Michał Pazdanowski Instytut Technologii Informacyjnych w Inżynierii Lądowej Wydział Inżynierii Lądowej Politechnika Krakowska.

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Michał Pazdanowski Instytut Technologii Informacyjnych w Inżynierii Lądowej Wydział Inżynierii Lądowej Politechnika Krakowska."

Transkrypt

1 chł zdows Istytut echolog Iforcyych w Iżyer ądowe Wydzł Iżyer ądowe oltech Krows Iterpolc Iterpolc oże być trtow o szczególy przypde prosyc polegący ty że fuc prosyow fuc prosyuąc przyuą te se wrtośc w wybrych putch obszru zwych węzł. Jeżel fuc terpoluąc de sę wyrzć w postc suy loczyów: tórych czy ϕ ϕ ϕ... ϕ ( ϕ są zywe fuc bzowy są przyowe pror tost czy są współczy terpolc podlegący wyzczeu to zde te os zwę terpolc lowe gdyż fuc terpoluąc est lową obcą fuc bzowych. Wprowdz sę rozróżee poędzy terpolcą (oblcze prowdzy dl putów leżących poędzy sry węzł estrpolcą (cele oblczeń są wrtośc fuc terpolowe poz sry węzł. Rozróżee est uzsdoe fte że estrpolc est obrczo ryzye popełe stote węszego błędu ż terpolc przy ty błąd te est zcze trude oszcowć ż błąd terpolc. Nczęśce stosowy rodze terpolc est terpolc weloow czyl terpolc w tóre fuc bzowy są edoy (Rys. : bądź weloy Czebyszew (Rys. : czy weloy grge (Rys. : ϕ ϕ ( ϕ ( dl ϕ ( ( ( K( ( K( ( ( ( K( ( K( ( ϕ ( ( (. ( Zletą perwszego zestwu fuc bzowych est prostot edże est o oupo stotą wdą wyącą z ftu że przyste bądź eprzyste edoy wyższych stop ło sę różą (Rys.. rowdz to do probleów ueryczych w trce wyzcz współczyów prosyc oże zcząco wpłyąć dołdość oblczeń (ptrz przyłd poże. Wd bzy edoowe w duży stopu pozbwo est bz weloów Czebyszew. Koszte lowe trsforc przedzłu terpolc [ b] przedzł [ ] zgode ze wzor: b b ξ [ b] [ ] b [ b] ξ [ ] b (

2 chł zdows Istytut echolog Iforcyych w Iżyer ądowe Wydzł Iżyer ądowe oltech Krows ewelego soplow prcy uzysuey zczącą poprwę stblośc oblczeń ueryczych gdyż w przedzle [ ] weloy te zcząco różą sę ędzy sobą (Rys.. odto weloy Czebyszew posdą stępuące użytecze włsośc: to wrtość welou dl te zee też leży do tego przedzłu eżel tost ze ezleż est spoz przedzłu to wrtość welou do ego e leży czyl:. Jeżel ze ezleż leży do przedzłu [ ] [ ] gdy gdy to > to >. (. Wszyste perwst weloów Czebyszew leżą do przedzłu [ ] są róże. Ich wrtośc oż wyzczyć z stępuącego wzoru ltyczego: cos π K (7 w tóry ozcz stopeń welou.. Weloy Czebyszew są ortogole w przedzle [ ] z wgą czyl: gdy π d gdy. ( π gdy Weloy grge tost posdą ą cechę brdzo ułtwącą tworzee fuc terpoluących. Otóż wprost z defc ( fuc ( wy że zchodz zwąze: ( gdy ( δ (9 gdy dzę tóreu współczy w przypdu terpolc grge są wprost rówe wrtośco. węzłowy fuc terpolowe ożlwe est ed zstosowe ego zestwu fuc bzowych przyłd fuc trygooetryczych (Rys. dobrze odtwrzących fuce oresowe: ϕ ϕ ϕ cos ϕ s cos( ϕ s( ( orz fuc wyerych (terpolc de stosowych w przypdu fuc terpolowych źle odtwrzych przez weloy: gdze ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ b ϕ b ϕ K b ϕ K są fuc oreśloy rówe ( ϕ b ϕ (

3 chł zdows Istytut echolog Iforcyych w Iżyer ądowe Wydzł Iżyer ądowe oltech Krows.. y. y y y y.... y y... Rys. Bz edoow edoy y y K y. K rysuu ozczoe o

4 chł zdows Istytut echolog Iforcyych w Iżyer ądowe Wydzł Iżyer ądowe oltech Krows Rys. Bz weloów Czebyszew K rysuu ozczoych o K.

5 chł zdows Istytut echolog Iforcyych w Iżyer ądowe Wydzł Iżyer ądowe oltech Krows Rys. Weloy terpolcye grge K. ( ( ( K rysuu ozczoe o

6 chł zdows Istytut echolog Iforcyych w Iżyer ądowe Wydzł Iżyer ądowe oltech Krows czy fuc wyłdczych: e e e λ λ λ K. ( Z Z Z Z Z Z Z Rys. uce trygooetrycze o fuce bzowe. W dlsze częśc tego rozdzłu ogrczyy sę do rozwż terpolc weloowe. Wrue z tórego sorzysty by wyzczyć wrtośc współczyów terpolc ( est oczywśce żąde by wrtośc fuc terpoluące fuc terpolowe były sobe rówe w węzłch terpolc czyl: dl K. ( ostępowe te prowdz do utworze ułdu lowych rówń lgebrczych: K K K K K K K K... (

7 chł zdows Istytut echolog Iforcyych w Iżyer ądowe Wydzł Iżyer ądowe oltech Krows 7 w tóry lczb rówń est rów lczbe węzłów terpolc lczb ewdoych lczbe fuc bzowych. Ułd rówń ( oż zpsć w postc cerzowe: Φ ( gdze: Φ O O O O. ( Jeżel węzły terpolc e porywą sę to poszczególe rów tego ułdu są lowo ezleże czyl wrue edozczośc ego rozwąz est zgodość lczby węzłów lczby fuc bzowych. W przypdu bzy edoowe cerz Φ przyue postć cerzy Vderode tóre cechą chrterystyczą est brdzo duży wsź uwruow ogący powodowć probley uerycze z utrzye dołdośc rozwąz. Dl lustrc sposobu postępow w trce terpolc fuc poże zoste przedstwoy przyłd terpolc fuc ewyere welo. Zde zoste rozwąze trzyrote w bze edoowe w bze weloów Czebyszew przy poocy weloów grge. Zde rozwążey dl pęcu węzłów terpolc rozeszczoych erówoere. De zd zestwoe w postc tbelrycze przedstwą sę stępuąco: blc. De dl zd terpolc. 9 Iterpolc w bze edoowe Zgode z wru zd fuc terpoluąc postć: (7 wobec czego cerz Φ ( będze rów: Φ J ( co est zgode z defcą cerzy Vderode wetor prwe stroy ( przye wrtośc:

8 chł zdows Istytut echolog Iforcyych w Iżyer ądowe Wydzł Iżyer ądowe oltech Krows. (9 o rozwązu ułdu rówń ( otrzyuey zestw współczyów terpolc : ( węc osttecze przeps fuc terpoluące przedstw sę stępuąco: ( Iterpolc welo Czebyszew Zgode z wru zd fuc terpoluąc postć: ( odpowede weloy Czebyszew zpse dl przedzłu [ ] wyglądą stępuąco: ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ. ( o wyou podstwe ( otrzyuey weloy Czebyszew zpse dl oryglego przedzłu [ ] :. ( Zgode z ( cerz Φ w ty przypdu przye postć:

9 chł zdows Istytut echolog Iforcyych w Iżyer ądowe Wydzł Iżyer ądowe oltech Krows 9 Φ C ( wetor prwe stroy ( będze detyczy w poprzed przypdu (9. Rozwązuąc ułd rówń ( wyzczyy wrtośc współczyów terpolc : ( węc osttecze przeps fuc terpoluące przedstw sę stępuąco: (7 po podstweu z weloy K z ( wyou wszystch potęgowń reduc czyów podobych otrzyy osttecze wyrżee (. Iterpolc welo grge Zgode z wru zd fuc terpoluąc postć: ( odpowede weloy grge będą wyglądły stępuąco: (9 co po podstweu wrtośc z tblcy prowdz do:

10 chł zdows Istytut echolog Iforcyych w Iżyer ądowe Wydzł Iżyer ądowe oltech Krows ( ( ( ( 9 ( 7 7 ( ( ( 9 ( 7 ( ( ( ( 9 ( 7 ( ( ( 9 ( ( ( ( ( 9 ( ( ( 9 ( 7 ( ( ( ( ( ( 9 ( 9 ( 9 ( 9 ( ( ( ( 9 9 ( ( ( ( 9 Ostteczy przeps fuc terpoluące przedstw sę: 9 ( ( ( ( ( ( ( (. ( ( po podstweu z weloy K z ( wyou wszystch ożeń reduc czyów podobych otrzyy osttecze wyrżee (. J wdć w żdy z rozptrywych przypdów otrzylśy te s wy co est zgode z oczew gdyż w żdy z rozptrywych zdń poszuwlśy welou stop przechodzącego przez pode (te se pęć putów. J wdoo z lzy tetycze zde te est rozwązle edozcze co zczy że w ogólośc stee ede tylo ede welo stop przechodzący przez podych putów płszczyźe. Zy sę terz blże westą przewg bzy weloów Czebyszew d bzą edoową. J wdć z przedstwoego powyże przyłdu łd prcy oeczy do wyzcze poszuwych współczyów est w obu przypdch porówywly. Zsdcz różc wąże sę z postcą cerzy Φ. Otóż eżel w szy przyłdze polczyy wsź uwruow te cerzy to oże sę że dl oblczeń w bze edoowe est o rówy: ( ΦJ ΦJ ( Φ Φ λ 9 J ( λ w bze weloów Czebyszew est o rówy: 9 9 J J 799 ( ΦC ΦC ( Φ Φ λ 7 C. ( λ 9 C C Wrtość tego współczy ścśle ówąc logrytu z ego oże być bezpośredo użyt do oszcow utrty precyz wyu oblczeń ueryczych tóre uszą być wyoe by rozwązć ułd rówń (. Z oszcow wy że delą wrtoścą współczy est lczb. I brdze w orety przypdu wrtość wsź uwruow odbeg od edośc ty węszy błęd obrczoe będą wy czyl ty e dołde wyzczoe będą współczy terpolc. Soro wdć z ( ( C est pod esze ż J to współczy oblczoe dl bzy weloów Czebyszew będą wyzczoe zcząco dołde ż odpowdące współczy oblczoe dl bzy edoowe. Z porów wyresów fuc terpolowe terpoluące (Rys. wdć wyrźe że rozwąze przyblżoe zcząco odbeg od wrtośc ścsłych zwłszcz w przedzle [ 9 ]. Uzsdoe zte będze postwee pyt w eszcze sposób oż wpłyąć ość terpo-

