Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Szeregi. a n = a 1 + a 2 + a 3 + (1) a k (2) s n = k=1. lim s n = S,
|
|
- Natalia Wawrzyniak
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Maciej Grzesiak Istytut Matematyki Politechiki Pozańskiej Szeregi. Szeregi liczbowe Defiicja. Szeregiem liczbowym azywamy wyrażeie a = a + a + a 3 + () Liczby a, =,,... azywamy wyrazami szeregu. Natomiast sumę s = a k () k= azywamy -tą sumą częściową szeregu. Jeżeli istieje graica lim s = S, to szereg () azywamy zbieżym, a liczbę S azywamy sumą szeregu. W przeciwym przypadku mówimy, że szereg jest rozbieży. W defiicji umeracja wyrazów rozpoczya się od. Nie ma to jedak istotego zaczeia, bo podobie moża zdefiiować a, gdzie 0 jest dowolą liczbą aturalą. Te szereg = 0 różi się od szeregu () tym, że pierwsze 0 wyrazów jest rówe 0. Ogóliej, moża stwierdzić, że zmiaa dowolej skończoej liczby wyrazów ie ma wpływu a zbieżość (tz. po takiej zmiaie szereg zbieży pozostaie adal zbieży, a szereg rozbieży pozostaie adal rozbieży). Przykłady. Zaleźć wzór a sumę s i zbadać zbieżość szeregu a ; 300 ; ( ) ; ( + ). Achilles i żółw. Poday przez Zeoa z Elei paradoks Achillesa i żółwia przedstawia się zazwyczaj tak: Achilles (słyący jako szybkobiegacz) ściga żółwia, który jest daleko w przodzie, gdy heros zaczya bieg. Następie Achilles dobiega do miejsca, w którym iedawo był żółw, ale w tym czasie zwierzak dochodzi już do astępego miejsca, które za chwilę osiąga Achilles, ale żółw dochodzi w tym czasie do owego, Achilles zowu dobiega, ale żółw jest dalej, itd. A więc Achilles igdy ie dogoi żółwia kokludował Zeo. Paradoks Zeoa moża wyjaśić przy pomocy szeregów. Zeo z Elei, ok. 490 p..e. ok. 430 p..e., filozof grecki
2 Zadaie. Achilles zajduje się w odległości d od żółwia i ściga go z prędkością V. Żółw porusza się z prędkością v. Niech t ozacza czas w jakim Achilles przebędzie odległość d, a s drogę przebytą przez żółwia w tym czasie. Ogólie: t ozacza czas w jakim Achilles przebędzie odległość s, a s drogę przebytą przez żółwia w czasie t. Obliczyć sumy szeregów t i s. Po jakim czasie Achilles dogoi żółwia? Mamy: t = d V, s = t v, t = s V, s = t v,... Ogólie: t = s V Ostateczie = vt V, s = t v. Zatem t = d V t = d V v, s = d ( v V ), więc jest to ciąg geometryczy. t = vd V v. Zauważmy, że gdy szereg a jest zbieży, to zarówo s jak i s dążą do graicy S. Poieważ a = s s, więc lim a = 0. Mamy więc astępujące twierdzeie Twierdzeie. (waruek koieczy zbieżości szeregu) Jeżeli szereg a jest zbieży, to jego wyraz ogóly a dąży do 0. Te waruek ie jest wystarczający. Jest ieskończeie wiele szeregów, których wyraz ogóly a dąży do 0, ale które są rozbieże. Bardzo ważym przykładem jest szereg harmoiczy: = Na szeregach moża wykoywać działaia arytmetycze. Twierdzeie.. Jeżeli szereg a jest zbieży, to dla dowolego c R szereg jest zbieży oraz ca = c a.. Jeżeli szeregi a, b są zbieże, to szereg (a + b ) jest zbieży oraz (a + b ) = a + b. ca Na ogół trude jest wyzaczeie wzoru aalityczego a sumę s, a co za tym idzie wyzaczeie sumy szeregu S. Należy więc postawić zadaie łatwiejsze: zbadać tylko zbieżość szeregu. Jeśli wiadomo, że szereg jest zbieży, to moża potem obliczać chociaż jego wartość przybliżoą (biorąc p. 00 czy 000 wyrazów szeregu, zależie od dokładości przybliżeia jaką chcemy osiągąć). Twierdzeia podające waruki zbieżości szeregu azywamy kryteriami zbieżości. Na początek zajmiemy się szeregami o wartościach ieujemych. Twierdzeie 3. (kryterium porówawcze) Jeżeli 0 a b dla N, to. Jeżeli szereg b jest zbieży, to szereg a jest zbieży;. Jeżeli szereg a jest rozbieży, to szereg b jest rozbieży. Aby to twierdzeie skuteczie stosować trzeba dyspoować pewą bazą iformacji, tj. zać jakąś grupę szeregów zbieżych bądź rozbieżych. Będziemy korzystali z astępującej iformacji: Szereg postaci α (tzw. szereg Dirichleta) jest zbieży dla α >, a rozbieży dla α. Zauważmy, że dla = otrzymujemy szereg harmoiczy.
3 Przykłady. Zbadać zbieżość szeregu:. si ; Poieważ si oraz jest zbieży, więc. ; (+) Teraz = (+) (+) + oraz + si też jest zbieży. jest rozbieży (bo jest to szereg harmoiczy bez pierwszego wyrazu), więc też jest rozbieży. (+) ; a Twierdzeie 4. (kryterium ilorazowe) Jeżeli a 0 i lim + a. jeżeli q <, to szereg a jest zbieży;. jeżeli q >, to szereg a jest rozbieży. = q, to Kryterium ilorazowe azywae jest też kryterium d Alemberta. Nie rozstrzyga oo zbieżości, gdy q =, a takich przypadków jest wiele. Np. dla szeregów otrzymamy q =. Jedak pierwszy z ich jest rozbieży, a drugi zbieży. Przykłady. Zbadać zbieżość szeregu:.! ;. ()!., Twierdzeie 5. (kryterium pierwiastkowe) Jeżeli a 0 i lim a = q, to. jeżeli q <, to szereg a jest zbieży;. jeżeli q >, to szereg a jest rozbieży. Ia azwa: kryterium Cauchy ego. Gdy q =, ie rozstrzyga oo zbieżości. Przykłady. Zbadać zbieżość szeregu:. ( ; 3+ +3). = (l ). Twierdzeie 6. (kryterium całkowe) Niech fukcja f(x) będzie ieujema i ierosąca dla x [, ]. Wtedy szereg f() jest zbieży wtedy i tylko wtedy, gdy całka iewłaściwa f(x)dx jest zbieża. Przykłady.. Wykazać rozbieżość szeregu harmoiczego obliczając całkę. Wykazać zbieżość szeregu () dla α >. α Wszystkie powyższe kryteria zakładały ieujemość wyrazów szeregu. x dx. Defiicja. Szereg a azywamy bezwzględie zbieżym, gdy szereg a utworzoy z jego wartości bezwzględych jest zbieży. Szereg zbieży, ale ie bezwzględie zbieży, azywamy warukowo zbieżym. Jeżeli a jest bezwzględie zbieży, to jest zbieży. Z tej uwagi wyika praktycze postępowaie przy badaiu zbieżości szeregu. Najpierw ależy wyjaśić, czy szereg jest bezwzględie zbieży. Mamy tu do dyspozycji cztery wymieioe wyżej kryteria zbieżości. Jeśli okaże się jedak, że szereg ie jest bezwzględie zbieży, to powstaje problem zbadaia zbieżości warukowej. Tu jedak ie ma skuteczych twierdzeń. W zasadzie mamy tylko jedo twierdzeie, i to dotyczące dość specjalego szeregu. Defiicja 3. Szereg postaci ( ) a = a a + a 3 a 4 +, gdzie a 0, azywamy aprzemieym. 3
