Aproksymacja funkcji

Transkrypt

1 Aprosymcj fcj. Ogóle sformłowe zgde prosymcj jedowymrowej Sformłowe zgde prosymcj D - prosymcj cągł: zleźć fcję p( x ) prosymjącą (zstępjącą, przylżjącą) dą fcję cągłą ( ) f x w przedzle [ ] p( x ) powy sę różć j jmej w przedzle [ ]. Fcje f ( x ) orz w sese oreśloej ormy cłowej; - prosymcj dysret (rys): zleźć fcję p( x ) prosymjącą (cągljącą) dą fcję dysretą, czyl oreśloą poprzez zór wrtośc ( x, f ) dl =,,...,. Odcęte x zyw sę węzłm prosymcj, tomst rzęde f - wrtoścm węzłowym. ( x, y ) ( ) x, y Y ( ) x, y X W cel doo prosymcj oreśl sę rząd prosymcj. Wąże sę o z lczą m ezleżyc lowo fcj zowyc ϕ j ( x), j =,..., m, przyjmowyc podstwe oreśloej zleżośc, tże z lczą m ezyc współczyów lczowyc, tóre zostą wyzczoe w zd prosymcj. Ogóly zps fcj prosymjącej: j p( x) = ϕ ( x) ϕ ( x) = ϕ ( x) (..) m m m j j j= l w otcj mcerzowej: ϕ( x) ϕ( x) T p( x) = ϕ( x), gdze : =, ϕ ( x) = (..) ( m)... ( m)... m ϕm ( x) Przy czym > m. Dl = m zde prosymcj stje sę zdem terpolcj. Dl < m zde jest eoreśloe.

2 Dodtowo w przypd prosymcj dysretej moż przyjąć wg w dl żdego węzł z oso, tóre śwdczą o dołdośc prosymcj w dym węźle. Im węsz wg, tym lżej tego włśe pt przejdze rzyw prosymcyj p( x ). Wg moż doerć wedłg oreśloej z góry cągłej fcj wgowej w( x ), zjącej p. ryterm odległoścowym od stloego z góry pt. Wg zer sę do mcerzy dgolej zwej mcerzą wgową. w w 0 0 W (..3) w = dg( w ) = ( ) Oczywśce wprowdze wg e jest oecze. W przypd, gdy e są oe oreśloe, formle moż przyjąć: w = w =... = w =. W węszośc przypdów prosymcj dooje sę mmlzcj (w przedzle prosymcj) odpowedej ormy różcy pomędzy dą fcją f (cągłą f ( x ) l dysretą ( x, f ) ), szą fcją p( x ). Różc t zyw sę łędem prosymcj; jest o defowy w stępjący sposó: [ ] p( x) f ( x), dl x - prosymcj cągł ε ( x) = p( x ) f, dl =,..., - prosymcj dysret (..4) Te podejśce zyw sę jlepszą prosymcją. Ztem dl jlepszej prosymcj mmlzowe jest wyrżee m ε ( x) j m T m ϕ( x) f ( x) = m jϕ j ( x) f ( x), x j j= = m T m ϕ( x) f = m jϕ j ( x ) f, =,..., j j= [ ] (..5) Jeżel zstosową ormą jest orm Eldes (średo wdrtow, m ε ( x) ) to metod zyw sę metodą jmejszyc wdrtów. Ay ąć trdośc olczeowyc, rozptrje sę wdrt ormy - Dl prosymcj cągłej: - Dl prosymcj dysretej: ε ε e = ( x) = ( ( x) dx) (..6) e ε ε = Nstępe leży zleźć mmm fcj łęd czyl Dl prosymcj cągłej: = = ( ( x )). (..7) m e. j

3 ϕ ϕ (..8) T T ( ) ( ) m e = m ( x) f ( x) dx ( x) f ( x) dx = 0 Stąd wy: T ( ) T ϕ( x) ϕ( x) f ( x) dx = 0 ϕ( x) ϕ ( x) ϕ( x) f ( x) dx = 0 T ϕ( x) ϕ ( x) dx = ϕ( x) f ( x) dx (..9) co sprowdz sę do rozwąz łd rówń - F = F Φ = Φ (..0) w tórym: T Φ = ( x) ( x) dx ϕ ( x) ϕ j ( x) dx ϕ ϕ = = ( m m) =, j=,... m ϕ ( x) ϕ ( x) dx ϕ ( x) ϕ ( x) dx... ϕ ( x) ϕm( x) dx ϕ ( x) ϕ ( x) dx ϕ ( x) ϕ ( x) dx... ϕ ( x) ϕm( x) dx ϕm( x) ϕ( x) dx ϕm( x) ϕ( x) dx... ϕm( x) ϕm( x) dx (..) ϕ( x) f ( x) dx ϕ( x) f ( x) dx F = ( x) f ( x) dx ϕ ( ) ( ) x f x dx ( m) ϕ = = (..) =,..., m Ntomst dl wżoej prosymcj dysretej:... ϕm( x) f ( x) dx T T ( Wϕ x f ) ( ϕ ) m e m ( ) m w ( x ) f = = = T ( wϕ ( x ) f ) = 0 = (..3) Stąd wy T T ( wϕ x f ) wϕ x ( ϕ x wϕ x ϕ x w f ) ( ) ( ) = 0 ( ) ( ) ( ) = 0 = = T ϕ( x ) wϕ ( x ) ϕ( x ) w f = = = (..4)

