Matematyka. Poziom rozszerzony Próbna Matura z OPERONEM. Modelowe etapy rozwiązywania zadania

Transkrypt

1 KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Mtemtyk Poziom rozszerzony Mrzec 09 Zdni zmknięte Z kżdą poprwną odpowiedź zdjący otrzymuje punkt. Poprwn odpowiedź Wskzówki do rozwiązni. C Obliczenie wrtości funkcji: f( x)= x x dl x = m + i x = m. Stąd powstje równość: ( m+ ) ( m+ )= ( m) m, którą nstępnie nleży przeksztłcić równowżnie: m + m+ m = m m m 7m + = 0. Rozwiąznimi osttniej równości są liczby i. Ztem + =.. D Skoro,tg x,tg x jest ciągiem geometrycznym, to tg tg = x. Stąd zś: x tg x tg x+ = 0. Ztem ( tg x ) = 0, czyli tg x =, więc x = p.. B Nleży zuwżyć, że zgodnie z twierdzeniem o kącie między styczną i sieczną DCB= BAC. Pondto DBC = ABC. Ztem zgodnie z cechą kąt, kąt, kąt trójkąty DCB ibac są podobne. Stąd zś równość: DB CD =, czyli DB 8 =. Ztem DB = 9,. BC AC 0. C Oznczenie przez H wysokości ostrosłup. Wówczs krwędź podstwy m długość H, H ntomist wysokość podstwy h = = H. Rozwżmy trójkąt prostokątny o wierzchołkch w wierzchołku ostrosłup leżącym nprzeciw podstwy, spodku wysokości ostrosłup i środku jednej z krwędzi podstwy. Przyprostokątne tego trójkąt mją długości H i H. Stąd tngens kąt nchyleni ściny bocznej do H płszczyzny podstwy wynosi = =. Szukny kąt m więc mirę 0. H. D ( + n) n n nn lim = lim ( + ) = lim n n n n n ( n ) ( + ) = n ( ) = lim lim = n n n n n Zdni otwrte kodowne Poprwn odpowiedź Wskzówki do rozwiązni. Dny nieskończony ciąg geometryczny jest szeregiem geometrycznym. Oznczeni: pierwszy wyrz szeregu, 0, q -ilorz szeregu, q <. q Z treści wynik równość: = 9, któr jest równowżn q q 9 q równości q. Stąd zś: 9 ( q) ( + q) q = q, czyli q = = 0,. 8 Liczb 0

2 Mtemtyk. Poziom rozszerzony Poprwn odpowiedź Wskzówki do rozwiązni W kżdym rzucie kostką może wypść jedn z sześciu liczb:,,,,,, więc wszystkich możliwych wyników tego doświdczeni jest W = =. Nleży obliczyć, ile wśród tych zdrzeń jest tkich, że w kżdym rzucie kostką wypdł inn liczb oczek. W pierwszym rzucie może wypść jedn z liczb, w drugim jedn z pozostłych, w trzecim jedn z pozostłych, w czwrtym rzucie są już tylko trzy możliwości. Stąd liczb zdrzeń sprzyjjących wypdnięciu w kżdym z czterech rzutów kostką innej liczby oczek wynosi A =. Ztem P( A)= =. 8 Liczb 0 Zdni otwrte Uwgi ogólne. Jeżeli zdjący rozwiąże bezbłędnie zdnie inną metodą, nieopisną w schemcie, le merytorycznie poprwną, otrzymuje z to rozwiąznie mksymlną liczbę. Z błąd rchunkowy zdjący trci punkt, jeżeli błąd ten nie spowodowł zncznego ułtwieni lub utrudnieni (wówczs nleży potrktowć go tk, jkby był błędem rzeczowym). Jeżeli zdjący popełni błąd merytoryczny, otrzymuje punkty tylko z tę część, którą rozwiązł do momentu popełnieni tego błędu, dlsz część nie jest ocenini (więc jeżeli zostnie on popełniony n początku, zdjący otrzymuje z zdnie 0 ). Jeżeli zdjący źle przepisze dne liczbowe z, le nie spowoduje to zminy sensu bądź nie ułtwi rozwiązni, wówczs z cłe zdnie trci punkt. Jeżeli zdjący prwidłowo rozwiąże zdnie, le podczs zpisywni odpowiedzi źle przepisze rozwiąznie, nleży potrktowć to jko błąd nieuwgi, z który zdjący nie trci punktu. Jeżeli punkt m być przyznny z zpisnie ukłdu kilku równń, to równni te nie muszą być zpisne jedno pod drugim i połączone klmrą, wystrczy, że będą zpisne (w różnych miejscch). Modelowe etpy rozwiązywni 8. Nleży zuwżyć, że logb> 0, logc> 0. Nstępnie trzeb przeksztłcić dną nierówność równowżnie, korzystjąc kolejno ze wzoru n zminę podstwy logrytmu i ze wzoru n sumę logrytmów o tej smej podstwie: logc + logb logbc + log c log b log bc logb+ logc logc logb logbc logb+ logc logc logb logb+ logc log b+ log c log c log b ( ) ( log b) + log b log c+( log c) log c log b ( log ) log log +( log ) ( log ) b b c c 0 b logc 0 Osttni z otrzymnych nierówności jest prwdziw dl dowolnych liczb, b, c> (kwdrt dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny), więc prwdziw jest również równowżn jej nierówność log + log log. c b bc Liczb 0

