczby węzłów. Przykład: Zjawisko Rungego (przykład źle uwarunkowanego zadania): Interpolacja wielomianami wysokich stopni przy stałych odległościach węzłów prowadzi do poważnych odchyleń od interpolowanej funkcji zwłaszcza na końcach przedziału. Interpolacja na środkowych częściach przedziału jest natomiast bardzo dobra i użyteczna Przykład: Met.Numer. wykład
31 Interpolacja wielomianowa szczególnych funkcji Met.Numer. wykład 3 61 Zjawisko Rungego Met.Numer. wykład
32 Mając dane punkty: Interpolacja za pomocą liniowych funkcji sklejanych prowadzimy linie proste pomiędzy punktami. Met.Numer. wykład 3 63 Interpolacja za pomocą liniowych funkcji sklejanych... nachylenie prostej pomiędzy węzłami Met.Numer. wykład
33 Mając dane punkty: Interpolacja kwadratowa za pomocą funkcji sklejanych zapisujemy różne funkcje kwadratowe pomiędzy każdą parą punktów. Met.Numer. wykład 3 65 Interpolacja kwadratowa za pomocą funkcji sklejanych... Znaleźć współczynniki Mamy 3n niewiadomych czyli potrzebujemy 3n równań Met.Numer. wykład
34 Interpolacja kwadratowa za pomocą funkcji sklejanych Każda parabola przechodzi przez dwa sąsiednie punkty, czyli mamy 2n równań.. Met.Numer. wykład 3 67 Interpolacja kwadratowa za pomocą funkcji sklejanych Dodatkowe warunki otrzymujemy żądając ciągłości pierwszych pochodnych w n-1 wewnętrznych punktach węzłowych: dla a zatem. Met.Numer. wykład
35 Interpolacja kwadratowa za pomocą funkcji sklejanych Prowadzi to do n-1 równań postaci:.. Całkowita liczba równań wynosi 2n+(n-1)=3n-1 Potrzebne jedno równanie może przyjąć postać np. Pierwsza funkcja sklejana jest liniowa. Met.Numer. wykład 3 69 Przykład Tabela 1 Prędkość v jako funkcja czasu t t(s) v(m/s) Znaleźć prędkość w chwili t=16 s stosując metodę interpolacji za pomocą kwadratowych funkcji sklejanych Met.Numer. wykład
36 Rozwiązanie Met.Numer. wykład 3 71 Każda funkcja sklejana przechodzi przez dwa sąsiednie punkty Met.Numer. wykład
37 Dalsze równania t(s) v(m/s) Jest 10 równań, 15 poszukiwanych współczynników Met.Numer. wykład 3 73 Żądanie ciągłości pochodnych Met.Numer. wykład
38 Żądanie ciągłości pochodnych - cd dla t=10s dla t=15s dla t=20s dla t=22.5s 4 dodatkowe równania ostatnie równanie Met.Numer. wykład 3 75 Ostateczny układ 15 równań na 15 niewiadomych Met.Numer. wykład
39 Wartości współczynników i a i b i c i Proszę sprawdzić czy podane wartości są prawidłowe Met.Numer. wykład 3 77 Ostateczne rozwiązanie Met.Numer. wykład
40 a) Prędkość w chwili t=16s Prędkość w określonym punkcie Jako zadanie domowe, proszę porównać obliczoną wartość prędkości z wartością otrzymaną za pomocą interpolacji wielomianowej Met.Numer. wykład 3 79 b) Acceleration at t=16 Przyspieszenie w określonym punkcie Met.Numer. wykład
41 Przyspieszenie w określonym punkcie, Funkcja kwadratowa sklejana prawdziwa w punkcie t=16s jest dana jako Jako zadanie domowe, proszę porównać obliczoną wartość przyspieszenia z wartością otrzymaną za pomocą interpolacji wielomianowej Met.Numer. wykład 3 81 Droga z profilu prędkości c) Znaleźć drogę przebytą przez rakietę od t=11s do t=16s. Met.Numer. wykład
42 Droga z profilu prędkości Jako zadanie domowe, proszę porównać obliczoną wartość przebytej odległości z wartością otrzymaną za pomocą interpolacji wielomianowej Met.Numer. wykład 3 83 Błąd wzoru interpolacyjnego Przyjmujemy oznaczenia: Kres górny modułu (n+1)-szej pochodnej funkcji f(x) na przedziale <a,b> Met.Numer. Wykład
43 Błąd wzoru interpolacyjnego Przykład: Ocenić, z jaką dokładnością można obliczyć wartość ln 100,5 przy użyciu wzoru interpolacyjnego Lagrange a, jeżeli dane są wartości: ln 100, ln 101, ln 102, ln 103 Met.Numer. Wykład 4 85 Optymalny dobór węzłów interpolacji Wielkość błędu zależy od wyboru węzłów interpolacji poprzez ω n. Na M n+1 nie mamy wpływu. Jak wybrać węzły interpolacji x i, aby: miało jak najmniejszą wartość Zagadnienie zostało sformułowane przez rosyjskiego matematyka P.L. Czebyszewa jako zagadnienie znajdowania wielomianu algebraicznego najlepiej przybliżającego zero na zadanym przedziale. Met.Numer. Wykład