4 co sprowdz sę do rozwąz łd rówń Τ Τ Τ - Τ Φ W Φ = Φ W F = ( Φ W Φ ) Φ W F (..5) w tórym: ϕ( x ) ϕ( x )... ϕm( x ) ϕ ( x ) ϕ ( x )... ϕ ( x ) = ϕ ( x ) = ϕ ( x ) ϕ( x )... ϕm( x) f f F = [ f ] = (..7) =,..., m f m Φ j =,..., ( m) (..6) j=,... m ( )... tomst mcerz wgow W m postć (..3). Po rozwąz zd prosymcj (wyzcze jej współczyów), moż olczyć łąd tej prosymcj podstwe stępjącyc wzorów: - Dl prosymcj cągłej: ε = ( ) - Dl prosymcj dysretej: p( x) f ( x) dx (..8) ( p( x ) ) f, dl ormy Eldes = = mx p( x ) f, dl ormy msmowej ε p( x ) f = =,,..., (..9) Przy oreśl ormy w wyrże (..5), zmst ormy Eldes, moż też stosowć p. ormę Czeyszew. Przyłdowo dl prosymcj cągłej: ε ( x) = mx ε ( x) m mx f ( x) p( x) ) (..0) j x Zde prosymcj os wtedy zwę zd m-mx. We wszystc powyższyc wzorc dl prosymcj dysretej leży zwżyć, ż w przypd, gdy = m, czyl gdy lcz dyc wrtośc ędze t sm, j lcz współczyów prosymcj, ońcow rzyw p( x ) przejdze w sposó dołdy przez wszyste de pty. Będze to ozczło, ż łąd prosymcj (..9) ędze rówy zero. T szczególy przypde prosymcj zyw sę terpolcją. W przypd terpolcj stosowe metody wżoej e m żdego ses.. Aprosymcj jedomow

5 Njprostszą zę fcj zowyc dl prosymcj stową jedomy, są oe jczęścej wyorzystywe do zd prosymcj dysretej. Dl prosymcj cągłej, prócz jedomów, jczęścej żyw sę yc fcj (welomowyc l e ędącyc welomm), ortogolyc (l przyjmej ortogolyc z wgą), tc j welomy specjle Czeyszew, Bessel, Legedre czy Hel. Dl prosymcj jedomowej rzęd m- m j m j m m m (..) j= p( x) = x = + x x + x podstwe powyższyc ogólyc wzorów dl prosymcj cągłej, wyją stępjące postce mcerzy wetor łd rówń: j + j j x + Φ = x x dx = x dx = = ( m m), j=,... m, j=,... m + j, j=,... m... m + j + j... = ( ) = 3 m j + +, j=,... m m m m... m m + m m m 3 3 m+ m+ + m+ m m (..) f ( x) dx x f ( x) dx F (..3)... m x f ( x) dx = x f ( x) dx = ( m) =,..., m Olczee cłe występjącyc w mcerzy Φ możlwe yło drodze ltyczej. Jedże cł w wetorze F wymgją zzwyczj stosow odpowedc metod meryczyc, z wg dowolą postć fcj f ( x ). Przyłdowo, zstosowe - rote złożoego dwptowego wzor Gss prowdz do stępjącej wdrtry meryczej dl -tego elemet wetor F F = x f ( x) dx x f ( x ) x f ( x ) +, =,,..., m (..4) ( j) ( j) ( j) ( j) j= gdze =, x ( j) ( ) + j = + orz 3 x ( j) ( ) + j = +. 3 W przypd jedomowej prosymcj dysretej postć mcerzy łd rówń jest stępjąc:

6 m x... x m j x... x Φ = x =,..., = (..5) j=,... m m x... x ( m) W jprostszym przypd (gdy wszyste wg są rówe ), moż zpsć od rz ońcową postć łd rówń współczy prosymcj: m x... x f = = = m x x... x x f = = = = = =... (..6) m m m m x x... x x f = = = = 4 de pty prosymcj Przyłd Dl dyc z tel pożej zdowć prosymcję lową. Rozptrzyć dw przypd: metodę zwyłą wżoą przypsjąc żdem z węzłów jego mer jo wgę. 3 x 0 f 0 4 Postć prosymcj lowej: p( x) = ϕ ( x) + ϕ ( x) = + x. Olcze dl metody zwyłej: podstwe wzor (..6) otrzymjemy łd rówń

7 3 3 5 = 3 p( x) x 3 5 = = = x f p p( x ) = p f ε ε = Śred łąd prosymcj e = = 3 3 ε = Olcze dl metody wżoej: podstwe wzorów (..3), (..5) orz (..5), otrzymjemy: T T Φ =, 0 0, W = F =, Φ W Φ =, 8 4 Φ WF = (3 ) (3 ) Końcowy łd rówń m ztem postć: = 0.6 p( x) 0.6.x 8 4 = = + 6 =. x f p p( x ) = p f ε ε = Njwęsz poprw jośc prosymcj dl węzł x 3 = (tóry mł przypsą jwęszą wgę). Śred łąd prosymcj e = = 3 3 ε = Przyłd Zleźć wdrtową prosymcję fcj y s( x) 0 π. = w przedzle [ ] Postć prosymcj wdrtowej: p( x) = ϕ ( x) + ϕ ( x) + ϕ ( x) = + x + x N podstwe wzorów (..) (..3) otrzymjemy:

8 3 π π π π π π Φ = π π π (3 3) F ( 3) π π s( x) dx cos( ) 0 x 0 π π x s( x) dx ( s( x) x cos( x) ) π 0 0 π π = = = ( cos( x) x cos( x) xs( x) ) x s( x) dx + Końcowy łd rówń m ztem postć: π π π = π π π π.3 p( x) x 0.477x 3 4 = = = π π π = Błąd prosymcj - podstwe (..8): π ε = ( x 0.477x s( x) ) dx π + = 0 Ilstrcj grfcz rozwąz zd:

9 Zde Dooć prosymcj dysretej fcj y x = e w przedzle [ ]. Przyjąć cztery rówoodległe węzły orz dwe fcje zowe ϕ ( x) = orz ϕ ( x) s( x) =. Olczyć łąd tej prosymcj. Zde Dooć prosymcj cągłej fcj y x = e w przedzle [ ] zowe ϕ ( x) = orz ϕ ( x) s( x) =. Olczyć łąd tej prosymcj.. Przyjąć dwe fcje 3. Iterpolcj jedomow Krzywą terpolcyją p(x) przy terpolcj jedomowej zjdje sę z łd rówń o wdrtowej mcerzy współczyów (..5) : x... x - x... x Φ = F, = Φ F, gdze: Φ = (.3.) ( ) x... x Mcerz Φ przy terpolcj jedomowej w ltertrze os zwę mcerzy V Der Mod. Mcerz Φ jest eosolw (det Φ 0), gdy, j x x j, czyl węzły terpolcj e mogą sę porywć (tz. de dysrete przyporządowe ms yć fcją). 4. Iterpolcj Lgrge' W przypd, gdy fcjm zowym są welomy corz wyższyc stop, wy ońcowy (rzyw terpolcyj) jest oczywśce t sm. Ntomst moż poszwć go róże sposoy. Jede z c pozwl omęce rozwązyw łd rówń złdjąc specyfczą welomową postć fcj zowyc. Otóż, jeżel przyjme sę fcje zowe ( ϕ ( x) L ( x), tzw. welomy Lgrge ) w zleżośc od rozłoże węzłów t, że: postć: 0, j L ( x j ) =, to mcerz współczyów Φ przyjme stępjącą, = j L ( x ) L ( x )... L ( x ) L ( x ) L ( x )... L ( x ) Φ = = = I (.4.) L ( x ) L ( x )... L ( x )

10 Ułd rówń ędze mł rozwąze: Ι = F = F. W przypd tej terpolcj (tzw. terpolcj Lgrge ) przy odpowedm doorze fcj zowyc ze są od rz współczy rzywej terpolcyjej są m wrtośc węzłowe: (.4.) = p( x) = f L ( x) = f L ( x) + f L ( x) f L ( x) Jedyą trdość stow zlezee welomów Lgrge. Jest c tyle, le węzłów. Dowoly, -ty welom zerje sę we wszystc węzłc oprócz węzł z merem -tym, w tórym przyjmje wrtość. Oczywśce pomędzy węzłm welom przyjmje wrtośc ezerowe. Moż go opsć wzorem: L ( x) ( x x ) ( x x )... ( x x ) ( x x )... ( x x ) ( x x ) ( x x )... ( x x ) ( x x )... ( x x ) + = = + j= j j= j ( x x ) ( x x ) j j (.4.3) Lcz jest loczyem różc ( x x j ) tworzoym z pomęcem węzł x. Pojw sę o z to w mow, tóry jest lczem polczoym dl x = x. Błąd terpolcj Lgrge dl dowolego x moż oreślć z stępjącego wzor: ( ) ( ) ξ mx = = f ( ) ( x x ) f ( x x ) ε ( x) =, x ξ x!! (.4.4) ( ) f ozcz pocodą -tego rzęd, tomst ξ jest ptem pośredm z przedzł, w tórym dooje sę terpolcj. Uogóleem terpolcj Lgrge jest terpolcj l Hermtte, w tórej w węzłc oo wrtośc fcj mogą yć róweż de wrtośc pocodyc. 5. Welomy Czeyszew Iterpolcj welomow fcj dysretej dje wy ścsłe, gdy terpolowy jest welom, co jwyżej stop -. Dl stop wyższyc orz dl wyjścowyc fcj eędącyc welomm wy są w jś sposó przylżoe. Dl wysoc stop terpolcj rzywe welomowe są estle, tz. mmo przejśc ścsłego przez wszyste pty mędzy m zczyją corz rdzej sę rozegć do esończoośc (zwłszcz w oolcc węzłów początowyc ońcowyc - tzw. efet Rge). Ay zpewć msymlą stlość tc wyów stosje sę jo fcje zowe welomy ortogole (l ortogole z wgą) p. fcje specjle Lgrge (e mylć z wcześej omwym welomm Lgrge ), l Hermtte, Legedre czy Czeyszew. Te ostte mją jeszcze jedą rdzo wżą dl prosymcj włsość: jeżel mowce t doerze sę węzły prosymcj, y porywły sę oe z mejscm zerowym odpowedego welom Czeyszew, to wtedy msymly łąd t zdowej terpolcj welomowej zoste zmmlzowy. Błąd msymly terpolcj moż opsć wzorem