4 Takim szeregiem jest p. ( ) = azyway szeregiem aharmoiczym. Twierdzeie 7. (kryterium Leibiza) Jeśli ciąg a jest ieujemy, ierosący i dąży do 0, to ( ) a jest zbieży. Przykłady.. Ciąg jest ieujemy, ierosący i dąży do 0. Zatem szereg aharmoiczy jest zbieży (ale tylko warukowo, bo utworzoy z jego wartości bezwzględych szereg harmoiczy jest rozbieży).. l ( ). (warukowo zbieży) 3. ( ) ++. (warukowo zbieży) 4. ( ) +. (rozbieży waruek koieczy ie jest spełioy) 5. ( ). (bezwzględie zbieży) Na zakończeie aegdota (cytat ze stroy The followig problem ca be solved either the easy way or the hard way. Two trais 00 miles apart are movig toward each other; each oe is goig at a speed of 50 miles per hour. A fly startig o the frot of oe of them flies back ad forth betwee them at a rate of 75 miles per hour. It does this util the trais collide ad crush the fly to death. What is the total distace the fly has flow? The fly actually hits each trai a ifiite umber of times before it gets crushed, ad oe could solve the problem the hard way with pecil ad paper by summig a ifiite series of distaces. The easy way is as follows: Sice the trais are 00 miles apart ad each trai is goig 50 miles a hour, it takes hours for the trais to collide. Therefore the fly was flyig for two hours. Sice the fly was flyig at a rate of 75 miles per hour, the fly must have flow 50 miles. That s all there is to it. Whe this problem was posed to Joh vo Neuma, he immediately replied: 50 miles. It is very strage, said the poser, but early everyoe tries to sum the ifiite series. What do you mea, strage? asked vo Neuma. That s how I did it!. Szeregi potęgowe Szereg postaci f (x) którego wyrazy są fukcjami zmieej x, określoe w tej samej dziedziie D, azywamy szeregiem fukcyjym. Dla ustaloego x D szereg może być zbieży lub ie. Zbiór wszystkich x D dla których szereg jest zbieży azywamy obszarem zbieżości szeregu. Obszar te może być zbiorem pustym. Np. dla szeregu x obszarem zbieżości jest przedział (, ), a dla szeregu obszarem zbieżości jest przedział (, ). W dalszym ciągu ograiczymy się do dwóch specjalych grup szeregów: potęgowych i trygoometryczych. Joh vo Neuma, , matematyk, iżyier chemik, fizyk i iformatyk. x 4
5 .. Określeie i promień zbieżości szeregu Defiicja 4. Szereg postaci azywamy szeregiem potęgowym. a (x x 0 ), (3) Dla x 0 = 0 mamy szereg a x. Jeśli x = 0, to a x = a 0, jest to więc szereg zbieży. Aby zaleźć ie wartości x dla których szereg a x jest zbieży moża posłużyć się kryterium ilorazowym. Obliczamy lim a +x + = x lim a x a + a = x q, a gdzie q = lim +. a Z kryterium ilorazowego wiadomo, że jeśli x q <, czyli jeśli x < q, to szereg jest zbieży. Natomiast jeśli x q >, czyli x > q, to szereg jest rozbieży. Liczbę R = q = lim a + a azywamy promieiem zbieżości szeregu. Przyjmujemy, że gdy q = 0, to R =, a gdy q =, to R = 0. Zamiast kryterium ilorazowego moża zastosować kryterium pierwiastkowe. Wtedy q = lim a, więc R = lim a. Zauważmy też, że dla szeregu a (x x 0 ) otrzymujemy podobe wioski. Zatem wykazaliśmy astępujące twierdzeie. Twierdzeie 8. (o obszarze zbieżości szeregu potęgowego) Jeśli R jest liczbą wyzaczoą ze wzoru a R = lim a +, (4) lub ze wzoru R = lim a, (5) to szereg (3) jest zbieży w przedziale (x 0 R, x 0 +R) i rozbieży w przedziałach (, x 0 R), (x 0 + R, ). W puktach x 0 R, x 0 + R szereg może być zbieży lub ie. Liczbę R azywamy promieiem zbieżości szeregu, a przedział w którym szereg jest zbieży przedziałem zbieżości. Przykłady. Zbadać zbieżość szeregów:. x 3. Obliczamy R = lim a a + = lim 3 (+)3 + ( + )3 + + = lim 3 = 3 lim = 3, Zatem szereg jest a pewo zbieży w ( 3, 3). Dla x = 3 otrzymujemy szereg harmoiczy, który jest rozbieży, a dla x = 3 szereg aharmoiczy ( ), warukowo zbieży. Ostateczie przedziałem zbieżości jest [ 3, 3).. x. Po podobej (jak wyżej) aalizie otrzymamy przedział zbieżości [, ). W astępym przykładzie ograiczymy się do promieia zbieżości. 5
6 3. (!) ()! x. Tutaj R = lim = lim a a + = lim (!) [( + )]! ()![( + )!] = ( + )( + ) ( + ) = lim.. Rozwijaie fukcji w szereg potęgowy = 4. Dla daego szeregu potęgowego a x możemy określić fukcję f, której dziedzią jest przedział zbieżości szeregu a wartościami są sumy odpowiedich szeregów. A zatem dla każdego x z tego przedziału: f(x) = a x = a 0 + a x + a x + + a x + W tej sytuacji mówimy, że fukcja f ma rozwiięcie w szereg potęgowy. Przykład. Dla szeregu geometryczego x i x (, ) mamy x = x. Zatem fukcja x ma w przedziale (, ) rozwiięcie w szereg x. Rozwiięcie w szereg potęgowy daje możliwość obliczaia wartości fukcji. Jeśli chcemy wyzaczyć f(c) dla c ależącego do przedziału zbieżości, to moża to zrobić obliczając lub aproksymując sumę szeregu: a c = a 0 + a c + a c + + a c + Rozwiięcie w szereg umożliwia też rozwiązywaie problemów z różiczkowaiem bądź całkowaiem fukcji, poieważ fukcja zdefiiowaa szeregiem ma własości podobe do własości wielomiau. W szczególości moża wykazać, że pochodą szeregu moża obliczać różiczkując wyraz po wyrazie. Podoba uwaga dotyczy całki. Dokładiej, mamy astępujące twierdzeie. Twierdzeie 9. Załóżmy, że a x ma iezerowy promień zbieżości R i iech fukcja f będzie określoa wzorem f(x) = a x = a 0 + a x + a x + + a x + dla każdego x z przedziału zbieżości. Jeśli R < x < R, to (i) f (x) = (a x ) = a x + = = a + a x + 3a 3 x + + a x + (ii) x 0 f(t) dt = x 0 a t dt) = a + x+ = = a 0 x + a x + a3 3 x3 + + a x +. Podstawowym zagadieiem jest przedstawieie daej fukcji w postaci szeregu potęgowego. Defiicja 5. Załóżmy, że fukcja f ma w pukcie x 0 pochode dowolego rzędu. Moża wtedy utworzyć szereg f () (x 0 )! (x x 0 ) = f(x 0 ) + f (x 0 )! (x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) +,! który azywamy szeregiem Taylora fukcji f o środku w pukcie x 0. Jeżeli x 0 = 0, to te szereg azywamy szeregiem Maclauria fukcji f. 6
