Zadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Zadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych"

Transkrypt

1 Zadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych [ ] e Zadanie 1 Pokazać, że X(t) = 2t cos t sin t e 2t jest specjalną macierzą fundamentalną w sin t cos t [ 2 cos chwili τ = 0 układu równań ẋ(t) = A(t)x(t), gdzie A(t) = 2 ] t 1 sin 2t 1 sin 2t 2 sin 2 t Zadanie 2 Znaleźć bazę rozwiązań równania ẋ(t) = Ax(t), gdzie [ ] [ ] A =, A =, A = Zadanie 3 Rozwiązać układy równań: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ẋ(t) 1 1 x(t) t x(0) 1 = +, =, ẏ(t) 0 1 y(t) 1 y(0) 0 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ẋ(t) 2 1 x(t) t x(0) 1 = +, =, ẏ(t) 1 2 y(t) t y(0) 1 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ẋ(t) 4 9 x(t) 3e t x(0) (3) = + ẏ(t) 1 2 y(t) e t, = y(0) [ x0 y 0 ] Zadanie 4 Udowodnić lemat 141 z wykładu Zadanie 5 Narysować portret fazowy układu równań ẋ(t) = y(t) + x(t)(1 x(t) 2 y(t) 2 z(t) 2 ) ẏ(t) = x(t) + y(t)(1 x(t) 2 y(t) 2 z(t) 2 ) ż(t) = 0 Zadanie 6 Niech A będzie rzeczywistą macierzą kwadratową Wykazać, że jeżeli σ(a) 1 =, to σ(e A ) S 1 = Zadanie 7 Narysować portret fazowy układu równań ẋ(t) = y(t) + x(t)(1 x(t) 2 y(t) 2 ) ẏ(t) = x(t) + y(t)(1 x(t) 2 y(t) 2 ) ż(t) = α Zadanie 8 Naszkicować portrety fazowe poniższych układów równań ẋ(t) = x(t) 5y(t), ẏ(t) = x(t) y(t), ẋ(t) = x(t) + y(t), ẏ(t) = x(t) 2y(t), (3) ẋ(t) = x(t) 5y(t), ẏ(t) = x(t) y(t), (4) ẋ(t) = 4x(t) + 2y(t), ẏ(t) = 3x(t) 2y(t), (5) ẋ(t) = x(t) + 2y(t), ẏ(t) = 2x(t) + 2y(t), (6) ẋ(t) = 4x(t) 2y(t), ẏ(t) = 3x(t) y(t), (7) ẋ(t) = 2x(t) + y(t), ẏ(t) = x(t) + y(t) 1

2 2 Zadanie 9 Rozwiązać zagadnienie początkowe fazowy, gdzie A = A = (3) A = (4) A = oraz x 0 = (1, 1, 1), oraz x 0 = (1, 1, 1), oraz x 0 = (1, 1, 1), oraz x 0 = (1, 1, 1) ẋ(t) = Ax(t) x(0) = x 0 i naszkicować jego portret Zadanie 10 Wykazać, że odwzorowanie ϕ : R R R dane wzorem ϕ(t, x) = e t (1 + x) 1 jest potokiem Zadanie [ 11 Wykazać, ] [ że] odwzorowanie ϕ : R R 2 R 2 dane wzorem ϕ(t, (x, y)) = cos βt sin βt x e αt jest potokiem sin βt cos βt y Zadanie 12 Wyznaczyć potok indukowany przez równanie ẋ(t) = x(t) 2 Zadanie 13 Wyznaczyć potok indukowany przez równanie ẋ(t) = x(t) x(t) 2 Zadanie 14 Wyznaczyć potok indukowany przez równanie ẋ(t) = x(t) ln x(t) ẋ(t) = x(t)y(t) Zadanie 15 Wyznaczyć potok indukowany przez układ równań ẏ(t) = y(t) 2 Zadanie 16 Rozważyć równanie ü(t) + αu(t) = 0, α R jako układ równań pierwszego rzędu Wyznaczyć potok indukowany przez ten układ Wykazać, że ten układ ma rozwiązania okresowe, gdy α > 0 i obliczyć ich okres Zadanie 17 Wyznaczyć potok indukowany przez układ równań pierwszego rzędu równoważny równaniu ẍ(t) + ẋ(t) + 4x(t) = 0 Naszkicować portret fazowy tego układu Zadanie 18 Promieniem spektralnym rzeczywistej macierzy A nazywamy liczbę r(a) = max λ σ(a) λ Pokazać, że dla każdego ɛ > 0 istnieje norma ɛ taka, że A ɛ = sup Ax ɛ r(a) + ɛ x ɛ =1 Wskazówka: Wystarczy rozważać tylko postać jordanowską J(A) macierzy A (dlaczego?) Jeżeli B = αi + N jest blokiem jordanowskim i Q = diag (1, ɛ,, ɛ n ), to Q 1 BQ = αi + ɛn

