Prawdopodobieństwo warunkowe. Niezależność zdarzeń

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Prawdopodobieństwo warunkowe. Niezależność zdarzeń"

Krzysztof Maj
7 lat temu
Przeglądów:

1 RCHUNEK RWDOODOIEŃSTW WYKŁD. rwopoobeństwo wruowe. Nezleżość zrzeń rzył. Rzucmy rz symetryczą sześceą ostą. e zrzee {, 4, 6} - wypł przyst lczb ocze m szsę zjśc rówą 0,5. Zobylśmy formcję, że wypły jwyżej trzy ocz zrzee {,, 3}.

e zrzee {, 4, 6} - wypł przyst lczb ocze m szsę zjśc

2 Ztem możemy oceć, że szs otrzym przystej lczby ocze gy wemy, że e wypły węcej ż trzy ocz wyos zwężee przestrze probblstyczej o { } {,,3} 3

3 lub zeląc lcz mow przez Ω {,,3,4,5,6 } 6 { } {,,3} {,4,6} {,,3} {,,3} {,4,6} {,,3} {,,3,4,5,6} {,,3} {,,3,4,5,6} 3

4 Ztem uzyse formcj o zjścu zrze zme oceę szsy zjśc zrze te zrze późej oreślmy jo zleże. 4

5 Gybyśmy tomst uzysl formcję, że wypły jwyżej cztery ocz zrzee C {,, 3, 4} to szs otrzym przystej lczby ocze gy wemy, że e wypły węcej ż cztery ocz wyos też 0,5. 5

6 Ztem uzyse formcj o zjścu zrze C e zme ocey szsy zjśc zrze te zrze późej oreślmy jo ezleże. 6

7 Jeśl > 0, S to oreślmy prwopoobeństwo wruowe owolego zrze po wruem, że zszło zrzee : S sząc > 0. bęzemy omyśle złć, że 7

8 Włsość. Jeśl Ω,S, jest przestrzeą probblstyczą > 0, S to * * Ω, S, gze, S przestrzeą probblstyczą. jest róweż 8

9 9 Dowó. I S >, 0 0, 0, * bo II, * Ω Ω bo III,,... - zrze prm wyluczjące sę * * U U U

10 Uwg. wy z oreśle. oobe 0

11 owyższy wzór moż uogólć stępująco: Nech... 0 wtey... >

12 rzył. Sygł przechoz przez trzy stcje przeźowe. erwszy przeź przezuje sygł z prwopoobeństwem 0,9. Drug przeź przezuje sygł otrzymy z perwszego przeź z prwopoobeństwem 0,8. Trzec przezuje sygł otrzymy z pośrectwem perwszego rugego przeź z prwopoobeństwem 0,5. Je jest prwopoobeństwo otrc sygłu? Nech - -ty przeź przezł sygł. Nleży oblczyć 3. Korzystmy ze wzoru prwopoobeństwo loczyu trzech zrzeń 3 3 0,9 0,8 0,5 0,36

Trzec przezuje sygł otrzymy z pośrectwem perwszego rugego przeź z prwopoobeństwem 0,5.

13 Twerzee o prwopoobeństwe cłowtym Nech zrze,,...,, spełją wru:,,...,, są prm wyluczjące sę,... Ω o tm ułze zrzeń mówmy, że jest zupeły > 0,,,...,. wtey l owolego zrze... 3

14 4 Dowó. Z złoże o ułze zupełym efcj prwopoobeństw wruowego mmy U

15 Twerzee yes Nech zrze,,...,, spełją wru poprzeego twerze. wtey l owolego zrze tego, że > 0 mmy: 5

16 6...

17 Uwg. Neey prwopoobeństwo wruowe zyw sę prwopoobeństwem posteror po ośwczeu w oróżeu o zywego prwopoobeństwem pror prze ośwczeem. 7

18 Thoms yes brytyjs mtemty uchowy prezbterńs, zy ze sformułow opublowego pośmerte twerze yes, tóre to zpoczątowło zł sttysty. 8

19 rzył W ure perwszej jest 7 ul błych 3 czre. W ure rugej są 4 ule błe 6 czrych. Rzucmy ostą, jeśl wype lczb ocze pozel przez 3 to losujemy jeą ulę z perwszej ury, w przecwym przypu losujemy jeą ulę z rugej ury. Je jest prwopoobeństwo wylosow ul błej? b Wylosow ul ozł sę bł, je jest prwopoobeństwo, że wylosowo ją z perwszej ury? 9

w przecwym przypu losujemy jeą ulę z rugej ury.