44 Wielomiany Czebyszewa Wielomiany Czebyszewa (pierwszego rodzaju): Można pokazać, że wielomian T n (x) jest identyczny z pewnym wielomianem algebraicznym zawężonym do przedziału <-1,1>. wzór rekurencyjny Met.Numer. Wykład 4 87 Wielomiany Czebyszewa Wielomiany Czebyszewa pierwszego rodzaju są rozwiązaniem równania różniczkowego: Definiuje się je poprzez wzór Rodriguesa: Wielomiany Czebyszewa pierwszego rodzaju są ortogonalne w przedziale <-1,1> z wagą: Met.Numer. Wykład
45 Optymalny dobór węzłów interpolacji Każdy wielomian Czebyszewa stopnia n ma n różnych pierwiastków w punktach: zawartych między -1 i +1 Współczynnik przy najwyższej potędze w T n (x) jest równy 2 n-1. Szukamy wielomianu, który przy najwyższej potędze ma współczynnik równy jedności gdzie x m (m=0, 1, 2,, n) są pierwiastkami wielomianu T n+1 Met.Numer. Wykład 4 89 Optymalny dobór węzłów interpolacji Wyrażenie: w przedziale <-1,1> ma najmniejszą wartość dla wielomianu: wówczas: Jeżeli w przedziale <-1,1> za węzły interpolacji przyjmiemy zera wielomianu Czebyszewa, to Met.Numer. Wykład
46 Optymalny dobór węzłów interpolacji W dowolnym przedziale <a,b> oszacowanie błędu wynosi: przy wyborze węzłów Nowe węzły x m nie są rozmieszczone w równych odstępach lecz są zagęszczone przy końcach przedziału. Proste transformacje liniowe sprowadzają x z przedziału <a,b> do z należącego do <-1,1> Met.Numer. Wykład 4 91 Podsumowanie interpolacji Przeczytać i przeanalizować rozdział Uwagi końcowe, Z.Fortuna, B.Macukow, J.Wąsowski, Metody numeryczne Wnioski: 1. Przy obliczaniu wartości wielomianu interpolacyjnego w jednym lub kilku punktach problem wyboru postaci wzoru interpolacyjnego nie jest istotny. 2. Rodzaj wybranego wzoru i rozmieszczenie węzłów ma wpływ jedynie na błąd obliczeń. 3. O czasochłonności obliczeń decyduje liczba mnożeń i dzieleń. dla wielomianu Lagrange a stanowi to n 2 +4n+2 dla wielomianu Newtona 1/2 n 2 +3/2 n 2 Met.Numer. Wykład
Metody numeryczne. Sformułowanie zagadnienia interpolacji
Ćwiczenia nr 4. Sformułowanie zagadnienia interpolacji Niech będą dane punkty x 0,..., x n i wartości y 0,..., y n, takie że i=0,...,n y i = f (x i )). Szukamy funkcji F (funkcji interpolującej), takiej
Bardziej szczegółowoInterpolacja. Marcin Orchel. Drugi przypadek szczególny to interpolacja trygonometryczna
Interpolacja Marcin Orchel 1 Wstęp Mamy daną funkcję φ (x; a 0,..., a n ) zależną od n + 1 parametrów a 0,..., a n. Zadanie interpolacji funkcji φ polega na określeniu parametrów a i tak aby dla n + 1
Bardziej szczegółowo3. Interpolacja. Interpolacja w sensie Lagrange'a (3.1) Dana jest funkcja y= f x określona i ciągła w przedziale [a ;b], która
3. Interpolacja Interpolacja w sensie Lagrange'a (3.1) Dana jest funkcja y= f x określona i ciągła w przedziale [a ;b], która przyjmuje wartości y 1, y 2,, y n, dla skończonego zbioru argumentów x 1, x
Bardziej szczegółowoCałkowanie numeryczne przy użyciu kwadratur
Całkowanie numeryczne przy użyciu kwadratur Plan wykładu: 1. Kwadratury Newtona-Cotesa a) wzory: trapezów, parabol etc. b) kwadratury złożone 2. Ekstrapolacja a) ekstrapolacja Richardsona b) metoda Romberga
Bardziej szczegółowoMETODY NUMERYCZNE. Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą. prof. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska
METODY NUMERYCZNE Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą prof. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska Met.Numer. Wykład 4 1 Rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne I Równania nieliniowe
Metody numeryczne I Równania nieliniowe Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/66 Równania nieliniowe 1. Równania nieliniowe z pojedynczym pierwiastkiem
Bardziej szczegółowoINFORMATYKA ELEMENTY METOD NUMERYCZNYCH.