3 Mtemtyk. Poziom rozszerzony Modelowe etpy rozwiązywni Zstosownie włsności dziłń n logrytmch do sprowdzeni nierówności do postci: log ( b) logb logc+( logc) 0 Pokonnie zsdniczych trudności: Sprowdzenie nierówności do postci: ( logb logc) 0 przy wykorzystniu wzoru skróconego mnożeni Rozwiąznie pełne: Uzsdnienie prwdziwości nierówności: ( logb logc) 0 9. Nleży znleźć pierwistki równni x + x = + orz przeksztłcić to równnie x x równowżnie 0 = +( ) x. Podstwmy terz t =, gdzie t > 0. Stąd 0t= + t, czyli t 0t + = 0. Rozwiąznimi osttniego równni są liczby i 8. Punkt A = ( 8, ) nleży do prostej równoległej do prostej y+ x = 0. Prost równoległ do dnej m równnie: y+ x+ C = 0. Aby znleźć wrtość C, nleży podstwić do osttniej równości x = i y = 8. Osttecznie C = 8 i równnie szuknej prostej to y+ x 8= 0. x x Doprowdzenie dnej równości do postci 0 = +( ), któr po podstwieniu x t = stje się równniem kwdrtowym. Pokonnie zsdniczych trudności: Rozwiąznie równni kwdrtowego t 0t + = 0. Znlezienie rozwiązń i 8. Rozwiąznie pełne: Wyznczenie równni prostej równoległej do prostej y+ x = 0 i przechodzącej przez punkt A = ( 8 ; ), czyli prostej y+ x 8= Nleży przemnożyć drugie równnie z równości rekurencyjnej przez -. Uzyskmy wówczs równość ( + ) ( ) n+ = n +, czyli po zstosowniu wzoru skróconego mnożeni równość n+ = n +. Z równość tej wynik, że ciąg ( n ) jest ciągiem rytmetycznym o różnicy. Nleży zuwżyć, że ciąg utworzony z trzydziestu pierwszych wyrzów ciągu ( n ) o numerch nieprzystych jest również ciągiem rytmetycznym ( b n ) o pierwszym wyrzie równym b = = 9 i różnicy. Ztem b0 = 9 = ( 9 )+ 8 = + 9. Aby obliczyć sumę trzydziestu pierwszych wyrzów tego ciągu o numerch nieprzystych, trzeb skorzystć ze wzoru n sumę n wyrzów ciągu rytmetycznego. Po oznczeniu tej sumy przez S ( 9 )+ ( + 9 ) otrzymmy: S = 0 = 0. Zuwżenie, że po przemnożeniu drugiej równości w rekurencyjnym określeniu ciągu przez - uzyskmy ciąg rytmetyczny o pierwszym wyrzie równym - 9 i różnicy. Pokonnie zsdniczych trudności: Ustlenie wrtości 9 = + 9, czyli trzydziestego wyrzu o nieprzystym numerze. Rozwiąznie pełne: Obliczenie wrtość sumy trzydziestu początkowych wyrzów ciągu, o numerch nieprzystych S = 0 = 0. ( 9 )+ ( + 9 ) Liczb 0 0

