Wykłady z matematyki Liczby zespolone

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Wykłady z matematyki Liczby zespolone"

Lech Tomaszewski
7 lat temu
Przeglądów:

1 Wykłady z matematyki Liczby zespolone Rok akademicki 015/16 UTP Bydgoszcz

2 Liczby zespolone Wstęp Formalnie rzecz biorąc liczby zespolone to punkty na płaszczyźnie z działaniami zdefiniowanymi następująco: (a, b)+(c, d) = (a+c, b+d) (a, b) (c, d) = (ac bd, ad +bc) Takie określenie działań zapewnia nam porządne zachowanie całej struktury, co ściśle rzecz biorąc oznacza, że zbiór punktów na płaszczyźnie z tymi dwoma działaniami jest ciałem, czyli czymś o podobnych własnościach do zbioru liczb rzeczywistych. Wygodniej ze względów rachunkowych będzie jednak używać postaci algebraicznej liczb zespolonych: (a, b) = a + bi W szczególności więc (1, 0) = 1 i (0, 1) = i oraz i = (0, 1) (0, 1) = ( 1, 0) = 1. Dzięki temu ułatwieniu można dodawać i mnożyć liczby zespolone jak normalne wyrażenia algebraiczne, Andrzejwystarczy Musielak Wykłady tylkoz matematyki pamiętać, Liczby zespolone że i = 1.

3 Proste równania zespolone Przykład: z z + 5 = 0 Takie równanie rozwiązujemy tak samo jak zwykłe równanie kwadratowe, z tą różnicą, że nie przeszkadza nam ujemna delta: = 0 = 16 Pierwiastki kwadratowe z 16 są dwa: i oraz i (łatwo widać, że kwadrat tych liczb to właśnie 16). Możemy wybrać którykolwiek z nich i zapisać (umownie!): = i skąd ostatecznie: z 1 = +i = 1 + i z = i = 1 i

4 Nie zawsze jednak pierwiastek z delty można po prostu odgadnąć, czasem koniecznie będzie jego policzenie: Przykład: z + (1 i)z i = 0 = (1 i) (1 + 5i) = 1 i 0i = 7 i Nie widać od razu ile wynosi pierwiastek z tej liczby, wiemy jednak, że na pewno jest postaci a + bi dla pewnych a, b rzeczywistych. Mamy więc: (a + bi) = 7 i a b + abi = 7 i czyli a b = 7 oraz abi = i. Wyznaczamy z drugiego równania b = 1 a a 1 a = 7, wstawiamy do pierwszego: (a ) + 7a 1 = 0 a to już łatwo sprowadzić podstawieniem t = a do równania kwadratowego (tym razem już w liczbach rzeczywistych). Nietrudno się przekonać, że rozwiązaniami równania

5 t + 7t 1 = 0 są t 1 = 9 i t = 16, czyli a = 0 lub a = 16. Oczywiście rzeczywiste rozwiązania ma tylko to pierwsze równanie, mamy więc a = 3 i b = lub a = 3 i b =. Wybieramy dowolną z dwóch możliwości otrzymując ostatecznie: = 3 i z 1 = 1+i+3 i = 1 + i z = 1+i 3+i = + 3i Jeśli natomiast równanie nie jest kwadratowe, bo występuje w nim moduł lub sprzężenie, wówczas radzimy sobie podstawieniem z = a + bi. Przykład: z iz = 1 Podstawiamy z = a + bi: (a + bi) i(a bi) = 1 a b + abi ai b = 1

6 a b b + (ab a)i = 1 Musi być więc a b b = 1 oraz ab b = 0. Z drugiego równania wynika, że a = 0 lub b = 1. Jeśli a = 0, to z pierwszego wynika, że b = 1, a jeśli b = 1, to z pierwszego wynika, że a = lub a =. Ostatecznie otrzymujemy trzy rozwiązania: i, + i, + i Postać trygonometryczna Oprócz postaci algebraicznej liczb zespolonych jest jeszcze postać trygonometryczna, w której korzystamy ze współrzędnych biegunowych punktu na płaszczyźnie, czyli kąta φ między półprostą dodatnią OX, a półprostą OZ (gdzie Z to nasza liczba zespolona; oraz promienia r (czyli długości odcinka OZ). Łatwo sprawdzić, że wówczas: cos φ = a z sin φ = b z