INFORMATYKA ELEMENTY METOD NUMERYCZNYCH http://www.infoceram.agh.edu.pl METODY NUMERYCZNE Metody numeryczne zbiór metod rozwiązywania problemów matematycznych za pomocą operacji na liczbach. Otrzymywane
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Sformułowanie zagadnienia interpolacji
Wykład nr 2 Sformułowanie zagadnienia interpolacji Niech będą dane punkty x 0,..., x n (nazywane węzłami interpolacji) i wartości w węzłach y 0,..., y n. Od węzłów żądamy spełnienia warunku x i x j dla
Bardziej szczegółowoAproksymacja. funkcji: ,a 2. ,...,a m. - są funkcjami bazowymi m+1 wymiarowej podprzestrzeni liniowej X m+1
Założenie: f(x) funkcja którą aproksymujemy X jest przestrzenią liniową Aproksymacja liniowa funkcji f(x) polega na wyznaczeniu współczynników a 0,a 1,a 2,...,a m funkcji: Gdzie: - są funkcjami bazowymi
Bardziej szczegółowoAnaliza numeryczna Kurs INP002009W. Wykład 8 Interpolacja wielomianowa. Karol Tarnowski A-1 p.223
Analiza numeryczna Kurs INP002009W Wykład 8 Interpolacja wielomianowa Karol Tarnowski karol.tarnowski@pwr.wroc.pl A-1 p.223 Plan wykładu Wielomian interpolujący Wzór interpolacyjny Newtona Wzór interpolacyjny
Bardziej szczegółowoINTERPOLACJA I APROKSYMACJA FUNKCJI
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Wprowadzenie Na czym polega interpolacja? Interpolacja polega
Bardziej szczegółowoMETODY NUMERYCZNE. Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą. Rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą
METODY NUMERYCZNE Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh Met.Numer. Wykład 4 1 Rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą
Bardziej szczegółowoPolitechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania. Technologie informatyczne
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Technologie informatyczne Interpolacja metoda funkcji sklejanych Materiały pomocnicze do ćwiczeń laboratoryjnych
Bardziej szczegółowoBardzo łatwa lista powtórkowa
Analiza numeryczna, II rok inf., WPPT- 12 stycznia 2008 Terminy egzaminów Przypominam, że egzaminy odbędą się w następujących terminach: egzamin podstawowy: 30 stycznia, godz. 13 15, C-13/1.31 egzamin
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.
ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. LICZBA TEMAT GODZIN LEKCYJNYCH Potęgi, pierwiastki i logarytmy (8 h) Potęgi 3 Pierwiastki 3 Potęgi o wykładnikach
Bardziej szczegółowoDOPASOWYWANIE KRZYWYCH
DOPASOWYWANIE KRZYWYCH Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski Motywacje Przykład 1. Dane o przyroście światowej populacji są aktualizowane co każde 10 lat, celem szacowania średniego przyrostu rocznego.
