Zadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Zadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych"

Transkrypt

1 Zadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych [ ] e Zadanie 1 Pokazać, że X(t) = 2t cos t sin t e 2t jest specjalną macierzą fundamentalną w sin t cos t [ 2 cos chwili τ = 0 układu równań ẋ(t) = A(t)x(t), gdzie A(t) = 2 ] t 1 sin 2t 1 sin 2t 2 sin 2 t Zadanie 2 Znaleźć bazę rozwiązań równania ẋ(t) = Ax(t), gdzie [ ] [ ] A =, A =, A = Zadanie 3 Rozwiązać układy równań: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ẋ(t) 1 1 x(t) t x(0) 1 = +, =, ẏ(t) 0 1 y(t) 1 y(0) 0 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ẋ(t) 2 1 x(t) t x(0) 1 = +, =, ẏ(t) 1 2 y(t) t y(0) 1 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ẋ(t) 4 9 x(t) 3e t x(0) (3) = + ẏ(t) 1 2 y(t) e t, = y(0) [ x0 y 0 ] Zadanie 4 Udowodnić lemat 141 z wykładu Zadanie 5 Narysować portret fazowy układu równań ẋ(t) = y(t) + x(t)(1 x(t) 2 y(t) 2 z(t) 2 ) ẏ(t) = x(t) + y(t)(1 x(t) 2 y(t) 2 z(t) 2 ) ż(t) = 0 Zadanie 6 Niech A będzie rzeczywistą macierzą kwadratową Wykazać, że jeżeli σ(a) 1 =, to σ(e A ) S 1 = Zadanie 7 Narysować portret fazowy układu równań ẋ(t) = y(t) + x(t)(1 x(t) 2 y(t) 2 ) ẏ(t) = x(t) + y(t)(1 x(t) 2 y(t) 2 ) ż(t) = α Zadanie 8 Naszkicować portrety fazowe poniższych układów równań ẋ(t) = x(t) 5y(t), ẏ(t) = x(t) y(t), ẋ(t) = x(t) + y(t), ẏ(t) = x(t) 2y(t), (3) ẋ(t) = x(t) 5y(t), ẏ(t) = x(t) y(t), (4) ẋ(t) = 4x(t) + 2y(t), ẏ(t) = 3x(t) 2y(t), (5) ẋ(t) = x(t) + 2y(t), ẏ(t) = 2x(t) + 2y(t), (6) ẋ(t) = 4x(t) 2y(t), ẏ(t) = 3x(t) y(t), (7) ẋ(t) = 2x(t) + y(t), ẏ(t) = x(t) + y(t) 1

2 2 Zadanie 9 Rozwiązać zagadnienie początkowe fazowy, gdzie A = A = (3) A = (4) A = oraz x 0 = (1, 1, 1), oraz x 0 = (1, 1, 1), oraz x 0 = (1, 1, 1), oraz x 0 = (1, 1, 1) ẋ(t) = Ax(t) x(0) = x 0 i naszkicować jego portret Zadanie 10 Wykazać, że odwzorowanie ϕ : R R R dane wzorem ϕ(t, x) = e t (1 + x) 1 jest potokiem Zadanie [ 11 Wykazać, ] [ że] odwzorowanie ϕ : R R 2 R 2 dane wzorem ϕ(t, (x, y)) = cos βt sin βt x e αt jest potokiem sin βt cos βt y Zadanie 12 Wyznaczyć potok indukowany przez równanie ẋ(t) = x(t) 2 Zadanie 13 Wyznaczyć potok indukowany przez równanie ẋ(t) = x(t) x(t) 2 Zadanie 14 Wyznaczyć potok indukowany przez równanie ẋ(t) = x(t) ln x(t) ẋ(t) = x(t)y(t) Zadanie 15 Wyznaczyć potok indukowany przez układ równań ẏ(t) = y(t) 2 Zadanie 16 Rozważyć równanie ü(t) + αu(t) = 0, α R jako układ równań pierwszego rzędu Wyznaczyć potok indukowany przez ten układ Wykazać, że ten układ ma rozwiązania okresowe, gdy α > 0 i obliczyć ich okres Zadanie 17 Wyznaczyć potok indukowany przez układ równań pierwszego rzędu równoważny równaniu ẍ(t) + ẋ(t) + 4x(t) = 0 Naszkicować portret fazowy tego układu Zadanie 18 Promieniem spektralnym rzeczywistej macierzy A nazywamy liczbę r(a) = max λ σ(a) λ Pokazać, że dla każdego ɛ > 0 istnieje norma ɛ taka, że A ɛ = sup Ax ɛ r(a) + ɛ x ɛ =1 Wskazówka: Wystarczy rozważać tylko postać jordanowską J(A) macierzy A (dlaczego?) Jeżeli B = αi + N jest blokiem jordanowskim i Q = diag (1, ɛ,, ɛ n ), to Q 1 BQ = αi + ɛn