4 Mtemtyk. Poziom rozszerzony Modelowe etpy rozwiązywni. Oznczmy przez długość krwędzi ostrosłup wówczs wysokość kżdej z jego ścin bocznych m długość. Dwie wysokości sąsiednich ścin bocznych poprowdzone z wierzchołk leżącego nprzeciw podstwy ostrosłup i odcinek łączący spodki tych wysokości tworzą trójkąt równormienny. Podstw tego trójkąt m długość połow długości przekątnej podstwy ostrosłup. Cosinus szuknego kąt to cosinus kąt leżącego nprzeciw tego odcink. Z twierdzeni cosinusów otrzymujemy więc, że cosinus szuknego kąt możn obliczyć, rozwiązując równnie: = + cos Po przeksztłceniu równowżnie osttniej równości: = + cos Stąd zś: Liczb 0 cos = Wyznczenie długości boków trójkąt, w którym znjduje się kąt między wysokościmi ścin bocznych:,, Pokonnie zsdniczych trudności: Zpisnie równości wynikjącej z twierdzeni cosinusów, z której będzie możn wyliczyć cosinus szuknego kąt: = + cos Rozwiąznie pełne: Wyznczenie wrtości cosinus szuknego kąt: cos =. Z twierdzeni o reszcie otrzymnej przy dzieleniu wielominu przez dwumin zstosownego do wielominu f( x)= x + bx x+ c podzielonego przez dwumin x - otrzymujemy, że f()= + b + c =. Stąd zś b+ c =. W celu znlezieni współczynnik kierunkowego stycznej do wykresu funkcji f( x)= x + bx x+ c nleży policzyć pochodną tej funkcji: f' ( x)= x + bx. Wrtość współczynnik kierunkowego stycznej do wykresu funkcji w punkcie o odciętej x = wynosi -. Stąd zś otrzymujemy równość f '( )=. Ztem ( ) + b ( ) =, czyli b =. A stąd + c =, czyli c =. Postęp: Skorzystnie z twierdzeni o reszcie otrzymnej przy dzieleniu wielominu przez dwumin w celu ułożeni równości wyrżjącej związek między współczynnikmi b i c wielominu f( x)= x + bx x+ c. Uzysknie równości b+ c =. Pokonnie zsdniczych trudności: Obliczenie wrtości pochodnej funkcji: f'( x)= x + bx Ułożenie wrunku wyrżjącego wrtość współczynnik kierunkowego funkcji w punkcie o dnej odciętej: f '( )= Rozwiąznie pełne: Wyznczenie wrtości współczynników b i c: b =, c = 0

5 Mtemtyk. Poziom rozszerzony Modelowe etpy rozwiązywni. Nleży przeksztłcić dną nierówność równowżnie: sin x sin x / sinx sin x sin x sin x ( )( ) ( sinx ) ( sin x ) ( sinx ) ( sin x ) ( sin x ) sin x 8sin x+ sin x+ 8sin x 8 sin x+ sin x sin x sin x+ 0 Zuwżmy, że nierówność sin x sin x+ 0 możn zpisć w nstępujący sposób: sin x sinx sin x + 0, czyli sin x( sinx ) ( sin x ) 0, stąd ( sin x ) (sin x ) 0. Poniewż sin x, więc sin x 0 i sin x < 0. A ztem fktycznie ( sinx ) ( sin x ) 0. Z prwdziwości osttniej nierówności wynik prwdziwość równowżnej jej nierówności sin x sin x sin x sin x. Doprowdzenie nierówności do równowżnej jej postci: sin x sin x+ 0 Pokonnie zsdniczych trudności: Zpisnie nierówności w postci: ( sinx ) ( sin x ) 0 Rozwiąznie pełne: Zuwżenie, że sin x 0 i sin x < 0 i uzsdnienie, że prwdziw jest nierówność ( sinx ) ( sin x ) 0, więc i równowżn jej nierówność: sin x sin x sin x sin x. CO = i OD = r =. Z twierdzeni Pitgors C zstosownego do trójkąt prostokąt- nego CON wynik: CO = CN + ON. Ztem = CN +. Stąd CN =. Poniewż CN= CM, więc CM =. Nleży zuwżyć terz, że trójkąt CON jest podobny do trójkąt CDB, gdyż ob trójkąty są M N prostokątne i mją kąt wspólny przy wierzchołku C. Stąd równość: CN DC = ON DB Ztem = + DB, A B czyli DB = Anlogicznie AD =. Ztem AB =. Z twierdzeni Pitgors zstosownego w trójkącie DCB wynik: CB = CD + DB, czyli CB = 8 + = 00. Ztem CB= AC =0. Z twierdzeni sinusów zstosownego w trójkącie ABC: AC R =, sin ABC czyli AC 0 R = = =, DC 8 BC 0 Liczb 0 0 stąd R = Postęp: Przyjęcie oznczeń CO = i OD = r = i wyliczenie n ich podstwie długości CN= CM =