3 3 Zadanie 19 Niech X będzie przestrzenią Banacha oraz niech A : X X będzie operatorem liniowym Pokazać, że formuła A = sup A(x) definiuje normę Ponadto pokazać, że x =1 AB A B oraz, że I+A jest operatorem odwracalnym, o ile A < 1 Operator odwrotny jest dany przez szereg Neumanna (I + A) 1 = A i Ponadto (I + A) 1 (1 A ) 1 Zadanie 20 Rozpatrzmy układ równań postaci ẋ(t) = y(t) + x(t) (x 2 (t) + y 2 (t)) ẏ(t) = x(t) + y(t) (x 2 (t) + y 2 (t)) i=0 Pokazać, że założenie hiperboliczności punktu stacjonarnego w twierdzeniu Hartmana- Grobmana jest istotne Zadanie 21 Sklasyfikować położenia równowagi następujących układów równań: ẋ(t) = x(t) 2 + y(t) 2 2 ẏ(t) = y(t) x(t) 2, ẋ(t) = x(t) 2 y(t) ẏ(t) = y(t) x(t) 2 + 5, ẋ(t) = 1 (3) (x(t) + 8 y(t))3 y(t) ẏ(t) = 1(x(t) + 8 y(t))3 x(t) Zadanie 22 Pokazać, że w równaniu ẍ(t) + (x(t) 2 + ẋ(t) 2 µ)ẋ(t) + x(t) = 0 zachodzi zjawisko bifurkacji Hopfa, gdy parametr µ przekracza 0 R Pokazać, że dla µ < 0 równanie to nie posiada rozwiązań okresowych Wskazówka: Zastosować kryterium Dulaca-Bendixsona x(t) ẋ(t) = µx(t) y(t) x(t) Zadanie 23 Pokazać, że w równaniu 2 + y(t) 2 ẏ(t) = x(t) µy(t) + zjawisko bifurkacji Hopfa, gdy parametr µ przekracza 1 R zachodzi y(t) 1 + x(t) 2 + y(t) 2 Zadanie 24 Rozważmy równanie Fritza-Hugha modelujące zachowanie membrany nerwu postaci 3 ẋ(t) = 3(x(t) + y(t) x(t)3 + λ) (x(t) y(t)) ẏ(t) = 3 obliczyć położenia równowagi, wskazać stabilne i niestabilne położenia równowagi, (3) wskazać punkty bifurkacji Hopfa Zadanie 25 Niech ż(t) = λz(t) z(t) z(t) 2, gdzie z(t) = x(t) + y(t)i, λ = α + βi C Wykazać zachodzenie zjawiska bifurkacji Hopfa, gdy β 0 i α przekracza 0 R Naszkicować portret fazowy tego równania, gdy β = 0

4 4 Zadanie 26 Wykazać, że dla każdego z poniższych równań zachodzi zjawisko bifurkacji Hopfa dla pewnej wartości parametru α R : równanie Rayleigh a: ẍ(t) + ẋ(t) 3 2αẋ(t) + x(t) = 0, oscylator van der Pol a: ẍ(t) (α x(t) 2 )ẋ(t) + x(t) = 0, ẋ(t) = y(t) (3) przykład Bautina: ẏ(t) = x(t) + αy(t) + x(t) 2 + x(t)y(t) + y(t) 2, ẋ(t) = α(1 x(t)y(t) (4) model dyfuzji: 2 + A(y(t) 1)) ẏ(t) = x(t)y(t) 2 y(t) (5) ẍ(t) + (x(t) 2 α)) + 2x(t) + x 3 = 0 ẋ(t) = y(t) x(t)(x(t) Zadanie 27 Pokazać, że układ równań 2 + y(t) 2 1) ẏ(t) = x(t) y(t)(x(t) 2 + y(t) 2 ma niestabilny cykl graniczny Wskazówka: współrzędne 1) biegunowe Zadanie 28 Pokazać, że układ równań ẋ(t) = y(t) + x(t)(x(t) 2 + y(t) 2 1 1) sin x(t) 2 + y(t) 2 1 ẏ(t) = x(t) + y(t)(x(t) 2 + y(t) 2 1 1) sin x(t) 2 + y(t) 2 1 ma nieskończenie wiele cykli granicznych w otwartym dysku jednostkowym Zadanie 29 Znaleźć wszystkie cykle graniczne układu równań ẋ(t) Wskazać stabilne cykle graniczne = y(t) + x(t) sin( x(t) 2 + y(t) 2 ) ẏ(t) = x(t) + y(t) sin( x(t) 2 + y(t) 2 ) Zadanie 30 Pokazać, że równanie z(t) + (z(t) 2 + 2ż(t) 2 1)ż(t) + z(t) = 0 ma nietrywialne rozwiązanie okresowe ẋ(t) = y(t) x(t)(x(t) Zadanie 31 Pokazać, że układ równań 2 + y(t) 2 1) ẏ(t) = x(t) y(t)(x(t) 2 + y(t) 2 posiada 1) izolowane niestabilne rozwiązanie okresowe Zadanie 32 Zbadać istnienie cykli granicznych poniższego układu równań w zależności od ẋ(t) = y(t) + x(t)(µ x(t) parametru µ R : 2 y(t) 2 )(µ 2(x(t) 2 + y(t) 2 )) ẏ(t) = x(t) + y(t)(µ x(t) 2 y(t) 2 )(µ 2(x(t) 2 + y(t) 2 )) Naszkicować portrety fazowe tego układu dla µ 0 i µ > 0