11 chł zdows Istytut echolog Iforcyych w Iżyer ądowe Wydzł Iżyer ądowe oltech Krows lc oprócz doboru typu fuc bzowych. Dwe ożlwe śceż postępow wydą sę być dość oczywste: włścwe rozeszczee węzłów terpolc; zwęszee lczby węzłów terpolc. p p Rys. uc terpolow ( p fuc terpoluąc ( p w przedzle terpolc [ ]. W przypdu perwsze z tych śceże oż postwć pyte e est lepsze rozeszczee zde lczby węzłów w obszrze terpolc prowdzące do esze różcy poędzy fuc terpolową terpoluącą w sese oreśloe ory błędu. Dl ory: { : [ b] } ( gwrtuące lzcę węsze (w cły przedzle w tóry poszuuey rozwąz różcy poędzy ty fuc zde te zostło rozwąze (ptrz p. [ ] optyly położe węzłów terpolc ozły sę być esc zerowe weloów Czebyszew. J wdć zeszczoy poże przyłdze przeyśle rozeszczee węzłów terpolc e zeąc łdu prcy zwązego z wyzczee fuc terpoluące zsdczo poprw efet fly. Drug z propoowych śceże postępow poo że wyde sę być tucye prostsz estety zsdcze ogrczee wyące ze zws zwego efete Rugego. oleg oo ty że przy podoszeu stop welou terpoluącego (co est bezpośred sute zwęsz lczby węzłów terpolc welo te w prwdze przechodz przez wszyste węzły le poędzy brdzo gwłtowe ze wrtośc (Rys. 7 zwłszcz przy rńcch obszru terpolc. R.Burde J.D.res Nuercl Alyss Broos/Cole.

12 chł zdows Istytut echolog Iforcyych w Iżyer ądowe Wydzł Iżyer ądowe oltech Krows (.. Rys. Iterpolc fuc dysrete de w przedzle [ ] y weloe stop. (.. Rys. 7 Iterpolc fuc dysrete de w przedzle [ ] owęszee rysuu poprzedego. y weloe stop. Ze względu występowe efetu Rugego zcze lepszy sposobe wyzcze fuc terpoluące w sytuc w tóre dyspouey zczą (czyl w prtyce węszą ż lczbą węzłów est zstosowe odcowe terpolc weloowe. W te terpolc fuce terpoluące tworzyy oddzele dl wybrych podzborów zboru węzłów terpolc rzucąc odpowede wru cągłośc (t zwe wru zszyc w putch styu różych fuc terpoluących. Jest to stdrdow etod postępow przy poszuwu rozwązń przyblżoych złożoych zdń żyersch przyłde terpolc tego typu est terpolc sle fuc typu sple.

13 chł zdows Istytut echolog Iforcyych w Iżyer ądowe Wydzł Iżyer ądowe oltech Krows Dl lustrc orzyśc wyących z optylego doboru położeń węzłów terpolc poże zoste doo terpolc fuc ewyere welo Czebyszew (zde rozptrywe powyże. Zde rozwążey dl pęcu węzłów terpolc rozeszczoych erówoere w escch zerowych welou ( ξ. De zd zestwoe w postc tbelrycze przedstwą sę stępuąco: blc. De dl zd terpolc z optyly rozeszczee węzłów ( ze wzoru (7 stęp- zgode z zleżoścą (. ołoże węzłów oreśloo wyzcząc esc zerowe welou ( ξ e doouąc ch trsforc z przedzłu [ ] do przedzłu [ ] Dlsze postępowe est detycze w oówoy powyże przyłdze to zczy przyuey zestw fuc bzowych ( zpsuey fucę terpoluącą ( doouey trsforc fuc bzowych do włścwego przedzłu prcy co prowdz do fuc (. Osttecze cerz Φ przye postć: Φ C ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( wetor prwe stroy będze rówy: ( ( 97 o rozwązu ułdu rówń wyzczyy współczy terpolc : Osttecz fuc terpoluąc przye postć: ( (

14 chł zdows Istytut echolog Iforcyych w Iżyer ądowe Wydzł Iżyer ądowe oltech Krows po podstweu z weloy K z ( wyou wszystch ożeń potęgowń orz reduc czyów podobych otrzyy osttecze: (9 p p Rys. uc terpolow ( p fuc terpoluąc ( p w przedzle terpolc [ ]. Jeżel porówy wyresy rysuch 9 to przeoy sę że ość terpolc w przypdu drug est brdzo dobr poo że fuc terpolow est fucą ewyerą o t e est zbyt dobrze przyblż welo. Aby uzysć brdze forlą rę ośc terpolc porówy terz w sese dwu or popełoy błąd przy perwoty ozczoy o poprwoy ozczoy u rozeszczeu węzłów. Dl ory ( y w obu przypdch odpowedo: [ ] [ ] o u 9 ( czyl poprw est pod trzyrot. Różc będze zcze brdze wyrzst eżel porów dooy w sese ory: b [ ] d W obu przypdch y tu bowe odpowedo:. (

15 chł zdows Istytut echolog Iforcyych w Iżyer ądowe Wydzł Iżyer ądowe oltech Krows [ ] o d 9 [ ] d 77 u ( czyl poprw est prwe dwudzestorot. Oczywśce leży sobe zdć sprwę z ftu że drug rozwż or est orą cłową węc e gwrtue dobre ośc wyu w żdy puce rozwżego obszru. Wdć to zeszczoy powyże wyrese w otoczeu putu początowego gdze błąd względy procetowy rozuy o oduł lorzu różcy wrtośc ścsłe przyblżoe przez wrtość ścsłą est brdzo duży ( przy zblżu sę do putu początowego dąży do esończoośc. Jed leży pętć że dołożee leżyte tros przy ustlu położeń węzłów terpolc est czyoścą tór procetue dołdoścą ostteczych wyów wobec tego w żdy przypdu w tóry położee węzłów terpolc e est rzucoe z góry wrto pośwęcć e chwlę uwg. Zwróćy eszcze uwgę ft że wsź uwruow cerzy Φ w szy przypdu rówy: ( ΦC ΦC ( Φ Φ est zcząco lepszy ż w perwszy przyłdze. λ C ( λ C C Iterpolc odwrot Do te pory rozwżlśy sytucę w tóre ąc de położe węzłów poszuwlśy rów rzywe łączące te węzły po to by óc wyzczyć wrtość zee zleże odpowdącą dowole wrtośc zee ezleże. Jed zde to oż odwrócć dl dego zestwu węzłów terpolc zżądć wyzcze wrtośc zee ezleże odpowdące pode wrtośc zee zleże. Jeżel w przedzle terpolc fuc terpolow est różowrtoścow to t postwoy proble proste edozcze rozwąze tóre os zwę odwrote terpolc grge. Sposób postępow w t przypdu przedstwy przyłdze poszuw esc zerowego fuc s. Uzysy wy porówy ze zy rozwąze ltyczy. J węc wdć z przyłdu zeszczoego poże terpolc odwrot oże być trtow o ole etod poszuw perwstów rów elowego. Jeżel prw stro tego rów w otoczeu esc zerowego est dobrze przyblż weloe to te postępowe będze brdzo efetywe. blc. De do zd odwrote terpolc 9 ( 99 Rozwąz probleu poszuuey w postc fuc: 77 7 ( ( (

16 chł zdows Istytut echolog Iforcyych w Iżyer ądowe Wydzł Iżyer ądowe oltech Krows czyl odpowede weloy grge będą ły postć: ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (7 co po podstweu wrtośc z tbel z uwzględeu że poszuuey te wrtośc zee ezleże dl tóre ze zleż przyue wrtość rówą prowdz do: ( ( ( 77 ( 7 ( 99 ( ( 99 7 ( ( 99 ( 77 ( 7 ( 99 ( 77 ( 7 ( ( ( ( 7 ( ( 77 ( 77 7 ( ( 99 ( ( 77 ( 7 99 ( 7 ( ( Osttecze zleżość ( po podstweu wrtośc oblczoych w ( wrtośc z blcy pozwl wyzczyć poszuwe esce zerowe o: (9 oewż wrtość ścsł poszuwego esc zerowego est rów π 9 to błąd względy z ą wyzczylśy będze rówy: π ε π 7. ( Wyso dołdość z ą wyzczylśy esce zerowe est sute przede wszyst trzech czyów: węzły terpolc obrowuą esce zerowe czyl y do czye z terpolcą e z estrpolcą tór z tury obrczo est węszy błęde długość przedzłu terpolc est ewel co ozcz że wyzczoe węzły stowące eo przyblżee początowe poszuwego rozwąz stową dobre oszcowe esc zerowego fuc terpolow est w rozwży przedzle dobrze przyblż weloe wet sego stop. Iterpolc sle Koley rodze terpolc tóry zoste oówoy est terpolc sle polegąc ty że welo terpoluący est tworzoy oddzele dl żdego odc poędzy dwo oley węzł. Współczy weloów obowązuących poszczególych odcch są wyzcze t by w węzłch zpewć cągłość e tylo fuc terpoluące le tże e pochodych do stop włącze eżel stopeń welou terpoluącego est rówy. Jedą z ożlwych defc welou terpolcyego typu spl est:

17 chł zdows Istytut echolog Iforcyych w Iżyer ądowe Wydzł Iżyer ądowe oltech Krows S b ( ( przy czy dodtowo defue sę: ( dl. ( dl < Wrtość wyłd występuącego we wzorch ( ( przyue sę o rówą: terpolc odc l proste fuc terpoluąc est łą terpolc odc prbol fuc terpoluąc perwszą pochodą cągłą w cły obszrze terpolc terpolc odc welou trzecego stop fuc terpoluąc perwszą drugą pochodą cągłą w cły obszrze terpolc. Weloów wyższych stop w terpolc slee rcze e stosue sę chocż est to wyole wzory przedstwoe powyże są ogóle. S S S... Rys. 9 Wyresy fuc ( dl ozczoe o S S S. J łtwo sę przeoć robąc bls lczby ewdoych występuących we wzorch ( ( podych ogrczeń do edozczego oreśle zd terpolc slee usy zdć dodtowo (oprócz położeń węzłów tórych est wruów poocczych ( ozcz tu poprzedo stopeń welou. węc eżel y do czye z: 7

18 sple perwszego stop e usy rzucć żdych dodtowych wruów fucę terpoluącą sple drugego stop ( pochodą sple trzecego stop ( chł zdows Istytut echolog Iforcyych w Iżyer ądowe Wydzł Iżyer ądowe oltech Krows usy rzucć ede dodtowy wrue perwszą usy rzucć dw dodtowe wru perwszą pochodą lub ede dodtowy wrue perwszą ede drugą pochodą żdy oley stopeń splu sutue oeczoścą dołoże edego wruu dodtowego. Wru dodtowe o tórych ow powyże e uszą być rzuce w ty sy węźle eżel est ch węce ż ede edże proble wyzcze współczyów b zcząco sę uprszcz eżel wszyste wru dodtowe są rzucoe olee pochode w sry lewy węźle obszru terpolc (t zwe wru turle. W t przypdu perw wyzczy współczy welou w perwszy przedzle terpolc rozwązuąc ewel ułd lowych rówń lgebrczych wyący z żąd: ' '' K' stępe ożey posłużyć sę zleżoścą: b ( ( ( '' K' ( ' ( bh ( h h ( ( ( do wyzcze oleych współczyów b. W żdy y przypdu żeby wyzczyć oplet współczyów b usy rozwązć ede duży ułd lowych rówń lgebrczych o wyrze ( opso powyże. oże przedstwoo rozwąze przyłdowego probleu terpolc slee przy poocy splu sześceego. rzyęto wru turle wrtośc pochodych rówe: ( ( ' ''. ( W tblcy podo położe węzłów terpolc. blc. Wrtośc zee zleże ezleże w węzłch terpolc typu spl. (

19 chł zdows Istytut echolog Iforcyych w Iżyer ądowe Wydzł Iżyer ądowe oltech Krows 9 rzy wyzczu współczyów b welou terpoluącego sorzysty z ftu że dodtowe wru pochode są zde w węźle początowy (wru turle. Wobec tego perw wyzczyy grupę współczyów welou z ułdu rówń (. W szy zdu te ułd rówń przye postć: '' '' ' '. ( Rozwąze są stępuące wrtośc współczyów : (7 czyl osttecz postć welou d est zleżoścą:. ( W drug etpe wyzczyy oleo wrtośc współczyów b b b b stosuąc forułę ( do oleych przedzłów terpolc. węc oleo y dl drugego przedzłu: b (9 dl przedzłu trzecego: b b ( przedzłu czwrtego: b b b ( wreszce dl osttego przedzłu pątego: ( b b b b. ( Osttecz postć splu sześceego terpoluącego fucę dą w blcy przy dodtowych wruch ( est stępuąc: S. ( o so zde rozwązo eszcze dwurote używąc splu wdrtowego z wrue turly ( splu lowego. Osttecze uzyso: S S. (

20 chł zdows Istytut echolog Iforcyych w Iżyer ądowe Wydzł Iżyer ądowe oltech Krows oewż oblcze w tych przypdch przebegą logcze do zprezetowych powyże e zostą tu zeszczoe gdyż docelwy czytel łtwo przeprowdz e s. Wyresy wszystch trzech fuc zeszczoo dl porów rysuu. 9 7 f s s s y y y Rys. Iterpolc sle welo typu spl perwszego drugego trzecego stop.

21 chł zdows Istytut echolog Iforcyych w Iżyer ądowe Wydzł Iżyer ądowe oltech Krows Iterpolc w obszrze welowyrowy rocedurę terpolc grge est brdzo łtwo uogólć zde dwu lub węce wyrowe. Wystrczy w ty celu zwrócć uwgę to e są zsdy terpolc welo grge e wru ą spełć weloy bzowe. W zdu dwuwyrowy być speło zleżość: ( ( y ( y ( y ( y ( co ozcz oczywśce że us zchodzć: ( gdy lub l ( yl gdy l. ( Dl obszru prostoątego fucę tą est brdzo łtwo sostruowć gdyż wystrczy przyąć: ( ( y ( ( ( y (7 co ocy defc ( gwrtue spełee wruu (. Wyresy przyłdowych fuc bzowych zostły zprezetowe rysuu. Rys. Wyresy fuc bzowych ( ( y ( ( y ( ( y ( ( y.

22 chł zdows Istytut echolog Iforcyych w Iżyer ądowe Wydzł Iżyer ądowe oltech Krows Oczywśce te se zsdze oż utworzyć weloy terpolcye grge w trzech węce wyrch o loczy odpowede lczby weloów terpolcyych utworzoych dl żdego wyru z osob. Sytuc eco sę oplue gdy y do czye e z prostoąte z dowoly wypuły obszre czworoąty o werzchołch y y y y. oż wówczs postąpć stępuąco:. worzyy t zwy eleet wzorcowy o werzchołch.. Dl eleetu wzorcowego ueszczoego w ułdze współrzędych ξ η w t sposób by ego środe cężośc porywł sę z począte ułdu współrzędych buduey fuce terpoluące p.: N N N N ( ξ ( η ( ξ ( η ( ξ ( η ( ξ ( η ; (. worzyy odwzorowe wążące żdy put eleetu wzorcowego z odpowdący u pute obszru czworoątego: y Wówczs wrtość fuc terpolowe ( y oż oblczyć o: N N ( ξ η ( ξ η y. (9 w dowoly puce y czworoąt będze ( y N( η ( y ξ (7 gdze ξ η są współrzędy obrzu putu y w obszrze eleetu wzorcowego. Jeżel y do czye z terpolcą w dowoly obszrze dwuwyrowy to procedurę powyższą ożey zstosowć dopero po podzeleu obszru wyścowego wypułe czworoąty tórych su topologcz de obszr wyścowy. ostępowe te est podstwą etod przyblżoego rozwązyw zgdeń żyersch (etod Eleetów Sończoych.

Michał Pazdanowski Instytut Technologii Informacyjnych w Inżynierii Lądowej Wydział Inżynierii Lądowej Politechnika Krakowska.

Michał Pazdanowski Instytut Technologii Informacyjnych w Inżynierii Lądowej Wydział Inżynierii Lądowej Politechnika Krakowska. chł Pzdos Istytut Techolog Iforcyych Iżyer ądoe Wydzł Iżyer ądoe Poltech Kros Aprosyc Aprosycą zyy procedurę zstępo ede fuc (fuc prosyo) ą fucą (fuc prosyuąc) t sposób, by fuce te eele sę różły sese oreśloe

Bardziej szczegółowo

Nadokreślony Układ Równań

Nadokreślony Układ Równań Mchł Pzos Istytut echolog Iforcyych Iżyer Ląoe Wyzł Iżyer Ląoe Poltech Kros Noreśloy Uł Róń Z oreśloy ułe loych róń lgebrczych y o czye sytuc, gy lczb loo ezleżych róń est ęsz ż yr przestrze (lczb zeych).

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne w przykładach

Metody numeryczne w przykładach Metody umerycze w przyłdch Podręcz Poltech Lubels Poltech Lubels Wydzł Eletrotech Iformty ul. Ndbystrzyc 38A -68 Lubl Bet Pńczy Edyt Łus J Sor Teres Guz Metody umerycze w przyłdch Poltech Lubels Lubl Recezet:

Bardziej szczegółowo

VIII. RÓŻNICZKOWANIE NUMERYCZNE

VIII. RÓŻNICZKOWANIE NUMERYCZNE VIII. RÓŻICZKOWAIE UMERYCZE Z defcj pocodej wey, że f ( x+ ) f ( x) f ( x) = ( ), >. (8.) Fucję f(x + ) ożey rozwąć przez zstosowe wzoru ylor: + f x f x f x f x + ( + ) = ( ) + ( ) + ( ) + K + f ( x) +

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne procedury

Metody numeryczne procedury Metod umercze procedur podstwe [Mrc et. l. 997] orz [Broszte et. l. 004] dr ż. Pweł Zlews Adem Mors w Szczece Iterpolc welomow: Zde terpolc poleg zlezeu pewe uc tór przlż dą ucę. Dl uc ze są prz tm wrtośc

Bardziej szczegółowo

1.4. STAN ODKSZTAŁCENIA STRONA GEOMETRYCZNA

1.4. STAN ODKSZTAŁCENIA STRONA GEOMETRYCZNA .4. STAN ODKSZTAŁCENA STRONA GEOMETRYCZNA.4.. Wetor przemeszcze Rozwżmy bryłę (cło mterle) o dowolym sztłce meszczoą w prostoątym łdze odese O (rys. ) Rys. gdze ozcz położee (mesce) pt mterlego w tym łdze,,,

Bardziej szczegółowo

PROGRAMOWANIE LINIOWE.

