RÓWNANIE RÓśNICZKOWE LINIOWE

Transkrypt

1 Analiza stanów nieustalonych metodą klasyczną... 1 /18 ÓWNANIE ÓśNICZKOWE INIOWE Pod względem matematycznym szukana odpowiedź układu liniowego o znanych stałych parametrach k, k, C k w k - tej gałęzi przy danych wymuszeniach, oznaczona przez x, badana w stanie nieustalonym, spełnia równanie róŝniczkowe liniowe, zwyczajne, niejednorodne, o współczynnikach stałych, mające postać: n n-1 n-2 d x d x d x dx +a n n-1 + a n-1 n a n a0x = f t an ( ), = 1 (1) Wyraz wolny f(t) jest związany z wymuszeniami, którymi są np. napięcia źródłowe lub prądy źródłowe. ZaleŜnie od tego, czy wolny wyraz występuje, czy teŝ nie, rozróŝniamy dwa przypadki: " przypadek ogólny, w którym wyraz wolny znajduje się pod działaniem wymuszenia zewnętrznego, nie będącego toŝsamościowo równym zeru i układowi temu jest przyporządkowane pełne równanie. " przypadek szczegółowy, w którym układ jest w stanie swobodnym (nie działa na niego wymuszenie zewnętrzne ), prawa strona równania jest wówczas równa zeru i mamy równanie róŝniczkowe zwyczajne. W kaŝdym z tych przypadków przy rozwiązywaniu równania rzędu n występuje w rozwiązaniu n stałych całkowania, które wyznaczamy z n danych warunków początkowych lub warunków brzegowych. ozwiązanie równania róŝniczkowego, które stanowi odpowiedź X układu w stanie nieustalonym, składa się z dwóch członów (zwanych składowymi) : X w - składowej wymuszonej, która stanowi całkę szczególną równania róŝniczkowego niejednorodnego; X s - składowej swobodnej, która stanowi całkę ogólną równania róŝniczkowego jednorodnego. Odpowiedź X układu w stanie nieustalonym jest sumą algebraiczną obu wyŝej wymienionych składowych: X = X w + X s

2 Analiza stanów nieustalonych metodą klasyczną... 2 /18 Układ n równa½ róŝniczkowych liniowych ównanie róŝniczkowe liniowe rzędu n jest równowaŝne układowi n równa½ róŝniczkowych liniowych, pierwszego rzędu, o współczynnikach stałych, zawierających n zmiennych x k przy k = 1, 2,...n. Układ ten napiszemy w postaci macierzowej: x1 a11 a12 a a1 n x1 f1( t) x 1 a21 a22 a a 2n x 1 f2( t) d x1 = a31 a32 a a 3n x1 + f3( t) x 1 an1 an2 a n3... a nn x 1 fn( t) (2) czyli krótko: d X = A X + F ( t) Wektor X nazywamy wektorem stanu. Dyskretyzacja czasu: dx k X k X k 1 = = A X k 1 + Fk 1, gdzie : X k = X ( tk ), Fk = F ( tk ) (3) t ozwiązanie iteracyjne: ( ) X = X + t A X + F ( ) X = X + t A X + F k k 1 k 1 k 1 (4) X 0 wektor warunków początkowych.

3 Analiza stanów nieustalonych metodą klasyczną... 3 /18 BADANIE GAŁĘZI SZEEGOWEJ Odbiornikiem jest gałąź szeregowa, przy warunku początkowym zerowym, a wymuszeniem - napięcie stałe U doprowadzone do odbiornika w chwili t = 0: ys. 1. Gałąź szeregowa pobudzana napięciem stałym U. Zakładamy, Ŝe w chwili t = 0 napięcie doprowadzone wzrasta skokiem od wartości zerowej do wartości U (czyli wyłącznik zostaje zamknięty momentalnie i w sposób bezłukowy). Bilans napięć w oczku elementarnym daje równanie róŝniczkowe liniowe niejednorodne, o współczynnikach stałych: d i( t) i( t ) + u( t ) = i( t ) + =U (5) Składowa wymuszona prądu i w wynosi : i w =U /. Składowa swobodna jest rozwiązaniem równania uproszczonego: czyli d is ( t) is ( t ) + = 0 (6) d i - s( t) t = d t, ln( is ) = t + ln(a), is ( t) = A e. (7) i ( t) s Stała A zostanie wyznaczona na podstawie warunku początkowego i(0) = 0: - t U U i(0) = is(0) + iw = 0 = A e +, A = (8) t= 0

