Repetytorium z analizy i rachunku całkowego funkcji wielu zmiennych. Wiadomości wstępne.

Transkrypt

1 SPIS TREŚCI 1 Repetytorium z analizy i rachunku całkowego funkcji wielu zmiennych. Wiadomości wstępne. Spis treści 1 Repetytorium 2 2 Wiadomości wstępne 5

2 1 Repetytorium 2 1 Repetytorium 1. Rozwia zać równania (znaleźć trajektorie): (i)x = ( x ) x 2 1, (ii) = x 1, x x 2 = x 2, x 1 = x 1, x (iii) x 2 = x 2 + x1 2 1, (iv) = x 1 x 2 + e t, x 3 = x x 2 = x 1 + x 2, 3, p i = H q (v) układ Hamiltona: i, q i = H p i, gdzie H jest funkcja Hamiltona (energia) H = H(p 1, p 2,..., p n, q 1,..., q n ) klasy C Podać przykłady: hiperpowierzchni 1-wymiarowej w R 2,wR N, 2-wymiarowej w R 3 (podać parametryzacje). 3. Przypomnieć sobie pojȩcie całki na hiperpowierzchni (w tym całki krzywoliniowej i powierzchniowej nieskierowanej) oraz sposoby ich obliczania. 4. Obliczyć całki (tam, gdzie można, narysować zbiory): (i) C (x + y) ds, gdzie C jest brzegiem trójka ta o wierzchołkach: (0, 0), (1, 0), (0, 1); (ii) C (x y 4 3 ) ds, gdzie C jest astroida orównaniux = a 2 3, a > 0; (iii) P (x 2 + z 2 ) ds, gdzie P jest zbiorem określonym równaniem: x 2 + z 2 = a 2 a ds jest dwuwymiarowa miara indukowana na powierzchni; (iv) P (x 2 + z 2 ) ds, gdzie P jest ośmiościanem x + y + z = a; x = u cos v, (v) S zds, gdzie S jest heliksoida y = u sin v, u (0, a), v (0, 2π), z = u; (vi) S (x 2 ) ds, gdzie S = {(x, y, z) x 2 1}; (vii) S (8 2z) ds, gdzie S jest powierzchnia : z =4 1x 2 1y 2, z > 0; 2 2 (viii) S x 2 y 2 ds, gdzie S jest powierzchnia : z = R 2 x 2 y 2 ; (ix) S 1 ds, gdzie S jest powierzchnia : z = xy dla x 2 R 2, r jest odległościa punktu powierzchni od osi Oz, r (x) S (2x +1)ds, gdzie S jest powierzchnia : x = 4 y 2 dla 0 z 1; (xi) V (x 2 ) dµ, gdzie V = {(x, y) x = a(cos t + t sin t), y = a(sin t t cos t), 0 t 2π};

3 1 Repetytorium 3 (xii) V xy dµ, gdzie V jest zbiorem określonym x + y = a (a > 0); (xiii) 2y V dµ, gdzie V = {(x, y, z) x = at, y = 1 a 2 at2, z = 1 3 at3,0 t 1, a > 0}. 5. Stosuja c twierdzenie o zamianie zmiennych, obliczyć całki: (i) A x 2 dxdy, gdzie A = {(x, y) R 2 x 2 a 2 }; (ii) V 1 x 2 y 2 z 2 dxdydz, gdzie V = {(x, y, z) R 3 x 2 + z 2 1}; a 2 b 2 c 2 a 2 b 2 c 2 (iii) V x 2 dxdydz, gdzie V jest obszarem ograniczonym powierzchniami: x 2 = z 2, z =1; (iv) D (x + y) dxdy, gdzie D jest zbiorem ograniczonym krzywa x 2 = x + y; (v) V x 2 + z 2 dxdydz, gdzie V jest obszarem ograniczonym powierzchnia x 2 + z 2 = z; (vi) xyz V dxdydz, gdzie V jest bryła ograniczona z góry powierzchnia x 2 + z 2 = a 2 xy, az x 2 +y 2 dołu płaszczyzna z =0. 6. Znaleźć wektor i płaszczyznȩ normalna oraz wektor i płaszczyznȩ styczna do hiperpowierzchni: (i) H = {(x, y, z) R 3 : e 2x+y+z + e 3x y +log(1+y + z) 2=0} w punkcie (0,0,0); (ii) H = {(x, y, z) R 3 : x 2 2(y 2 + z 2 )=a 2 } w punkcie (2, 0, 3 ). 2 W ostatnim przykładzie określić dla jakich a jest to hiperpowierzchnia i wykonać odpowiednie ilustracje. 7. Wykazać, że sfera jednostkowa w R n S n 1 = {x R n : x =1} jest (n 1)-wymiarowa hiperpowierzchnia klasyc 1. Znaleźć przestrzeń styczna oraznormalna w dowolnym punkcie x S n Wykazać, że stożek z 2 = x 2 nie jest hiperpowierzchnia. 9. Znaleźć przestrzeń styczna oraznormalna do hiperpowierzchni zadanej przez parametryzacjȩ: (i) φ(t, s) =((r 1 + r 2 cos t)coss,(r 1 + r 2 cos t)sins, r 2 sin t), t (0, 2π), s (0, 2π), r 1 > r 2 > 0; (ii) φ(t) =(cost,sint, t), t (0, ). 10. Znaleźć przestrzeń styczna oraznormalna do hiperpowierzchni w danym punkcie A: (i) z = xy, A = (1, 1, 1); (ii) z =2x 2 4y 2, A = (2, 1, 4); (iii) x 2 + z 2 =1, A =( a 3, b 3, c 3) lub A = (0, 0, c). a 2 b 2 c Prostopadłościan, którego dolna podstawa jestprostoka t D położony na płaszczyźnie Oxy (i) i ograniczony prostymi x = 1,y = 2,x = 1, y = 2, został ściȩtyodgórypowierzchnia z =6 x 2 y 2,