3 3 Zadanie 19 Niech X będzie przestrzenią Banacha oraz niech A : X X będzie operatorem liniowym Pokazać, że formuła A = sup A(x) definiuje normę Ponadto pokazać, że x =1 AB A B oraz, że I+A jest operatorem odwracalnym, o ile A < 1 Operator odwrotny jest dany przez szereg Neumanna (I + A) 1 = A i Ponadto (I + A) 1 (1 A ) 1 Zadanie 20 Rozpatrzmy układ równań postaci ẋ(t) = y(t) + x(t) (x 2 (t) + y 2 (t)) ẏ(t) = x(t) + y(t) (x 2 (t) + y 2 (t)) i=0 Pokazać, że założenie hiperboliczności punktu stacjonarnego w twierdzeniu Hartmana- Grobmana jest istotne Zadanie 21 Sklasyfikować położenia równowagi następujących układów równań: ẋ(t) = x(t) 2 + y(t) 2 2 ẏ(t) = y(t) x(t) 2, ẋ(t) = x(t) 2 y(t) ẏ(t) = y(t) x(t) 2 + 5, ẋ(t) = 1 (3) (x(t) + 8 y(t))3 y(t) ẏ(t) = 1(x(t) + 8 y(t))3 x(t) Zadanie 22 Pokazać, że w równaniu ẍ(t) + (x(t) 2 + ẋ(t) 2 µ)ẋ(t) + x(t) = 0 zachodzi zjawisko bifurkacji Hopfa, gdy parametr µ przekracza 0 R Pokazać, że dla µ < 0 równanie to nie posiada rozwiązań okresowych Wskazówka: Zastosować kryterium Dulaca-Bendixsona x(t) ẋ(t) = µx(t) y(t) x(t) Zadanie 23 Pokazać, że w równaniu 2 + y(t) 2 ẏ(t) = x(t) µy(t) + zjawisko bifurkacji Hopfa, gdy parametr µ przekracza 1 R zachodzi y(t) 1 + x(t) 2 + y(t) 2 Zadanie 24 Rozważmy równanie Fritza-Hugha modelujące zachowanie membrany nerwu postaci 3 ẋ(t) = 3(x(t) + y(t) x(t)3 + λ) (x(t) y(t)) ẏ(t) = 3 obliczyć położenia równowagi, wskazać stabilne i niestabilne położenia równowagi, (3) wskazać punkty bifurkacji Hopfa Zadanie 25 Niech ż(t) = λz(t) z(t) z(t) 2, gdzie z(t) = x(t) + y(t)i, λ = α + βi C Wykazać zachodzenie zjawiska bifurkacji Hopfa, gdy β 0 i α przekracza 0 R Naszkicować portret fazowy tego równania, gdy β = 0

4 4 Zadanie 26 Wykazać, że dla każdego z poniższych równań zachodzi zjawisko bifurkacji Hopfa dla pewnej wartości parametru α R : równanie Rayleigh a: ẍ(t) + ẋ(t) 3 2αẋ(t) + x(t) = 0, oscylator van der Pol a: ẍ(t) (α x(t) 2 )ẋ(t) + x(t) = 0, ẋ(t) = y(t) (3) przykład Bautina: ẏ(t) = x(t) + αy(t) + x(t) 2 + x(t)y(t) + y(t) 2, ẋ(t) = α(1 x(t)y(t) (4) model dyfuzji: 2 + A(y(t) 1)) ẏ(t) = x(t)y(t) 2 y(t) (5) ẍ(t) + (x(t) 2 α)) + 2x(t) + x 3 = 0 ẋ(t) = y(t) x(t)(x(t) Zadanie 27 Pokazać, że układ równań 2 + y(t) 2 1) ẏ(t) = x(t) y(t)(x(t) 2 + y(t) 2 ma niestabilny cykl graniczny Wskazówka: współrzędne 1) biegunowe Zadanie 28 Pokazać, że układ równań ẋ(t) = y(t) + x(t)(x(t) 2 + y(t) 2 1 1) sin x(t) 2 + y(t) 2 1 ẏ(t) = x(t) + y(t)(x(t) 2 + y(t) 2 1 1) sin x(t) 2 + y(t) 2 1 ma nieskończenie wiele cykli granicznych w otwartym dysku jednostkowym Zadanie 29 Znaleźć wszystkie cykle graniczne układu równań ẋ(t) Wskazać stabilne cykle graniczne = y(t) + x(t) sin( x(t) 2 + y(t) 2 ) ẏ(t) = x(t) + y(t) sin( x(t) 2 + y(t) 2 ) Zadanie 30 Pokazać, że równanie z(t) + (z(t) 2 + 2ż(t) 2 1)ż(t) + z(t) = 0 ma nietrywialne rozwiązanie okresowe ẋ(t) = y(t) x(t)(x(t) Zadanie 31 Pokazać, że układ równań 2 + y(t) 2 1) ẏ(t) = x(t) y(t)(x(t) 2 + y(t) 2 posiada 1) izolowane niestabilne rozwiązanie okresowe Zadanie 32 Zbadać istnienie cykli granicznych poniższego układu równań w zależności od ẋ(t) = y(t) + x(t)(µ x(t) parametru µ R : 2 y(t) 2 )(µ 2(x(t) 2 + y(t) 2 )) ẏ(t) = x(t) + y(t)(µ x(t) 2 y(t) 2 )(µ 2(x(t) 2 + y(t) 2 )) Naszkicować portrety fazowe tego układu dla µ 0 i µ > 0

