Bayesowska analiza modeli ARFIMA i persystencji na przykładzie kursu jednostek uczestnictwa funduszu Pioneer.

Transkrypt

1 Jacek Kwiakowski Bayesowska analiza modeli ARFIMA i persysencji na przykładzie kursu jednosek uczesnicwa funduszu Pioneer.. Wsęp Celem prezenowanego arykułu jes analiza empiryczna modeli AR- FIMA oraz persysencji na przykładzie wybranego szeregu czasowego. W pracy poddano badaniom ze względu na możliwość isnienia długiej pamięci ygodniowy kurs cen jednosek uczesnicwa w funduszu powierniczym Pioneer. W arykule przedsawione zosaną podsawowe pojęcia doyczące modeli AR- FIMA zarówno od srony własności ych modeli jak i od srony ich bayesowskiej esymacji. Zosanie zaprezenowana m. in. ogólna posać modeli ARFI- MA, podsawowe warunki sacjonarności, a akże zagadnienia związane z ich bayesowską esymacją funkcja wiarygodności, rozkład predykywny, sposób wyboru modelu. Hisoria analizy procesów z długą pamięcią sięga la pięćdziesiąych, mianowicie do arykułu Hursa z 95 roku. Większe zaineresowanie ekonomeryków pojawia się jednak dopiero na począku la osiemdziesiąych ( arykuły Grangera, 980, Grangera i Joyeux a, 980 i Hoskinga 98). Jako przykład zasosowań modeli ARFIMA można wskazać arykuły Delgado i Robinsona (994) doyczące inflacji, Diebolda i Rudebusha (994), Sowella (992b) względem dochodu narodowego, Cheunga (993) i Peersa (99) badające kursy waluowe. W lieraurze świaowej zagadnienie bayesowskiej analizy modeli ARFIMA zosało omówione w arykułach Koopa, Ley a, Osiewalskiego i Seela (997) oraz Pai a i Ravinshankera (994). Układ arykułu jes nasępujący: W części drugiej omówiono procesy z długą pamięcią oraz przedsawiono posać modeli ARFIMA. Dodakowo rozszerzono zagadnienie o analizę odpowiedzi impulsowych. W części rzeciej omówiono bayesowską analizę modeli ARFIMA, w ym głównie esymację, predykcję i wybór modelu. W części czwarej zosały zaprezenowane wyniki badań kursu cen jednosek uczesnicwa w funduszu powierniczym Pioneer. Całość pracy kończy się ogólnym wnioskiem. 2. Modele z długą pamięcią. Większość analizy procesów makroekonomicznych doyczy zjawisk, w kórych funkcja korelacyjna wraz ze wzrosem liczby opóźnień maleje wykładniczo do zera. Zakłada się zaem warunek

2 k () k ρ <. 2. W szczególności w/w założenie jes spełnione w modelach ARMA. Dla przykładu rozparując model auoregresji y = ay + ε, (,) a, gdzie ε jes gaussowskim białym szumem ( 0, σ ) równe k = N, ρ() k jes skończone i 2a = + <. 2.3 k a k= a Okazuje się jednak, że isnieją procesy dla kórych warunek 2. wydaje się być zby silny. W procesach ych funkcja korelacyjna maleje hiperbolicznie w empie ak wolnym, że założenie jej doyczące daje się lepiej opisać równaniem () ρ α ρ k c k, 2.4 α funkcja korelacji maleje do zera powoli do ego sopnia, że szereg ρ () k jes rozbieżny, mianowicie gdzie k zmierza do nieskończoności, naomias c ρ jes skończoną, sałą, dodanią warością. Gdy ( 0,) k = k = () k = ρ. 2.5 Procesy, dla kórych spełnione jes równanie 2.4 określa się jako procesy z długą pamięcią.