PROGRAMOWANIE LINIOWE. Wykłd 6 Progrowe lowe. Zstosow ekoocze. PROGRAMOWANIE LINIOWE. ZASTOSOWANIA EKONOMICZNE. CENY DUALNE. ANALIZA WRAŻLIWOŚCI.. RACHUNEK EKONOMICZNY. ZASADY RACJONALNEGO GOSPODAROWANIA. Rchuek ekooczy - porówe

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM DYNAMIKI MASZYN

LABORATORIUM DYNAMIKI MASZYN LABORATORIUM DYNAMII MASZYN Ćwcz 5 IDENTYFIACJA OBIETU DYNAMICZNEO NA PODSTAWIE JEO LOARYTMICZNYCH CHARATERYSTY CZĘSTOTLIWOŚCIOWYCH. Cl ćwcz Orśl rów ruchu obtu dyczgo podtw go logrytczych chrtryty czętotlwoścowych,

Bardziej szczegółowo

Algorytmy metod numerycznych. Monika Chruścicka

Algorytmy metod numerycznych. Monika Chruścicka Algoryty etod ueryczych Mok Chruścck Ktolck Uwersytet Luelsk J Pwł II Wydzł Nuk Społeczych, Istytut Ekoo Streszczee Artykuł zwer chrkterystykę etod ueryczych orz podstwowych lgorytów etod ueryczych. Przedstwoe

Bardziej szczegółowo

Automatyka i Robotyka Analiza Wykład 27 dr Adam Ćmiel

Automatyka i Robotyka Analiza Wykład 27 dr Adam Ćmiel Automty Rooty Az Wyłd 7 dr Adm Ćme cme@gh.edu.p Szereg Fourer Przypomee. Rozwżmy przestrzeń eudesową VR, tórej eemetm (putm, wetorm )są eemetowe cąg cz rzeczywstych p.,..., ) y y,..., y ). W przestrze

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna Ćwiczenia. J. de Lucas

Analiza Matematyczna Ćwiczenia. J. de Lucas Aalza Matematycza Ćwczea J. de Lucas Zadae. Oblczyć grace astępujących fucj a lm y 3,y 0,0 b lm y 3 y ++y,y 0,0 +y c lm,y 0,0 + 4 y 4 y d lm y,y 0,0 3 y 3 e lm,y 0,0 +y 4 +y 4 f lm,y 0,0 4 y 6 +y 3 g lm,y

Bardziej szczegółowo

i = 0, 1, 2 i = 0, 1 33,115 1,698 0,087 0,005!0,002 34,813 1,785 0,092 0,003 36,598 1,877 0,095 38,475 1,972 40,447 i = 0, 1, 2, 3

i = 0, 1, 2 i = 0, 1 33,115 1,698 0,087 0,005!0,002 34,813 1,785 0,092 0,003 36,598 1,877 0,095 38,475 1,972 40,447 i = 0, 1, 2, 3 35 Iterpoaca Herte a 3 f ( x f ( x,,, 3, 4 f ( x,,, 3 f ( x,, 3 f ( x, 4 f ( x 33,5,698,87,5!, 34,83,785,9,3 36,598,877,95 38,475,97 4,447 Na podstawe wzoru (38 ay zate 87,, 5, L4 ( t 335, +, 698t+ t(

Bardziej szczegółowo

Rys. 1. Interpolacja funkcji (a) liniowa, (b) kwadratowa, (c) kubiczna.

Rys. 1. Interpolacja funkcji (a) liniowa, (b) kwadratowa, (c) kubiczna. terpolcj.doc Iterpolcj fukcj. Sformułowe problemu: Rs.. Iterpolcj fukcj low, b kwdrtow, c kubcz. De są rgumet,,,. orz odpowdjące m wrtośc fukcj = f, = f,, = f. Postć fukcj = f jest e z lub z. Poszukw jest

Bardziej szczegółowo

N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi.

N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi. 3 Metody estymacj N ( µ, σ ) Wyzacz estymatory parametrów µ 3 Populacja geerala ma rozład ormaly mometów wyorzystując perwszy momet zwyły drug momet cetraly z prób σ metodą 3 Zmea losowa ma rozład geometryczy

Bardziej szczegółowo

Projekt 3 3. APROKSYMACJA FUNKCJI

Projekt 3 3. APROKSYMACJA FUNKCJI Projekt 3 3. APROKSYMACJA FUNKCJI 3. Krter proksmcj. Złóżm że () jest ukcją cągłą w przedzle [ b ]. Zlezee przblże (proksmcj) poleg wzczeu współczków pewego welomu P() któr będze dobrze przblżł w tm przedzle

Bardziej szczegółowo

Całkowanie numeryczne Zadanie: obliczyć przybliżenie całki (1) używając wartości funkcji f(x) w punktach równoodległych. Przyjmujemy (2) (3) (4) x n

Całkowanie numeryczne Zadanie: obliczyć przybliżenie całki (1) używając wartości funkcji f(x) w punktach równoodległych. Przyjmujemy (2) (3) (4) x n lkowe_um- łkowe umercze Zde: olczć przlżee cłk ( ) d () użwjąc wrtośc ukcj () w puktc rówoodległc. Przjmujem (), gdze,,, () () tąd / (5) Metod prostokątów d / (6) gdze / / (7) -- :9: /6 lkowe_um- td. td.

Bardziej szczegółowo

PERMUTACJE Permutacją zbioru n-elementowego X nazywamy dowolną wzajemnie jednoznaczną funkcję f : X X X

PERMUTACJE Permutacją zbioru n-elementowego X nazywamy dowolną wzajemnie jednoznaczną funkcję f : X X X PERMUTACJE Permutacą zboru -elemetowego X azywamy dowolą wzaeme edozaczą fucę f : X X f : X X Przyład permutac X = { a, b, c, d } f (a) = d, f (b) = a, f (c) = c, f (d) = b a b c d Zaps permutac w postac

Bardziej szczegółowo

Spójne przestrzenie metryczne

Spójne przestrzenie metryczne Spóe pzeszee ecze De. Pzeszeń eczą zw spóą eżel e d sę e pzedswć w posc s dwóc zoów epsc owc ozłączc. - pzeszeń spó ~ owe Icze es zoe spó eżel dl dowolc pów czl see cągł c : : = = see dog łącząc Tw. ągł

Bardziej szczegółowo

Ocena wpływu niepewności estymacji parametrów modeli czujników pomiarowych na wartości maksymalnych błędów dynamicznych

Ocena wpływu niepewności estymacji parametrów modeli czujników pomiarowych na wartości maksymalnych błędów dynamicznych Polech rows Wydzł Iżyer Elerycze operowe edr oy ech Iforcyych Oce wpływ epewośc esyc prerów odel czów porowych wrośc sylych łędów dyczych Dr ż. rzyszof oczy rów 5.3.5 Pl wysąpe. Błędy w porch welośc słych

Bardziej szczegółowo

Wygładzanie i filtrowanie danych z przeznaczeniem do interpretacji widm spektroskopowych.

Wygładzanie i filtrowanie danych z przeznaczeniem do interpretacji widm spektroskopowych. Uwerstet Moł Koper Wdzł Che Złd Che Fzcze Mrusz Hu Wgłdze fltrowe dch z przezczee do terpretc wd spetrosopowch. rc lcecc wo w Złdze Che Fzcze pod erue prof. ould Wódzego Toruń Sps treśc:. Cheoetr.. Modele.

Bardziej szczegółowo

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA ĆWICZENIA LABORATORYJNE Z FIZYKI. SPRAWOZDANIE Z PRACY LABORATORYJNEJ nr.........

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA ĆWICZENIA LABORATORYJNE Z FIZYKI. SPRAWOZDANIE Z PRACY LABORATORYJNEJ nr......... WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA ĆWICZENIA LABORATORYJNE Z FIZYKI prowdząc(y)... grup... podgrup... zespół... seestr... roku kdeckego... studet(k)... SPRAWOZDANIE Z PRACY LABORATORYJNEJ r......... pory wykoo

Bardziej szczegółowo

Instytut Automatyki i Informatyki Stosowanej Politechniki Warszawskiej

Instytut Automatyki i Informatyki Stosowanej Politechniki Warszawskiej Isttt Atomt Iformt Stosowe Poltech Wrszwse Algortm predce w wers ltcze z efetwm mechzmem względ ogrczeń wść Potr Mrs Pl prezetc. Wstęp. Algortm reglc predce 3. Uwzględe ogrczeń łoŝoch sgł sterąc 4. Uwzględe

Bardziej szczegółowo

11. Aproksymacja metodą najmniejszych kwadratów

11. Aproksymacja metodą najmniejszych kwadratów . Aproksmcj metodą jmejszch kwdrtów W ukch przrodczch wkoujem często ekspermet polegjące pomrch pr welkośc, które, jk przpuszczm, są ze sobą powąze jkąś zleżoścą fukcją =f(, p. wdłużee spręż w zleżośc

Bardziej szczegółowo

Nr: 1. Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1. Metody obliczeniowe

Nr: 1. Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1. Metody obliczeniowe Nr: Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Metody olczeowe Metody umerycze - sposoy rozwąz zd mtemtyczego z pomocą operc lczch t, y zde mogło yć rozwąze przez omputer. Rozwązywe ułdów rówń lowych.