7 skąd dostajemy: a + bi = z (cos φ + i sin φ) Aby znaleźć postać trygonometryczną liczby zespolonej wystarczy wyłączyć przed nawias moduł tej liczby, a następnie znaleźć w tablicach wartość kąta dla którego cosinus i sinus przyjmują odpowiednie wartości. Przykład: Przedstawmy w postaci trygonometrycznej liczbę 3 + i. Jej moduł to oczywiście ( 3) + 1 =, mamy zatem: 3 + i = ( i) Szukamy więc takiego kąta, którego cosinus jest równy 3, a sinus jest równy 1. Nietrudno sprawdzić w tablicach, że takim kątem jest φ = 5 6π, mamy więc ostatecznie: 3 + i = (cos 5π 6 + i sin 5π) 6 Postać trygonometryczna jest szczególnie przydatna z uwagi

8 na wzór de Moivre a, który przydaje się do potęgowania i pierwiastkowania liczb zespolonych: ( z (cosφ + i sin φ)) n = z n (cos nφ + i sin nφ) Zobaczmy jak wygląda potęgowanie liczby z poprzedniego przykładu: ( 3 + i) 11 = ( (cos 5π 6 + i sin 5π 6 ))11 = 11 (cos 11 5π 6 + i sin 11 5π) 6 = = 11 (cos 55π 6 + i sin 55π 6 ) = 11 (cos 7π 6 + i sin 7π 6 ) = 08 ( 3 1 i) Pierwiastkiem n-tego stopnia z liczby zespolonej w nazywamy dowolne rozwiązanie równania z n = w. Zasadnicze Twierdzenie Algebry mówi, że każdy wielomian (niezerowego stopnia) ma zespolone miejsce zerowe. Łatwo stąd wywnioskować, że każdy wielomian zespolony n-tego stopnia ma dokładnie n miejsc zerowych (licząc z krotnościami). W szczególności więc również pierwiastków n-tego stopnia z w musi być dokładnie

9 n. Wystarczy zatem wskazać n rozwiązań powyższego równania, żeby znaleźć wszystkie pierwiastki z w. Jeśli w = w (cos α + i sin α), to te rozwiązania są postaci: z k = n w (cos α+kπ n + i sin α+kπ ) n dla k = 0, 1,..., n 1 W szczególności jeśli w = 1, to pierwiastki n-tego stopnia z jedynki są postaci: z k = cos kπ kπ n + i sin n dla k = 0, 1,..., n 1 Warto zwrócić uwagę, że pierwiastki n-tego stopnia z dowolnej liczby zespolonej na płaszczyźnie są wierzchołkami n-kąta foremnego. Policzmy dla przykładu pierwiastki czwartego stopnia z 1 czyli rozwiązania równania z = 1. Mamy: 1 = cos π + i sin π, czyli α = π i n =. Tak więc szukane pierwiastki to: z 0 = cos π + i sin π = + i z 1 = cos π+π + i sin π+π = + i z = cos π+π + i sin π+π = i z 3 = cos π+6π + i sin π+6π = i

10 Ćwiczenia Przedstaw liczbę zespoloną w najprostszej postaci: a) (1 + 3i)( i) b) (1 i)( i) ( + i)(3 i) c) i 1+i d) (1+i) (1 i)( i) (1+i)(3+i) Rozwiąż równania: a) z + 6z + 13 = 0 b) z + z + 17 = 0 c) z z + i + 1 = 0 d) z (i + 1)z + i = 0 e) z + (i 5)z + 8 i = 0 f) z Oblicz: 3iz 3 + i = 0 g) z + z = 1 + i h) z z = 1 a) (1 + i) 013 b) (1 + i 3) c) ( 6 i ) 81 Znajdź: a) pierwiastki zespolone ósmego stopnia z 1 b) pierwiastki zespolone trzeciego stopnia z i

Podobne dokumenty

1 Działania na macierzach

1 Działania na macierzach Dodawanie macierzy Dodawać można tylko macierze o tych samych wymiarach i robi to się następująco: [ 1 3 4 5 6 ] + [ 0 3 1 3 7 8 ] = [1 + 0 + 3 3 + 1 4 3 5 + 7 6 + 8 ] = [1 5