5 5 Zadanie 33 Znaleźć wszystkie cykle graniczne w następujących układach równań: ẋ(t) = y(t) x(t)(x(t)2 + y(t) 2 2) x(t) 2 + y(t) 2 ẏ(t) = x(t) y(t)(x(t)2 + y(t) 2, 2) x(t) 2 + y(t) 2 ẋ(t) = x(t) x(t) 3 x(t)y(t) 2 ẏ(t) = y(t) y(t) 3 y(t)x(t) 2, ẋ(t) = y(t) + x(t)(x(t) (3) 2 + y(t) 2 1)(x(t) 2 + y(t) 2 2) ẏ(t) = x(t) + y(t)(x(t) 2 + y(t) 2 1)(x(t) 2 + y(t) 2 2), ẋ(t) = x(t)y(t) + x(t) cos(x(t) (4) 2 + y(t) 2 ) ẏ(t) = x(t) 2 + y(t) cos(x(t) 2 + y(t) 2 ) Zadanie 34 Zbadać istnienie cykli granicznych poniższego układu równań w zależności od parametru µ R : ẋ(t) = y(t) + x(t)(x(t) 2 + y(t) 2 µ)(2(x(t) 2 + y(t) 2 ) µ)(3(x(t) 2 + y(t) 2 ) µ) ẏ(t) = x(t) + y(t)(x(t) 2 + y(t) 2 µ)(2(x(t) 2 + y(t) 2 ) µ)(3(x(t) 2 + y(t) 2 ) µ) Naszkicować portrety fazowe tego układu dla µ 0 i µ > 0 Zadanie 35 Zbadać portrety fazowe poniższego układu równań w zależności od parametrów ẋ(t) = y(t) + x(t)(x(t) µ 1, µ 2 R : 2 + y(t) 2 1) 2 x(t)(µ 1 (x(t) 2 + y(t) 2 ) + µ 2 ) ẏ(t) = x(t) + y(t)(x(t) 2 + y(t) 2 1) 2 y(t)(µ 1 (x(t) 2 + y(t) 2 ) + µ 2 ) ẋ(t) = 1 x(t)y(t) Zadanie 36 Pokazać, że układ ẏ(t) = x(t) nie posiada trajektorii okresowych Zadanie 37 Rozważmy układ równań ẋ(t) = ωy(t) + x(t)(1 x(t) 2 y(t) 2 ) y(t)(x(t) 2 + y(t) 2 ) ẏ(t) = ωx(t) + y(t)(1 x(t) 2 y(t) 2 ) + x(t)(x(t) 2 + y(t) 2 ) K, gdzie K R Pokazać, że jeśli powyższy układ posiada trajektorię okresową w obszarze x 2 +y 2 > 1 2 to trajektoria ta powinna ograniczać obszar zawierający (0, 0) R 2 Zadanie 38 Niech f, g C 1 (R, R) Pokazać, że równanie ẍ(t) + f(x)ẋ(t) + g(x) = 0 nie ma rozwiązań okresowych w obszarze, na którym funkcja f ma stały znak różny od 0 Zadanie 39 Pokazać, że poniższe układy równań nie mają rozwiązań okresowych ẋ(t) = x(t)(y(t) 2 + 1) + y(t) ẏ(t) = (x(t) 2 + 1)(y(t) 2 + 1), ẋ(t) = x(t)(y(t) 2 + 1) + y(t) ẏ(t) = x(t) 2 y(t) + x(t) ṙ(t) = r(t)(1 r(t)) Zadanie 40 Rozwiązać układ z warunkiem r(t 0 ) = r 0, θ(t 0 ) = θ 0

6 6 Zadanie 41 Rozwiązać poniższe układy równań i znaleźć cykle graniczne ṙ(t) = r(t)(r(t) 1)(r(t) 2), ṙ(t) = r(t)(r(t) 1) 2 Zadanie 42 Naszkicować portrety fazowe poniższych układów w zależności od parametru < µ < + ṙ(t) = r(t) 2 (r(t) + µ), ṙ(t) = µr(t)(r(t) + µ) 2, ṙ(t) = r(t)(µ r(t))(µ 2r(t)) (3), ṙ(t) = r(t)(µ r(t) 2 ) (4) Zadanie 43 Stosując biegunową zamianę zmiennych znaleźć cykle graniczne w poniższych równaniach i zbadać ich stabilność ẋ(t) = y(t) + x(t)(1 x(t) 2 y(t) 2 ) ẏ(t) = x(t) + y(t)(1 x(t) 2 y(t) 2 ), ẋ(t) = x(t)(x(t) 2 + y(t) 2 1) y(t) x(t) 2 + y(t) 2 ẏ(t) = y(t)(x(t) 2 + y(t) 2 1) + x(t) x(t) 2 + y(t) 2 Zadanie 44 Pokazać, że rozwiązanie u 0 układu równań ẋ(t) = x(t)(x(t) 2 + y(t) 2 2) 4x(t)y(t) 2 ẏ(t) = 4x(t) 2 y(t) + y(t)(x(t) 2 + y(t) 2 2), jest asymptotycznie stabilne w sensie Lapunowa Wskazówka: wykazać, że funkcja V : R 2 R dana wzorem V (x, y) = x 2 + y 2 spełnia ostrą nierówność Lapunowa Zadanie 45 Zbadać stabilność położeń równowagi, w zależności od parametru λ R, następującego równania ẋ(t) = x(t)(9 λx(t))(λ + 2x(t) x(t) 2 )((λ 10) 2 + (y 3) 2 1) Ponadto narysować portret fazowy i wskazać wartości parametru λ przy których następuje zmiana stabilności położeń równowagi i ich liczby ẋ(t) = 2y(t) + y(t)z(t) Zadanie 46 Rozważmy układ równań ẏ(t) = x(t) x(t)z(t) oraz funkcję V : R 3 R ż(t) = x(t)y(t) daną wzorem V (x, y, z) = c 1 x 2 + c 2 y 2 + c 3 z 2, gdzie c 1, c 2, c 3 > 0 Opisać zbiór rozwiązań stacjonarnych tego układu Udowodnić, że rozwiązanie u 0 tego układu jest stabilne w sensie Lapunowa Czy można zastosować twierdzenie 275 do badania asymptotycznej stabilności rozwiązania u 0 tego układu? Wskazówka: dobrać współczynniki c 1, c 2, c 3 tak, żeby V była funkcja Lapunowa dla tego układu