Bardziej szczegółowo

Proces decyzyjny: 1. Sformułuj jasno problem decyzyjny. 2. Wylicz wszystkie możliwe decyzje. 3. Zidentyfikuj wszystkie możliwe stany natury.

Proces decyzyjny: 1. Sformułuj jasno problem decyzyjny. 2. Wylicz wszystkie możliwe decyzje. 3. Zidentyfikuj wszystkie możliwe stany natury. Proces decyzyny: 1. Sformułu sno problem decyzyny. 2. Wylcz wszyste możlwe decyze. 3. Zdentyfu wszyste możlwe stny ntury. 4. Oreśl wypłtę dl wszystch możlwych sytuc, ( tzn. ombnc decyz / stn ntury ). 5.

Bardziej szczegółowo

Algebra macierzowa i inne takie (krótka i prowizoryczna powtórka

Algebra macierzowa i inne takie (krótka i prowizoryczna powtórka lgebr mcerzow e te (rót prowzorycz powtór (uwg: tutj jest ezupełe osewet otcj tj. mcerze czsem są pogruboe czsem ursywe (tlcs) proszę sę e przejmowć t po prostu wyszło) PEWNE WZNE OPERCJE MCIERZOWE ozcz

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE TEORII GRAFÓW DO ANALIZY STABILNOŒCI STANÓW STACJONARNYCH W SIECIACH REAKCJI ENZYMATYCZNYCH

ZASTOSOWANIE TEORII GRAFÓW DO ANALIZY STABILNOŒCI STANÓW STACJONARNYCH W SIECIACH REAKCJI ENZYMATYCZNYCH ZASTOSOWAIE TEORII GRAFÓW DO AALIZY STABILOŒCI STAÓW STACJOARYCH W SIECIACH REAKCJI EZYMATYCZYCH Zbgew Os L do och publc uowych populrouowych e-booów orz udyc telewzyych rdowych są dostępe w bze ORCID

Bardziej szczegółowo

( ) ( ) 0. ( x) )... są wielomianami stopnia m = n + r + 1. INTERPOLACJA HERMITE A. Gdzie hkihk

( ) ( ) 0. ( x) )... są wielomianami stopnia m = n + r + 1. INTERPOLACJA HERMITE A. Gdzie hkihk INERPOLCJ N czy poleg zde terpolc? Zde terpolc est wyzczee przyblżoyc wrtośc fukc w puktc e będącyc węzł orz oszcowe błędu tyc przyblżoyc wrtośc.w ty celu leży zleźć fukce p( zwą fukcą terpolcyą którą

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. Wykład nr 7. dr hab. Piotr Fronczak

Metody numeryczne. Wykład nr 7. dr hab. Piotr Fronczak Metody numeryzne Wyłd nr 7 dr. Potr Fronz Cłowne numeryzne Cłowne numeryzne to przylżone olzne łe oznzony. Metody łown numeryznego polegją n przylżenu ł z pomoą odpowednej sumy wżonej wrtoś łownej unj

Bardziej szczegółowo

Regresja liniowa. (metoda najmniejszych kwadratów, metoda wyrównawcza, metoda Gaussa)

Regresja liniowa. (metoda najmniejszych kwadratów, metoda wyrównawcza, metoda Gaussa) Regresj low (metod jmejszch kwdrtów, metod wrówwcz, metod Guss) stot metod postult Guss współczk prostej kostrukcj prostej teoretczej trsformcj fukcj elowch przkłd Regresj low czm poleg? Jeśl merzoe dwe

Bardziej szczegółowo

Rozwiązanie niektórych zadań treningowych do I kolokwium sem. zimowy, 2018/19

Rozwiązanie niektórych zadań treningowych do I kolokwium sem. zimowy, 2018/19 Rozwąze ektóryh zdń tregowyh do I kolokwum sem. zmowy, 8/9 Zd.. V = ost, = 98 K W wrukh dtyzyh Q = ΔU =. Końową temperturę zjdzemy rozwązują rówe ΔU =. Zm eerg wewętrzej zhodz wskutek rekj hemzej jlepej

Bardziej szczegółowo

Sprawdzenie stateczności skarpy wykopu pod składowisko odpadów komunalnych

Sprawdzenie stateczności skarpy wykopu pod składowisko odpadów komunalnych Sprawdzee stateczośc skarpy wykopu pod składowsko odpadów koualych Ustalee wartośc współczyka stateczośc wykoae zostae uproszczoą etodą Bshopa, w oparcu o poższą forułę: [ W s( α )] ( φ ) ( φ ) W ta F

Bardziej szczegółowo

dr Michał Konopczyński Ekonomia matematyczna ćwiczenia

dr Michał Konopczyński Ekonomia matematyczna ćwiczenia dr Mchł Koopczńsk Ekoom mtemtcz ćwcze. Ltertur obowązkow Eml Pek red. Podstw ekoom mtemtczej. Mterł do ćwczeń MD r 5 AE Pozń.. Ltertur uzupełjąc Eml Pek Ekoom mtemtcz AE Pozń. Alph C. Chg Podstw ekoom

Bardziej szczegółowo

Aproksymacja funkcji

Aproksymacja funkcji Aprosymcj fcj. Ogóle sformłowe zgde prosymcj jedowymrowej Sformłowe zgde prosymcj D - prosymcj cągł: zleźć fcję p( x ) prosymjącą (zstępjącą, przylżjącą) dą fcję cągłą ( ) f x w przedzle [ ] p( x ) powy

Bardziej szczegółowo

4. Rekurencja. Zależności rekurencyjne, algorytmy rekurencyjne, szczególne funkcje tworzące.

4. Rekurencja. Zależności rekurencyjne, algorytmy rekurencyjne, szczególne funkcje tworzące. 4. Reurecj. Zleżości reurecyje, lgorytmy reurecyje, szczególe fucje tworzące. Reurecj poleg rozwiązywiu problemu w oprciu o rozwiązi tego smego problemu dl dych o miejszych rozmirch. W iformtyce reurecj

Bardziej szczegółowo

Równania rekurencyjne

Równania rekurencyjne Rówaa reurecyje Ja stosować do przelczaa obetów obatoryczych? zaleźć zwąze reurecyjy, oblczyć la początowych wartośc, odgadąć ogóly wzór, tóry astępe udowaday stosując ducję ateatyczą. W etórych przypadach,

Bardziej szczegółowo

UWAGI O ROZKŁADZIE FUNKCJI ZMIENNEJ LOSOWEJ.

UWAGI O ROZKŁADZIE FUNKCJI ZMIENNEJ LOSOWEJ. L.Kowls - Uwg o rozłdz uc zm losow UWAI O ROZKŁADZIE UNKCJI ZMIENNEJ LOSOWEJ. - d zm losow cągł o gęstośc. Y g g - borlows tz. g - B BR dl B BR Wzczć gęstość g zm losow Y. Jśl g - ścśl mootocz różczowl

Bardziej szczegółowo

6. *21!" 4 % rezerwy matematycznej. oraz (ii) $ :;!" "+!"!4 oraz "" % & "!4! " )$!"!4 1 1!4 )$$$ " ' ""

6. *21! 4 % rezerwy matematycznej. oraz (ii) $ :;! +!!4 oraz  % & !4!  )$!!4 1 1!4 )$$$  ' Memy fow 09..000 r. 6. *!" ( orz ( 4 % rezerwy memycze $ :;!" "+!"!4 orz "" % & "!4! " $!"!4!4 $$$ " ' "" V w dowole chwl d e wzorem V 0 0. &! "! "" 4 < ; ;!" 4 $%: ; $% ; = > %4( $;% 7 4'8 A..85 B..90

Bardziej szczegółowo

Równania liniowe. gdzie. Automatyka i Robotyka Algebra -Wykład 8- dr Adam Ćmiel,

Równania liniowe. gdzie. Automatyka i Robotyka Algebra -Wykład 8- dr Adam Ćmiel, utomtyk Robotyk lgebr -Wykłd - dr dm Ćmel cmel@ghedupl Równn lnowe Nech V W będą przestrzenm lnowym nd tym smym cłem K T: V W przeksztłcenem lnowym Rozwżmy równne lnowe T(v)w Powyższe równne nzywmy równnem

Bardziej szczegółowo

ELEMENTY TEORII GIER

ELEMENTY TEORII GIER ELEMENTY TEORII GIER Śwt s otcząc pełe est koflktów rwlzc. Moż weć lcze przkłd stuc deczch, ędz : wo, kpe poltcze, kpe reklowe rketgowe rwlzuącch ze sobą fr wele ch, w którch do cze z koflkte ędz ch uczestk.