3 Rys. Funkcja korelacyjna procesu z długą pamięcią (ARFIMA (0, 0,3, 0)) oraz modelu auoregresji rzędu pierwszego, dla a = 0,8.,2 0,8 0,6 ARFIMA (0, 0,3, 0) AR(), a = 0,8 0,4 0, Jednym z modeli z długą pamięcią jes ułamkowy biały szum (ARFIMA (0, d, 0)), kórego funkcję auokowariancji można przedsawić w posaci { } 2 d + 2 d d k + k + k γ k = 0,5γ 0, dla k =,2, Jeżeli paramer d przyjmuje warości z przedziału (,0,5) 0, funkcję auokowariancyjną przy dużych k można zapisać 2d γ k ck, dla k, Tym samym wyrażenie 2.7 spełnia warunek isnienia długiej pamięci wyrażony równaniem 2.4 i 2.5. Zaem jeżeli d znajduje się w przedziale (0, 0,5) proces ARFIMA (0, d, 0) określamy jako proces z długą pamięcią. Funkcje auokorelacji i korelacji cząskowej przyjmują warości dodanie malejąc hiperbolicznie do zera. Funkcja gęsości spekralnej przybiera największe warości dla częsości niskich. gdzie c jes pewną dodanią sałą z przedziału (, ) proces ARFIMA (0, d, 0) określa się jako proces ze średnią pamięcią. Gdy d należy do przedziału ( 0,5, 0)

4 Gdy d = 0 omawiany proces jes białym szumem. Szerszą klasę modeli paramerycznych opisujących zarówno zależności długo, jak i krókookresowe są modele ARFIMA (p, d, q) posaci d ( )( ) ( ) ( ) φ B B x µ = θ B ε, 2.8 gdzie d jes dowolną liczbą rzeczywisą większą od -, aε jes białym szumem. B określa się jako operaor opóźnienia, naomias φ () i θ () są wielomianami odpowiednio sopnia p i q. Modele ARFIMA sanowią więc uogólnienie modeli ARIMA, przedsawionych przez Boxa i Jenkinsa (983). Model ARFIMA (p, d, q) można rozparywać akże w nieco innej formie, mianowicie opierając się na arykule Koopa, Ley a, Osiewalskiego i Seela (997) można przyjąć φ δ ( B)( B) z = θ ( B) ε, 2.9 gdzie ( B)( y µ α) = y µ z, 2.0 = υ = y µ α. 2. Podsawiając 2.0 do 2.9 uzyskujemy d ( B)( B) ( y µ α) θ ( B) ε φ =, 2.2 gdzie d = δ +. Jeżeli δ proces y jes sacjonarny względem rendu oraz posiada długą pamięć, δ ( 0,5, 0,5) proces y jes sacjonarny i posiada zw. długą pamięć dla δ > 0 i średnią pamięć dla δ < 0, δ = 0 proces y sprowadza się do modelu ARIMA (p,, q). (, 0,5) Jednym z zagadnień związanych z analizą szeregów czasowych jes analiza siły i wielkości persysencji. Bada się zaem efek szoku wywołanego przez pewne zakłócenie, analizując czy wywołuje on w zależności od charake-