7 7 Zadanie 47 Rozważmy układ równań ẋ(t) = 2y(t) + y(t)z(t) x(t) 3 ẏ(t) = x(t) x(t)z(t) y(t) 3 oraz funkcję V : ż(t) = x(t)y(t) z(t) 3 R 3 R daną wzorem V (x, y, z) = c 1 x 2 + c 2 y 2 + c 3 z 2 Udowodnić, że rozwiązanie u 0 tego układu jest asymptotycznie stabilne w sensie Lapunowa Czy można zastosować twierdzenie 275 z wykładu do badania asymptotycznej stabilności rozwiązania u 0 tego układu? Wskazówka: dobrać współczynniki c 1, c 2, c 3 tak, aby V była funkcją Lapunowa tego układu Zadanie 48 Stosując funkcję Lapunowa V (x, y, z) = x 2 +y 2 +z 2 udowodnić, że rozwiązanie u ẋ(t) = y(t) x(t)y(t) 2 x(t) 3 + z(t) 2 0 układu ẏ(t) = x(t) y(t) 3 + z(t) 3 jest asymptotycznie stabilne w ż(t) = x(t)z(t) x(t) 2 z(t) y(t)z(t) 3 z(t) 6 sensie Lapunowa Ponadto udowodnić, że rozwiązanie u 0 linearyzacji tego układu w punkcie stacjonarnym 0 R 3 jest stabilne w sensie Lapunowa, ale nie jest asymptotycznie stabilne Zadanie 49 Konstruując odpowiednią funkcję postaci V (x, y) = αx 3 + βx 2 y + γxy 2 + δy 3 ẋ = y 2 pokazać, że położenie równowagi (0, 0) równania ẏ = 2y 2 nie jest stabilne w sensie xy Lapunowa ẋ(t) = P (x(t), y(t)) Zadanie 50 Zbadać stabilność położeń równowagi układu ẏ(t) = Q(x(t), y(t)), gdzie P (x, y) = x 2 y 2 1, Q(x, y) = 2y, P (x, y) = y x 2 + 2, Q(x, y) = 2y 2 2xy, (3) P (x, y) = 4x 2y + 4, Q(x, y) = xy x 2 Zadanie 51 Wykazać, że każde niezerowe rozwiązanie równania ẋ(t) = x(t) jest nieograniczone i niestabilne w sensie Lapunowa Natomiast każde rozwiązanie równania ẋ = 1 jest nieograniczone i stabilne w sensie Lapunowa [ ] [ ] [ ] ẋ(t) 0 1 x(t) Zadanie 52 Rozważmy układ równań ( ) = + φ(x, y) Stosując ẏ(t) 1 0 y(t) funkcje Lapunowa V (x, y) = x 2 + y 2 udowodnić, że [ ] x jeżeli φ(x, y) = 3 xy 2 y 3 x 2, to rozwiązanie u 0 układu ( ) jest asymptotycznie y stabilne w sensie [ Lapunowa, ] x jeżeli φ(x, y) = 3 + xy 2 y 3 + x 2, to rozwiązanie u 0 układu ( ) jest niestabilne, y [ ] xy (3) jeżeli φ(x, y) =, to rozwiązanie u 0 układu ( ) jest stabilne w sensie Lapunowa, ale nie jest asymptotycznie stabilne

8 8 Zadanie 53 Niech f, g : R R będą wielomianami takimi, że f( x) = f(x) oraz g( x) = g(x) Pokazać, że równanie ẍ(t) + f(x(t))ẋ(t) + g(x(t)) = 0 jest równoważne układowi równań ẋ(t) = y(t) F (x(t)) x x ( ), gdzie F (x) = f(s)ds Zdefiniujmy G(x) = g(s)ds i załóżmy, że G(x) > 0 i g(x)f (x) > 0 (g(x)f (x) < 0) dla każdego x 0 Pokazać, że rozwiązanie ẏ(t) = g(x(t)) 0 0 u 0 układu ( ) jest asymptotycznie stabilne (niestabilne) w sensie Lapunowa Zadanie 54 Stosując odpowiednie funkcje Lapunowa zbadać stabilność położeń równowagi ẋ(t) = P (x(t), y(t)) układu równań ẏ(t) = Q(x(t), y(t)), gdzie P (x, y) = x + y + xy, Q(x, y) = x y x 2 y 2, P (x, y) = x 3y + x 3, Q(x, y) = x + y y 2, (3) P (x, y) = x 2y + xy 2, Q(x, y) = 3x 3y + y 3, (4) P (x, y) = 4y + x 2, Q(x, y) = 4x + y 2 Zadanie 55 Pokazać, że funkcja V (x, y) = x 2 + x 2 y 2 + y 4 jest funkcją Lapunowa dla układu ẋ(t) = 1 3x(t) + 3x(t) 2 + 2y(t) 2 x(t) 3 2x(t)y(t) 2 ẏ(t) = y(t) 2x(t)y(t) + x(t) 2 y(t) y(t) 3 Pokazać, że położenie równowagi (1, 0) jest asymptotycznie stabilne w sensie Lapunowa

Wykład z modelowania matematycznego.

