Równanie Laplace a i Poissona

Transkrypt

1 SPIS TREŚCI Równnie Lplce i Poisson Spis treści Przykłdowe rozwiązni Zestw zdń do ćwiczeni smodzielnego 9

2 Przykłdowe rozwiązni Przykłdowe rozwiązni Njprostszym przykłdem równni eliptycznego jest równnie Lplce : u =, gdzie = n i= x i jest opertorem Lplce. Zdnie.. Znleźć rozwiznie u(r, ϕ) równni Lplce wewntrz pierścieni < r < b, spełnijce wrunki brzegowe: u(, ϕ) = A, u(b, ϕ) = B sin ϕ. Mmy wi ec równnie f (x, y) =z wrunkmi n zmienne r i ϕ : u(, ϕ) = A, u(b, ϕ) = B sin ϕ, gdzie ϕ, π, r (, b). Poniewż rozwiznie musi być okresowe o okresie π, wiecnleży dołożyć jeszcze wrunek pocztkowy u(r,)=u(r,π) =, ntomist wrunki zgodności wymuszj, bya =. Równnie f xx + f yy =trzeb zpisć w zmiennych r i ϕ, ztem robimy zmine zmiennych n współrzedne biegunowe x = r cos ϕ, y = r sin ϕ. Wtedy r = x + y i ϕ =rcsin y. St d x +y u(r, ϕ) =u ( x + y,rcsin y x + y ) = f (x, y). Liczymy odpowiednie pochodne: f xx = u rr cos ϕ + u rϕ ( r f yy = u rr sin ϕ + u rϕ ( r sin ϕ cos ϕ ) ) sin ϕ sin ( ) ϕ sin ϕ cos ϕ + u ϕϕ + u r r + u ϕ r r sin ϕ cos ϕ, + u ϕϕ cos ϕ r + u r cos ϕ r i wstwimy je do równni, gdzie po odpowiedniej redukcji dostjemy: + u ϕ ( r sin ϕ cos ϕ ) u rr + r u ϕϕ + r u r = ()

3 Przykłdowe rozwiązni 3 z wrunkmi u(, ϕ) = A, u(b, ϕ) = B sin ϕ, u(r, ) = u(r, π) =. () Rozwizni poszukujemy terz metod rozdzielni zmiennych: u(r, ϕ) =v(ϕ)w(r). Po odpowiednim zróżniczkowniu i wstwieniu do () dostjemy: v(ϕ)w (r)+ r v (ϕ)w(r)+ r v(ϕ)w (r) =, czyli v (ϕ) v(ϕ) = λ = w (r)+ w (r) r r. w(r) Z pierwszej cześci tej równości dostjemy równnie v (ϕ) λv(ϕ) = z wrunkmi v() = v(π) =.Wtedy rozwizni v mj postć v k (ϕ) =A k sin λ k ϕ + B k cos λ k ϕ, z wrunków B k =,co implikuje, że λ k = k s cigiem wrtości włsnych i odpowidj im funkcje v k (ϕ) =sinkϕ, gdzie k =,,.... Ztem terz u(r, ϕ) = w k (r)sinkϕ wstwimy do równni () i dostjemy w k (r)sinkϕ r k w k (r)sinkϕ + r w k(r)sinkϕ =. Porównujemy terz te szeregi wyrz po wyrzie, dostjc: r w k (r)+rw k(r) k w k (r) =, które jest równniem Euler. Przy tego typu równniu (nie m stłych współczynników) poszukujemy rozwizni w postci: w k (r) =r γ. Wtedy w k (r) =γr γ i w k (r) =γ(γ )r γ. Po wstwieniu do równni Euler mmy r γ(γ )r γ + rγr γ k r γ =. Wykonujemy redukcje i osttecznie mmy równnie n stł γ : γ k =,czyli γ = ±k. Std rozwizniem jest w k (r) = k r k + b k r k.