6 Mtemtyk. Poziom rozszerzony Modelowe etpy rozwiązywni Zuwżenie podobieństw trójkątów CON i CDB i poprzez ułożenie równości wynikjącej z tego podobieństw CN DC = wyliczenie długości DB = ON DB Pokonnie zsdniczych trudności: Wyliczenie długości rmion trójkąt równormiennego ABC: CB= AC =0 Rozwiąznie pełne: Skorzystnie z twierdzeni sinusów w celu wyliczeni długości promieni okręgu AC opisnego n trójkącie ABC przy wykorzystniu równości R =. Znlezienie sin ABC długości promieni tego okręgu R =. Liczb. Zdrzeniem elementrnym w opisnym doświdczeniu jest wylosownie dowolnej trójki trzech różnych liczb. Ztem liczb zdrzeń elementrnych wynosi: W = n = ( n )! ( ) = ( n ) ( n ) n! n! Aby sum wylosownych trzech liczb był podzieln przez trzy, musi zjść jedn z trzech sytucji:. Wszystkie trzy wylosowne liczby są podzielne przez. Wśród liczb ze zbioru {,,,, n} jest n liczb podzielnych przez. Ztem liczb zdrzeń elementrnych odpowidjących tej sytucji wynosi n.. Wszystkie trzy wylosowne liczby dją z dzieleni przez resztę. Wśród liczb ze zbioru {,,,, n} jest n liczb djących z dzieleni przez resztę. Ztem liczb zdrzeń elementrnych odpowidjących tej sytucji wynosi n.. Wszystkie trzy wylosowne liczby dją z dzieleni przez resztę. Wśród liczb ze zbioru {,,,, n} jest n liczb djących z dzieleni przez resztę. Ztem liczb zdrzeń elementrnych odpowidjących tej sytucji wynosi n. Wśród wylosownych liczb kżd dje z dzieleni przez inną resztę. Liczb zdrzeń elementrnych sprzyjjących tej sytucji wynosi n. Prwdopodobieństwo zdrzeni A wylosowni trzech liczb, których sum jest podzieln przez trzy, wynosi więc: n n n n n n + ( ) ( ) + P( A)= = = ( )( )+ n n n n ( n ) ( n ) n ( n ) ( n ) Postęp: Wyznczenie liczby zdrzeń elementrnych występujących w opisnym doświdczeniu: W = n = ( n )! ( ) = ( n ) ( n ) n! n! Obliczenie liczby zdrzeń elementrnych sprzyjjących zdrzeniu A, tkich że reszt n z dzieleni przez kżdej wylosownej liczby jest tk sm: Pokonnie zsdniczych trudności: Obliczenie liczby zdrzeń elementrnych sprzyjjących zdrzeniu A, tkich że reszt z dzieleni przez kżdej wylosownej liczby jest inn: n Rozwiąznie prwie pełne: n n + Zpisnie prwdopodobieństw zjści zdrzeni A: P( A)= n 0