Bardziej szczegółowoInterpolacja, aproksymacja całkowanie. Interpolacja Krzywa przechodzi przez punkty kontrolne
Interpolacja, aproksymacja całkowanie Interpolacja Krzywa przechodzi przez punkty kontrolne Aproksymacja Punkty kontrolne jedynie sterują kształtem krzywej INTERPOLACJA Zagadnienie interpolacji można sformułować
Bardziej szczegółowoInterpolacja funkcji
Interpolacja funkcji Interpolacja funkcji Interpolacja funkcji Wielomianowa Splajny Lagrange a Trygonometryczna Interpolacja Newtona (wzór I ) Czebyszewa Newtona (wzór II ) ( Wielomiany Czebyszewa ) Załóżmy,
Bardziej szczegółowoAproksymacja funkcji a regresja symboliczna
Aproksymacja funkcji a regresja symboliczna Problem aproksymacji funkcji polega na tym, że funkcję F(x), znaną lub określoną tablicą wartości, należy zastąpić inną funkcją, f(x), zwaną funkcją aproksymującą
Bardziej szczegółowo1 Równania nieliniowe
1 Równania nieliniowe 1.1 Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym jest numeryczne poszukiwanie rozwiązań równań nieliniowych, np. algebraicznych (wielomiany),
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne
Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 7. Całkowanie numeryczne 7.1. Całkowanie numeryczne 7.2. Metoda trapezów 7.3. Metoda Simpsona 7.4. Metoda 3/8 Newtona 7.5. Ogólna postać wzorów kwadratur
Bardziej szczegółowoZał nr 4 do ZW. Dla grupy kursów zaznaczyć kurs końcowy. Liczba punktów ECTS charakterze praktycznym (P)
Zał nr 4 do ZW WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim : Obliczenia Naukowe Nazwa w języku angielskim : Scientific Computing. Kierunek studiów : Informatyka Specjalność
Bardziej szczegółowoMATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony
MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony W klasie drugiej na poziomie rozszerzonym realizujemy materiał z klasy pierwszej tylko z poziomu rozszerzonego (na czerwono) oraz cały materiał z klasy drugiej. Rozkład
Bardziej szczegółowo2) R stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu.
ZAKRES ROZSZERZONY 1. Liczby rzeczywiste. Uczeń: 1) przedstawia liczby rzeczywiste w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego, ułamka dziesiętnego okresowego, z użyciem symboli pierwiastków, potęg); 2)
Bardziej szczegółowoPropozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony. Klasa I (90 h)
Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony (według podręczników z serii MATeMAtyka) Klasa I (90 h) Temat Liczba godzin 1. Liczby rzeczywiste 15
Bardziej szczegółowoWprowadzenie Metoda bisekcji Metoda regula falsi Metoda siecznych Metoda stycznych RÓWNANIA NIELINIOWE
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Zazwyczaj nie można znaleźć
Bardziej szczegółowoELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 26 czerwca 2017 roku
Egzamin pisemny zestaw czerwca 0 roku Imię i nazwisko:.... ( pkt.) Udowodnić, że jeśli funkcja g interpoluje funkcję f w węzłach x 0, x, K, x n, a funk- cja h interpoluje funkcję f w węzłach x, x, K, x
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA STOSOWANA - KLASA II I. POWTÓRZENIE I UTRWALENIE WIADOMOŚCI Z ZAKRESU KLASY PIERWSZEJ
WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA STOSOWANA - KLASA II I. POWTÓRZENIE I UTRWALENIE WIADOMOŚCI Z ZAKRESU KLASY PIERWSZEJ zna i potrafi stosować przekształcenia wykresów funkcji zna i
Bardziej szczegółowoELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 24 czerwca 2019 roku
Egzamin pisemny zestaw. ( pkt.) Udowodnić, że jeśli funkcja g interpoluje funkcję f w węzłach x 0, x, K, x n, a funk- cja h interpoluje funkcję f w węzłach x, x, K, x n, to funkcja x0 x gx ( ) + [ gx (
Bardziej szczegółowoMetody Obliczeniowe w Nauce i Technice
5. Aproksymacja Marian Bubak Department of Computer Science AGH University of Science and Technology Krakow, Poland bubak@agh.edu.pl dice.cyfronet.pl Contributors Paweł Urban Jakub Ptak Łukasz Janeczko
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Ilorazy różnicowe. dr Artur Woike. Wzory interpolacyjne Newtona i metoda Aitkena.