11 ( ) ε ( x) fmx ( x x ) (.5.) = Zde Czeyszew poleg ztem zleze mmm msymlej wrtośc (.5.) w przedzle, z loczy x = = ( x x ), czyl m mx ( x x ) (.5.) x Welomy Czeyszew moż oreślć dw sposoy: - sposó tercyjy: Tm( x) = cos( ( m ) rc cos x), T ( x) = - sposó rerecyjy: T ( x) = x Tm ( x) = x Tm ( x) Tm ( x) Powyższe wzory oowązją w przedzle x. To przedzł, w tórym welomy Czeyszew są oreśloe w tórym są ortogole (z wgą). W oretyc zstosowc rdzej orzysty jest wzór rerecyjy, gdze dy welom olcz sę podstwe dwóc poprzedc. Dl przyłd pozo l stępyc welomów Czeyszew: T x x T x T x x x x 3( ) = ( ) ( ) = = T x x T x T x x x x x x 3 4( ) = 3( ) ( ) = ( ) = 4 3 T x x x 4 5( ) = T x x x 5 3 6( ) = (.5.3) Ay zleźć mejsc zerowe m-tego welom Czeyszew, e trze rozwązywć w tym cel rów Tm ( x ) = 0 ; moż posłżyć sę gotowym wzorem: π x = cos, =,,..., m m Włsość ortogolośc welomów Czeyszew z wgą µ ( x) = cł: 0, j T ( x) T ( x) Ij = dx = = j π, = j = x (.5.4) poleg tym, ż j π, (.5.5) x

12 Poewż w oretyc zdc mmy do czye z dowolym przedzłem terpolcj, dltego też zcodz potrze trsformcj wyjścowego przedzł do przedzł, w tórym ze są welomy Czeyszew odwrote: Nec z,, x, : z ( + ) - przejśce z x : x =, - Przejśce x z : z = [( ) x + ( + )]. Uwg! W zdc terpolcj moż zowć zdej stce węzłów, tylo jo fcj zowyc żyć welomów Czeyszew (tzw. terpolcj Czeyszew), lo przyjąć węzły jo mejsc zerowe odpowedego welom Czeyszew, stępe terpolowć żywjąc do tego jedej z pozyc metod (w tym tże terpolcj Czeyszew). To smo dotyczy tże prosymcj fcj. Przyłd 3 D jest fcj dysret ( z, f ), =,,3. Dooć terpolcj Czeyszew. 3 z 0 f 0 4 Węzłów e wyzczmy są z góry pode. Do terpolcj trzec węzłc potrzee ędą trzy welomy Czeyszew, orygle oreśloe w przedzle x, T x T x x T x x ( ) =, ( ) =, 3( ) = Wzory trsformcję mędzy przedzłm z 0,, x, : x = z, z = x +. Welomy Czeyszew w przedzle z 0, : T z T z z T z z z z ( ) =, ( ) =, 3( ) = ( ) = 4 + Tworzymy łd rówń: T ( z) T ( z) T3 ( z) f 0 Φ = T ( z ) T ( z ) T ( z ) = 0, F = f = 3 T ( z3) T ( z3) T3 ( z3) f 3 4 rozwązjemy:

13 .5 Φ = F = 0.5 Wzór terpolcyjy: 3 p( x) = T ( z) + T ( z) + 3 T3 ( z) = + ( z ) + (z 4z + ) = z Przyłd 4 Dooć terpolcj fcj = + z w przedzle z 0,5 f ( z). Jo fcje zowe przyjąć welomy Czeyszew, jo węzły terpolcj mejsc zerowe welom T ( x ). 4 Zczjmy od węzłów terpolcj w przedzle x,. Welom T ( ) 4 x m trzy mejsc zerowe, co od rz mplje trzy węzły węc terpolcję prolą. Korzystmy ze wzor mejsc zerowe: π x = cos, =,,3 3 x 3 π π 3 x = cos = cos = = π π x = cos = cos = π 5 3 = cos = cos π = = Ntomst welomy potrzee do wzor terpolcyjego: T x T x x T x x ( ) =, ( ) =, 3( ) = Wzory trsformcję mędzy przedzłm z 0,5, x, : 5 x( z) = z, z( x) = ( x + ) 5 Mejsc zerowe welomy w przedzle z 0,5 : 5 5 z = ( x + ) = ( 3 + ) = z = ( x + ) = = z3 = ( x3 + ) = ( 3) =

