ESTYMACJA PARAMETRÓW SZEREGU FOURIERA I ICH PRAKTYCZNE ZASTOSOWANIA

Transkrypt

1 METODY ILOŚCIOWE W BADANIACH EKONOMICZNYCH Tom XII/, 0, s ESTYMACJA PARAMETRÓW SZEREGU FOURIERA I ICH PRAKTYCZNE ZASTOSOWANIA Sylwese Smolik Wyższa Szkoła Ifomayki i Ekoomii TWP w Olszyie sylwese_smolik@sggw.pl Seszczeie: Zawiska okesowe w szczególości sezoowe, popoue się opisywać piewszymi wyazami ozwiięcia fukci okesowe w szeeg Fouiea. Będziemy się zamować akimi zawiskami, kóych liczby e opisuące y dae się ozłożyć a zy składowe: edecę ozwoową f (), składik okesowy (w szczególości sezoowy) z () i składik losowy E. Zapisuemy e fak asępuąco: y = f() + z() + E dla =,,,. Paamey edu f () mogącego mieć óżą posać aaliyczą, wyzaczamy meodą śedich. Uzyskae owe puky empiycze (, z ) opisuemy modelem wahań okesowych w posaci sumy hamoik z = s+ A si( w+ θ) E, gdzie w= π / T. Oszacowaie = paameów ego modelu meodą amieszych kwadaów ma posać: sˆ = ; ˆ z θ = acg z cos( w) / z si( w) ; = = = A cos ˆ si( ) si ˆ = θ z w + θ z cos( w) = = dla =,,, < T /. Będą pzyoczoe pzykłady zasosowań. Słowa kluczowe: szeeg Fouiea, hamoiki, meoda amieszych kwadaów.

2 Esymaca paameów szeegu Fouiea 33 WSTĘP Badaąc pewe zawisko, dyspouemy zwykle ciągiem obsewaci (, y ) dla =,,,. Nie zamy edak fukci f () opisuące o zawisko. Załóżmy pzy ym, że zawisko es ciągłe, a więc fukcę f () ieskończoą ilość azy ( ) f (0) óżiczkowalą możemy ozwiąć w szeeg Maclauia: f () = x. Do = 0! opisu ego zawiska możemy wykozysać wielomia odpowiediego sopia. Esymacę paameów wielomiau meodą amieszych kwadaów opaowao, podae się błędy poszczególych paameów i dopasowaie modelu do daych empiyczych. Te aposszy model opisu es dopacoway do końca. Niesey, ak ak wiele iych modeli moooiczych, ie ozwiązue zawisk okesowych w szczególości sezoowych. Fukce okesowe popouemy ozwiać w szeeg Fouiea, oszacować ego piewsze paamey meodą amieszych kwadaów i do apoksymaci puków (, y ) bać aki wielomia ygoomeyczy, kóy zapewi dobe dopasowaie modelu podobie ak pzy wielomiaach algebaiczych. Podsawy eoeycze ego posępowaia są asępuące. ESTYMACJA PARAMETRÓW SUMY HARMONIK Jeżeli fukca f ( ) spełia w pzedziale < 0;T > wauki Diichlea, a poado es okesowa f ( ) = f( + T) o es ozwiala w szeeg a0 ygoomeyczy Fouiea f () = + ( acosw + bsi w) dla każdego. = Szeegowi Fouiea adamy wygodieszą w esymaci posać aaliyczą (wygodieszą w posługiwaiu się im): a b f () = s+ a + b cosw+ siw = = a + b a + b = = ( siθ cos cosθ si ) = s+ A w+ w = ( θ ) = s+ A si + w, gdzie w= π / T. Będziemy zamować się akimi pocesami, kóych liczby e opisuące y dae się ozłożyć a zy składowe: edecę ozwoową (ed) f ( ), składik okesowy (w szczególości sezoowy) z ( ) i składik losowy E. Zapiszemy e fak asępuąco: y = f() + z() + E dla =,,,. ()