Ćwiczenia nr 3. Ilorazy różnicowe Niech będą dane punkty x 0,..., x n i wartości f (x 0 ),..., f (x n ). Definiujemy rekurencyjnie ilorazy różnicowe: f (x i, x i+1 ) = f (x i+1) f (x i ) x i+1 x i, i =
Bardziej szczegółowoInterpolacja i modelowanie krzywych 2D i 3D
Interpolacja i modelowanie krzywych 2D i 3D Dariusz Jacek Jakóbczak Politechnika Koszalińska Wydział Elektroniki i Informatyki Zakład Podstaw Informatyki i Zarządzania e-mail: Dariusz.Jakobczak@tu.koszalin.pl
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie równań nieliniowych
Rozwiązywanie równań nieliniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Przykłady wyznaczania miejsc zerowych funkcji f : f(ξ) = 0. Wyszukiwanie miejsc zerowych wielomianu n-tego stopnia. Wymiar tej przestrzeni wektorowej
Bardziej szczegółowodr inż. Damian Słota Gliwice r. Instytut Matematyki Politechnika Śląska
Program wykładów z metod numerycznych na semestrze V stacjonarnych studiów stopnia I Podstawowe pojęcia metod numerycznych: zadanie numeryczne, algorytm. Analiza błędów: błąd bezwzględny i względny, przenoszenie
Bardziej szczegółowoAnaliza numeryczna kolokwium2a-15grudnia2005
kolokwium2a-15grudnia2005 1.Niechf(x)=a n x n +a n 1 x n 1 +...+a 0.Jakąwartośćprzyjmujeilorazróżnicowy f[x 0,...,x n ]dladowolnychn+1paramiróżnychwęzłówx j?odpowiedźuzasadnić. 2. Pokazać, że zamiana zmiennych
Bardziej szczegółowow analizie wyników badań eksperymentalnych, w problemach modelowania zjawisk fizycznych, w analizie obserwacji statystycznych.
Aproksymacja funkcji a regresja symboliczna Problem aproksymacji funkcji polega na tym, że funkcję F(), znaną lub określoną tablicą wartości, należy zastąpić inną funkcją, f(), zwaną funkcją aproksymującą
Bardziej szczegółowox y
Przykłady pytań na egzamin końcowy: (Uwaga! Skreślone pytania nie obowiązują w tym roku.). Oblicz wartość interpolacji funkcjami sklejanymi (przypadek (case) a), dla danych i =[- 4 5], y i =[0 4 -]. Jaka
Bardziej szczegółowoZ52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe.
Z5: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania zagadnienie brzegowe Dyskretne operatory różniczkowania Numeryczne obliczanie pochodnych oraz rozwiązywanie
Bardziej szczegółowoII. RÓŻNICZKOWANIE I CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Janusz Adamowski
II. RÓŻNICZKOWANIE I CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Janusz Adamowski 1 1 Różniczkowanie numeryczne Rozważmy funkcję f(x) określoną na sieci równoodległyc węzłów. Funkcja f(x) może być dana za pomocą wzoru analitycznego
Bardziej szczegółowoMetody przybliżonego rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych
Metody przybliżonego rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych za pomocą szeregów metody dyskretne Metoda współczynników nieoznaczonych Metoda kolejnego
Bardziej szczegółowo( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x
Arkusz I Zadanie. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie x + 3 x 4 x 7. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) x + 3 oraz g ( x) x 4 uwzględniając tylko ich miejsca zerowe i monotoniczność w ten sposób znajdziemy
Bardziej szczegółowoZagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki - klasa I 1. Liczby rzeczywiste
Zagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki - klasa I 1. Liczby rzeczywiste Liczby naturalne Liczby całkowite. Liczby wymierne Liczby niewymierne Rozwinięcie dziesiętne liczby rzeczywistej Pierwiastek
Bardziej szczegółowoMatematyka stosowana i metody numeryczne
Ewa Pabisek Adam Wosatko Piotr Pluciński Matematyka stosowana i metody numeryczne Konspekt z wykładu 8 Interpolacja Interpolacja polega na budowaniu tzw. funkcji interpolujących ϕ(x) na podstawie zadanych
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY
WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY matematyka stosowana kl.2 rok szkolny 2018-19 Zbiór liczb rzeczywistych. Wyrażenia algebraiczne. potrafi sprawnie działać na wyrażeniach zawierających potęgi
Bardziej szczegółowoEgzamin z Metod Numerycznych ZSI, Egzamin, Gr. A
Egzamin z Metod Numerycznych ZSI, 06.2007. Egzamin, Gr. A Imię i nazwisko: Nr indeksu: Section 1. Test wyboru, max 33 pkt Zaznacz prawidziwe odpowiedzi literą T, a fałszywe N. Każda prawidłowa odpowiedź
Bardziej szczegółowoRozkład materiału: matematyka na poziomie rozszerzonym
Rozkład materiału: matematyka na poziomie rozszerzonym KLASA I 105h Liczby (30h) 1. Zapis dziesiętny liczby rzeczywistej 2. Wzory skróconego mnoŝenia 3. Nierówności pierwszego stopnia 4. Przedziały liczbowe
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne rozwiązywania równań różniczkowych
Metody numeryczne rozwiązywania równań różniczkowych Marcin Orchel Spis treści Wstęp. Metody przybliżone dla równań pierwszego rzędu................ Metoda kolejnych przybliżeń Picarda...................2
Bardziej szczegółowoOptymalizacja ciągła
Optymalizacja ciągła 1. Optymalizacja funkcji jednej zmiennej Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 28.02.2019 1 / 54 Plan wykładu Optymalizacja funkcji jednej
Bardziej szczegółowoZwięzły kurs analizy numerycznej
Spis treści Przedmowa... 7 1. Cyfry, liczby i błędy podstawy analizy numerycznej... 11 1.1. Systemy liczbowe... 11 1.2. Binarna reprezentacja zmiennoprzecinkowa... 16 1.3. Arytmetyka zmiennopozycyjna...