14 8 8 T z T z z T z x z z ( ) =, ( ) =, 3( ) = ( ) = + Dysretyzcj fcj f ( z) = + z (węzły łożoo w olejośc rosącej): f 3 z = f ( z ) Bdow rozwąze łd rówń: T ( z) T ( z) T3 ( z) f Φ = T ( z ) T ( z ) T ( z ) = 0, F = f = T ( z3) T ( z3) T3 ( z3) f Φ = F = Wzór terpolcyjy: 8 8 p z T z T z T z z z z = z z ( ) = ( ) + ( ) + 3 3( ) = ( ) ( + ) Sprwdzee włsośc terpolcyjyc welom p( z ) : p = p( z = ) = = f, p = p( z =.50) =.6958 = f, p = p( z = ) = = f Olczee średego łęd terpolcj: 5 5 [ ( ) ( )] ( ) ε vr = p z f z dz = z + z + + z dz = 0 0 Oszcowe msymlego łęd terpolcj: III z III III f ( z) = 3, f 5 mx = f ( z = ) = ( + z ) ( z )( z.50)( z ) ε ( z) = 6 = ( z )( z.50)( z )

15 Np. dl z = orygl wrtość fcj wyos f = + =.36068, t pocodząc z terpolcj p = p() =.759. Oszcowe łęd ε () Zde 3 Proszę wy z powyższego przyłd porówć z wym otrzymym dl tej smej fcj, w tym smym przedzle, le dl trzec rówoodległyc węzłów - terpolcj dooć z pomocą welomów Lgrge' l Czeyszew. 6. Iterpolcj fcjm slejym (fcje typ sple) Przy wzrośce lczy węzłów terpolcj dje epożąde efety mędzywęzłowe w postc corz węszyc wrtośc grdetów fcj terpoljącej. Ay tem zpoec jedocześe zcowć włsośc terpolcyje, wprowdzoo terpolcję fcjm slejym. Poleg o zleze rzywej sego stop, słdjącej sę z różyc włów (czyl o różyc wzorc ltyczyc) przedzłc wyzczoyc przez oleje pry węzłów. Dodtowo wymg sę odpowedc wrów cągłośc: fcj slej (sple) rzęd pow meć sty wszystc przedzłów cągłe pocode, począwszy od smej fcj ż do pocodej rzęd - włącze Rozwżmy zór ptów ( x, f ), =,,...,. Kżdy sple rzęd m perwszym odc x x, x wzór + + = p( x) = x + x x + = x (.6.)

16 Nstępe wrz z przerczem olejyc węzłów docodzą stępjące słd welomowe: p( x) + ( x x ) dl x x, x 3 p( x) + ( x x ) + ( x x ) dl x x, x td Ogóle sple rzęd moż zpsć jedym ogólym wzorem: = = = s( x) = p( x) + ( x x ) = x + ( x x ) ( x x ), dl x > x, ( x x ) + = 0, dl x x (.6.) W żdej rzywej sple są ewdome współczy, =,,..., +, =,3,...,. Rzem ewdomyc jest +. Począwszy od = (edy ewdomyc jest + = + ) sme rów pocodzące od ptów przez tóre rzyw m przejść są ewystrczjące. Wprowdz sę węc dodtowe wr pocode sple w węzłc. I t sple rzęd = (sple lowy) e wymg zjomośc żdyc dodtowyc wrów), sple rzęd = (sple wdrtowy, prolczy) I wymg zjomośc wrtośc pocodej w tórymś z węzłów, tj. s ( x ) = α, tomst sple rzęd =3 wymg zjomośc wrtośc dwóc pocodyc (perwszej drgej l dwóc perwszyc) w wyryc dwóc węzłc (może yć w tym smym), p. I II s ( x ) α, s ( x ) β j, l,,..., ). Jeżel formcje o pocodyc są pode w j = = ( { } l węzłc perwszego przedzł x x, x (tm gdze oowązje przeps s( x) = p( x) ), to współczy moż wyzczyć (z łd rówń) ezleże od współczyów (ze wzor rerecyjego). Jeżel tomst wr rzegowe e pozwlją jedozcze wyzczee odc rzywej w przedzle x x, x, to wtedy e moż wyzczyć rerecyje współczyów, lecz trze zdowć w te sposó dży łd rówń ewdome współczy. Dlej rozwży ędze przypde perwszy: wszyste wrtośc pocodyc de są w perwszym węźle ( x = x ). Ogóle wzory sple (dl =,,3 ) - sple lowy: - sple wdrtowy: - sple sześcey: s( x) = x + + ( x x ) +, (.6.3) = 3 + = s( x) = x + x + + ( x x ), (.6.4) = s( x) = x + x + x + + ( x x ). (.6.5) j

17 Wyzczee współczyów, =,,..., + odyw sę poprzez zpse wrów terpolcj perwszym przedzle x x, x orz poprzez wyorzyste ewetlyc dodtowyc formcj o pocodyc w tyc węzłc: - dl sple lowego: s( x) = f x + = f =... s( x) = f x + = f =... (.6.6) - dl sple wdrtowego: s( x) = f x + x + 3 = f =... s( x) = f x + x + 3 = f =... I s ( x ) α x α = + = 3 =... (.6.7) - dl sple sześceego: 3 s( x) = f x + x + 3x + 4 = f =... 3 s( x) f = x + x + 3x + 4 = f =... I s ( x ) = α 3 x + x + 3 = α 3 =... II s ( x ) β 6x β = + = 4 =... (.6.8) Wyzczee współczyów, =, 3,..., odyw sę z pomocą wzor rerecyjego ezleże od rzęd sple ; wzór wyprowdz sę wyorzystjąc pozostłe wr sple począwszy od x = x3 s( x ) = p( x ) + ( x x ) = f = f p( x ) ( ) 3 3 x3 x (.6.9) potem dl x = x4 s( x ) = p( x ) + ( x x ) + ( x x ) = f = f p( x ) ( x x ) ( x4 x3) (.6.0) td. Ogóle dl x = x,,3,..., j = : j+ j j+ j+ j+ j+ = s( x ) = p( x ) + ( x x ) = f j j+ j+ j j+ j j+ = p( x ) + ( x x ) + ( x x ) = f stąd: (.6.)