4 Analiza stanów nieustalonych metodą klasyczną... 4 /18 Wprowadzamy wielkość fizyczną, zwaną stałą czasu, określoną wzorem: τ = / zaleŝną tylko od parametrów badanej gałęzi: indukcyjności oraz rezystancji : U U - t U i( t) = iw + is( t) = e = 1 e t - τ (9) Napięcie na cewce jest pochodną prądu pomnoŝoną przez : d i( t) U d u( t) = = 1 e = Ue - t - t (10) ys. 2. Przebiegi napięć i prądów w obwodzie szeregowym przy pobudzeniu stałym.

5 Analiza stanów nieustalonych metodą klasyczną... 5 /18 BADANIE GAŁĘZI SZEEGOWEJ,C Odbiornikiem jest gałąź szeregowa,c przy niezerowym warunku początkowym, a wymuszeniem - napięcie stałe U doprowadzone do odbiornika w chwili początkowej t = 0. ys. 3. Gałąź szeregowa C pobudzana napięciem stałym U. W chwili początkowej t = 0 napięcie doprowadzone wzrasta skokiem od wartości zerowej do wartości U. Odpowiedzią układu jest napięcie na kondensatorze u C będące funkcją czasu; prąd ładowania kondensatora oznaczamy przez i bez wskaźnika. Wielkości te są ze sobą związane zaleŝnością: d i = C d t u C (11) Bilans napięć w oczku elementarnym wyraŝamy równaniem: duc i( t) + uc = U, C + uc = U (12) Napięcie wymuszone u Cw, stanowiące całkę szczególną równania niejednorodnego, ma taki kształt jak wymuszenie i wynosi: u = U (13) Cw Napięcie swobodne u Cs na kondensatorze, stanowiące całkę ogólną równania jednorodnego: du C Cs + u = 0 (14) Cs

6 Analiza stanów nieustalonych metodą klasyczną... 6 /18 ównanie to moŝna zapisać jako: ducs 1 = d t, (15) ucs C a po scałkowaniu otrzymujemy t C ln ucs = t + ln A, lub: ucs = Ae (16) C Stała A zostanie wyznaczona na podstawie znajomości warunku początkowego: u = u + u = U + = U = U U. (17) 1 - t C C ( ) Ae 0 0 0, A t= Cw Cs t= C C0 t= 0 Napięcie nieustalone na kondensatorze wynosi: U uc ( t) = ucw + ucs = U + ( UC0 U )e = U 1 1 e U a prąd ładowania kondensatora t - t C C0 C (18) du U U i = C = 1 e d t U 1 - t C C0 C (19) Stała czasowa jest w rozpatrywanym obwodzie określona wzorem: τ = C. ys. 4. Napięcie i prąd w obwodzie szeregowym C przy pobudzeniu stałym, U C0 = 0.

7 Analiza stanów nieustalonych metodą klasyczną... 7 /18 ys. 5. Składowe wymuszone i swobodne napięcia i prądu w obwodzie szeregowym C przy pobudzeniu stałym, U C0 = 0. Interpretacja stałej czasowej τ.

8 Analiza stanów nieustalonych metodą klasyczną... 8 /18 BADANIE GAŁĘZI SZEEGOWEJ C Mamy dany obwód, w którym odbiornikiem jest gałąź szeregowa o parametrach,,c róŝnych od zera przy warunkach początkowych zerowych, a wymuszeniem - napięcie stałe U doprowadzone w chwili początkowej t = 0. Zakładamy, Ŝe w chwili t = 0 napięcie doprowadzone wzrasta skokiem od wartości zerowej do wartości U, czyli wyłącznik zostaje zamknięty momentalnie. ys. 6. Układ szeregowy C pobudzany napięciem stałym U. Za odpowiedź obwodu obieramy napięcie u C na kondensatorze, będące funkcją czasu. Bilans napięć w oczku daje równanie: i( t) + u ( t) + u ( t) = U (20) C Z równania tego eliminujemy i(t) oraz u (t) za pomocą zaleŝności: 2 d i du d, C u, C u = i = C u = C (21) 2 i dochodzimy do równania róŝniczkowego liniowego niejednorodnego, drugiego rzędu, o współczynnikach stałych: 2 d uc duc C + + u = U C C (22)