Bardziej szczegółowoROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH
Transport, studia I stopnia Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne Wykład 6
Metody numeryczne Wykład 6 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Interpolacja o Interpolacja
Bardziej szczegółowo1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu
1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie
Bardziej szczegółowoZagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony
Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Uczeń realizujący zakres rozszerzony powinien również spełniać wszystkie wymagania w zakresie poziomu podstawowego. Zakres
Bardziej szczegółowo83 Przekształcanie wykresów funkcji (cd.) 3
Zakres podstawowy Zakres rozszerzony dział temat godz. dział temat godz,. KLASA 1 (3 godziny tygodniowo) - 90 godzin KLASA 1 (5 godzin tygodniowo) - 150 godzin I Zbiory Zbiory i działania na zbiorach 2
Bardziej szczegółowoKubatury Gaussa (całka podwójna po trójkącie)
Kubatury Gaussa (całka podwójna po trójkącie) Całka podwójna po trójkącie Dana jest funkcja dwóch zmiennych f (x, y) ciągła i ograniczona w obszarze trójkątnym D. Wierzchołki trójkąta wyznaczają punkty
Bardziej szczegółowoPropozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy. Klasa I (60 h)
Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy (według podręczników z serii MATeMAtyka) Temat Klasa I (60 h) Liczba godzin 1. Liczby rzeczywiste 15 1. Liczby naturalne
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY 1. FUNKCJA KWADRATOWA rysuje wykres funkcji i podaje jej własności sprawdza algebraicznie, czy dany punkt należy
Bardziej szczegółowoV. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE
V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE Standardy wymagań egzaminacyjnych Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY POZIOM ROZSZERZONY 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny
Bardziej szczegółowoProgram zajęć pozalekcyjnych z matematyki poziom rozszerzony- realizowanych w ramach projektu Przez naukę i praktykę na Politechnikę
Program zajęć pozalekcyjnych z matematyki poziom rozszerzony- realizowanych w ramach projektu Przez naukę i praktykę na Politechnikę 1. Omówienie programu. Zaznajomienie uczniów ze źródłami finansowania
Bardziej szczegółowoPakiet edukacyjny do nauki przedmiotów ścisłych i kształtowania postaw przedsiębiorczych
ZESPÓŁ SZKÓŁ HANDLOWO-EKONOMICZNYCH IM. MIKOŁAJA KOPERNIKA W BIAŁYMSTOKU Pakiet edukacyjny do nauki przedmiotów ścisłych i kształtowania postaw przedsiębiorczych Mój przedmiot matematyka spis scenariuszy
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne w przykładach
Metody numeryczne w przykładach Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK, Toruń Regionalne Koło Matematyczne 8 kwietnia 2010 r. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Metody numeryczne w przykładach
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA NIELINIOWE Maciej Patan
RÓWNANIA NIELINIOWE Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski Przykład 1 Prędkość v spadającego spadochroniarza wyraża się zależnością v = mg ( 1 e c t) m c gdzie g = 9.81 m/s 2. Dla współczynnika oporu c
Bardziej szczegółowoPrzedmiotowe Ocenianie Z Matematyki - Technikum. obowiązuje w roku szkolnym 2016 / 2017
Przedmiotowe Ocenianie Z Matematyki - Technikum obowiązuje w roku szkolnym 2016 / 2017 1. Rok szkolny dzieli się na dwa semestry. Każdy semestr kończy się klasyfikacją. 2. Na początku roku szkolnego informuję
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki klasa II technikum
Wymagania edukacyjne z matematyki klasa II technikum Poziom rozszerzony Obowiązują wymagania z zakresu podstawowego oraz dodatkowo: 1. JĘZYK MATEMATYKI I FUNKCJE LICZBOWE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II
ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II POZIOM ROZSZERZONY Równania i nierówności z wartością bezwzględną. rozwiązuje równania i nierówności
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.
ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. TEMAT Równania i nierówności (30h) LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH Liczby wymierne 3 Liczby niewymierne 1 Zapisywanie
Bardziej szczegółowoCałkowanie numeryczne
Całkowanie numeryczne Poniżej omówione zostanie kilka metod przybliżania operacji całkowania i różniczkowania w szczególności uzależnieniu pochodnej od jej różnic skończonych gdy równanie różniczkowe mamy
Bardziej szczegółowoZAKRES PODSTAWOWY. Proponowany rozkład materiału kl. I (100 h)
ZAKRES PODSTAWOWY Proponowany rozkład materiału kl. I (00 h). Liczby rzeczywiste. Liczby naturalne. Liczby całkowite. Liczby wymierne. Liczby niewymierne 4. Rozwinięcie dziesiętne liczby rzeczywistej 5.
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa druga.
Wymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa druga. Funkcja liniowa. Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą, jeśli: - rozpoznaje funkcję liniową
Bardziej szczegółowoMATeMAtyka zakres rozszerzony
MATeMAtyka zakres rozszerzony Proponowany rozkład materiału kl. I (160 h) (Na czerwono zaznaczono treści z zakresu rozszerzonego) Temat lekcji Liczba godzin 1. Liczby rzeczywiste 15 1. Liczby naturalne
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY DRUGIEJ LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO ZAKRES PODSTAWOWY
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY DRUGIEJ LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO ZAKRES PODSTAWOWY I. Funkcja liniowa dopuszczającą jeżeli: wie, jaką zależność między dwiema wielkościami zmiennymi nazywamy
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne Wykład 7
Metody numeryczne Wykład 7 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Plan wykładu Rozwiązywanie równań algebraicznych
Bardziej szczegółowoObliczenia naukowe Wykład nr 6
Obliczenia naukowe Wykład nr 6 Paweł Zieliński Katedra Informatyki, Wydział Podstawowych Problemów Techniki, Politechnika Wrocławska Literatura Literatura podstawowa [1] D. Kincaid, W. Cheney, Analiza
Bardziej szczegółowoRzut oka na współczesną matematykę spotkanie 3: jak liczy kalkulator i o źródłach chaosu
Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 3: jak liczy kalkulator i o źródłach chaosu P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl Instytut Matematyki, Uniwersytet Warszawski MISH UW, semestr zimowy 2011-12 P.
Bardziej szczegółowoWymagania z wiedzy i umiejętności na poszczególne stopnie szkolne z matematyki w Zasadniczej Szkole Zawodowej nr 14
z wiedzy i umiejętności na poszczególne stopnie szkolne z matematyki w Zasadniczej Szkole Zawodowej nr 14 Liczby rzeczywiste Wiadomości i umiejętności rozpoznać liczby naturalne w tym pierwsze i złożone,
Bardziej szczegółowoPrzedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony
Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem
Bardziej szczegółowoKształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 1
Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 1 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego działu, aby uzyskać poszczególne stopnie. Na ocenę dopuszczającą uczeń powinien opanować
Bardziej szczegółowo2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.
2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. Koniecznie trzeba znać: twierdzenia o ekstremach (z wykorzystaniem pierwszej i drugiej pochodnej), Twierdzenie Lagrange a, Twierdzenie Taylora (z resztą w postaci Peano, Lagrange
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA. kurs uzupełniający dla studentów 1. roku PWSZ. w ramach»europejskiego Funduszu Socjalnego« Adam Kolany.