7 Zatem pod warukiem, że fukcja ma wszystkie pochode moża utworzyć pewie szereg z ią związay. Ale: szereg ie musi być zbieży w całej dziedziie tej fukcji; awet jeśli jest zbieży, to jego suma ie musi być rówa tej fukcji. Potrzebe są dodatkowe założeia. Twierdzeie 0. (o rozwijaiu fukcji w szereg Taylora) Jeżeli. fukcja f ma a otoczeiu U puktu x 0 pochode dowolego rzędu;. dla każdego x U reszta wzoru Taylora dąży do 0, tj. to dla każdego x U. lim R (x) = lim f(x) = f () (c) (x x 0 ) = 0,! f () (x 0 ) (x x 0 )! Przykład. Posługując się powyższym wzorem wykazać, że dla x R e x = si x = cos x =! x = + x! + x! + (6) ( ) ( + )! x+ = x x3 3! + x5 5! x7 7! + (7) ( ) ()! x = x! + x4 4! x6 6! + (8) Posługując się już wyprowadzoymi rozwiięciami moża zaleźć dalsze wykoując operacje a szeregach (dodawaie, możeie przez stałą, całkowaie, różiczkowaie...) Przykład. Wykorzystując rówości wykazać, że dla x R sih x = (ex e x ), cosh x = (ex + e x ) sih x = cosh x = Przykład. Już ze szkoły zaa jest rówość x + ( + )! = x + x3 3! + x5 5! + x7 7! + (9) x ()! = + x! + x4 4! + x6 6! +. (0) x = x dla x (, ) () (szereg geometryczy). Zamieiając w iej x a x otrzymamy Całkujemy od 0 do x: l( + x) = + x = ( ) x dla x (, ). x 0 + t dt = x 0 7 ( ) t dt = ( ) + x+
8 dla x (, ). Przykład. Z rówości () otrzymujemy p. x = x = ( x ) = x + dla x, tj dla x. Ogóliej, gdy szukamy rozwiięcia w szereg daej fukcji wymierej, to ależy zacząć od przedstawieia jej w postaci sumy ułamków prostych. Przykład. Rozwiąć w szereg fukcję f(x) = x+ x +x 6. Teraz każdy ułamek rozwijamy w szereg: x + x + x 6 = x 3 x + 3. x 3 x + 3 = x ( x ) x = 3 x 3 = ( + ) 3 x. Otrzymay szereg jest zbieży, gdy x oraz x 3, tj. dla x i x 3. Ostateczie więc x. Szereg geometryczy jest szczególym przypadkiem ogóliejszego szeregu dwumiaowego: ( + x) α = ( ) α x dla α R, x (, ) gdzie symbol ( α ) określamy astępująco: ( ) α α(α )(α )... (α + ) =.! Przykładowo dla α = 3 mamy: 3 + x = + 3 x!3 x + 5 3! ! Zastosowaia szeregów potęgowych Zając rozkład fukcji w szereg Maclauria moża z dowolą dokładością obliczyć wartości tej fukcji. Przykład. Obliczyć 0 e = e 0 z dokładością 0, e 0 = ( ) 0, 0, 0 0, 00 0, 000 = ! 0!! 3! 4! Jeżeli dodamy pierwszych k wyrazów tego szeregu, to a mocy twierdzeia 0 reszta szeregu jest postaci 0 k k! e ϑ, 0 < ϑ < 0, Żądaą dokładość uzyskamy, gdy reszta będzie miejsza od 0, Wystarczy k = 4. Uwaga. Z twierdzeia 0 możemy korzystać, gdy zamy wzór a -tą pochodą. Jeśli tego wzoru ie zamy, to trzeba szacować iaczej. W ostatim przykładzie przybliżając e 0 k wyrazami odrzucamy wyrazy: R = =k ) =!( 0 0 k k! + 0 k+ (k + )! + 0 k+ (k + )! + 8
9 Szacujemy: R ( k ) = k! 0 k k! 0 9 = 0 k 9k!. Dla k = 4 wyosi to = 0 5. Przy obliczaiu wartości waże jest, jakiego szeregu użyjemy do obliczeń. Przykład. Obliczyć l. Puktem wyjścia jest szereg l( + x) = ! < ( ) + x+ = x x + x3 3 + ( ) x + dla x (, ]. Podstawiając w im x = otrzymamy l = ( ) +. Szereg te jest bardzo wolo zbieży. Jest to bowiem szereg aprzemiey, dla którego łatwo moża uzasadić astepującą własość. Lemat. Niech S k = k ( ) a ozacza przybliżoą wartość szeregu aprzemieego ( ) a, gdzie a 0. Wtedy S S k < a k+. Krótko: błąd jaki popełiamy biorąc k wyrazów jest miejszy od modułu (k+)-szego wyrazu. Np. biorąc 0 wyrazów popełiamy błąd szacoway liczbą. Zajdziemy szereg zaczie szybciej zbieży. W tym celu wykorzystamy szereg l( x) = x + x = x + x3 3 ( ) x + dla x [, ). Odejmując szeregi dla l( + x) i l( x) otrzymamy l + x x = ( x + x3 3 + x5 5 + x7 7 + ). Poieważ +x x = dla x = 3, więc podstawiając do powyższej rówości x = 3 uzyskamy ( l = ) Błąd jaki popełimy biorąc k wyrazów wyosi i jest miejszy od (k + )3 k+ + (k + 3)3 k+3 + (k + 5)3 k+5 + ( + (k + )3 k ) = (k + )3 k+ 9 8 = 4(k + )3 k. Jeśli p. wymagamy, żeby błąd był iewiększy iż 0 9, to ależy zaleźć k dla którego będzie 4(k + )3 k 0 9. Wystarczy k = 9. Lemat ma dość ieoczekiwae zastosowaie w dowodzie astępującego twierdzeia. Twierdzeie. Liczba e jest iewymiera. 9
10 Dowód ie wprost. Przypuśćmy, że e jest wymiera, tz. e = m dla pewych liczb aturalych m,. Wtedy e = m oraz e = +! 3! + 4! + Przybliżając e sumą pierwszych wyrazów szeregu: popełiamy błąd miejszy od!. Zatem e +! 3! + + ( ) ( )! 0 < m! + 3! 4! + ( ) < ( )!!. Możąc tę ierówość przez! otrzymujemy 0 < m( )!!! +! 3!! 4! + ( ) <. Liczba w środku jest a pewo całkowita, a z ierówości wyika, że jest oa między 0 i. Ozacza to sprzeczość, bo takiej liczby ie ma. To kończy dowód. 3. Szeregi Fouriera Szereg postaci a 0 + (a cos x + b si x) + (a cos x + b si x) + = = a 0 + a cos x + b si x () azywamy szeregiem trygoometryczym. Każdy wyraz tego szeregu jest fukcją trygoometryczą o okresie π. Jeżeli szereg jest zbieży w przedziale [, π], to jest zbieży dla wszystkich x i jego suma jest fukcją okresową. Stąd wyika, że rozwiięcie w szereg trygoometryczy mogą mieć tylko fukcje okresowe o okresie π. Stawiamy zatem astępujące zadaie. Przypuśmy, że fukcja f(x), o okresie π, ma przedstawieie f(x) = a 0 + a cos x + b si x. (3) Jak wyliczyć współczyiki a i b? Zauważmy ajpierw, że dla N jest cos x dx = 0 oraz rówość (3) otrzymamy a więc f(x) dx = a 0 a 0 = π f(x) dx. dx, si x dx = 0. Zatem całkując Aby obliczyć a dla > 0 możymy ajpierw rówość (3) zapisaą w postaci f(x) = a 0 + a k cos kx + b k si kx k= 0
11 przez cos x i potem całkujemy: f(x) cos x dx = a 0 + cos x dx + ) (a k cos kx cos x dx + b k si kx cos x dx. k= Ale całki cos kx cos x dx są rówe 0 dla k. Żeby to stwierdzić, wystarczy skorzystać ze wzoru trygoometryczego cos kx cos x = (cos(k + )x + cos(k )x). Rówież si kx cos x dx są rówe 0 dla k N. Tym razem korzystamy ze wzoru trygoometryczego si kx cos x = (si(k + )x + si(k )x). A zatem jedyą iezerową całką po prawej stroie jest cos x dx = π. Zatem mamy skąd otrzymujemy f(x) cos x dx = a cos x dx = πa, a = π f(x) cos x dx. Aalogiczie zajdziemy wzór a b ; ależy pomożyć rówość (3) przez si x i całkować, korzystając przy tym ze wzoru si kx si x dx = 0 dla k. Tę zależość otrzymamy wykorzystując rówość si kx si x = (cos(k )x cos(k + )x). Po rachukach podobych do poprzedich uzyskamy: Otrzymae wzory b = π a 0 = π a = π b = π f(x) si x dx. f(x) dx, f(x) cos x dx. f(x) si x dx. azywamy wzorami Eulera-Fouriera. Stosując te wzory moża dla dowolej fukcji całkowalej w przedziale [, π] utworzyć szereg trygoometryczy azyway szeregiem Fouriera fukcji f(x). Ale te szereg ie musi być wcale zbieży! A jeśli awet jest zbieży, to iekoieczie do fukcji f(x). Żeby to zapewić potrzebe są dodatkowe założeia. Defiicja 6. Mówimy, że fukcja f(x) spełia waruki Dirichleta, gdy. f(x) jest przedziałami mootoicza w [, π];. f(x) = (f(x 0) + f(x + 0)) dla x (, π); 3. f() = f(π) = (f( + 0) + f(π 0)). Symbole f(x 0) i f(x + 0) ozaczają graicę lewostroą i prawostroą w pukcie x.