5 ru procesu rwały efek w dłuższym horyzoncie czasowym, czy eż wpływ ego zakłócenia po pewnym czasie wygasa. Analiza ego ypu zagadnień określa się jako analizę odpowiedzi impulsowych. Miarą rwałości i wielkości efeku wywołanego przez wcześniejsze zakłócenie jes zw. skumulowana funkcja odpowiedzi impulsowych worzona w oparciu o pewną klasę modeli. Campbell i Mankiw (987) opierają swoje badania o modele ARIMA, naomias Diebold i Rudebusch (989), Hauser, Pocher i Reschnhofer (992) używają szerszej klasy, czyli modeli ARFIMA. Niech y oznacza pewien szereg czasowy, kóry posiada sacjonarne różnice pierwszego rzędu. Można je zaem przedsawić w posaci nieskończonej średniej ruchomej 2 ( B) ε = µ + ( + α B + α 2B + ) ε y = µ + A Wpływ jednoskowego zakłócenia na wielkość w momencie + na poziom procesu y w chwili + n określa się zaem poprzez skumulowaną funkcję impulsową I() n = + α αn = A( B = ). Jeżeli proces y jes sacjonarny lub sacjonarny względem deerminisycznego rendu efek zakłócenia wraz ze wzrosem horyzonu czasowego wygasa do zera ( A () = 0). Gdy w modelu wysępuje pierwiasek jednoskowy, efek szoku przy n = jes rwały i równy () / φ() I = θ Rozparując zaem np. model błądzenia przypadkowego y = y + ε warość skumulowanej funkcji odpowiedzi impulsowych jes sała i równa jeden A =. ( () ) δ Dla modeli ARFIMA φ( B)( B) ( y µ ) = θ ( B) ε funkcja odpowiedzi impulsowych przyjmuje formę y δ ( B) θ ( B) / φ( B) ε = 2.5 W zależności od warości parameru δ skumulowaną posać odpowiedzi impulsowych można wyrazić w posaci

6 θ 0 () / φ() dla δ > 0 I + = dla δ = dla δ < 0 Jeżeli paramer δ jes równy zeru mamy do czynienia z modelem ARIMA (p,, q) dla y i z modelem ARMA (p, q) dla procesu y. Dodakowo zamias rozparywania warości funkcji odpowiedzi impulsowych w nieskończonym horyzoncie czasowym można ją analizować w krókim, średnim i długim okre- np. n = 4,2, 40. sie przyjmując skończone warości dla n ( ) 3. Wnioskowanie bayesowskie w modelach ARFIMA. Wnioskowanie bayesowskie, opare na wzorze Bayesa wymaga przyjęcia rozkładu a priori zarówno dla paramerów srukuralnych, jak i dla paramerów srukury sochasycznej. Opierając się na arykule Koopa, Ley a, Osiewalskiego i Seela (997) można przyjąć nasępujący rozkład a priori paramerów p gdzie p( ω) ( ω, µ, σ ) = p( ω) p( µ ) p( σ ) σ p( ω), 3. oznacza właściwy rozkład jednosajny wekora paramerów ω określonego w obszarze sacjonarności Ω. W oparciu o posać funkcji wiarygodności p 2 2 ( w /, µ, σ ) f ( w / µ l, σ V ) ω =, 3.2 gdzie oznacza wielkość próby, N f N jes - wymiarowym rozkładem normal- = δ, Θ ', Φ' ' Φ = φ,..., φ ' C, nym w' = ( y,..., ), ω ( ) Ω ( θ,..., θ q ) Cq y ', ( p ) p 2 Θ = ', Ω = (,0, 5) C q C p, µ R, σ R+, l - wekor jedynek, V - macierz, kórej poszczególne elemeny wyrażają się wzorem v i j = σ 2, γ ( i j) dla i, j =,..., T ; naomias γ () s jes funkcją auokowariancji wyprowadzona przez Sowella (992a) oraz rozkład a priori przedsawiony równaniem 3., rozkład a poseriori dla ω ( 2 po wcześniejszym całkowaniu względem µ, σ ) wygląda nasępująco

7 gdzie / 2 ' 2 ( ) / 2 ( ω dane) K V ( l V l ) / / SSE p( ω) p =, 3.3 K = Ω V / 2 ' / 2 ( ) / 2 ( l V l ) SSE p( ) ω dω, ' ( w µ ˆl ) V ( w ˆ ) SSE = µ ' ' ( l V l ) l V w l µ ˆ =., Rozkład przyszłych warości procesu posaci y + przy danym ω można wyrazić w n ' ( / ω, dane) = / T, + n ˆ µ + l n V V ( w ˆ ), p y + n f S y + n y 2 µ l T SSE ' l n V22 l n + ( ' n l n V V ) 2 2 l ' l V l 3.4 gdzie V22 = V22 V2V V2. We wnioskowaniu bayesowskim jednym z kryeriów wyboru modelu jes przyporządkowanie każdemu z nich w oparciu o wzór Bayesa pewnego prawdopodobieńswa a poseriori. Model, kóry uzyskuje największe prawdopodobieńswo można rakować jako najlepiej dopasowany do analizowanych danych empirycznych. Rozparzmy zbiór wzajemnie wykluczających się i dopełniających modeli M,..., oraz odpowiadające im prawdopodobieńswa a priori M m ( ) ( ) pm,..., pm m. Prawdopodobieńswo a poseriori danego modelu M i można zaem zapisać

