Automatyka i robotyka

Transkrypt

1 Automatyka i robotyka Wykład 8 - Regulator PID Wojciech Paszke Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych, Uniwersytet Zielonogórski 1 z 29

2 Plan wykładu regulator PID 2 z 29

3 Kompensator wyprzedzająco-opóźniający Transmitancja kompensatora (α > 1, T 1 > T 2 ) K(s) = (1 + T 1s)(1 + T 2 s) (1 + αt 1 s)(1 + α 1 T 2 s) 3 z 29

4 Kompensator wyprzedzająco-opóźniający T 1 = 10, T 2 = 1, α = 5 0 Bode Diagram Magnitude (db) Phase (deg) z Frequency (rad/sec)

5 Kompensator wyprzedzająco-opóźniający Własności maksymalne opóźnienie ( ) ( ) 1 α 4 φ = tg 1 2 = tg 1 = [deg] α maksymalne wyprzedzenie ( ) ( ) 1 α 4 φ = tg 1 2 = tg 1 = [deg] α wzmocnienie 20 log(α) = [dB] 5 z 29

6 Regulator PID Transmitancja regulatora lub lub K(s) = Kp + K i s + K ds K(s) = K K(s) = K ( ) T i s + T ds ( τ i s ) ( ) 1 + τ d s 1 + τ d s γ 6 z 29

7 Regulator PID Transmitancja regulatora K(s) =Kp + K i s + K ds ( ) = K Kd i K i s 2 + Kp K i s + 1 s = K i (τs + 1) ( τ α s + 1) s 7 z 29

8 Regulator PID K i = 2,, α = 10 Bode Diagram Magnitude (db) Phase (deg) z Frequency (rad/sec)

9 regulator PID regulator PID jako połączenie PI i PD C PI (s) = K p + K i, regulator PI s C PD (s) = K p + K d s regulator PD ( C PID (s) =C PI (s)c PD (s) = K p + K ) ( ) i K p +K d s s = (K p K p + K ) i K d + K p K d + K i K p s =K p + K i s + K ds 9 z 29

10 regulator PID Równoległy PID Jeżeli τ i > 4τ d to K(s) = K K(s) = K (α + τ d s) ( ) τ i s + τ ds ( ) = K PD (s)k PI (s) ατ i s gdzie α = 1 ± 1 4 τ d τi 2 > 0 10 z 29

11 Wpływ części całkującej Dla T i 0 i T d = 0 otrzymujemy wzmocnienie ω jωt = i ω 2 Ti 2 > 1 przesunięcie fazowe ω ( ) ( ) 1 = tg 1 < 0 jωt i ωt i Oznacza to, iż zmniejszamy PM i GM, czyli zwiększamy oscylacje 11 z 29

12 Wpływ części różniczkującej Dla T d 0 i T i = 0 otrzymujemy wzmocnienie ω przesunięcie fazowe ω Oznacza to, iż 1 + jωt d = 1 + ω 2 T 2 d > 1 ( ) (1 + jωt d ) = tg 1 ωtd [0, π 1 2 ] > 0 zwiększamy PM, czyli zmniejszamy oscylacje 12 z 29

13 Dobór parametrów regulatora PID L - opóźnienie odpowiedzi R- nachylenie odpowiedzi układu (największe możliwe nachylenie) 13 z 29

14 Dobór parametrów regulatora PID Metoda Metoda Ziegler a-nichols a regulator P: regulator PI: regulator PID K = 1 RL K = 0.9 RL T i = 3.3L K = 1.2 RL T i = 2L T d = 0.5L 14 z 29

15 Dobór parametrów regulatora PID Metoda Ziegler a-nichols a 2 Algorytm (układ zamknięty) Ustaw K i = K d = 0 Zwiększaj K p aż do wystąpinia niegasnących oscylacji na wyjściu Zanotuj K c i ω c czyli wzmocnienie przy którym wystąpiły oscylacje niegasnące i ich pulsację Wyznacz parametry regulatora ze wzorów K p = 0.6K c, K d = K pπ, K i = K pω c 4ω c π 15 z 29

16 Dobór parametrów regulatora PID Metoda Zigler-Nichols a regulator P: regulator PI: regulator PID K = 0.5K c K = 0.45Kc T i = 0.833T gdzie T - okres drgań niegasnących 16 z 29 K = 0.6K c T i = 0.5T T d = 0.125T