12 Twierdzeie. (Dirichleta) Jeżeli fukcja f(x) spełia waruki Dirichleta, to jej szereg Fouriera jest zbieży do fukcji f(x) w przedziale [, π]. Poza tym przedziałem rówość zachodzi jedyie wtedy, gdy fukcja f(x) jest okresowa o okresie π. Przykłady. Zajdziemy szereg Fouriera fukcji f(x) = x. Obliczamy Zatem a 0 = π, a = π [( ) ], b = 0. x = π + π = π 4 π k= [( ) ] cos x = cos(k )x (k ) dla x [, π].. Dla fukcji f(x) = x cos x obliczamy A więc a 0 = 0 a = 0, b =, b = ( ) dla >. x cos x = si x + = ( ) si x dla x (, π). Rówość zachodzi tylko w przedziale otwartym, bo trzeci waruek Dirichleta ie jest spełioy. 3. Niech { 0 dla < x < 0 f(x) = x dla 0 x < π Szereg Fouriera tej fukcji: f(x) = π 4 [ cos( )x π ( ) + ( ) si x ].
Szeregi liczbowe. Szeregi potęgowe i trygonometryczne.
Szeregi iczbowe. Szeregi potęgowe i trygoometrycze. wykład z MATEMATYKI Automatyka i Robotyka sem. I, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Iformatyki Poitechika Białostocka Szeregi iczbowe Defiicja..
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 11
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD Szeregi potęgowe Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C jeżeli jest -krotie różiczkowala i jej -ta pochoda jest fukcją ciągłą. Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C, jeżeli jest
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Szeregi liczbowe
Zadaia z aalizy matematyczej - sem. I Szeregi liczbowe Defiicja szereg ciąg sum częściowyc. Szeregiem azywamy parę uporządkowaą a ) S ) ) ciągów gdzie: ciąg a ) ciąg S ) jest day jest ciągiem sum częściowych
Bardziej szczegółowoZadania z Matematyka 2 - SIMR 2008/ szeregi zadania z rozwiązaniami. n 1. n n. ( 1) n n. n n + 4
Zadaia z Matematyka - SIMR 00/009 - szeregi zadaia z rozwiązaiami. Zbadać zbieżość szeregu Rozwiązaie: 0 4 4 + 6 0 : Dla dostateczie dużych 0 wyrazy szeregu są ieujeme 0 a = 4 4 + 6 0 0 Stosujemy kryterium
Bardziej szczegółowo+ ln = + ln n + 1 ln(n)
"Łatwo z domu rzeczywistości zajśd do lasu matematyki, ale ieliczi tylko umieją wrócid." Hugo Dyoizy Steihaus Niech (a ) będzie ieskooczoym ciągiem rzeczywistym. Def. Szeregiem = a azywamy parę ciągów
Bardziej szczegółowoSZEREGI LICZBOWE. s n = a 1 + a a n = a k. k=1. aq n = 1 qn+1 1 q. a k = s n + a k, k=n+1. s n = 0. a k lim n
SZEREGI LICZBOWE Z ciągu liczb a, a 2,... utwórzmy owy ciąg Przyjmijmy ozaczeia s = a + a 2 +... a = a k. k= k= a k = a + a 2 +... = s. Gdy graica k= a k jest liczbą, to mówimy, że szereg k= a k jest sumowaly
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16
Egzami,.6.6, godz. 9:-: Zadaie. puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z i w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej bez używaia fukcji trygoometryczych) oraz zazaczyć
Bardziej szczegółowoStwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).
Materiały dydaktycze Aaliza Matematycza Wykład Ciągi liczbowe i ich graice. Graice ieskończoe. Waruek Cauchyego. Działaia arytmetycze a ciągach. Podstawowe techiki obliczaia graic ciągów. Istieie graic
Bardziej szczegółowo2 n < 2n + 2 n. 2 n = 2. 2 n 2 +3n+2 > 2 0 = 1 = 2. n+2 n 1 n+1 = 2. n+1
Tekst a iebiesko jest kometarzem lub treścią zadaia. Zadaie 1. Zbadaj mootoiczość i ograiczoość ciągów. a = + 3 + 1 Ciąg jest mootoiczie rosący i ieograiczoy poieważ różica kolejych wyrazów jest dodatia.
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16
Egzami,.9.6, godz. :-5: Zadaie. ( puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z 4 = 4 w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej (bez używaia fukcji trygoometryczych)
Bardziej szczegółowoa 1, a 2, a 3,..., a n,...
III. Ciągi liczbowe. 1. Defiicja ciągu liczbowego. Defiicja 1.1. Ciągiem liczbowym azywamy fukcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb aturalych N w zbiór liczb rzeczywistych R i ozaczamy przez { }. Używamy
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna A1, zima 2011/12. Kresy zbiorów. x Z M R
Kresy zbiorów. Ćwiczeia 21.11.2011: zad. 197-229 Kolokwium r 7, 22.11.2011: materiał z zad. 1-249 Defiicja: Zbiór Z R azywamy ograiczoym z góry, jeżeli M R x Z x M. Każdą liczbę rzeczywistą M R spełiającą
Bardziej szczegółowoCiągi liczbowe wykład 3
Ciągi liczbowe wykład 3 dr Mariusz Grządziel semestr zimowy, r akad 204/205 Defiicja ciągu liczbowego) Ciagiem liczbowym azywamy fukcję odwzorowuja- ca zbiór liczb aturalych w zbiór liczb rzeczywistych
Bardziej szczegółowoSzeregi liczbowe. 15 stycznia 2012
Szeregi liczbowe 5 styczia 0 Szeregi o wyrazach dodatich. Waruek koieczy zbieżości szeregu Defiicja.Abyszereg a < byłzbieżyciąga musizbiegaćdo0. Jest to waruek koieczy ale ie dostateczy. Jak wiecie z wykładu(i
Bardziej szczegółowoMetody badania zbieżności/rozbieżności ciągów liczbowych
Metody badaia zbieżości/rozbieżości ciągów liczbowych Ryszard Rębowski 14 grudia 2017 1 Wstęp Kluczowe pytaie odoszące się do zagadieia badaia zachowaia się ciągu liczbowego sprowadza się do sposobu opisu
Bardziej szczegółowoI. Ciągi liczbowe. , gdzie a n oznacza n-ty wyraz ciągu (a n ) n N. spełniający warunek. a n+1 a n = r, spełniający warunek a n+1 a n
I. Ciągi liczbowe Defiicja 1. Fukcję określoą a zbiorze liczb aturalych o wartościach rzeczywistych azywamy ciągiem liczbowym. Ciągi będziemy ozaczać symbolem a ), gdzie a ozacza -ty wyraz ciągu a ). Defiicja.