4 1 Repetytorium 4 (ii) i ograniczony prostymi x = c, x = d (c < d), y = e, y = f,(e < f ), został ściȩty od góry powierzchnia z = x 2 a 2 b 2. Obliczyć objȩtość powstałej bryły. 12. Obliczyć objȩtość bryły ograniczonej powierzchniami: (i) z =1+x + y, x =0,y =0,z =0,x + y =1, (ii) y = x 2, z = x 2, y =1,z =0, (iii) z =sin y π, z =0,y = x, y =0,x = π, 2x (iv) z =cosxcos y, z =0, x + y 1π, x y 1π, 2 2 (v) z =sinπxy, z =0,xy =1,y = x, y =2x, x > 0, (vi) z = xy, x + y + z =1,z = Stosuja c zamianȩ zmiennych obliczyć objȩtość bryły ograniczonej powierzchniami: (i) z =3x, x 2 =4,płaszczyznami Oxy i Oxz oraz leża cej nad płaszczyzna Oxy, (ii) x + y + z = 10, x 2 =4,x =0,y =0,z =0, (iii) z = a exp( x 2 y 2 ), płaszczyzna Oxy i walcem x 2 = R 2, (iv) płaszczyzna Oxy, walcem x 2 ax =0i paraboloida obrotowa x 2 cz =0, (v) x 2 4z 2 =0,x 2 8x =0ipłaszczyzna Oxy. 14. Obliczyćdługośćkrzywej: (i) y =2x, x [0, 1], (ii) φ(t) =(t +1,2(t +1)), t [ 1, 0], (iii) S 1 (0, 1) -okra g w R 2 opromieniu1, (iv) x 2 =1, (sprowadzić do całki eliptycznej), a 2 b 2 (v) r 2 (θ) =2a 2 cos(2θ) (lemniskata, sprowadzić do całki eliptycznej), (vi) r(θ) =a(cos(θ)+1)(kardioida), (vii) φ(t) =(cost,sint, t), t [0, a], (viii) φ(t) =(t, t, t), t [0, a]. 15. Obliczyć długość krzywej zadanej we współrzȩdnych biegunowych r = g(θ), dla danej funkcji g :[α, β] (0, ) klasy C Obliczyć pole hiperpowierzchni: (i) z(x, y) =x, x, y [0, 1], (ii) S 2 (0, 1) - sfera jednostkowa w R 3,