4 Przykłdowe rozwiązni 4 Skorzystmy terz z wrunków () dl u(r, ϕ) : =u(, ϕ) = w k ()sinkϕ = w k () =, k =,,..., B sin ϕ = u(b, ϕ) = w k (b)sinkϕ = w k (b) =, k, w (b) =B. Z wyznczonych wrunków znjdziemy stłe k i b k. Mmy dl k : k k + b k k =, k b k + b k b k =, czyli k = b k =,poniewż wyzncznik tego ukłdu jest niezerowy, orz z + b = B, b + b b =, dostjemy Podsumujmy wi ec, że idlpozostłychk : = Bb b 4 4, w (r) = b = 4 b B b 4 4. ( ) Bb r 4 b 4 4 r w k (r). Ztem w rozwizniu u szereg redukuje sie do tylko jednego wyrzu, czyli ( ) u(r, ϕ) = Bb r 4 sin ϕ b 4 4 r ijesttorozwiznie klsyczne. Wykres rozwiązni - widok nturlny

5 Przykłdowe rozwiązni ) b) 6 5 t3 4..4r.6.8 c) Wykres rozwiązni we współrzędnych: ) sferycznych, b) wlcowych, c) krtezjńskich Zdnie.. Rozwizć równnie Lplce u xx + u yy = wprostokcie < x <, < y < b z wrunkmi: u (, t) =u (, t) =, (3) u (x,)=f (x), u (x, b) =g (x). (4) Wrunki zgodności wymgj, byzłożyćf () = g () = i f () =g () =. Funkcji u szukmy metod Fourier. Przypuśćmy, że rozwiznie istnieje i m postć: u (x, y) = k v k (x) w k (t). Jeżeli kżdy skłdnik tej sumy spełni równnie różniczkowe, to: v k (x) w k (t)+v k (x) w k (t) =, (5) czyli v k (x) v k (x) = w k (t) w k (t) =: λ k,

6 Przykłdowe rozwiązni 6 gdzie λ k jest stł. Jeślizżdmy z kolei, by kżdy skłdnik sumy spełnił wrunki (3), to: v k () w k (t) ==v k () w k (t), czyli funkcj v k musi być rozwizniem nstepuj cego zgdnieni: v k (x) λ kv k (x) =, v k () = v k () =. (6) Łtwo zuwżyć, że dl λ mmy tylko trywilne rozwizni równni (6). Złóżmy wiec, że λ k <. Wtedy: v k (x) =C cos λ k x + C sin λ k x. Poniewż v k () =, toc =zwrunku v k () =dostjemy C sin λ k =,czyli λ k =, k Z. Osttecznie dl λ k = ( ), k Z, funkcje vk (x) =sin x s nietrywilnymi rozwiznimi (6). Z równni (6) wynik terz, że: ( ) sin xw k (t)+sin w k (t) ( ) w k (t) =. xw k (t) =, Rozwiżemy osttnie równnie. Niech w k (t) =e α k t,tow k (t) =α k eα k t i α k eα k t ( ) e αkt =, α k = ( ), α k = ±. Ztem w k (t) =c k e t + d k e t. Std rozwizniem równni jest u (x, t) = sin x ( c k e t + d k e t). (7) Wystrczy znleźć jeszcze stłe c k i d k. Wyznczmy je, wykorzystujc wrunki brzegowe (4): f (x) =u (x,)= sin x (c k + d k ), (8)

7 Przykłdowe rozwiązni 7 g (x) =u (x, b) = sin x ( c k e b ) + d k e b. (9) Std wniosek,żec k + d k s współczynnikmi rozwinieć w szereg Fourier wzgledem sin x funkcji f,c k e b + d k e b s współczynnikmi dl rozwinieci funkcji g: c k + d k = f (x)sin x dx =: F, Mmy wi ec: Łtwo wyliczyć, że: czyli c k e b c k = c k = + d k e b d k = b Fe e b = c k + d k = F, c k e b G e b [ f (x) e b g (x)sin + d k e b = G., d k = [ g (x) f (x) e b e b Fe b x dx =: G. e b g (x) ] sin x dx sinh b, ] sin x dx sinh b. Zuwżmy, że funkcji hiperbolicznych możn użyć już wcześniej, w postci u (7): u (x, t) = sin ( τ= x c k cosh t + d k sinh ) t i wtedy rchunki s łtwiejsze, gdyż z wrunków brzegowych (4) mmy terz: f (x) =u (x,)= sin x c k, g (x) =u (x, b) = sin ( x c k cosh b + d k sinh b ). Korzystjc zrozwinieci f i g w szereg Fourier, otrzymujemy: c k = sin xdx, i czyli c h cosh b + d k sinh b = g (x)sin sdx, d k sinh b = g (x)sin xdx c k cosh b = = g (x)sin xdx b cosh f (x)sin xdx=