5 5 Zadanie 33 Znaleźć wszystkie cykle graniczne w następujących układach równań: ẋ(t) = y(t) x(t)(x(t)2 + y(t) 2 2) x(t) 2 + y(t) 2 ẏ(t) = x(t) y(t)(x(t)2 + y(t) 2, 2) x(t) 2 + y(t) 2 ẋ(t) = x(t) x(t) 3 x(t)y(t) 2 ẏ(t) = y(t) y(t) 3 y(t)x(t) 2, ẋ(t) = y(t) + x(t)(x(t) (3) 2 + y(t) 2 1)(x(t) 2 + y(t) 2 2) ẏ(t) = x(t) + y(t)(x(t) 2 + y(t) 2 1)(x(t) 2 + y(t) 2 2), ẋ(t) = x(t)y(t) + x(t) cos(x(t) (4) 2 + y(t) 2 ) ẏ(t) = x(t) 2 + y(t) cos(x(t) 2 + y(t) 2 ) Zadanie 34 Zbadać istnienie cykli granicznych poniższego układu równań w zależności od parametru µ R : ẋ(t) = y(t) + x(t)(x(t) 2 + y(t) 2 µ)(2(x(t) 2 + y(t) 2 ) µ)(3(x(t) 2 + y(t) 2 ) µ) ẏ(t) = x(t) + y(t)(x(t) 2 + y(t) 2 µ)(2(x(t) 2 + y(t) 2 ) µ)(3(x(t) 2 + y(t) 2 ) µ) Naszkicować portrety fazowe tego układu dla µ 0 i µ > 0 Zadanie 35 Zbadać portrety fazowe poniższego układu równań w zależności od parametrów ẋ(t) = y(t) + x(t)(x(t) µ 1, µ 2 R : 2 + y(t) 2 1) 2 x(t)(µ 1 (x(t) 2 + y(t) 2 ) + µ 2 ) ẏ(t) = x(t) + y(t)(x(t) 2 + y(t) 2 1) 2 y(t)(µ 1 (x(t) 2 + y(t) 2 ) + µ 2 ) ẋ(t) = 1 x(t)y(t) Zadanie 36 Pokazać, że układ ẏ(t) = x(t) nie posiada trajektorii okresowych Zadanie 37 Rozważmy układ równań ẋ(t) = ωy(t) + x(t)(1 x(t) 2 y(t) 2 ) y(t)(x(t) 2 + y(t) 2 ) ẏ(t) = ωx(t) + y(t)(1 x(t) 2 y(t) 2 ) + x(t)(x(t) 2 + y(t) 2 ) K, gdzie K R Pokazać, że jeśli powyższy układ posiada trajektorię okresową w obszarze x 2 +y 2 > 1 2 to trajektoria ta powinna ograniczać obszar zawierający (0, 0) R 2 Zadanie 38 Niech f, g C 1 (R, R) Pokazać, że równanie ẍ(t) + f(x)ẋ(t) + g(x) = 0 nie ma rozwiązań okresowych w obszarze, na którym funkcja f ma stały znak różny od 0 Zadanie 39 Pokazać, że poniższe układy równań nie mają rozwiązań okresowych ẋ(t) = x(t)(y(t) 2 + 1) + y(t) ẏ(t) = (x(t) 2 + 1)(y(t) 2 + 1), ẋ(t) = x(t)(y(t) 2 + 1) + y(t) ẏ(t) = x(t) 2 y(t) + x(t) ṙ(t) = r(t)(1 r(t)) Zadanie 40 Rozwiązać układ z warunkiem r(t 0 ) = r 0, θ(t 0 ) = θ 0

6 6 Zadanie 41 Rozwiązać poniższe układy równań i znaleźć cykle graniczne ṙ(t) = r(t)(r(t) 1)(r(t) 2), ṙ(t) = r(t)(r(t) 1) 2 Zadanie 42 Naszkicować portrety fazowe poniższych układów w zależności od parametru < µ < + ṙ(t) = r(t) 2 (r(t) + µ), ṙ(t) = µr(t)(r(t) + µ) 2, ṙ(t) = r(t)(µ r(t))(µ 2r(t)) (3), ṙ(t) = r(t)(µ r(t) 2 ) (4) Zadanie 43 Stosując biegunową zamianę zmiennych znaleźć cykle graniczne w poniższych równaniach i zbadać ich stabilność ẋ(t) = y(t) + x(t)(1 x(t) 2 y(t) 2 ) ẏ(t) = x(t) + y(t)(1 x(t) 2 y(t) 2 ), ẋ(t) = x(t)(x(t) 2 + y(t) 2 1) y(t) x(t) 2 + y(t) 2 ẏ(t) = y(t)(x(t) 2 + y(t) 2 1) + x(t) x(t) 2 + y(t) 2 Zadanie 44 Pokazać, że rozwiązanie u 0 układu równań ẋ(t) = x(t)(x(t) 2 + y(t) 2 2) 4x(t)y(t) 2 ẏ(t) = 4x(t) 2 y(t) + y(t)(x(t) 2 + y(t) 2 2), jest asymptotycznie stabilne w sensie Lapunowa Wskazówka: wykazać, że funkcja V : R 2 R dana wzorem V (x, y) = x 2 + y 2 spełnia ostrą nierówność Lapunowa Zadanie 45 Zbadać stabilność położeń równowagi, w zależności od parametru λ R, następującego równania ẋ(t) = x(t)(9 λx(t))(λ + 2x(t) x(t) 2 )((λ 10) 2 + (y 3) 2 1) Ponadto narysować portret fazowy i wskazać wartości parametru λ przy których następuje zmiana stabilności położeń równowagi i ich liczby ẋ(t) = 2y(t) + y(t)z(t) Zadanie 46 Rozważmy układ równań ẏ(t) = x(t) x(t)z(t) oraz funkcję V : R 3 R ż(t) = x(t)y(t) daną wzorem V (x, y, z) = c 1 x 2 + c 2 y 2 + c 3 z 2, gdzie c 1, c 2, c 3 > 0 Opisać zbiór rozwiązań stacjonarnych tego układu Udowodnić, że rozwiązanie u 0 tego układu jest stabilne w sensie Lapunowa Czy można zastosować twierdzenie 275 do badania asymptotycznej stabilności rozwiązania u 0 tego układu? Wskazówka: dobrać współczynniki c 1, c 2, c 3 tak, żeby V była funkcja Lapunowa dla tego układu