Bardziej szczegółowo

Rozpraszania twardych kul

Rozpraszania twardych kul Wyłd XVIII Rozprszn twrdych u Rozwżmy oddzływne twrdych u opsywne potencjłem V r r Ponewż potencjł jest seryczne symetryczny uncję ową możn zpsć w postc ( r Cm R Ym( m gdze Ym( to hrmon seryczne Rozprszne

Bardziej szczegółowo

Technika optymalizacji

Technika optymalizacji Nelowe zde optymlzj sttyzej ez ogrzeń - PN ez ogrzeń dr Ŝ. Ew Szlh Wydzł Eletro Ker.: Eletro III r. EZI Sformułowe owe zd optymlzj elowej ez ogrzeń: Fuj elu f( : Zde optymlzj poleg zlezeu wetor zmeyh deyzyjyh,

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Iducja matematycza Twerdzee. zasada ducj matematyczej Nech T ozacza pewą tezę o lczbe aturalej. Jeżel dla pewej lczby aturalej 0 teza T 0 jest prawdzwa dla ażdej lczby aturalej 0 z prawdzwośc tezy T wya

Bardziej szczegółowo

Wykład 6. Stabilność układów dynamicznych

Wykład 6. Stabilność układów dynamicznych Wyłd 6. Sblość ułdó dymcych Rożmy obe dymcy (uoomcy e poddy ymueom) d d d F( ) dm d Pu róog d F( ) r d Obe loy r r mcer( ) de Ułd e bly eżel yrącoy e u róog oe prodoy do u róog Defc blośc ee Lpuo Pu róog

Bardziej szczegółowo

Spójne przestrzenie metryczne

Spójne przestrzenie metryczne lz Włd 5 d d Ćel cel@gedpl Spóe pzeszee ecze De Pzeszeń eczą ρ zw spóą eżel e d sę e pzedswć w psc s dwóc zów epsc wc złączc ρ - pzeszeń spó ~ we Icze es ze spó eżel dl dwlc pów czl see cągł c γ : : γ

Bardziej szczegółowo

Całka oznaczona. długość k-tego odcinka podziału P. średnica podziału P. punkt pośredni k-tego odcinka podziału P

Całka oznaczona. długość k-tego odcinka podziału P. średnica podziału P. punkt pośredni k-tego odcinka podziału P Cł ozczo. De.. Podziłem odci części, N, zywmy ziór przy czym. Wprowdzmy ozczei: długość -tego odci podziłu P średic podziłu P put pośredi -tego odci podziłu P De. sum cłow Niech ucj ędzie ogriczo przedzile

Bardziej szczegółowo

Metody obliczeniowe. Semestr II

Metody obliczeniowe. Semestr II Metody olczeowe Semestr II Metody umerycze - sposoy rozwąz zd mtemtyczego z pomocą operc lczch. Rozwązywe ułdów rówń lowych. Metody ezpośrede tercye.. Sposoy rozwązyw rówń elowych, zgdee optymlzc.. Aprosymc

Bardziej szczegółowo

Sposoby wyznaczenia błędu bezwzględnego. Pomiar bezpośredni. Pomiar pośredni. f x. f x. f x. f x. x n = =

Sposoby wyznaczenia błędu bezwzględnego. Pomiar bezpośredni. Pomiar pośredni. f x. f x. f x. f x. x n = = Pomr jego dokłdość. Kżdy pomr dje m wyk z pewą ylko dokłdoścą, węc obcążoy je epewoścą pomrową (błędem pomrowym). Pomry fzycze dzelmy : bezpośrede pośrede. Pomrm bezpośredm zywmy ke, kórych wrość lczbową

Bardziej szczegółowo

Wybrane rozkłady prawdopodobieństwa użyteczne w statystyce

Wybrane rozkłady prawdopodobieństwa użyteczne w statystyce ttstk Wkłd 5 Ad Ćel A3-A4 3 cel@gh.ed.pl Wre rozkłd prwdopodoeństw żtecze w sttstce Rozkłd ch-kwdrt o stopch swood - to rozkłd s kwdrtów ezleżch zech losowch o stdrzow rozkłdze orl tz......d. rozkłd o

Bardziej szczegółowo

SZTUCZNA INTELIGENCJA

SZTUCZNA INTELIGENCJA SZTUCZA ITELIGECJA WYKŁAD. SYSTEMY EUROOWO-ROZMYTE Częstocow 4 Dr b. ż. Grzegorz Dude Wdzł Eletrcz Poltec Częstocows SIECI EUROOWO-ROZMYTE Sec euroowo-rozmte pozwlją utomtcze tworzee reguł podstwe przłdów

Bardziej szczegółowo

Kwadratury numeryczne

Kwadratury numeryczne Kdrtur umercze Kdrturm umerczm zm zor służące do przlżoego zcz rtośc cłe ozczoch oszrze edo lu elo mrom. Olcze cłe ozczoch oszrze elomrom sprodz sę do elorotego zstoso drtur dl oszru edomroego. Ide postępo

Bardziej szczegółowo

Plan wykładu. Sztuczne sieci neuronowe. Druga pochodna funkcji (f (x))

Plan wykładu. Sztuczne sieci neuronowe. Druga pochodna funkcji (f (x)) Pl wyłdu yłd 4: Algorytmy optymlzcj Młgorzt Krętows ydzł Iformty Poltech Błostoc Algorytmy grdetowe optymlzcj Algorytm jwęszego spdu e: Algorytm zmeej metry, Algorytm grdetów sprzężoych Algorytmy doboru

Bardziej szczegółowo

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 4. Nr: 1. Metody obliczeniowe. wykład nr 4. różniczkowanie przybliżone całkowanie numeryczne

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 4. Nr: 1. Metody obliczeniowe. wykład nr 4. różniczkowanie przybliżone całkowanie numeryczne r: Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Metody olczeowe wyłd r różczowe przylżoe cłowe umerycze r: Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Perwsz pocod uc Perwsz pocod uc dec: ' lm Ozcze:

Bardziej szczegółowo

Lista 6. Kamil Matuszewski 26 listopada 2015

Lista 6. Kamil Matuszewski 26 listopada 2015 Lsta 6 Kaml Matuszews 6 lstopada 5 4 5 6 7 8 9 4 5 X X X X X X X X X X X D X X N Gdze X-spsae, D-Delarowae, N-edelarowae. Zadae Zadae jest westą odpowedego pomalowaa. Weźmy sobe szachowcę x, poumerujmy

Bardziej szczegółowo

G:\AA_Wyklad 2000\FIN\DOC\Nieciagly.doc. Drgania i fale II rok Fizyki BC

G:\AA_Wyklad 2000\FIN\DOC\Nieciagly.doc. Drgania i fale II rok Fizyki BC Fle w ośrodu o struturze periodycznej: N ogół roziry nieciągłości ośrod

Bardziej szczegółowo

[ ] Pochodne cząstkowe funkcji złożonych.

[ ] Pochodne cząstkowe funkcji złożonych. EI-Iork-Wkł - r Ćel cel@.g.e.pl De. Mów że kc es kls D eżel pos w kż pkce zbor D wszske pocoe cząskowe cągłe czl es F- różczkowl w kż pkce zbor E. Pocoe cząskowe wższc rzęów. Rozwż kcę rzeczwsą zec : R

Bardziej szczegółowo

MODEL MATEMATYCZNY BILANSU MATERIAŁÓW WSADOWYCH O NIEPEWNYM SKŁADZIE CHEMICZNYM

MODEL MATEMATYCZNY BILANSU MATERIAŁÓW WSADOWYCH O NIEPEWNYM SKŁADZIE CHEMICZNYM 8/8 ARCHIWUM ODLEWNICTWA Ro 6 Roczi 6 Nr 8 (/ ARCHIVES OF FOUNDRY Yer 6 Volume 6 N o 8 (/ PAN Ktowice PL ISSN 6-58 MODEL MATEMATYCZNY BILANSU MATERIAŁÓW WSADOWYCH O NIEPEWNYM SKŁADZIE CHEMICZNYM E. ZIÓŁKOWSKI

Bardziej szczegółowo

Ad. poszczegolne metody obliczeniowe

Ad. poszczegolne metody obliczeniowe A. poszczegole etoy olczeowe. Oów włsośc uerycze reprezetc lcz rzeczywstych rytety zeoprzecowe orz przestw powy yć uwzglęe w oprcowywu lgorytów ueryczych. F-zór lcz zeoprzecowych -postw t-ołość L,U-zres

Bardziej szczegółowo

1. Relacja preferencji

1. Relacja preferencji dr Mchał Koopczyńsk EKONOMIA MATEMATYCZNA Wykłady, 2, 3 (a podstawe skryptu r 65) Relaca preferec koszyk towarów: przestrzeń towarów: R + = { x R x 0} x = ( x,, x ) X X R+ x 0 x 0 =, 2,, x~y xf y x y x

Bardziej szczegółowo

Podstawy informatyki 2. Podstawy informatyki 2. Wykład nr 6 ( ) Plan wykładu nr 6. Politechnika Białostocka. - Wydział Elektryczny

Podstawy informatyki 2. Podstawy informatyki 2. Wykład nr 6 ( ) Plan wykładu nr 6. Politechnika Białostocka. - Wydział Elektryczny Podstwy formty Wyłd r / Podstwy formty Pl wyłdu r etody tercyje rozwązyw ułdów rówń lowych: metod tercj prostej (Jcobego) metod Guss-Sedel Poltech Błostoc - Wydzł Eletryczy Eletrotech, semestr II, stud

Bardziej szczegółowo

ω a, ω - prędkości kątowe członów czynnego a i biernego b przy

ω a, ω - prędkości kątowe członów czynnego a i biernego b przy Prekłne Mechncne PRZEKŁADNIE MECHANICZNE Prekłne mechncne są wykle mechnmm kołowym prenconym o prenesen npęu o włu slnk wykonuącego ruch orotowy o cłonu npęowego msyny rooce, mechnmu wykonwcego lu wprost

Bardziej szczegółowo

Rozkłady prawdopodobieństwa 1

Rozkłady prawdopodobieństwa 1 Rozkłdy rwdoodoeństw Rozkłdy rwdoodoeństw. Rozkłdy dyskrete cągłe. W rzydku rozkłdu dyskretego określmy wrtośc rwdoodoeństw dl rzelczlej skończoej lu eskończoej lczy wrtośc zmeej losowej. N.... wszystke

Bardziej szczegółowo

Metody Numeryczne 2017/2018

Metody Numeryczne 2017/2018 Mod urcz 7/8 Ior Sosow III ro Iżr Oczow II ro Włd 5 Rodzj roscj 8 8 8 - - - - 3 8 8 6 8 roscj rocj roscj jdosj [ ] roscj śrdowdrow d Twrdz Wrsrss ów ż d dowoj ucj oż zźć wo o dowo ł odchu s od j ucj Br

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. Wykład nr 5: Aproksymacja i interpolacja. dr Piotr Fronczak

Metody numeryczne. Wykład nr 5: Aproksymacja i interpolacja. dr Piotr Fronczak Metod umerze Wkłd r 5: Aproksmj terpolj dr Potr Frozk Aproksmj terpolj Aproksmj rówem lowm Błąd dopsow E - Fukj dwóh zmeh Fukj E m mmum dl tkh wrtoś, dl którh pohode ząstkowe względem zerują sę: E E Jest

Bardziej szczegółowo

2π Ciągi te są ortogonalne w kaŝdym przedziale < t 0, t 0 +T > o długości T =.