7 Mtemtyk. Poziom rozszerzony Modelowe etpy rozwiązywni Rozwiąznie pełne: Doprowdzenie wrtości szuknego prwdopodobieństw do postci: n n n P( A)= ( )( )+. ( n ) ( n ). Nleży sprowdzić równnie okręgu do postci knonicznej ( x ) + ( y ) =. Ztem jest to okrąg o środku w punkcie O = ( ; ) i promieniu R =. Znjdźmy terz punkty przecięci okręgu i prostej x+ y = 0. W tym celu wystrczy rozwiązć ukłd równń: ( x ) + ( y ) = x+ y = 0 Rozwiązniem tego ukłdu równń są pry liczb: x = y = 8 i x = 0 y = 0 Drug podstw trpezu jest zwrt w prostej równoległej do prostej x+ y = 0 i przechodzącej przez środek okręgu O = (, ). Stąd równnie tej prostej to x+ y + = 0. W celu znlezieni współrzędnych końców tej podstwy nleży rozwiązć ukłd równń: ( x ) + ( y ) = x+ y+ = 0 Rozwiązniem tego ukłdu równń są pry liczb: x = y = i x = + y = + Długości podstw tego trpezu: AB = ( 0) + ( 8 0) = ( ( )) + ( ( + )) = CD = + 0 Nleży znleźć odległość między podstwmi AB i CD. W tym celu wystrczy obliczyć odległość jednego z wierzchołków trpezu od podstwy, w której ten wierzchołek się nie zwier. Odległość punktu S = ( 00, ) od prostej x+ y + = 0 wynosi: h = = ( ) + Pole trpezu wynosi więc: ( + 0) = 0 + Postęp: Sprowdzenie równni okręgu do postci knonicznej ( x ) + ( y ) =, wyzncznie jego środk i promieni: O = (, ) i R = ( x ) + ( y ) = Rozwiąznie ukłdu równń, którego rozwiązni są dwom x+ y = 0 wierzchołkmi jednej z podstw trpezu. Znlezienie równni drugiej podstwy trpezu przechodzącej przez punkt O = (, ) i równoległej do podstwy zwrtej w prostej x+ y = 0, tj. prostej x+ y + = 0. Pokonnie zsdniczych trudności: Wyznczenie długości podstw trpezu: AB =, CD = 0 Rozwiąznie prwie pełne: Obliczenie długości wysokości trpezu jko odległości punktu od prostej: h = = ( ) + Liczb 0 7

8 Mtemtyk. Poziom rozszerzony 7. Rozwiąznie pełne: Wyliczenie pol trpezu: 0 + Modelowe etpy rozwiązywni S Liczb 0 7 P H A C B Oznczeni: AB = BC = AC = długość boku podstwy O spodek wysokości opuszczonej z wierzchołk S SO= H długość wysokości ostrosłup P środek kuli opisnej n ostrosłupie AP = SP = R = długość promieni kuli opisnej n ostrosłupie AO = r długość promieni okręgu opisnego n podstwie ostrosłup W trójkącie prostokątnym AOP długość OP = H i r = =. Z twierdzeni Pitgors zstosownego w tym trójkącie otrzymujemy równość: AO + OP = AP, czyli H + ( ) =. Stąd zś = ( H H ). Ztem objętość ostrosłup V = H= ( H H ) H= ( H + H ). Widzimy więc, że objętość ostrosłup jest funkcją jego wysokości H i może być przedstwion w postci: V( H)= ( H + H ), gdzie H > 0 W celu znlezieni mksimum tej funkcji nleży znleźć jej pochodną V'( H)= ( H + H). Możn zuwżyć, że V' ( H)= 0 H + H= 0 H= 0 H= 8. Pondto V'( H)> 0 dl H ( 08, ), zś V'( H)< 0 dl H ( 8, + ). Stąd funkcj V( H) rośnie w przedzile ( 08, ), ntomist mleje w przedzile ( 8, + ). Ztem dl H = 8 funkcj V( H) przyjmuje mksimum loklne równe: V ( 8)= ( )= I część: Wyznczenie wzoru funkcji określjącej objętość ostrosłup: Zpisnie zleżności między krwędzią podstwy, wysokością ostrosłup: = ( H H ) Wyznczenie wzoru n objętość ostrosłup: V( H)= ( H + H ) Zpisnie dziedziny funkcji: H ( 0, + ) II część: Zbdnie pochodnej i wyznczenie ekstremum. Wyznczenie wzoru pochodnej funkcji objętości: V'( H)= ( H + H) Wyznczenie miejsc zerowego pochodnej: H = 8 8

9 Mtemtyk. Poziom rozszerzony Modelowe etpy rozwiązywni Zbdnie znków pochodnej i zpisnie wniosku dotyczącego minimum funkcji: V'( H)> 0 dl H ( 08, ), zś V'( H)< 0 dl H ( 8, + ). Stąd funkcj V( H) rośnie w przedzile ( 08, ), ntomist mleje w przedzile ( 8, + ). Ztem dl H = 8 funkcj V( H) przyjmuje mksimum loklne. Wyznczenie njwiększej wrtości funkcji: V ( 8)= ( )= Liczb 9