Wykład z modelowania matematycznego. Załóżmy, że równanie różniczkowe x (t) = f (t, x) (1) ma rozwiązanie ogólne x(t) = ϕ(t, c). (2) Załóżmy, że równanie różniczkowe x (t) = f (t, x) (1) ma rozwiązanie ogólne x(t) = ϕ(t, c). (2) Rodzina funkcji

Bardziej szczegółowo

5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu

5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5.1. Wstęp. Definicja 5.1. Niech V R 3 będzie obszarem oraz F : V R. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci Równanie

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet Mikołaja Kopernika Wydział Matematyki i Informatyki

Uniwersytet Mikołaja Kopernika Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika Wydział Matematyki i Informatyki Stabilność rozwiązań równań różniczkowych w ujęciu lokalnych układów dynamicznych. Adam Kanigowski Toruń 2010 1 Spis treści 1 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe. Notatki z wykładu.

Równania różniczkowe. Notatki z wykładu. Równania różniczkowe Notatki z wykładu http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Notatki własne z wykładu. Są niekompletne, bez bibliografii oraz mogą zawierać błędy i usterki. Z tego powodu niniejszy dokument

Bardziej szczegółowo

ϕ(t k ; p) dla pewnego cigu t k }.

ϕ(t k ; p) dla pewnego cigu t k }. VI. Trajektorie okresowe i zbiory graniczne. 1. Zbiory graniczne. Rozważamy równanie (1.1) x = f(x) z funkcją f : R n R n określoną na całej przestrzeni R n. Będziemy zakładać, że funkcja f spełnia założenia,

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie 2: Własności pola wskazujące na istnienie orbit

Twierdzenie 2: Własności pola wskazujące na istnienie orbit Cykle graniczne Dotychczas zajmowaliśmy się głównie znajdowaniem i badaniem stabilności punktów stacjonarnych. Wiele ciekawych procesów ma naturę cykliczną. Umiemy już sobie poradzić z cyklicznością występującą

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Wyznacz transformaty Laplace a poniższych funkcji, korzystając z tabeli transformat: a) 8 3e 3t b) 4 sin 5t 2e 5t + 5 c) e5t e

Bardziej szczegółowo

2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych

2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych 2. Równania o rozdzielonych zmiennych 2 1 2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie różniczkowe

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego

Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 21 kwietnia 2016 Wstęp Definicja Równanie różniczkowe + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to

Bardziej szczegółowo

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego 5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =

Bardziej szczegółowo

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie liniowe

Przestrzenie liniowe Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14

Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14 Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14 Metoda rozwiązywania (Jednorodne równanie różniczkowe liniowe rzędu n o stałych współczynnikach). gdzie a 0,..., a n 1 C. Wielomian charakterystyczny:

Bardziej szczegółowo

Wykład z równań różnicowych

Wykład z równań różnicowych Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Równania rózniczkowe cd

Wykład 3 Równania rózniczkowe cd 7 grudnia 2010 Definicja Równanie różniczkowe dy dx + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to równanie (1) czyli równanie dy dx + p (x) y = 0 nazywamy

Bardziej szczegółowo

Równania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0

Równania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0 Równania różnicowe 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp Ponadto

Bardziej szczegółowo

13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła.

13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła. Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła 13 1 13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła. 13.1 Równanie struny drgającej Równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu typu

Bardziej szczegółowo

Równanie przewodnictwa cieplnego (II)

Równanie przewodnictwa cieplnego (II) Wykład 5 Równanie przewodnictwa cieplnego (II) 5.1 Metoda Fouriera dla pręta ograniczonego 5.1.1 Pierwsze zagadnienie brzegowe dla pręta ograniczonego Poszukujemy rozwiązania równania przewodnictwa spełniającego

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie wektorowe

Przestrzenie wektorowe Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne

Zaawansowane metody numeryczne Wykład 1 Zadanie Definicja 1.1. (zadanie) Zadaniem nazywamy zagadnienie znalezienia rozwiązania x spełniającego równanie F (x, d) = 0, gdzie d jest zbiorem danych (od których zależy rozwiązanie x), a F

Bardziej szczegółowo

Równanie przewodnictwa cieplnego (I)

Równanie przewodnictwa cieplnego (I) Wykład 4 Równanie przewodnictwa cieplnego (I) 4.1 Zagadnienie Cauchy ego dla pręta nieograniczonego Rozkład temperatury w jednowymiarowym nieograniczonym pręcie opisuje funkcja u = u(x, t), spełniająca

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K

Bardziej szczegółowo

Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L

Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra

Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Uwarunkowanie zadania numerycznego Niech ϕ : R n R m będzie pewna funkcja odpowiednio wiele

Bardziej szczegółowo

3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B

3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B 1. Dla macierzy a) A = b) A = c) A = d) A = 3 1 + i 1 i i i 0 i i 0 1 + i 1 i 0 0 0 0 1 0 1 0 1 + i 1 i Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: A, X = B. Obliczyć pierwiaski z macierzy: A =