7 7 Zadanie 47 Rozważmy układ równań ẋ(t) = 2y(t) + y(t)z(t) x(t) 3 ẏ(t) = x(t) x(t)z(t) y(t) 3 oraz funkcję V : ż(t) = x(t)y(t) z(t) 3 R 3 R daną wzorem V (x, y, z) = c 1 x 2 + c 2 y 2 + c 3 z 2 Udowodnić, że rozwiązanie u 0 tego układu jest asymptotycznie stabilne w sensie Lapunowa Czy można zastosować twierdzenie 275 z wykładu do badania asymptotycznej stabilności rozwiązania u 0 tego układu? Wskazówka: dobrać współczynniki c 1, c 2, c 3 tak, aby V była funkcją Lapunowa tego układu Zadanie 48 Stosując funkcję Lapunowa V (x, y, z) = x 2 +y 2 +z 2 udowodnić, że rozwiązanie u ẋ(t) = y(t) x(t)y(t) 2 x(t) 3 + z(t) 2 0 układu ẏ(t) = x(t) y(t) 3 + z(t) 3 jest asymptotycznie stabilne w ż(t) = x(t)z(t) x(t) 2 z(t) y(t)z(t) 3 z(t) 6 sensie Lapunowa Ponadto udowodnić, że rozwiązanie u 0 linearyzacji tego układu w punkcie stacjonarnym 0 R 3 jest stabilne w sensie Lapunowa, ale nie jest asymptotycznie stabilne Zadanie 49 Konstruując odpowiednią funkcję postaci V (x, y) = αx 3 + βx 2 y + γxy 2 + δy 3 ẋ = y 2 pokazać, że położenie równowagi (0, 0) równania ẏ = 2y 2 nie jest stabilne w sensie xy Lapunowa ẋ(t) = P (x(t), y(t)) Zadanie 50 Zbadać stabilność położeń równowagi układu ẏ(t) = Q(x(t), y(t)), gdzie P (x, y) = x 2 y 2 1, Q(x, y) = 2y, P (x, y) = y x 2 + 2, Q(x, y) = 2y 2 2xy, (3) P (x, y) = 4x 2y + 4, Q(x, y) = xy x 2 Zadanie 51 Wykazać, że każde niezerowe rozwiązanie równania ẋ(t) = x(t) jest nieograniczone i niestabilne w sensie Lapunowa Natomiast każde rozwiązanie równania ẋ = 1 jest nieograniczone i stabilne w sensie Lapunowa [ ] [ ] [ ] ẋ(t) 0 1 x(t) Zadanie 52 Rozważmy układ równań ( ) = + φ(x, y) Stosując ẏ(t) 1 0 y(t) funkcje Lapunowa V (x, y) = x 2 + y 2 udowodnić, że [ ] x jeżeli φ(x, y) = 3 xy 2 y 3 x 2, to rozwiązanie u 0 układu ( ) jest asymptotycznie y stabilne w sensie [ Lapunowa, ] x jeżeli φ(x, y) = 3 + xy 2 y 3 + x 2, to rozwiązanie u 0 układu ( ) jest niestabilne, y [ ] xy (3) jeżeli φ(x, y) =, to rozwiązanie u 0 układu ( ) jest stabilne w sensie Lapunowa, ale nie jest asymptotycznie stabilne

8 8 Zadanie 53 Niech f, g : R R będą wielomianami takimi, że f( x) = f(x) oraz g( x) = g(x) Pokazać, że równanie ẍ(t) + f(x(t))ẋ(t) + g(x(t)) = 0 jest równoważne układowi równań ẋ(t) = y(t) F (x(t)) x x ( ), gdzie F (x) = f(s)ds Zdefiniujmy G(x) = g(s)ds i załóżmy, że G(x) > 0 i g(x)f (x) > 0 (g(x)f (x) < 0) dla każdego x 0 Pokazać, że rozwiązanie ẏ(t) = g(x(t)) 0 0 u 0 układu ( ) jest asymptotycznie stabilne (niestabilne) w sensie Lapunowa Zadanie 54 Stosując odpowiednie funkcje Lapunowa zbadać stabilność położeń równowagi ẋ(t) = P (x(t), y(t)) układu równań ẏ(t) = Q(x(t), y(t)), gdzie P (x, y) = x + y + xy, Q(x, y) = x y x 2 y 2, P (x, y) = x 3y + x 3, Q(x, y) = x + y y 2, (3) P (x, y) = x 2y + xy 2, Q(x, y) = 3x 3y + y 3, (4) P (x, y) = 4y + x 2, Q(x, y) = 4x + y 2 Zadanie 55 Pokazać, że funkcja V (x, y) = x 2 + x 2 y 2 + y 4 jest funkcją Lapunowa dla układu ẋ(t) = 1 3x(t) + 3x(t) 2 + 2y(t) 2 x(t) 3 2x(t)y(t) 2 ẏ(t) = y(t) 2x(t)y(t) + x(t) 2 y(t) y(t) 3 Pokazać, że położenie równowagi (1, 0) jest asymptotycznie stabilne w sensie Lapunowa

5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu

5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5.1. Wstęp. Definicja 5.1. Niech V R 3 będzie obszarem oraz F : V R. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci Równanie

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet Mikołaja Kopernika Wydział Matematyki i Informatyki

Uniwersytet Mikołaja Kopernika Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika Wydział Matematyki i Informatyki Stabilność rozwiązań równań różniczkowych w ujęciu lokalnych układów dynamicznych. Adam Kanigowski Toruń 2010 1 Spis treści 1 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Wyznacz transformaty Laplace a poniższych funkcji, korzystając z tabeli transformat: a) 8 3e 3t b) 4 sin 5t 2e 5t + 5 c) e5t e