Bardziej szczegółowoZauważone błędy bardzo proszę zgłaszać mailem lub na ćwiczeniach. Z góry dziękuję :-)
Odpowiedzi do zadań z szeregów, cz I. Zauważoe błędy bardzo proszę zgłaszać mailem lub a ćwiczeiach. Z góry dziękuję :-. a +, wsk. skorzystać z rówości a b a b, astępie a+b wyciągąć ajwyższe potęgi z liczika
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna. Robert Rałowski
Aaliza matematycza Robert Rałowski 6 paździerika 205 2 Spis treści 0. Liczby aturale.................................... 3 0.2 Liczby rzeczywiste.................................... 5 0.2. Nierówości...................................
Bardziej szczegółowoWykład 19. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/ grudnia 2011
Wykład 9 Matematyka 3, semestr zimowy 0/0 3 grudia 0 Zajmiemy się teraz rozwiięciem fukcji holomorficzej w szereg Taylora. Przypomijmy podstawowe fakty związae z szeregami potęgowymi o wyrazach rzeczywistych.
Bardziej szczegółowoSzeregi liczbowe i ich własności. Kryteria zbieżności szeregów. Zbieżność bezwzględna i warunkowa. Mnożenie szeregów.
Materiały dydaktyze Aaliza Matematyza (Wykład 3) Szeregi lizbowe i ih własośi. Kryteria zbieżośi szeregów. Zbieżość bezwzględa i warukowa. Możeie szeregów. Defiija. Nieh {a } N będzie iągiem lizbowym.
Bardziej szczegółowoWzór Taylora. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Wzór Taylora Szeregi potęgowe Matematyka Studium doktorackie KAE SGH Semestr leti 8/9 R. Łochowski Graica fukcji w pukcie Niech f: R D R, R oraz istieje ciąg puktów D, Fukcja f ma w pukcie graicę dowolego
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2, lato 2018/19
47. W każdym z zadań 47.-47.5 podaj wzór a fukcję różiczkowalą f :D f R o podaym wzorze a pochodą oraz o podaej wartości w podaym pukcie. 47.. f x 4x 5 54 f D f R 4x 555 fx + 47.. f x x+ f D f, + fx 9
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17
Egzami, 18.02.2017, godz. 9:00-11:30 Zadaie 1. (22 pukty) W każdym z zadań 1.1-1.10 podaj w postaci uproszczoej kresy zbioru oraz apisz, czy kresy ależą do zbioru (apisz TAK albo NIE, ewetualie T albo
Bardziej szczegółowo1 Układy równań liniowych
Katarzya Borkowska, Wykłady dla EIT, UTP Układy rówań liiowych Defiicja.. Układem U m rówań liiowych o iewiadomych azywamy układ postaci: U: a x + a 2 x 2 +... + a x =b, a 2 x + a 22 x 2 +... + a 2 x =b
Bardziej szczegółowo3. Funkcje elementarne
3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących
Bardziej szczegółowoDamian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim.
Damia Doroba Ciągi. Graice, z których korzystamy. k. q.. 5. dla k > 0 dla k 0 0 dla k < 0 dla q > 0 dla q, ) dla q Nie istieje dla q ) e a, a > 0. Opis. Pierwsza z graic powia wydawać się oczywista. Jako
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.
Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia 5.11.2012: zad. 140-173 Kolokwium r 5, 6.11.2012: materiał z zad. 1-173 Ćwiczeia 12.11.2012: zad. 174-190 13.11.2012: zajęcia czwartkowe
Bardziej szczegółowoAnaliza numeryczna Kurs INP002009W. Wykład 1 Narzędzia matematyczne. Karol Tarnowski A-1 p.223
Aaliza umerycza Kurs INP002009W Wykład Narzędzia matematycze Karol Tarowski karol.tarowski@pwr.wroc.pl A- p.223 Pla wykładu Czym jest aaliza umerycza? Podstawowe pojęcia Wzór Taylora Twierdzeie o wartości
Bardziej szczegółowoRekursja 2. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Rekursja Materiały pomocicze do wykładu wykładowca: dr Magdalea Kacprzak Rozwiązywaie rówań rekurecyjych Jedorode liiowe rówaia rekurecyje Twierdzeie Niech k będzie ustaloą liczbą aturalą dodatią i iech
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2 (LUX), lato 2017/18. a n n = 10.
Czy istieje ciąg (a ) taki, że (podać przykład lub dowieść, że ie istieje) : 576. a > 1 dla ieskończeie wielu, a > 0, szereg a jest zbieży. N 577. a = 1 2 dla ieskończeie wielu, a = 10. 578. a 2 = 1 N,
Bardziej szczegółowoWykªad 2. Szeregi liczbowe.
Wykªad jest prowadzoy w oparciu o podr czik Aaliza matematycza 2. Deicje, twierdzeia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 2. Szeregi liczbowe. Deicje i podstawowe twierdzeia Deicja Szeregiem liczbowym
Bardziej szczegółowodna szeregu. ; m., k N ; ó. ; u. x 2n 1 ; e. n n! jest, że
KILKA ZADAŃ O SZEREGACH Zbadać zbieżość i zbieżość bezwzgle da = a, jeśli a = a!! ; a + + ; c + ; ć! ; d +/ + 3 ; e! e 3 3+ ; f ; + g 000+ ; h ; + i! ; j k ; l 5 + l + 7 0 +3 6 0 + ; +3 ; ; m 3 + 3 ; +a
Bardziej szczegółowoI kolokwium z Analizy Matematycznej
I kolokwium z Aalizy Matematyczej 4 XI 0 Grupa A. Korzystając z zasady idukcji matematyczej udowodić ierówość dla wszystkich N. Rozwiązaie:... 4 < + Nierówość zachodzi dla, bo 4
Bardziej szczegółowoInformatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce!
Iformatyka Stosowaa-egzami z Aalizy Matematyczej Każde zadaie ależy rozwiązać a oddzielej, podpisaej kartce! y, Daa jest fukcja f (, + y, a) zbadać ciągłość tej fukcji f b) obliczyć (,) (, (, (,) c) zbadać,
Bardziej szczegółowoWykład 0. W analizie matematycznej szeregiem liczbowym przyjęło się nazywać napis
Wykład 0. Matematyka, semestr leti 00/0 Program poprzediego semestru kończy się badaiem szeregów liczbowych. W tak zwaych dawych czasach ludziom sprawiało trudość zrozumieie, że suma ieskończoej liczby
Bardziej szczegółowozadań z pierwszej klasówki, 10 listopada 2016 r. zestaw A 2a n 9 = 3(a n 2) 2a n 9 = 3 (a n ) jest i ograniczony. Jest wiec a n 12 2a n 9 = g 12
Rozwiazaia zadań z pierwszej klasówki, 0 listopada 06 r zestaw A Ciag a ) jest zaday rekuryjie: a a, a + a a 9, a R, a
Bardziej szczegółowoI. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE. odwzorowań zbioru X w zbiór R [lub C] nazywamy ciągiem funkcyjnym.
I. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE 1. Zbieżość puktow i jedostj ciągów fukcyjych Niech X będzie iepustym podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych R (lub zbioru liczb zespoloych C). Defiicj 1.1. Ciąg (f ) N odwzorowń
Bardziej szczegółowox 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem
9.1. Izomorfizmy algebr.. Wykład Przykłady: 13) Działaia w grupach często wygodie jest zapisywać w tabelkach Cayleya. Na przykład tabelka działań w grupie Z 5, 5) wygląda astępująco: 5 1 3 1 1 3 1 3 3
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna I. Pula jawnych zadań na kolokwia.
Aaliza matematycza I. Pula jawych zadań a kolokwia. Wydział MIiM UW, 23/4 ostatie poprawki: 6 listopada 23 Szaowi Państwo, zgodie z zapowiedzią, a każdym kolokwium w pierwszym semestrze co ajmiej 2 zadaia
Bardziej szczegółowoMatematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 11
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochroa radiologicza Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 11 Całka ozaczoa podstawowe pojęcia Defiicja podziału odcika Podziałem P odcika < a, b > a części azywamy zbiór
Bardziej szczegółowoCAŁKA NIEOZNACZONA. F (x) = f(x) dx.
CAŁKA NIEOZNACZONA Mówimy, że fukcja F () jest fukcją pierwotą dla fukcji f() w pewym ustaloym przedziale - gdy w kadym pukcie zachodzi F () = f(). Fukcję pierwotą często azywamy całką ieozaczoą i zapisujemy
Bardziej szczegółowo2. Nieskończone ciągi liczbowe
Ciągiem liczbowym azywamy fukcję 2. Nieskończoe ciągi liczbowe a: N R. Wartości tej fukcji ozaczamy przez a) = a i azywamy wyrazami ciągu. Często ciąg ozaczamy przez {a } = lub po prostu przez {a }. Prostymi
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna dla informatyków 4 Zajęcia 5
Aaliza matematycza dla iformatyków Zajęcia 5 Twiereie (auchy ego) Niech Ω bęie otwartym pobiorem oraz f : Ω fukcją holomorficzą Wtedy dla dowolego koturu całkowicie zawartego w Ω zachoi f(z) = 0 Zadaie
Bardziej szczegółowoMateriały do ćwiczeń z Analizy Matematycznej I
Materiały do ćwiczeń z Aalizy Matematyczej I 08/09 Maria Frotczak Ludwika Kaczmarek Katarzya Klimczak Maria Michalska Beata Osińska-Ulrych Tomasz Rodak Adam Różycki Grzegorz Skalski Staisław Spodzieja
Bardziej szczegółowoc 2 + d2 c 2 + d i, 2
3. Wykład 3: Ciało liczb zespoloych. Twierdzeie 3.1. Niech C R. W zbiorze C określamy dodawaie: oraz możeie: a, b) + c, d) a + c, b + d) a, b) c, d) ac bd, ad + bc). Wówczas C, +, ) jest ciałem, w którym
Bardziej szczegółowoO liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi
O liczbach aturalych, których suma rówa się iloczyowi Lew Kurladczyk i Adrzej Nowicki Toruń UMK, 10 listopada 1998 r. Liczby aturale 1, 2, 3 posiadają szczególą własość. Ich suma rówa się iloczyowi: Podobą
Bardziej szczegółowoMatematyka ETId I.Gorgol Twierdzenia o granicach ciagów. Twierdzenia o granicach ciagów
Twierdzeia o graicach ciagów Matematyka ETId I.Gorgol Zbieżość ciagu a jego ograiczoość TWIERDZENIE Jeżeli ci ag liczbowy a ) jest zbieży do graicy skończoej, to jest ograiczoy. Zbieżość ciagu a jego ograiczoość
Bardziej szczegółowoFunkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta
Fukcje cze Moduł - dział -temat Fukcje cze dowolego kąta Lp 1 kąt w układzie współrzędych fukcje cze dowolego kąta zaki czych wartości czych iektórych kątów Kąt obrotu 2 dodati i ujemy kieruek obrotu wartości
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna I. Pula jawnych zadań na kolokwia.
Aaliza matematycza I. Pula jawych zadań a kolokwia. Wydział MIiM UW, 25/6 ostatie poprawki: 8 styczia 26 Szaowi Państwo, zgodie z zapowiedzią, a każdym kolokwium w pierwszym semestrze co ajmiej jeda trzecia
Bardziej szczegółowo1. Granica funkcji w punkcie
Graica ukcji w pukcie Deiicja Sąsiedztwem o promieiu r > 0 puktu a R azywamy zbiór S ( a ( a r ( a a Deiicja Sąsiedztwem lewostroym o promieiu r > 0 puktu a R azywamy zbiór S ( a ( a r Deiicja Sąsiedztwem
Bardziej szczegółowoFunkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta
Fukcje cze Moduł - dział -temat Fukcje cze dowolego kąta Lp 1 kąt w układzie współrzędych fukcje cze dowolego kąta zaki czych wartości czych iektórych kątów Kąt obrotu 2 dodati i ujemy kieruek obrotu wartości
Bardziej szczegółowoAnaliza numeryczna. Stanisław Lewanowicz. Aproksymacja funkcji
http://www.ii.ui.wroc.pl/ sle/teachig/a-apr.pdf Aaliza umerycza Staisław Lewaowicz Grudzień 007 r. Aproksymacja fukcji Pojęcia wstępe Defiicja. Przestrzeń liiową X (ad ciałem liczb rzeczywistych R) azywamy
Bardziej szczegółowoZnajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek
Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n = Rozwiązanie: Stosując wzór na wartość współczynnika dwumianowego otrzymujemy
12. Dowieść, że istieje ieskończeie wiele par liczb aturalych k < spełiających rówaie ( ) ( ) k. k k +1 Stosując wzór a wartość współczyika dwumiaowego otrzymujemy ( ) ( )!! oraz k k! ( k)! k +1 (k +1)!
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2, lato 2018/19
7 Wyzaczyć zbiór wszyskich warości rzeczywisych parameru p, dla kórych całka iewłaściwa jes zbieża x xe Dzieląc przedział całkowaia orzymujemy x x e x x e x x e Zbadamy, dla kórych warości parameru p całki
Bardziej szczegółowoFunkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta
Fukcje trygoometrycze Moduł - dział -temat Fukcje trygoometry cze dowolego kąta 1 kąt w układzie współrzędych fukcje trygoometrycze dowolego kąta zaki trygoometryczych wartości trygoometryczych iektórych
Bardziej szczegółowo7. Szeregi funkcyjne
7 Szeregi ukcyje Podstwowe deiicje i twierdzei Niech u,,,, X o wrtościch w przestrzei Y będą ukcjmi określoymi zbiorze X Mówimy, że szereg ukcyjy u jest zbieży puktowo do sumy, jeżeli ciąg sum częściowych
Bardziej szczegółowo5. Szeregi liczbowe. A n = A = lim. a k = lim a k, a k = a 1 + a 2 + a
5. Szeregi liczbowe Niech będzie day iesończoy ciąg liczbowy {a }. Ciąg A = azywamy ciągiem sum częściowych ciągu {a }. Jeżeli ciąg {A } jest zbieży, mówimy, że ciąg {a } jest sumowaly, a graicę a A =
Bardziej szczegółowoZBIEŻNOŚĆ CIĄGU ZMIENNYCH LOSOWYCH. TWIERDZENIA GRANICZNE
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 8. ZBIEŻNOŚĆ CIĄGU ZMIENNYCH LOSOWYCH. TWIERDZENIA GRANICZNE 1 Zbieżość ciągu zmieych losowych z prawdopodobieństwem 1 (prawie apewo) Ciąg zmieych losowych (X ) jest
Bardziej szczegółowoO pewnych zastosowaniach rachunku różniczkowego funkcji dwóch zmiennych w ekonomii
O pewych zastosowaiach rachuku różiczkowego fukcji dwóch zmieych w ekoomii 1 Wielkość wytwarzaego dochodu arodowego D zależa jest od wielkości produkcyjego majątku trwałego M i akładów pracy żywej Z Fukcję
Bardziej szczegółowoMODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH. 1. Renty
MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 2: RENTY. PRZEPŁYWY PIENIĘŻNE. TRWANIE ŻYCIA 1. Rety Retą azywamy pewie ciąg płatości. Na razie będziemy je rozpatrywać bez żadego związku z czasem życiem człowieka.