8 ( / y) pm i pm ( i) py ( / Mi) m pm ( k) py ( / Mk) =, i =,..., m. 3.5 k = Dodakowo oprócz wyboru jednego z modeli można zasosować zw. meodę bayesowskiego łączenia wiedzy (por. Osiewalski i Pipień, 998). Jeżeli przedmioem zaineresowania badacza są paramery wspólne dla wszyskich analizowanych modeli o zamias wyboru jednego z nich i na ej podsawie wnioskowania o jego paramerach, można wykorzysać meodę uśredniania indywidualnych gęsości a poseriori szacowanych paramerów m ( ψ / ) = ( i / ) i( ψ / ) p y p M y p y i=. 3.6 Meoda a polega zaem na uśrednianiu brzegowych rozkładów a poseriori pi ( ψ / y) wekora paramerów ψ związanych z modelem M i, gdzie jako wagi wysępują prawdopodobieńswa a poseriori modeli M i. Analogicznie, gdy ineresują nas przyszłe warości zmiennej y, zamias wyboru jednego z modeli i na ej podsawie dokonywania prognozy, można uśrednić indywidualne rozkłady predykywne pi ( y, y) związane z modelem M i, gdzie jako wagi - podobnie jak w równaniu wysępują prawdopodobieńswa a poseriori modeli M i m ( / ) = ( i / ) i( / ) py y pm yp y y i= Analiza kursu jednosek uczesnicwa w funduszu powierniczym Pioneer. W celu przeprowadzenia analizy jednosek funduszu powierniczego Pioneer, rozparzono jego rzeczywisą realizację w laach orzymując szereg składający się z ponad dwusu obserwacji (noowania środowe). Rozparzono 6 modeli z kórych w ośmiu założono możliwość isnienia ułamkowej warości parameru δ, naomias w pozosałych przyjęo założenie co do isnienia pierwiaska jednoskowego δ = 0. Poniższa abela przedsawia zesawienie konkurujących ze sobą modeli wraz z odpowiednim prawdopodobień-

9 swem a poseriori. Jako rozkład a priori przyjęo rozkład równomierny. Tym samym założono ich jednakowe szanse wysąpienia. Tablica. Prawdopodobieńswa a poseriori modeli ARFIMA ( p, q) ( p, q) dla funduszu powierniczego Pioneer., δ i ARMA p, q ARFIMA ( p, q ), δ ARMA ( p, q) 0,0 0, 0,2,0,,2 2,0 2, 2,2 0,470 0,0225 0,0056 0,0280 0,0254 0,0042 0,0093 0,0050 0,0025 0,458 0,062 0,0244 0,0774 0,0679 0,05 0,0275 0,056 0,0095 Razem 0,2496 0,7504 Modelem, kóry uzyskał największe prawdopodobieńswo a poseriori jes model błądzenia przypadkowego ARMA (0, 0) uzyskując warość 0,458. Drugim modelem co do wielkości prawdopodobieńswa jes model ARFIMA ( 0, δ,0) z warością 0,470. Ogółem modele z pierwiaskiem jednoskowym uzyskały około 0,75 procen całej masy, naomias modele z ułamkową δ ylko 25 procen. Sosunek modeli ARMA do modeli ARFIMA wynosi zaem 3 do jednego. Wydaje się zaem, że w przypadku cen jednosek uczesnicwa funduszu powierniczego Pioneer dominują modele niesacjonarne, w kórych wysępuje pierwiasek jednoskowy. Swierdzenie o znajduje również powierdzenie w podsawowych charakerysykach gęsości a poseriori parameru δ, jak i w samym rozkładzie. Rozkład ego parameru jes jednomodalny, skupiony wokół 0,06, kszałem zbliżony do rozkładu gaussowskiego. Również zesawione w poniższej abeli warości oczekiwane w nie różnią się isonie od zera.