3 34 Sylwese Smolik Należy podkeślić, że e sposób iepeowaia opiea się a założeiu, że wymieioe składowe szeegu czasowego są wyikiem działaia zech óżych kompleksów pzyczy działaących iezależie. Maąc ciąg puków empiyczych (, y ) dla =,,, obazuących pzebieg badaego zawiska poafimy wyzaczyć edecę ozwoową f (). Nawygodie es esymować e paamey meodą śedich. Tę zeową sumę liczb dodaich i uemych z ˆ( ) = y f E () opiszemy modelem wahań okesowych w posaci sumy hamoik: z = s+ Asi( w+ θ) E dla =,,,. (3) = Paamey hamoik esymuemy klasyczą meodą amieszych kwadaów, z (3) ozymuemy: GsA (,, θ, w) = E = z s Asi( w+ θ) = (mi) = = = (4) Waukiem koieczym isieia miimum fukci G (właściwie amiesze e waości) es zeowaie się e pochodych cząskowych. Dlaego G = z s Asi( w θ) ( ) 0; s + = = = G = z s A si( w+ θ) [ si( w+ θ) ] = 0 dla =,,, ; A = = G = z s A si( w + θ) [ A cos( w + θ) ] = 0 dla =,,, ; θ = = G = z si( ) si( ) si( ) s A w + θ A w + θ A w + θ w = Acos( w + θ) Acos( w + θ) A cos( + ) w θ = 0. Wykouąc uposzczeia, możeia, uwzględiaąc wszyskie ieesuące as zmiee, ozymuemy zw. układ ówań omalych odpowiadaący wpowadzoemu modelowi (3):

4 Esymaca paameów szeegu Fouiea 35

5 36 Sylwese Smolik Układ ówań (5) es badzo skomplikoway. Jego ozwiązywaie ozpocziemy od pzekszałceń i uposzczeń wysępuących w im sum, oaz zakładamy zaomość T będącą liczbą aualą. Kozysamy z J.M. Ryżyk i J.S. Gadsze Tablice całek, sum, szeegów i iloczyów. PWN Waszawa 964, s. 39 wzó.34. o + x x si kx = si x si cosec ; o + x x cos kx = cos x si cosec +. k = k = 0 Obliczamy S = si( kw + θ ) = cosθ sikw + siθ coskw = k k k = = = + kw = cosθk si kw si kw cos ec + + kw + siθk cos kw si kw cosec = (6) kw kw ( + ) kw ( + ) kw = si cosec si cosθk + cos siθk = kw kw ( + ) kw = si cos ec si + dla =,,,. θk k Nie ylko obliczyliśmy waość ego ypu sum, ale widzimy, że pzy = mt (z., gdy liczba wyazów szeegu czasowego wykozysywaa pzy esymaci modelu es wielokoością zaego okesu opisywaego pocesu), wedy kw mt k π si = si = si( mkπ ) = 0 (7) T kw oaz cos ec = = dla k < T. (8) k π k si si π T T Wioskuemy z ych ozważań, że pzy = mt i dla < T sumy S są ówe zeu. Podobie pzy = mt S = cos( kw + θ ) = cosθ coskw siθ sikw = k k k = = = kw kw ( + ) kw = si cos ec cos + θk i pzy esykci k<t są ówież ówe zeu. α + β α β Wiemy, że siα + si β = si cos. Jeżeli α β = w + θ o (9) α + β = kw + θk i

6 Esymaca paameów szeegu Fouiea 37 α = kw + w + θ + θ = ( k + ) w + ( θ + θ ); β = ( k ) w + ( θ θ ). 3 k k k S = si( kw+ θ ) cos( w+ θ ) = si ( k + ) w+ ( θ + θ ) + [ ] k k = = + si [( k ) w + ( θ θ )] = cos( θ + θ ) si( k + ) w + k k = = + si( θ + θ ) cos( k + ) w + cos( θ θ ) si( k ) w + k k = = + si( θk θ ) cos( k ) w. = Kozysaąc ze wzou (.34) w pacy pzyoczoe wcześie, ozymuemy: ( + ) w( k + ) w( k + ) w( k + ) S3 = cos( θk + θ) si si cos ec + ( + ) w( k + ) w( k + ) w( k + ) + si( θk + θ) cos si cos ec + ( + ) w( k ) w( k ) w( k ) + cos( θk θ) si si cosec + ( + ) w( k ) w( k ) w( k ) + si( θk θ) cos si cosec = w( k + ) w( k + ) ( + ) w( k + ) = si cosec si ( ) + θk + θ + w( k ) w( k ) ( + ) w( k ) + si cosec si + ( ). θk θ Gdy = mt, z. liczebość puków empiyczych es aualą wielokoością okesu pocesu, wedy: w( k + ) mt ( k + ) π si = si = si( k + ) mπ = 0 ; podobie T w( k ) mt( k ) π si = si = si( k ) mπ = 0. T Jeśli poado k < T / i < T / i k, o wk ( + ) k+ si = si 0 T π wk ( ) ( k ) π k, oaz si = si = si 0. T T Dlaego pzy wpowadzoych esykcach ( < T / ) sumy S 3 = 0. Pzy k = ozymuemy: (0)