Bardziej szczegółowoI. Podzielność liczb całkowitych
I Podzielość liczb całkowitych Liczba a = 57 przy dzieleiu przez pewą liczbę dodatią całkowitą b daje iloraz k = 3 i resztę r Zaleźć dzieik b oraz resztę r a = 57 = 3 b + r, 0 r b Stąd 5 r b 8, 3 więc
Bardziej szczegółowoTeoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =
Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a 2,..., a będą dowolymi liczbami. Sumę a + a 2 +... + a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od k do a k ). Zak Σ to duża grecka
Bardziej szczegółowoDydaktyka matematyki III-IV etap edukacyjny (wykłady)
Dydaktyka matematyki III-IV etap edukacyjy (wykłady) Wykład r 12: Fukcja wykładicza cd. Ciągłość fukcji. Pochoda fukcji Semestr zimowy 2018/2019 Fukcja wykładicza (cd.) propozycja Podobie jak w przykładach
Bardziej szczegółowoFunkcja wykładnicza i logarytm
Rozdział 3 Fukcja wykładicza i logarytm Potrafimy już defiiować potęgi liczb dodatich o wykładiku wymierym: jeśli a > 0 i x = p/q Q dla p, q N, to aturalie jest przyjąć a x = a 1/q) p = a 1/q } {{... a
Bardziej szczegółowoPierwiastki z liczby zespolonej. Autorzy: Agnieszka Kowalik
Pierwiastki z liczby zespoloej Autorzy: Agieszka Kowalik 09 Pierwiastki z liczby zespoloej Autor: Agieszka Kowalik DEFINICJA Defiicja : Pierwiastek z liczby zespoloej Niech będzie liczbą aturalą. Pierwiastkiem
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie III poziom rozszerzony
Wymagaia edukacyje a poszczególe ocey z matematyki w klasie III poziom rozszerzoy Na oceę dopuszczającą, uczeń: zazacza kąt w układzie współrzędych, wskazuje jego ramię początkowe i końcowe wyzacza wartości
Bardziej szczegółowo8. Jednostajność. sin x sin y = 2 sin x y 2
8. Jedostajość Mówimy, że fukcja f : I R spełia waruek Lipschitza ze stałą C > 0, jeśli fx) fy) C x y, x, y I. 8.. Przykład. a) Taką fukcją jest p. si : R [, ]. Rzeczywiście, si x si y = 2 si x y 2 cos
Bardziej szczegółowo1 Pochodne wyższych rzędów
1 Pochode wyższych rzędów 1.1 Defiicja i przykłady Def. Drugą pochodą fukcji f azywamy pochodą pochodej tej fukcji. Trzecia pochoda jest pochodą drugiej pochodej; itd. Ogólie, -ta pochoda fukcji jest pochodą
Bardziej szczegółowoMetrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie
Metrologia: miary dokładości dr iż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczeciie Miary dokładości: Najczęściej rozkład pomiarów w serii wokół wartości średiej X jest rozkładem Gaussa: Prawdopodobieństwem,
Bardziej szczegółowoCIĄGI LICZBOWE. Poziom podstawowy
CIĄGI LICZBOWE Poziom podstawowy Zadaie ( pkt) + 0 Day jest ciąg o wyrazie ogólym a =, N+ + jest rówy? Wyzacz a a + Czy istieje wyraz tego ciągu, który Zadaie (6 pkt) Marek chce przekopać swój przydomowy
Bardziej szczegółowoZadania z algebry liniowej - sem. I Liczby zespolone
Zadaia z algebry liiowej - sem. I Liczby zespoloe Defiicja 1. Parę uporządkowaą liczb rzeczywistych x, y azywamy liczbą zespoloą i ozaczamy z = x, y. Zbiór wszystkich liczb zespoloych ozaczamy przez C
Bardziej szczegółowoMACIERZE STOCHASTYCZNE
MACIERZE STOCHASTYCZNE p ij - prawdopodobieństwo przejścia od stau i do stau j w jedym (dowolym) kroku, [p ij ]- macierz prawdopodobieństw przejść (w jedym kroku), Własości macierzy prawdopodobieństw przejść:
Bardziej szczegółowoD:\materialy\Matematyka na GISIP I rok DOC\07 Pochodne\8A.DOC 2004-wrz-15, 17: Obliczanie granic funkcji w punkcie przy pomocy wzoru Taylora.
D:\maerialy\Maemayka a GISIP I rok DOC\7 Pochode\8ADOC -wrz-5, 7: 89 Obliczaie graic fukcji w pukcie przy pomocy wzoru Taylora Wróćmy do wierdzeia Taylora (wzory (-( Tw Szczególie waża dla dalszych R rozważań
Bardziej szczegółowo> 1), wi c na mocy kryterium porównawczego szereg sin(n n)
.65. si() W szeregu tym wyst puj wyrazy dodatie i ujeme, ale ie a przemia. Zbadajmy wi c szereg: si() zªo»oy z warto±ci bezwzgl dych wyrazów szeregu daego w zadaiu. Poiewa» si(), wi c si() = Po prawej
Bardziej szczegółowoAnaliza I.1, zima wzorcowe rozwiązania
Aaliza I., zima 07 - wzorcowe rozwiązaia Marci Kotowsi 5 listopada 07 Zadaie. Udowodij, że dla ażdego aturalego liczba 7 + dzieli się przez 6. Dowód. Tezę udowodimy za pomocą iducji matematyczej. Najpierw
Bardziej szczegółowoMateriały do wykładu Matematyka Stosowana 1. Dariusz Chrobak
Materiały do wykładu Matematyka Stosowaa Dariusz Chrobak 7 styczia 207 Spis treści Zbiory liczbowe i fukcje 2. Zbiór liczb wymierych Q...................... 2.2 Liczby iewymiere.........................
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.
Zasada idukcji matematyczej Dowody idukcyje Z zasadą idukcji matematyczej i dowodami idukcyjymi sytuacja jest ajczęściej taka, że podaje się w szkole treść zasady idukcji matematyczej, a astępie omawia,
Bardziej szczegółowoCiągi i szeregi liczbowe. Ciągi nieskończone.