10 Tablica 2. Momeny rozkładu a poseriori parameru δ w modelu ARFIMA ( p, δ, q) p, q Warość oczekiwana Odchylenie sandardowe 0,0 0, 0,2,0,,2 2,0 2, 2,2 0,0925 0,42 0,0640 0,0379 0,0542 0,0233-0,075-0,0756 0,0245 0,0597 0,00 0,79 0,2880 0,224 0,233 0,267 0,2972 0,998 Rys. 2. Rozkład parameru δ względem wszyskich modeli ARFIMA. 0,4 0,2 0,0 0,08 0,06 0,04 0,02 0,00-0,99-0,9-0,84-0,76-0,69-0,6-0,54-0,46-0,39-0,3-0,24-0,6-0,09-0,0 0,06 0,4 0,2 0,29 0,36 0,44 Pomimo wcześniejszych wniosków uśredniony względem modeli ARFIMA rozkład a poseriori parameru δ, przyjmuje względem zera odpowiednio warości P ( δ < 0 ) = 0,23 oraz P ( δ > 0 ) = 0, 787. Paramer δ przyjmuje zaem znaczną masę prawdopodobieńswa powyżej zera, ym samym sugerując, że bardziej prawdopodobna jes warość odpowiedzi impulsowej w nieskończoności, mianowicie: P( I( ) = ) = 0, 787 i P ( I( ) = 0 ) = 0, 23. Należy jednak pamięać, że e wielkości są zmniejszone czerokronie, ponieważ yle w wyniku oszacowania orzymały modele ARFIMA ( por. ablica ).

11 Modele ARFIMA jako narzędzie pomiaru persysencji spokały się z kryyką Hausera, Pochera i Reschenhofera. Swierdzają oni mianowicie, że modele ARFIMA dla pierwszych różnic z reguły prowadzą do syuacji, w kórej warość odpowiedzi impulsowej wynosi dla n = zero lub nieskończoność. Dzieje się ak, ponieważ rudno jes uzyskać oszacowanie δ dokładnie równe zeru. Ogólną próbą wyjścia z ej syuacji jes rozparywanie warości odpowiedzi impulsowych w krószym niż nieskończoność horyzoncie czasowym (Diebold i Rudebusch, 989). Inną, ym razem bayesowską meodą (Koop, Ley, Osiewalskiego i Seel,997) jes przyjęcie pewnej wielkości prawdopodobieńswa a priori dla δ = 0. Rozparując zaem dwa modele ARMA i ARFIMA przyjmuje się a priori pewne prawdopodobieńswo ( w rozparywanym przykładzie założono, że każdy z nich ma jednakowe szanse) uzyskując dla I( ) dwupunkowy rozkład a poseriori w zerze i nieskończoności związany z modelem ARFIMA oraz rozkład ciągły w przedziale ( 0, ). Rozkład I ( ) jes więc rozkładem mieszanym, uśrednionym względem wag a poseriori każdego z ych dwóch ypów modeli. Warości oczekiwane i odchylenia sandardowe I () n, n = 4, 2, 40 dla dwóch najbardziej prawdopodobnych modeli oraz dla gęsości funkcji odpowiedzi impulsowych uśrednionej względem modeli ARFIMA, ARMA oraz wszyskich 6 analizowanych modeli przedsawia ablica 3. Tablica 3. Warości oczekiwane gęsości odpowiedzi impulsowych przy n = 4, 2, 40. n ARFIMA 0, d,0 ( ) ARMA 0,0 ( ) Modele ARFIMA Modele ARMA Wszyskie modele 4,22 (0,429),0000 (0,0000),923 (0,523),0409 (0,0934),0786 (0,290) 2,348 (0,249),0000 (0,0000),3036 (0,2843),024 (0,23),099 (0,2) 40,58 (0,3870),0000 (0,0000),4757 (0,5433) 0,9599 (0,633),0886 (0,365) Jak wynika z ablicy 3 efek szoku wywołany jednoskowym zakłóceniem w przypadku modelu ARMA (0, 0) jes rwały i równy jeden. Ogólnie dla modeli ARMA warość oczekiwana funkcji prawdopodobieńswa odpowiedzi impulsowych przyjmuje warość nieco powyżej jedynki, aby nasępnie wraz ze wzrosem horyzonu czasowego nieco zmaleć. W przypadku modeli ARMA średnia sysemaycznie zaczyna rosnąć, co związane jes z fakem, że paramer

