Wykład Indukcja elektromagnetyczna, energia pola magnetycznego

Transkrypt

1 Wykłd 3 3. ndukcj eektromgnetyczn, energi po mgnetycznego 3. ndukcyjność 3.. Trnsformtor Gdy dwie cewki są nwinięte n tym smym rdzeniu (często jedn n drugiej) to prąd zmienny w jednej wywołuje SEM indukcji w drugiej. N - icz zwojów w cewce pierwotnej, N - icz zwojów w cewce wtórnej orz Stosunek npięć U U N N dφ dφ U N (3.) U N Widć, że reguując iość zwojów w cewkch możemy zmienić młe npięci n duże i odwrotnie. Przykłd Oiczmy strty mocy w inii przesyłowej o oporze Ω przesyłnej z genertor MW gdy npięcie wynosi.5 4 orz 5 V. P U P strt (P/U) P strt 4.4 MW (44%) P strt. MW (%) 3.. ndukcyjność włsn Gdy ntężenie prądu przepływjącego przez cewkę zmieni się to zmieni się też strumień przez kżdy zwój tej cewki więc zgodnie z prwem indukcji Frdy indukuje się SEM. Tę siłę eektromotoryczną nzywmy siłą eektromotoryczną smoindukcji. dφ N (3.) Wiekość Nφ jest cłkowitym strumieniem zwrtym w owodzie i nosi nzwę strumieni skojrzonego. Strumień skojrzony jest proporcjonny do prądu płynącego przez cewkę. Nφ L (3.3) 3-

2 Stł proporcjonności nzywn jest indukcyjnością. Zróżniczkownie(po czsie) równni (3.3) dje L Nφ/ (3.4) Stąd dφ d N L d L (3.5) Jednostką L jest henr. H Vs/A Jko przykłd oiczmy indukcyjność cewki o długości i N zwojch. Strumień przez kżdy zwój wynosi gdzie d cewki wynosi Ztem φ S µ n µ (N/ ) φ µ NS ndukcyjność L otrzymujemy mnożąc strumień przez N/ N S L µ (3.6) Zuwżmy, że L zeży tyko od geometrii ndukcj wzjemn Omwijąc trnsformtor pokzywiśmy, że dwie cewki mogą oddziływć n sieie. Prąd zmienny w jednej wywoływł SEM w drugiej. Tym rzem strumień przechodzący przez cewkę jest proporcjonny do prądu płynącego przez cewkę. N φ M Stłą proporcjonności M nzywmy indukcją wzjemną. óżniczkując to równnie otrzymujemy Stąd N d M φ d 3-

3 Jeżei zmienimy prąd to nogicznie d M M d Możn pokzć (e w skompikowny sposó), że M M M Podonie jk L tk smo M zeży tyko od geometrii ukłdu. 3. Owody C i L, stłe czsowe Zczniemy terz zjmowć się prądmi zmienijącymi się w czsie. 3.. Owód C ozptrzmy jki prąd popłynie w owodzie po zmknięciu wyłącznik do pozycji (). C Korzystmy z prw Kirchoff. + (3.7) C W równniu tym są dwie niewidome orz. Ae możemy skorzystć ze związku d/. Otrzymujemy równnie różniczkowe Szukmy rozwiązni (t). M ono postć d + C t / C C ( e ) (3.8) 3-3

4 Możemy sprwdzić czy funkcj t jest rozwiązniem równni różniczkowego poprzez jej podstwienie do tego równni. Prąd oiczmy różniczkując d/ d e t / C ysunki przedstwiją zeżność (t) orz (t). C / t t Jeżei terz przełączymy wyłącznik do pozycji () to ędziemy rozłdowywć kondenstor. Terz w owodzie nie m i prwo Kirchoff przyjmuje postć ozwiąznie m postć d + czyi + C C t / C e (3.9) gdzie jest łdunkiem początkowym n kondenstorze. Ntężenie prądu przy rozłdowniu wynosi d e C t / C W równnich opisujących łdownie i rozłdownie kondenstor wiekość C m wymir czsu i jest nzywn stłą czsową owodu. Opisuje on fkt, że łdunek n kondenstorze nie osiąg od rzu wrtości końcowej ecz ziż się do niej wykłdniczo. Podonie przy rozłdowniu. 3.. Owód L Anogicznie opóźnienie w nrstniu i znikniu prądu pojwi się w owodzie L przy włączniu u wyłączniu źródł SEM. 3-4

5 L Gdyy nie yło cewki prąd osiągnąły ntychmist wrtość /. Dzięki cewce w owodzie pojwi się dodtkowo SEM smoindukcji L, któr zgodnie z regułą Lenz przeciwdził wzrostowi prądu (po włączeniu) co ozncz, że jej zwrot jest przeciwny do. Z prw Kirchoff otrzymujemy d L Poszukujemy rozwiązni tego równni różniczkowego w postci (t). M ono postć t / L ( e ) (3.) (3.) Sprwdzmy poprzez podstwienie do równni. Npięcie n oporniku i cewce pokzne jest n rysunkch poniżej. V V L t t Nrstnie prądu w owodzie jest opisne stłą czsową τ L L/. Jeżei przełącznik ustwimy w pozycji () to wyłączmy źródło SEM i otrzymmy L d + (3.) z rozwiązniem t / L e (3.) 3-5

6 3.3 Energi, poe mgnetyczne Pozostńmy przy owodzie L. Z prw Kirchoff otrzymiśmy Mnożąc to równnie przez dostjemy d + L d + L nterpretcj tego równni z punktu widzeni prcy i energii jest nstępując: ew stron równni przedstwi szykość (moc tj d/) z jką źródło prze- To osttnie możemy zpisć kzuje do owodu energię. pierwszy wyrz po prwej stronie to szykość (moc) wydzieni ciepł n oporze. drugi wyrz po prwej stronie to szykość z jką energi gromdzi się w pou mgnetycznym. jko czyi d W dw d L Ld Po scłkowniu otrzymujemy W dw Ld L (3.3) ównnie okreś cłkowitą energię mgnetyczną zwrtą w cewce o indukcyjności L przez, którą płynie prąd. Porównjmy to z energią nłdownego kondenstor W C (3.4) C 3.4 Gęstość energii poe mgnetyczne ozptrzmy soenoid o długości i powierzchni przekroju S czyi o ojętości S. Tk więc gęstość energii 3-6

7 Poniewż więc w W S W L w L S Przypomnijmy, że N S L µ orz µ n µ N co w połączeniu dje wyrżenie w (3.5) µ opisujące gęstość energii zwrtej w k żdym punkcie przestrzeni w której jest indukcj mgnetyczn. Przykłd Długi koncentryczny ke skłd się z cyindrycznych przewodników o promienich i. Oiczmy energię zwrtą w pou mgnetycznym k n odcinku o długości orz jego indukcyjność. + dr r - Stosując prwo Amper d przestrzeni pomiędzy cyindrmi otrzymmy czyi π r µ µ πr Gęstość energii w punktch pomiędzy przewodmi 3-7

8 µ µ µ πr 8π r µ w ozptrzmy terz cienką (dr) wrstewkę pomiędzy cyindrmi. Ojętość tej wrstewki wynosi: dv πrdr d odcink k o długości. Energi w tej ojętości wynosi więc dw w dv µ µ πr d r 8π r 4π d r r Sumując (cłkują c) po cłej ojętości oiczmy cłkowitą energię W W µ r µ dw 4π r 4π d n ndukcyjność znjdziemy z zeżności U L U czyi L µ L n π L zeży tyko od czynników geometrycznych. 3-8