9 Analiza stanów nieustalonych metodą klasyczną... 9 /18 Napięcie wymuszone na kondensatorze u Cw, stanowiące całkę szczególną równania róŝniczkowego niejednorodnego, jest stałe i wynosi: ucw = U (23) Napięcie swobodne na kondensatorze u Cs, stanowi całkę ogólną równania róŝniczkowego jednorodnego drugiego rzędu: 2 d ucs ducs u Cs = 0 C (24) ównaniu temu odpowiada równanie charakterystyczne: s s + = 0 C (25) Pierwiastki równania charakterystycznego wynoszą: 1 s 1,2 = - ± = α ± 2 2 C 2 β, (26) przy czym: 1 α =, β = 2 2 C 2. (27) ozwiązanie równania uproszczonego: 1 2 ( ) A e s t s t u t = + B e (28) Cs Wyznaczanie stałych całkowania A, B przy warunkach początkowych zerowych u C (0) = 0 oraz i(0)=0 : u (0) + u (0) = u (0) = 0 U + A + B= 0 Cw Cs C duc i w(0) + i s (0) = i (0) = C s 1A + s 2B= 0 t= 0 (29)

10 Analiza stanów nieustalonych metodą klasyczną /18 PomnóŜmy pierwsze z tych równań przez s 1 : stąd: s A s B= s U s A + s B= s1 s2 B= U, A = U s s s s (30). (31) PoniewaŜ s 1 = -α - β oraz s 2 = -α + β napięcie na kondensatorze w stanie nieustalonym wynosi: U U u C = U s 2 e s 1 e U s - s 2β s1t s2t -αt -βt βt ( ) = e [( α β ) e ( α β ) e ] = 2 1 βt -βt βt -βt -αt e + e α e e -αt α = U U e + = U U e ( ch βt + sh βt ). 2 β 2 β (32) Prąd płynący w obwodzie wynosi: d uc ( t) i( t ) = C = -αt α -αt = UC α e (ch βt + sh βt ) U C e ( β sh βt + α ch βt ) = β 2 2 -αt α - β = UC e ( α ch βt - α ch βt + sh βt ) = β -αt 1 U -αt = UC e sh βt = e sh βt, β C β bowiem: α β =. Napięcie na cewce wynosi: C (33) di αt α u = = U e (chβt sh βt), (34) β natomiast napięcie na oporniku: αt 2α u = Ue shβ t. (35) β ZaleŜnie od rezystancji rozróŝniamy trzy rodzaje rozwiązania.

11 Analiza stanów nieustalonych metodą klasyczną /18 PZYPADKI OZWIĄZAŃ ZAEśNE OD EZYSTANCJI Przy > 2 C wielkość β przedstawia liczbę rzeczywistą, a oba pierwiastki są rzeczywiste i ujemne. Fizycznie odpowiada temu ładowanie kondensatora ze źródła napięcia stałego poprzez rezystancję i indukcyjność, mające charakter aperiodyczny (nieokresowy). Obowiązują wzory wyprowadzone powyŝej. ºADOWANIE APEIODYCZNE Obydwa pierwiastki leŝą na ujemnej części osi rzeczywistej. Przebiegi prądu w obwodzie oraz napięcia na kondensatorze i napięcia na cewce w funkcji czasu: ys. 7. Przebiegi przy ładowaniu aperiodycznym.

12 Analiza stanów nieustalonych metodą klasyczną /18 PZYPADEK GANICZNY przy = 2 wielkość β staje się zerem, pierwiastki równania C charakterystycznego są sobie równe i tworzą jeden pierwiastek podwójny, rzeczywisty i ujemny. Fizycznie odpowiada temu ładowanie kondensatora ze źródła napięcia stałego poprzez rezystancję i indukcyjność, mające charakter aperiodyczny krytyczny (nieokresowy krytyczny): U -αt U -αt sh βt U -αt t ch βt U -αt i( t ) = lim e sh βt = e lim = e lim = t e (36) β 0 β β 0 β β 0 1 di αt u = = U e (1 αt) u = i = 2U α t e αt (37) u = U u u = U U (1 + αt ) e C αt Przebiegi są podobne jak poprzednio: ys. 8. Przebiegi w przypadku krytycznym, β=0..