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie 2: Własności pola wskazujące na istnienie orbit

Twierdzenie 2: Własności pola wskazujące na istnienie orbit Cykle graniczne Dotychczas zajmowaliśmy się głównie znajdowaniem i badaniem stabilności punktów stacjonarnych. Wiele ciekawych procesów ma naturę cykliczną. Umiemy już sobie poradzić z cyklicznością występującą

Bardziej szczegółowo

2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych

2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych 2. Równania o rozdzielonych zmiennych 2 1 2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie różniczkowe

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego

Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 21 kwietnia 2016 Wstęp Definicja Równanie różniczkowe + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to

Bardziej szczegółowo

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego 5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =

Bardziej szczegółowo

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14

Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14 Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14 Metoda rozwiązywania (Jednorodne równanie różniczkowe liniowe rzędu n o stałych współczynnikach). gdzie a 0,..., a n 1 C. Wielomian charakterystyczny:

Bardziej szczegółowo

Równania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0

Równania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0 Równania różnicowe 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp Ponadto

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie wektorowe

Przestrzenie wektorowe Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie liniowe

Przestrzenie liniowe Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.

Bardziej szczegółowo

Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra

Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Uwarunkowanie zadania numerycznego Niech ϕ : R n R m będzie pewna funkcja odpowiednio wiele

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy

Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy Zadania z algebry liniowej - sem I Przestrzenie liniowe bazy rząd macierzy Definicja 1 Niech (K + ) będzie ciałem (zwanym ciałem skalarów a jego elementy nazywać będziemy skalarami) Przestrzenią liniową

Bardziej szczegółowo

Baza w jądrze i baza obrazu ( )

Baza w jądrze i baza obrazu ( ) Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i

Bardziej szczegółowo

Przekształcenia liniowe

Przekształcenia liniowe Przekształcenia liniowe Zadania Które z następujących przekształceń są liniowe? (a) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (2x, x x 2 ), (b) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (x + 3x 2, x 2 ), (c) T : R 2 R, T (x, x 2 )

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań.

Zestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań. Zestaw zadań : Sumy i sumy proste podprzestrzeni Baza i wymiar Rzędy macierzy Struktura zbioru rozwiązań układu równań () Pokazać, że jeśli U = lin(α, α,, α k ), U = lin(β, β,, β l ), to U + U = lin(α,

Bardziej szczegółowo

Formy kwadratowe. Rozdział 10

Formy kwadratowe. Rozdział 10 Rozdział 10 Formy kwadratowe Rozważmy rzeczywistą macierz symetryczną A R n n Definicja 101 Funkcję h : R n R postaci h (x) = x T Ax (101) nazywamy formą kwadratową Macierz symetryczną A występującą w

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania, seria 5.

Rozwiązania, seria 5. Rozwiązania, seria 5. 26 listopada 2012 Zadanie 1. Zbadaj, dla jakich wartości parametru r R wektor (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)} R 3? Rozwiązanie. Załóżmy, że (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)}.

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia

1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia 1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia Definicja wielomianu. Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję w określoną wzorem w(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, przy

Bardziej szczegółowo

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu 1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji c.d.-wykład 5 ( ) Funkcja logistyczna

Pochodna funkcji c.d.-wykład 5 ( ) Funkcja logistyczna Pochodna funkcji c.d.-wykład 5 (5.11.07) Funkcja logistyczna Rozważmy funkcję logistyczną y = f 0 (t) = 40 1+5e 0,5t Funkcja f może być wykorzystana np. do modelowania wzrostu masy ziaren kukurydzy (zmienna

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna

Geometria analityczna Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem

Bardziej szczegółowo

ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO EGZAMINU Z UKŁADÓW DYNAMICZNYCH

ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO EGZAMINU Z UKŁADÓW DYNAMICZNYCH ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO EGZAMINU Z UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Punkty okresowe, zbiory graniczne, sprzężenia Zadanie 1. Pokazać, że trajektoria (w przód) punktu x w przestrzeni metrycznej X pod działaniem ciągłego

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych.

Równania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. Równania różniczkowe. Lisa nr 2. Lieraura: N.M. Mawiejew, Meody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza Maemayczna w Zadaniach, część II 1. Znaleźć ogólną posać

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 II Geometria analityczna w R 2 4 III Liczby zespolone 5

Bardziej szczegółowo

Równania poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie = Rozwiąż układ równań: (( + 1 ( + 2 = = 1

Równania poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie  = Rozwiąż układ równań: (( + 1 ( + 2 = = 1 Równania poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie http://www.zadania.info/). Rozwiąż układ równań: (( + ( + 2 = 3 = 4. http://www.zadania.info/d38/2287 2. Rozwiąż układ równań: ( + 2 (

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe zwyczajne Zadania z odpowiedziami

Równania różniczkowe zwyczajne Zadania z odpowiedziami Równania różniczkowe zwyczajne Zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści strona główna I Równania pierwszego rzędu 2 1 o rozdzielonych zmiennych 2 2 jednorodne 4 3 liniowe 4 4 Bernoulliego 5

Bardziej szczegółowo

I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.

I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. Niech x 0 R i niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17 Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania z teorii liczb

Przykładowe zadania z teorii liczb Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę

Bardziej szczegółowo

Całki krzywoliniowe. SNM - Elementy analizy wektorowej - 1

Całki krzywoliniowe. SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej,

Bardziej szczegółowo

6 Układy równań różniczkowych. Równania wyższych rzędów.

6 Układy równań różniczkowych. Równania wyższych rzędów. Układy równań. Równania wyższych rzędów. 6 1 6 Układy równań różniczkowych. Równania wyższych rzędów. 6.1 Podstawowe pojęcia dla układów równań różniczkowych zwyczajnych Definicja. Układem n równań różniczkowych

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe zwyczajne

1 Równania różniczkowe zwyczajne Równania różniczkowe zwyczajne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe Równaniem

Bardziej szczegółowo

Wstęp do równań różniczkowych, studia I stopnia. 1. Znaleźć (i narysować przykładowe) rozwiązania ogólne równania y = 2x.