20 - losowe z tej ury, /3, /3, - wylosow ul błej, 0,7 0,4 0

21 Z twerze o prwopoobeństwe cłowtym mmy 3 0,7 3 0,4 0,5

22 b Z twerze yes mmy 0,7 3 0,5 7 5

23 Zrze są ezleże gy, S 3

24 Zuwżmy, że jeśl zrzee jest ezleże o zrze to 4

25 5 Ogóle. Zrze,..., są ezleże, jeśl,

26 6 W szczególośc l 3. Zrze,, C są ezleże, jeśl C C C C C C

27 Uzupełe. oższy przył pozuje, że przy bu wpływu jeego zrze e lczy sę e ft jego fzyczego zjśc lecz uzyse formcj o jego wyu. 7

28 rzył. W puełu mmy > żrówe obrych w żrówe wlwych. Losowo wycągmy jeą żrówę ołmy ją poz pueło bez oglą po czym losujemy stępą. Je jest prwopoobeństwo wylosow z rugm rzem obrej żrów. 8

29 D - zrzee polegjące wylosowu z - tym rzem obrej żrów,,. W - zrzee polegjące wylosowu z - tym rzem wlwej żrów,,. 9

30 30 Z twerze o prwopoobeństwe cłowtym mmy D w w w w w w w w w w w w W W D D D D D

31 rwopoobeństwo "przyszłych" zrzeń. Jeśl w wyu ośwcze wemy, że zszło zrzee stępe bęze wyoe oleje ośwczee w wyu, tórego może zjść zrzee to z twerze o prwopoobeństwe cłowtym mmy 3

32 3 Uzsee. rzesztłcjąc prwą stroę otrzymmy Ω U U

33 rzył. W I puełu mmy > żrówe obrych b żrówe wlwych. W II puełu mmy c > żrówe obrych żrówe wlwych. Njperw rzucmy moetą symetryczą, jeśl wype orzeł losowo wycągmy jeą żrówę z I pueł, w przecwym przypu wycągmy jeą żrówę z II pueł. Wylosow w te sposób żrów ozł sę obr. Nstępe losujemy rugą żrówę z tego smego pueł. Je jest prwopoobeństwo wylosow z rugm rzem obrej żrów. 33

34 - zrzee polegjące wylosowu - tej ury,,. - zrzee polegjące wylosowu z perwszym rzem obrej żrów, - zrzee polegjące wylosowu z rugm rzem obrej żrów, 34

35 35 0,5 ; c c b c c c c b b ;

36 ; b c c 36

37 37 Ztem c c b c c c c b b c c c c b c c b c c b b

38 roblem ruy grcz. W jeej prt grcz wygryw o grcz zł z prwopoobeństwem p lub przegryw zł z prwopoobeństwem q - p. oczątowo grcz m złotych, grcz m - złotych. Gr ończy sę gy jee z grczy zoste zrujowy. 38

39 p - prwopoobeństwo, 0,,...,..że e zoste zrujowy gy m początowo złotych. Oczywśce p 0 0; p. 39

40 Ze wzoru prwopoobeństwo cłowte mmy p p p p p,,..., Zpszmy tą rówość w postc p p p p p p p stą ztem cąg p p p p p p p p jest cągem geometryczym o lorze q p p. Jeśl p 0, 5 jest to cąg stły o wyrzch rówych p. Stą p p soro p to p / orz p b jeśl p 0, 5 jest to sum wyrzów cągu p,,..., wyos q... p q q... q p q z rugej stroy q 40

41 4 p p p p p p p p p stą q q p p,...,, Wrtość p wyzczmy z wruu p postwmy. Stą q q p co osttecze je p p p p q q p,...,,

Podobne dokumenty

Od wzorów skróconego mnoŝenia do klasycznych nierówności

Od wzorów skróconego mnoŝenia do klasycznych nierówności Hery Pwłowsi IV LO Toruń O wzorów sróoego moŝei o lsyzyh ierówośi Uzą w szole wzorów sróoego moŝei zzymy o owozei wóh toŝsmośi: () ( ) () ( ) Nstępie uŝywmy ih o przesztłi wyrŝeń Tym rzem zrómy z ih iy