MATEMATYKA kurs uzupełniający dla studentów 1. roku PWSZ w ramach»europejskiego Funduszu Socjalnego«Adam Kolany rozkład materiału Projekt finansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu
Bardziej szczegółowoautomatyka i robotyka II stopień (I stopień / II stopień) ogólnoakademicki (ogólno akademicki / praktyczny)
Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr 10/12 z dnia 21 lutego 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2013/2014
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015
Metody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015 1 Metody numeryczne Dział matematyki Metody rozwiązywania problemów matematycznych za pomocą operacji na liczbach. Otrzymywane
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO OTRZYMANIA PRZEZ UCZNIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI
WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO OTRZYMANIA PRZEZ UCZNIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI (zakres podstawowy) Rok szkolny 2017/2018 - klasa 2a, 2b, 2c 1. Funkcja
Bardziej szczegółowoEgzamin z Metod Numerycznych ZSI, Grupa: A
Egzamin z Metod Numerycznych ZSI, 06.2005. Grupa: A Nazwisko: Imię: Numer indeksu: Ćwiczenia z: Data: Część 1. Test wyboru, max 36 pkt Zaznacz prawidziwe odpowiedzi literą T, a fałszywe N. Każda prawidłowa
Bardziej szczegółowoZakres materiału obowiązujący do próbnej matury z matematyki
ZAKRES PODSTAWOWY Zakres materiału obowiązujący do próbnej matury z matematyki 1) przedstawia liczby rzeczywiste w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego, ułamka dziesiętnego okresowego, z użyciem symboli
Bardziej szczegółowoStandardy wymagań maturalnych z matematyki - matura
Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2011-2014 STANDARDY WYMAGAŃ BĘDĄCE PODSTAWĄ PRZEPROWADZANIA EGZAMINU MATURALNEGO Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY 1. wykorzystania
Bardziej szczegółowoWykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego
Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego 1. Liczby rzeczywiste P1.1. Przedstawianie liczb rzeczywistych w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego,
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KL.VII
WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KL.VII ROZDZIAŁ I LICZBY 1. rozpoznaje cyfry używane do zapisu liczb w systemie rzymskim w zakresie do 3000 2. odczytuje liczby naturalne dodatnie zapisane w
Bardziej szczegółowoSPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
SPIS TREŚCI WSTĘP.................................................................. 8 1. LICZBY RZECZYWISTE Teoria............................................................ 11 Rozgrzewka 1.....................................................
Bardziej szczegółowoNewton vs. Lagrange - kto lepszy?
Uniwersytet Mikołaja Kopernika Wydział Matematyki i Informatyki Katedra Analizy Matematycznej Agnieszka Rydzyńska nr albumu: 254231 Praca Zaliczeniowa z Seminarium Newton vs. Lagrange - kto lepszy? Opiekun
Bardziej szczegółowoZdający posiada umiejętności w zakresie: 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny i formułuje uzyskane wyniki
Standardy wymagań na egzaminie maturalnym z matematyki mają dwie części. Pierwsza część opisuje pięć podstawowych obszarów umiejętności matematycznych. Druga część podaje listę szczegółowych umiejętności.
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki
Wymagania edukacyjne z matematyki Liceum Ogólnokształcące Klasa I Poniżej przedstawiony został podział wymagań edukacyjnych na poszczególne oceny. Wiedza i umiejętności konieczne do opanowania (K) to zagadnienia,
Bardziej szczegółowoObliczenia Naukowe. Wykład 12: Zagadnienia na egzamin. Bartek Wilczyński
Obliczenia Naukowe Wykład 12: Zagadnienia na egzamin Bartek Wilczyński 6.6.2016 Tematy do powtórki Arytmetyka komputerów Jak wygląda reprezentacja liczb w arytmetyce komputerowej w zapisie cecha+mantysa
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY
WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY matematyka stosowana kl.2 rok szkolny 2018-19 Zbiór liczb rzeczywistych. Wyrażenia algebraiczne. potrafi sprawnie działać na wyrażeniach zawierających potęgi
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów.
Rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów. Plan wykładu: 1. Wyznaczanie pojedynczych pierwiastków rzeczywistych równań nieliniowych metodami a) połowienia (bisekcji)
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA ZP Ramowy rozkład materiału na cały cykl kształcenia
MATEMATYKA ZP Ramowy rozkład materiału na cały cykl kształcenia KLASA I (3 h w tygodniu x 32 tyg. = 96 h; reszta godzin do dyspozycji nauczyciela) 1. Liczby rzeczywiste Zbiory Liczby naturalne Liczby wymierne
Bardziej szczegółowoZADANIA OPTYMALIZCJI BEZ OGRANICZEŃ
ZADANIA OPTYMALIZCJI BEZ OGRANICZEŃ Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTEP Zadanie minimalizacji bez ograniczeń f(ˆx) = min x R nf(x) f : R n R funkcja ograniczona z dołu Algorytm rozwiazywania Rekurencyjny
Bardziej szczegółowoStandardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2010
Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2010 STANDARDY WYMAGAŃ BĘDĄCE PODSTAWĄ PRZEPROWADZANIA EGZAMINU MATURALNEGO Standardy można pobrać (plik pdf) wybierając ten link: STANDARDY 2010 lub
Bardziej szczegółowo