18 j f p( x ) ( x x ) =, j =,3,..., j j+ j+ j+ = ( x j+ x j ) (.6.) Przyłd 5 Dl dyc z poprzedc przyłdów zleźć sple lowy. Wzór ogóly sple : Wyzczee współczyów, : s(0) = 0 = 0 = s() = + = = 0 Wyzczee współczy 3 x 0 f = s( x) = p( x) + ( x x ) = x + + ( x ) p( x) = x s() = 4 p() + ( ) = 4 = 4 = Wyzczee wzor sple x, dl 0 x s( x) = x + ( x ) + =. 3x, dl < x Przyłd 6 Dl dyc z poprzedego przyłd zleźć sple wdrtowy. 3 x 0 f 0 4 I Dołączmy formcję o pocodej sple dl x = 0 s (0) = α = 0. Wzór ogóly sple Wyzczee współczyów,, 3 3 s( x) = p( x) + ( x x ) = x + x + + ( x ) = 3 I I s ( x) = p ( x) + ( x x ) = x + + ( x ) =

19 s(0) = 0 3 = 0 = s() = = = 0 p( x) = x I s (0) 0 0 = = 3 = 0 Wyzczee współczy s() = 4 p() + ( ) = 4 = 4 = 0 Wyzczee ońcowego wzor sple s x = x + x = x x. ( ) 0 ( ) + dl 0 W osttm przyłdze tylo pozore terpolcj jest slej. Poewż de pocodzą od fcj wdrtowej, to sple wdrtowy przestoczył sę w oryglą fcję o jedym przepse dl wszystc x. Rów różczowe cząstowe. Ogól crterysty rówń różczowyc cząstowyc Ogól postć lowego rów różczowego cząstowego drgego rzęd x x y y x y + + c + d + e + g = f (..) Nez fcj ( x, y) Współczy,,,,,, = jest fcją dwóc zmeyc ezleżyc x y. c d e f g mogą yć zrówo fcjm (p. ( x, y) = ), j lczm (p. = cost ). Ay rówe yło drgego rzęd, co jmej jede współczy,, c ms yć róży od zer, w przedzle oreśloośc fcj Ω. Typ rów moż oreślć w zleżośc od z wyrże zwego wyróżem rów (log do rów lgerczego) = 4c (..) - typ elptyczy < 0 - typ prolczy = 0 - typ perolczy > 0 W zleżośc od typ rów, sposó jego lzy (zrówo ltyczej, j meryczej) jest róży. Njczęstsze szczególe postce rówń to - rówe elptycze x y + = C xx + yy = C = C = C (..3)

20 przy czym dl C = 0 - rówe Lplce', dl C 0 - rówe Posso. - rówe prolcze (y = t) = 0 = (..4) xx t xx t Przyłdem tego rów może yć rówe dyfzj (estloego przepływ cepł). - rówe perolcze (y = t) = 0 = (..5) xx tt xx tt Przyłdem tego rów może yć rówe drgń, l wyre rów teor plstyczośc.. Zgde elptycze Węszość zgdeń mec cł odsztłclego / fzy to zd elptycze, p. sręce pręt pryzmtyczego ( C = Gϑ, G - modł Krcoff, ϑ - ąt sręce ), f deformcj trczy, stloy przepływ cepł ( C =, f - tesywość geercj cepł, α - α współczy przewodośc ceplej), fltrcj przez ośrode porowty orz rozłd łdów eletryczyc mgetyczyc. Przyłdowo: Zleźć wrtośc węzłowe dl rów f x f y + = przy zerowyc wrc rzegowyc fcję. Przyjąć stę prosymcyją, j rys. pożej. Zstosowć podejśce różcowe Oszr zd podleg dysretyzcj (geercj st) wprowdzoo 5 węzłów merowyc od 0 do 4 rówomere rozłożoyc w oszrze (w oydw erc = ). z c do węzły rzegowe, w tóryc z wrów zd wdomo, ż f = 0. Pozostłe węzły zwerją ewdome węzłowe wrtośc. W zd moż sorzystć z wrów symetr (symetr wy z geometr oszr, postc wrów rzegowyc

