Inżynieria Systemów Dynamicznych (3)

Transkrypt

1 Inżynieria Systemów Dynamicznych (3) Charakterystyki podstawowych członów dynamicznych Piotr Jacek Suchomski Katedra Systemów Automatyki WETI, Politechnika Gdańska 2 grudnia 2010

2 O czym będziemy mówili? 1 CHARAKTE 2 PIERW 3 OSCYLA 4 OPÓŹNIA

3 Model wejściowo-wyjściowy Model wejściowo-wyjściowy Y (s) = G(s) U(s) Model w przestrzeni stanu { ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), x(0) y(t) = Cx(t) + Du(t)

4 CHARAKTEI W DZIEDZINIE CZASU Odpowiedź impulsowa Odpowiedź na pobudzenie delta Diraca δ(t): g(t) = L 1 [G(s)]. Własności delty Diraca δ(t): { dla t = 0 δ(t) = 0 dla t 0 δ(t)dt = 1, L [δ(t)] = 1. f (t)δ(t)dt = f (0)

5 CHARAKTEI W DZIEDZINIE CZASU Odpowiedź skokowa Odpowiedź na pobudzenie skokiem jednostkowym 1(t): [ ] G(s) t h(t) = L 1, h(t) = g(τ)dτ. s 0 Własności jedynki Haeviside a 1(t): { 0 dla t < 0 1(t) = 1 dla t 0 1(t) = t δ(τ)dτ L [1(t)] = 1 s.

6 Obiekt SISO { ẋ(t) = Ax(t) + bu(t), x(0) R n y(t) = c T x(t) + du(t) φ A (t) := e ta, g(t) = c T φ A (t)b + d Φ A (s) = (si n A) 1 t h(t) = c T φ A (τ)dτb + d1(t) 0 G(s) = L [g(t)] = c T Φ A (s)b + d H(s) = L [h(t)] = ct Φ A (s)b s + d s.

7 CHARAKTEI W DZIEDZINIE CZESTOTLIWOŚCI { X(ω) + jy (ω) G(s) s=jω, ω R+ = M(ω) e jϕ(ω) M(ω) = X 2 (ω) + Y 2 (ω) ( ) Y (ω) ϕ(ω) = arctan X(ω) ] X(ω) = Re [G(s) s=jω ] Y (ω) = Im [G(s) s=jω. X(ω) = M(ω) cos ϕ(ω) Y (ω) = M(ω) sin ϕ(ω).

8 REPREZENATCJE CHARAKTE CZESTOTLIWOŚCIOWYCH Reprezentacja M(ω) w układzie kartezjańskim z osiami (log, db) oraz ϕ(ω) w układzie kartezjańskim z osiami (log, deg) to charakterystyki Bodego (odpowiednio: amplitudowa oraz fazowa. Reprezentacja M(ω) e jϕ(ω) w układzie biegunowym z osiami (X(ω), Y (ω)) to charakterystyka amplitudowo-fazowa (hodograf).

9 CAŁKU G(s) = k/s H(s) = k/s 2, k > 0 g(t) = k 1(t), X(ω) = 0 h(t) = k t 1(t) Y (ω) = k/ω M(ω) = k /ω ϕ(ω) = 90. Model w przestrzeni stanu: { ẋ(t) = k u(t) y(t) = x(t) A = [0], b = [k], c = [1], d = [0].

10 INER G(s) = k 1 + st k wzmocnienie statyczne k > 0, T stała czasowa, T > 0. Odpowiedź impulsowa: g(t) = L 1 [G(s)] = k T e t/t 1(t). Odpowiedź skokowa: [ ] G(s) h(t) = L 1 = k(1 e t/t ) 1(t). s

11 INER odpowiedź skokowa Znormalizowana odpowiedź skokowa członu inercyjnego (k = 1)

12 INER odpowiedź skokowa Czas ustalania: T s := {t : h(t) = k(1 )}, 0 < 1, wynosi T s = T ln. Ponadto mamy: h(t) t=t = (1 e 1 )k = k h(t) t = k.

13 INER charakterystyki częstotliwościowe Znormalizowane charakterystyki widmowe członu inercyjnego (k = 1)

14 INER charakterystyki częstotliwościowe G(s) s=jω = M(ω)e jϕ(ω) = k 1 + ω 2 T 2 e j arctan ωt. Pulsacja trzydecybelowego pasma przenoszenia: ω 3dB := { ω : M(ω) = M(0) } 2 ω 3dB = 1 /T. Czemu odpowiada: M(ω 3dB ) = k/ 2 oraz ϕ(ω 3dB ) = 45.

15 INER model w przestrzeni stanu T ẏ(t) + y(t) = k u(t). Kładac x(t) := y(t) mamy: { ẋ(t) = 1/T x(t) + k/t u(t) y(t) = x(t) Stad: A = [ 1/T ], b = [k/t ], c = [1], d = [0].

16 OSCYLA ω 2 n G(s) = ωn 2 + 2ζω n s + s 2 1 = 1 + 2ζτs + τ 2 s 2. ζ współczynnik tłumienia, 0 < ζ < 1, ω n := 1/τ pulsacja naturalna (pulsacja drgań nietłumionych).