Ciągi i szeregi liczbowe W zbiorze liczb X jest określoa pewa fukcja f, jeŝeli kaŝdej liczbie x ze zbioru X jest przporządkowaa dokładie jeda liczba pewego zbioru liczb Y Przporządkowaie to zapisujem w
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU WIMiR Semestr zimowy 2017/18
dr Aa Barbaszewska-Wiśiowska ZAGADNIENIA Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU WIMiR Semestr zimowy 17/18 1 Elemety logiki matematyczej Zdaia i formy zdaiowe fuktory zdaiotwórcze Tautologie Wartości logicze
Bardziej szczegółowoOperatory zwarte Lemat. Jeśli T jest odwzorowaniem całkowym na przestrzeni Hilberta X = L 2 (Ω) z jądrem k L 2 (M M)
Operatory zwarte Niech X będzie przestrzeią Baacha. Odwzorowaie liiowe T azywa się zwarte, jeśli obraz kuli jedostkowej T (B) jest zbiorem warukowo zwartym. Przestrzeń wszystkich operatorów zwartych a
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1 LUX, zima 2016/17
585. Wskaż liczbę rzeczywistą k, dla której podaa graica istieje i jest dodatią liczbą rzeczywistą. Podaj wartość graicy dla tej wartości parametru k. Jeżeli odpowiedź jest liczbą wymierą, podaj ją w postaci
Bardziej szczegółowoAnaliza Funkcjonalna WPPT IIIr. semestr letni 2011 WYK LAD 9,5: ZBIEŻNOŚĆ S LABA I *-S LABA TWIERDZENIE BANACHA ALAOGLU 28/05/2013
Aaliza Fukcjoala WPPT IIIr. semestr leti 2011 WYK LAD 9,5: ZBIEŻNOŚĆ S LABA I *-S LABA TWIERDZENIE BANACHA ALAOGLU 28/05/2013 NiechX ozaczaprzestrzeńbaacha,ax jejdual a(czyliprzestrzeńfukcjoa lów ograiczoych
Bardziej szczegółowo1 Twierdzenia o granicznym przejściu pod znakiem całki
1 Twierdzeia o graiczym przejściu pod zakiem całki Ozaczeia: R + = [0, ) R + = [0, ] (X, M, µ), gdzie M jest σ-ciałem podzbiorów X oraz µ: M R + - zbiór mierzaly, to zaczy M Twierdzeie 1.1. Jeżeli dae
Bardziej szczegółowoPoziom rozszerzony. 5. Ciągi. Uczeń:
PIOTR LUDWIKOWSKI Materiał z wykładu z aalizy dla uczestików koerecji Podstawa programowa z kometarzami Tom 6 Edukacja matematycza i techicza w szkole podstawowej, gimazjum i liceum matematyka, zajęcia
Bardziej szczegółowo5. Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.
Notatki do lekcji, klasa matematycza Mariusz Kawecki, II LO w Chełmie 5. Zasada idukcji matematyczej. Dowody idukcyje. W rozdziale sformułowaliśmy dla liczb aturalych zasadę miimum. Bezpośredią kosekwecją
Bardziej szczegółowof '. Funkcja h jest ciągła. Załóżmy, że ciąg (z n ) n 0, z n+1 = h(z n ) jest dobrze określony, tzn. n 0 f ' ( z n
Metoda Newtoa i rówaie z = 1 Załóżmy, że fucja f :C C ma ciągłą pochodą. Dla (prawie) ażdej liczby zespoloej z 0 tworzymy ciąg (1) (z ) 0, z 1 = z f ( z ), ciąg te f ' (z ) będziemy azywać orbitą liczby
Bardziej szczegółowoAnaliza I.1, zima globalna lista zadań
Aaliza I., zima 207 - globala lista zadań Marci Kotowsi 8 styczia 208 Podstawy Zadaie. Udowodij, że dla ażdego aturalego liczby 7 2 + oraz 7 2 dzielą się przez 6. Zadaie 2. Rozstrzygij, czy poiższe liczby
Bardziej szczegółowoModuł 4. Granica funkcji, asymptoty
Materiały pomocicze do e-learigu Matematyka Jausz Górczyński Moduł. Graica fukcji, asymptoty Wyższa Szkoła Zarządzaia i Marketigu Sochaczew Od Autora Treści zawarte w tym materiale były pierwotie opublikowae
Bardziej szczegółowoSzereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3:
Szereg geometryczy Zad : Suma wszystkich wyrazów ieskończoego ciągu geometryczego jest rówa 4, a suma trzech początkowych wyrazów wyosi a) Zbadaj mootoiczość ciągu sum częściowych tego ciągu geometryczego
Bardziej szczegółowoO trzech elementarnych nierównościach i ich zastosowaniach przy dowodzeniu innych nierówności
Edward Stachowski O trzech elemetarych ierówościach i ich zastosowaiach przy dowodzeiu iych ierówości Przy dowodzeiu ierówości stosujemy elemetare przejścia rówoważe, przeprowadzamy rozumowaie typu: jeżeli
Bardziej szczegółowoIII seria zadań domowych - Analiza I
III seria zadań domowych - Aaliza I Różiczkowalość fukcji Zadaie Dla jakich wartości parametrów abc R fukcje a + gdy π si + b gdy > π a + b gdy 0 gdy > c a + b gdy c są różiczkowale. a + b gdy a 0 / arcsi
Bardziej szczegółowoTrzeba pokazać, że dla każdego c 0 c Mc 0. ) = oraz det( ) det( ) det( ) jest macierzą idempotentną? Proszę odpowiedzieć w
Zad Dae są astępujące macierze: A =, B, C, D, E 0. 0 = = = = 0 Wykoaj astępujące działaia: a) AB, BA, C+E, DE b) tr(a), tr(ed), tr(b) c) det(a), det(c), det(e) d) A -, C Jeśli działaia są iewykoale, to
Bardziej szczegółowoCharakterystyki liczbowe zmiennych losowych: wartość oczekiwana i wariancja
Charakterystyki liczbowe zmieych losowych: wartość oczekiwaa i wariacja dr Mariusz Grządziel Wykłady 3 i 4;,8 marca 24 Wartość oczekiwaa zmieej losowej dyskretej Defiicja. Dla zmieej losowej dyskretej
Bardziej szczegółowoUKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH
Ekoeergetyka Matematyka. Wykład 4. UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Defiicja (Układ rówań liiowych, rozwiązaie układu rówań) Układem m rówań liiowych z iewiadomymi,,,, gdzie m, azywamy układ rówań postaci: a a a
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. Wykład II. Estymacja punktowa
Statystyka matematycza. Wykład II. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 dyskretych Rozkłady zmieeych losowych ciągłych 2 3 4 Rozkład zmieej losowej dyskretej dyskretych Rozkłady zmieeych losowych
Bardziej szczegółowo7 Liczby zespolone. 7.1 Działania na liczbach zespolonych. Liczby zespolone to liczby postaci. z = a + bi,
7 Liczby zespoloe Liczby zespoloe to liczby postaci z a + bi, gdzie a, b R. Liczbę i azywamy jedostką urojoą, spełia oa waruek i 2 1. Zbiór liczb zespoloych ozaczamy przez C: C {a + bi; a, b R}. Liczba
Bardziej szczegółowoX i. X = 1 n. i=1. wartość tej statystyki nazywana jest wartością średnią empiryczną i oznaczamy ją symbolem x, przy czym x = 1. (X i X) 2.
Zagadieia estymacji Puktem wyjścia badaia statystyczego jest wylosowaie z całej populacji pewej skończoej liczby elemetów i zbadaie ich ze względu a zmieą losową cechę X Uzyskae w te sposób wartości x,
Bardziej szczegółowoSzeregi liczbowe. Szeregi potęgowe i trygonometryczne.
Szeregi iczbowe. Szeregi potęgowe i trgoometrcze. wkład z MATEMATYKI Automatka i Robotka sem. II, rok ak. 2009/200 Katedra Matematki Wdział Iformatki Poitechika Białostocka Szeregi iczbowe Defiicja.. Niech(a
Bardziej szczegółowoTwierdzenia o funkcjach ciągłych
Automatya i Robotya Aaliza Wyład 5 dr Adam Ćmiel cmiel@aghedupl Twierdzeia o ucjach ciągłych Tw (Weierstrassa Jeżeli ucja : R [ R jest ciągła a [, to ograiczoa i : ( sup ( i ( i ( [, Dowód Ograiczoość
Bardziej szczegółowo