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ... Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x

Bardziej szczegółowo

Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy

Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy Zadania z algebry liniowej - sem I Przestrzenie liniowe bazy rząd macierzy Definicja 1 Niech (K + ) będzie ciałem (zwanym ciałem skalarów a jego elementy nazywać będziemy skalarami) Przestrzenią liniową

Bardziej szczegółowo

Baza w jądrze i baza obrazu ( )

Baza w jądrze i baza obrazu ( ) Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem

Bardziej szczegółowo

13 Układy równań liniowych

13 Układy równań liniowych 13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

Analiza Funkcjonalna - Zadania

Analiza Funkcjonalna - Zadania Analiza Funkcjonalna - Zadania 1 Wprowadzamy następujące oznaczenia. K oznacza ciało liczb rzeczywistych lub zespolonych. Jeżeli T jest dowolnym zbiorem niepustym, to l (T ) = {x : E K : x funkcja ograniczona}.

Bardziej szczegółowo

1 Relacje i odwzorowania

1 Relacje i odwzorowania Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X

Bardziej szczegółowo

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory; Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone i

1. Liczby zespolone i Zadania podstawowe Liczby zespolone Zadanie Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb zespolonych: z = ( + 7i)( + i) + ( 5 i)( + 7i), z = + i, z = + i i, z 4 = i + i + i i Zadanie Dla jakich

Bardziej szczegółowo

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i

Bardziej szczegółowo

Przekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej

Przekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej Przekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej Przygotowanie: Dariusz Pazderski Liniowe przekształcenie równania stanu Rozważmy liniowe równanie stanu i równanie wyjścia układu niesingularnego

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści 1 Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna 1 Geometria analityczna w R 3 3 Liczby zespolone

Bardziej szczegółowo

Reakcja Bielousowa-Żabotyńskiego

Reakcja Bielousowa-Żabotyńskiego Reakcja Bielousowa-Żabotyńskiego 1 Kryteria pomocne przy badaniu stabilności punktów stacjonarnych Często badamy układy dynamiczne w pobliżu punktów stacjonarnych. Rozważamy wtedy ich postać zlinearyzowaną:

Bardziej szczegółowo

Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU

Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU Agata Boratyńska Zadania z matematyki Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU. Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnić: a) n + n+ = 0 b) n + n n+ = c) n + n a =, gdzie a

Bardziej szczegółowo

2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.

2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2. 2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. Koniecznie trzeba znać: twierdzenia o ekstremach (z wykorzystaniem pierwszej i drugiej pochodnej), Twierdzenie Lagrange a, Twierdzenie Taylora (z resztą w postaci Peano, Lagrange

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

Przekształcenia liniowe

Przekształcenia liniowe Przekształcenia liniowe Zadania Które z następujących przekształceń są liniowe? (a) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (2x, x x 2 ), (b) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (x + 3x 2, x 2 ), (c) T : R 2 R, T (x, x 2 )

Bardziej szczegółowo

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu 1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie

Bardziej szczegółowo

Formy kwadratowe. Rozdział 10

Formy kwadratowe. Rozdział 10 Rozdział 10 Formy kwadratowe Rozważmy rzeczywistą macierz symetryczną A R n n Definicja 101 Funkcję h : R n R postaci h (x) = x T Ax (101) nazywamy formą kwadratową Macierz symetryczną A występującą w

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań.

Zestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań. Zestaw zadań : Sumy i sumy proste podprzestrzeni Baza i wymiar Rzędy macierzy Struktura zbioru rozwiązań układu równań () Pokazać, że jeśli U = lin(α, α,, α k ), U = lin(β, β,, β l ), to U + U = lin(α,

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania, seria 5.

Rozwiązania, seria 5. Rozwiązania, seria 5. 26 listopada 2012 Zadanie 1. Zbadaj, dla jakich wartości parametru r R wektor (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)} R 3? Rozwiązanie. Załóżmy, że (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)}.

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści strona główna 1 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 Geometria analityczna w R 2 Liczby zespolone 4 4 Wielomiany

Bardziej szczegółowo

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania. 10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 II Geometria analityczna w R 2 4 III Liczby zespolone 5

Bardziej szczegółowo

1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia

1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia 1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia Definicja wielomianu. Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję w określoną wzorem w(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, przy

Bardziej szczegółowo

1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler

1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie Wersja z dnia 23 stycznia 2014 Paweł Bechler 1 Formy hermitowskie Niech X oznacza przestrzeń liniową nad ciałem K. Definicja 1. Funkcję φ : X X K nazywamy

Bardziej szczegółowo

Nierówności symetryczne

Nierówności symetryczne Nierówności symetryczne Andrzej Nowicki Uniwersytet Mikołaja Kopernika, Wydział Matematyki i Informatyki, ul Chopina 1 18, 87 100 Toruń (e-mail: anow@matunitorunpl) Sierpień 1995 Wstęp Jeśli x, y, z, t

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe zwyczajne zadania z odpowiedziami

Równania różniczkowe zwyczajne zadania z odpowiedziami Równania różniczkowe zwyczajne zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Równania pierwszego rzędu 2 o rozdzielonych zmiennych 2 jednorodne 4 liniowe 4 Bernoulliego 5 Równania sprowadzalne

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. Janusz Szwabiński. Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/50

Metody numeryczne. Janusz Szwabiński. Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/50 Metody numeryczne Układy równań liniowych, część II Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/50 Układy równań liniowych, część II 1. Iteracyjne poprawianie

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych.