2π Ciągi te są ortogonalne w kaŝdym przedziale < t 0, t 0 +T > o długości T =. Obwody SLS prąd orsowgo SLS PO Obwody SLS prąd orsowgo o obwody SLS prcjąc w s soy przy pobdzch orsowych. Obwody zywy obwod prąd orsowgo OPO b obwod prąd odszłcogo OPO od sygł ssodgo. Mody posępow z OPO:

Bardziej szczegółowo

teorii optymalizacji

teorii optymalizacji Poltechka Gdańska Wydzał Oceaotechk Okrętowctwa St. II stop. se. I Podstawy teor optyalzac wykład 7 M. H. Ghae Ma 5 Podstawy teor optyalzac Oceaotechka II stop. se. I 5 Podstawy teor optyalzac Oceaotechka

Bardziej szczegółowo

EKSTREMA FUNKCJI EKSTREMA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Tw. Weierstrassa Każda funkcja ciągła na przedziale domkniętym ma wartość najmniejszą i największą.

EKSTREMA FUNKCJI EKSTREMA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Tw. Weierstrassa Każda funkcja ciągła na przedziale domkniętym ma wartość najmniejszą i największą. Joaa Ceślak, aula Bawej ESTREA FUNCJI ESTREA FUNCJI JEDNEJ ZIENNEJ Otoczeem puktu R jest każdy przedzał postac,+, gdze >. Sąsedztwem puktu jest każdy zbór postac,,+, gdze >. Nech R, : R oraz ech. De. ówmy,

Bardziej szczegółowo

Przypomnijmy tu znany wzór Taylora ze względu na jego wykorzystanie w zagadnieniach interpolacji, róŝniczkowania i całkowania numerycznego.

Przypomnijmy tu znany wzór Taylora ze względu na jego wykorzystanie w zagadnieniach interpolacji, róŝniczkowania i całkowania numerycznego. 3. Wzór Tlor. Przpomm tu z wzór Tlor ze względu ego worzste w zgdec terpolc róŝczow cłow umerczego. Jeśl uc e perwszc pocodc est cągłc w przedzle domętm [] to dl dowolc putów z przedzłu [] zcodz!! ξ gdze

Bardziej szczegółowo

MACIERZE I DZIAŁANIA NA MACIERZACH. Niech ustalone będzie ciało i dwie liczby naturalne,.

MACIERZE I DZIAŁANIA NA MACIERZACH. Niech ustalone będzie ciało i dwie liczby naturalne,. CIERZE I ZIŁNI N CIERZCH Nech usloe będze cło dwe lczby urle, cerzą o wyrzch z cł wymrch zywmy kżdą fukcję cerz ką zpsujemy w posc belk ) cerz zpsujemy róweż wele ych sposobów, w zleżośc od ego jką jej

Bardziej szczegółowo

Wykład 6 Całka oznaczona: obliczanie pól obszarów płaskich. Całki niewłaściwe.

Wykład 6 Całka oznaczona: obliczanie pól obszarów płaskich. Całki niewłaściwe. Wykłd 6 Cłk ozczo: olcze pól oszrów płskch. Cłk ewłścwe. Wprowdźmy jperw ocję sumow: Dl dego zoru lcz {,,..., } symol ozcz ch sumę, z.... Cłk ozczo zosł wprowdzo w celu wyzcz pól rpezów krzywolowych (rys.

Bardziej szczegółowo

Projekt 2 2. Wielomiany interpolujące

Projekt 2 2. Wielomiany interpolujące Proekt Weloma terpoluące Rodzae welomaów terpoluącc uma edomaów Nec w przedzale a, b określoa będze fukca f: ec będze ustaloc m wartośc argumetu :,,, m, m L prz czm: < < L < < m m Pukt o tc odcztac azwa

Bardziej szczegółowo

- macierz o n wierszach i k kolumnach. Macierz jest diagonalna jeśli jest kwadratowa i po za główną przekątną (diagonala) są

- macierz o n wierszach i k kolumnach. Macierz jest diagonalna jeśli jest kwadratowa i po za główną przekątną (diagonala) są Powtórzeie z Algebry 1. Mcierz A k 1 11 1 1k 1 k k - mcierz o wierszch i k kolumch Mcierz est kwdrtow eśli m tyle smo wierszy co kolum ( = k). Mcierz est digol eśli est kwdrtow i po z główą przekątą (digol)

Bardziej szczegółowo

I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczby całkowite C : C..., 3, 2, 1,

I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczby całkowite C : C..., 3, 2, 1, I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczy turle N : N 0,,,,,,..., N,,,,,... liczy cłkowite C : C...,,,, 0,,,,... Kżdą liczę wymierą moż przedstwić z pomocą ułmk dziesiętego skończoego

Bardziej szczegółowo

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13 III etap zawodów (wojewódzki) 12 stycznia 2013 r.

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13 III etap zawodów (wojewódzki) 12 stycznia 2013 r. KONKURS MTEMTYCZNY dl ucziów gimzjów w roku szkolym 0/ III etp zwodów (wojewódzki) styczi 0 r. Propozycj puktowi rozwiązń zdń Uwg Łączie uczeń może zdobyć 0 puktów. Luretmi zostją uczesticy etpu wojewódzkiego,

Bardziej szczegółowo

Regresja REGRESJA

Regresja REGRESJA Regresja 39. REGRESJA.. Regresja perwszego rodzaju Nech (, będze dwuwyarową zeą losową, dla które steje kowaracja. Nech E( y ozacza warukową wartość oczekwaą zdefowaą dla przypadku zeych losowych typu

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo warunkowe. Niezależność zdarzeń

Prawdopodobieństwo warunkowe. Niezależność zdarzeń RCHUNEK RWDOODOIEŃSTW WYKŁD. rwopoobeństwo wruowe. Nezleżość zrzeń rzył. Rzucmy rz symetryczą sześceą ostą. e zrzee {, 4, 6} - wypł przyst lczb ocze m szsę zjśc rówą 0,5. Zobylśmy formcję, że wypły jwyżej

Bardziej szczegółowo

Portfel złożony z wielu papierów wartościowych

Portfel złożony z wielu papierów wartościowych Portfel westycyy ćwczea Na odst. Wtold Jurek: Kostrukca aalza, rozdzał 4 dr Mchał Kooczyńsk Portfel złożoy z welu aerów wartoścowych. Zwrot ryzyko Ozaczea: w kwota ulokowaa rzez westora w aery wartoścowe

Bardziej szczegółowo

Macierze w MS Excel 2007

Macierze w MS Excel 2007 Mcierze w MS Ecel 7 Progrm MS Ecel umożliwi wykoywie opercji mcierzch. Służą do tego fukcje: do możei mcierzy MIERZ.ILOZYN do odwrci mcierzy MIERZ.ODW do trspoowi mcierzy TRNSPONUJ do oliczi wyzczik mcierzy

Bardziej szczegółowo

Całka oznaczona. długość k-tego odcinka podziału P. punkt pośredni k-tego odcinka podziału P. Niech funkcja f będzie ograniczona na przedziale

Całka oznaczona. długość k-tego odcinka podziału P. punkt pośredni k-tego odcinka podziału P. Niech funkcja f będzie ograniczona na przedziale Cł ozczo. De.1. Podziłem odci części, N, zywmy ziór przy czym. Wprowdzmy ozczei: długość -tego odci podziłu P średic podziłu P put pośredi -tego odci podziłu P De.2 sum cłow Niech ucj ędzie ogriczo przedzile

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE ANALIZA SITOWA I PODSTAWY OCENY GRANULOMETRYCZNEJ SUROWCÓW I PRODUKTÓW

ĆWICZENIE ANALIZA SITOWA I PODSTAWY OCENY GRANULOMETRYCZNEJ SUROWCÓW I PRODUKTÓW 1 ĆWICZENIE ANALIZA SITOWA I PODSTAWY OCENY GANULOMETYCZNEJ SUOWCÓW I PODUKTÓW 1. Cel zkres ćwczen Celem ćwczen jest opnowne przez studentów metody oceny mterłu sypkego pod względem loścowej zwrtośc frkcj

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ ĆWICZENIE 9 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ Opis kł pomirowego A) Wyzzie ogiskowej sozewki skpijąej z pomir oległośi przemiot i obrz o sozewki Szzególie proste, rówoześie

Bardziej szczegółowo

Całka oznaczona. długość k-tego odcinka podziału P. punkt pośredni k-tego odcinka podziału P. Niech funkcja f będzie ograniczona na przedziale

Całka oznaczona. długość k-tego odcinka podziału P. punkt pośredni k-tego odcinka podziału P. Niech funkcja f będzie ograniczona na przedziale Cł ozczo. De.1. Podziłem odci części, N, zywmy ziór przy czym. Wprowdzmy ozczei: długość -tego odci podziłu P średic podziłu P put pośredi -tego odci podziłu P De.2 (sum cłow) Niech ucj ędzie ogriczo przedzile

Bardziej szczegółowo

Szybkie mno enie. akumulacja równoległa drzewiasta struktura CSA, akumulacja sekwencyjna liniowa struktura CSA, matryca mno

Szybkie mno enie. akumulacja równoległa drzewiasta struktura CSA, akumulacja sekwencyjna liniowa struktura CSA, matryca mno Schety przy peszonego no en 3 CS CP uulc równoległ 3 CS CS CS CP uulc sewencyn uulc równoległ drzewst strutur CS, uulc sewencyn lnow strutur CS, tryc no c Jnusz Bernt, Szybe nozene'4 FM uulc loczynów cz

Bardziej szczegółowo

W zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = =

W zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = = 4. Na podstawe erówośc Cramera Rao wyzacz dole ograczee dla waracj eobcążoego estymatora waracj σ w rozkładze ormalym N(0, σ ). W zadau e ma polecea wyzaczaa estymatora eobcążoego o mmalej waracj dla σ,

Bardziej szczegółowo

Johann Wolfgang Goethe Def.