7 38 Sylwese Smolik S = si( w + θ )cos( w + θ ) = si(w + θ ) = 3a = = = cos θ siw + si θ cosw = = = ( + )w w w = cos θ si si cos ec + ( + )w w w + si θ cos si cos ec = = si w si [ ( + ) w + θ ] cosecw = 0 S3a = 0. Z óżicy cosiusów wioskuemy: S4 = si( kw+ θk)si( w+ θ) = cos [( k ) w+ ( θk θ) ] + = = cos [( k + ) w + ( θ + θ )] = cos( θ θ ) cos( k ) w + k k = = si( θ θ ) si( k ) w cos( θ + θ ) cos( k + ) w+ k k = = + si( θk + θ ) si( k + ) w. = Kozysaąc ze wzou (.34) w pacy [] ozymuemy: ( + ) w( k ) ( k ) w ( k ) w S4 = cos( θk θ) cos si cos ec + ( + )( k w ) k ( w ) ( k w ) si( θk θ) si si cosec + ( + )( k+ w ) k ( + w ) ( k+ w ) cos( θk + θ) cos si cos ec + ( + )( k + ) w k ( + w ) ( k+ w ) + si( θk + θ) si si cosec = ( k ) w ( k ) w ( + )( k ) w = si cosec cos ( ) + θk θ + ( k + ) w ( k + ) w ( + )( k + ) w si cosec cos + ( + ). θk θ Gdy = mt; k,, m N i k, wedy: k ( w ) mtk ( ) π si = si = si( k ) mπ = 0 oaz T () ()

8 Esymaca paameów szeegu Fouiea 39 k ( + w ) mtk ( + ) π si = si = si( k + ) mπ = 0. Jeśli poado k < T / T ( k ) w ( k ) π ( k ) i < T/ o si = si = si π 0 i T T ( k + ) w ( k + ) π ( k + ) si = si = si π 0. T T Udowodioo więc, że pzy wpowadzoych założeiach S 4 = 0. Pzy k = ozymuemy: cos(w + θ ) S4a = si ( w+ θ) = = = = = cos(w + θ) = cos cos si si = θ w θ w = = = ( + )w w w = cos θ cos si cos ec si θ ( + )w w w si si cosec = si( w) cosec( w) cos [( + ) w+ θ ] =. Udowodioo, że pzy = mt i k, < T / (czyli < T / ) 0 dla k, S4 = (3) / dla k =. Układ ówań omalych (5) dla sumy hamoik pzy zaym T, gdy w= π / T, = mt, =,,, < T / pzymue posać: + ˆ ˆ ˆ ˆ = = sˆ A 0 A 0 A 0 A 0 z sˆ 0 + Aˆ 0 + Aˆ 0 + Aˆ Aˆ 0 = cosθ z cosw ˆ siθ z siw ˆ 3 = = sˆ 0 + Aˆ 0 + Aˆ 0 + Aˆ Aˆ 0 = cosθ z cos w ˆ siθ z si w ˆ 3 = = sˆ 0 + Aˆ 0 + Aˆ 0 + Aˆ Aˆ 0 = cosθ z cos w ˆ siθ z si w ˆ 3 = = ˆ sˆ 0 + A + Aˆ 0 + Aˆ Aˆ 0 = cosθ z siw ˆ + siθ z cosw ˆ 3 = = ˆ ˆ ˆ s 0 + A 0 + A + Aˆ Aˆ 0 = cosθ z si w ˆ + siθ z cosw ˆ 3 = = ˆ 0 ˆ 0 ˆ 0 ˆ 0 ˆ s + A + A + A + + A = cosθ z si w ˆ + siθ z cos w ˆ 3 = = (4)

9 330 Sylwese Smolik Pzy obece spawozdawczości, e dodakowe esykce a dae empiycze upaszaące zasadiczo układ ówań omalych (5) ie są badzo uciążliwe. Z układu (4) wyzaczamy oszacowaie poszukiwaych paameów modelu (3): ˆ ˆ s = z ; cos( ˆ )/ si( ˆ θ = acg z w z w) (5) = = = ˆ ˆ A cos si( ˆ ) si cos( ˆ = z w z w) dla,,, T / θ + θ = <. = = Wzoy (5) są pzydae szczególie pzy opisie zmieości sezoowe, zamy bowiem wedy T. Dla obsewaci miesięczych wˆ = π / T = π / = π /6, dla kwaalych wˆ = π /4 = π /. W pzypadku ede hamoiki zasosowao e w pacy [Smolik, 995]. Pzykład Waości kwaalych pzychodów opeacyych (w ys. zł) pewego biua uysyczego w laach kszałowały się asępuąco: Rok Kwaał Pzykład e ozwiązao w książce [Zeliaś, 004] s. 04. My opacuemy go iacze, sosuąc wpowadzoą wcześie eoię. Wyzaczymy ed liiowy i sezoowość opiszemy hamoiką. ˆ cov(, y) y y 4609, f = b0 + b + ε b = = = =,845; va( ) 4900, bˆ ˆ 0 = y b = 3,5,845, 5 = 95, 56. Czyli fˆ() =, ,56; z() = y ˆ f(). (6) Na wyzaczoych pukach ( z), dla =,,, 4 opisuemy hamoikę z = s+ Asi( w+ θ) + ε zgodie z wzoami (5), pzymuąc wˆ = π / T = π /4 = π / (dae kwaale). sˆ = z = 0,795/ 4 = 0,033 0 ; ˆ θ = acg z cos ˆ / si ˆ w z w = acg [ 3,86/( 66,005) ] = 0,43 ;