Wstęp do równań różniczkowych, studia I stopnia. 1. Znaleźć (i narysować przykładowe) rozwiązania ogólne równania y = 2x. Wstęp do równań różniczkowych, studia I stopnia 1. Znaleźć (i narysować przykładowe) rozwiązania ogólne równania y = 2x. 2. Znaleźć wszystkie (i narysować przykładowe) rozwiązania równania y + 3 3 y 2

Bardziej szczegółowo

Praca domowa - seria 6

Praca domowa - seria 6 Praca domowa - seria 6 28 grudnia 2012 Zadanie 1. Znajdź bazę jądra i obrazu przekształcenia liniowego φ : R 4 wzorem: R 3 danego φ(x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (x 1 +2x 2 x 3 +3x 4, x 1 +x 2 +2x 3 +x 4, 2x

Bardziej szczegółowo

Wykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0}

Wykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0} Wykład 5 Niech f : V W będzie przekształceniem liniowym przestrzeni wektorowych Wtedy jądrem przekształcenia nazywamy zbiór tych elementów z V, których obrazem jest wektor zerowy w przestrzeni W Jądro

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie IV. Dany jest prostokątny arkusz kartony o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe

Bardziej szczegółowo

Granica funkcji. 8 listopada Wykład 4

Granica funkcji. 8 listopada Wykład 4 Granica funkcji 8 listopada 2011 Definicja Niech D R będzie dowolnym zbiorem. Punkt x 0 R nazywamy punktem skupienia zbioru D jeżeli δ>0 x D\{x0 } : x x 0 < δ. Zbiór punktów skupienia zbioru D oznaczamy

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje Definicja 1. Mówimy że: liczba m Z jest dzielnikiem liczby n Z gdy istnieje l Z takie że n = l m. Zapisujemy to symbolem m n; liczba m Z jest wspólnym

Bardziej szczegółowo

Stabilność. Krzysztof Patan

Stabilność. Krzysztof Patan Stabilność Krzysztof Patan Pojęcie stabilności systemu Rozważmy obiekt znajdujący się w punkcie równowagi Po przyłożeniu do obiektu siły F zostanie on wypchnięty ze stanu równowagi Jeżeli po upłynięciu

Bardziej szczegółowo

Układ regulacji automatycznej (URA) kryteria stabilności

Układ regulacji automatycznej (URA) kryteria stabilności Układ regulacji automatycznej (URA) kryteria stabilności y o e G c (s) z z 2 u G o (s) y () = () ()() () H(s) oraz jego wartością w stanie ustalonym. Transmitancja układu otwartego regulacji: - () = ()

Bardziej szczegółowo

R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} },

R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, nazywa- Definicja 1. Przestrzenią liniową R n my zbiór wektorów R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, z określonymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia wektorów przez liczby rzeczywiste.

Bardziej szczegółowo

Kurs Start plus poziom zaawansowany, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1.

Kurs Start plus poziom zaawansowany, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1. Projekt Fizyka Plus nr POKL.04.0.0-00-034/ współfinansowany przez Unię Europejską ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Kurs Start plus poziom zaawansowany,

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 3 Jacek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 6 Różniczkowanie funkcji rzeczywistej 1. Pocodna funkcji W tym rozdziale rozważać będziemy funkcje rzeczywiste określone w pewnym przedziale

Bardziej szczegółowo

Podstawy robotyki wykład V. Jakobian manipulatora. Osobliwości

Podstawy robotyki wykład V. Jakobian manipulatora. Osobliwości Podstawy robotyki Wykład V Jakobian manipulatora i osobliwości Robert Muszyński Janusz Jakubiak Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki Politechnika Wrocławska Metoda bezpośrednia uzyskania macierzy

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści 0 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 2 1 Geometria analityczna w R 2 3 3 3 2 Liczby zespolone 4 4 4 3

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie spektralne

Twierdzenie spektralne Twierdzenie spektralne Algebrę ograniczonych funkcji borelowskich na K R będziemy oznaczać przez B (K). Spektralnym rozkładem jedności w przestrzeni Hilberta H nazywamy odwzorowanie, które każdemu zbiorowi

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. Wykład 2 - podstawy matematyczne. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

Podstawy Automatyki. Wykład 2 - podstawy matematyczne. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki Wykład 2 - podstawy matematyczne Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Rzeczywiste obiekty regulacji, a co za tym idzie układy regulacji, mają właściwości nieliniowe, n.p. turbulencje, wiele

Bardziej szczegółowo

Jakobiany. Kinematykę we współrzędnych możemy potraktować jako operator przekształcający funkcje czasu

Jakobiany. Kinematykę we współrzędnych możemy potraktować jako operator przekształcający funkcje czasu Wstęp do Robotyki c W. Szynkiewicz, 29 1 Jakobiany Kinematykę we współrzędnych możemy potraktować jako operator przekształcający funkcje czasu ( t )z(t)=k(x(t)) Ponieważ funkcje w powyższym równaniu są