13 Analiza stanów nieustalonych metodą klasyczną /18 ºADOWANIE PEIODYCZNE Przy < 2 wielkość β przedstawia liczbę urojoną. C Obydwa pierwiastki s 1, s 2 są zespolone sprzęŝone. Fizycznie odpowiada temu ładowanie kondensatora ze źródła napięcia stałego poprzez rezystancję i indukcyjność takie, Ŝe przebiegi napięcia na kondensatorze i prądu w funkcji czasu są oscylacyjne tłumione, w szczególności sinusoidalne tłumione. ozwiązania moŝna uzyskać na podstawie rozwiązań dla przypadku aperiodycznego (33) podstawiając β = jω. Prąd płynący w obwodzie: U -αt U αt U -αt i( t ) = e sh βt = e j sinωt = e sinωt (38) β jω ω Prąd jest zatem funkcją czasu sinusoidalną tłumioną, dąŝącą do zera przy czasie zmierzającym do nieskończoności. Napięcia na poszczególnych elementach: di U d (e -αt U sin ) e -αt u = = ωt = ( α sin ωt + ω cos ωt ) ω ω ω sin ϕ = ω C, cos ϕ = α C, tgϕ = α (39) U -αt U -αt u = e ( cosϕ sinωt + sin ϕ cos ωt) = e sin( ωt ϕ) ω C ω C

14 Napięcie na rezystorze wynosi: Analiza stanów nieustalonych metodą klasyczną /18 U - t U u = α α e sinωt 2 sin ωt, gdzie: α ω = ω = 2, (40) a napięcie na kondensatorze: U αt u C = U u u = U e sin( ωt + ϕ). (41) ω C ys. 9. Przebieg napięcia nieustalonego na kondensatorze i prądu w obwodzie C w przypadku aperiodycznym. We wszystkich trzech przypadkach pierwiastki równania charakterystycznego leŝą w lewej półpłaszczyźnie. W związku z tym składowa swobodna odpowiedzi u Cs maleje do zera dla czasu dąŝącego do nieskończoności.

15 Analiza stanów nieustalonych metodą klasyczną /18 WŁĄCZENIE NAPIĘCIA SINUSOIDANIE ZMIENNEGO DO GAŁĘZI SZEEGOWEJ, ys. 10. Obwód szeregowy pobudzany napięciem sinusoidalnie zmiennym. Bilans napięć w oczku: d i( t) i( t ) + = U m sin( ωt + ψ ) (42) Prąd zostanie rozdzielony na składową wymuszoną i składową swobodną: i = i w + i s Prąd wymuszony jest całką szczególną równania róŝniczkowego: U m ω i w = sin( ωt + ψ ϕ), gdzie : ϕ = arctg (43) ω Prąd swobodny jest całką ogólną równania róŝniczkowego uproszczonego: dis i s + 0 = (44) ównanie charakterystyczne: + s = 0, s 1 = /, czyli: i = A e s - t (45)

16 Stałą A wyznaczamy z warunku początkowego: i(0) = i w (0) + i s (0) = 0, zatem: m A sin( ) Analiza stanów nieustalonych metodą klasyczną /18 U = ψ ϕ (46) + ω Całkowity prąd nieustalony wynosi: U - t m ( ) = sin( ωt + ψ ϕ) sin( ψ ϕ) e i t + ω (47) ys. 11. Prąd w obwodzie po załączeniu napięcia sinusoidalnie zmiennego (Ψ=0). ys. 12. Prąd w obwodzie po załączeniu napięcia sinusoidalnie zmiennego (Ψ=86 o ).

17 Analiza stanów nieustalonych metodą klasyczną /18 ZAŁĄCZENIE NAPIĘCIA SINUSOIDANIE ZMIENNEGO DO GAŁĘZI C Częstotliwość rezonansowa obwodu pokrywa się z częstotliwością wymuszenia: f V1 =f 0 =1592Hz, przebiegi prądu i(t): ys. 13. Przebieg prądu w obwodzie (napięcie u ) dla = 10 Ω. ys. 14. Przebieg prądu w obwodzie (napięcie u ) dla = 0,001Ω.

18 Analiza stanów nieustalonych metodą klasyczną /18 ys. 15. Częstotliwość rezonansowa obwodu róŝni się od częstotliwości wymuszenia: f V1 =500Hz, f 0 =1592Hz. ys. 16. Częstotliwość rezonansowa obwodu róŝni się od częstotliwości wymuszenia: f V1 =4500Hz, f 0 =1592Hz.