Równania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. Równania różniczkowe. Lisa nr 2. Lieraura: N.M. Mawiejew, Meody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza Maemayczna w Zadaniach, część II 1. Znaleźć ogólną posać

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna

Geometria analityczna Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem

Bardziej szczegółowo

3. Macierze i Układy Równań Liniowych

3. Macierze i Układy Równań Liniowych 3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia 1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji c.d.-wykład 5 ( ) Funkcja logistyczna

Pochodna funkcji c.d.-wykład 5 ( ) Funkcja logistyczna Pochodna funkcji c.d.-wykład 5 (5.11.07) Funkcja logistyczna Rozważmy funkcję logistyczną y = f 0 (t) = 40 1+5e 0,5t Funkcja f może być wykorzystana np. do modelowania wzrostu masy ziaren kukurydzy (zmienna

Bardziej szczegółowo

Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym

Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych metod a funkcji kary i mnożników Lagrange a - zadania sterowania optymalnego

Bardziej szczegółowo

Modelowanie układów dynamicznych

Modelowanie układów dynamicznych Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski Wykład 11 Równania Eulera-Lagrange a Rozważmy układ p punktów materialnych o współrzędnych uogólnionych q i i zdefiniujmy lagranżian

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17 Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =

Bardziej szczegółowo

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami: 9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe zwyczajne Zadania z odpowiedziami

Równania różniczkowe zwyczajne Zadania z odpowiedziami Równania różniczkowe zwyczajne Zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści strona główna I Równania pierwszego rzędu 2 1 o rozdzielonych zmiennych 2 2 jednorodne 4 3 liniowe 4 4 Bernoulliego 5

Bardziej szczegółowo

I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.

I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. Niech x 0 R i niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na

Bardziej szczegółowo

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I)

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania z teorii liczb

Przykładowe zadania z teorii liczb Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę

Bardziej szczegółowo

ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 26 czerwca 2017 roku

ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 26 czerwca 2017 roku Egzamin pisemny zestaw czerwca 0 roku Imię i nazwisko:.... ( pkt.) Udowodnić, że jeśli funkcja g interpoluje funkcję f w węzłach x 0, x, K, x n, a funk- cja h interpoluje funkcję f w węzłach x, x, K, x

Bardziej szczegółowo

Całki krzywoliniowe. SNM - Elementy analizy wektorowej - 1

Całki krzywoliniowe. SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej,

Bardziej szczegółowo

Równania poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie = Rozwiąż układ równań: (( + 1 ( + 2 = = 1

Równania poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie  = Rozwiąż układ równań: (( + 1 ( + 2 = = 1 Równania poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie http://www.zadania.info/). Rozwiąż układ równań: (( + ( + 2 = 3 = 4. http://www.zadania.info/d38/2287 2. Rozwiąż układ równań: ( + 2 (

Bardziej szczegółowo

Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym

Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych metod a funkcji kary i mnożników Lagrange a - zadania sterowania optymalnego

Bardziej szczegółowo

Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane

Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Szkoła Główna Handlowa 17 maja 2012 Definicja Mówimy, że odwzorowanie F : X R n, gdzie X R n, jest lokalnie

Bardziej szczegółowo

Dystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5

Dystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5 Dystrybucje Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Dystrybucje................................... 1 1.2 Pochodna dystrybucyjna............................ 3 1.3 Przestrzenie...................................

Bardziej szczegółowo

Krzywe Freya i Wielkie Twierdzenie Fermata

Krzywe Freya i Wielkie Twierdzenie Fermata Krzywe Freya i Wielkie Twierdzenie Fermata Michał Krzemiński 29 listopad 2006 Naukowe Koło Matematyki Politechnika Gdańska 1 1 Krzywe algebraiczne Definicja 1.1 Krzywą algebraiczną C nad ciałem K nazywamy

Bardziej szczegółowo

2. Definicja pochodnej w R n

2. Definicja pochodnej w R n 2. Definicja pochodnej w R n Niech będzie dana funkcja f : U R określona na zbiorze otwartym U R n. Pochodną kierunkową w punkcie a U w kierunku wektora u R n nazywamy granicę u f(a) = lim t 0 f(a + tu)

Bardziej szczegółowo

ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO EGZAMINU Z UKŁADÓW DYNAMICZNYCH

ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO EGZAMINU Z UKŁADÓW DYNAMICZNYCH ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO EGZAMINU Z UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Punkty okresowe, zbiory graniczne, sprzężenia Zadanie 1. Pokazać, że trajektoria (w przód) punktu x w przestrzeni metrycznej X pod działaniem ciągłego

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu

Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Metoda faktoryzacji (rozdzielania zmiennych)................ 5 1.2 Metoda funkcji Greena.............................