Johann Wolfgang Goethe Def. "Maemac ą ja Facuz: coolwe m ę powe od azu pzeładają o a wój wła jęz wówcza aje ę o czmś zupełe m." Joha Wola Goehe Weźm : m m Jeżel zdeujem ucje pomoccze j : j dla j = m o = m dze = Czl wacz pzeaalzowad

Bardziej szczegółowo

Mh n. 2 ε. h h/ n n. Ekstrapolacja Richardsona (szacowanie błędu) błąd. ekstrapolowana wartość całki I. kwadratury z adaptowanym krokiem

Mh n. 2 ε. h h/ n n. Ekstrapolacja Richardsona (szacowanie błędu) błąd. ekstrapolowana wartość całki I. kwadratury z adaptowanym krokiem Ekstrapolacja Rchardsoa (szacowae błędu) dla daej, ustaloej metody błąd Mh zakładając, że M jest w przyblżeu ezależe od h I I + Mh h h/ / I I + Mh ekstrapolowaa wartość całk I I e I h / + Ih / ( I h )

Bardziej szczegółowo

Wykład 1 Pojęcie funkcji, nieskończone ciągi liczbowe, dziedzina funkcji, wykres funkcji, funkcje elementarne, funkcje złożone, funkcje odwrotne.

Wykład 1 Pojęcie funkcji, nieskończone ciągi liczbowe, dziedzina funkcji, wykres funkcji, funkcje elementarne, funkcje złożone, funkcje odwrotne. Wykłd Pojęcie fukcji, ieskończoe ciągi liczbowe, dziedzi fukcji, wykres fukcji, fukcje elemetre, fukcje złożoe, fukcje odwrote.. Fukcje Defiicj.. Mówimy, że w zbiorze liczb X jest określo pew fukcj f,

Bardziej szczegółowo

SYSTEMY ROZMYTO-NEURONOWE REALIZUJĄCE RÓŻNE SPOSOBY ROZMYTEGO WNIOSKOWANIA

SYSTEMY ROZMYTO-NEURONOWE REALIZUJĄCE RÓŻNE SPOSOBY ROZMYTEGO WNIOSKOWANIA POLIECHIK CZĘSOCHOWSK KEDR IŻYIERII KOMPUEROWEJ PRC DOKORSK SYSEMY ROZMYO-EUROOWE RELIZUJĄCE RÓŻE SPOSOY ROZMYEGO WIOSKOWI Roert owc Promotor: dr h. ż. Dut Rutows rof. dzw. P.Cz. Częstochow 999 eszm chcłm

Bardziej szczegółowo

METODY NUMERYCZNE. Wykład 3. Plan. Aproksymacja. Aproksymacja Interpolacja wielomianowa Przykłady. Jaki jest dopuszczalny błąd wyniku?

METODY NUMERYCZNE. Wykład 3. Plan. Aproksymacja. Aproksymacja Interpolacja wielomianowa Przykłady. Jaki jest dopuszczalny błąd wyniku? METODY NUMERYCZNE Wkłd. dr h.ż. Ktrz Zkrzewsk, prof.agh Met.Numer. wkłd Pl Aproksmc Iterpolc welomow Przkłd Met.Numer. wkłd Aproksmc Metod umercze zmuą sę rozwązwem zdń mtemtczch z pomocą dzłń rtmetczch.

Bardziej szczegółowo

Analiza numeryczna. Stanisław Lewanowicz. Całkowanie numeryczne. Definicje, twierdzenia, algorytmy

Analiza numeryczna. Stanisław Lewanowicz. Całkowanie numeryczne. Definicje, twierdzenia, algorytmy http://wwwiiuniwrocpl/ sle/teching/n-wdrpdf Anliz numeryczn Stnisłw Lewnowicz Styczeń 008 r Cłownie numeryczne Definicje, twierdzeni, lgorytmy 1 Pojęci wstępne Niech IF IF [, b] ozncz zbiór wszystich funcji

Bardziej szczegółowo

MODELE OBIEKTÓW W 3-D3 część

MODELE OBIEKTÓW W 3-D3 część WYKŁAD 5 MODELE OBIEKTÓW W -D część la wykładu: Kocepcja krzywej sklejaej Jedorode krzywe B-sklejae ejedorode krzywe B-sklejae owerzche Bezera, B-sklejae URBS 1. Kocepcja krzywej sklejaej Istotą z praktyczego

Bardziej szczegółowo

ZADANIA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ dla I roku kierunku informatyka WSZiB

ZADANIA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ dla I roku kierunku informatyka WSZiB pro. dr hb. Stisłw Biłs ZADANIA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I roku kieruku iormtyk WSZiB I. ELEMENTARNE WŁASNOŚCI FUNKCJI. Wyzczyć dziedzię ukcji: 5 7 log[ log 5 6. b c ] d. Wyzczyć przeciwdziedzię ukcji:

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 7. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Macierzowa Metoda Rozwiązywania Układu Równań Cramera

WYKŁAD 7. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Macierzowa Metoda Rozwiązywania Układu Równań Cramera /9/ WYKŁ. UKŁY RÓWNŃ LINIOWYCH Mcierzow Metod Rozwiązywi Ukłdu Rówń Crmer Ogól postć ukłdu rówń z iewidomymi gdzie : i i... ozczją iewidome; i R k i R i ik... ;... efiicj Ukłdem Crmer zywmy tki ukłd rówń

Bardziej szczegółowo

f '. Funkcja h jest ciągła. Załóżmy, że ciąg (z n ) n 0, z n+1 = h(z n ) jest dobrze określony, tzn. n 0 f ' ( z n

f '. Funkcja h jest ciągła. Załóżmy, że ciąg (z n ) n 0, z n+1 = h(z n ) jest dobrze określony, tzn. n 0 f ' ( z n Metoda Newtoa i rówaie z = 1 Załóżmy, że fucja f :C C ma ciągłą pochodą. Dla (prawie) ażdej liczby zespoloej z 0 tworzymy ciąg (1) (z ) 0, z 1 = z f ( z ), ciąg te f ' (z ) będziemy azywać orbitą liczby

Bardziej szczegółowo

Podprzestrzenie macierzowe

Podprzestrzenie macierzowe Podprzestrzee macerzowe werdzee: Dla dwóch macerzy A B o tych samych wymarach zachodz: ( ) ( ) wersz a) R A R B A ~ B Dowód: wersz a) A ~ B stee P taka że PA B 3 0 A 4 3 0 0 E A B 0 0 0 E B 3 6 4 0 0 0

Bardziej szczegółowo

Niech dany będzie układ równań postaci. Powyższy układ równań liniowych z n niewiadomymi można zapisać w postaci macierzowej

Niech dany będzie układ równań postaci. Powyższy układ równań liniowych z n niewiadomymi można zapisać w postaci macierzowej Rozwiązywie ułdów rówń liiowych Metod elimicji Guss 2 Postwieie zgdiei Niech dy będzie ułd rówń postci b x x x b x x x b x x x 2 2 2 2 2 22 2 2 2 Powyższy ułd rówń liiowych z iewidomymi moż zpisć w postci

Bardziej szczegółowo

CONNECT, STARTUP, PROMOTE YOUR IDEA

CONNECT, STARTUP, PROMOTE YOUR IDEA Dz ę u ę z r - T A ry. K z w ź ó ży u w USA www.. łą z sz s ł z ś F u T A ry! C yr t 2018 y Sy w Gór Wy rwsz S Fr s, 2018 Wszyst r w z strz ż. N ut ryz w r z wsz ł ś u r tu sz - w w st st z r. K w ą w

Bardziej szczegółowo

Programowanie z więzami (CLP) CLP CLP CLP. ECL i PS e CLP

Programowanie z więzami (CLP) CLP CLP CLP. ECL i PS e CLP Progrmowie z więzmi (CLP) mjąc w PROLOGu: p(x) :- X < 0. p(x) :- X > 0. i pytjąc :- p(x). dostiemy Abort chcelibyśmy..9 CLP rozrzeszeie progrmowi w logice o kocepcję spełii ogriczeń rozwiązie = logik +

Bardziej szczegółowo

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA ĆWICZENIA LABORATORYJNE Z FIZYKI. SPRAWOZDANIE Z PRACY LABORATORYJNEJ nr...

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA ĆWICZENIA LABORATORYJNE Z FIZYKI. SPRAWOZDANIE Z PRACY LABORATORYJNEJ nr... WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA ĆWICZENIA LABORATORYJNE Z FIZYKI Trzec ter wpsu zlcze do USOSu j prowdząc(/y)... grup... podgrup... zespół... seestr... roku kdeckego... studet(k)... SPRAWOZDANIE Z PRACY LABORATORYJNEJ

Bardziej szczegółowo

Hipotezy ortogonalne

Hipotezy ortogonalne Sttytyk Wykłd d Ćl -4 cl@gh.du.pl Hpotzy otogol ozwży odl lowy: Xϕ gdz X jt wkto obwcj ϕ Ω jt wkto śdch (wtośc oczkwych) o któy wdoo lży w pwj włścwj podpztz lowj Ω pztz tz. Ω d(ω)< jt loowy wkto błędów

Bardziej szczegółowo