12 δ posiada większość masy prawdopodobieńswa powyżej zera. Należy ym samym podejrzewać, że wraz ze wzrosem horyzonu czasowego warość oczekiwana I () n będzie dążyła do nieskończoności. Kolejne rysunki przedsawiają I dla n = 4, 2, 40. rozkłady a poseriori () n Rys. 3. Rozkład a poseriori funkcji odpowiedzi impulsowych dla n = 4 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 Wszyskie ARFIMA ARMA 0,2 0, 0 0,00 0,27 0,53 0,80,07,33,60,87 2,3 2,40 2,67 2,93 3,20 3,47 3,74. Rys. 4. Rozkład a poseriori funkcji odpowiedzi impulsowych dla n = 2 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 Wszyskie ARFIMA ARMA 0,2 0, 0 0,00 0,32 0,65 0,97,30,62,95 2,27 2,60 2,92 3,25 3,57 3,90

13 Rys. 5. Rozkład a poseriori funkcji odpowiedzi impulsowych dla n = 40 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 Wszyskie ARFIMA ARMA 0,2 0, 0 0 0,38 0,75,3,5,88 2,25 2,63 3 3,38 3,75 Analizując rysunki 3-5 można swierdzić, że w każdym z rzech rozparywanych przypadków rozkład a poseriori funkcji odpowiedzi impulsowych przedsawia się podobnie. Rozkład względem modeli ARMA oraz wszyskich 6 modeli ma bardzo zbliżony do siebie kszał. Związane jes o fakem uzyskania przez modele z pierwiaskiem jednoskowym prawie ¾ całej masy prawdopodobieńswa a poseriori. Rozkłady e posiadają jedną modę w pobliżu jedynki. Wraz ze wzrosem warości n ich wariancja zaczyna rosnąć. Trochę inaczej przedsawia się syuacją z gęsością a poseriori uśrednioną względem modeli ARFIMA. Jej kszał jes zbliżony do rozkładu normalnego. Dodakowo wraz ze wzrosem warości n ulega on spłaszczeniu, a akże przesunięciu w prawo. Funkcja odpowiedzi impulsowych I ( ) względem wszyskich modeli posiada w zerze i w nieskończoności odpowiednio warości P( I( ) = 0 ) = 0, 053 i P ( I( ) = ) = 0, 96. Rysunek 5 przedsawia jej ciągły fragmen związany modelami ARMA.

14 n = Rys. 5. Rozkłady a poseriori odpowiedzi impulsowej dla, (rozkład względem wszyskich modeli posiada dodakowo masę prawdopodobieńswa w zerze i nieskończoności). 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 ARMA Wszyskie 0,2 0, 0 0,05 0,35 0,65 0,95,25,55,85 2,5 2,45 2,75 3,05 3,35 3,65 3,95 Na zakończenie przedsawiono prognozę jednosek uczesnicwa funduszu powierniczego Pioneer na 6 października 999. Rys. 6. Predykywny rozkład a poseriori y + 40 jednosek uczesnicwa Pioneer. 0,2 0, 0,08 0,06 0,04 Wszyskie ARFIMA ARMA 0, , 45 52, 60 67, 75 82, 90 97,