21 postc fcj prwej stroy rów różczowego w oszrze). Uwzględjąc symetrę moż zpsć f0 = f = f = f3 = f4 = f5 = f9 = f0 = f = f = f3 = f4 = 0. f = f 8 6 Lcz ewdomyc zostł węc zredow do dwóc ( f 6, f 7 =? ). Podstwową cecą lzy różcowej zstąpee w węzłc oszr opertor różczowego odpowedm opertorem różcowym. Moż go wygeerowć l sposoów. W rozwżym przypd moż wyorzystć prostą strtrę st dooć ompozycj dwóc opertorów drge pocode, w er x y x y f(, ) = ( + ) f (, ) f (, ) + f(, ) + f(, ) + f(, ) 4 f(, ) ( + + ) (..6) Powyższy stdrdowy różcowy opertor Lplce' pozwl olczee wrtośc fcj f w węźle o merc (, ), przy wyorzyst wrtośc fcj lewo, prwo, z doł, z góry ze środ gwzdy (rys. pożej) (,+) (-,) (,) (+,) (,-) 3. Zgde prolcze - estloy przepływ cepł Sformłowe prolem ( ) 0 α = f, x, t Ω, x, t t (..) xx t (, t) = - wr rzegowe (, t) = - wre początowy ( x, t ) = 0 0 α ozcz współczy przewodośc ceplej, f f ( x, t) geercj cepł w oszrze. Szy jest rozłd tempertry ( x, t) czs t. = - fcj tesywośc = w żdej cwl

22 Nmerycz lz rów może yć przeprowdzo z pomocą metody różcowej. W tym cel leży wprowdzć do oszr Ω stę z podzłem rówomerym w oydw erc. Modły st wyoszą t. Lcz węzłów żdym pozome wyos. Lcz pozomów e ms yć ogrczo ( t t0 ). t Ω t t 0 0 ) sformłowe zd x ) dysretyzcj Aprosymcj rozwąz poleg zstosow odpowedc scemtów różcowyc, rozpętyc węzłc st leżącyc do pozom zego (dl t = t ) orz pozom ezego + (dl t = t + )., +, + +, + +, t + pozom ezy t,, +,, t pozom zy Njprostszy tego typ scemt otwrty (jwy, explct) wyorzystje trzy węzły z pozom,,,, +, orz jede (środowy) z pozom ezego zego - o merc ( ) ( ) ( ) (, + ). Po zps cetrlyc wzorów różcowyc drgą pocodą (po zmeej x) ( ) xx,,, + +, (..)

23 orz perwszą pocodą (po zmeej t) pozome zym ( ) t,, +, t (..3) otrzymjemy rówe dl pozom zego + = t,,,,, α + + f, (..4) gdze = ( x t ) orz f f ( x t ),,,... Przyjmjmy ozczee =.,, α t λ = (..5) Wtedy po odpowedm przesztłce rów (..4), otrzymjemy jwy wzór wrtość ezą, + ( ) = λ + λ + λ t f (..6), +,, +,, Mmo swojej prostoty, wzór m powże ogrczee. Kro czsowy dory, y spełoy ył wre stlośc scemt t ms yć t λ < (..7) stąd wy t < tryt = (..8) α Brdzej dołde wy moż otrzymć posłgjąc sę scemtm, tóre wyorzystją węcej ż jede węzeł pozome ezym. Np. scemt ejwy prosty (zmęty,, +,, +, +, +, explct) wyorzystje trzy węzły pozome ezym ( ) ( ) ( ) le tylo jede pozome zym (, ) ( ) xx, +, +, + + +, + (..9) ( ) t, +, +, t + = t α, +, + +, +, +, f, + (..0) (..)

24 Stąd wy rówe zmęte ( ) = λ + + λ λ + t f (..),, +, + +, +, + Poewż eze welośc są po prwej stroe rów, leży łożyć powyższe rówe dl wszystc węzłów wewętrzyc pozome ezym. W rezltce otrzymmy łd rówń o - ewdomyc. Zletą tego scemt jest jego ezwrow stlość, co ozcz, ż teoretycze moż przyjmowć do olczeń dowole dży ro czsowy t. Im mejszy ro t, tym mejszy łąd rozwąz. Zmst scemt ejwego prostego, moż stosowć scemt ejwy złożoy, p. scemt Cr - Ncolso, w tórym wyorzystje sę po trzy węzły pozome zym ezym, orz średoe rów różcowe z tyc dwóc pozomów ( ) xx, + (, + +, ) (, + +, ) + ( +, + + +, ) (..3) orz wzór pocodą po czse (..0). Zstosowe tego scemt prowdz do rów zmętego λ λ λ λ, + ( λ ), + +, =, + + ( + λ), + +, + + t f, + (..4) W osewecj otrzymje sę łd rówń, le scemt pozostje ezwrowo stly. Przyłd. Rozwązć rówe ( t) ( ) =, x, t Ω, 0 x, t 0 xx t 0, = 0 (, t) = 0 ( x,0) = x x + 0 Przyjąć 6 węzłów żdym z pozomów orz ro czsowy ędący połową dłgośc ro rytyczego. Wyoć olcze dl dwóc roów czsowyc. Zstosowć scemty: jwy orz ejwy prosty. 0 = = = 0. 6 λ ryt α t 0.04 = = t 0.0 ryt = = = α t ryt 0.0 t = = 0.0 λ = =

25 = = t = = 0. Pozom = dl t = 0 (z wrów rzegowyc początowego) = = = + = = + = = = 9.76 = 4 3 = = 9.84 = 5 W zd moż wyorzystć wr symetr. Olcze dl scemt jwego - pozom = dl t = t = 0.0 = = 0 7 x x = = = = 9.86 = = + + = = 9.78 = pozom = 3 dl t = t = = = = = = = = + + = = 9.80 =

26 Olcze dl scemt ejwego prostego - pozom = dl t = t = 0.0 = = = = + + = = 3 = = co prowdz do łd rówń = = = = 0 = = pozom = 3 dl t = t = 0.0 = = = = + + = = 9 = = co prowdz do łd rówń = = 7 = = 6 = = Zde. Zleźć rozwąze rów różczowego ( 0, ) ( ) (, ) = ( + ) ( ) ( ) xx t = t + t + x + x t Ω x t 4,,, 0, 0 t = + t t t ( x,0) = ( x ) + Przyjąć stę 5-c węzłów w przedzle 0 x orz ro t ędący połową dłgośc rytyczej wyjącej z wr stlośc. Wyoć dw ro czsowe. Wyorzystć symetrę. Zstosowć scemty jwy ejwy prosty.