Bardziej szczegółowo

Interpolacja. Marcin Orchel. Drugi przypadek szczególny to interpolacja trygonometryczna

Interpolacja. Marcin Orchel. Drugi przypadek szczególny to interpolacja trygonometryczna Interpolacja Marcin Orchel 1 Wstęp Mamy daną funkcję φ (x; a 0,..., a n ) zależną od n + 1 parametrów a 0,..., a n. Zadanie interpolacji funkcji φ polega na określeniu parametrów a i tak aby dla n + 1

Bardziej szczegółowo

Obliczenia iteracyjne

Obliczenia iteracyjne Lekcja Strona z Obliczenia iteracyjne Zmienne iteracyjne (wyliczeniowe) Obliczenia iteracyjne wymagają zdefiniowania specjalnej zmiennej nazywanej iteracyjną lub wyliczeniową. Zmienną iteracyjną od zwykłej

Bardziej szczegółowo

6 Układy równań różniczkowych. Równania wyższych rzędów.

6 Układy równań różniczkowych. Równania wyższych rzędów. Układy równań. Równania wyższych rzędów. 6 1 6 Układy równań różniczkowych. Równania wyższych rzędów. 6.1 Podstawowe pojęcia dla układów równań różniczkowych zwyczajnych Definicja. Układem n równań różniczkowych

Bardziej szczegółowo

Wykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0}

Wykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0} Wykład 5 Niech f : V W będzie przekształceniem liniowym przestrzeni wektorowych Wtedy jądrem przekształcenia nazywamy zbiór tych elementów z V, których obrazem jest wektor zerowy w przestrzeni W Jądro

Bardziej szczegółowo

= b i M i [x], gdy charf = p, to a i jest pierwiastkiem wielomianu x n i

= b i M i [x], gdy charf = p, to a i jest pierwiastkiem wielomianu x n i 15. Wykład 15: Rozszerzenia pierwiastnikowe. Elementy wyrażające się przez pierwiastniki. Rozwiązalność równań przez pierwiastniki. Równania o dowolnych współczynnikach. 15.1. Rozszerzenia pierwiastnikowe.

Bardziej szczegółowo

1 Pochodne wyższych rzędów

1 Pochodne wyższych rzędów 1 Pochodne wyższych rzędów Definicja 1.1 (Pochodne cząstkowe drugiego rzędu) Niech f będzie odwzorowaniem o wartościach w R m, określonym na zbiorze G R k. Załóżmy, że zbiór tych x G, dla których istnieje

Bardziej szczegółowo

Praca domowa - seria 6

Praca domowa - seria 6 Praca domowa - seria 6 28 grudnia 2012 Zadanie 1. Znajdź bazę jądra i obrazu przekształcenia liniowego φ : R 4 wzorem: R 3 danego φ(x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (x 1 +2x 2 x 3 +3x 4, x 1 +x 2 +2x 3 +x 4, 2x

Bardziej szczegółowo

Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana , 0 A 2

Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana , 0 A 2 Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana Niech A - macierz kwadratowa stopnia n Jak obliczyć np A 100? a 11 0 0 0 a 22 0 Jeśli A jest macierzą diagonalną tzn A =, to Ak = 0 0 a nn Niech B =

Bardziej szczegółowo

III. Funkcje rzeczywiste

III. Funkcje rzeczywiste . Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja

Bardziej szczegółowo

Wstęp do równań różniczkowych, studia I stopnia. 1. Znaleźć (i narysować przykładowe) rozwiązania ogólne równania y = 2x.

Wstęp do równań różniczkowych, studia I stopnia. 1. Znaleźć (i narysować przykładowe) rozwiązania ogólne równania y = 2x. Wstęp do równań różniczkowych, studia I stopnia 1. Znaleźć (i narysować przykładowe) rozwiązania ogólne równania y = 2x. 2. Znaleźć wszystkie (i narysować przykładowe) rozwiązania równania y + 3 3 y 2

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie IV. Dany jest prostokątny arkusz kartony o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe

Bardziej szczegółowo

Stabilność. Krzysztof Patan

Stabilność. Krzysztof Patan Stabilność Krzysztof Patan Pojęcie stabilności systemu Rozważmy obiekt znajdujący się w punkcie równowagi Po przyłożeniu do obiektu siły F zostanie on wypchnięty ze stanu równowagi Jeżeli po upłynięciu

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje Definicja 1. Mówimy że: liczba m Z jest dzielnikiem liczby n Z gdy istnieje l Z takie że n = l m. Zapisujemy to symbolem m n; liczba m Z jest wspólnym

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006

FUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006 FUNKJE ZESPOLONE Lista zadań 25/26 Opracowanie: dr Jolanta Długosz Liczby zespolone. Obliczyć wartości podanych wyrażeń: (2 + ) ( ) 2 4 i (5 + i); b) (3 i)( 4 + 2i); c) 4 + i ; d) ( + i) 4 ; e) ( 2 + 3i)

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Układ regulacji automatycznej (URA) kryteria stabilności

Układ regulacji automatycznej (URA) kryteria stabilności Układ regulacji automatycznej (URA) kryteria stabilności y o e G c (s) z z 2 u G o (s) y () = () ()() () H(s) oraz jego wartością w stanie ustalonym. Transmitancja układu otwartego regulacji: - () = ()

Bardziej szczegółowo

Sprawy organizacyjne. dr Barbara Przebieracz Bankowa 14, p.568

Sprawy organizacyjne. dr Barbara Przebieracz Bankowa 14, p.568 Sprawy organizacyjne Jak można się ze mna skontaktować dr Barbara Przebieracz Bankowa 14, p.568 barbara.przebieracz@us.edu.pl www.math.us.edu.pl/bp 10 wykładów, Zaliczenie wykładu: ocena z wykładu jest

Bardziej szczegółowo