5 2 Wiadomości wstępne 5 (iii) z = x 2, x 2 1, (iv) x 2 =1, z [0, 1], ( walec), (v) (x 2 + z 2 ) 2 =2xy, ( po zamianie na współrzȩdne sferyczne r =sin(ϕ) sin(θ)), (vi) x 2 + z 2 =1. a 2 b 2 c 2 2 Wiadomości wstępne 17. Sprawdzić, czy podane niżej równania są równaniem różniczkowym cząstkowym: (i) cos(u x + u y ) cos u x cos u y +sinu x sin u y =0, (ii) uxx 2 + u2 yy (u xx u yy ) 2 =0, (iii) tgu u x x 3u +2=0, (iv) ln u x u y ln u x ln u y +5u 6= Określić rząd równania różniczkowego: (i) 2(u x 2u)u xy (u y x 2u) 2 xy =0, (ii) ln u xx u yy ln u xx ln u yy + u x + u y =0, (iii) u x uxy 2 +(uxx 2 2uxy 2 + u y ) 2 2xy = Stwierdzić, które z poniższych równań jest liniowe (jednorodne lub niejednorodne), a które jest nieliniowe (quasi-liniowe): (i) u x uxy 2 +2xuu yy 3xyu y u =0, (ii) 2sin(x + y)u xx x cos yu xy + xyu x 3u +1=0, (iii) 3u xy 6u xx +7u y u x +8x =0, (iv) u xy u xx 3u yy 6xu y + xyu =0, (v) u xy + u y + u 2 xy =0, (vi) 2xu xy 6 x (u2 xy)+u yy = Niech u : R 2 R będzie funkcją posiadającą odpowiednie pochodne cząstkowe. Podać postać wszystkich D α u(x) dla x R 2 idlaαbędącego multiindeksem rzędu Niech u : R 2 R będzie funkcją posiadającą odpowiednie pochodne cząstkowe. Podać postać wszystkich D α u(x) dla x R 2 idlaαbędącego multiindeksem rzędu 4.

6 BIBLIOGRAFIA Dla podanego poniżej zagadnienia określić typ równania oraz rodzaj warunków brzegowych (podać wszystkie możliwe cechy, np. równanie jest II rzędu liniowe niejednorodne o stałych współczynnikach z warunkiem brzegowym wewnętrznym Neumanna): u xx + u yy =0, u y (x,0)=u y (x, l)+hu(x, l) =0, u(0, y) =f (y), lim u(x, y) =0, h > 0. x O ile to możliwe, podać interpretację fizyczną. 23. Dla podanego poniżej zagadnienia określić typ równania oraz rodzaj warunków brzegowych (podać wszystkie możliwe cechy, np. równanie jest II rzędu liniowe niejednorodne o stałych współczynnikach z warunkiem brzegowym wewnętrznym Neumanna): 2u xx +sinyu yy =4, u(x,0)=5, u y (x, l)+hu(x, l) =5, u(0, y) =f (y), u x (0, y) =0, h > 0. O ile to możliwe, podać interpretację fizyczną. Bibliografia [1] W. I. Arnold, Metody matematyczne mechaniki klasycznej, PWN, Warszawa [2] W. I. Arnold, Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa [3] W. I. Arnold, Teoria równań różniczkowych, PWN, Warszawa [4] A. W. Bicadze, Równania fizyki matematycznej, PWN, Warszawa [5] A. W. Bicadze, D. F. Kaliniczenko, Zbiór zadań z równań fizyki matematycznej, PWN, Warszawa [6] P. Biler Prof. dr hab.- redakcja naukowa, Warsztaty z równań różniczkowych czastkowych, Toruń [7] Birkholc A. Analiza matematyczna. Funkcje wielu zmiennych, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa [8] D. Bleecker, G. Csordas, Basic Partial Differential Equations, Chapman & Hall, Oxford [9] L. Evans, Równania różniczkowe czastkowe, PWN, Warszawa [10] Fichtenholz G.M. Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa [11] J. Jost, Postmodern Analysis, Springer-Verlag,Berlin-Heidelberg-New York [12] W. Kołodziej, Wybrane rozdziały analizy matematycznej, PWN, Warszawa [13] H. Marcinkowska, Wstep do teorii równań różniczkowych czastkowych, PWN, Warszawa [14] J. Musielak, Wst ep do analizy funkcjonalnej, PWN, Warszawa 1976.

7 BIBLIOGRAFIA 7 [15] Ockendon J., Howison S., Lacey A., Movxhan A., Applied Partial Differential Equations, Oxford University Press, [16] J. Ombach, Wykłady z równań różniczkowych wspomagane komputerowo -Maple, Wydawnictwo Uniwersytetu Jagiellońskiego, Kraków [17] B. Przeradzki, Równania różniczkowe czastkowe. Wybrane zagadnienia, Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego, Łódź [18] B. Przeradzki, Teoria i praktyka równań różniczkowych zwyczajnych, Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego, Łódź [19] M. M. Smirnow, Zadania z równań różniczkowych czastkowych, PWN, Warszawa [20] P. Strzelecki, Krótkie wprowadzenie do równań różniczkowych czastkowych, Wydawnictwo Uniwersytetu Warszawskiego, Warszawa [21] B. W. Szabat, Wstęp do analizy zespolonej, PWN, Warszawa [22] Whitham G.B., Lecture notes on wave propagation, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York [23] Zauderer, Partial Differential Equations of Applied Mathemathics, John Wiley & Sons, Singapore-New York- Chichester-Brisbane-Toronto 1989.