17 Dobór parametrów regulatora PID Przykład Transmitancja obiektu G(s) = 6 (s + 1)(s + 2)(s + 3) = 6 s 3 + 6s s + 6 Równanie charakterystyczne układu zamkniętego D(s) = s 3 + 6s s + 6(K + 1) Z kryterium Routh a otrzymujemy K c = 10 i ω c = czyli T = 2π ω c = z 29

18 Dobór parametrów regulatora PID Przykład regulator P: regulator PI: regulator PID K = 5 K = 4.5 T i = 1.57 K = 6 T i = T d = z 29

19 Dobór parametrów regulatora PID Przykład Step Response regulator P regulator PI regulator PID Amplitude z Time (sec)

20 Dobór parametrów regulatora PID Metoda Ziegler-Nichols a 2 - przykład Dany jest obiekt a jego charakterystyka to G(s) = 400 s(s s + 200) bieguny układu zamkniętego = { 4.2 ± 0.93j, 21.59} ω gc = 1.95 [rad/sec] GM=23 [db] PM=73 [deg] POS=0 20 z 29

21 Dobór parametrów regulatora PID Wykres linii pierwiastkowych Root Locus Imaginary Axis Real Axis K c = 14, ω c = 14[rad/sec] 21 z 29

22 Dobór parametrów regulatora PID Odpowiedź skokowa Step Response bez regulatora z regulatorem PID 1.2 Amplitude Time (sec) Wynik obliczeń: K p = 9, K d = 0.5, K i = z 29

23 Dobór parametrów regulatora PID Charakterystyka częstotliwościowa Bode Diagram Magnitude (db) bez regulatora z regulatorem PID Phase (deg) Frequency (rad/sec) Wynik regulacji: POS=60%, T s = 1.2[sec], ω gc = 11[rad/sec], PM=25[deg], e ss 0 23 z 29

24 Dobór parametrów regulatora PID Metoda analityczna Fakt: metoda Ziegler-Nichols a nie pozwala na osiągniecie zadanych wymagań jakościowych. Transmitancja układu otwartego ( G o (s) = K p + K d s + K i s Jeśli G(s) jest typu n to typ G o (s) jest n + 1 ) G(s) K i może być znalezione z wymagań na błąd w stanie ustalonym, ponieważ K n+1 = s n K i G(s) s=0 = 1 e ss gdzie K n+1 jest stałą uchybu 24 z 29

25 Dobór parametrów regulatora PID Metoda analityczna Fakty (układ zamknięty vs. układ otwarty) ω n ω gc ζ = f (PM) dla znanego K i ( G(jω gc ) = 1 i θ(ω gc ) = 180 o + PM) czyli ( K p + jω gc K d + K i jω gc ) G(jω gc ) = 1e jθ(ωgc) K p + jω gc K d = 1ejθ(ωgc) G(jω gc ) + j K i ω gc = R + jx Ostatecznie K p = R i K d = X ω gc 25 z 29

26 Metoda analityczna-przykład Dany jest obiekt G(s) = a wymagania jakościowe regulacji to przeregulowanie POS= 10% czas regulacji T s = 2[sec] 400 s(s s + 200) e ssramp 10% - błąd w stanie ustalonym dla sygnału liniowo narastającego 26 z 29

27 Metoda analityczna-przykład G(s) jest typu 1 a więc liczymy stałą uchybu K 2 K 2 = sk i G(s) s=0 = 2K i = = 10 K i = 5 dla zadanych POS i T s możemy wyznaczyć dla układu zamkniętego ln(pos/100) ζ = (π 2 + ln 2 (POS/100)) 0.6ω n 4.6 4[rad/sec] ζt s dlatego ω gc = 4[rad/sec] oraz PM = tg 1 2ζ 2ζ ζ 4 60[deg] 27 z 29

28 Metoda analityczna-przykład Rozwiązanie: K i = 5, K p = 2.02, K d = Bode Diagram 50 Magnitude (db) bez regulatora z regulatorem PID Phase (deg) Frequency (rad/sec) 28 z 29

29 Metoda analityczna-przykład Step Response bez regulatora z regulatorem PID 1 Amplitude Time (sec) 29 z 29