15 5. Zakończenie W prezenowanej publikacji omówiono klasę modeli ARFIMA, kóra w odróżnieniu od sandardowych modeli ARIMA umożliwia przyjęcie przez paramer d dowolnej warości większej od minus jeden. Dzięki ej własności modele ARFIMA w odróżnieniu od wcześniej znanych modeli szeregów czasowych w sposób oszczędny opisują zjawiska z długą pamięcią. W szczególności zaprezenowano sposób analizy z uwzględnieniem wnioskowania bayesowskiego, kóre będąc narzędziem mniej znanym sanowi źródło ciekawych analiz i porównań. Przedsawiono m. in. bayesowski sposób wyboru modelu oraz sposób prognozy. Całość pracy poszerzono o zagadnienie odpowiedzi impulsowych. W przedsawionej pracy dokonano akże analizy opisu zjawisk na przykładzie jednosek uczesnicwa funduszu Pioneer. Wydaje się, ze najbardziej sensowny jes model ARIMA (0,, 0) lub równoznaczny z nim ARMA (0, 0) dla pierwszych różnic. Względnie wysokie prawdopodobieńswo w modelach ARFIMA ( 0, δ,0) - przy dodanim dela - może sanowić dowód isnienia w ego ypu procesach długiej pamięci. Lieraura Box, G.E.P. i G.M. Jenkins, 983, Analiza szeregów czasowych. Prognozowanie i serowanie ( Warszawa: PWN). Campell, J.Y. i N.G. Mankiw, 987, Are oupu flucuaions ransiory?, Quarerly Journal of Economics 02, Cheung, Y.-W., 993, Long memory in foreign exchange raes, Journal of Bussines and Economic Saisics, Delgado, M.A., i P.M. Robinson, 994, New mehods for he analysis of long-memory ime series: Applicaion o spanish inflaion, Journal of Forcasing 3, Diebold, F.X. i G.D. Rudebusch, 989, Long memory and persisence in aggregae oupu, Journal of Moneary Economics 24, Granger, C.W.J. i R. Joyeoux, 980, An inroducion o long memory ime series models and fracional differencing, Journal of Time Series Analysis, Granger, C.W.J., 980, Long memory relaionships and he aggregaion of dynamic models, Journal of Economerics 4, Hauser, M.A., B.M. Poscher, i E. Reschenhofer, 992, Measuring persisence in aggregae oupu: ARMA models, fracionally inegraed ARMA models i nonparameric procedures, maszynopis. Hosking, J.R.M., 98, Fracional differencing, Biomerika 68,

16 Hurs, H.E., 95, Long erm sorage capaciy of reserviors, Transacions of American Sociey of Civil Engineers 6, Koop, G., E. Ley, J. Osiewalski i M.F.J. Seel, 997, Bayesian analysis of long memory and persisence using ARFIMA models, Journal of Economerics 76, Koop, G., J. Osiewalski, i M.F.J. Seel, 994, Poserior properies of long-run impulse responses, Journal of Business and Economic Saisics 2, (koreka, Journal of Business and Economic Saisics 4, 257). Kwiakowski, J., 998, Procesy z długą pamięcią i modele ARFIMA, maszynopis; Zeszyy Naukowe AUNC (999), w druku. Pai, J.S. i N. Ravishanker, 994, Bayesian analysis of auoregressive fracinally inegraed moving average processes, maszynopis. Osiewalski, J. i M. Pipień, 998, Bayesowskie esowanie modeli GARCH i IGARCH, maszynopis; Przegląd Saysyczny (999), w druku. Peers, E.E., 99, Chaos and order in he capial markes (New York: John Wiley & Sons). Sowell, F., 992a, Maximum likelihood esimaion of saionary univariae fracionally inegraed models, Journal of Economerics 53, Sowell, F., 992b, Modelling long-run behavior wih he fracional ARIMA model, Journal of Moneary Economics 29,