Bardziej szczegółowo

Regulator liniowo kwadratowy na przykładzie wahadła odwróconego

Regulator liniowo kwadratowy na przykładzie wahadła odwróconego Regulator liniowo kwadratowy na przykładzie wahadła odwróconego kwiecień 2012 Sterowanie Teoria Przykład wahadła na wózku Dany jest system dynamiczny postaci: ẋ = f (x, u) (1) y = h(x) (2) Naszym zadaniem

Bardziej szczegółowo

Efekt motyla i dziwne atraktory

Efekt motyla i dziwne atraktory O układzie Lorenza Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja kopernika Toruń, 3 grudnia 2009 Spis treści 1 Wprowadzenie Wyjaśnienie pojęć 2 O dziwnych atraktorach 3 Wyjaśnienie pojęć Dowolny

Bardziej szczegółowo

Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych

Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych Matematyka stosowana Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych Henryk Żołądek zoladek@mimuw.edu.pl Uniwersytet Warszawski, 2011 Streszczenie. Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych

Bardziej szczegółowo

Granica funkcji. 16 grudnia Wykład 5

Granica funkcji. 16 grudnia Wykład 5 Granica funkcji 16 grudnia 2010 Tw. o trzech funkcjach Twierdzenie Niech f, g, h : R D R będa funkcjami takimi, że lim f (x) = lim h(x), x x 0 x x0 gdzie x 0 D. Jeżeli istnieje otoczenie punktu x 0 w którym

Bardziej szczegółowo

Stochastyczne równania różniczkowe, studia II stopnia

Stochastyczne równania różniczkowe, studia II stopnia Stochastyczne równania różniczkowe, studia II stopnia Niech W t (ewentualnie W, W (t)), t oznacza proces Wienera oraz niech W = Niech W = (W, W 2,, W n ) oznacza n-wymiarowy proces Wienera Pokazać, że

Bardziej szczegółowo

RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych

RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych wyliczamy według wzoru (x, x 2,..., x n ) f(x, x 2,..., x n )

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna część 5

Analiza Matematyczna część 5 [wersja z 14 V 6] Analiza Matematyczna część 5 Konspekt wykładu dla studentów fizyki/informatyki Akademia Świętokrzyska 5/6 Wojciech Broniowski 1 Równania różniczkowe Definicje, klasyfikacja Równanie różniczkowe

Bardziej szczegółowo

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008 Zajęcia fakultatywne z matematyki 008 WYRAŻENIA ARYTMETYCZNE I ALGEBRAICZNE. Wylicz b z równania a) ba + a = + b; b) a = b ; b+a c) a b = b ; d) a +ab =. a b. Oblicz a) [ 4 (0, 5) ] + ; b) 5 5 5 5+ 5 5

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

0.1 Pierścienie wielomianów

0.1 Pierścienie wielomianów 0.1 Pierścienie wielomianów Zadanie 1. Znaleźć w pierścieniu Z 5 [X] drugi wielomian określający tę samą funkcję, co wielomian X 2 X + 1. (Odp. np. X 5 + X 2 2X + 1). Zadanie 2. Znaleźć sumę i iloczyn

Bardziej szczegółowo

Granica funkcji. 27 grudnia Granica funkcji

Granica funkcji. 27 grudnia Granica funkcji 27 grudnia 2011 Punkty skupienia Definicja Niech D R będzie dowolnym zbiorem. Punkt x 0 R nazywamy punktem skupienia zbioru D jeżeli δ>0 x D\{x0 } : x x 0 < 0. Zbiór punktów skupienia zbioru D oznaczamy

Bardziej szczegółowo

22. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA

22. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA CAŁA RZYWOLINIOWA SIEROWANA Niech łuk o równaniach parametrycznych: x x(t), y y(t), a < t < b, będzie łukiem regularnym skierowanym, tzn łukiem w którym przyjęto punkt A(x(a), y(a)) za początek łuku, zaś

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 14 Formy kwadratowe I

Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wielomian n-zmiennych x 1,, x n postaci n a ij x i x j, (1) gdzie a ij R oraz a ij = a ji dla wszystkich i, j = 1,, n nazywamy forma kwadratowa n-zmiennych Forme (1) można

Bardziej szczegółowo

Wykład Analiza jakościowa równań różniczkowych

Wykład Analiza jakościowa równań różniczkowych Na podstawie książki J. Rusinka, Równania różniczkowe i różnicowe w zarządzaniu, Oficna Wdawnicza WSM, Warszawa 2005. 21 maja 2012 Definicja Stabilność Niech = F (x, ) będzie równaniem różniczkowm. Rozwiązanie

Bardziej szczegółowo

7. Funkcje elementarne i ich własności.

7. Funkcje elementarne i ich własności. Misztal Aleksandra, Herman Monika 7. Funkcje elementarne i ich własności. Definicja funkcji elementarnej Podstawowymi funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje: stałe potęgowe, np. wykładnicze logarytmiczne

Bardziej szczegółowo

11 Równania różniczkowe cząstkowe. Równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu.

11 Równania różniczkowe cząstkowe. Równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu. Równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu 11 1 11 Równania różniczkowe cząstkowe. Równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu. 11.1 Równania różniczkowe cząstkowe. Definicje i oznaczenia. Równaniem

Bardziej szczegółowo

Tematyka egzaminu z Podstaw sterowania

Tematyka egzaminu z Podstaw sterowania Tematyka egzaminu z Podstaw sterowania Rafał Trójniak 6 września 2009 Spis treści 1 Rozwiązane tematy 1 1.1 Napisać równanie różniczkowe dla zbiornika z odpływem grawitacyjnym...............................