17 OSCYLA odpowiedzi w dziedzinie czasu Odpowiedź impulsowa: ( ) ω n g(t) = 1 ζ 2 e ζωnt sin ω 0 t 1(t) ω 0 := ω n 1 ζ 2 pulsacja drgań tłumionych. Odpowiedź skokowa: ( h(t) = = 1 e ζωnt 1 ζ 2 sin (ω 0t + α) (1 e ζωnt ( cos ω 0 t + ) 1(t) )) ζ sin ω 0t 1(t) 1 ζ 2 α = arccos ζ.

18 OSCYLA odpowiedź skokowa Znormalizowane odpowiedzi skokowe członu oscylacyjnego

19 OSCYLA charakterystyki częstotliwościowe Znormalizowane charakterystyki widmowe członu oscylacyjnego

20 OSCYLA wskaźniki w dziedzinie czasu i częstotliwości Definicje wskaźników

21 OSCYLA odpowiedź skokowa Przeregulowanie: κ := h max h( ) h( ) h max := max t 0 h(t). Czas maksimum (piku): 100% Czas ustalania: T κ := {t : h(t) = h max }, T s := arg max {t : h(t) h( ) = h( )}. t 0

22 OSCYLA charakterystyki częstotliwościowe Wskaźnik oscylacyjności: Pulsacja rezonansowa: M r := M max M(0) M max := sup M(ω). ω 0 ω r := {ω : M(ω) = M max }. Pulsacja trzydecybelowego pasma przenoszenia: { ω 3dB := ω : M(ω) = M(0) }. 2

23 OSCYLA model w przestrzeni stanu [ ẋ1 (t) ẋ 2 (t) ] [ = y(t) = [ ζω n ω 2 n 0 ] [ x 1 (t) x 2 (t) ] [ x1 (t) x 2 (t) ] + [0] u(t). ] [ 0 + kωn 2 ] u(t)

24 OSCYLA formuły ułatwiajace syntezę URA 0 < ζ < 1 Zależności κ(ζ) oraz T κ (ζ, τ): ( ) ζπ κ = exp 1 ζ 2 T κ = πτ 1 ζ 2. Czas ustalania T s (ζ, τ) jest nieciagł a funkcja ζ. Ciagła funkcja majoryzujaca T s (ζ, τ) T s (ζ, τ): τ ln( 1 ζ 2 ) T s =. ζ

25 OSCYLA formuły ułatwiajace syntezę URA Dla typowych = 0.02 i = 0.05 oraz ζ 1: T s2% 4τ ζ oraz T s5% 3τ ζ. Zależności M r (ζ), ω r (ζ, τ) oraz ω 3dB (ζ, τ): 1 M r = 2ζ 1 ζ 2 1 2ζ 2 ω r = τ 1 2ζ 2 + (1 2ζ 2 ) ω 3dB =, dla 0 < ζ < 1. τ 2

26 OSCYLA formuły ułatwiajace syntezę URA ln κ ζ =, κ > 0 π 2 + ln 2 κ ζ = M r M 2 r 1, M r 1. Zależność κ(m r )

27 OSCYLA formuły ułatwiajace syntezę URA Wskaźniki dotyczace odpowiedzi skokowej

28 OSCYLA formuły ułatwiajace syntezę URA Wskaźniki dotyczace charakterystyki amplitudowej

29 OSCYLA formuły ułatwiajace syntezę URA s 1,2 = ω n ζ ± j ω n 1 ζ 2 1 ζ 2 α = arctan ζ = arccos ζ. Położenie biegunów G(s)

30 OSCYLA formuły ułatwiajace syntezę URA k G 0 (s) = s(1 + Ts) k = 1 2ζτ T = τ 2ζ Model układu równoważnego Pulsacja odcięcia charakterystyki amplitudowej funkcji G 0 (s): G 0 (jω gc ) = 1 4ζ ζ 2 ω gc = τ.

31 OSCYLA formuły ułatwiajace syntezę URA ω gc = 4ζ ζ 2 1 2ζ 2 ω r 0 < ζ < 1 2 Pulsacja odcięcia ω gc (ζ)

32 INER Z OPÓŹNIENIEM identyfikacja Identyfikowany model: G(s) = k 1 + T i s e T 0s, k > 0, T i > 0, T 0 0. Odpowiedź skokowa: ) h(t) = (1 e (t T 0)/T i 1(t T 0 ). Charakterystyki czastotliwościowe: G(s) s=jω = M(ω) e jϕ(ω) k M(ω) = 1 + ω 2 Ti 2 ϕ(ω) = arctan(ωt i ) ωt 0.

33 INER Z OPÓŹNIENIEM identyfikacja h(t) = 0 dla t T 0 T 0 = max {t : h(t) = 0} lim h(t) = k t h(t) t=ti +T 0 = k(1 e 1 ) k d dt h(t) t=t 0 = k T i. Odpowiedź skokowa modelu

34 INER Z OPÓŹNIENIEM identyfikacja M(0) = k M(ω) ω=t 1 i = k 2 T i = 1 ω 3dB ϕ(ω) ω=ω3db = π 4 T 0 T i T 0 = T i ( ϕ(ω 3dB ) + π 4 ). Charakterystyki widmowe

35 INER Z OPÓŹNIENIEM identyfikacja Charakterystyka Nyquista modelu z opóźnieniem