27 4. Zgde perolcze - drg swoode Sformłowe prolem ( ) 0 β = f, x, t Ω, x, t t (.3.) xx tt - wr rzegowe - wr początowe (, ) = (, ) = ( x, t ) ' (, ) t t 0 = 0 t x t = v 0 0 ρ β ozcz stose gęstośc msy orz modł sprężystośc ( β = > 0 ), f = f ( x, t) - E = x, t w żdej rozłd sł msowyc w oszrze. Sz jest fcj przemeszczeń ( ) cwl czs t. Ze względ drgą pocodą po czse w rów (.3.), ezęde są co jmej trzy węzły w poe do dowy prosymcj fcj., +, + +, + +, t + pozom ezy t,, +,, t pozom zy t,, +,, t pozom zy Njprostszy dwroowy scemt różcowy (otwrty, jwy) ędze wyorzystywł tylo, +. Aprosymcj drgej pocodej po x odyw jede węzeł pozome ezym ( ) sę wg (..), tomst drg pocod po czse (t) ( ) tt, + + t, +, + +, + (.3.) Rówe różcowe zpsjemy ztem w pce (, ),, + +,,, +, + β = t f, (.3.3)

28 Wprowdźmy ozczee t λ = (.3.4) β Wtedy wzór otwrty ezą wrtość moż zpsć t, + = λ, +, ( λ) + λ+,, f, (.3.5) β Scemt pozostje stly, gdy λ < (.3.6) Z powyższego wy zleżość dl dłgośc ro czsowego t t < tryt = β (.3.7) Stlość scemt perolczego wy z ste tzw. crterysty, dwóc rodz l wzjeme ortogolyc, wzdłż tóryc zcodz ecągłość rozwąz. Wre początowy pocodą po czse ' (, ) x t = v wymg wprowdze t 0 0 dodtowyc fcyjyc węzłów poz oszrem zd, pozome = 0 dl t = t0 t orz zps cetrlego scemt różcowego perwszą pocodą w węzłc pozom = dl t = t0, tj. +,0,0 t t (, ) = x t = v 0 0 (.3.8) Z powyższego wzor możlwe jest otrzyme pomocczej relcj pomędzy wrtoścm ezym,0 orz +,0. Przyłd. Rozwązć rówe ( t) ( ) =, x, t Ω, 0 x, t 0 xx tt 0, = 0 (, t) = 0 x t = (,0) = 0x( x ) ( x,0) 0 Przyjąć 5 węzłów żdym z pozomów orz dowoly dopszczly ro czsowy wyjący z wr stlośc. Wyoć olcze dl dwóc roów czsowyc.

29 Rówe jest modelem mtemtyczym drgjącej el swoode podprtej o dłgośc, z x,0. wymszeem w postc zdego przemeszcze ( ) 0 = = = λ ryt t = = t 0.5 ryt = = ( 0.) ( 0.5) t = 0. < t λ = = 0.64 ryt = = 0 t = ( ) = 0x x ' = 0 = 0.5 Pozom = 0 dl t = t = 0. - wre początowy (prędość) + wr symetr 7 = 0 0. = 8 = 0 0. = = = Pozom = dl t = 0 - wr rzegowe początowy (przemeszczee) + wr symetr

30 = = = = (0.5 ) =.875 = (0.5 ) =.500 Pozom = dl t = t = 0. - wr rzegowe, scemt perolczy otwrty + wr symetr = = = = =.475 = = = = Pozom = 3 dl t = t = wr rzegowe, scemt perolczy otwrty + wr symetr = = 0 5 = = 0.53 = = = Zde. Zstosowć metodę różc sończoyc do oreśle sztłt swoode drgjącej el o dłgośc 4 mjąc de rówe drgń = 4, wr rzegowe ( 0, ) = ( 3, ) = 0 orz wr początowe ( x,0) 9x( 3 x) (,0) 3 ( 3 ) t t t t xx tt = orz t x = x x. Przyjąć ro czsowy = 0.5 ryt. Wyoć dw pełe ro czsowe. Przyjąć elę węzły j rys. t, x = Zde. Zstosowć metodę różc sończoyc do oreśle sztłt swoode drgjącej el wsporowej o dłgośc 5 mjąc de rówe drgń =, wr rzegowe 3 ( 0, ) = 0, ( 0, ) = 0 orz wr początowe ( x,0) = 0x orz ( x,0) 5x t t x xx tt t =. Przyjąć ro czsowy t = 0.5 t ryt. Przyjąć stę złożoą z sześc węzłów żdym pozome czsowym. Wyoć trzy pełe ro czsowe.