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y +x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe drugiego rzędu

1 Równania różniczkowe drugiego rzędu Równania różniczkowe drugiego rzędu Najpierw zajmiemy się równaniami różniczkowymi rzędu drugiego, w których y nie występuje w sposób jawny, tzn. F (x, y, y ) = 0 (.) Równanie takie rozwiązujemy poprzez

Bardziej szczegółowo

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego. . Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21

Bardziej szczegółowo

czyli o szukaniu miejsc zerowych, których nie ma

czyli o szukaniu miejsc zerowych, których nie ma zerowych, których nie ma Instytut Fizyki im. Mariana Smoluchowskiego Centrum Badania Systemów Złożonych im. Marka Kaca Uniwersytet Jagielloński Metoda Metoda dla Warszawa, 9 stycznia 2006 Metoda -Raphsona

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania wybranych zadań z równań różniczkowych. mgr inż. Piotr Kowalski

Rozwiązania wybranych zadań z równań różniczkowych. mgr inż. Piotr Kowalski Rozwiązania wybranych zadań z równań różniczkowych mgr inż. Piotr Kowalski 9 grudnia 03 Wersje numer data autor opis 0. 3.03.03 Piotr Kowalski Rozwiązanie równania jednorodnego z zajęć (wykryty błąd na

Bardziej szczegółowo

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych

Bardziej szczegółowo

1 Elementy logiki i teorii mnogości

1 Elementy logiki i teorii mnogości 1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

Elementy równań różniczkowych cząstkowych

Elementy równań różniczkowych cząstkowych Elementy równań różniczkowych cząstkowych Magdalena Jakubek kwiecień 2016 1 Równania różniczkowe cząstkowe Problem brzegowy i problem początkowy Klasyfikacja równań Rodzaje warunków brzegowych Najważniejsze

Bardziej szczegółowo

1 Ciągłe operatory liniowe

1 Ciągłe operatory liniowe 1 Ciągłe operatory liniowe Załóżmy, że E, F są przestrzeniami unormowanymi. Definicja 1.1. Operator liniowy T : E F nazywamy ograniczonym, jeżeli zbiór T (B) F jest ograniczony dla dowolnego zbioru ograniczonego

Bardziej szczegółowo

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski Uniwersytet Śląski 23 marca 2012 Ciało liczb zespolonych Rozważmy zbiór C = R R, czyli C = {(x, y) : x, y R}. W zbiorze C definiujemy następujące działania: dodawanie: mnożenie: (a, b) + (c, d) = (a +

Bardziej szczegółowo

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych, IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy

Bardziej szczegółowo

Pochodne. Zbigniew Koza. Wydział Fizyki i Astronomii

Pochodne. Zbigniew Koza. Wydział Fizyki i Astronomii Pochodne Zbigniew Koza Wydział Fizyki i Astronomii Wrocław, 2015 MOTYWACJA Rozpatrzmy gładką funkcję np. y x = x 2 w okolicach punktu (1,1) x 0 = 1, y 0 = f x 0 = 1 powiększmy wykres wokół (x 0, f(x 0

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

Całki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej

Całki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Definicja całki podwójnej Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 25 maja 2016 Definicja całki podwójnej Załóżmy, że f : K R, gdzie K = a, b c, d R 2, jest funkcją ograniczoną. Niech x 0, x 1,...,

Bardziej szczegółowo

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0. 5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,

Bardziej szczegółowo

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x Arkusz I Zadanie. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie x + 3 x 4 x 7. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) x + 3 oraz g ( x) x 4 uwzględniając tylko ich miejsca zerowe i monotoniczność w ten sposób znajdziemy

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem

Bardziej szczegółowo

Wykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2

Wykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 Wykład 16 Geometria analityczna Przegląd wiadomości z geometrii analitycznej na płaszczyźnie rtokartezjański układ współrzędnych powstaje przez ustalenie punktu początkowego zwanego początkiem układu współrzędnych

Bardziej szczegółowo

Ekstrema globalne funkcji

Ekstrema globalne funkcji SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 9, 2013-12-13 Ekstrema globalne funkcji Definicja: Funkcja f : D R ma w punkcie x 0 D minimum globalne wtedy i tylko (x D) f(x) f(x 0 ). Wartość f(x 0 ) nazywamy wartością

Bardziej szczegółowo

System BCD z κ. Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna. Semestr letni 2009/10

System BCD z κ. Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna. Semestr letni 2009/10 System BCD z κ Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna Semestr letni 2009/10 Rozważamy system BCD ze stałą typową κ i aksjomatami ω κ κ i κ ω κ. W pierwszej części tej notatki

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie wykładników Lapunowa do badania stabilności sieci elektroenergetycznej

Zastosowanie wykładników Lapunowa do badania stabilności sieci elektroenergetycznej Zastosowanie wykładników Lapunowa do badania stabilności sieci elektroenergetycznej dr inż. Olgierd Małyszko Katedra Elektroenergetyki i Napędów Elektrycznych, Wydział Elektryczny Zachodniopomorski Uniwersytet

Bardziej szczegółowo

Wielomiany podstawowe wiadomości

Wielomiany podstawowe wiadomości Rozdział Wielomiany podstawowe wiadomości Funkcję postaci f s = a n s n + a n s n + + a s + a 0, gdzie n N, a i R i = 0,, n, a n 0 nazywamy wielomianem rzeczywistym stopnia n; jeżeli współczynniki a i

Bardziej szczegółowo

Systemy. Krzysztof Patan

Systemy. Krzysztof Patan Systemy Krzysztof Patan Systemy z pamięcią System jest bez pamięci (statyczny), jeżeli dla dowolnej chwili t 0 wartość sygnału wyjściowego y(t 0 ) zależy wyłącznie od wartości sygnału wejściowego w tej

Bardziej szczegółowo