8 Przykłdowe rozwiązni 8 [ = dl k =,,3,... Jeśli ntomist rozwiznie u w (7) zpiszemy jko: g (x) cosh b f (x) u (x, t) = sin (ĉ x k sinh [ ] (t b) sinh xdx, ] + ˆd k sinh t ), () to z wrunków brzegowych (4) mmy: f (x) =u (x,)= sin x ĉ k sinh ( ) b, () g (x) =u (x, b) = sin x ˆd k sinh Korzystjc znowu z rozwinieci f i g w szereg Fourier, mmy: ĉ k = ( ) b. () f (x)sin xdx sinh (, (3) b) ˆd k = g (x)sin xdx sinh ( (4) b) dl k =,,... Równni (3) i (4) s njcześciej spotykne w literturze, std zpiszemy rozwiznie u w postci (), gdzie ĉ k i ˆdk s wyrżone równnimi (3) i (4). Zstnówmy sie terz nd różniczkowniem szeregu: u k (x, t) = sin [ ] (ĉ x k sinh (t b) + ˆd k sinh ) t wyrz po wyrzie. Złóżmy, że mmy oszcownie n cłki: (5) f (x) dx m i g (x) dx m dl pewnej stłej m. Zuwżmy też,że dl x. Std dostjemy: sinh ĉk [ sinh x = ( e x e ) x ex ] sin (t b) f (x) x sinh [ dx sinh ( b) (t b)] e m e (t b) e (t b) b e b = e m (b t) e (b t) ( ) e b e b m e (b t) ( ) = e b e b

9 Zestw zdń do ćwiczeni smodzielnego 9 = m e t. e b Podobne oszcownie dostjemy dl ˆd k : ˆd k sinh t sin g (x) x sinh dx t sinh ( b) e m t e t e b e b m e t e b e b e ( b e b) = Ztem wyrzy szeregu (5) możemy oszcowć: u k (x, t) m t e e b + m e (b t) e b m e t e b e = m = e (b t). b b m e b e ( e t + e (b t)), czyli u k (x, t) jest ogrniczone przez funkcje mlejce w sposób wykłdniczy dl dużych k, wotwrtym przedzile < t < b (dl t =nie m tkiego oszcowni przy ĉ k, dlt = b przy d k ). Std szereg (5) może być różniczkowny wyrz po wyrzie tyle rzy, ile zżdmy dl t (, b) i u(x, y) bedzie spełnić równnie Lplce i wrunki (3). Aby móc twierdzić, że rozwiznie u(x, t) jest cigłe dl t b i spełni wrunki (4), musimy wiedzieć, że szeregi () i () s jednostjnie zbieżne dl x,. Ale tk jest dl złożonych n pocztku f () = g() = f () =g() =, dodtkowej cigłości f (x) i g(x) orz f (x) i g (x) kwłkmi cigłych dl x,. Zestw zdń do ćwiczeni smodzielnego. Znleźć funkcje hrmoniczne u(r, ϕ) wewn trz pierścieni < r < b, spełnij ce odpowiednie wrunki brzegowe: (i) u(, ϕ) =, u(b, ϕ) =cosϕ, (ii) u r (, ϕ) =q cos ϕ, u(b, ϕ) =Q + T sin ϕ.. Znleźć funkcje hrmoniczne w wycinku kołowym < r < R, < ϕ < α, spełnij ce odpowiednie wrunki brzegowe: (i) u(r,)=u(r, α) =, u(r, ϕ) =Aϕ, (ii) u(r,)=u(r, α) =, u(r, ϕ) =f (ϕ). 3. Znleźć rozwi zni u(x, y) równni Lplce w prostok cie < x < p, < y < s spełnij ce odpowiednie wrunki brzegowe:

10 Zestw zdń do ćwiczeni smodzielnego (i) u(, y) =u x (p, y) =, u(x,)=, u(x, s) =f (x), (ii) u x (, y) =u x (p, y) =, u(x,)=a, u(x, s) =Bx, (iii) u(, y) =U, u x (p, y) =, u y (x,)=t sin πx, u(x, s) =. p (Wsk. W rozwi zniu pojwi siȩfunkcje: sinus hiperboliczny i cosinus hiperboliczny.) 4. Znleźć rozwi zni u(x, y) równni Lplce w półpsie < x <, < y < l spełnij ce odpowiednie wrunki brzegowe: (i) u(x,)=u y (x, l) =, u(, y) =f (y), lim x u(x, y) =, (ii) u y (x,)=u y (x, l)+hu(x, l) =,gdzie h >, u(, y) =f (y), lim x u(x, y) =. 5. Podć postć opertor Lplce : (i) we współrzędnych wlcowych x = r cos φ, y = r sin φ, z = z, (ii) w spłszczonych współrzędnych sferycznych: x = ξη sin φ, y = (ξ )( η ), z = ξη cos φ. 6. Niech funkcj u = u(x, x,..., x n ) będzie hrmoniczn. Zbdć, czy funkcj (i) u(cx) dl C będącej mcierzą ortogonlną stłą, (ii) u(x + h) dl h =(h, h,..., h n ) będącego wektorem stłym jest hrmoniczn. 7. Czy funkcj hrmoniczn w otwrtym i ogrniczonym zbiorze D, różn od stłej, może w tym zbiorze osigć swoje minimum? Odpowiedź uzsdnić. 8. Czy funkcj hrmoniczn i ogrniczon w R n może zmienić znk? Odpowiedź uzsdnić. 9. Czy funkcj hrmoniczn w R n,różnodstłej,możezchowywć znk? Odpowiedź uzsdnić.. Pokzć, że dl funkcji Φ będącej rozwiązniem podstwowym równni Lplce zchodzi oszcownie DΦ(x) C x n dl x R n i x, w przypdku n =lub n =3.. Pokzć, że dl funkcji Φ będącej rozwiązniem podstwowym równni Lplce zchodzi oszcownie D Φ(x) C x n

11 BIBLIOGRAFIA dl x R n i x, w przypdku n =.. Sprwdzić, że w przypdku n =funkcją Green dl kuli jednostkowej B(, ) jest G(x, y) :=Φ(y x) Φ( x (y x)) dl x y, gdzieφ jest rozwiązniem fundmentlnym, x jest punktem sprzężonym do x względem powierzchni B(, ). Bibliogrfi [] W. I. Arnold, Metody mtemtyczne mechniki klsycznej, PWN, Wrszw 98. [] W. I. Arnold, Równni różniczkowe zwyczjne, PWN, Wrszw 975. [3] W. I. Arnold, Teori równń różniczkowych, PWN, Wrszw 983. [4] A. W. Bicdze, Równni fizyki mtemtycznej, PWN, Wrszw 984. [5] A. W. Bicdze, D. F. Kliniczenko, Zbiór zdń z równń fizyki mtemtycznej, PWN, Wrszw 984. [6] P. Biler Prof. dr hb.- redkcj nukow, Wrsztty z równń różniczkowych czstkowych, Toruń 3. [7] Birkholc A. Anliz mtemtyczn. Funkcje wielu zmiennych, Wydwnictwo Nukowe PWN, Wrszw. [8] D. Bleecker, G. Csords, Bsic Prtil Differentil Equtions, Chpmn & Hll, Oxford 995. [9] L. Evns, Równni różniczkowe czstkowe, PWN, Wrszw. [] Fichtenholz G.M. Rchunek różniczkowy i cłkowy, PWN, Wrszw 98. [] J. Jost, Postmodern Anlysis, Springer-Verlg,Berlin-Heidelberg-New York. [] W. Kołodziej, Wybrne rozdziły nlizy mtemtycznej, PWN, Wrszw 98. [3] H. Mrcinkowsk, Wstep do teorii równń różniczkowych czstkowych, PWN, Wrszw 97. [4] J. Musielk, Wst ep do nlizy funkcjonlnej, PWN, Wrszw 976. [5] Ockendon J., Howison S., Lcey A., Movxhn A., Applied Prtil Differentil Equtions, Oxford University Press, 3. [6] J. Ombch, Wykłdy z równń różniczkowych wspomgne komputerowo -Mple, Wydwnictwo Uniwersytetu Jgiellońskiego, Krków 999. [7] B. Przerdzki, Równni różniczkowe czstkowe. Wybrne zgdnieni, Wydwnictwo Uniwersytetu Łódzkiego, Łódź.

12 BIBLIOGRAFIA [8] B. Przerdzki, Teori i prktyk równń różniczkowych zwyczjnych, Wydwnictwo Uniwersytetu Łódzkiego, Łódź 3. [9] M. M. Smirnow, Zdni z równń różniczkowych czstkowych, PWN, Wrszw 97. [] P. Strzelecki, Krótkie wprowdzenie do równń różniczkowych czstkowych, Wydwnictwo Uniwersytetu Wrszwskiego, Wrszw 6. [] B. W. Szbt, Wstęp do nlizy zespolonej, PWN, Wrszw 974. [] Whithm G.B., Lecture notes on wve propgtion, Springer-Verlg, Berlin-Heidelberg-New York 979. [3] Zuderer, Prtil Differentil Equtions of Applied Mthemthics, John Wiley & Sons, Singpore-New York- Chichester-Brisbne-Toronto 989.