10 Esymaca paameów szeegu Fouiea 33 ( θ ˆ ˆ θ ) ˆ A= cos ˆ si si ˆ z w+ z cos w = 3, 98 4, 0. Osaeczie pzymuemy model: π y ˆ( ) =, ,6 4,0si 0,43 w ys. zł, dla =,, (7) Jego dopasowaie do daych empiyczych es asępuące: współczyik zbieżości ϕ = ( ˆ ) / y ( ) = 34,3507 /998,65 = 0,07. Współczyik deemiaci R = ϕ = 0,973 wyzaczoy model łumaczy 97,3% zmieości Y ; es o doby model. Pogoza kwaalych pzychodów opeacyych w 00. (w ys. zł) ma posać: y ˆ(5) = 5,87 ; y ˆ(6) = 67,57 ; y ˆ(7) = 86,7 ; y ˆ(8) = 77, 6. Różi się od podae w książce [Zeliaś, 004] s. 07. Gaficzy obaz ego zdazeia zamieszczoo a ys.. Rys.. Waości kwaalych pzychodów opeacyych w laach Źódło: obliczeia włase LITERATURA Bokowski B., Dudek H., Szczesy W. (004) Ekoomeia. Wybae zagadieia, PWN, Waszawa. Ryżyk J.M. I Gadsze J.S. (964) Tablice całek, sum, szeegów i iloczyów. PWN, Waszawa. Smolik S. (988) Wyzaczaie paameów fukci Gompeza. Pzegląd Saysyczy, 3, s

11 33 Sylwese Smolik Smolik S. (989) Wyzaczaie paameów kzywych popyu. Biuley Ifomacyy Akademii Roliczo-Techicze w Olszyie, N 7, s Smolik S. (995) Uposzczoa pocedua esymaci modelu wahań okesowych. Pzegląd Saysyczy, R. XLII, z. 3-4, s Smolik S. (997) Sezoowość w opisie pocesów oliczych. Wiadomości Saysycze, 4, s Smolik S. (003) Opis składowe okesowe w szeegu czasowym. Meody ilościowe w badaiach ekoomiczych III, Wydawicwo SGGW, Waszawa, s Smolik S. (003) Esymaca koiukuy w szeegu czasowym. Wydawicwo Akademii Ekoomicze im. Oskaa Laego we Wocławiu, Pace Naukowe N 988, s Smolik S. (005) Cykliczość w ozwou podukci zwiezęce w Polsce. Pzeszeoczasowe modelowaie i pogozowaie zawisk gospodaczych, Wydawicwo Akademii Ekoomicze w Kakowie, s Zeliaś A., Pawełek B., Waa S. (004) Pogozowaie ekoomicze, PWN, Waszawa. HOW TO ESTIMATE FOURIER SERIES PARAMETERS AND TO USE THEM IN PRACTICE Absac: Poposed is ideificaio of a peiodical pheomeo - ha of seasoal chaace i paicula - by meas of he fis ems of is peiodical fucio expaded io Fouie seies. We will opeae ove hose pheomea whee values y employed o ideify hem ca be facoised io hee compoes: a developme ed f (), a peiodical compoe (ha of seasoal chaace i paicula) z () ad a adom compoe E. Such a eve ca be ideified i he followig way: y = f() + z() + E dla =,,,. The paamees of he ed f () of ay aalyical fom ca be deemied by usig he mea value heoem. The deemied ew aalyical pois (, z ) we ideify by meas of a peiodical vaiaio model i is hamoic sum fom z = s+ A si( w+ θ ) E, gdzie w= π / T. = Esimaio of he model paamees made wih he use of he mehod of leas squaes has he followig fom: sˆ = ; ˆ z θ = acg z cos( w) / z si( w) ; = = = A cos ˆ si( ) si ˆ = θ z w θ z cos( w) dla,,, T /. + = < = = Applicaio examples ae peseed. Key wods: Fouie seies, hamoics, mehod of leas squaes.